Le formule di riduzione sono relazioni che permettono di andare da seno, coseno, tangente e cotangente con gli angoli `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` alle stesse funzioni dell'angolo `\alpha`, che si trova nel primo quarto della circonferenza unitaria. Pertanto, le formule di riduzione “ci portano” a lavorare con angoli compresi tra 0 e 90 gradi, il che è molto conveniente.
Complessivamente ci sono 32 formule di riduzione. Torneranno sicuramente utili durante l'Esame di Stato Unificato, gli esami e le prove. Ma vi avvertiamo subito che non è necessario memorizzarli! Devi dedicare un po 'di tempo e comprendere l'algoritmo per la loro applicazione, quindi non sarà difficile per te ottenere l'uguaglianza necessaria al momento giusto.
Per prima cosa scriviamo tutte le formule di riduzione:
Per l'angolo (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) o (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Per l'angolo (`\pi \pm \alpha`) o (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Per l'angolo (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) o (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Per l'angolo (`2\pi \pm \alpha`) o (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Spesso puoi trovare formule di riduzione sotto forma di tabella in cui gli angoli sono scritti in radianti:
Per usarlo dobbiamo selezionare la riga con la funzione che ci serve e la colonna con l'argomento desiderato. Ad esempio, per scoprire tramite una tabella a cosa sarà uguale ` sin(\pi + \alpha)`, è sufficiente trovare la risposta all'intersezione della riga ` sin \beta` e della colonna ` \pi + \alfa`. Otteniamo ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
E la seconda tabella simile, dove gli angoli sono scritti in gradi:
Regola mnemonica per le formule di riduzione o come ricordarle
Come abbiamo già accennato, non è necessario memorizzare tutte le relazioni di cui sopra. Se li hai guardati attentamente, probabilmente hai notato alcuni schemi. Ci permettono di formulare una regola mnemonica (mnemonica - ricorda), con l'aiuto della quale possiamo facilmente ottenere qualsiasi formula di riduzione.
Notiamo subito che per applicare questa regola è necessario essere bravi a individuare (o ricordare) i segni delle funzioni trigonometriche nei diversi quarti del cerchio unitario. 
Il vaccino stesso contiene 3 fasi:
- L'argomento della funzione deve essere rappresentato come `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, e `\alpha` è necessariamente un angolo acuto (da 0 a 90 gradi).
- Per gli argomenti `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` la funzione trigonometrica dell'espressione trasformata si trasforma in una cofunzione, cioè l'opposto (seno a coseno, tangente a cotangente e viceversa). Per gli argomenti `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` la funzione non cambia.
- Viene determinato il segno della funzione originaria. La funzione risultante sul lato destro avrà lo stesso segno.
Per vedere come questa regola può essere applicata nella pratica, trasformiamo alcune espressioni:
1. `cos(\pi + \alfa)`.
La funzione non è invertita. L'angolo `\pi + \alpha` si trova nel terzo quarto, il coseno in questo quarto ha un segno "-", quindi anche la funzione trasformata avrà un segno "-".
Risposta: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `peccato(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.
Secondo la regola mnemonica la funzione verrà invertita. L'angolo `\frac (3\pi)2 - \alpha` è nel terzo quarto, il seno qui ha un segno "-", quindi anche il risultato avrà un segno "-".
Risposta: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi )2-\alfa))`. Rappresentiamo `3\pi` come `2\pi+\pi`. "2\pi" è il periodo della funzione.
Importante: le funzioni `cos \alpha` e `sin \alpha` hanno un periodo di `2\pi` o `360^\circ`, i loro valori non cambieranno se l'argomento viene aumentato o diminuito di questi valori.
In base a ciò, la nostra espressione può essere scritta come segue: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Applicando due volte la regola mnemonica, otteniamo: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Risposta: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.
Regola del cavallo
Il secondo punto della regola mnemonica sopra descritta è anche chiamato regola del cavallo delle formule di riduzione. Mi chiedo: perché i cavalli?
Quindi, abbiamo funzioni con argomenti `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, i punti `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` sono fondamentali, si trovano sugli assi delle coordinate. `\pi` e `2\pi` sono sull'asse x orizzontale, mentre `\frac (\pi)2` e `\frac (3\pi)2` sono sull'ordinata verticale.
Ci poniamo la domanda: “Una funzione si trasforma in una cofunzione?” Per rispondere a questa domanda, devi muovere la testa lungo l'asse su cui si trova il punto chiave.
Cioè, per le discussioni con punti chiave situati sull'asse orizzontale, rispondiamo "no" scuotendo la testa di lato. E per gli angoli con punti chiave situati sull'asse verticale, rispondiamo "sì" annuendo con la testa dall'alto verso il basso, come un cavallo :)
Ti consigliamo di guardare un video tutorial in cui l'autore spiega nel dettaglio come ricordare le formule di riduzione senza memorizzarle.
Esempi pratici di utilizzo delle formule di riduzione
L'uso delle formule di riduzione inizia nei gradi 9 e 10. Molti problemi nel loro utilizzo sono stati sottoposti all'esame di stato unificato. Ecco alcuni dei problemi in cui dovrai applicare queste formule:
- problemi per risolvere un triangolo rettangolo;
- trasformazione di espressioni trigonometriche numeriche e alfabetiche, calcolo dei loro valori;
- compiti stereometrici.
Esempio 1. Calcolare utilizzando le formule di riduzione a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.
Soluzione: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;
c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;
d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.
Esempio 2. Dopo aver espresso coseno attraverso seno utilizzando le formule di riduzione, confrontare i numeri: 1) `sin \frac (9\pi)8` e `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` e `cos \frac (3\pi)10`.
Soluzione: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.
2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`
`peccato \frac (\pi)8 `peccato \frac (\pi)8 Dimostriamo innanzitutto due formule per il seno e il coseno dell'argomento `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` e ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Il resto deriva da loro. Prendiamo una circonferenza unitaria e puntiamo A su di essa con le coordinate (1,0). Lascia che dopo esserti rivolto a Dalla definizione di tangente e cotangente si ottiene ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` e ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, che dimostra la formule di riduzione della tangente e della cotangente dell'angolo `\frac (\pi)2 + \alpha`. Per dimostrare le formule con argomento `\frac (\pi)2 - \alpha`, è sufficiente rappresentarle come `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` e seguire lo stesso percorso di cui sopra. Ad esempio, "cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)". Gli angoli `\pi + \alpha` e `\pi - \alpha` possono essere rappresentati come `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` e `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` rispettivamente. E `\frac (3\pi)2 + \alpha` e `\frac (3\pi)2 - \alpha` come `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` e `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`. Come non memorizzare le formule di riduzione. Quando si risolvono equazioni trigonometriche o si eseguono trasformazioni trigonometriche, il primo passo è ridurre al minimo il numero di argomenti diversi delle funzioni trigonometriche. Per fare ciò, devi portare tutti gli angoli agli angoli del primo quarto, usando formule di riduzione. Voglio presentarti una regola mnemonica che ti permette di evitare di memorizzare. Questa regola è scherzosamente chiamata "Regola del cavallo". In questo VIDEO TUTORIAL ti spiegherò come utilizzare questa regola: ridurre la funzione trigonometrica di un angolo arbitrario all'angolo del primo quarto, liberandoti dalla necessità di ricordare formule di riduzione: COSÌ, " regola del cavallo
"suona così: Se tracciamo l'angolo da Asse verticale, il cavallo dice “sì” (annuiamo con la testa lungo l'asse OY) e la funzione riducibile cambia nome: seno-coseno, coseno-seno, tangente-cotangente, cotangente-tangente.
Se tracciamo l'angolo da asse orizzontale, il cavallo dice “no” (si fa un cenno con la testa lungo l'asse del BUE) e la funzione ridotta non cambia nome.
Il segno a destra dell'uguaglianza coincide con il segno della funzione riducibile a sinistra dell'uguaglianza.
Ecco alcuni esempi di utilizzo delle formule di riduzione: 1
. Trova il significato dell'espressione: 1. Seleziona l'intera parte nella frazione: 2. Poiché il periodo della funzione è pari a , evidenziamo il “regime del minimo”: Ora il nostro argomento è compreso tra zero e ed è il momento di applicare la "regola del cavallo": Per arrivare al punto corrispondente all'angolo di rotazione di , facciamo prima una rotazione di radianti, e poi da questo punto tracciamo un angolo di radianti: 2
. Trova il significato dell'espressione: Diamo un'occhiata a ciascuna funzione separatamente: Ruotiamo prima di un radiante e poi facciamo un angolo di 1 radiante dall'asse verticale in direzione negativa e finiamo nel terzo quarto: Esistono due regole per l'utilizzo delle formule di riduzione. 1. Se l'angolo può essere rappresentato come (π/2 ±a) o (3*π/2 ±a), allora il nome della funzione cambia peccato in cos, cos in peccato, tg in ctg, ctg in tg. Se l'angolo può essere rappresentato nella forma (π ±a) o (2*π ±a), allora Il nome della funzione rimane invariato. Guarda l'immagine qui sotto, mostra schematicamente quando dovresti cambiare il segno e quando no. 2. La regola “come eri, così rimani”. Il segno della funzione ridotta rimane lo stesso. Se la funzione originale aveva un segno più, anche la funzione ridotta avrà un segno più. Se la funzione originale aveva un segno meno, anche la funzione ridotta avrà un segno meno. La figura seguente mostra i segni delle funzioni trigonometriche di base a seconda del trimestre. Calcola il peccato(150˚) Usiamo le formule di riduzione: Sin(150˚) è nel secondo quarto; dalla figura vediamo che il segno di sin in questo quarto è uguale a +. Ciò significa che anche la funzione data avrà un segno più. Abbiamo applicato la seconda regola. Ora 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ è π/2. Cioè abbiamo a che fare con il caso π/2+60, quindi, secondo la prima regola, cambiamo la funzione da sin a cos. Di conseguenza, otteniamo Sin(150˚) = cos(60˚) = ½. Se lo si desidera, tutte le formule di riduzione possono essere riassunte in un'unica tabella. Ma è ancora più facile ricordare queste due regole e usarle. Materiali aggiuntivi Sussidi didattici e simulatori nel negozio online Integral per il grado 10 Cosa studieremo: Richiami sulle funzioni trigonometriche
Ragazzi, vi siete già imbattuti in formule fantasma, ma non le avete ancora chiamate così. Cosa ne pensi: dove? Guarda i nostri disegni. Correttamente, quando furono introdotte le definizioni delle funzioni trigonometriche. Introduciamo la regola base: se sotto il segno della funzione trigonometrica c'è un numero della forma π×n/2 + t, dove n è un intero qualsiasi, allora la nostra funzione trigonometrica può essere ridotta a una forma più semplice, che conterrà solo l'argomento t. Tali formule sono chiamate formule fantasma. Ricordiamo alcune formule: ci sono molte formule fantasma, creiamo una regola in base alla quale determineremo le nostre funzioni trigonometriche durante l'utilizzo formule fantasma: Queste regole si applicano anche quando l'argomento della funzione è espresso in gradi! Possiamo anche creare una tabella di trasformazioni di funzioni trigonometriche: 1. Trasforma cos(π + t). Il nome della funzione rimane, ad es. otteniamo cos(t). Supponiamo inoltre che π/2 2. Trasforma sin(π/2 + t). Il nome della funzione cambia, ad es. otteniamo cos(t). Successivamente, supponiamo che 0 sin(t + π/2) = cos(t) 3. Trasforma tg(π + t). Il nome della funzione rimane, ad es. ci abbronziamo(t). Supponiamo inoltre che 0 4. Trasforma ctg(270 0 + t). Il nome della funzione cambia, cioè otteniamo tg(t). Supponiamo inoltre che 0 Ragazzi, convertitelo voi stessi utilizzando le nostre regole: 1) tg(π + t), Questo articolo è dedicato a uno studio dettagliato delle formule di riduzione trigonometriche. Viene fornito un elenco completo delle formule di riduzione, vengono mostrati esempi del loro utilizzo e viene fornita la prova della correttezza delle formule. L'articolo fornisce anche una regola mnemonica che consente di ricavare formule di riduzione senza memorizzare ciascuna formula. Yandex.RTB R-A-339285-1 Le formule di riduzione consentono di ridurre le funzioni trigonometriche di base di angoli di grandezza arbitraria a funzioni di angoli compresi nell'intervallo da 0 a 90 gradi (da 0 a π 2 radianti). Operare con angoli da 0 a 90 gradi è molto più conveniente che lavorare con valori arbitrariamente grandi, motivo per cui le formule di riduzione sono ampiamente utilizzate nella risoluzione dei problemi di trigonometria. Prima di scrivere le formule stesse, chiariamo alcuni punti importanti per la comprensione. Passiamo ora direttamente alle formule di riduzione. Le formule di riduzione consentono di passare dal lavorare con angoli arbitrari e arbitrariamente grandi al lavorare con angoli compresi tra 0 e 90 gradi. Scriviamo tutte le formule sotto forma di tabella. Formule di riduzione sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α In questo caso le formule sono scritte in radianti. Tuttavia, puoi anche scriverli utilizzando i gradi. È sufficiente convertire i radianti in gradi, sostituendo π con 180 gradi. Mostreremo come utilizzare le formule di riduzione e come queste formule vengono utilizzate per risolvere esempi pratici. L'angolo sotto il segno della funzione trigonometrica può essere rappresentato non in uno, ma in molti modi. Ad esempio, l'argomento di una funzione trigonometrica può essere rappresentato nella forma ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z. Dimostriamolo. Prendiamo l'angolo α = 16 π 3. Questo angolo può essere scritto in questo modo: α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π A seconda della rappresentazione dell'angolo viene utilizzata la formula di riduzione appropriata. Prendiamo lo stesso angolo α = 16 π 3 e calcoliamo la sua tangente Esempio 1: utilizzo delle formule di riduzione α = 16 π 3 , t g α = ? Rappresentiamo l'angolo α = 16 π 3 come α = π + π 3 + 2 π 2 Questa rappresentazione dell'angolo corrisponderà alla formula di riduzione t g (π + α + 2 π z) = t g α t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3 Utilizzando la tabella, indichiamo il valore della tangente Ora usiamo un'altra rappresentazione dell'angolo α = 16 π 3. Esempio 2: utilizzo delle formule di riduzione α = 16 π 3 , t g α = ? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3 Infine, per la terza rappresentazione dell'angolo scriviamo Esempio 3. Utilizzo di formule di riduzione α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3 Ora diamo un esempio dell'utilizzo di formule di riduzione più complesse Esempio 4: utilizzo delle formule di riduzione Immaginiamo sin 197° attraverso il seno e il coseno di un angolo acuto. Per poter applicare le formule di riduzione è necessario rappresentare l'angolo α = 197° in una delle forme ± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. A seconda delle condizioni del problema, l'angolo deve essere acuto. Abbiamo quindi due modi per rappresentarlo: 197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73° Noi abbiamo sin 197° = sin (180° + 17°) sin 197° = sin (270° - 73°) Ora diamo un'occhiata alle formule di riduzione dei seni e scegliamo quelle appropriate sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin (270° - 73° + 360° z) = - cos 73° Esistono molte formule di riduzione e, fortunatamente, non è necessario memorizzarle. Esistono regolarità in base alle quali è possibile derivare formule di riduzione per diversi angoli e funzioni trigonometriche. Questi modelli sono chiamati regole mnemoniche. La mnemotecnica è l'arte della memorizzazione. La regola mnemonica è composta da tre parti o contiene tre fasi. Regola mnemonica 1. L'argomento della funzione originale è rappresentato in una delle seguenti forme: ± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz L'angolo α deve essere compreso tra 0 e 90 gradi. 2. Viene determinato il segno della funzione trigonometrica originale. La funzione scritta a destra della formula avrà lo stesso segno. 3. Per gli angoli ± α + 2 πz e π ± α + 2 πz il nome della funzione originale rimane invariato, mentre per gli angoli π 2 ± α + 2 πz e 3 π 2 ± α + 2 πz, rispettivamente, cambia in “cofunzione”. Seno - coseno. Tangente - cotangente. Per utilizzare la guida mnemonica per le formule di riduzione, è necessario essere in grado di determinare i segni delle funzioni trigonometriche in base ai quarti di circonferenza unitaria. Diamo un'occhiata ad esempi di utilizzo della regola mnemonica. Esempio 1: utilizzo di una regola mnemonica Scriviamo le formule di riduzione per cos π 2 - α + 2 πz e t g π - α + 2 πz. α è il logaritmo del primo trimestre. 1. Poiché per condizione α è il logaritmo del primo quarto, saltiamo il primo punto della regola. 2. Determinare i segni delle funzioni cos π 2 - α + 2 πz e t g π - α + 2 πz. L'angolo π 2 - α + 2 πz è anche l'angolo del primo quarto e l'angolo π - α + 2 πz è nel secondo quarto. Nel primo quarto la funzione coseno è positiva, mentre nel secondo quarto la tangente ha un segno meno. Scriviamo come appariranno le formule richieste in questa fase. cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = - 3. Secondo il terzo punto, per l'angolo π 2 - α + 2 π il nome della funzione cambia in Confucio, e per l'angolo π - α + 2 πz rimane lo stesso. Scriviamo: cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α Ora diamo un’occhiata alle formule sopra riportate e assicuriamoci che la regola mnemonica funzioni. Consideriamo un esempio con un angolo specifico α = 777°. Riduciamo il seno alfa alla funzione trigonometrica di un angolo acuto. Esempio 2: utilizzo di una regola mnemonica 1. Immagina l'angolo α = 777 ° nella forma richiesta 777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2 2. L'angolo originale è l'angolo del primo quarto. Ciò significa che il seno dell'angolo ha segno positivo. Di conseguenza abbiamo: 3. sin 777° = sin (57° + 360° 2) = sin 57° sin 777° = sin (90° - 33° + 360° 2) = cos 33° Consideriamo ora un esempio che mostra quanto sia importante determinare correttamente il segno della funzione trigonometrica e rappresentare correttamente l'angolo quando si utilizza la regola mnemonica. Ripetiamolo ancora. Importante! L'angolo α deve essere acuto! Calcoliamo la tangente dell'angolo 5 π 3. Dalla tabella dei valori delle principali funzioni trigonometriche si può ricavare subito il valore t g 5 π 3 = - 3, ma applicheremo la regola mnemonica. Esempio 3: utilizzo di una regola mnemonica Immaginiamo l'angolo α = 5 π 3 nella forma richiesta e utilizziamo la regola t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3 Se rappresentiamo l'angolo alfa nella forma 5 π 3 = π + 2 π 3, il risultato dell'applicazione della regola mnemonica sarà errato. t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3 Il risultato errato è dovuto al fatto che l'angolo 2 π 3 non è acuto. La dimostrazione delle formule di riduzione si basa sulle proprietà di periodicità e simmetria delle funzioni trigonometriche, nonché sulla proprietà di spostamento degli angoli π 2 e 3 π 2. La dimostrazione della validità di tutte le formule di riduzione può essere effettuata senza tener conto del termine 2 πz, poiché denota una variazione dell'angolo di un numero intero di giri completi e riflette esattamente la proprietà della periodicità. Le prime 16 formule derivano direttamente dalle proprietà delle funzioni trigonometriche di base: seno, coseno, tangente e cotangente. Ecco una dimostrazione delle formule di riduzione per seno e coseno sin π 2 + α = cos α e cos π 2 + α = - sin α Consideriamo una circonferenza unitaria, il cui punto iniziale, dopo una rotazione di un angolo α, va al punto A 1 x, y, e dopo una rotazione di un angolo π 2 + α - al punto A 2. Da entrambi i punti tracciamo le perpendicolari all'asse delle ascisse. Due triangoli rettangoli O A 1 H 1 e O A 2 H 2 hanno la stessa ipotenusa e gli angoli adiacenti. Dalla posizione dei punti sul cerchio e dall'uguaglianza dei triangoli, possiamo concludere che il punto A 2 ha coordinate A 2 - y, x. Usando le definizioni di seno e coseno, scriviamo: sin α = y, cos α = x, sin π 2 + α = x, cos π 2 + α = y sin π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - sin α Tenendo conto delle identità fondamentali della trigonometria e di quanto appena dimostrato, possiamo scrivere t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - tgα Per dimostrare le formule di riduzione con argomento π 2 - α, è necessario presentarle nella forma π 2 + (- α). Per esempio: cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - sin (- α) = sin α La dimostrazione utilizza le proprietà delle funzioni trigonometriche con argomenti di segno opposto. Tutte le altre formule di riduzione possono essere dimostrate sulla base di quelle scritte sopra. Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio
dell'angolo `\alpha` andrà al punto `A_1(x, y)` e, dopo aver girato dell'angolo `\frac (\pi)2 + \alpha`, al punto `A_2(-y, x)`. Trascinando le perpendicolari da questi punti alla linea OX, vediamo che i triangoli `OA_1H_1` e `OA_2H_2` sono uguali, poiché le loro ipotenuse e gli angoli adiacenti sono uguali. Quindi, in base alle definizioni di seno e coseno, possiamo scrivere `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Dove possiamo scrivere che ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` e ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, che dimostra la riduzione formule per gli angoli seno e coseno `\frac (\pi)2 + \alpha`.
Abbiamo tracciato l'angolo dall'asse orizzontale (il cavallo dice “no”) - non cambia nome, l'angolo si trova nel terzo quarto, in cui il coseno è negativo, quindi la funzione ridotta è negativa. Noi abbiamo:
Di conseguenza la funzione riducibile cambia nome, la funzione riducibile è maggiore di zero (la tangente del terzo quarto d'angolo è maggiore di zero): 
.
Prima facciamo una svolta di un radiante, e poi da questo punto ci muoviamo di 1 radiante in direzione negativa. Mettiamo da parte un angolo di 1 radiante dall'asse orizzontale (il seno non cambia nome) e ci troviamo nel secondo quarto, in cui il seno è maggiore di zero:
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1C: Scuola. Compiti di costruzione interattivi per i gradi 7-10
1C: Scuola. Risoluzione di problemi di geometria. Compiti interattivi sulla costruzione nello spazio per le classi 10–11
1. Ripetiamo un po'.
2. Regole per le formule di riduzione.
3. Tabella di conversione delle formule di riduzione.
4. Esempi.Regola per le formule di riduzione
3π/2 + t e 3π/2 - t, la funzione cambierà in una correlata, cioè il seno diventerà coseno, la cotangente diventerà tangente.
Esempi di utilizzo delle formule di riduzione
Problemi con formule di riduzione a soluzione indipendente
2) tg(2π - t),
3) lettino(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) cotg(3π + t),
6) peccato(2π + t),
7) peccato(π/2 + 5t),
8) peccato(π/2 - t),
9) peccato(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).Formule di riduzione. Elenco
Esempi di utilizzo delle formule di riduzione
Regola mnemonica
