Sigue siendo un trapezoide isósceles. Recuerda y aplica las propiedades de un trapezoide. Propiedades del ángulo trapezoidal

1. El segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapezoide es igual a la mitad de la diferencia de las bases
2. Los triángulos formados por las bases del trapezoide y los segmentos de las diagonales hasta el punto de su intersección son semejantes
3. Triángulos formados por segmentos de las diagonales de un trapezoide, cuyos lados se encuentran en los lados del trapezoide: área igual (tienen la misma área)
4. Si extendemos los lados del trapezoide hacia la base más pequeña, entonces se intersecarán en un punto con la línea recta que conecta los puntos medios de las bases.
5. El segmento que conecta las bases del trapezoide y que pasa por el punto de intersección de las diagonales del trapezoide, se divide por este punto en una proporción igual a la razón de las longitudes de las bases del trapezoide.
6. Un segmento paralelo a las bases del trapezoide y trazado por el punto de intersección de las diagonales es bisecado por este punto, y su longitud es 2ab / (a ​​+ b), donde a y b son las bases del trapecio

Propiedades de un segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio

Conecte los puntos medios de las diagonales del trapezoide ABCD, como resultado de lo cual tendremos un segmento LM.
Un segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio se encuentra en la línea media del trapecio.

este segmento paralela a las bases del trapecio.

La longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapezoide es igual a la semidiferencia de sus bases.

LM = (AD - BC)/2
o
LM = (a-b)/2

Propiedades de los triángulos formados por las diagonales de un trapecio

Los triángulos que están formados por las bases del trapezoide y el punto de intersección de las diagonales del trapecio - son similares.
Los triángulos BOC y AOD son semejantes. Como los ángulos BOC y AOD son verticales, son iguales.
Los ángulos OCB y OAD son internos en cruz y se encuentran en las paralelas AD y BC (las bases del trapecio son paralelas entre sí) y la secante AC, por lo tanto, son iguales.
Los ángulos OBC y ODA son iguales por la misma razón (entrecruzamiento interno).

Dado que los tres ángulos de un triángulo son iguales a los ángulos correspondientes de otro triángulo, estos triángulos son semejantes.

¿Qué se sigue de esto?

Para resolver problemas de geometría, la semejanza de triángulos se utiliza de la siguiente manera. Si conocemos las longitudes de los dos elementos correspondientes de triángulos semejantes, entonces encontramos el coeficiente de similitud (dividimos uno por el otro). Desde donde las longitudes de todos los demás elementos están relacionadas entre sí por exactamente el mismo valor.

Propiedades de los triángulos que se encuentran en el lado lateral y las diagonales de un trapezoide.

Considere dos triángulos que se encuentran en los lados del trapezoide AB y CD. Estos son los triángulos AOB y COD. A pesar de que los tamaños de los lados individuales de estos triángulos pueden ser completamente diferentes, pero las áreas de los triángulos formados por los lados y el punto de intersección de las diagonales del trapezoide son, es decir, los triángulos son iguales.

Si los lados del trapezoide se extienden hacia la base menor, entonces el punto de intersección de los lados será coincidir con una recta que pasa por los puntos medios de las bases.

Por lo tanto, cualquier trapezoide se puede extender a un triángulo. Donde:

• Los triángulos formados por las bases de un trapezoide con un vértice común en el punto de intersección de los lados prolongados son semejantes
• La recta que une los puntos medios de las bases del trapezoide es, al mismo tiempo, la mediana del triángulo construido

Propiedades de un segmento que une las bases de un trapecio

Si dibuja un segmento cuyos extremos se encuentran en las bases del trapezoide, que se encuentra en el punto de intersección de las diagonales del trapezoide (KN), entonces la razón de sus segmentos constituyentes desde el lado de la base hasta el punto de intersección de la diagonales (KO / ON) será igual a la razón de las bases del trapezoide(AC/AD).

KO/ON=BC/AD

Esta propiedad se deriva de la similitud de los triángulos correspondientes (ver arriba).

Propiedades de un segmento paralelo a las bases de un trapecio

Si dibuja un segmento paralelo a las bases del trapecio y que pasa por el punto de intersección de las diagonales del trapezoide, tendrá las siguientes propiedades:

• Distancia preestablecida (KM) biseca el punto de intersección de las diagonales del trapezoide
• Largo del corte, que pasa por el punto de intersección de las diagonales del trapezoide y paralelas a las bases, es igual a KM = 2ab/(a + b)

Fórmulas para encontrar las diagonales de un trapecio

un, b- bases de un trapezoide

discos compactos- lados del trapezoide

d1 d2- diagonales de un trapezoide

α β - ángulos con una base más grande del trapezoide

Fórmulas para encontrar las diagonales de un trapezoide a través de las bases, los lados y los ángulos en la base

El primer grupo de fórmulas (1-3) refleja una de las principales propiedades de las diagonales trapezoidales:

1. La suma de los cuadrados de las diagonales de un trapezoide es igual a la suma de los cuadrados de los lados más el doble del producto de sus bases. Esta propiedad de las diagonales de un trapezoide se puede probar como un teorema separado

2 . Esta fórmula se obtiene transformando la fórmula anterior. El cuadrado de la segunda diagonal se lanza sobre el signo igual, después de lo cual se extrae la raíz cuadrada de los lados izquierdo y derecho de la expresión.

3 . Esta fórmula para encontrar la longitud de la diagonal de un trapezoide es similar a la anterior, con la diferencia de que se deja otra diagonal en el lado izquierdo de la expresión

El siguiente grupo de fórmulas (4-5) tiene un significado similar y expresa una relación similar.

El grupo de fórmulas (6-7) te permite encontrar la diagonal de un trapezoide si conoces la base mayor del trapezoide, un lado y el ángulo de la base.

Fórmulas para encontrar las diagonales de un trapezoide en términos de altura

Una tarea.
Las diagonales del trapezoide ABCD (AD | | BC) se cortan en el punto O. Encuentra la longitud de la base BC del trapezoide si la base AD = 24 cm, la longitud AO = 9 cm, la longitud OS = 6 cm.

Solución.
La solución de esta tarea es absolutamente idéntica a las tareas anteriores en términos de ideología.

Los triángulos AOD y BOC son similares en tres ángulos: AOD y BOC son verticales, y los ángulos restantes son iguales por pares, ya que están formados por la intersección de una línea y dos líneas paralelas.

Como los triángulos son semejantes, todas sus dimensiones geométricas están relacionadas entre sí, como las dimensiones geométricas de los segmentos AO y OC que conocemos según la condición del problema. Eso es

AO/OC=AD/AC
9 / 6 = 24 / a.C.
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Responder: 16cm

Una tarea .
En el trapezoide ABCD se sabe que AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Encuentra el área del trapezoide.

Solución .
Para encontrar la altura de un trapezoide desde los vértices de la base más pequeña B y C, bajamos dos alturas sobre la base más grande. Como el trapezoide es desigual, denotamos la longitud AM = a, la longitud KD = b ( no debe confundirse con los símbolos en la fórmula encontrar el área de un trapezoide). Como las bases del trapezoide son paralelas y hemos omitido dos alturas perpendiculares a la base mayor, entonces MBCK es un rectángulo.

Medio
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Los triángulos DBM y ACK son rectángulos, por lo que sus ángulos rectos están formados por las alturas del trapezoide. Denotemos la altura del trapezoide como h. Entonces por el teorema de Pitágoras

H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
y
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2

Considere que a \u003d 16 - b, luego en la primera ecuación
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2

Sustituimos el valor del cuadrado de la altura en la segunda ecuación, obtenida por el Teorema de Pitágoras. Obtenemos:
425 - (8 + segundo) 2 + (24 - segundo) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - segundo 2 + 576 - 48b + segundo 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Por lo tanto, KD = 12
Dónde
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5

Halla el área de un trapezoide usando su altura y la mitad de la suma de las bases
, donde a b - las bases del trapezoide, h - la altura del trapezoide
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 cm 2

Responder: el área de un trapezoide es 80 cm2.

Un trapezoide es un caso especial de un cuadrilátero en el que un par de lados son paralelos. El término "trapezoide" proviene de la palabra griega τράπεζα, que significa "mesa", "mesa". En este artículo consideraremos los tipos de trapecio y sus propiedades. Además, descubriremos cómo calcular los elementos individuales de este ejemplo, la diagonal de un trapezoide isósceles, la línea media, el área, etc. El material se presenta al estilo de la geometría popular elemental, es decir, en un formato de fácil acceso. forma.

Información general

Primero, comprendamos qué es un cuadrilátero. Esta figura es un caso especial de un polígono que contiene cuatro lados y cuatro vértices. Dos vértices de un cuadrilátero que no son adyacentes se llaman opuestos. Lo mismo puede decirse de dos lados no adyacentes. Los principales tipos de cuadriláteros son paralelogramos, rectángulos, rombos, cuadrados, trapecios y deltoides.

Entonces, volvamos al trapecio. Como ya hemos dicho, esta figura tiene dos lados paralelos. Se llaman bases. Los otros dos (no paralelos) son los lados. En los materiales de los exámenes y diversas pruebas, a menudo se pueden encontrar tareas relacionadas con los trapecios, cuya solución a menudo requiere que el estudiante tenga conocimientos que no están previstos en el programa. El curso de geometría escolar presenta a los estudiantes las propiedades de los ángulos y las diagonales, así como la línea media de un trapezoide isósceles. Pero al fin y al cabo, además de esto, la mencionada figura geométrica tiene otras características. Pero más sobre ellos más adelante...

tipos de trapezoide

Hay muchos tipos de esta figura. Sin embargo, la mayoría de las veces se acostumbra considerar dos de ellos: isósceles y rectangular.

1. Un trapezoide rectangular es una figura en la que uno de los lados es perpendicular a las bases. Tiene dos ángulos que siempre son noventa grados.

2. Un trapezoide isósceles es una figura geométrica cuyos lados son iguales entre sí. Esto significa que los ángulos en las bases también son iguales por pares.

Los principios fundamentales de la metodología para estudiar las propiedades de un trapezoide.

El principio fundamental es el uso del llamado enfoque de tareas. De hecho, no hay necesidad de introducir nuevas propiedades de esta figura en el curso teórico de la geometría. Se pueden descubrir y formular en el proceso de resolución de varios problemas (mejor que los sistémicos). Al mismo tiempo, es muy importante que el docente sepa qué tareas debe plantear a los alumnos en un momento u otro del proceso educativo. Además, cada propiedad del trapezoide se puede representar como una tarea clave en el sistema de tareas.

El segundo principio es la llamada organización espiral del estudio de las propiedades "notable" del trapezoide. Esto implica un retorno en el proceso de aprendizaje a las características individuales de una figura geométrica dada. Por lo tanto, es más fácil para los estudiantes memorizarlos. Por ejemplo, la propiedad de los cuatro puntos. Se puede probar tanto en el estudio de la similitud como posteriormente con la ayuda de vectores. Y el área igual de los triángulos adyacentes a los lados de la figura se puede demostrar aplicando no solo las propiedades de los triángulos con alturas iguales dibujadas a los lados que se encuentran en la misma línea recta, sino también usando la fórmula S = 1/ 2(ab*sinα). Además, puedes trabajar sobre un trapezoide inscrito o un triángulo rectángulo sobre un trapezoide circunscrito, etc.

El uso de características "fuera de programa" de una figura geométrica en el contenido de un curso escolar es una tecnología de tareas para enseñarlas. La apelación constante a las propiedades estudiadas al pasar por otros temas permite a los estudiantes obtener un conocimiento más profundo del trapezoide y asegura el éxito en la resolución de las tareas. Entonces, comencemos a estudiar esta maravillosa figura.

Elementos y propiedades de un trapezoide isósceles

Como ya hemos señalado, los lados de esta figura geométrica son iguales. También se conoce como trapezoide recto. ¿Por qué es tan notable y por qué recibió ese nombre? Las características de esta figura incluyen el hecho de que no solo los lados y las esquinas de las bases son iguales, sino también las diagonales. Además, la suma de los ángulos de un trapezoide isósceles es 360 grados. ¡Pero eso no es todo! De todos los trapecios conocidos, solo alrededor de un isósceles se puede describir un círculo. Esto se debe a que la suma de los ángulos opuestos de esta figura es de 180 grados, y solo bajo esta condición se puede describir un círculo alrededor del cuadrilátero. La siguiente propiedad de la figura geométrica considerada es que la distancia desde el vértice de la base hasta la proyección del vértice opuesto sobre la recta que contiene esta base será igual a la línea media.

Ahora averigüemos cómo encontrar los ángulos de un trapezoide isósceles. Considere una solución a este problema, siempre que se conozcan las dimensiones de los lados de la figura.

Solución

Por lo general, un cuadrilátero se suele denotar con las letras A, B, C, D, donde BS y AD son las bases. En un trapezoide isósceles, los lados son iguales. Supondremos que su tamaño es X, y los tamaños de las bases son Y y Z (menor y mayor, respectivamente). Para realizar el cálculo es necesario trazar una altura H desde el ángulo B. El resultado es un triángulo rectángulo ABN, donde AB es la hipotenusa, y BN y AN son los catetos. Calculamos el tamaño de la pierna AN: restamos el más pequeño de la base más grande y dividimos el resultado por 2. Lo escribimos en forma de fórmula: (Z-Y) / 2 \u003d F. Ahora, para calcular el ángulo agudo del triángulo, usamos la función cos. Obtenemos el siguiente registro: cos(β) = Х/F. Ahora calculamos el ángulo: β=arcos (Х/F). Además, conociendo un ángulo, podemos determinar el segundo, para esto realizamos una operación aritmética elemental: 180 - β. Todos los ángulos están definidos.

También hay una segunda solución a este problema. Al principio, bajamos la altura H desde la esquina B. Calculamos el valor de la pierna BN. Sabemos que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Obtenemos: BN \u003d √ (X2-F2). A continuación, usamos la función trigonométrica tg. Como resultado tenemos: β = arctg (BN/F). Esquina afilada encontrada. A continuación, determinamos de la misma manera que el primer método.

Propiedad de las diagonales de un trapecio isósceles

Primero escribamos cuatro reglas. Si las diagonales de un trapezoide isósceles son perpendiculares, entonces:

La altura de la figura será igual a la suma de las bases dividida por dos;

Su altura y línea mediana son iguales;

El centro del círculo es el punto donde el ;

Si el lado lateral se divide por el punto de contacto en segmentos H y M, entonces es igual a la raíz cuadrada del producto de estos segmentos;

El cuadrilátero, que estaba formado por los puntos tangentes, el vértice del trapezoide y el centro de la circunferencia inscrita, es un cuadrado cuyo lado es igual al radio;

El área de una figura es igual al producto de las bases por el producto de la mitad de la suma de las bases por su altura.

trapecios similares

Este tema es muy conveniente para estudiar las propiedades de este, por ejemplo, las diagonales dividen al trapezoide en cuatro triángulos, y los adyacentes a las bases son semejantes, y los adyacentes a los lados son iguales. Este enunciado puede llamarse una propiedad de los triángulos en que se divide el trapezoide por sus diagonales. La primera parte de esta afirmación se prueba mediante el criterio de similitud en dos ángulos. Para probar la segunda parte, es mejor usar el método dado a continuación.

Prueba del teorema

Aceptamos que la figura ABSD (AD y BS - las bases del trapezoide) se divide por las diagonales VD y AC. Su punto de intersección es O. Obtenemos cuatro triángulos: AOS, en la base inferior, BOS, en la base superior, ABO y SOD en los lados. Los triángulos SOD y BOS tienen una altura común si los segmentos BO y OD son sus bases. Obtenemos que la diferencia entre sus áreas (P) es igual a la diferencia entre estos segmentos: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Por lo tanto, PSOD = PBOS / K. De manera similar, los triángulos BOS y AOB tienen una altura común. Tomamos los segmentos CO y OA como sus bases. Obtenemos PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K y PAOB \u003d PBOS / K. De aquí se sigue que PSOD = PAOB.

Para consolidar el material, se aconseja a los estudiantes que encuentren una relación entre las áreas de los triángulos obtenidos, en los que se divide el trapezoide por sus diagonales, resolviendo el siguiente problema. Se sabe que las áreas de los triángulos BOS y AOD son iguales, es necesario encontrar el área del trapezoide. Dado que PSOD \u003d PAOB, significa que PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. De la semejanza de los triángulos BOS y AOD se sigue que BO/OD = √ (PBOS/PAOD). Por lo tanto, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Obtenemos PSOD = √ (PBOS * PAOD). Entonces PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

propiedades de similitud

Continuando con el desarrollo de este tema, podemos probar otras características interesantes de los trapecios. Entonces, usando la semejanza, puedes probar la propiedad de un segmento que pasa por un punto formado por la intersección de las diagonales de esta figura geométrica, paralelas a las bases. Para ello, resolvemos el siguiente problema: es necesario encontrar la longitud del segmento RK, que pasa por el punto O. De la semejanza de los triángulos AOD y BOS, se deduce que AO/OS=AD/BS. De la similitud de los triángulos AOP y ASB, se deduce que AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). De aquí obtenemos que RO \u003d BS * AD / (BS + AD). Del mismo modo, de la similitud de los triángulos DOK y DBS, se deduce que OK \u003d BS * AD / (BS + AD). De aquí obtenemos que RO=OK y RK=2*BS*AD/(BS+AD). El segmento que pasa por el punto de intersección de las diagonales, paralelo a las bases y que une los dos lados, es bisecado por el punto de intersección. Su longitud es la media armónica de las bases de la figura.

Considere la siguiente propiedad de un trapezoide, que se llama la propiedad de los cuatro puntos. Los puntos de intersección de las diagonales (O), las intersecciones de la continuación de los lados (E), así como los puntos medios de las bases (T y W) siempre se encuentran en la misma línea. Esto se demuestra fácilmente por el método de similitud. Los triángulos resultantes BES y AED son similares, y en cada uno de ellos las medianas ET y EZH dividen el ángulo en el vértice E en partes iguales. Por lo tanto, los puntos E, T y W se encuentran en la misma línea recta. De la misma manera, los puntos T, O y G están ubicados en la misma línea recta Todo esto se deriva de la similitud de los triángulos BOS y AOD. De esto concluimos que los cuatro puntos - E, T, O y W - estarán en una línea recta.

Usando trapecios similares, se les puede pedir a los estudiantes que encuentren la longitud del segmento (LF) que divide la figura en dos similares. Este segmento debe ser paralelo a las bases. Dado que los trapecios resultantes ALFD y LBSF son similares, entonces BS/LF=LF/BP. De ello se deduce que LF=√(BS*BP). Obtenemos que el segmento que divide al trapezoide en dos iguales tiene una longitud igual a la media geométrica de las longitudes de las bases de la figura.

Considere la siguiente propiedad de similitud. Se basa en un segmento que divide el trapezoide en dos figuras del mismo tamaño. Aceptamos que el trapezoide ABSD está dividido por el segmento EN en dos similares. Desde el vértice B, se omite la altura, que se divide por el segmento EH en dos partes: B1 y B2. Obtenemos: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 y PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. A continuación, componemos un sistema cuya primera ecuación es (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 y la segunda (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Se sigue que B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) y BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1). Obtenemos que la longitud del segmento que divide el trapezoide en dos iguales es igual al cuadrado medio de las longitudes de las bases: √ ((BS2 + AD2) / 2).

inferencias de similitud

Así, hemos probado que:

1. El segmento que conecta los puntos medios de los lados del trapezoide es paralelo a AD y BS y es igual a la media aritmética de BS y AD (la longitud de la base del trapezoide).

2. La recta que pasa por el punto O de la intersección de las diagonales paralelas a AD y BS será igual a la media armónica de los números AD y BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. El segmento que divide al trapezoide en otros semejantes tiene la longitud de la media geométrica de las bases BS y AD.

4. Un elemento que divide una figura en dos iguales tiene la longitud de los números cuadrados medios AD y BS.

Para consolidar el material y comprender la conexión entre los segmentos considerados, el estudiante debe construirlos para un trapezoide específico. Puede mostrar fácilmente la línea media y el segmento que pasa por el punto O, la intersección de las diagonales de la figura, paralelo a las bases. Pero, ¿dónde estarán el tercero y el cuarto? Esta respuesta conducirá al estudiante al descubrimiento de la relación deseada entre los promedios.

Un segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio

Considere la siguiente propiedad de esta figura. Aceptamos que el segmento MH es paralelo a las bases y biseca las diagonales. Llamemos a los puntos de intersección W y W. Este segmento será igual a la media diferencia de las bases. Analicemos esto con más detalle. MSH: la línea media del triángulo ABS, es igual a BS / 2. MS: la línea media del triángulo ABD, es igual a AD / 2. Entonces obtenemos que ShShch = MShch-MSh, por lo tanto, Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.

Centro de gravedad

Veamos cómo se determina este elemento para una figura geométrica dada. Para hacer esto, es necesario extender las bases en direcciones opuestas. ¿Qué significa? Es necesario agregar la base inferior a la base superior, a cualquiera de los lados, por ejemplo, a la derecha. Y la parte inferior se extiende por la longitud de la parte superior a la izquierda. A continuación, los conectamos con una diagonal. El punto de intersección de este segmento con la línea media de la figura es el centro de gravedad del trapezoide.

Trapecios inscritos y circunscritos

Enumeremos las características de tales figuras:

1. Un trapecio solo se puede inscribir en un círculo si es isósceles.

2. Un trapecio se puede describir alrededor de un círculo, siempre que la suma de las longitudes de sus bases sea igual a la suma de las longitudes de los lados.

Consecuencias del círculo inscrito:

1. La altura del trapecio descrito siempre es igual a dos radios.

2. El lado lateral del trapezoide descrito se observa desde el centro del círculo en ángulo recto.

El primer corolario es obvio, y para probar el segundo se requiere establecer que el ángulo SOD es recto, lo que, de hecho, tampoco será difícil. Pero el conocimiento de esta propiedad nos permitirá usar un triángulo rectángulo para resolver problemas.

Ahora especificamos estas consecuencias para un trapezoide isósceles, que está inscrito en un círculo. Obtenemos que la altura es la media geométrica de las bases de la figura: H=2R=√(BS*AD). Practicando la técnica principal para resolver problemas de trapecios (el principio de dibujar dos alturas), el estudiante debe resolver la siguiente tarea. Aceptamos que BT es la altura de la figura isósceles ABSD. Es necesario encontrar los segmentos AT y TD. Usando la fórmula descrita anteriormente, esto no será difícil de hacer.

Ahora averigüemos cómo determinar el radio de un círculo usando el área del trapezoide circunscrito. Bajamos la altura desde la parte superior B hasta la base AD. Dado que el círculo está inscrito en un trapezoide, entonces BS + AD \u003d 2AB o AB \u003d (BS + AD) / 2. Del triángulo ABN encontramos sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. Obtenemos PABSD \u003d (BS + INFIERNO) * R, se deduce que R \u003d PABSD / (BS + INFIERNO).

Todas las fórmulas de la línea media de un trapecio

Ahora es el momento de pasar al último elemento de esta figura geométrica. Averigüemos a qué equivale la línea media del trapezoide (M):

1. A través de las bases: M \u003d (A + B) / 2.

2. Por altura, base y ángulos:

M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. A través de la altura, las diagonales y el ángulo entre ellas. Por ejemplo, D1 y D2 son las diagonales de un trapezoide; α, β - ángulos entre ellos:

M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.

4. Por el área y la altura: M = P/N.

En este artículo, intentaremos reflejar las propiedades del trapezoide de la manera más completa posible. En particular, hablaremos de los signos y propiedades generales de un trapezoide, así como de las propiedades de un trapezoide inscrito y de una circunferencia inscrita en un trapezoide. También tocaremos las propiedades de un trapezoide isósceles y rectangular.

Un ejemplo de cómo resolver un problema usando las propiedades consideradas lo ayudará a ordenar las cosas en su cabeza y recordar mejor el material.

Trapecio y todo-todo-todo

Para empezar, recordemos brevemente qué es un trapezoide y qué otros conceptos se le asocian.

Entonces, un trapezoide es una figura cuadrilátera, dos de cuyos lados son paralelos entre sí (estas son las bases). Y dos no son paralelos: estos son los lados.

En un trapezoide, se puede omitir la altura - perpendicular a las bases. Se dibujan la línea media y las diagonales. Y también desde cualquier ángulo del trapezoide es posible dibujar una bisectriz.

Sobre las diversas propiedades asociadas a todos estos elementos y sus combinaciones, hablaremos ahora.

Propiedades de las diagonales de un trapecio

Para que quede más claro, mientras lees, dibuja el trapezoide ACME en una hoja de papel y dibuja diagonales en él.

1. Si encuentras los puntos medios de cada una de las diagonales (llamemos a estos puntos X y T) y los conectas, obtienes un segmento. Una de las propiedades de las diagonales de un trapezoide es que el segmento XT se encuentra en la línea media. Y su longitud se puede obtener dividiendo la diferencia de las bases por dos: XT \u003d (a - b) / 2.
2. Ante nosotros está el mismo trapezoide ACME. Las diagonales se cortan en el punto O. Consideremos los triángulos AOE e IOC formados por los segmentos de las diagonales junto con las bases del trapezoide. Estos triángulos son similares. El coeficiente de semejanza de k triángulos se expresa en términos de la razón de las bases del trapezoide: k = AE/KM.
   La razón de las áreas de los triángulos AOE e IOC está descrita por el coeficiente k 2 .
3. Todo el mismo trapezoide, las mismas diagonales que se cruzan en el punto O. Solo que esta vez consideraremos triángulos que los segmentos diagonales formaron junto con los lados del trapezoide. Las áreas de los triángulos AKO y EMO son iguales, sus áreas son las mismas.
4. Otra propiedad de un trapezoide incluye la construcción de diagonales. Entonces, si continuamos los lados de AK y ME en la dirección de la base más pequeña, tarde o temprano se cruzarán en algún punto. Luego, dibuja una línea recta a través de los puntos medios de las bases del trapezoide. Intersecta las bases en los puntos X y T.
   Si ahora prolongamos la línea XT, entonces unirá el punto de intersección de las diagonales del trapezoide O, el punto en el que se cortan las extensiones de los lados y los puntos medios de las bases de X y T.
5. A través del punto de intersección de las diagonales, dibujamos un segmento que conectará las bases del trapezoide (T se encuentra en la base más pequeña de KM, X, en la AE más grande). El punto de intersección de las diagonales divide este segmento en la siguiente proporción: TO/OH = KM/AE.
6. Y ahora a través del punto de intersección de las diagonales dibujamos un segmento paralelo a las bases del trapezoide (a y b). El punto de intersección lo dividirá en dos partes iguales. Puedes encontrar la longitud de un segmento usando la fórmula 2ab/(a + b).

Propiedades de la línea media de un trapecio

Dibuja la línea media en el trapecio paralela a sus bases.

1. La longitud de la línea media de un trapecio se puede calcular sumando las longitudes de las bases y dividiéndolas por la mitad: m = (a + b)/2.
2. Si dibuja cualquier segmento (altura, por ejemplo) a través de ambas bases del trapezoide, la línea media lo dividirá en dos partes iguales.

Propiedad de la bisectriz de un trapecio

Elige cualquier ángulo del trapezoide y dibuja una bisectriz. Tomemos, por ejemplo, el ángulo KAE de nuestro trapezoide ACME. Habiendo completado la construcción por su cuenta, puede ver fácilmente que la bisectriz corta desde la base (o su continuación en una línea recta fuera de la figura) un segmento de la misma longitud que el lado.

Propiedades del ángulo trapezoidal

1. Cualquiera de los dos pares de ángulos adyacentes al lado que elijas, la suma de los ángulos en un par siempre es 180 0: α + β = 180 0 y γ + δ = 180 0 .
2. Conecta los puntos medios de las bases del trapezoide con un segmento TX. Ahora veamos los ángulos en las bases del trapezoide. Si la suma de los ángulos de cualquiera de ellos es 90 0, la longitud del segmento TX es fácil de calcular a partir de la diferencia de las longitudes de las bases, divididas por la mitad: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Si se trazan líneas paralelas a través de los lados del ángulo de un trapezoide, dividirán los lados del ángulo en segmentos proporcionales.

Propiedades de un trapezoide isósceles (isosceles)

1. En un trapezoide isósceles, los ángulos en cualquiera de las bases son iguales.
2. Ahora construye un trapezoide nuevamente para que sea más fácil imaginar de qué se trata. Mire cuidadosamente la base de AE: el vértice de la base opuesta de M se proyecta en un punto determinado en la línea que contiene AE. La distancia del vértice A al punto de proyección del vértice M y la línea media de un trapezoide isósceles son iguales.
3. Algunas palabras sobre la propiedad de las diagonales de un trapezoide isósceles: sus longitudes son iguales. Y también los ángulos de inclinación de estas diagonales a la base del trapezoide son los mismos.
4. Solo cerca de un trapezoide isósceles se puede describir un círculo, ya que la suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero 180 0 es un requisito previo para esto.
5. La propiedad de un trapezoide isósceles se deriva del párrafo anterior: si un círculo se puede describir cerca de un trapezoide, es isósceles.
6. De las características de un trapezoide isósceles, se sigue la propiedad de la altura de un trapezoide: si sus diagonales se cortan en ángulo recto, entonces la longitud de la altura es igual a la mitad de la suma de las bases: h = (a + b)/2.
7. Dibuje la línea TX nuevamente a través de los puntos medios de las bases del trapezoide; en un trapezoide isósceles, es perpendicular a las bases. Y al mismo tiempo, TX es el eje de simetría de un trapezoide isósceles.
8. Esta vez baje a la base más grande (llamémosla a) la altura desde el vértice opuesto del trapezoide. Recibirás dos cortes. La longitud de uno se puede encontrar si las longitudes de las bases se suman y se dividen por la mitad: (a+b)/2. Obtenemos el segundo cuando restamos el más pequeño de la base más grande y dividimos la diferencia resultante por dos: (a-b)/2.

Propiedades de un trapezoide inscrito en una circunferencia

Como ya estamos hablando de un trapezoide inscrito en un círculo, detengámonos en este tema con más detalle. En particular, ¿dónde está el centro del círculo en relación con el trapezoide? Aquí también, se recomienda no ser demasiado perezoso para tomar un lápiz y dibujar lo que se discutirá a continuación. Así entenderás más rápido y recordarás mejor.

1. La ubicación del centro del círculo está determinada por el ángulo de inclinación de la diagonal del trapezoide hacia su lado. Por ejemplo, una diagonal puede emerger de la parte superior de un trapezoide en ángulo recto hacia el lado. En este caso, la base más grande corta el centro del círculo circunscrito exactamente en el medio (R = ½AE).
2. La diagonal y el lado también pueden encontrarse en un ángulo agudo, entonces el centro del círculo está dentro del trapezoide.
3. El centro de la circunferencia circunscrita puede estar fuera del trapezoide, más allá de su base mayor, si entre la diagonal del trapezoide y el lado lateral hay un ángulo obtuso.
4. El ángulo formado por la diagonal y la base mayor del trapezoide ACME (ángulo inscrito) es la mitad del ángulo central que le corresponde: MAE = ½ MY.
5. Brevemente sobre dos formas de encontrar el radio del círculo circunscrito. Método uno: mire cuidadosamente su dibujo, ¿qué ve? Notarás fácilmente que la diagonal divide el trapezoide en dos triángulos. El radio se puede encontrar a través de la razón del lado del triángulo al seno del ángulo opuesto, multiplicado por dos. Por ejemplo, R \u003d AE / 2 * sin AME. De manera similar, la fórmula se puede escribir para cualquiera de los lados de ambos triángulos.
6. Método dos: encontramos el radio de la circunferencia circunscrita a través del área del triángulo formado por la diagonal, el lado y la base del trapezoide: R \u003d AM * YO * AE / 4 * IGUAL.

Propiedades de un trapezoide circunscrito a una circunferencia

Puede inscribir un círculo en un trapezoide si se cumple una condición. Más sobre esto a continuación. Y juntos, esta combinación de figuras tiene una serie de propiedades interesantes.

1. Si un círculo está inscrito en un trapezoide, la longitud de su línea media se puede encontrar fácilmente sumando las longitudes de los lados y dividiendo la suma resultante por la mitad: m = (c + d)/2.
2. Para un trapezoide ACME, circunscrito a un círculo, la suma de las longitudes de las bases es igual a la suma de las longitudes de los lados: AK + ME = KM + AE.
3. De esta propiedad de las bases de un trapezoide se sigue el enunciado inverso: en ese trapezoide se puede inscribir una circunferencia cuya suma de bases sea igual a la suma de sus lados.
4. El punto tangente de una circunferencia de radio r inscrita en un trapezoide divide el lado lateral en dos segmentos, llamémoslos a y b. El radio de un círculo se puede calcular con la fórmula: r = √ab.
5. Y una propiedad más. Para no confundirse, dibuje este ejemplo usted mismo. Tenemos el viejo trapezoide ACME, circunscrito alrededor de un círculo. En él se dibujan diagonales que se cortan en el punto O. Los triángulos AOK y EOM formados por los segmentos de las diagonales y los lados son rectangulares.
   Las alturas de estos triángulos, reducidas a las hipotenusas (es decir, los lados del trapezoide), coinciden con los radios de la circunferencia inscrita. Y la altura del trapezoide es igual al diámetro de la circunferencia inscrita.

Propiedades de un trapecio rectangular

Un trapezoide se llama rectangular, una de cuyas esquinas es recta. Y sus propiedades derivan de esta circunstancia.

1. Un trapezoide rectangular tiene uno de los lados perpendicular a las bases.
2. La altura y el lado del trapecio adyacente al ángulo recto son iguales. Esto le permite calcular el área de un trapezoide rectangular (fórmula general S = (a + b) * h/2) no solo por la altura, sino también por el lado adyacente al ángulo recto.
3. Para un trapezoide rectangular, las propiedades generales de las diagonales trapezoidales ya descritas anteriormente son relevantes.

Pruebas de algunas propiedades de un trapecio

Igualdad de ángulos en la base de un trapezoide isósceles:

• Probablemente ya haya adivinado que aquí nuevamente necesitamos el trapezoide ACME: dibuje un trapezoide isósceles. Dibuja una línea MT desde el vértice M paralela al lado de AK (MT || AK).

El cuadrilátero AKMT resultante es un paralelogramo (AK || MT, KM || AT). Como ME = KA = MT, ∆ MTE es isósceles y MET = MTE.

Ak || MT, por lo tanto MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Donde AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

QED

Ahora, basándonos en la propiedad de un trapezoide isósceles (igualdad de diagonales), demostramos que trapecio ACME es isósceles:

• Para empezar, dibujemos una línea recta МХ – МХ || KE. Obtenemos un paralelogramo KMHE (base - MX || KE y KM || EX).

∆AMH es isósceles, ya que AM = KE = MX y MAX = MEA.

México || KE, KEA = MXE, por lo tanto MAE = MXE.

Resultó que los triángulos AKE y EMA son iguales entre sí, porque AM \u003d KE y AE es el lado común de los dos triángulos. Y también MAE \u003d MXE. Podemos concluir que AK = ME, y por lo tanto se sigue que el trapezoide AKME es isósceles.

Tarea a repetir

Las bases del trapezoide ACME miden 9 cm y 21 cm, el lado del KA, igual a 8 cm, forma un ángulo de 150 0 con una base menor. Necesitas encontrar el área del trapezoide.

Solución: Del vértice K bajamos la altura a la base mayor del trapezoide. Y empecemos a mirar los ángulos del trapezoide.

Los ángulos AEM y KAN son unilaterales. Lo que significa que suman 1800. Por lo tanto, KAN = 30 0 (basado en las propiedades de los ángulos del trapezoide).

Considere ahora el ∆ANK rectangular (creo que este punto es obvio para los lectores sin más pruebas). De ahí encontramos la altura del trapezoide KH: en un triángulo, es una pierna, que se encuentra frente al ángulo de 30 0. Por lo tanto, KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

El área del trapezoide se encuentra mediante la fórmula: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Epílogo

Si estudió cuidadosamente y cuidadosamente este artículo, no fue demasiado perezoso para dibujar trapezoides para todas las propiedades anteriores con un lápiz en sus manos y analizarlos en la práctica, debería haber dominado bien el material.

Por supuesto, aquí hay mucha información, variada y, a veces, incluso confusa: no es tan difícil confundir las propiedades del trapezoide descrito con las propiedades del inscrito. Pero usted mismo vio que la diferencia es enorme.

Ahora tienes un resumen detallado de todas las propiedades generales de un trapezoide. Así como propiedades y características específicas de trapecios isósceles y rectangulares. Es muy conveniente de usar para prepararse para pruebas y exámenes. ¡Pruébalo tú mismo y comparte el enlace con tus amigos!

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