¿Qué es un Teseracto? Cybercube: el primer paso hacia la cuarta dimensión

Las enseñanzas sobre espacios multidimensionales comenzaron a aparecer a mediados del siglo XIX. La ciencia ficción tomó prestada la idea del espacio de cuatro dimensiones de los científicos. En sus obras, le contaron al mundo sobre las asombrosas maravillas de la cuarta dimensión.

Los héroes de sus obras, utilizando las propiedades del espacio de cuatro dimensiones, podían comer el contenido del huevo sin dañar la cáscara, beber una bebida sin abrir el corcho de la botella. Los secuestradores recuperaron el tesoro de la caja fuerte a través de la cuarta dimensión. Los cirujanos realizaban operaciones en los órganos internos sin cortar los tejidos del cuerpo del paciente.

teseracto

En geometría, un hipercubo es una analogía n-dimensional de un cuadrado (n = 2) y un cubo (n = 3). El análogo en cuatro dimensiones de nuestro cubo tridimensional habitual se conoce como teseracto. El teseracto es al cubo lo que el cubo es al cuadrado. Más formalmente, un teseracto puede describirse como un poliedro regular convexo de cuatro dimensiones cuyo límite consta de ocho celdas cúbicas.

Tratemos de imaginar cómo se verá el hipercubo sin salir del espacio tridimensional.
En un "espacio" unidimensional, en una línea, seleccionamos un segmento AB de longitud L. En un plano bidimensional a una distancia L de AB, dibujamos un segmento DC paralelo a él y conectamos sus extremos. Obtendrás un CDBA cuadrado. Repitiendo esta operación con un plano, obtenemos un cubo tridimensional CDBAGHFE. Y desplazando el cubo en la cuarta dimensión (perpendicular a las tres primeras) una distancia L, obtenemos el hipercubo CDBAGHFEKLJIOPNM.

Del mismo modo, podemos continuar con el razonamiento de los hipercubos más dimensiones, pero es mucho más interesante ver cómo se verá un hipercubo de cuatro dimensiones para nosotros, los habitantes del espacio tridimensional.

Tomemos el cubo de alambre ABCDHEFG y mirémoslo con un ojo desde el lado de la cara. Veremos y podemos dibujar dos cuadrados en el plano (sus caras cercana y lejana), conectados por cuatro líneas: bordes laterales. De manera similar, un hipercubo de cuatro dimensiones en un espacio tridimensional se verá como dos "cajas" cúbicas insertadas entre sí y conectadas por ocho bordes. En este caso, las "cajas" mismas, caras tridimensionales, se proyectarán en "nuestro" espacio, y las líneas que las conectan se estirarán en la dirección del cuarto eje. También puede intentar imaginar un cubo no en proyección, sino en una imagen espacial.

Así como un cubo tridimensional está formado por un cuadrado desplazado por la longitud de una cara, un cubo desplazado a la cuarta dimensión formará un hipercubo. Está limitado por ocho cubos, que en el futuro se verán como una figura bastante compleja. El propio hipercubo de cuatro dimensiones se puede dividir en un número infinito de cubos, al igual que un cubo tridimensional se puede "cortar" en un número infinito de cuadrados planos.

Al cortar seis caras de un cubo tridimensional, puede descomponerlo en una figura plana: una red. Tendrá un cuadrado a cada lado de la cara original, más uno más: la cara opuesta. Un desarrollo tridimensional de un hipercubo de cuatro dimensiones consistirá en el cubo original, seis cubos que "crecen" a partir de él, más uno más: la "hipercara" final.

El Tesseract es una figura tan interesante que ha atraído repetidamente la atención de escritores y cineastas.
Robert E. Heinlein mencionó los hipercubos varias veces. En The House That Teel Built (1940), describió una casa construida como el despliegue de un teseracto y luego, debido a un terremoto, "se formó" en la cuarta dimensión y se convirtió en un teseracto "real". En la novela Glory Road de Heinlein, se describe una caja hiperdimensional que era más grande por dentro que por fuera.

La historia de Henry Kuttner "All Borog's Tenals" describe un juguete educativo para niños de un futuro lejano, similar en estructura a un teseracto.

La trama de Cube 2: Hypercube se centra en ocho extraños atrapados en un "hipercubo", o red de cubos conectados.

un mundo paralelo

Las abstracciones matemáticas dieron vida a la noción de existencia. mundos paralelos. Estas son realidades que existen simultáneamente con la nuestra, pero independientemente de ella. El mundo paralelo puede tener varios tamaños: desde una pequeña zona geográfica hasta todo el universo. En un mundo paralelo, los eventos ocurren a su manera, puede diferir de nuestro mundo, tanto en detalles individuales como en casi todo. Al mismo tiempo, las leyes físicas del mundo paralelo no son necesariamente similares a las leyes de nuestro Universo.

Este tema es un terreno fértil para los escritores de ciencia ficción.

La Crucifixión en la Cruz de Salvador Dalí representa un teseracto. "Crucifixión o cuerpo hipercúbico" - una pintura del artista español Salvador Dalí, escrita en 1954. Representa a Jesucristo crucificado en el desarrollo del teseracto. La pintura se conserva en el Museo Metropolitano de Arte de Nueva York.

Todo comenzó en 1895, cuando H. G. Wells, con el cuento "La puerta en el muro", descubrió la existencia de mundos paralelos para la fantasía. En 1923, Wells retomó la idea de los mundos paralelos y colocó en uno de ellos un país utópico donde van los personajes de la novela "La gente es como dioses".

La novela no pasó desapercibida. En 1926, apareció la historia de G. Dent "El emperador del país" Si "". En la historia de Dent, por primera vez, surgió la idea de que podría haber países (mundos) cuya historia podría ser diferente de la historia de los países reales. en nuestro mundo Y estos mundos no son menos reales que el nuestro.

En 1944, Jorge Luis Borges publicó el cuento "El jardín de los senderos que se bifurcan" en su libro Cuentos de ficción. Aquí la idea de la bifurcación del tiempo finalmente se expresó con la mayor claridad.
A pesar de la aparición de las obras enumeradas anteriormente, la idea de un mundo múltiple comenzó a desarrollarse seriamente en la ciencia ficción solo a fines de los años cuarenta del siglo XX, aproximadamente al mismo tiempo que surgió una idea similar en la física.

Uno de los pioneros de una nueva dirección en la ciencia ficción fue John Bixby, quien sugirió en la historia "One-Way Street" (1954) que entre mundos solo puedes moverte en una dirección: haber ido de tu mundo a uno paralelo. no regresarás, sino que pasarás de un mundo a otro. Sin embargo, tampoco está excluido regresar a su propio mundo; para esto, es necesario que el sistema de mundos esté cerrado.

En la novela de Clifford Simak "El anillo alrededor del sol" (1982), se describen numerosos planetas de la Tierra, cada uno existiendo en su propio mundo, pero en la misma órbita, y estos mundos y estos planetas difieren entre sí solo por un ligero cambio (de un microsegundo) en el tiempo. Numerosas tierras visitadas por el héroe de la novela. sistema único mundos

Alfred Bester expresó una mirada curiosa a la ramificación de los mundos en la historia "El hombre que mató a Mahoma" (1958). “Cambiando el pasado”, afirmó el héroe de la historia, “lo cambias solo para ti”. En otras palabras, después de cambiar el pasado, surge una rama de la historia, en la que solo para el personaje que hizo el cambio, existe este cambio.

En la historia de los hermanos Strugatsky "El lunes comienza el sábado" (1962), los viajes de los personajes a diferentes variantes descritos por los escritores de ciencia ficción del futuro, en contraste con los viajes de ciencia ficción que ya existían en varias opciones del pasado.

Sin embargo, incluso una simple enumeración de todas las obras que tratan el tema del paralelismo de los mundos llevaría demasiado tiempo. Y aunque los escritores de ciencia ficción, por regla general, no fundamentan científicamente el postulado de multidimensionalidad, tienen razón en una cosa: esta es una hipótesis que tiene derecho a existir.
La cuarta dimensión del tesseract todavía está esperando que la visitemos.

Víctor Savinov

¿Qué es un hipercubo y un espacio de cuatro dimensiones?

Hay tres dimensiones en nuestro espacio habitual. Desde un punto de vista geométrico, esto significa que en él se pueden indicar tres líneas perpendiculares entre sí. Es decir, para cualquier línea, puedes encontrar una segunda línea perpendicular a la primera, y para un par, puedes encontrar una tercera línea perpendicular a las dos primeras. Ya no será posible encontrar la cuarta recta perpendicular a las tres existentes.

El espacio de cuatro dimensiones difiere del nuestro solo en que tiene una dirección adicional más. Si ya tienes tres líneas perpendiculares entre sí, entonces puedes encontrar la cuarta, de modo que sea perpendicular a las tres.

Un hipercubo es solo un cubo en cuatro dimensiones.
¿Es posible imaginar un espacio de cuatro dimensiones y un hipercubo?

Esta pregunta está relacionada con la pregunta: “¿es posible imaginar la Última Cena mirando la pintura del mismo nombre (1495-1498) de Leonardo da Vinci (1452-1519)?”

Por un lado, por supuesto, no te imaginarás lo que vio Jesús (está sentado frente al espectador), sobre todo porque no olerás el jardín fuera de la ventana y el sabor de la comida en la mesa, no escucharás los pájaros. cantando ... No obtendrá una imagen completa de lo que sucedió esa noche, pero no se puede decir que no aprenderá nada nuevo y que la imagen no es de interés.

La situación es similar con la cuestión del hipercubo. Es imposible imaginarlo completamente, pero puedes acercarte a entender lo que es.
Construyendo un hipercubo
cubo de 0 dimensiones

Comencemos desde el principio, con un cubo de dimensión 0. Este cubo contiene 0 caras perpendiculares entre sí, es decir, es solo un punto.

cubo unidimensional

En el espacio unidimensional, solo tenemos una dirección. Desplazamos el punto en esta dirección y obtenemos un segmento.

Este es un cubo unidimensional.
cubo de 2 dimensiones

Tenemos una segunda dimensión, desplazamos nuestro cubo unidimensional (segmento) en la dirección de la segunda dimensión y obtenemos un cuadrado.

Es un cubo en dos dimensiones.
cubo tridimensional

Con la llegada de la tercera dimensión, hacemos lo mismo: desplazamos el cuadrado y obtenemos el cubo tridimensional habitual.

Cubo de 4 dimensiones (hipercubo)

Ahora tenemos una cuarta dimensión. Es decir, tenemos a nuestra disposición una dirección perpendicular a las tres anteriores. Usémoslo de la misma manera. El cubo 4D se verá así.

Naturalmente, los cubos tridimensionales y tetradimensionales no se pueden representar en un plano de pantalla bidimensional. Lo que dibujé son proyecciones. Hablaremos de las proyecciones un poco más adelante, pero por ahora, unos pocos hechos y cifras.
Número de vértices, aristas, caras
Características de los cubos de varias dimensiones.
1 dimensión del espacio
2-número de vértices
3-número de costillas
4-número de caras

0 (punto) 1 0 0
1 (línea) 2 1 2 (puntos)
2 (cuadrado) 4 4 4 (segmentos)
3 (cubo) 8 12 6 (cuadrados)
4 (hipercubo) 16 32 8 (cubos)
N (fórmula general) 2N N 2N-1 2 N

Tenga en cuenta que la cara del hipercubo es nuestro cubo 3D normal. Si observa detenidamente el dibujo del hipercubo, en realidad puede encontrar ocho cubos.
Proyecciones y visión de un habitante del espacio cuatridimensional
Unas palabras sobre la visión.

Vivimos en un mundo tridimensional, pero lo vemos como bidimensional. Esto se debe a que la retina de nuestros ojos se encuentra en un plano que tiene solo dos dimensiones. Por eso somos capaces de percibir imágenes bidimensionales y encontrarlas similares a la realidad. (Por supuesto, gracias a la acomodación, el ojo puede estimar la distancia a un objeto, pero esto ya es un efecto secundario asociado con la óptica integrada en nuestro ojo).

Los ojos de un habitante del espacio de cuatro dimensiones deben tener una retina tridimensional. Tal criatura puede ver inmediatamente una figura tridimensional por completo: todas sus caras e interiores. (De la misma manera, podemos ver una figura bidimensional, todas sus caras e interiores).

Por lo tanto, con la ayuda de nuestros órganos de visión, no somos capaces de percibir un cubo de cuatro dimensiones de la misma manera que lo percibiría un habitante de un espacio de cuatro dimensiones. Pobre de mí. Solo queda confiar en el ojo de la mente y la fantasía, que, afortunadamente, no tienen limitaciones físicas.

Sin embargo, cuando represento un hipercubo en un plano, simplemente tengo que proyectarlo en un espacio bidimensional. Tenga esto en cuenta cuando estudie dibujos.
Intersecciones de borde

Naturalmente, los bordes del hipercubo no se cruzan. Las intersecciones aparecen sólo en las figuras. Sin embargo, esto no debería ser una sorpresa, porque las aristas de un cubo común en las figuras también se cruzan.
longitudes de costilla

Vale la pena señalar que todas las caras y aristas de un cubo de cuatro dimensiones son iguales. En la figura, no son iguales solo porque están ubicados en ángulos diferentes a la dirección de la vista. Sin embargo, es posible desplegar el hipercubo para que todas las proyecciones tengan la misma longitud.

Por cierto, en esta figura se ven claramente ocho cubos, que son las caras del hipercubo.
Hipercubo dentro vacío

Es difícil de creer, pero entre los cubos que limitan el hipercubo, hay algo de espacio (un fragmento de espacio de cuatro dimensiones).

Para entender esto mejor, consideremos una proyección 2D de un cubo 3D regular (a propósito lo hice algo incompleto).

¿Es posible adivinar que hay algo de espacio dentro del cubo? Sí, pero sólo con imaginación. El ojo no ve este espacio. Esto se debe a que los bordes ubicados en la tercera dimensión (que no se pueden representar en un dibujo plano) ahora se han convertido en segmentos que se encuentran en el plano del dibujo. Ya no aportan volumen.

Los cuadrados que delimitan el espacio del cubo se superponen entre sí. Pero puedes imaginar que en la figura original (cubo tridimensional) estos cuadrados estaban ubicados en diferentes aviones, y no uno encima del otro en el mismo plano, como resultó en la figura.

Lo mismo es cierto para el hipercubo. Las caras cúbicas del hipercubo en realidad no se superponen, como nos parece en la proyección, sino que están ubicadas en un espacio de cuatro dimensiones.
Escariadores

Entonces, un residente del espacio de cuatro dimensiones puede ver un objeto tridimensional simultáneamente desde todos los lados. ¿Podemos ver simultáneamente un cubo tridimensional desde todos sus lados? Con el ojo, no. Pero a la gente se le ocurrió una forma de representar todas las caras de un cubo tridimensional al mismo tiempo en un dibujo plano. Tal imagen se llama barrido.
Desplegando un cubo 3D

Probablemente todo el mundo sepa cómo se forma el despliegue de un cubo tridimensional. Este proceso se muestra en la animación.

Para mayor claridad, los bordes de las caras del cubo se hacen translúcidos.

Cabe señalar que podemos percibir esta imagen bidimensional solo gracias a la imaginación. Si consideramos las fases de desarrollo desde un punto de vista puramente bidimensional, entonces el proceso parecerá extraño y nada visual.

Parece la aparición gradual de primero los contornos de cuadrados distorsionados, y luego su expansión en su lugar con la adopción simultánea de la forma necesaria.

Si observa un cubo que se despliega en la dirección de una de sus caras (desde este punto de vista, el cubo parece un cuadrado), el proceso de formación de un desarrollo es aún menos claro. Todo parece salir de los cuadrados desde el cuadrado inicial (no un cubo desplegado).

Pero el escaneo no es visual solo para los ojos. Solo gracias a la imaginación, se puede extraer mucha información de él.
Desplegando un cubo 4D

Es simplemente imposible hacer que el proceso animado del desarrollo del hipercubo sea al menos algo visual. Pero este proceso puede ser imaginado. (Para hacer esto, debes mirarlo a través de los ojos de un ser de cuatro dimensiones).

La propagación se ve así.

Los ocho cubos que delimitan el hipercubo son visibles aquí.

Las caras están pintadas con los mismos colores, que deben estar alineados al doblar. Las caras para las que no son visibles las emparejadas se dejan en gris. Después de plegar, la cara superior del cubo superior debe alinearse con la cara inferior del cubo inferior. (Del mismo modo, el desarrollo de un cubo tridimensional se colapsa).

Tenga en cuenta que después de plegar, todas las caras de los ocho cubos entrarán en contacto, cerrando el hipercubo. Y finalmente, al representar el proceso de plegado, no olvide que al plegar, los cubos no se superponen, sino que se envuelven alrededor de un área determinada (hipercúbica) de cuatro dimensiones.

Salvador Dalí (1904-1989) representó la crucifixión muchas veces y las cruces aparecen en muchas de sus pinturas. La pintura La Crucifixión (1954) utiliza un barrido de hipercubo.
Espacio-tiempo y espacio tetradimensional euclidiano

Espero que hayas logrado imaginar el hipercubo. Pero, ¿has logrado acercarte a comprender cómo funciona el espacio-tiempo tetradimensional en el que vivimos? Por desgracia, no realmente.

Aquí hablamos del espacio euclidiano de cuatro dimensiones, pero el espacio-tiempo tiene propiedades muy diferentes. En particular, en cualquier rotación, los segmentos siempre permanecen inclinados con respecto al eje del tiempo, ya sea en un ángulo inferior a 45 grados, o en un ángulo superior a 45 grados.

FUENTE 2

Un tesseract es un hipercubo de cuatro dimensiones, un análogo de un cubo en un espacio de cuatro dimensiones. Según el Oxford Dictionary, la palabra "tesseract" fue acuñada y utilizada en 1888 por Charles Howard Hinton (1853-1907) en su libro A New Age of Thought. Más tarde, algunas personas llamaron a la misma figura "tetracubo".

Tratemos de imaginar cómo se verá el hipercubo sin salir del espacio tridimensional.
En un "espacio" unidimensional, en una línea, seleccionamos un segmento AB de longitud L. En un plano bidimensional a una distancia L de AB, dibujamos un segmento DC paralelo a él y conectamos sus extremos. Obtenga el cuadrado ABCD. Repitiendo esta operación con un plano, obtenemos un cubo tridimensional ABCDHEFG. Y desplazando el cubo en la cuarta dimensión (perpendicular a las tres primeras) una distancia L, obtenemos el hipercubo ABCDEFGHIJKLMNOP.

El segmento unidimensional AB sirve como cara del cuadrado bidimensional ABCD, el cuadrado es el lado del cubo ABCDHEFG, el cual, a su vez, será el lado del hipercubo tetradimensional. Un segmento de línea recta tiene dos puntos límite, un cuadrado tiene cuatro vértices y un cubo tiene ocho. Así, en un hipercubo de cuatro dimensiones habrá 16 vértices: 8 vértices del cubo original y 8 vértices desplazados en la cuarta dimensión. Tiene 32 aristas: 12 de cada una dan las posiciones inicial y final del cubo original, y 8 aristas más "dibujan" ocho de sus vértices que se han movido a la cuarta dimensión. El mismo razonamiento se puede hacer para las caras del hipercubo. En el espacio bidimensional, es uno (el cuadrado mismo), el cubo tiene 6 de ellos (dos caras del cuadrado movido y cuatro más describirán sus lados). Un hipercubo de cuatro dimensiones tiene 24 caras cuadradas: 12 cuadrados del cubo original en dos posiciones y 12 cuadrados de doce de sus bordes.

De manera similar, podemos continuar con el razonamiento de los hipercubos de más dimensiones, pero es mucho más interesante ver cómo se verá un hipercubo de cuatro dimensiones para nosotros, los habitantes del espacio tridimensional. Usemos para esto el ya familiar método de las analogías.
Tomemos el cubo de alambre ABCDHEFG y mirémoslo con un ojo desde el lado de la cara. Veremos y podemos dibujar dos cuadrados en el plano (sus caras cercana y lejana), conectados por cuatro líneas: bordes laterales. De manera similar, un hipercubo de cuatro dimensiones en un espacio tridimensional se verá como dos "cajas" cúbicas insertadas entre sí y conectadas por ocho bordes. En este caso, las propias "cajas" (caras tridimensionales) se proyectarán en "nuestro" espacio, y las líneas que las conectan se estirarán en la cuarta dimensión. También puede intentar imaginar un cubo no en proyección, sino en una imagen espacial.

Así como un cubo tridimensional está formado por un cuadrado desplazado por la longitud de una cara, un cubo desplazado a la cuarta dimensión formará un hipercubo. Está limitado por ocho cubos, que en el futuro se verán como una figura bastante compleja. Su parte, que quedó en “nuestro” espacio, está dibujada con líneas sólidas, y la parte que se fue al hiperespacio está discontinua. El hipercubo de cuatro dimensiones en sí consta de un número infinito de cubos, al igual que un cubo tridimensional se puede "cortar" en un número infinito de cuadrados planos.

Al cortar seis caras de un cubo tridimensional, puede descomponerlo en una figura plana: una red. Tendrá un cuadrado a cada lado de la cara original, más uno más: la cara opuesta. Un desarrollo tridimensional de un hipercubo de cuatro dimensiones consistirá en el cubo original, seis cubos que "crecen" a partir de él, más uno más: la "hipercara" final. Las propiedades del tesseract son una extensión de las propiedades formas geométricas dimensión inferior en un espacio de cuatro dimensiones.

Otros nombres
Hexadecachoron (Hexadecachoron)
Octachoron (Octachoron)
Tetracubo (Tetracub)
4 cubos (4 cubos)
Hipercubo (si no se especifica el número de dimensiones)

espacio de 10 dimensiones
ahi en ingles quien no sabe las imagenes son bastante claras

http://www.skillopedia.ru/material.php?id=1338

Puntos (±1, ±1, ±1, ±1). En otras palabras, se puede representar como el siguiente conjunto:

El teseracto está limitado por ocho hiperplanos, cuya intersección con el propio teseracto define sus caras tridimensionales (que son cubos ordinarios). Cada par de caras 3D no paralelas se cruzan para formar caras 2D (cuadrados), y así sucesivamente. Finalmente, un teseracto tiene 8 caras 3D, 24 2D, 32 aristas y 16 vértices.

Descripción popular

Tratemos de imaginar cómo se verá el hipercubo sin salir del espacio tridimensional.

En un "espacio" unidimensional, en una línea, seleccionamos un segmento AB de longitud L. En un plano bidimensional a una distancia L de AB, dibujamos un segmento DC paralelo a él y conectamos sus extremos. Obtendrás un CDBA cuadrado. Repitiendo esta operación con un plano, obtenemos un cubo tridimensional CDBAGHFE. Y desplazando el cubo en la cuarta dimensión (perpendicular a las tres primeras) una distancia L, obtenemos el hipercubo CDBAGHFEKLJIOPNM.

Construcción de un tesseract en un avión

El segmento unidimensional AB sirve como lado del cuadrado bidimensional CDBA, el cuadrado es el lado del cubo CDBAGHFE, el cual, a su vez, será el lado del hipercubo tetradimensional. Un segmento de línea recta tiene dos puntos límite, un cuadrado tiene cuatro vértices y un cubo tiene ocho. Así, en un hipercubo de cuatro dimensiones habrá 16 vértices: 8 vértices del cubo original y 8 vértices desplazados en la cuarta dimensión. Tiene 32 aristas: 12 de cada una dan las posiciones inicial y final del cubo original, y 8 aristas más "dibujan" ocho de sus vértices que se han movido a la cuarta dimensión. El mismo razonamiento se puede hacer para las caras del hipercubo. En el espacio bidimensional, es uno (el cuadrado mismo), el cubo tiene 6 de ellos (dos caras del cuadrado movido y cuatro más describirán sus lados). Un hipercubo de cuatro dimensiones tiene 24 caras cuadradas: 12 cuadrados del cubo original en dos posiciones y 12 cuadrados de doce de sus bordes.

Así como los lados de un cuadrado son 4 segmentos unidimensionales, y los lados (caras) de un cubo son 6 cuadrados bidimensionales, así para el "cubo de cuatro dimensiones" (teseracto) los lados son 8 cubos tridimensionales . Los espacios de pares opuestos de cubos de tesseract (es decir, los espacios tridimensionales a los que pertenecen estos cubos) son paralelos. En la figura, estos son cubos: CDBAGHFE y KLJIOPNM, CDBAKLJI y GHFEOPNM, EFBAMNJI y GHDCOPLK, CKIAGOME y DLJBHPNF.

De manera similar, podemos continuar con el razonamiento de los hipercubos de más dimensiones, pero es mucho más interesante ver cómo se verá un hipercubo de cuatro dimensiones para nosotros, los habitantes del espacio tridimensional. Usemos para esto el ya familiar método de las analogías.

Tomemos el cubo de alambre ABCDHEFG y mirémoslo con un ojo desde el lado de la cara. Veremos y podemos dibujar dos cuadrados en el plano (sus caras cercana y lejana), conectados por cuatro líneas: bordes laterales. De manera similar, un hipercubo de cuatro dimensiones en un espacio tridimensional se verá como dos "cajas" cúbicas insertadas entre sí y conectadas por ocho bordes. En este caso, las "cajas" mismas, caras tridimensionales, se proyectarán en "nuestro" espacio, y las líneas que las conectan se estirarán en la dirección del cuarto eje. También puede intentar imaginar un cubo no en proyección, sino en una imagen espacial.

Así como un cubo tridimensional está formado por un cuadrado desplazado por la longitud de una cara, un cubo desplazado a la cuarta dimensión formará un hipercubo. Está limitado por ocho cubos, que en el futuro se verán como una figura bastante compleja. El hipercubo de cuatro dimensiones en sí consta de un número infinito de cubos, al igual que un cubo tridimensional se puede "cortar" en un número infinito de cuadrados planos.

Al cortar seis caras de un cubo tridimensional, puede descomponerlo en una figura plana: un desarrollo. Tendrá un cuadrado a cada lado de la cara original, más uno más: la cara opuesta. Un desarrollo tridimensional de un hipercubo de cuatro dimensiones consistirá en el cubo original, seis cubos que "crecen" a partir de él, más uno más: la "hipercara" final.

Las propiedades de un teseracto son una extensión de las propiedades de las figuras geométricas de menor dimensión en un espacio de cuatro dimensiones.

proyecciones

al espacio bidimensional

Esta estructura es difícil de imaginar, pero es posible proyectar un teseracto en espacios 2D o 3D. Además, la proyección sobre un plano facilita la comprensión de la ubicación de los vértices del hipercubo. De esta forma es posible obtener imágenes que ya no reflejan las relaciones espaciales dentro del teseracto, sino que ilustran la estructura de conexión de vértices, como en los siguientes ejemplos:

La tercera imagen muestra el teseracto en isometría, en relación con el punto de construcción. Esta vista es de interés cuando se usa el teseracto como base para una red topológica para vincular múltiples procesadores en computación paralela.

al espacio tridimensional

Una de las proyecciones del tesseract en el espacio tridimensional son dos cubos tridimensionales anidados, cuyos vértices correspondientes están conectados por segmentos. Los cubos interior y exterior tienen diferentes tamaños en el espacio 3D, pero en el espacio 4D son cubos iguales. Para comprender la igualdad de todos los cubos del teseracto, se creó un modelo giratorio del teseracto.

• Seis pirámides truncadas a lo largo de los bordes del teseracto hay imágenes de seis cubos iguales. Sin embargo, estos cubos son para el teseracto como los cuadrados (caras) son para el cubo. Pero, de hecho, un tesseract se puede dividir en un número infinito de cubos, al igual que un cubo se puede dividir en un número infinito de cuadrados, o un cuadrado se puede dividir en un número infinito de segmentos.

Otra proyección interesante del tesseract en el espacio tridimensional es un dodecaedro rómbico con sus cuatro diagonales dibujadas, conectando pares de vértices opuestos en grandes ángulos de rombos. En este caso, 14 de los 16 vértices del teseracto se proyectan en 14 vértices del dodecaedro rómbico, y las proyecciones de los 2 restantes coinciden en su centro. En tal proyección en el espacio tridimensional, se conservan la igualdad y el paralelismo de todos los lados unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales.

par estéreo

Un estereopar de un teseracto se representa como dos proyecciones en un espacio tridimensional. Esta representación del tesseract fue diseñada para representar la profundidad como una cuarta dimensión. El par estéreo se ve de manera que cada ojo ve solo una de estas imágenes, surge una imagen estereoscópica que reproduce la profundidad del teseracto.

Despliegue de teseracto

La superficie de un tesseract se puede desplegar en ocho cubos (similar a cómo la superficie de un cubo se puede desplegar en seis cuadrados). Hay 261 despliegues diferentes del teseracto. Los despliegues de un tesseract se pueden calcular trazando las esquinas conectadas en el gráfico.

Teseracto en el arte

• En New Plain de Edwine A. Abbott, el hipercubo es el narrador.
• En un episodio de Las aventuras de Jimmy Neutron, el "niño genio" Jimmy inventa un hipercubo de cuatro dimensiones, idéntico a la caja plegable de la novela Glory Road (1963) de Robert Heinlein.
• Robert E. Heinlein ha mencionado hipercubos en al menos tres historias de ciencia ficción. En La casa de las cuatro dimensiones (La casa que construyó Teel), describió una casa construida como el despliegue de un teseracto y luego, debido a un terremoto, "se formó" en la cuarta dimensión y se convirtió en un teseracto "real".
• En la novela Glory Road de Heinlein, se describe una caja hiperdimensional que era más grande por dentro que por fuera.
• La historia de Henry Kuttner "All Borog's Tenals" describe un juguete educativo para niños de un futuro lejano, similar en estructura a un teseracto.
• En la novela de Alex Garland ( ), el término "tesseract" se usa para el despliegue tridimensional de un hipercubo de cuatro dimensiones, en lugar del hipercubo en sí. Esta es una metáfora diseñada para mostrar que el sistema cognoscente debería ser más amplio que el cognoscible.
• La trama de The Cube 2: Hypercube se centra en ocho extraños atrapados en un "hipercubo", o red de cubos vinculados.
• La serie de televisión Andrómeda utiliza generadores de tesseract como dispositivo de conspiración. Están destinados principalmente a controlar el espacio y el tiempo.
• Pintura "Crucifixión"(Corpus Hypercubus) de Salvador Dali ().
• El cómic de Nextwave representa un vehículo que incluye 5 zonas de tesseract.
• En el álbum Voivod Nothingface, una de las canciones se llama "In my hypercube".
• En la novela Route Cube de Anthony Pierce, una de las lunas orbitales de IDA se denomina tesseract que se ha comprimido en 3 dimensiones.
• En la serie "School" Black Hole "" en la tercera temporada hay un episodio "Tesseract". Lucas presiona el botón secreto y la escuela comienza a "tomar forma como un teseracto matemático".
• El término "tesseract" y el término "tesse" derivado de él se encuentran en la historia de Madeleine L'Engle "The Wrinkle of Time".
• TesseracT es el nombre de una banda británica de djent.
• En la serie de películas Marvel Cinematic Universe, el Tesseract es un elemento clave de la trama, un artefacto cósmico con forma de hipercubo.
• En el cuento de Robert Sheckley "Miss Mouse and the Fourth Dimension", un escritor esotérico, conocido del autor, trata de ver el tesseract, mirando durante horas el dispositivo que diseñó: una pelota en una pierna con varillas clavadas en ella, en qué cubos están pegados, pegados con todos en fila símbolos esotéricos. La historia menciona el trabajo de Hinton.
• En las películas El primer vengador, Los vengadores. Tesseract es la energía de todo el universo.

Otros nombres

• Hexadecachoron (inglés) hexadecachoron)
• Octocoron (inglés) Octachoron)
• tetracubo
• 4 cubos
• Hipercubo (si no se especifica el número de dimensiones)

notas

Literatura

• Charles H. Hinton. Cuarta Dimensión, 1904. ISBN 0-405-07953-2
• Martin Gardner, Carnaval matemático, 1977. ISBN 0-394-72349-X
• Ian Stewart, Conceptos de las matemáticas modernas, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Enlaces

• Programa Transformator4D. Formación de modelos de proyecciones tridimensionales de objetos tetradimensionales (incluido el Hipercubo).
• Un programa que implementa la construcción de un teseracto y todas sus transformaciones afines, con fuentes C++.

En inglés

• Mushware Limited es un programa de salida tesseract ( Entrenador de teseractos, con licencia GPLv2) y un juego de disparos en primera persona 4D ( Adanaxis; gráficos, en su mayoría tridimensionales; hay una versión GPL en los repositorios del sistema operativo).

Fundación Wikimedia. 2010 .

Las enseñanzas sobre espacios multidimensionales comenzaron a aparecer a mediados del siglo XIX en los trabajos de G. Grassmann, A. Cayley, B. Riemann, W. Clifford, L. Schläfli y otros matemáticos. A principios del siglo XX, con el advenimiento de la teoría de la relatividad de A. Einstein y las ideas de G. Minkowski, la física comenzó a utilizar un sistema de coordenadas de espacio-tiempo de cuatro dimensiones.

Luego, los escritores de ciencia ficción tomaron prestada la idea del espacio de cuatro dimensiones de los científicos. En sus obras, le contaron al mundo sobre las asombrosas maravillas de la cuarta dimensión. Los héroes de sus obras, utilizando las propiedades del espacio de cuatro dimensiones, podían comer el contenido del huevo sin dañar la cáscara, beber una bebida sin abrir el corcho de la botella. Los secuestradores recuperaron el tesoro de la caja fuerte a través de la cuarta dimensión. Los eslabones de la cadena se pueden desconectar fácilmente y el nudo de la cuerda se puede desatar sin tocar sus extremos. Los cirujanos realizaban operaciones en los órganos internos sin cortar los tejidos del cuerpo del paciente. Los místicos colocaban las almas de los muertos en la cuarta dimensión. Para persona ordinaria la idea de un espacio de cuatro dimensiones ha permanecido incomprensible y misteriosa, y muchos generalmente consideran que el espacio de cuatro dimensiones es fruto de la imaginación de científicos y escritores de ciencia ficción, que no tiene nada que ver con la realidad.

Problema de percepción

Tradicionalmente se cree que una persona no puede percibir y representar figuras de cuatro dimensiones, ya que es un ser tridimensional. El sujeto percibe figuras tridimensionales con la ayuda de la retina, que es bidimensional. Para percibir figuras de cuatro dimensiones, se necesita una retina tridimensional, pero una persona no tiene esa oportunidad.

Para obtener una representación visual de figuras de cuatro dimensiones, utilizaremos analogías de espacios de menor dimensión para su extrapolación a figuras de mayor dimensión, utilizaremos el método de modelado, aplicaremos métodos análisis del sistema para buscar patrones entre elementos de figuras de cuatro dimensiones. Los modelos propuestos deben describir adecuadamente las propiedades de las figuras tetradimensionales, no contradecirse entre sí y dar una idea suficiente de una figura tetradimensional y, en primer lugar, de su forma geometrica. Dado que no existe un sistema sistemático y descripción visual figuras de cuatro dimensiones, y solo sus nombres indican algunas propiedades, proponemos comenzar el estudio de figuras de cuatro dimensiones con la más simple: un cubo de cuatro dimensiones, que se llama hipercubo.

Hipercubo Definición

hipercubose llama un politopo regular, cuya celda es un cubo.

politecho es una figura de cuatro dimensiones, cuyo límite consiste en poliedros. Un análogo de una celda de un politopo es una cara de un poliedro. El hipercubo es análogo a un cubo tridimensional.

Tendremos una idea sobre el hipercubo si conocemos sus propiedades. El sujeto percibe algún objeto, representándolo en forma de algún modelo. Usemos este método y presentemos la idea de un hipercubo en forma de varios modelos.

modelo analítico

Consideraremos un espacio unidimensional (línea recta) como un conjunto ordenado de puntosMETRO(X), dónde Xes la coordenada de un punto arbitrario en la línea recta. Entonces el segmento unitario se da especificando dos puntos:A(0) y B(1).

Un plano (espacio bidimensional) se puede ver como un conjunto ordenado de puntos METRO(X; y). El cuadrado unitario estará completamente definido por sus cuatro vértices: A(0; 0), B(1; 0), C(1; 1), D(0; 1). Las coordenadas de los vértices del cuadrado se obtienen sumando cero a las coordenadas del segmento y luego uno.

Espacio tridimensional - un conjunto ordenado de puntos METRO(X; y; z). Se requieren ocho puntos para definir un cubo 3D:

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0),

mi(0; 0; 1), F(1; 0; 1), GRAMO(1; 1; 1), H(0; 1; 1).

Las coordenadas del cubo se obtienen a partir de las coordenadas del cuadrado sumando cero y luego uno.

El espacio de cuatro dimensiones es un conjunto ordenado de puntos. METRO(X; y; z; t). Para especificar un hipercubo, debe determinar las coordenadas de sus dieciséis vértices:

A(0; 0; 0; 0), B(1; 0; 0; 0), C(1; 1; 0; 0), D(0; 1; 0; 0),

mi(0; 0; 1; 0), F(1; 0; 1; 0), GRAMO(1; 1; 1; 0), H(0; 1; 1; 0),

k(0; 0; 0; 1), L(1; 0; 0; 1), METRO(1; 1; 0; 1), norte(0; 1; 0; 1),

O(0; 0; 1; 1), PAGS(1; 0; 1; 1), R(1; 1; 1; 1), S(0; 1; 1; 1).

Las coordenadas del hipercubo se obtienen a partir de las coordenadas del cubo 3D sumando una cuarta coordenada igual a cero y luego uno.

Usando las fórmulas de la geometría analítica para el espacio euclidiano de cuatro dimensiones, se pueden obtener las propiedades de un hipercubo.
Como ejemplo, considere el cálculo de la longitud de la diagonal principal de un hipercubo. Sea necesario encontrar la distancia entre los puntos A(0, 0, 0, 0) y R(1, 1, 1, 1). Para hacer esto, usamos la fórmula de la distancia en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones.

En el espacio bidimensional (en un plano), la distancia entre los puntos A(X 1 , y 1) y B(X 2 , y 2) se calcula mediante la fórmula

Esta fórmula se deriva del teorema de Pitágoras.

La fórmula correspondiente para la distancia entre puntos. A(X 1 , y 1 , z 1) y B(X 2 , y 2 , z 2) en espacio tridimensional tiene la forma

Y en el espacio unidimensional (en línea recta) entre los puntos A( X 1) y B( X 2) puedes escribir la fórmula de distancia correspondiente:

Del mismo modo, la distancia entre los puntos A(X 1 , y 1 , z 1 , t 1) y B(X 2 , y 2 , z 2 , t 2) en el espacio de cuatro dimensiones se calculará mediante la fórmula:

Para el ejemplo propuesto, encontramos

Por lo tanto, el hipercubo existe analíticamente y sus propiedades no pueden describirse peor que las propiedades de un cubo tridimensional.

modelo dinámico

El modelo analítico del hipercubo es muy abstracto, así que consideremos otro modelo: el dinámico.

Un punto (una figura de dimensión cero), que se mueve en una dirección, genera un segmento (una figura de una dimensión). El segmento, moviéndose en una dirección perpendicular a sí mismo, crea un cuadrado (figura bidimensional). El cuadrado, moviéndose en una dirección perpendicular al plano del cuadrado, crea un cubo (figura tridimensional).

El cubo, al moverse perpendicularmente al espacio tridimensional en el que se encontraba originalmente, genera un hipercubo (figura tetradimensional).

El límite del hipercubo es tridimensional, finito y cerrado. Consiste en un cubo tridimensional en la posición inicial, un cubo tridimensional en la posición final y seis cubos formados al mover los cuadrados del cubo original en la dirección de la cuarta dimensión. Todo el límite del hipercubo consta de 8 cubos tridimensionales (celdas).

Al moverse en la posición inicial, el cubo tenía 8 vértices y en la posición final también 8 vértices. Por tanto, el hipercubo tiene un total de 16 vértices.

Cuatro aristas mutuamente perpendiculares emanan de cada vértice. En total, el hipercubo tiene 32 aristas, en la posición inicial tenía 12 aristas, en la posición final también 12 aristas, y 8 aristas formaban la parte superior del cubo cuando se movía en la cuarta dimensión.

Así, el borde del hipercubo consta de 8 cubos, que constan de 24 cuadrados. Es decir, 6 cuadrados en la posición inicial, 6 en la posición final y 12 cuadrados formados al mover 12 aristas en la dirección de la cuarta dimensión.

modelo geométrico

El modelo dinámico de un hipercubo puede parecer insuficientemente claro. Por lo tanto, considere el modelo geométrico del hipercubo. ¿Cómo obtenemos el modelo geométrico de un cubo 3D? Lo desplegamos y, desde el desdoblamiento, "pegamos" el modelo de cubo. El desarrollo de un cubo tridimensional consiste en un cuadrado, a cuyos lados se une un cuadrado más un cuadrado más. Los cuadrados adyacentes giran alrededor de los lados del cuadrado y los lados adyacentes de los cuadrados están conectados entre sí. Y cerramos los cuatro lados restantes con el último cuadrado (Fig. 1).

De manera similar, considere el despliegue del hipercubo. Su desarrollo será una figura tridimensional, compuesta por el cubo tridimensional original, seis cubos adyacentes a cada cara del cubo original y un cubo más. Hay ocho cubos tridimensionales en total (Fig. 2). Para obtener un cubo de cuatro dimensiones (hipercubo) a partir de este despliegue, cada uno de los cubos adyacentes debe girarse 90 grados. Estos cubos contiguos se ubicarán en un espacio 3D diferente. Conecte caras adyacentes (cuadrados) de cubos entre sí. Incruste el octavo cubo con sus caras en el espacio restante sin llenar. Obtenemos una figura de cuatro dimensiones: un hipercubo, cuyo límite consta de ocho cubos tridimensionales.

imagen de hipercubo

Se mostró arriba cómo "pegar" un modelo de hipercubo a partir de un escaneo tridimensional. Obtenemos imágenes usando proyección. La proyección central de un cubo tridimensional (su imagen en un plano) se ve así (Fig. 3). Dentro de la plaza hay otra plaza. Los vértices correspondientes del cuadrado están conectados por segmentos. Los cuadrados adyacentes se representan como trapezoides, aunque son cuadrados en el espacio 3D. Los cuadrados interior y exterior son de diferentes tamaños, pero en el espacio 3D real son cuadrados iguales.

De manera similar, la proyección central de un cubo de cuatro dimensiones en un espacio tridimensional se verá así: dentro de un cubo hay otro cubo. Los vértices correspondientes de los cubos están conectados por segmentos. Los cubos interior y exterior tienen diferentes tamaños en el espacio 3D, pero son cubos iguales en el espacio 4D (Figura 4).

Seis pirámides truncadas son imágenes de seis celdas (cubos) iguales de un cubo de cuatro dimensiones.

Esta proyección tridimensional se puede dibujar en un plano y se puede verificar la veracidad de las propiedades del hipercubo obtenido mediante el modelo dinámico.

El hipercubo tiene 16 vértices, 32 aristas, 24 caras (cuadrados), 8 celdas (cubos). Cuatro aristas mutuamente perpendiculares emanan de cada vértice. El límite del hipercubo es una figura convexa cerrada tridimensional, cuyo volumen (el volumen lateral del hipercubo) es igual a ocho cubos tridimensionales unitarios. En su interior, esta figura contiene un hipercubo unitario, cuyo hipervolumen es igual al hipervolumen del hipercubo unitario.

Conclusión

En este trabajo, el objetivo era dar un conocimiento inicial del espacio de cuatro dimensiones. Esto se hizo en el ejemplo de la figura más simple: el hipercubo.

¡El mundo del espacio de cuatro dimensiones es increíble! En él, junto con figuras similares en el espacio tridimensional, también hay figuras que no tienen análogos en el espacio tridimensional.

Muchos fenómenos del mundo material, el macrocosmos y el megamundo, a pesar de los grandiosos éxitos de la física, la química y la astronomía, han permanecido inexplicables.

No existe una sola teoría que explique todas las fuerzas de la naturaleza. No existe un modelo satisfactorio del Universo que explique su estructura y excluya las paradojas.

Al conocer las propiedades del espacio de cuatro dimensiones y tomar prestadas algunas ideas de la geometría de cuatro dimensiones, será posible no solo construir teorías y modelos más rigurosos del mundo material, sino también crear herramientas y sistemas que funcionen de acuerdo con las leyes. del mundo de cuatro dimensiones, entonces las capacidades humanas serán aún más impresionantes.