Dôležité!
Funkcia v tvare „y = kx + b“ sa nazýva lineárna funkcia.
Nazývajú sa písmenové faktory "k" a "b". číselné koeficienty.
Namiesto „k“ a „b“ môžu byť akékoľvek čísla (kladné, záporné alebo zlomky).
Inými slovami, môžeme povedať, že „y = kx + b“ je rodina všetkých možných funkcií, kde namiesto „k“ a „b“ sú čísla.
Príklady funkcií ako „y = kx + b“.
- y = 5x + 3
- y = −x + 1
- y = x − 2
k = 2 3 b = -2 y = 0,5x k = 0,5 b = 0 Venujte zvláštnu pozornosť funkcii "y = 0,5x" v tabuľke. Často robia chybu, keď hľadajú číselný koeficient „b“.
Pri zvažovaní funkcie „y = 0,5x“ je nesprávne tvrdiť, že vo funkcii nie je žiadny číselný koeficient „b“.
Číselný koeficient "b" je vždy prítomný vo funkcii ako "y = kx + b" vždy. Vo funkcii „y = 0,5x“ je číselný koeficient „b“ nulový.
Ako nakresliť lineárnu funkciu
"y = kx + b"Pamätajte!
Graf lineárnej funkcie „y = kx + b“ je priamka.
Keďže graf funkcie „y = kx + b“ je priamka, funkcia sa volá lineárna funkcia.
Z geometrie si pripomeňme axiómu (tvrdenie, ktoré nevyžaduje dôkaz), že cez ľubovoľné dva body možno nakresliť priamku a navyše iba jeden.
Na základe vyššie uvedenej axiómy vyplýva, že na vykreslenie funkcie formy
„y = kx + b“ nám bude stačiť nájsť len dva body.Napríklad zostavme graf funkcie"y = -2x + 1".
Nájdite hodnotu funkcie "y" pre dve ľubovoľné hodnoty "x". Nahraďte napríklad namiesto „x“ čísla „0“ a „1“.
Dôležité!
Pri výbere ľubovoľných číselných hodnôt namiesto „x“ je lepšie použiť čísla „0“ a „1“. S týmito číslami je ľahké robiť výpočty.
Výsledné hodnoty „x“ a „y“ sú súradnice bodov na grafe funkcie.
Získané súradnice bodov „y = −2x + 1“ zapíšeme do tabuľky.
Označme získané body na súradnicovom systéme.
Teraz nakreslíme priamku cez označené body. Táto čiara bude grafom funkcie „y = −2x + 1“.
Ako riešiť problémy na
lineárna funkcia "y = kx + b"Uvažujme o probléme.
Nakreslite graf funkcie „y = 2x + 3“. Nájsť podľa grafu:
- hodnota „y“ zodpovedajúca hodnote „x“ rovná -1; 2; 3; 5;
- hodnotu "x", ak je hodnota "y" 1; 4; 0; −1.
Najprv nakreslíme funkciu „y = 2x + 3“.
Používame pravidlá, ktorými sme nadradení. Na zobrazenie funkcie „y = 2x + 3“ stačí nájsť iba dva body.
Zvoľme dve ľubovoľné číselné hodnoty pre „x“. Pre pohodlie výpočtov zvolíme čísla „0“ a „1“.
Vykonajte výpočty a zapíšme ich výsledky do tabuľky.
Označme získané body na pravouhlom súradnicovom systéme.
Spojme výsledné body priamkou. Nakreslená priamka bude grafom funkcie „y = 2x + 3“.
Teraz pracujeme so zostrojeným grafom funkcie „y = 2x + 3“.
Musíte nájsť hodnotu „y“ zodpovedajúcu hodnote „x“,
čo sa rovná -1; 2; 3; 5.- Vôl" na nulu (x = 0);
- nahraďte „x“ vo vzorci funkcie nulou a nájdite hodnotu „y“;
- ahoj".
Namiesto „x“ vo vzorci funkcie „y = −1,5x + 3“ dosaďte číslo nula.
Y(0) = -1,50 + 3 = 3
(0; 3) - súradnice priesečníka grafu funkcie „y = −1,5x + 3“ s osou „Oy“.Pamätajte!
Na nájdenie súradníc priesečníka grafu funkcie
s osou" Vôl"(os x) potrebujete:- prirovnať súradnicu bodu pozdĺž osi "". ahoj" na nulu (y = 0);
- nahraďte vo vzorci funkcie nulu namiesto „y“ a nájdite hodnotu „x“;
- zapíšte získané súradnice priesečníka s osou " ahoj".
Namiesto „y“ vo vzorci funkcie „y = −1,5x + 3“ dosaďte číslo nula.
0 = -1,5x + 3
1,5x = 3 | :(1.5)
x = 3: 1,5
x = 2
(2; 0) - súradnice priesečníka grafu funkcie „y = −1,5x + 3“ s osou „Ox“.Aby ste si ľahšie zapamätali, ktorá súradnica bodu by sa mala rovnať nule, nezabudnite na „pravidlo protikladov“.
Dôležité!
Ak potrebujete nájsť súradnice priesečníka grafu s osou " Vôl", potom prirovnáme „y“ k nule.
A naopak. Ak potrebujete nájsť súradnice priesečníka grafu s osou "". ahoj", potom prirovnáme „x“ k nule.
Školáci stoja pred úlohou zostrojiť graf funkcie na samom začiatku štúdia algebry a pokračovať v jeho zostavovaní rok čo rok. Počnúc grafom lineárnej funkcie, na ktorý potrebujete poznať iba dva body, až po parabolu, ktorá už vyžaduje 6 bodov, hyperbolu a sínusoidu. Funkcie sú každým rokom zložitejšie a už nie je možné zostavovať ich grafy pomocou šablóny, je potrebné vykonávať komplexnejšie štúdie pomocou derivácií a limitov.
Poďme zistiť, ako nájsť graf funkcie? Aby sme to dosiahli, začnime s najjednoduchšími funkciami, ktorých grafy sú vykreslené bod po bode, a potom zvážime plán konštrukcie zložitejších funkcií.
Grafovanie lineárnej funkcie
Na vytvorenie najjednoduchších grafov použite tabuľku funkčných hodnôt. Graf lineárnej funkcie je priamka. Skúsme nájsť body na grafe funkcie y=4x+5.
- Aby sme to urobili, zoberme dve ľubovoľné hodnoty premennej x, dosaďte ich jednu po druhej do funkcie, nájdite hodnotu premennej y a všetko zadajte do tabuľky.
- Vezmite hodnotu x=0 a dosaďte ju do funkcie namiesto x - 0. Dostaneme: y=4*0+5, teda y=5, túto hodnotu zapíšte do tabuľky pod 0. Podobne zoberte x= 0, dostaneme y=4*1+5, y=9.
- Teraz, aby ste vytvorili graf funkcie, musíte vykresliť tieto body na rovine súradníc. Potom musíte nakresliť priamku.
Grafovanie kvadratickej funkcie
Kvadratická funkcia je funkciou tvaru y=ax 2 +bx +c, kde x je premenná, a,b,c sú čísla (a sa nerovná 0). Napríklad: y=x 2, y=x 2 +5, y=(x-3) 2, y=2x 2 +3x+5.
Na zostrojenie najjednoduchšej kvadratickej funkcie y=x 2 sa zvyčajne používa 5-7 bodov. Zoberme si hodnoty premennej x: -2, -1, 0, 1, 2 a nájdime hodnoty y rovnakým spôsobom ako pri zostavovaní prvého grafu.
Graf kvadratickej funkcie sa nazýva parabola. Po zostrojení grafov funkcií majú žiaci nové úlohy súvisiace s grafom.
Príklad 1: nájdite úsečku bodu grafu funkcie y=x 2, ak je ordináta 9. Na vyriešenie úlohy je potrebné do funkcie namiesto y dosadiť jej hodnotu 9. Dostaneme 9=x 2 a vyriešime túto rovnicu. x=3 a x=-3. Je to vidieť aj na grafe funkcie.
Skúmanie funkcie a jej vykreslenie
Ak chcete vykresliť grafy zložitejších funkcií, musíte vykonať niekoľko krokov zameraných na ich štúdium. K tomu potrebujete:
- Nájdite doménu definície funkcie. Oblasť definície sú všetky hodnoty, ktoré môže premenná x nadobudnúť. Tie body, v ktorých sa menovateľ stane 0 alebo radikálne vyjadrenie sa stane negatívnym, by mali byť vylúčené z definičnej domény.
- Nastavte, či je funkcia párna alebo nepárna. Pripomeňme, že párna funkcia je taká, ktorá spĺňa podmienku f(-x)=f(x). Jeho graf je symetrický vzhľadom na Oy. Funkcia bude nepárna, ak spĺňa podmienku f(-x)=-f(x). V tomto prípade je graf symetrický podľa pôvodu.
- Nájdite priesečníky so súradnicovými osami. Aby sme našli úsečku priesečníka s osou Ox, je potrebné vyriešiť rovnicu f(x) = 0 (ordináta sa rovná 0). Na nájdenie súradnice priesečníka s osou Oy je potrebné do funkcie dosadiť 0 namiesto premennej x (úsečka je 0).
- Nájdite asymptoty funkcie. Asyptota je priamka, ku ktorej sa graf približuje neobmedzene, ale nikdy ju nepretína. Poďme zistiť, ako nájsť asymptoty grafu funkcie.
- Vertikálna asymptota priamky x=a
- Horizontálna asymptota - priamka y=a
- Šikmá asymptota - priamka tvaru y=kx+b
- Nájdite extrémne body funkcie, intervaly nárastu a poklesu funkcie. Poďme nájsť extrémne body funkcie. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť prvú deriváciu a prirovnať ju k 0. Práve v týchto bodoch sa funkcia môže meniť z rastúcej na klesajúcu. Určme znamienko derivácie na každom intervale. Ak je derivácia kladná, graf funkcie sa zvyšuje, ak je záporná, klesá.
- Nájdite inflexné body funkčného grafu, vzostupné a zostupné intervaly konvexnosti.
Nájdenie inflexných bodov je teraz jednoduchšie ako kedykoľvek predtým. Stačí nájsť druhú deriváciu a potom ju prirovnať k nule. Ďalej nájdeme znamienko druhej derivácie na každom intervale. Ak je kladný, potom je graf funkcie konvexný smerom nadol, ak je záporný, je konvexný smerom nahor.
Funkcia je jedným z najdôležitejších matematických pojmov. Funkcia - premenná závislosť pri z premennej X, ak každá hodnota X zodpovedá jednej hodnote pri. Variabilné X nazývaná nezávislá premenná alebo argument. Variabilné pri nazývaná závislá premenná. Všetky hodnoty nezávislej premennej (premenná X) tvoria definičný obor funkcie. Všetky hodnoty, ktoré má závislá premenná (premenná r), tvoria rozsah hodnôt funkcie.
Funkčný graf zavolajte množinu všetkých bodov súradnicovej roviny, ktorých úsečky sa rovnajú hodnotám argumentu a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie, to znamená hodnotám premenné sú vynesené pozdĺž osi x X a hodnoty premennej sú vynesené pozdĺž osi y r. Aby ste to dosiahli, musíte poznať vlastnosti funkcie. Hlavné vlastnosti funkcie budú uvedené nižšie!
Na vykreslenie funkčného grafu odporúčame použiť náš program -. Ak máte nejaké otázky pri štúdiu materiálu na tejto stránke, vždy sa ich môžete opýtať na našej. Aj na fóre vám pomôžu vyriešiť problémy z matematiky, chémie a mnohých iných predmetov!
Základné vlastnosti funkcií.
1) Funkčná oblasť a funkčný rozsah.
Doména funkcie je množina všetkých platných hodnôt argumentov X(premenná X), pre ktoré je funkcia y = f(x) určený.
Rozsah funkcie je množina všetkých reálnych hodnôt r, ktoré funkcia akceptuje.
V elementárnej matematike sa funkcie študujú iba na množine reálnych čísel.
2) Funkčné nuly.
Funkcia nula je hodnota argumentu, pri ktorej sa hodnota funkcie rovná nule.
3) Intervaly konštantného znamienka funkcie.
Intervaly konštantného znamienka funkcie sú množiny hodnôt argumentov, v ktorých sú hodnoty funkcie iba kladné alebo záporné.
4) Monotónnosť funkcie.
Rastúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.
Klesajúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšej hodnote argumentu z tohto intervalu zodpovedá menšia hodnota funkcie.
5) Párna (nepárna) funkcia.
Párna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície rovnosti f(-x) = f(x). Graf párnej funkcie je symetrický podľa ordináty.
Nepárna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície platí rovnosť f(-x) = - f(x). Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.
6) Obmedzené a neobmedzené funkcie.
Funkcia sa nazýva ohraničená, ak existuje kladné číslo M také, že |f(x)| ≤ M pre všetky hodnoty x. Ak takéto číslo neexistuje, funkcia je neobmedzená.
7) Periodicita funkcie.
Funkcia f(x) je periodická, ak existuje nenulové číslo T také, že pre ľubovoľné x z definičného oboru funkcie platí: f(x+T) = f(x). Toto najmenšie číslo sa nazýva perióda funkcie. Všetky goniometrické funkcie sú periodické. (
Dĺžka segmentu na súradnicovej osi je určená vzorcom:
Dĺžka segmentu v rovine súradníc sa zistí pomocou vzorca:
Ak chcete zistiť dĺžku segmentu v trojrozmernom súradnicovom systéme, použite nasledujúci vzorec:
Súradnice stredu segmentu (pre súradnicovú os sa používa iba prvý vzorec, pre rovinu súradníc - prvé dva vzorce, pre trojrozmerný súradnicový systém - všetky tri vzorce) sa vypočítajú pomocou vzorcov:
Funkcia– toto je zhoda s formulárom r= f(X) medzi premennými veličinami, vďaka čomu každá uvažovaná hodnota nejakej premennej veličiny X(argument alebo nezávislá premenná) zodpovedá určitej hodnote inej premennej, r(závislá premenná, niekedy sa táto hodnota nazýva jednoducho hodnota funkcie). Všimnite si, že funkcia predpokladá hodnotu jedného argumentu X môže zodpovedať iba jedna hodnota závislej premennej pri. Avšak rovnakú hodnotu pri možno získať s rôznymi X.
Funkčná doména- to sú všetky hodnoty nezávislej premennej (argument funkcie, zvyčajne toto X), pre ktorý je funkcia definovaná, t.j. jeho význam existuje. Je označená oblasť definície D(r). Celkovo tento pojem už poznáte. Doména definície funkcie sa inak nazýva definičný obor povolených hodnôt alebo VA, ktorý ste už dávno dokázali nájsť.
Rozsah funkcií sú všetky možné hodnoty závislej premennej danej funkcie. Určené E(pri).
Funkcia sa zvyšuje na intervale, v ktorom väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie. Funkcia sa znižuje na intervale, v ktorom väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie.
Intervaly konštantného znamienka funkcie- sú to intervaly nezávislej premennej, v ktorých si závislá premenná zachováva svoje kladné alebo záporné znamienko.
Funkčné nuly- to sú hodnoty argumentu, pri ktorých sa hodnota funkcie rovná nule. V týchto bodoch funkčný graf pretína os x (osa OX). Potreba nájsť nuly funkcie veľmi často znamená potrebu jednoducho vyriešiť rovnicu. Tiež často potreba nájsť intervaly stálosti znamienka znamená potrebu jednoducho vyriešiť nerovnosť.
Funkcia r = f(X) sa volajú dokonca X
To znamená, že pre akékoľvek opačné hodnoty argumentu sú hodnoty párnej funkcie rovnaké. Graf párnej funkcie je vždy symetrický vzhľadom na zvislú os operačného zosilňovača.
Funkcia r = f(X) sa volajú zvláštny, ak je definovaný na symetrickej množine a pre ľubovoľnú X z oblasti definície platí rovnosť:
To znamená, že pre akékoľvek opačné hodnoty argumentu sú hodnoty nepárnej funkcie tiež opačné. Graf nepárnej funkcie je vždy symetrický podľa počiatku.
Súčet koreňov párnych a nepárnych funkcií (priesečníkov osi x OX) je vždy rovný nule, pretože za každý kladný koreň X má negatívny koreň - X.
Je dôležité poznamenať: niektoré funkcie nemusia byť párne alebo nepárne. Existuje veľa funkcií, ktoré nie sú ani párne, ani nepárne. Takéto funkcie sú tzv všeobecné funkcie a pre nich nie je splnená žiadna z vyššie uvedených rovností alebo vlastností.
Lineárna funkcia je funkcia, ktorá môže byť daná vzorcom:
Graf lineárnej funkcie je priamka a vo všeobecnom prípade vyzerá takto (uvádzame príklad pre prípad, keď k> 0, v tomto prípade je funkcia rastúca; pre túto príležitosť k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Graf kvadratickej funkcie (Parabola)
Graf paraboly je daný kvadratickou funkciou:
Kvadratická funkcia, ako každá iná funkcia, pretína os OX v bodoch, ktoré sú jej koreňmi: ( X 1; 0) a ( X 2; 0). Ak neexistujú žiadne korene, potom kvadratická funkcia nepretína os OX; ak existuje iba jeden koreň, potom v tomto bode ( X 0; 0) kvadratická funkcia sa iba dotýka osi OX, ale nepretína ju. Kvadratická funkcia vždy pretína os OY v bode so súradnicami: (0; c). Graf kvadratickej funkcie (paraboly) môže vyzerať takto (na obrázku sú uvedené príklady, ktoré nevyčerpávajú všetky možné typy parabol):
kde:
- ak koeficient a> 0, vo funkcii r = sekera 2 + bx + c, potom sú vetvy paraboly nasmerované nahor;
- ak a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Súradnice vrcholu paraboly možno vypočítať pomocou nasledujúcich vzorcov. X topy (p- na obrázkoch vyššie) paraboly (alebo bod, v ktorom kvadratická trojčlenka dosiahne svoju najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu):
Igrek topy (q- na obrázkoch vyššie) paraboly alebo maximum, ak vetvy paraboly smerujú dole ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), hodnota kvadratického trinomu:
Grafy iných funkcií
Funkcia napájania
Tu je niekoľko príkladov grafov mocninových funkcií:
Nepriamo úmerné je funkcia daná vzorcom:
V závislosti od znamienka čísla k Nepriamo úmerný graf závislosti môže mať dve základné možnosti:
Asymptota je priamka, ku ktorej sa graf funkcie nekonečne približuje, ale nepretína sa. Asymptoty pre grafy inverznej úmernosti znázornené na obrázku vyššie sú súradnicové osi, ku ktorým sa graf funkcie nekonečne približuje, ale nepretína ich.
Exponenciálna funkcia so základňou A je funkcia daná vzorcom:
a Graf exponenciálnej funkcie môže mať dve základné možnosti (uvádzame aj príklady, pozri nižšie):
Logaritmická funkcia je funkcia daná vzorcom:
Podľa toho, či je číslo väčšie alebo menšie ako jedna a Graf logaritmickej funkcie môže mať dve základné možnosti:
Graf funkcie r = |X| nasledovne:
Grafy periodických (trigonometrických) funkcií
Funkcia pri = f(X) sa nazýva periodické, ak existuje takéto nenulové číslo T, Čo f(X + T) = f(X), pre hocikoho X z domény funkcie f(X). Ak je funkcia f(X) je periodické s bodkou T, potom funkcia:
Kde: A, k, b sú konštantné čísla a k nerovná sa nule, tiež periodické s bodkou T 1, ktorý je určený vzorcom:
Väčšina príkladov periodických funkcií sú goniometrické funkcie. Uvádzame grafy hlavných goniometrických funkcií. Nasledujúci obrázok znázorňuje časť grafu funkcie r= hriech X(celý graf pokračuje nekonečne doľava a doprava), graf funkcie r= hriech X volal sínusoida:
Graf funkcie r=cos X volal kosínus. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Keďže sínusový graf pokračuje donekonečna pozdĺž osi OX doľava a doprava:
Graf funkcie r= tg X volal tangentoida. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Rovnako ako grafy iných periodických funkcií, aj tento graf sa donekonečna opakuje pozdĺž osi OX doľava a doprava.
A nakoniec graf funkcie r=ctg X volal kotangentoid. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Rovnako ako grafy iných periodických a goniometrických funkcií, aj tento graf sa donekonečna opakuje pozdĺž osi OX doľava a doprava.
Úspešná, usilovná a zodpovedná implementácia týchto troch bodov vám umožní ukázať na CT výborný výsledok, maximum toho, čoho ste schopní.
Našli ste chybu?
Ak si myslíte, že ste našli chybu v školiacich materiáloch, napíšte nám o nej e-mailom. Chybu môžete nahlásiť aj na sociálnej sieti (). V liste uveďte predmet (fyziku alebo matematiku), názov alebo číslo témy alebo testu, číslo úlohy, prípadne miesto v texte (strane), kde je podľa vás chyba. Popíšte tiež, o akú chybu ide. Váš list nezostane nepovšimnutý, chyba bude buď opravená, alebo vám bude vysvetlené, prečo nejde o chybu.
Čo znamenajú slová? "nastaviť funkciu"? Znamenajú: vysvetlite každému, kto chce vedieť, čo špecifická funkcia rozprávame sa. Navyše vysvetlite jasne a jednoznačne!
Ako to môžem spraviť? Ako nastaviť funkciu?
Môžete napísať vzorec. Môžete nakresliť graf. Môžete si vyrobiť stôl. Akýkoľvek spôsob je nejaké pravidlo, pomocou ktorého môžeme zistiť hodnotu i pre nami zvolenú hodnotu x. Tie. "nastaviť funkciu", to znamená ukázať zákon, pravidlo, podľa ktorého sa x mení na y.
Zvyčajne sú v rôznych úlohách už pripravený funkcie. Dávajú nám už boli nastavené. Rozhodnite sa sami, áno, rozhodnite sa.) Ale... Najčastejšie so vzorcami pracujú školáci (a dokonca aj študenti). Zvyknú si, viete... Zvyknú si tak, že každá elementárna otázka súvisiaca s iným spôsobom špecifikácie funkcie človeka okamžite rozruší...)
Aby sa predišlo takýmto prípadom, má zmysel pochopiť rôzne spôsoby špecifikácie funkcií. A, samozrejme, aplikujte tieto znalosti na „zložité“ otázky. Je to celkom jednoduché. Ak viete, čo je funkcia...)
ísť?)
Analytická metóda špecifikácie funkcie.
Najuniverzálnejší a najvýkonnejší spôsob. Funkcia definovaná analyticky toto je funkcia, ktorá je daná vzorce. V skutočnosti je to celé vysvetlenie.) Funkcie, ktoré sú známe každému (chcem tomu veriť!), napríklad: y = 2x, alebo y = x 2 atď. a tak ďalej. sú špecifikované analyticky.
Mimochodom, nie každý vzorec môže definovať funkciu. Nie každý vzorec spĺňa prísnu podmienku z definície funkcie. menovite - pre každé X môže byť len jeden igrek. Napríklad vo vzorci y = ±x, Pre jeden hodnoty x=2, ukazuje sa dva hodnoty y: +2 a -2. Tento vzorec nemôže definovať jedinečnú funkciu. Spravidla nepracujú s viachodnotovými funkciami v tomto odvetví matematiky, v kalkule.
Čo je dobré na analytickom spôsobe špecifikácie funkcie? Pretože ak máte vzorec, viete o funkcii Všetky! Môžete urobiť znamenie. Zostavte graf. Preskúmajte túto funkciu v plnom rozsahu. Predpovedajte presne, kde a ako sa bude táto funkcia správať. Celá matematická analýza je založená na tejto metóde špecifikácie funkcií. Povedzme, že derivácia tabuľky je extrémne náročná...)
Analytická metóda je celkom známa a nespôsobuje problémy. Možno existujú nejaké variácie tejto metódy, s ktorými sa študenti stretávajú. Hovorím o parametrických a implicitných funkciách.) Ale takéto funkcie sú v špeciálnej lekcii.
Prejdime k menej známym spôsobom špecifikácie funkcie.
Tabuľkový spôsob určenia funkcie.
Ako už názov napovedá, táto metóda je jednoduchým znakom. V tejto tabuľke každé x zodpovedá ( sa dáva do súladu) nejaký význam hry. Prvý riadok obsahuje hodnoty argumentu. Druhý riadok obsahuje zodpovedajúce funkčné hodnoty, napríklad:
Stôl 1.
| X | - 3 | - 1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
| r | 5 | 2 | - 4 | - 1 | 6 | 5 |
Venujte prosím pozornosť! V tomto príklade hra závisí od X v každom prípade. Toto som vymyslel zámerne.) Neexistuje žiadny vzor. Nevadí, stáva sa. znamená, presne tak Túto špecifickú funkciu som špecifikoval. presne tak Zaviedol som pravidlo, podľa ktorého sa X zmení na Y.
Môžete sa nalíčiť ďalší tanier obsahujúci vzor. Tento znak bude indikovať iné funkcia, napríklad:
Tabuľka 2
| X | - 3 | - 1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
| r | - 6 | - 2 | 0 | 4 | 6 | 8 |
Zachytili ste vzor? Tu sa všetky hodnoty hry získajú vynásobením x dvoma. Tu je prvá „zložitá“ otázka: možno funkciu definovanú pomocou tabuľky 2 považovať za funkciu y = 2x? Zatiaľ sa zamyslite, odpoveď bude uvedená nižšie v grafickej podobe. Tam je všetko úplne jasné.)
Čo je dobré tabuľkový spôsob určenia funkcie?Áno, pretože nemusíte nič počítať. Všetko je už spočítané a zapísané do tabuľky.) Ale nič viac dobré nie je. Nepoznáme hodnotu funkcie pre X, ktoré nie sú v tabuľke. V tejto metóde sú také hodnoty x jednoducho neexistuje. Mimochodom, toto je narážka na záludnú otázku.) Ako sa funkcia správa mimo tabuľky, nevieme zistiť. Nemôžeme nič robiť. A jasnosť tejto metódy ponecháva veľa na želanie... Grafická metóda je dobrá pre prehľadnosť.
Grafický spôsob určenia funkcie.
Pri tejto metóde je funkcia reprezentovaná grafom. Argument (x) je vynesený pozdĺž osi x a funkčná hodnota (y) je vynesená pozdĺž osi y. Podľa rozpisu si môžete vybrať aj ľubovoľné X a nájdite zodpovedajúcu hodnotu pri. Graf môže byť akýkoľvek, ale... nie hocijaký.) Pracujeme len s jednoznačnými funkciami. Definícia takejto funkcie jasne hovorí: každý X sa dáva do súladu jediný pri. Jeden jedna hra, nie dve, alebo tri... Pozrime sa napríklad na kruhový graf:
Kruh je ako kruh... Prečo by to nemal byť graf funkcie? Poďme zistiť, ktorá hra bude zodpovedať hodnote X, napríklad 6? Prejdeme kurzorom nad graf (alebo sa dotkneme kresby na tablete) a... vidíme, že toto x zodpovedá dva význam hry: y = 2 a y = 6.
Dva a šesť! Preto takýto graf nebude grafickým priradením funkcie. Zapnuté jeden x účtuje dva hra. Tento graf nezodpovedá definícii funkcie.
Ale ak je splnená podmienka jednoznačnosti, graf môže byť úplne čokoľvek. Napríklad:
Rovnaká pokrivenosť je zákonom, podľa ktorého sa X môže premeniť na Y. Jednoznačne. Chceli sme vedieť význam funkcie pre x = 4, Napríklad. Musíme nájsť štyri na osi x a zistiť, ktorá hra zodpovedá tomuto x. Prejdeme myšou nad obrázok a vidíme, že funkčná hodnota pri Pre x=4 rovná sa päť. Nevieme, aký vzorec určuje túto transformáciu X na Y. A to nie je potrebné. Všetko je dané harmonogramom.
Teraz sa môžeme vrátiť k „zložitej“ otázke y=2x. Nakreslíme túto funkciu. Tu je:
Samozrejme, pri kreslení tohto grafu sme nezobrali nekonečné množstvo hodnôt X. Zobrali sme niekoľko hodnôt a vypočítali y, urobil znamenie - a všetko je pripravené! Najgramotnejší ľudia získali iba dve hodnoty X! A oprávnene. Na priamu líniu nepotrebujete viac. Prečo práca navyše?
Ale my vedel určitečo môže byť x ktokoľvek. Celé číslo, zlomok, zápor... Akékoľvek. Toto je podľa vzorca y=2x je to vidieť. Body na grafe sme preto smelo spojili plnou čiarou.
Ak je funkcia daná tabuľkou 2, potom budeme musieť vziať hodnoty x len zo stola. Pretože ostatné X (a Y) nám nie sú dané a nie je ich kde získať. Tieto hodnoty sa v tejto funkcii nenachádzajú. Harmonogram vyjde z bodov. Prejdeme myšou na obrázok a uvidíme graf funkcie špecifikovanej v tabuľke 2. Hodnoty x-y som nenapísal na osi, prídete na to, bunku po bunke?)
Tu je odpoveď na „zložitú“ otázku. Funkcia špecifikovaná v tabuľke 2 a funkcia y=2x - rôzne.
Grafická metóda je dobrá pre svoju prehľadnosť. Okamžite vidíte, ako sa funkcia správa, kde sa zvyšuje. kde klesá. Z grafu môžete okamžite zistiť niektoré dôležité charakteristiky funkcie. A v téme s deriváciami sú úlohy s grafmi všade naokolo!
Vo všeobecnosti analytické a grafické metódy definovania funkcie idú ruka v ruke. Práca so vzorcom pomáha vytvárať graf. A graf často navrhuje riešenia, ktoré by ste si vo vzorci ani nevšimli... S grafmi budeme priatelia.)
Takmer každý študent pozná tri spôsoby, ako definovať funkciu, na ktorú sme sa práve pozreli. Ale na otázku: "A štvrtý!?" - dôkladne zamrzne.)
Existuje taký spôsob.
Slovný popis funkcie.
Áno áno! Funkciu je možné celkom jednoznačne špecifikovať slovami. Veľký a mocný ruský jazyk je schopný veľa!) Povedzme funkciu y=2x možno špecifikovať nasledujúcim slovným popisom: Každá skutočná hodnota argumentu x je spojená s jeho dvojnásobnou hodnotou. Páči sa ti to! Pravidlo je stanovené, funkcia je špecifikovaná.
Okrem toho môžete slovne zadať funkciu, ktorú je mimoriadne ťažké, ak nie nemožné, definovať pomocou vzorca. Napríklad: Každá hodnota prirodzeného argumentu x je spojená so súčtom číslic, ktoré tvoria hodnotu x. Napríklad, ak x=3, To y=3. Ak x=257, To y=2+5+7=14. A tak ďalej. Je problematické zapísať to do vzorca. Ale znamenie je ľahké vyrobiť. A zostavte si rozvrh. Mimochodom, ten graf vyzerá vtipne...) Skúste to.
Spôsob slovného opisu je dosť exotický. Ale niekedy áno. Priniesol som to sem, aby som vám dodal sebadôveru v neočakávaných a nezvyčajných situáciách. Musíte len pochopiť význam slov "zadaná funkcia..." Tu to je, tento význam:
Ak medzi nimi existuje zákon o vzájomnej korešpondencii X A pri- to znamená, že existuje funkcia. Aký zákon, v akej forme je vyjadrený – vzorec, tabuľka, graf, slová, piesne, tance – nemení podstatu veci. Tento zákon vám umožňuje určiť zodpovedajúcu hodnotu Y z hodnoty X. Všetky.
Teraz tieto hlboké znalosti aplikujeme na niektoré neštandardné úlohy.) Ako bolo sľúbené na začiatku hodiny.
Cvičenie 1:
Funkcia y = f(x) je daná tabuľkou 1:
Stôl 1.
Nájdite hodnotu funkcie p(4), ak p(x)= f(x) - g(x)
Ak vôbec nerozumiete, čo je čo, prečítajte si predchádzajúcu lekciu „Čo je funkcia? O takýchto písmenách a zátvorkách sa píše veľmi jasne.) A ak vás mätie iba tabuľková forma, tu to vyriešime.
Z predchádzajúcej lekcie je zrejmé, že ak p(x) = f(x) - g(x), To p(4) = f(4) - g(4). Listy f A g znamená pravidlá, podľa ktorých je každému X pridelená vlastná hra. Za každé písmeno ( f A g) - tvoj pravidlo. Čo je dané príslušnou tabuľkou.
Hodnota funkcie f(4) určená z tabuľky 1. Toto bude 5. Hodnota funkcie g 4) určí sa podľa tabuľky 2. Toto bude 8. Najťažšia vec zostáva.)
p(4) = 5 - 8 = -3
Toto je správna odpoveď.
Vyriešte nerovnosť f(x) > 2
To je všetko! Je potrebné vyriešiť nerovnosť, ktorá (v bežnej forme) brilantne absentuje! Jediné, čo zostáva, je buď sa vzdať úlohy, alebo použiť hlavu. Vyberieme to druhé a diskutujeme.)
Čo to znamená riešiť nerovnosť? To znamená nájsť všetky hodnoty x, pri ktorých je splnená nám zadaná podmienka f(x) > 2. Tie. všetky funkčné hodnoty ( pri) musí byť väčší ako dva. A na našom grafe máme každú hru... A dvojičiek je viac a menej... A pre prehľadnosť nakreslite hranicu pozdĺž týchto dvoch! Prejdeme kurzorom na kresbu a vidíme túto hranicu.
Presne povedané, táto hranica je grafom funkcie y=2, ale o to nejde. Dôležité je, že teraz graf veľmi jasne ukazuje, kde, aké X, funkčné hodnoty, t.j. y, viac ako dve. Je ich viac X > 3. O X > 3 celá naša funkcia prechádza vyššie hranice y=2. To je riešenie. Ale je príliš skoro na to, aby som si vypol!) Ešte si musím zapísať odpoveď...
Graf ukazuje, že naša funkcia sa nerozširuje doľava a doprava do nekonečna. Naznačujú to body na koncoch grafu. Tam funkcia končí. Preto v našej nerovnosti všetky X, ktoré presahujú hranice funkcie, nemajú žiadny význam. Pre funkciu týchto X neexistuje. A vlastne riešime nerovnosť pre funkciu...
Správna odpoveď bude:
3 < X ≤ 6
Alebo v inej forme:
X ∈ (3; 6]
Teraz je všetko tak, ako má byť. Tri nie sú zahrnuté v odpovedi, pretože pôvodná nerovnosť je prísna. A šesť sa zapne, pretože a funkcia na šestke existuje a podmienka nerovnosti je splnená. Úspešne sme vyriešili nerovnosť, ktorá (v bežnej forme) neexistuje...
Takto vás v neštandardných prípadoch zachránia určité znalosti a elementárna logika.)
