\(\sqrt(a)=b\) if \(b^2=a\), 여기서 \(a≥0,b≥0\)
예:
\(\sqrt(49)=7\) 때문에 \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\), 왜냐하면 \(0.2^2=0.04\)
숫자의 제곱근을 추출하는 방법은 무엇입니까?
숫자의 제곱근을 추출하려면 다음과 같은 질문을 스스로에게 던져야 합니다. 어떤 숫자를 제곱하면 근 아래에 표현식이 나올까요?
예를 들어. 루트 추출: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0.001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)
a) \(2500\)를 제곱하면 얼마입니까?
\(\제곱(2500)=50\)
b) 제곱한 수는 \(\frac(4)(9)\) 가 될까요?
\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)
c) \(0.0001\)을 제곱하면 얼마입니까?
\(\제곱(0.0001)=0.01\)
d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\) 의 제곱수는? 질문에 대한 답변을 제공하려면 잘못된 질문으로 번역해야 합니다.
\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)
논평: \(-50\), \(-\frac(2)(3)\) , \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\) 도 주어진 질문에 답하지만 , 그러나 제곱근은 항상 양수이기 때문에 고려되지 않습니다.
루트의 주요 속성
아시다시피, 수학에서는 모든 동작에 역함수가 있습니다. 덧셈에는 뺄셈이 있고 곱셈에는 나눗셈이 있습니다. 제곱의 반대는 제곱근을 취하는 것입니다. 따라서 이러한 작업은 서로를 취소합니다.
\((\sqrt(a))^2=a\)
이것은 가장 자주 사용되는 루트의 주요 속성입니다(OGE 포함)
예시 . (OGE의 작업). 표현식 \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)의 값을 찾으십시오.
결정 :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)
예시 . (OGE의 작업). 표현식 \((\sqrt(85)-1)^2\) 의 값 찾기
결정:
답변: \(86-2\sqrt(85)\)물론 제곱근으로 작업할 때는 다른 것을 사용해야 합니다.
예시
. (OGE의 작업). 식 \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)의 값을 찾습니다.
결정:
답변: \(220\)
항상 잊어 버리는 4 가지 규칙
루트가 항상 추출되는 것은 아닙니다.
예시: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) 등 - 숫자에서 근을 추출하는 것이 항상 가능한 것은 아니며 이것은 정상입니다!
숫자의 근, 숫자이기도 함
\(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\) 를 특별한 방식으로 처리할 필요가 없습니다. 이것들은 숫자이지만 정수는 아닙니다. 그렇습니다. 하지만 우리 세상의 모든 것이 정수로 측정되는 것은 아닙니다.
루트는 음수가 아닌 숫자에서만 가져옵니다.
따라서 교과서에는 \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\) 등의 항목이 표시되지 않습니다.
나는 접시를 다시 보았다 ... 그리고, 가자!
간단한 것부터 시작하겠습니다.
잠깐 기다려요. 이것은 다음과 같이 작성할 수 있음을 의미합니다.
알았다? 다음은 다음과 같습니다.
결과 숫자의 근이 정확히 추출되지 않습니까? 다음은 몇 가지 예입니다.
그러나 승수가 두 개가 아니라 더 많은 경우에는 어떻게 됩니까? 똑같다! 근 곱셈 공식은 여러 요인과 함께 작동합니다.
이제 완전히 독립적입니다.
대답:잘하셨어요! 동의하십시오. 모든 것이 매우 쉽습니다. 가장 중요한 것은 구구단을 아는 것입니다!
루트 분할
우리는 근의 곱셈을 알아 냈으므로 이제 나눗셈의 속성으로 진행합시다.
일반적으로 공식은 다음과 같습니다.
그리고 그 의미는 몫의 근은 근의 몫과 같습니다.
예를 들어 보겠습니다.
그게 다 과학이야. 다음은 예입니다.
모든 것이 첫 번째 예와 같이 매끄럽지는 않지만 보시다시피 복잡한 것은 없습니다.
표현식이 다음과 같으면 어떻게 될까요?
공식을 반대로 적용하면 됩니다.
다음은 예입니다.
다음 표현식도 볼 수 있습니다.
모든 것이 동일합니다. 여기서 분수를 번역하는 방법만 기억하면 됩니다(기억이 나지 않으면 주제를 보고 다시 돌아오세요!). 기억나요? 이제 우리는 결정합니다!
나는 당신이 모든 것에 대처했다고 확신합니다. 이제 어느 정도 뿌리를 내리려고 노력합시다.
지수화
제곱근을 제곱하면 어떻게 될까요? 간단합니다. 숫자의 제곱근의 의미를 기억하세요. 이것은 제곱근이 같은 숫자입니다.
따라서 제곱근이 같은 숫자를 제곱하면 무엇을 얻습니까?
물론, !
예를 살펴보겠습니다.
모든 것이 간단합니다. 그리고 뿌리가 다른 정도에 있다면? 괜찮아!
동일한 논리를 고수하고 속성과 능력으로 가능한 조치를 기억하십시오.
""주제에 대한 이론을 읽으면 모든 것이 매우 명확해질 것입니다.
예를 들어 다음과 같은 표현이 있습니다.
이 예에서 차수는 짝수이지만 홀수이면 어떻게 될까요? 다시 전력 속성을 적용하고 모든 요소를 고려합니다.
이것으로 모든 것이 명확해 보이지만 숫자에서 루트를 어느 정도 추출하는 방법은 무엇입니까? 예를 들어 다음과 같습니다.
아주 간단하죠? 학위가 2보다 크면 어떻게 합니까? 우리는 도의 속성을 사용하여 동일한 논리를 따릅니다.
모든 것이 명확합니까? 그런 다음 자신의 예를 해결하십시오.
답변은 다음과 같습니다.
루트의 표시 아래 소개
우리가 뿌리에 대해 배우지 못한 것! 루트 기호 아래에 숫자를 입력하는 연습만 남았습니다!
그것은 아주 쉽습니다!
우리에게 번호가 있다고 가정 해 봅시다.
우리는 그것으로 무엇을 할 수 있습니까? 물론, 트리플은 제곱근이라는 것을 기억하면서 루트 아래에 트리플을 숨깁니다!
왜 필요합니까? 예, 예를 해결할 때 우리의 능력을 확장하기 위해:
이 뿌리의 속성은 어떻습니까? 삶이 훨씬 쉬워지나요? 저에게는 맞습니다! 오직 제곱근 기호 아래에는 양수만 입력할 수 있음을 기억해야 합니다.
다음 예제를 직접 시도해 보세요.
관리하셨나요? 무엇을 얻어야 하는지 봅시다:
잘하셨어요! 루트 기호 아래에 숫자를 입력했습니다! 똑같이 중요한 것으로 넘어가자 - 제곱근을 포함하는 숫자를 비교하는 방법을 고려하십시오!
루트 비교
제곱근을 포함하는 숫자를 비교하는 방법을 배워야 하는 이유는 무엇입니까?
매우 간단합니다. 종종 시험에서 마주치는 크고 긴 표현에서 비합리적인 답변을 얻습니다(이것이 무엇인지 기억하십니까? 오늘 이미 이야기했습니다!)
예를 들어 방정식을 푸는 데 적합한 간격을 결정하려면 수신된 답변을 좌표선에 배치해야 합니다. 그리고 이것이 걸림돌이 발생하는 곳입니다. 시험에 계산기가 없으며 계산기가 없으면 어떤 숫자가 더 크고 더 작은지 상상하는 방법은 무엇입니까? 그게 다야!
예를 들어, 어느 것이 더 큰지 결정하십시오. 또는?
당신은 즉시 말하지 않을 것입니다. 그럼 루트 기호 아래에 숫자를 추가하는 parsed 속성을 사용해 볼까요?
그런 다음 앞으로:
음, 분명히 루트 기호 아래의 숫자가 클수록 루트 자체도 커집니다!
저것들. 경우 의미 .
이것으로부터 우리는 다음과 같이 단호히 결론을 내린다. 그리고 아무도 그렇지 않으면 우리를 설득하지 못할 것입니다!
큰 수에서 근 추출
그 전에 루트 기호 아래에 요소를 도입했는데 어떻게 제거합니까? 당신은 그것을 추출하고 추출된 것을 추출하기만 하면 됩니다!
다른 방향으로 이동하여 다른 요소로 분해하는 것이 가능했습니다.
나쁘지 않죠? 이러한 접근 방식 중 어느 것이든 옳습니다. 편안함을 느끼는 방법을 결정하십시오.
인수분해는 다음과 같은 비표준 작업을 해결할 때 매우 유용합니다.
우리는 겁먹지 않고 행동합니다! 루트 아래의 각 요소를 별도의 요소로 분해합니다.
이제 직접 시도해 보세요(계산기 없이! 시험에 나오지 않습니다).
여기가 끝인가요? 우리는 중간에 멈추지 않습니다!
그게 다야, 그렇게 무서운 건 아니지?
일어난? 잘했어, 당신 말이 맞아!
이제 다음 예제를 시도해 보세요.
그리고 예를 들면 깨기 힘든 너트이므로 어떻게 접근해야 할지 즉시 알 수 없습니다. 그러나 우리는 물론 치아에 있습니다.
자, 인수분해를 시작해 볼까요? 즉시 숫자를 다음과 같이 나눌 수 있습니다.
이제 직접 시도해 보세요(계산기 없이도!):
글쎄, 효과가 있었나요? 잘했어, 당신 말이 맞아!
합산
- 음이 아닌 숫자의 제곱근(산술 제곱근)은 제곱이 같은 음이 아닌 숫자입니다.
. - 우리가 무언가의 제곱근을 취하면 항상 음이 아닌 결과를 얻습니다.
- 산술 루트 속성:
- 제곱근을 비교할 때 루트 부호 아래의 숫자가 클수록 루트 자체가 커짐을 기억해야 합니다.
제곱근은 어떠세요? 공습 경보 해제?
시험에서 제곱근에 대해 알아야 할 모든 것을 물 없이 설명하려고 했습니다.
네 차례 야. 이 주제가 당신에게 어려운지 아닌지 저희에게 편지를 보내주십시오.
당신은 새로운 것을 배웠습니까 아니면 모든 것이 이미 너무 명확했습니다.
댓글을 작성하고 시험에 행운을 빕니다!
축하합니다: 오늘 우리는 8학년에서 가장 마음을 사로잡는 주제 중 하나인 뿌리를 분석할 것입니다. :)
많은 사람들이 뿌리에 대해 혼동하는 이유는 뿌리가 복잡하기 때문이 아니라(복잡한 - 몇 가지 정의와 몇 가지 속성이 더 있음) 대부분의 학교 교과서에서 뿌리가 그러한 야생을 통해 정의되기 때문입니다. 이 낙서를 이해할 수 있습니다. 그래도 좋은 위스키 한 병과 함께라면. :)
따라서 이제 루트에 대한 가장 정확하고 유능한 정의를 제공하겠습니다. 실제로 기억해야 할 유일한 것입니다. 그런 다음에만이 모든 것이 필요한 이유와 실제로 적용하는 방법을 설명합니다.
그러나 먼저 한 가지 중요한 점을 기억하십시오. 어떤 이유로 교과서의 많은 컴파일러는 다음에 대해 "잊어 버립니다".
루트는 짝수 차수(우리가 가장 좋아하는 $\sqrt(a)$, 모든 $\sqrt(a)$ 및 짝수 $\sqrt(a)$) 및 홀수 차수(모든 $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ 등). 그리고 홀수 차수의 근의 정의는 짝수 차수와 다소 다릅니다.
여기 이 빌어먹을 "다소 다른" 부분이, 아마도 뿌리와 관련된 모든 오류와 오해의 95%가 숨겨져 있을 것입니다. 따라서 용어를 한 번에 정리합시다.
정의. 짝수 루트 N숫자 $a$에서 임의 음이 아닌$((b)^(n))=a$와 같은 숫자 $b$. 그리고 동일한 수 $a$에서 홀수 차수의 근은 일반적으로 동일한 평등이 유지되는 임의의 수 $b$입니다: $((b)^(n))=a$.
어쨌든 루트는 다음과 같이 표시됩니다.
\(ㅏ)\]
이러한 표기법에서 숫자 $n$을 근 지수라고 하고 숫자 $a$를 급진적 표현이라고 합니다. 특히 $n=2$의 경우 "좋아하는" 제곱근(그런데 이것은 짝수 차수의 근)을 얻고 $n=3$의 경우 세제곱근(홀수 차수)을 얻습니다. 문제와 방정식에서도 종종 발견됩니다.
예. 제곱근의 고전적인 예:
\[\begin(정렬) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \끝(정렬)\]
그건 그렇고, $\sqrt(0)=0$이고 $\sqrt(1)=1$입니다. $((0)^(2))=0$ 및 $((1)^(2))=1$이므로 이것은 매우 논리적입니다.
입방체 뿌리도 일반적입니다. 두려워하지 마십시오.
\[\begin(정렬) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \끝(정렬)\]
글쎄, 몇 가지 "이국적인 예":
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \끝(정렬)\]
짝수와 홀수의 차이가 무엇인지 이해하지 못하면 정의를 다시 읽으십시오. 매우 중요합니다!
그 동안, 우리는 짝수 지수와 홀수 지수에 대한 별도의 정의를 도입할 필요가 있었기 때문에 근의 불쾌한 특징 중 하나를 고려할 것입니다.
왜 뿌리가 필요합니까?
정의를 읽은 후 많은 학생들이 "수학자들은 이것을 생각해 냈을 때 무엇을 피웠습니까?"라고 묻습니다. 그리고 정말로: 왜 우리는 이 모든 뿌리가 필요합니까?
이 질문에 답하기 위해 잠시 초등학교로 돌아가 보겠습니다. 기억하십시오. 나무가 더 푸르고 만두가 더 맛있었던 먼 옛날에 우리의 주된 관심사는 숫자를 정확하게 곱하는 것이었습니다. 글쎄, "5 x 5 - 25"의 정신에 있는 무언가, 그게 다야. 그러나 결국 숫자를 쌍으로 곱하지 않고 세 쌍, 네 쌍 및 일반적으로 전체 집합으로 곱할 수 있습니다.
\[\begin(정렬) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(정렬)\]
그러나 이것이 요점이 아닙니다. 트릭은 다릅니다. 수학자들은 게으른 사람들이므로 다음과 같이 105의 곱셈을 적어야 했습니다.
그래서 그들은 학위를 생각해 냈습니다. 긴 문자열 대신 위첨자로 요인 수를 쓰지 않는 이유는 무엇입니까? 이 같은:
매우 편리합니다! 모든 계산은 몇 배로 줄어들며, 몇 장의 양피지 공책을 사용하여 약 5 183 을 쓸 수 없습니다. 그러한 항목은 숫자의 정도라고 불리며 많은 속성이 발견되었지만 행복은 일시적인 것으로 나타났습니다.
도의 "발견"에 대해 조직된 거창한 술을 마신 후, 특히 돌이 많은 수학자는 갑자기 이렇게 물었다. 실제로, 예를 들어 특정 숫자 $b$가 243의 5승을 준다는 것을 안다면 숫자 $b$ 자체가 무엇인지 어떻게 추측할 수 있습니까?
이 문제는 언뜻 보기에 보이는 것보다 훨씬 더 글로벌한 것으로 판명되었습니다. 대부분의 "기성품" 학위에는 그러한 "초기" 숫자가 없다는 것이 밝혀졌기 때문입니다. 스스로 판단:
\[\begin(정렬) & ((b)^(3))=27\오른쪽 화살표 b=3\cdot 3\cdot 3\오른쪽 화살표 b=3; \\ & ((b)^(3))=64\오른쪽 화살표 b=4\cdot 4\cdot 4\오른쪽 화살표 b=4. \\ \끝(정렬)\]
$((b)^(3))=50$이면? 특정 숫자를 찾아야 하는 것으로 나타났습니다. 이 숫자는 자체적으로 세 번 곱하면 50이 됩니다. 하지만 이 숫자는 무엇인가요? 3 3 = 27이기 때문에 분명히 3보다 큽니다.< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. 즉 이 숫자는 3과 4 사이의 어딘가에 있지만, 그것이 무엇과 같은지는 이해하게 될 것입니다.
이것이 바로 수학자들이 $n$-번째 근을 생각해 낸 이유입니다. 이것이 급진적 아이콘 $\sqrt(*)$가 도입된 이유입니다. 지정된 거듭제곱에 대해 이전에 알려진 값을 제공하는 동일한 수 $b$를 표시하려면
\[\sqrt[n](a)=b\오른쪽 화살표 ((b)^(n))=a\]
나는 주장하지 않습니다. 종종 이러한 뿌리는 쉽게 고려됩니다. 우리는 위에서 몇 가지 그러한 예를 보았습니다. 그러나 여전히 대부분의 경우 임의의 숫자를 생각한 다음 그로부터 임의의 정도의 근을 추출하려고 하면 잔인한 곤경에 빠지게 됩니다.
어떤이! 가장 단순하고 가장 친숙한 $\sqrt(2)$조차도 일반적인 형식(정수 또는 분수)으로 나타낼 수 없습니다. 이 숫자를 계산기에 입력하면 다음과 같이 표시됩니다.
\[\sqrt(2)=1.414213562...\]
보시다시피, 소수점 뒤에는 논리를 따르지 않는 끝없는 숫자 시퀀스가 있습니다. 물론 이 숫자를 반올림하여 다른 숫자와 빠르게 비교할 수 있습니다. 예를 들어:
\[\sqrt(2)=1.4142...\약 1.4 \lt 1.5\]
또는 다른 예가 있습니다.
\[\sqrt(3)=1.73205...\약 1.7 \gt 1.5\]
그러나 이러한 모든 반올림은 첫째, 다소 거칠다. 둘째, 대략적인 값으로 작업할 수도 있어야 합니다. 그렇지 않으면 여러 가지 분명하지 않은 오류를 잡을 수 있습니다(그런데 비교 및 반올림 기술은 프로필 시험에서 반드시 확인해야 함).
따라서 진지한 수학에서는 근 없이는 할 수 없습니다. 그들은 우리가 오랫동안 알고 있던 분수와 정수와 같은 모든 실수 $\mathbb(R)$ 집합의 동일한 대표자입니다.
$\frac(p)(q)$ 형식의 분수로 근을 나타낼 수 없다는 것은 이 근이 유리수가 아님을 의미합니다. 이러한 숫자를 무리수라고 하며, 이를 위해 특별히 설계된 다른 구조(로그, 도, 극한 등)의 도움 없이는 정확하게 나타낼 수 없습니다. 그러나 다른 시간에 더 자세히 설명합니다.
모든 계산 후에도 무리수가 여전히 답에 남아 있는 몇 가지 예를 고려하십시오.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\약 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\대략 -1,2599... \\ \end(정렬)\]
당연히 근의 모양으로 소수점 뒤에 오는 숫자를 추측하는 것은 거의 불가능합니다. 그러나 계산기로 계산하는 것은 가능하지만 가장 발전된 날짜 계산기라도 무리수의 처음 몇 자리만 제공합니다. 따라서 $\sqrt(5)$와 $\sqrt(-2)$로 답을 쓰는 것이 훨씬 정확합니다.
그것이 그들이 발명 된 이유입니다. 답을 쉽게 쓸 수 있도록.
두 가지 정의가 필요한 이유는 무엇입니까?
주의 깊은 독자는 이미 예제에 제공된 모든 제곱근이 양수에서 가져온 것임을 이미 알아차렸을 것입니다. 글쎄, 적어도 0에서. 그러나 입방체 루트는 절대적으로 모든 숫자에서 침착하게 추출됩니다. 심지어 양수, 심지어 음수입니다.
왜 이런 일이 발생합니까? $y=((x)^(2))$ 함수의 그래프를 보십시오.
이차 함수의 그래프는 양수와 음수라는 두 개의 근을 제공합니다. 이 그래프를 사용하여 $\sqrt(4)$를 계산해 봅시다. 이를 위해 $((x)_(1))=2$ 및 $((x)의 두 점에서 포물선과 교차하는 수평선 $y=4$(빨간색으로 표시)가 그래프에 그려집니다. _(2)) =-2$. 이것은 매우 논리적입니다. 왜냐하면
첫 번째 숫자로 모든 것이 명확합니다. 양수이므로 루트입니다.
그러나 두 번째 점은 어떻게 해야 합니까? 4는 한 번에 두 개의 뿌리를 가지고 있습니까? 결국, 숫자 −2를 제곱하면 4도 나옵니다. 그러면 $\sqrt(4)=-2$를 쓰지 않는 이유는 무엇입니까? 그리고 선생님들은 왜 그런 기록을 보고 싶어하는 걸까요? :)
문제는 추가 조건이 부과되지 않으면 네 개의 제곱근이 양수와 음수라는 두 개의 제곱근을 갖게 된다는 것입니다. 그리고 모든 양수에는 두 가지가 있습니다. 그러나 음수에는 근이 전혀 없습니다. 이는 포물선이 축 아래로 떨어지지 않기 때문에 동일한 그래프에서 볼 수 있습니다. 와이, 즉. 음수 값을 사용하지 않습니다.
지수가 짝수인 모든 근에 대해 유사한 문제가 발생합니다.
- 엄밀히 말하면, 각 양수에는 짝수 지수 $n$가 있는 두 개의 근이 있습니다.
- 음수에서 $n$가 짝수인 루트는 전혀 추출되지 않습니다.
이것이 짝수 루트 $n$의 정의에서 답이 음수가 아니어야 한다고 구체적으로 규정하는 이유입니다. 이것이 우리가 모호성을 제거하는 방법입니다.
그러나 홀수 $n$의 경우에는 그런 문제가 없습니다. 이를 보기 위해 $y=((x)^(3))$ 함수의 그래프를 살펴보겠습니다.
3차 포물선은 임의의 값을 취하므로 3차 루트는 임의의 수에서 가져올 수 있습니다. 이 그래프에서 두 가지 결론을 도출할 수 있습니다.
- 일반 포물선과 달리 3차 포물선의 가지는 위아래로 양방향으로 무한대로 이동합니다. 따라서 수평선을 그리는 높이에 관계없이이 선은 그래프와 확실히 교차합니다. 따라서 세제곱근은 항상 절대적으로 임의의 숫자에서 가져올 수 있습니다.
- 또한 이러한 교차점은 항상 고유하므로 "정확한" 근을 고려해야 할 숫자와 점수를 매길 숫자에 대해 생각할 필요가 없습니다. 이것이 홀수 차수에 대한 근의 정의가 짝수 차수에 대한 것보다 더 간단한 이유입니다(음수가 아닌 요구 사항이 없음).
대부분의 교과서에 이런 간단한 내용이 설명되어 있지 않아 안타깝습니다. 대신, 우리의 두뇌는 모든 종류의 산술 뿌리와 그 속성으로 치솟기 시작합니다.
예, 나는 주장하지 않습니다. 산술 루트가 무엇인지도 알아야 합니다. 이에 대해서는 별도의 강의에서 자세히 설명하겠습니다. 오늘 우리는 그것에 대해 이야기할 것입니다. 왜냐하면 그것 없이는 $n$-th 다중성의 근에 대한 모든 반영이 불완전할 것이기 때문입니다.
그러나 먼저 위에서 설명한 정의를 명확하게 이해해야 합니다. 그렇지 않으면 풍부한 용어로 인해 그러한 혼란이 머리에서 시작되어 결국에는 아무 것도 이해하지 못할 것입니다.
그리고 이해해야 할 것은 짝수와 홀수의 차이뿐입니다. 따라서 다시 한 번 뿌리에 대해 알아야 할 모든 것을 수집합니다.
- 짝수 루트는 음수가 아닌 숫자에서만 존재하며 항상 음수가 아닌 숫자입니다. 음수의 경우 이러한 근은 정의되지 않습니다.
- 그러나 홀수 차수의 근은 모든 숫자에서 존재하며 그 자체가 임의의 숫자일 수 있습니다. 양수에 대해서는 양수이고 캡에서 암시하는 것처럼 음수에 대해서는 음수입니다.
그거 어렵 니? 아니요, 어렵지 않습니다. 당연하게도? 예, 분명합니다! 따라서 이제 우리는 계산을 조금 연습할 것입니다.
기본 속성 및 제한 사항
뿌리에는 이상한 속성과 제한이 많이 있습니다. 이것은 별도의 수업이 될 것입니다. 따라서 이제 지수가 짝수인 루트에만 적용되는 가장 중요한 "칩"만 고려할 것입니다. 이 속성을 수식 형식으로 작성합니다.
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\왼쪽| x\오른쪽|\]
다시 말해, 숫자를 짝수 거듭제곱한 다음 여기서 같은 차수의 근을 추출하면 원래 숫자가 아니라 모듈러스가 됩니다. 이것은 증명하기 쉬운 간단한 정리입니다(음수가 아닌 $x$를 별도로 고려한 다음 음수를 별도로 고려하면 됩니다). 선생님들은 끊임없이 그것에 대해 이야기하고 모든 학교 교과서에 나와 있습니다. 그러나 불합리한 방정식(즉, 근의 부호를 포함하는 방정식)을 푸는 순간 학생들은 이 공식을 함께 잊어버립니다.
문제를 자세히 이해하려면 잠시 모든 공식을 잊어버리고 두 개의 숫자를 미리 계산해 보겠습니다.
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
이것은 매우 간단한 예입니다. 첫 번째 예는 대부분의 사람들이 해결하지만 두 번째 예는 많은 사람들이 고수합니다. 이러한 쓰레기를 문제 없이 해결하려면 항상 다음 절차를 고려하십시오.
- 먼저, 숫자를 4제곱합니다. 글쎄요, 좀 쉽습니다. 구구단에서도 찾을 수 있는 새 숫자가 생성됩니다.
- 그리고 이제 이 새로운 숫자에서 4도의 근을 추출해야 합니다. 저것들. 뿌리와 정도의 "감소"는 없습니다. 이는 순차적 작업입니다.
첫 번째 표현식인 $\sqrt(((3)^(4)))$를 처리해 보겠습니다. 분명히, 먼저 루트 아래의 표현식을 계산해야 합니다.
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
그런 다음 숫자 81의 네 번째 근을 추출합니다.
이제 두 번째 표현식과 동일한 작업을 수행해 보겠습니다. 먼저 숫자 −3을 4승으로 제곱합니다. 이를 위해 4배를 곱해야 합니다.
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ 왼쪽(-3 \오른쪽)=81\]
제품의 총 빼기 수가 4개이기 때문에 양수를 얻었으며 모두 서로를 취소합니다(결국 빼기에 의한 빼기는 더하기를 제공함). 다음으로 루트를 다시 추출합니다.
원칙적으로 이 줄은 쓸 수 없습니다. 답이 같을 것이라는 것은 당연한 일이기 때문입니다. 저것들. 동일한 짝수 전력의 짝수 루트는 마이너스를 "타는" 것이며 이러한 의미에서 결과는 일반 모듈과 구별할 수 없습니다.
\[\begin(정렬) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\오른쪽|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \오른쪽|=3. \\ \끝(정렬)\]
이러한 계산은 짝수 차수의 근에 대한 정의와 잘 일치합니다. 결과는 항상 음수가 아니고, 급진 부호도 항상 음수가 아닙니다. 그렇지 않으면 루트가 정의되지 않습니다.
작업 순서 참고
- $\sqrt(((a)^(2)))$ 표기법은 먼저 숫자 $a$를 제곱한 다음 결과 값의 제곱근을 취한다는 것을 의미합니다. 따라서 $((a)^(2))\ge 0$ 이므로 음수가 아닌 숫자는 항상 루트 기호 아래에 위치합니다.
- 그러나 반대로 $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ 표기법은 먼저 특정 숫자 $a$에서 근을 추출한 다음 결과를 제곱한다는 것을 의미합니다. 따라서 숫자 $a$는 어떠한 경우에도 음수가 될 수 없습니다. 이는 정의에 포함된 필수 요구 사항입니다.
따라서 어떤 경우에도 뿌리와 각도를 생각 없이 줄여 원래 표현을 "단순화"해서는 안 됩니다. 루트 아래에 음수가 있고 지수가 짝수이면 많은 문제가 발생하기 때문입니다.
그러나 이러한 모든 문제는 짝수 지표에만 해당됩니다.
루트 기호 아래에서 빼기 기호 제거
당연히, 지수가 홀수인 근에도 원칙적으로 짝수에는 존재하지 않는 고유한 기능이 있습니다. 즉:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
요컨대, 홀수 정도의 뿌리 기호 아래에서 마이너스를 꺼낼 수 있습니다. 이것은 모든 마이너스를 "던질" 수 있게 해주는 매우 유용한 속성입니다.
\[\begin(정렬) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \끝(정렬)\]
이 간단한 속성은 많은 계산을 크게 단순화합니다. 이제 걱정할 필요가 없습니다. 부정적인 표현이 루트 아래에 있고 루트의 정도가 짝수로 밝혀지면 어떻게 될까요? 뿌리 외부의 모든 마이너스를 "던지기"만하면 충분합니다. 그 후에 서로 곱해지고 나눌 수 있으며 일반적으로 "고전적인"근본의 경우 우리를 오류.
그리고 여기에 또 다른 정의가 등장합니다. 대부분의 학교에서 비합리적인 표현에 대한 연구를 시작하는 바로 그 정의입니다. 그리고 그것 없이는 우리의 추론이 불완전할 것입니다. 만나다!
산술 루트
잠시 동안 양수 또는 극단적인 경우 0이 루트 기호 아래에 있을 수 있다고 가정해 보겠습니다. 짝수/홀수 지표에 대해 점수를 매기고 위에 제공된 모든 정의에 대해 점수를 매기자. 음수가 아닌 숫자로만 작업할 것입니다. 그럼?
그런 다음 산술 루트를 얻습니다. "표준"정의와 부분적으로 교차하지만 여전히 다릅니다.
정의. 음수가 아닌 숫자 $a$의 $n$번째 차수의 산술 루트는 $((b)^(n))=a$와 같은 음수가 아닌 숫자 $b$입니다.
보시다시피, 우리는 더 이상 패리티에 관심이 없습니다. 대신 새로운 제한이 나타났습니다. 급진적 표현은 이제 항상 음수가 아니며 어근 자체도 음수가 아닙니다.
산술 루트가 일반적인 루트와 어떻게 다른지 더 잘 이해하려면 이미 우리에게 친숙한 제곱 및 3차 포물선의 그래프를 살펴보십시오.
루트 검색 영역 - 음수가 아닌 숫자 보시다시피 지금부터는 $x$ 및 $y$ 좌표가 양수(또는 최소한 0)인 첫 번째 좌표 분기에 있는 그래프 조각에만 관심이 있습니다. 음수를 근절할 권리가 있는지 여부를 이해하기 위해 더 이상 지표를 볼 필요가 없습니다. 음수는 더 이상 원칙적으로 고려되지 않기 때문입니다.
“글쎄요, 왜 그런 거세 정의가 필요한가요?”라고 물을 수 있습니다. 또는: "왜 우리는 위에 주어진 표준 정의를 사용할 수 없습니까?"
글쎄, 나는 새로운 정의가 적절하기 때문에 단 하나의 속성을 줄 것입니다. 예를 들어, 지수화 규칙은 다음과 같습니다.
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
참고: 우리는 급진적 표현을 임의의 거듭제곱으로 올릴 수 있으며 동시에 루트 지수에 동일한 거듭제곱을 곱할 수 있습니다. 그러면 결과는 동일한 숫자가 됩니다! 여기 예시들이 있습니다 :
\[\begin(정렬) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(정렬)\]
그게 무슨 문제야? 왜 우리는 전에 그것을 할 수 없었습니까? 여기 이유가 있습니다. 간단한 식을 생각해 보십시오. $\sqrt(-2)$는 우리의 고전적 의미에서 매우 정상적인 숫자이지만 산술 루트의 관점에서 절대 받아들일 수 없는 숫자입니다. 변환해 보겠습니다.
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
보시다시피, 첫 번째 경우에는 급진적 아래에서 마이너스를 빼냈고(지표가 홀수이기 때문에 우리는 모든 권리를 가집니다), 두 번째 경우에는 위의 공식을 사용했습니다. 저것들. 수학의 관점에서 모든 것은 규칙에 따라 수행됩니다.
와?! 어떻게 같은 수가 양수와 음수일 수 있습니까? 안 돼요. 그것은 양수와 0에 대해 잘 작동하는 지수 공식이 음수의 경우에 완전한 이단을 주기 시작한다는 것입니다.
여기에서 그러한 모호성을 없애기 위해 산술 뿌리를 생각해 냈습니다. 우리는 모든 속성을 자세히 고려하는 별도의 큰 교훈을 그들에게 할애합니다. 이제 우리는 그것에 대해 이야기하지 않을 것입니다. 어쨌든 수업은 너무 길었습니다.
대수근: 더 알고 싶은 사람들을 위해
나는 오랫동안 생각했습니다. 이 주제를 별도의 단락으로 만들지 말지. 결국 나는 여기를 떠나기로 했다. 이 자료는 평균적인 "학교" 수준이 아니라 올림피아드에 가까운 수준에서 뿌리를 더 잘 이해하고자 하는 사람들을 위한 것입니다.
따라서: 숫자에서 $n$-th 차수의 근에 대한 "고전적인" 정의 및 짝수 및 홀수 표시기로 연관된 분할 외에도 패리티 및 다른 미묘함. 이것을 대수근이라고 합니다.
정의. $a$의 대수 $n$-번째 근은 $((b)^(n))=a$와 같은 모든 숫자 $b$의 집합입니다. 그러한 뿌리에 대해 잘 정립된 명칭이 없으므로 상단에 대시(-)를 붙이기만 하면 됩니다.
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right.\right\) \]
강의 초반에 제시한 표준 정의와 근본적인 차이점은 대수근이 특정한 숫자가 아니라 집합이라는 것입니다. 그리고 우리는 실수로 작업하기 때문에 이 집합은 세 가지 유형만 있습니다.
- 빈 세트입니다. 음수에서 짝수 차수의 대수근을 찾아야 할 때 발생합니다.
- 단일 요소로 구성된 집합입니다. 홀수 거듭제곱의 모든 근과 0에서 짝수 거듭제곱의 근이 이 범주에 속합니다.
- 마지막으로 세트에는 두 개의 숫자가 포함될 수 있습니다. $((x)_(1))$ 및 $((x)_(2))=-((x)_(1))$ 차트 2차 함수. 따라서 이러한 정렬은 양수에서 짝수차수의 근을 추출해야만 가능하다.
마지막 경우는 더 자세히 고려할 가치가 있습니다. 차이점을 이해하기 위해 몇 가지 예를 들어 보겠습니다.
예시. 표현식 계산:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
결정. 첫 번째 표현은 간단합니다.
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]
집합의 일부인 두 개의 숫자입니다. 각각의 제곱은 4를 제공하기 때문입니다.
\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]
여기서 우리는 하나의 숫자로만 구성된 집합을 봅니다. 루트의 지수가 홀수이기 때문에 이것은 매우 논리적입니다.
마지막으로, 마지막 표현:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
우리는 빈 세트를 얻었다. 4승(즉, 짝수!)으로 거듭제곱하면 음수 -16이 되는 실수는 하나도 없기 때문입니다.
마지막 메모. 참고: 우리가 실수로 작업하고 있다는 사실을 모든 곳에서 언급한 것은 우연이 아닙니다. 복소수도 있기 때문에 $\sqrt(-16)$ 및 기타 많은 이상한 것들을 계산하는 것이 가능합니다.
그러나 현대 학교 수학 교육 과정에서 복소수는 거의 발견되지 않습니다. 우리 관리들이 주제를 "이해하기 너무 어렵다"고 생각하기 때문에 대부분의 교과서에서 생략되었습니다.
그게 다야. 다음 강의에서는 근의 모든 주요 속성을 살펴보고 마지막으로 무리수 표현을 단순화하는 방법을 배웁니다. :)
루트 공식. 제곱근의 속성.
주목!
추가로 있습니다
특별 섹션 555의 자료.
강하게 "별로..."
그리고 "매우 ..."하는 사람들을 위해)
이전 수업에서 제곱근이 무엇인지 알아냈습니다. 무엇인지 알아볼 시간입니다 뿌리 공식, 무엇인가 루트 속성그리고 그것에 대해 무엇을 할 수 있는지.
루트 공식, 루트 속성 및 루트가 있는 작업에 대한 규칙- 그것은 본질적으로 같은 것입니다. 제곱근에 대한 공식은 놀랍게도 거의 없습니다. 물론 기쁘게 생각합니다! 오히려 모든 종류의 수식을 많이 작성할 수 있지만 근에 대한 실용적이고 자신감 있는 작업에는 3개만 있으면 충분합니다. 다른 모든 것은 이 세 가지에서 나옵니다. 비록 많은 사람들이 뿌리의 세 가지 공식에서 벗어나 있지만, 그렇습니다 ...
가장 간단한 것부터 시작합시다. 여기 그녀가 있습니다:
이 사이트가 마음에 드신다면...
그건 그렇고, 나는 당신을 위해 몇 가지 더 흥미로운 사이트를 가지고 있습니다.)
예제 해결을 연습하고 레벨을 확인할 수 있습니다. 즉각적인 검증으로 테스트합니다. 학습 - 관심을 가지고!)
함수와 파생어를 알 수 있습니다.
남편. 뿌리, 목, 뿌리 · 손상. 경멸하는 뿌리줄기, 확대하는 뿌리줄기, 모든 식물의 지하 부분. 나무에는 등뼈와 옆 뿌리가 구별되며 뿌리와 작은 엽이 있습니다. 수분 흡수. 루트 발생: 구근, ... ... Dahl의 설명 사전
루트, pH, pl. 르니, 르니, 남편. 1. 식물의 지하 부분으로 토양에서 식물을 강화하고 토양에서 물과 영양분을 흡수합니다. 주요, 측면, 부속기 공중 뿌리 (덩굴 식물 및 지상에서 높은 일부 다른 식물에서 ... Ozhegov의 설명 사전
- (기수) 잎이 많은 식물의 주요 영양 기관 중 하나로서 기질에 부착하고 기질에서 물을 흡수하고 영양을 공급합니다. 물질. 계통발생학적으로 K.는 줄기보다 늦게 발생했으며 아마도 뿌리모양에서 유래한 것으로 추정된다 ... ... 생물학 백과사전
시작, 이유, 근원 뿌리 뽑기, 뿌리 뽑기... 러시아어 동의어 및 의미가 유사한 표현 사전을 참조하십시오. 아래에. 에드. N. Abramova, M .: 러시아어 사전, 1999. 뿌리, 시작, 이유, 기원; 근본적인; 척추, 줄기, ... ... 동의어 사전
뿌리- ROOT, rnya, m. 1. 친구, 친구. 2. 남자의 성기 작은 남자가 뿌리를 내린다 강한 뿌리는 오래되고 충실한 친구입니다. 1. 가능 측근에 의한 오염… 러시아어 아르고 사전
수학에서 ..1) 숫자 a에서 차수 n의 근은 임의의 숫자 x(표시됨, a는 급진적 표현이라고 함)이며, n차 차수는 a()와 같습니다. 근을 구하는 동작을 근추추출이라고 한다2)] 방정식의 근은 ... 뒤에 오는 수이다.
1 차 뿌리는 많은 침엽수에서 평생 동안 보존되며 측면 뿌리가 확장되는 강력한 탭 뿌리 형태로 발달합니다. 덜 일반적으로 일부 소나무에서와 같이 기본 뿌리가 덜 발달되어 옆 뿌리로 대체됩니다. 긴거 빼고... 생물학 백과사전
- (수학), 1) 숫자 a의 차수 n의 근 A n승이 주어진 숫자 a와 같은 숫자(표시됨, a는 급진적 표현이라고 함). 뿌리를 찾는 행위를 뿌리 뽑기라고 합니다. 2) 방정식 값의 솔루션 ... ... 현대 백과사전
생물학에서, 토양에서 강화하고, 물, 미네랄을 흡수하고, 유기 화합물을 합성하고, 일부 대사 산물을 분리하는 역할을 하는 식물의 주요 기관 중 하나입니다. 루트는 예비의 저장 장소가 될 수 있습니다 ... ... 큰 백과사전
언어학에서 접사를 포함하지 않는 비 파생어(단순) 어간. 어근은 단어의 어휘적 핵심입니다. 즉, 주요 실제 의미를 전달합니다 ... 큰 백과사전
서적
- 모든 악의 근원, Williams R. Donald Bailey는 어려운 십대가 아니라 단순히 불행합니다. 돌이킬 수 없는 행동을 한 그는 친구의 신뢰와 어머니의 사랑과 평화를 잃었습니다. 그에게 남은 것은? 로부터 도망 치다...
- 문제의 근원, Henry R. Brandt. 이 책의 저자는 모든 종류의 정신 장애로부터의 구원에 대한 매우 간단한 성경적 진리, 즉 모든 문제의 근본 원인으로서의 죄에 대한 인식과 저지른 죄에 대한 회개를 제공합니다. 에…
