Come ricordare le formule per ridurre le funzioni trigonometriche? È facile se usi un'associazione. Questa associazione non è stata inventata da me. Come già accennato, una buona associazione dovrebbe “catturare”, cioè evocare emozioni vivide. Non posso definire positive le emozioni provocate da questa associazione. Ma dà un risultato: ti permette di ricordare le formule di riduzione, il che significa che ha il diritto di esistere. Dopotutto, se non ti piace, non devi usarlo, giusto?
Le formule di riduzione hanno la forma: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Ricorda che +α dà il movimento in senso antiorario, - α dà il movimento in senso orario.
Per lavorare con le formule di riduzione, sono necessari due punti:
1) mettere il segno che ha la funzione iniziale (nei libri di testo scrivono: riducibile. Ma per non confondersi è meglio chiamarla iniziale), se consideriamo α l'angolo del primo quarto, cioè , piccolo.
2) Diametro orizzontale - π±α, 2π±α, 3π±α... - in generale, quando non c'è frazione, il nome della funzione non cambia. Verticale π/2±α, 3π/2±α, 5π/2±α... - quando c'è una frazione, il nome della funzione cambia: seno - in coseno, coseno - in seno, tangente - in cotangente e cotangente - a tangente. 
Ora, infatti, l'associazione:
diametro verticale (c'è una frazione) -
stare ubriaco. Cosa gli succederà presto?
Oppure è troppo tardi? Esatto, cadrà.
Il nome della funzione cambierà.
Se il diametro è orizzontale, l'ubriaco è già sdraiato. Probabilmente sta dormendo. Non gli succederà nulla, ha già assunto una posizione orizzontale. Di conseguenza, il nome della funzione non cambia.
Cioè sin(π/2±α), sin(3π/2±α), sin(5π/2±α), ecc. dare ±cosα,
e sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … - ± sinα.
Sappiamo già come.
Come funziona? Diamo un'occhiata agli esempi.
1) cos(π/2+α)=?
Diventiamo π/2. Poiché +α significa che andiamo avanti, in senso antiorario. Ci troviamo nel secondo quarto, dove il coseno ha il segno “-”. Il nome della funzione cambia (“una persona ubriaca è in piedi”, il che significa che cadrà). COSÌ,
cos(π/2+α)=-sen α.
Arriviamo a 2π. Poiché -α - andiamo all'indietro, cioè in senso orario. Ci troviamo nel IV quarto, dove la tangente ha il segno “-”. Il nome della funzione non cambia (il diametro è orizzontale, “l'ubriaco è già sdraiato”). Pertanto, tan(2π-α)=- tanα.
3) ctg²(3π/2-α)=?
Gli esempi in cui una funzione viene elevata a una potenza pari sono ancora più semplici da risolvere. Il grado pari “-” lo rimuove, cioè devi solo scoprire se il nome della funzione cambia o rimane. Il diametro è verticale (c'è una frazione, “stando ubriaco”, cadrà), cambia il nome della funzione. Otteniamo: ctg²(3π/2-α)= tan²α.
E un altro problema B11 sullo stesso argomento: dal vero esame di stato unificato in matematica.
Compito. Trova il significato dell'espressione:
In questo breve video tutorial impareremo come applicarlo formule di riduzione per risolvere problemi reali B11 dell'Esame di Stato Unificato di matematica. Come puoi vedere, abbiamo due espressioni trigonometriche, ciascuna contenente seni e coseni, oltre ad alcuni argomenti numerici piuttosto brutali.
Prima di risolvere questi problemi, ricordiamo quali sono le formule di riduzione. Quindi, se abbiamo espressioni come:
Allora possiamo eliminare il primo termine (della forma k · π/2) secondo regole speciali. Disegniamo un cerchio trigonometrico e segniamo su di esso i punti principali: 0, π/2; π; 3π/2 e 2π. Poi guardiamo il primo termine sotto il segno della funzione trigonometrica. Abbiamo:
- Se il termine che ci interessa giace sull’asse verticale del cerchio trigonometrico (ad esempio: 3π/2; π/2, ecc.), allora la funzione originaria viene sostituita da una co-funzione: seno viene sostituito da coseno, e coseno, al contrario, per seno.
- Se il nostro termine giace sull'asse orizzontale, la funzione originaria non cambia. Rimuoviamo semplicemente il primo termine nell'espressione e il gioco è fatto.
Otteniamo così una funzione trigonometrica che non contiene termini della forma k · π/2. Tuttavia, il lavoro con le formule di riduzione non finisce qui. Il fatto è che la nostra nuova funzione, ottenuta dopo aver “scartato” il primo termine, può avere davanti un segno più o meno. Come identificare questo segno? Ora lo scopriremo.
Immaginiamo che l'angolo α che rimane all'interno della funzione trigonometrica dopo le trasformazioni abbia una misura in gradi molto piccola. Ma cosa significa “piccola misura”? Diciamo α ∈ (0; 30°) - questo è abbastanza. Facciamo un esempio della funzione:
Quindi, seguendo le nostre assunzioni che α ∈ (0; 30°), concludiamo che l'angolo 3π/2 − α si trova nel terzo quarto di coordinate, cioè 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Ricordiamo il segno della funzione originaria, cioè y = sin x su questo intervallo. Ovviamente il seno nel terzo quarto di coordinata è negativo, poiché per definizione il seno è l'ordinata dell'estremità del raggio in movimento (in breve, il seno è la coordinata y). Ebbene, la coordinata y nel semipiano inferiore assume sempre valori negativi. Ciò significa che nel terzo trimestre anche y è negativo.
Sulla base di queste riflessioni possiamo scrivere l’espressione finale:
Problema B11 - Opzione 1
Queste stesse tecniche sono abbastanza adatte per risolvere il problema B11 dell'Esame di Stato Unificato in matematica. L'unica differenza è che in molti problemi B11 reali, invece della misura in radianti (cioè i numeri π, π/2, 2π, ecc.) viene utilizzata una misura in gradi (cioè 90°, 180°, 270° e così via). Consideriamo il primo compito:
Diamo prima un'occhiata al numeratore. cos 41° è un valore non tabellare, quindi non possiamo farci nulla. Lasciamo così per ora.
Consideriamo ora il denominatore:
sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°
Ovviamente questa è una formula di riduzione, quindi il seno viene sostituito da un coseno. Inoltre l'angolo 41° giace sul segmento (0°; 90°), cioè nel primo quadrante delle coordinate, esattamente come richiesto per applicare le formule di riduzione. Ma allora 90° + 41° è il secondo quarto di coordinata. La funzione originale y = sin x è positiva in questo caso, quindi nell'ultimo passaggio abbiamo messo un segno più davanti al coseno (in altre parole, non abbiamo messo nulla).
Resta da occuparsi dell'ultimo elemento:
cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5
Qui vediamo che 180° è l'asse orizzontale. Di conseguenza, la funzione stessa non cambierà: c'era un coseno - e anche il coseno rimarrà. Ma la domanda sorge ancora una volta: prima dell'espressione risultante cos 60° apparirà più o meno? Tieni presente che 180° è il terzo quarto di coordinata. Il coseno lì è negativo, quindi alla fine avrà un segno meno davanti a sé. In totale, otteniamo la costruzione −cos 60° = −0,5 - questo è un valore tabellare, quindi tutto è facile da calcolare.
Ora sostituiamo i numeri risultanti nella formula originale e otteniamo:
Come puoi vedere, il numero cos 41° al numeratore e al denominatore della frazione si riduce facilmente e rimane l'espressione usuale, che è uguale a −10. In questo caso il segno meno può essere tolto e posizionato davanti al segno della frazione oppure “tenuto” accanto al secondo fattore fino all'ultimo passaggio dei calcoli. In ogni caso, la risposta sarà −10. Questo è tutto, il problema B11 è risolto!
Problema B14 - opzione 2
Passiamo al secondo compito. Abbiamo ancora una frazione davanti a noi:
Bene, 27° si trova nel primo quarto di coordinate, quindi non cambieremo nulla qui. Ma sin 117° deve essere scritto (senza alcun quadrato per ora):
sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°
Ovviamente, di nuovo davanti a noi formula di riduzione: 90° è l'asse verticale, quindi il seno cambierà in coseno. Inoltre l'angolo α = 117° = 90° + 27° si trova nel secondo quadrante di coordinate. La funzione originale y = sin x lì è positiva, quindi, dopo tutte le trasformazioni, c'è ancora un segno più davanti al coseno. In altre parole, qui non viene aggiunto nulla: lo lasciamo così: cos 27°.
Torniamo all'espressione originale che deve essere calcolata:
Come vediamo, dopo le trasformazioni, l'identità trigonometrica principale è nata nel denominatore: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Totale −4: 1 = −4 - quindi abbiamo trovato la risposta al secondo problema B11.
Come puoi vedere, con l'aiuto delle formule di riduzione, tali problemi dell'Esame di Stato Unificato in matematica vengono risolti letteralmente in un paio di righe. Nessun seno della somma e coseno della differenza. Tutto quello che dobbiamo ricordare è solo il cerchio trigonometrico.
Questo articolo è dedicato a uno studio dettagliato delle formule di riduzione trigonometriche. Viene fornito un elenco completo delle formule di riduzione, vengono mostrati esempi del loro utilizzo e viene fornita la prova della correttezza delle formule. L'articolo fornisce anche una regola mnemonica che consente di ricavare formule di riduzione senza memorizzare ciascuna formula.
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Formule di riduzione. Elenco
Le formule di riduzione consentono di ridurre le funzioni trigonometriche di base di angoli di grandezza arbitraria a funzioni di angoli compresi nell'intervallo da 0 a 90 gradi (da 0 a π 2 radianti). Operare con angoli da 0 a 90 gradi è molto più conveniente che lavorare con valori arbitrariamente grandi, motivo per cui le formule di riduzione sono ampiamente utilizzate nella risoluzione dei problemi di trigonometria.
Prima di scrivere le formule stesse, chiariamo alcuni punti importanti per la comprensione.
- Gli argomenti delle funzioni trigonometriche nelle formule di riduzione sono angoli della forma ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z. Qui z è un numero intero qualsiasi e α è un angolo di rotazione arbitrario.
- Non è necessario apprendere tutte le formule di riduzione, il cui numero è piuttosto impressionante. Esiste una regola mnemonica che rende facile ricavare la formula desiderata. Della regola mnemonica parleremo più avanti.
Passiamo ora direttamente alle formule di riduzione.
Le formule di riduzione consentono di passare dal lavorare con angoli arbitrari e arbitrariamente grandi al lavorare con angoli compresi tra 0 e 90 gradi. Scriviamo tutte le formule sotto forma di tabella.
Formule di riduzione
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
In questo caso le formule sono scritte in radianti. Tuttavia, puoi anche scriverli utilizzando i gradi. È sufficiente convertire i radianti in gradi, sostituendo π con 180 gradi.
Esempi di utilizzo delle formule di riduzione
Mostreremo come utilizzare le formule di riduzione e come queste formule vengono utilizzate per risolvere esempi pratici.
L'angolo sotto il segno della funzione trigonometrica può essere rappresentato non in uno, ma in molti modi. Ad esempio, l'argomento di una funzione trigonometrica può essere rappresentato nella forma ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z. Dimostriamolo.
Prendiamo l'angolo α = 16 π 3. Questo angolo può essere scritto in questo modo:
α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π
A seconda della rappresentazione dell'angolo viene utilizzata la formula di riduzione appropriata.
Prendiamo lo stesso angolo α = 16 π 3 e calcoliamo la sua tangente
Esempio 1: utilizzo delle formule di riduzione
α = 16 π 3 , t g α = ?
Rappresentiamo l'angolo α = 16 π 3 come α = π + π 3 + 2 π 2
Questa rappresentazione dell'angolo corrisponderà alla formula di riduzione
t g (π + α + 2 π z) = t g α
t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3
Utilizzando la tabella, indichiamo il valore della tangente
Ora usiamo un'altra rappresentazione dell'angolo α = 16 π 3.
Esempio 2: utilizzo delle formule di riduzione
α = 16 π 3 , t g α = ? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3
Infine, per la terza rappresentazione dell'angolo scriviamo
Esempio 3. Utilizzo di formule di riduzione
α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3
Ora diamo un esempio dell'utilizzo di formule di riduzione più complesse
Esempio 4: utilizzo delle formule di riduzione
Immaginiamo sin 197° attraverso il seno e il coseno di un angolo acuto.
Per poter applicare le formule di riduzione è necessario rappresentare l'angolo α = 197° in una delle forme
± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. A seconda delle condizioni del problema, l'angolo deve essere acuto. Abbiamo quindi due modi per rappresentarlo:
197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°
Noi abbiamo
sin 197° = sin (180° + 17°) sin 197° = sin (270° - 73°)
Ora diamo un'occhiata alle formule di riduzione dei seni e scegliamo quelle appropriate
sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin (270° - 73° + 360° z) = - cos 73°
Regola mnemonica
Esistono molte formule di riduzione e, fortunatamente, non è necessario memorizzarle. Esistono regolarità in base alle quali è possibile derivare formule di riduzione per diversi angoli e funzioni trigonometriche. Questi modelli sono chiamati regole mnemoniche. La mnemotecnica è l'arte della memorizzazione. La regola mnemonica è composta da tre parti o contiene tre fasi.
Regola mnemonica
1. L'argomento della funzione originale è rappresentato in una delle seguenti forme:
± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz
L'angolo α deve essere compreso tra 0 e 90 gradi.
2. Viene determinato il segno della funzione trigonometrica originale. La funzione scritta a destra della formula avrà lo stesso segno.
3. Per gli angoli ± α + 2 πz e π ± α + 2 πz il nome della funzione originale rimane invariato, mentre per gli angoli π 2 ± α + 2 πz e 3 π 2 ± α + 2 πz, rispettivamente, cambia in “cofunzione”. Seno - coseno. Tangente - cotangente.
Per utilizzare la guida mnemonica per le formule di riduzione, è necessario essere in grado di determinare i segni delle funzioni trigonometriche in base ai quarti di circonferenza unitaria. Diamo un'occhiata ad esempi di utilizzo della regola mnemonica.
Esempio 1: utilizzo di una regola mnemonica
Scriviamo le formule di riduzione per cos π 2 - α + 2 πz e t g π - α + 2 πz. α è il logaritmo del primo trimestre.
1. Poiché per condizione α è il logaritmo del primo quarto, saltiamo il primo punto della regola.
2. Determinare i segni delle funzioni cos π 2 - α + 2 πz e t g π - α + 2 πz. L'angolo π 2 - α + 2 πz è anche l'angolo del primo quarto e l'angolo π - α + 2 πz è nel secondo quarto. Nel primo quarto la funzione coseno è positiva, mentre nel secondo quarto la tangente ha un segno meno. Scriviamo come appariranno le formule richieste in questa fase.
cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -
3. Secondo il terzo punto, per l'angolo π 2 - α + 2 π il nome della funzione cambia in Confucio, e per l'angolo π - α + 2 πz rimane lo stesso. Scriviamo:
cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α
Ora diamo un’occhiata alle formule sopra riportate e assicuriamoci che la regola mnemonica funzioni.
Consideriamo un esempio con un angolo specifico α = 777°. Riduciamo il seno alfa alla funzione trigonometrica di un angolo acuto.
Esempio 2: utilizzo di una regola mnemonica
1. Immagina l'angolo α = 777 ° nella forma richiesta
777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2
2. L'angolo originale è l'angolo del primo quarto. Ciò significa che il seno dell'angolo ha segno positivo. Di conseguenza abbiamo:
3. sin 777° = sin (57° + 360° 2) = sin 57° sin 777° = sin (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°
Consideriamo ora un esempio che mostra quanto sia importante determinare correttamente il segno della funzione trigonometrica e rappresentare correttamente l'angolo quando si utilizza la regola mnemonica. Ripetiamolo ancora.
Importante!
L'angolo α deve essere acuto!
Calcoliamo la tangente dell'angolo 5 π 3. Dalla tabella dei valori delle principali funzioni trigonometriche si può ricavare subito il valore t g 5 π 3 = - 3, ma applicheremo la regola mnemonica.
Esempio 3: utilizzo di una regola mnemonica
Immaginiamo l'angolo α = 5 π 3 nella forma richiesta e utilizziamo la regola
t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3
Se rappresentiamo l'angolo alfa nella forma 5 π 3 = π + 2 π 3, il risultato dell'applicazione della regola mnemonica sarà errato.
t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3
Il risultato errato è dovuto al fatto che l'angolo 2 π 3 non è acuto.
La dimostrazione delle formule di riduzione si basa sulle proprietà di periodicità e simmetria delle funzioni trigonometriche, nonché sulla proprietà di spostamento degli angoli π 2 e 3 π 2. La dimostrazione della validità di tutte le formule di riduzione può essere effettuata senza tener conto del termine 2 πz, poiché denota una variazione dell'angolo di un numero intero di giri completi e riflette esattamente la proprietà della periodicità.
Le prime 16 formule derivano direttamente dalle proprietà delle funzioni trigonometriche di base: seno, coseno, tangente e cotangente.
Ecco una dimostrazione delle formule di riduzione per seno e coseno
sin π 2 + α = cos α e cos π 2 + α = - sin α
Consideriamo una circonferenza unitaria, il cui punto iniziale, dopo una rotazione di un angolo α, va al punto A 1 x, y, e dopo una rotazione di un angolo π 2 + α - al punto A 2. Da entrambi i punti tracciamo le perpendicolari all'asse delle ascisse.
Due triangoli rettangoli O A 1 H 1 e O A 2 H 2 hanno la stessa ipotenusa e gli angoli adiacenti. Dalla posizione dei punti sul cerchio e dall'uguaglianza dei triangoli, possiamo concludere che il punto A 2 ha coordinate A 2 - y, x. Usando le definizioni di seno e coseno, scriviamo:
sin α = y, cos α = x, sin π 2 + α = x, cos π 2 + α = y
sin π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - sin α
Tenendo conto delle identità fondamentali della trigonometria e di quanto appena dimostrato, possiamo scrivere
t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - tgα
Per dimostrare le formule di riduzione con argomento π 2 - α, è necessario presentarle nella forma π 2 + (- α). Per esempio:
cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - sin (- α) = sin α
La dimostrazione utilizza le proprietà delle funzioni trigonometriche con argomenti di segno opposto.
Tutte le altre formule di riduzione possono essere dimostrate sulla base di quelle scritte sopra.
Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio
Le formule di riduzione sono relazioni che permettono di andare da seno, coseno, tangente e cotangente con gli angoli `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` alle stesse funzioni dell'angolo `\alpha`, che si trova nel primo quarto della circonferenza unitaria. Pertanto, le formule di riduzione “ci portano” a lavorare con angoli compresi tra 0 e 90 gradi, il che è molto conveniente.
Complessivamente ci sono 32 formule di riduzione. Torneranno sicuramente utili durante l'Esame di Stato Unificato, gli esami e le prove. Ma vi avvertiamo subito che non è necessario memorizzarli! Devi dedicare un po 'di tempo e comprendere l'algoritmo per la loro applicazione, quindi non sarà difficile per te ottenere l'uguaglianza necessaria al momento giusto.
Per prima cosa scriviamo tutte le formule di riduzione:
Per l'angolo (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) o (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Per l'angolo (`\pi \pm \alpha`) o (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Per l'angolo (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) o (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Per l'angolo (`2\pi \pm \alpha`) o (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Spesso puoi trovare formule di riduzione sotto forma di tabella in cui gli angoli sono scritti in radianti:
Per usarlo dobbiamo selezionare la riga con la funzione che ci serve e la colonna con l'argomento desiderato. Ad esempio, per scoprire tramite una tabella a cosa sarà uguale ` sin(\pi + \alpha)`, è sufficiente trovare la risposta all'intersezione della riga ` sin \beta` e della colonna ` \pi + \alfa`. Otteniamo ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
E la seconda tabella simile, dove gli angoli sono scritti in gradi:
Regola mnemonica per le formule di riduzione o come ricordarle
Come abbiamo già accennato, non è necessario memorizzare tutte le relazioni di cui sopra. Se li hai guardati attentamente, probabilmente hai notato alcuni schemi. Ci permettono di formulare una regola mnemonica (mnemonica - ricorda), con l'aiuto della quale possiamo facilmente ottenere qualsiasi formula di riduzione.
Notiamo subito che per applicare questa regola è necessario essere bravi a individuare (o ricordare) i segni delle funzioni trigonometriche nei diversi quarti del cerchio unitario. 
Il vaccino stesso contiene 3 fasi:
- L'argomento della funzione deve essere rappresentato come `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, e `\alpha` è necessariamente un angolo acuto (da 0 a 90 gradi).
- Per gli argomenti `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` la funzione trigonometrica dell'espressione trasformata si trasforma in una cofunzione, cioè l'opposto (seno a coseno, tangente a cotangente e viceversa). Per gli argomenti `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` la funzione non cambia.
- Viene determinato il segno della funzione originaria. La funzione risultante sul lato destro avrà lo stesso segno.
Per vedere come questa regola può essere applicata nella pratica, trasformiamo alcune espressioni:
1. `cos(\pi + \alfa)`.
La funzione non è invertita. L'angolo `\pi + \alpha` si trova nel terzo quarto, il coseno in questo quarto ha un segno "-", quindi anche la funzione trasformata avrà un segno "-".
Risposta: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `peccato(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.
Secondo la regola mnemonica la funzione verrà invertita. L'angolo `\frac (3\pi)2 - \alpha` è nel terzo quarto, il seno qui ha un segno "-", quindi anche il risultato avrà un segno "-".
Risposta: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi )2-\alfa))`. Rappresentiamo `3\pi` come `2\pi+\pi`. "2\pi" è il periodo della funzione.
Importante: le funzioni `cos \alpha` e `sin \alpha` hanno un periodo di `2\pi` o `360^\circ`, i loro valori non cambieranno se l'argomento viene aumentato o diminuito di questi valori.
In base a ciò, la nostra espressione può essere scritta come segue: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Applicando due volte la regola mnemonica, otteniamo: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Risposta: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.
Regola del cavallo
Il secondo punto della regola mnemonica sopra descritta è anche chiamato regola del cavallo delle formule di riduzione. Mi chiedo: perché i cavalli?
Quindi, abbiamo funzioni con argomenti `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, i punti `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` sono fondamentali, si trovano sugli assi delle coordinate. `\pi` e `2\pi` sono sull'asse x orizzontale, mentre `\frac (\pi)2` e `\frac (3\pi)2` sono sull'ordinata verticale.
Ci poniamo la domanda: “Una funzione si trasforma in una cofunzione?” Per rispondere a questa domanda, devi muovere la testa lungo l'asse su cui si trova il punto chiave.
Cioè, per le discussioni con punti chiave situati sull'asse orizzontale, rispondiamo "no" scuotendo la testa di lato. E per gli angoli con punti chiave situati sull'asse verticale, rispondiamo "sì" annuendo con la testa dall'alto verso il basso, come un cavallo :)
Ti consigliamo di guardare un video tutorial in cui l'autore spiega nel dettaglio come ricordare le formule di riduzione senza memorizzarle.
Esempi pratici di utilizzo delle formule di riduzione
L'uso delle formule di riduzione inizia nei gradi 9 e 10. Molti problemi nel loro utilizzo sono stati sottoposti all'esame di stato unificato. Ecco alcuni dei problemi in cui dovrai applicare queste formule:
- problemi per risolvere un triangolo rettangolo;
- trasformazione di espressioni trigonometriche numeriche e alfabetiche, calcolo dei loro valori;
- compiti stereometrici.
Esempio 1. Calcolare utilizzando le formule di riduzione a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.
Soluzione: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;
c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;
d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.
Esempio 2. Dopo aver espresso coseno attraverso seno utilizzando le formule di riduzione, confrontare i numeri: 1) `sin \frac (9\pi)8` e `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` e `cos \frac (3\pi)10`.
Soluzione: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.
2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`
`peccato \frac (\pi)8 `peccato \frac (\pi)8 Dimostriamo innanzitutto due formule per il seno e il coseno dell'argomento `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` e ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Il resto deriva da loro. Prendiamo una circonferenza unitaria e puntiamo A su di essa con le coordinate (1,0). Lascia che dopo esserti rivolto a Dalla definizione di tangente e cotangente si ottiene ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` e ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, che dimostra la formule di riduzione della tangente e della cotangente dell'angolo `\frac (\pi)2 + \alpha`. Per dimostrare le formule con argomento `\frac (\pi)2 - \alpha`, è sufficiente rappresentarle come `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` e seguire lo stesso percorso di cui sopra. Ad esempio, "cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)". Gli angoli `\pi + \alpha` e `\pi - \alpha` possono essere rappresentati come `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` e `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` rispettivamente. E `\frac (3\pi)2 + \alpha` e `\frac (3\pi)2 - \alpha` come `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` e `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`. Appartengono alla sezione trigonometrica della matematica. La loro essenza è ridurre le funzioni trigonometriche degli angoli a una forma “semplice”. Si potrebbe scrivere molto sull’importanza di conoscerli. Esistono già 32 di queste formule! Non allarmarti, non è necessario impararle, come molte altre formule in un corso di matematica. Non è necessario riempirsi la testa di informazioni non necessarie, è necessario ricordare le “chiavi” o le leggi e ricordare o ricavare la formula richiesta non sarà un problema. A proposito, quando scrivo negli articoli “... devi imparare!!!” - questo significa che ha davvero bisogno di essere imparato. Se non hai familiarità con le formule di riduzione, la semplicità della loro derivazione ti sorprenderà piacevolmente: esiste una "legge" con l'aiuto della quale ciò può essere fatto facilmente. E puoi scrivere una qualsiasi delle 32 formule in 5 secondi. Elencherò solo alcuni dei problemi che si presenteranno all'Esame di Stato Unificato di matematica, dove senza la conoscenza di queste formule c'è un'alta probabilità di non riuscire a risolverli. Per esempio: – problemi per la risoluzione di un triangolo rettangolo, dove si parla dell’angolo esterno, e problemi per gli angoli interni, alcune di queste formule sono anche necessarie. – compiti sul calcolo dei valori delle espressioni trigonometriche; conversione di espressioni trigonometriche numeriche; convertire espressioni trigonometriche letterali. – problemi sulla tangente e significato geometrico della tangente, è richiesta una formula di riduzione per la tangente, oltre ad altri problemi. – problemi stereometrici, nel corso della risoluzione è spesso necessario determinare il seno o il coseno di un angolo compreso tra 90 e 180 gradi. E questi sono solo i punti che riguardano l'Esame di Stato Unificato. E nel corso di algebra stesso ci sono molti problemi, la cui soluzione semplicemente non può essere fatta senza la conoscenza delle formule di riduzione. Allora a cosa porta questo e in che modo le formule specificate ci facilitano la risoluzione dei problemi? Ad esempio, devi determinare il seno, il coseno, la tangente o la cotangente di qualsiasi angolo compreso tra 0 e 450 gradi: l'angolo alfa varia da 0 a 90 gradi * * *
Quindi, è necessario comprendere la “legge” che funziona qui: 1. Determina il segno della funzione nel quadrante corrispondente. Lascia che ti ricordi: 2. Ricorda quanto segue: la funzione diventa cofunzione
la funzione non diventa cofunzione
Cosa significa il concetto: una funzione si trasforma in una cofunzione?
Risposta: il seno diventa coseno o viceversa, la tangente diventa cotangente o viceversa.
È tutto! Ora, secondo la legge presentata, scriveremo noi stessi diverse formule di riduzione: Questo angolo si trova nel terzo quarto, il coseno nel terzo quarto è negativo. Non cambiamo la funzione in una cofunzione, poiché abbiamo 180 gradi, il che significa: L'angolo sta nel primo quarto, il seno nel primo quarto è positivo. Non cambiamo la funzione in una cofunzione, poiché abbiamo 360 gradi, il che significa: Ecco un'altra ulteriore conferma che i seni degli angoli adiacenti sono uguali: L'angolo sta nel secondo quarto, il seno nel secondo quarto è positivo. Non cambiamo la funzione in una cofunzione, poiché abbiamo 180 gradi, il che significa: Elabora ogni formula mentalmente o per iscritto e ti convincerai che non c'è nulla di complicato. ***
Nell'articolo sulla soluzione è stato notato il seguente fatto: il seno di un angolo acuto in un triangolo rettangolo è uguale al coseno di un altro angolo acuto in esso contenuto.
dell'angolo `\alpha` andrà al punto `A_1(x, y)` e, dopo aver girato dell'angolo `\frac (\pi)2 + \alpha`, al punto `A_2(-y, x)`. Trascinando le perpendicolari da questi punti alla linea OX, vediamo che i triangoli `OA_1H_1` e `OA_2H_2` sono uguali, poiché le loro ipotenuse e gli angoli adiacenti sono uguali. Quindi, in base alle definizioni di seno e coseno, possiamo scrivere `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Dove possiamo scrivere che ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` e ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, che dimostra la riduzione formule per gli angoli seno e coseno `\frac (\pi)2 + \alpha`.
