Za cjelovito proučavanje funkcije i crtanje njenog grafa preporuča se koristiti sljedeću shemu:
1) pronaći opseg funkcije;
2) pronaći točke diskontinuiteta funkcije i vertikalne asimptote (ako postoje);
3) istražiti ponašanje funkcije u beskonačnosti, pronaći horizontalne i kose asimptote;
4) istražiti funkciju za parnost (neparnost) i za periodičnost (za trigonometrijske funkcije);
5) pronaći ekstreme i intervale monotonosti funkcije;
6) odrediti intervale konveksnosti i pregibnih točaka;
7) pronaći točke presjeka s koordinatnim osi, ako je moguće, i neke dodatne točke koje preciziraju graf.
Proučavanje funkcije provodi se istodobno s konstrukcijom njezina grafa.
Primjer 9 Istražite funkciju i izgradite graf.
1. Područje definicije: ;
2. Funkcija se prekida u točkama 
,
;
Istražujemo funkciju prisutnosti vertikalnih asimptota.
;
,
─ vertikalna asimptota.
;
,
─ vertikalna asimptota.
3. Istražujemo funkciju prisutnosti kosih i horizontalnih asimptota.
Ravno 
─ kosa asimptota, ako 
,
.
,
.
Ravno 
─ horizontalna asimptota.
4. Funkcija je čak jer 
. Parnost funkcije označava simetriju grafa u odnosu na y-os.
5. Pronađite intervale monotonosti i ekstreme funkcije.
Nađimo kritične točke, t.j. točke u kojima je derivacija 0 ili ne postoji: 
;
. Imamo tri boda 
;
. Te točke dijele cijelu realnu os na četiri intervala. Definirajmo znakove 
na svakom od njih.
Na intervalima (-∞; -1) i (-1; 0) funkcija raste, na intervalima (0; 1) i (1; +∞) opada. Prilikom prolaska kroz točku 
derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, stoga u ovom trenutku funkcija ima maksimum 
.
6. Nađimo intervale konveksnosti, točke pregiba.
Nađimo točke gdje 
je 0 ili ne postoji.
nema pravih korijena. 
,
,
bodova 
i 
realnu os podijeliti na tri intervala. Definirajmo znak 
u svakom intervalu.
Dakle, krivulja na intervalima 
i 
konveksan prema dolje, na intervalu (-1;1) konveksan prema gore; nema točaka pregiba, budući da je funkcija u točkama 
i 
neodređeno.
7. Pronađite točke presjeka s osi.
s osovinom 
graf funkcije siječe se u točki (0; -1) i s osi 
graf se ne siječe, jer brojnik ove funkcije nema pravih korijena.
Grafikon zadane funkcije prikazan je na slici 1.
Slika 1 ─ Grafikon funkcije 
Primjena koncepta derivata u ekonomiji. Funkcija elastičnosti
Proučavati ekonomske procese i rješavati druge primijenjeni zadaciČesto se koristi koncept elastičnosti funkcije.
Definicija. Funkcija elastičnosti 
naziva se granica omjera relativnog prirasta funkcije 
na relativni prirast varijable 
na 
, . (VII)
Elastičnost funkcije pokazuje otprilike za koliko posto će se funkcija promijeniti 
pri promjeni nezavisne varijable 
za 1%.
Elastičnost funkcije koristi se u analizi potražnje i potrošnje. Ako je elastičnost potražnje (u apsolutnoj vrijednosti) 
, tada se potražnja smatra elastičnom ako 
─ neutralno ako 
─ neelastično u odnosu na cijenu (ili prihod).
Primjer 10 Izračunajte elastičnost funkcije 
i pronađite vrijednost indeksa elastičnosti za 
= 3.
Rješenje: prema formuli (VII) elastičnost funkcije:
Neka je onda x=3 
To znači da ako se nezavisna varijabla poveća za 1%, tada će se vrijednost zavisne varijable povećati za 1,42%.
Primjer 11 Neka potražnja funkcionira 
u vezi cijene 
ima oblik 
, gdje 
─ konstantni koeficijent. Odrediti vrijednost indeksa elastičnosti funkcije potražnje po cijeni x = 3 den. jedinice
Rješenje: izračunajte elastičnost funkcije potražnje pomoću formule (VII)
Uz pretpostavku 
novčane jedinice, dobivamo 
. To znači da po cijeni 
monetarna jedinica povećanje cijene od 1% će uzrokovati smanjenje potražnje za 6%, tj. potražnja je elastična.
Ispitajmo funkciju \(y= \frac(x^3)(1-x) \) i izgradimo njen graf.
1. Područje definicije.
Područje definicije racionalne funkcije (razlomka) bit će: nazivnik nije jednak nuli, t.j. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Domena $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$
2. Prijelomne točke funkcije i njihova klasifikacija.
Funkcija ima jednu točku prekida x = 1
ispitati točku x= 1. Pronađite granicu funkcije desno i lijevo od točke diskontinuiteta, desno $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1-x) )) = -\infty $$ i lijevo od točke $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ jednostrane granice su \(\infty\).
Ravna crta \(x = 1\) je vertikalna asimptota.
3. Ravnomjernost funkcije.
Provjera pariteta \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) funkcija nije ni parna ni neparna.
4. Nule funkcije (točke presjeka s osi Ox). Intervali konstantnosti funkcije.
nule funkcije ( točka presjeka s osi Ox): izjednačiti \(y=0\), dobivamo \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \). Krivulja ima jednu točku presjeka s osi Ox s koordinatama \((0;0)\).
Intervali konstantnosti funkcije.
Na razmatranim intervalima \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) krivulja ima jednu točku presjeka s osi Ox , pa ćemo razmatrati područje definicije na tri intervala.
Odredimo predznak funkcije na intervalima domene definicije:
interval \((-\infty; 0) \) pronađite vrijednost funkcije u bilo kojoj točki \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
interval \((0; 1) \) pronađite vrijednost funkcije u bilo kojoj točki \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), na ovom intervalu funkcija je pozitivna \(f(x ) > 0 \), tj. je iznad x-ose.
interval \((1;+\infty) \) pronađite vrijednost funkcije u bilo kojoj točki \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
5. Točke sjecišta s osi Oy: izjednačiti \(x=0 \), dobivamo \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\). Koordinate točke presjeka s osi Oy \((0; 0)\)
6. Intervali monotonosti. Ekstremi funkcije.
Nađimo kritične (stacionarne) točke, za to ćemo pronaći prvu derivaciju i izjednačiti je s nulom $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))((1-x)^2) $$ jednako je 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Pronađite vrijednost funkcije u ovoj točki \(f (0) = 0\) i \(f(\frac(3)(2)) = -6,75\). Dobio sam dvije kritične točke s koordinatama \((0;0)\) i \((1.5;-6.75)\)
Intervali monotonosti.
Funkcija ima dvije kritične točke (moguće ekstremne točke), pa ćemo monotonost razmatrati na četiri intervala:
interval \((-\infty; 0) \) pronađite vrijednost prve derivacije u bilo kojoj točki intervala \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2) >
interval \((0;1)\) pronađite vrijednost prve derivacije u bilo kojoj točki intervala \(f(0,5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0\) , funkcija raste na ovom intervalu.
interval \((1;1.5)\) pronađite vrijednost prve derivacije u bilo kojoj točki intervala \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0\) , funkcija raste na ovom intervalu.
interval \((1.5; +\infty)\) pronađite vrijednost prve derivacije u bilo kojoj točki intervala \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.
Ekstremi funkcije.
U proučavanju funkcije dobivene su dvije kritične (stacionarne) točke na intervalu domene definicije. Utvrdimo jesu li ekstremumi. Razmotrimo promjenu predznaka derivacije pri prolasku kroz kritične točke:
točka \(x = 0\) derivacija mijenja predznak iz \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - točka nije ekstrem.
točka \(x = 1.5\) derivacija mijenja predznak iz \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - točka je maksimalna točka.
7. Intervali konveksnosti i konkavnosti. Pregibne točke.
Da bismo pronašli intervale konveksnosti i konkavnosti, nalazimo drugu derivaciju funkcije i izjednačavamo je s nulom $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))((1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$ Postavi $$ jednako nuli \frac(2x(x^2-3x+3))(( 1-x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Funkcija ima jednu kritičnu točku druge vrste s koordinatama \((0;0)\ ).
Definirajmo konveksnost na intervalima domene definicije, uzimajući u obzir kritičnu točku druge vrste (točku moguće fleksije).
interval \((-\infty; 0)\) pronađite vrijednost druge derivacije u bilo kojoj točki \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
interval \((0; 1)\) pronađite vrijednost druge derivacije u bilo kojoj točki \(f""(0,5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x)^ 3) > 0 \), na ovom intervalu je druga derivacija funkcije pozitivna \(f""(x) > 0 \) funkcija je prema dolje konveksna (konveksna).
interval \((1; \infty)\) pronađite vrijednost druge derivacije u bilo kojoj točki \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
Pregibne točke.
Razmotrimo promjenu predznaka druge derivacije pri prolasku kroz kritičnu točku druge vrste:
U točki \(x =0\) drugi izvod mijenja predznak iz \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\), graf funkcije mijenja konveksnost, tj. ovo je točka pregiba s koordinatama \((0;0)\).
8. Asimptote.
Vertikalna asimptota. Graf funkcije ima jednu vertikalnu asimptotu \(x =1\) (vidi točku 2).
Kosa asimptota.
Da bi graf funkcije \(y= \frac(x^3)(1-x) \) za \(x \to \infty\) imao kosu asimptotu \(y = kx+b\) , potrebno je i dovoljno , tako da postoje dvije granice $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$ pronađi ga $$ \lim_(x \ do \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ i druga granica $$ \lim_(x \to +\infty)(f( x) - kx) = b$ $, jer \(k = \infty\) - ne postoji kosa asimptota.
Horizontalna asimptota: da bi horizontalna asimptota postojala, potrebno je da granica $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ postoji, pronađite je $$ \lim_(x \to +\infty) (\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\infty $$
Ne postoji horizontalna asimptota.
9. Grafikon funkcije.
Provedite potpunu studiju i nacrtajte graf funkcije
y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.
1) Opseg funkcije. Budući da je funkcija razlomak, morate pronaći nule nazivnika.
1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.
Isključujemo jedinu točku x=1x=1 iz područja definicije funkcije i dobivamo:
D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).
2) Proučimo ponašanje funkcije u blizini točke diskontinuiteta. Pronađite jednostrane granice:
Budući da su granice jednake beskonačnosti, točka x=1x=1 je diskontinuitet druge vrste, pravac x=1x=1 je vertikalna asimptota.
3) Odredimo točke presjeka grafa funkcije s koordinatnim osi.
Nađimo točke presjeka s ordinatnom osi OyOy, za koje izjednačavamo x=0x=0:
Dakle, točka presjeka s osi OyOy ima koordinate (0;8)(0;8).
Nađimo točke presjeka s apscisnom osi OxOx, za koje smo postavili y=0y=0:
Jednadžba nema korijena, tako da nema točaka presjeka s osi OxOx.
Imajte na umu da x2+8>0x2+8>0 za bilo koji xx. Stoga, za x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) funkcija y>0y>0(uzima pozitivne vrijednosti, graf je iznad x-ose), za x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) funkcija y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).
4) Funkcija nije ni parna ni neparna jer:
5) Istražujemo funkciju na periodičnost. Funkcija nije periodična, jer je razlomka racionalna funkcija.
6) Istražujemo funkciju za ekstreme i monotonost. Da bismo to učinili, nalazimo prvu derivaciju funkcije:
Izjednačimo prvu derivaciju s nulom i pronađemo stacionarne točke (u kojima je y′=0y′=0):
Dobili smo tri kritične točke: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Cijelu domenu funkcije podijelimo na intervale po tim točkama i odredimo predznake derivacije u svakom intervalu:
Za x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) derivacija y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.
Za x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) derivaciju y′>0y′>0, funkcija raste na tim intervalima.
U ovom slučaju, x=−2x=−2 je lokalna minimalna točka (funkcija se smanjuje, a zatim raste), x=4x=4 je lokalna maksimalna točka (funkcija raste, a zatim opada).
Nađimo vrijednosti funkcije u ovim točkama: 
Dakle, minimalna točka je (−2;4)(−2;4), maksimalna točka je (4;−8)(4;−8).
7) Ispitujemo funkciju za kinkove i konveksnost. Nađimo drugu derivaciju funkcije:
Izjednačite drugu derivaciju s nulom:
Rezultirajuća jednadžba nema korijen, tako da nema prevojnih točaka. Štoviše, kada je zadovoljen x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0, to jest, funkcija je konkavna kada je x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.
8) Istražujemo ponašanje funkcije na beskonačnosti, odnosno na .
Budući da su granice beskonačne, ne postoje horizontalne asimptote.
Pokušajmo odrediti kose asimptote oblika y=kx+by=kx+b. Izračunavamo vrijednosti k,bk,b prema poznatim formulama:
Otkrili smo da funkcija ima jednu kosu asimptotu y=−x−1y=−x−1.
9) Dodatne točke. Izračunajmo vrijednost funkcije u nekim drugim točkama kako bismo točnije izgradili graf.
y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.
10) Na temelju dobivenih podataka izgradit ćemo graf, dopuniti ga asimptotama x=1x=1 (plava), y=−x−1y=−x−1 (zelena) i označiti karakteristične točke (prijesjek s y -os je ljubičasta, ekstremi su narančasti, dodatne točke su crne):
Zadatak 4: Geometrijski, ekonomski problemi (nemam pojma što, evo okvirnog izbora problema s rješenjem i formulama) 
Primjer 3.23. a
Odluka. x i y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Budući da je x = a/4 jedina kritična točka, provjerimo mijenja li se predznak derivacije pri prolasku kroz ovu točku. Za xa/4 S "> 0, a za x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.
Primjer 3.24.
Odluka.
R = 2, H = 16/4 = 4.
Primjer 3.22. Nađi ekstreme funkcije f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Odluka. Budući da je f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x - 2) (x - 3), tada kritične točke funkcije x 1 = 2 i x 2 = 3. Ekstremne točke mogu biti samo u tim točkama. Dakle, kada prolazi kroz točku x 1 \u003d 2, derivacija mijenja predznak s plusa na minus, tada funkcija ima maksimum. Prilikom prolaska kroz točku x 2 \u003d 3, derivacija mijenja predznak iz minusa u plus, dakle, u točki x 2 \u003d 3, funkcija ima minimum. Izračunavanje vrijednosti funkcije u točkama
x 1 = 2 i x 2 = 3, nalazimo ekstreme funkcije: maksimum f(2) = 14 i minimum f(3) = 13.
Primjer 3.23. U blizini kamenog zida potrebno je izgraditi pravokutni prostor tako da je s tri strane ograđen žičanom mrežom, a s četvrte strane prislonjen na zid. Za ovo postoji a linearnih metara mreže. U kojem će omjeru stranica imati najveću površinu?
Odluka. Označite strane stranice kroz x i y. Površina stranice je S = xy. Neka bude y je duljina stranice uz zid. Tada prema uvjetu mora vrijediti jednakost 2x + y = a. Stoga je y = a - 2x i S = x(a - 2x), gdje je
0 ≤ x ≤ a/2 (duljina i širina područja ne mogu biti negativne). S "= a - 4x, a - 4x = 0 za x = a/4, odakle
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Budući da je x = a/4 jedina kritična točka, provjerimo mijenja li se predznak derivacije pri prolasku kroz ovu točku. Za xa/4 S "> 0, a za x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.
Primjer 3.24. Potrebno je izraditi zatvoreni cilindrični spremnik kapaciteta V=16p ≈ 50 m 3 . Koje bi trebale biti dimenzije spremnika (radijus R i visina H) kako bi se utrošila najmanja količina materijala za njegovu izradu?
Odluka. Ukupna površina cilindra je S = 2pR(R+H). Poznat nam je volumen cilindra V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Dakle, S(R) = 2p(R2 +16/R). Nalazimo derivaciju ove funkcije:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 za R 3 = 8, dakle,
R = 2, H = 16/4 = 4.
Slične informacije.
Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontaktiranje s njom.
Od vas se može tražiti da unesete svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i obavijestimo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
- Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje trećim stranama
Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- U slučaju da je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim redom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - otkriti svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i strogo provodimo praksu privatnosti.
Ako je u zadatku potrebno provesti cjelovito proučavanje funkcije f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 s konstrukcijom njezina grafa, onda ćemo ovaj princip detaljno razmotriti.
Za rješavanje problema ove vrste treba koristiti svojstva i grafove glavne elementarne funkcije. Algoritam istraživanja uključuje sljedeće korake:
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pronalaženje domene definicije
Budući da se istraživanje provode na domeni funkcije, potrebno je započeti s ovim korakom.
Primjer 1
Iza dati primjer uključuje pronalaženje nula nazivnika kako bi se one isključile iz DPV-a.
4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞
Kao rezultat, možete dobiti korijene, logaritme i tako dalje. Tada se ODZ može tražiti korijen parnog stupnja tipa g (x) 4 po nejednadžbi g (x) ≥ 0 , za logaritam log a g (x) po nejednadžbi g (x) > 0 .
Istraživanje granica ODZ-a i pronalaženje vertikalnih asimptota
Postoje vertikalne asimptote na granicama funkcije, kada su jednostrane granice u takvim točkama beskonačne.
Primjer 2
Na primjer, razmotrite granične točke jednake x = ± 1 2 .
Zatim je potrebno proučiti funkciju kako bi se pronašla jednostrana granica. Tada dobivamo: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞
To pokazuje da su jednostrane granice beskonačne, što znači da su pravci x = ± 1 2 okomite asimptote grafa.
Ispitivanje funkcije i za parne ili neparne
Kada je ispunjen uvjet y (- x) = y (x), funkcija se smatra parnom. To sugerira da se graf nalazi simetrično u odnosu na O y. Kada je uvjet y (- x) = - y (x) ispunjen, funkcija se smatra neparnom. To znači da simetrija ide u odnosu na ishodište koordinata. Ako barem jedna nejednakost nije uspjela, dobivamo funkciju općeg oblika.
Ispunjenje jednakosti y (- x) = y (x) pokazuje da je funkcija parna. Prilikom konstruiranja potrebno je uzeti u obzir da će postojati simetrija u odnosu na O y.
Za rješavanje nejednakosti koriste se intervali povećanja i smanjenja s uvjetima f "(x) ≥ 0 i f" (x) ≤ 0, redom.
Definicija 1
Stacionarne točke su točke koje pretvaraju derivaciju u nulu.
Kritične točke su unutarnje točke iz domene gdje je derivacija funkcije jednaka nuli ili ne postoji.
Prilikom donošenja odluke potrebno je uzeti u obzir sljedeće točke:
- za postojeće intervale povećanja i smanjenja nejednakosti oblika f "(x) > 0 kritične točke nisu uključene u rješenje;
- točke u kojima je funkcija definirana bez konačnog izvoda moraju biti uključene u intervale povećanja i smanjenja (na primjer, y = x 3, gdje točka x = 0 čini funkciju definiranom, derivacija ima vrijednost beskonačnosti u ovom trenutku, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 je uključen u interval povećanja);
- kako bi se izbjegle nesuglasice, preporuča se korištenje matematičke literature koju preporuča Ministarstvo obrazovanja.
Uključivanje kritičnih točaka u intervale porasta i opadanja u slučaju da one zadovoljavaju domenu funkcije.
Definicija 2
Za određujući intervale povećanja i smanjenja funkcije, potrebno je pronaći:
- izvedenica;
- kritične točke;
- razbiti domenu definicije uz pomoć kritičnih točaka na intervale;
- odrediti predznak derivacije u svakom od intervala, gdje je + povećanje, a - smanjenje.
Primjer 3
Pronađite derivaciju na domeni f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .
Odluka
Za rješavanje trebate:
- pronađite stacionarne točke, ovaj primjer ima x = 0 ;
- pronaći nule nazivnika, primjer uzima vrijednost nula na x = ± 1 2 .
Izlažemo točke na numeričkoj osi kako bismo odredili derivaciju na svakom intervalu. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti bilo koju točku iz intervala i napraviti izračun. Na pozitivan rezultat na grafu prikazujemo +, što znači povećanje funkcije, a - znači njezino smanjenje.
Na primjer, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, što znači da prvi interval s lijeve strane ima znak +. Razmotrite broj crta.
Odgovor:
- dolazi do porasta funkcije na intervalu - ∞ ; - 1 2 i (- 1 2 ; 0 ];
- dolazi do smanjenja na intervalu [0; 1 2) i 1 2 ; +∞ .
Na dijagramu, koristeći + i -, prikazani su pozitivnost i negativnost funkcije, a strelice označavaju smanjenje i povećanje.
Ekstremne točke funkcije su točke u kojima je funkcija definirana i kroz koje derivacija mijenja predznak.
Primjer 4
Ako uzmemo u obzir primjer gdje je x = 0, tada je vrijednost funkcije u njemu f (0) = 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Kada se predznak derivacije promijeni s + na - i prolazi kroz točku x \u003d 0, tada se točka s koordinatama (0; 0) smatra maksimalnom točkom. Kada se predznak promijeni iz - u +, dobivamo minimalni bod.
Konveksnost i konkavnost određuju se rješavanjem nejednadžbi oblika f "" (x) ≥ 0 i f "" (x) ≤ 0 . Rjeđe koriste naziv ispupčenje prema dolje umjesto udubljenje, i izbočenje prema gore umjesto izbočenje.
Definicija 3
Za određivanje praznina konkavnosti i konveksnosti potrebno:
- naći drugu izvedenicu;
- naći nule funkcije drugog izvoda;
- razbiti područje definicije točkama koje se pojavljuju u intervale;
- odrediti predznak jaza.
Primjer 5
Pronađite drugu derivaciju iz domene definicije.
Odluka
f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3
Pronalazimo nule brojnika i nazivnika, pri čemu, koristeći naš primjer, imamo da su nule nazivnika x = ± 1 2
Sada trebate staviti točke na brojevnu liniju i odrediti predznak druge derivacije iz svakog intervala. Shvaćamo to
Odgovor:
- funkcija je konveksna iz intervala - 1 2 ; 12 ;
- funkcija je konkavna od praznina - ∞ ; - 1 2 i 1 2 ; +∞ .
Definicija 4
prevojna točka je točka oblika x 0 ; f(x0) . Kada ima tangentu na graf funkcije, onda kada prođe kroz x 0, funkcija mijenja predznak u suprotan.
Drugim riječima, to je takva točka kroz koju prolazi druga derivacija i mijenja predznak, a u samim točkama jednaka je nuli ili ne postoji. Sve točke se smatraju domenom funkcije.
U primjeru se vidjelo da nema prevojnih točaka, budući da drugi izvod mijenja predznak prolazeći kroz točke x = ± 1 2 . Oni, pak, nisu uključeni u domenu definicije.
Pronalaženje horizontalnih i kosih asimptota
Prilikom definiranja funkcije u beskonačnosti, treba tražiti horizontalne i kose asimptote.
Definicija 5
Kose asimptote crtaju se pomoću linija zadanih jednadžbom y = k x + b, gdje je k = lim x → ∞ f (x) x i b = lim x → ∞ f (x) - k x .
Za k = 0 i b nije jednako beskonačnosti, nalazimo da kosa asimptota postaje horizontalno.
Drugim riječima, asimptote su linije kojima se graf funkcije približava beskonačno. To pridonosi brzoj izgradnji grafa funkcije.
Ako nema asimptota, ali je funkcija definirana na obje beskonačnosti, potrebno je izračunati granicu funkcije na tim beskonačnostima kako bi se razumjelo kako će se ponašati graf funkcije.
Primjer 6
Kao primjer, razmotrite to
k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4
je horizontalna asimptota. Nakon što istražite funkciju, možete je početi graditi.
Izračunavanje vrijednosti funkcije u međutočkama
Da bi crtanje bilo što točnije, preporuča se pronaći nekoliko vrijednosti funkcije u međutočkama.
Primjer 7
Iz primjera koji smo razmotrili potrebno je pronaći vrijednosti funkcije u točkama x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = 1 4. Budući da je funkcija parna, dobivamo da se vrijednosti podudaraju s vrijednostima u tim točkama, odnosno dobivamo x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.
Napišimo i riješimo:
F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08
Za određivanje maksimuma i minimuma funkcije, prevojnih točaka, međutočaka potrebno je izgraditi asimptote. Za prikladno označavanje, intervali povećanja, smanjenja, konveksnosti, konkavnosti su fiksni. Razmotrite donju sliku.
Kroz označene točke potrebno je povući linije grafikona, što će vam omogućiti da se približite asimptoti, prateći strelice.
Time je završeno potpuno proučavanje funkcije. Postoje slučajevi konstruiranja nekih elementarnih funkcija za koje se koriste geometrijske transformacije.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
