Koordinatni sustav - to su dvije međusobno okomite koordinatne linije koje se sijeku u točki koja je ishodište za svaku od njih.

Koordinatne osi su linije koje tvore koordinatni sustav.

apscisa(x-os) je horizontalna os.

Y-os(y-os) je okomita os.

Funkcija

Funkcija je preslikavanje elemenata skupa X u skup Y . U ovom slučaju, svaki element x skupa X odgovara jednoj vrijednosti y skupa Y.

Ravno

Linearna funkcija je funkcija oblika y = a x + b gdje su a i b bilo koji brojevi.

Graf linearne funkcije je ravna linija.

Razmislite kako će graf izgledati ovisno o koeficijentima a i b:

Ako je a a > 0, pravac će prolaziti kroz I i III koordinatne četvrti.

Ako je a a< 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b je točka presjeka pravca s y-osi.

Ako je a a = 0, funkcija postaje y = b.

Zasebno odabiremo graf jednadžbe x \u003d a.

Važno: ova jednadžba nije funkcija, jer je definicija funkcije narušena (funkcija pridružuje svaki element x skupa X s jednom vrijednošću y skupa Y). Ova jednadžba povezuje jedan element x s beskonačnim skupom elemenata y. Međutim, graf ove jednadžbe može se nacrtati. Nemojmo to nazvati ponosnom riječju "Funkcija".

Parabola

Graf funkcije y = a x 2 + b x + c je parabola .

Da biste nedvosmisleno odredili kako se graf parabole nalazi na ravnini, morate znati na što utječu koeficijenti a, b, c:

1. Koeficijent a pokazuje kamo su usmjerene grane parabole.

• Ako je a > 0, grane parabole su usmjerene prema gore.
• Ako je a< 0 , ветки параболы направлены вниз.

1. Koeficijent c pokazuje u kojoj točki parabola siječe os y.
2. Koeficijent b pomaže pronaći x u - koordinati vrha parabole.

x u \u003d - b 2 a

1. Diskriminant vam omogućuje da odredite koliko točaka presjeka parabola ima s osi.

• Ako je D > 0 - dvije točke presjeka.
• Ako je D = 0 - jedna točka presjeka.
• Ako je D< 0 — нет точек пересечения.

Graf funkcije y = k x je hiperbola .

Karakteristična karakteristika hiperbole je da ima asimptote.

Asimptote hiperbole - ravne linije, kojima teži, idu u beskonačnost.

Os x je horizontalna asimptota hiperbole

Y-os je vertikalna asimptota hiperbole.

Na grafu su asimptote označene zelenom isprekidanom linijom.

Ako je koeficijent k > 0, tada grane hiperole prolaze kroz I i III četvrtinu.

Ako je k<     0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Što je manja apsolutna vrijednost koeficijenta k (koeficijent k bez uzimanja u obzir predznaka), to su grane hiperbole bliže osi x i y.

Korijen

Funkcija y     =     x ima sljedeći graf:

Povećajuće/opadajuće funkcije

Funkcija y   =   f(x) povećava se tijekom intervala ako veća vrijednost argumenta (veća vrijednost x) odgovara većoj vrijednosti funkcije (veća vrijednost y) .

To jest, što je više (desno) x, to je više (više) y. Grafikon se diže (pogledajte s lijeva na desno)

Funkcija y   =   f(x) smanjuje se tijekom intervala ako veća vrijednost argumenta (veća vrijednost x) odgovara manjoj vrijednosti funkcije (veća vrijednost y) .

Znanje osnovne elementarne funkcije, njihova svojstva i grafovi ništa manje važno od poznavanja tablice množenja. Oni su kao temelj, sve se temelji na njima, sve se gradi od njih i sve se svodi na njih.

U ovom članku navodimo sve glavne elementarne funkcije, dajemo njihove grafove i dajemo ih bez izvođenja i dokaza. svojstva osnovnih elementarnih funkcija prema shemi:

• ponašanje funkcije na granicama područja definicije, vertikalne asimptote (ako je potrebno, pogledajte članak klasifikacija prijelomnih točaka funkcije);
• par i nepar;
• konveksnost (konveksnost prema gore) i konkavnost (konveksnost prema dolje) intervali, točke pregiba (ako je potrebno, pogledajte funkciju članka konveksnost, smjer konveksnosti, točke pregiba, konveksnost i uvjeti fleksije);
• kose i horizontalne asimptote;
• singularne točke funkcija;
• posebna svojstva nekih funkcija (npr. najmanji pozitivni period za trigonometrijske funkcije).

Ako vas zanima ili, onda možete ići na ove dijelove teorije.

Osnovne elementarne funkcije su: konstantna funkcija (konstanta), korijen n-tog stupnja, funkcija stepena, eksponencijalna, logaritamska funkcija, trigonometrijske i inverzne trigonometrijske funkcije.

Navigacija po stranici.

Trajna funkcija.

Konstantna funkcija je dana na skupu svih realnih brojeva formulom , gdje je C neki realni broj. Konstantna funkcija svakoj realnoj vrijednosti nezavisne varijable x dodjeljuje istu vrijednost zavisne varijable y - vrijednost S. Konstantna funkcija se također naziva konstantom.

Graf konstantne funkcije je pravac paralelan s osi x i prolazi kroz točku s koordinatama (0,C) . Na primjer, pokažimo grafove konstantnih funkcija y=5, y=-2 i , koji na donjoj slici odgovaraju crnoj, crvenoj i plavoj liniji.

Svojstva konstantne funkcije.

• Područje definicije: cijeli skup realnih brojeva.
• Konstantna funkcija je parna.
• Raspon vrijednosti: skup koji se sastoji od jednog broja C .
• Konstantna funkcija je nerastuća i neopadajuća (zato je konstantna).
• Nema smisla govoriti o konveksnosti i konkavnosti konstante.
• Nema asimptote.
• Funkcija prolazi točkom (0,C) koordinatne ravnine.

Korijen n-tog stupnja.

Razmotrimo osnovnu elementarnu funkciju, koja je dana formulom , gdje je n prirodni broj veći od jedan.

Korijen n-tog stupnja, n je paran broj.

Počnimo s n-tom korijenskom funkcijom za parne vrijednosti korijenskog eksponenta n.

Na primjer, dajemo sliku sa slikama grafova funkcija i , odgovaraju crnim, crvenim i plavim linijama.

Grafovi funkcija korijena parnog stupnja imaju sličan oblik za druge vrijednosti pokazatelja.

Svojstva korijena n-tog stupnja za parni n .

Korijen n-tog stupnja, n je neparan broj.

Funkcija korijena n-tog stupnja s neparnim eksponentom korijena n definirana je na cijelom skupu realnih brojeva. Na primjer, prikazujemo grafove funkcija i , crne, crvene i plave krivulje odgovaraju njima.

Za ostale neparne vrijednosti korijenskog eksponenta, grafovi funkcije će imati sličan izgled.

Svojstva korijena n-tog stupnja za neparan n .

Funkcija snage.

Funkcija snage data je formulom oblika .

Razmotrimo vrstu grafova funkcije stepena i svojstva funkcije stepena ovisno o vrijednosti eksponenta.

Počnimo s funkcijom stepena s cjelobrojnim eksponentom a . U ovom slučaju, oblik grafova funkcija stepena i svojstva funkcija ovise o parnom ili neparnom eksponentu, kao i o njegovom predznaku. Stoga prvo razmatramo funkcije stupnja za neparne pozitivne vrijednosti eksponenta a, zatim za parne pozitivne, zatim za neparne negativne eksponente i na kraju, za parne negativne a.

Svojstva funkcija stepena s frakcijskim i iracionalnim eksponentima (kao i vrsta grafova takvih funkcija stepena) ovise o vrijednosti eksponenta a. Razmotrit ćemo ih, prvo, kada je a od nula do jedan, drugo, kada je a veće od jedan, treće, kada je a od minus jedan do nule, i četvrto, kada je a manje od minus jedan.

U zaključku ovog pododjeljka, radi potpunosti, opisujemo funkciju stepena s nultim eksponentom.

Funkcija snage s neparnim pozitivnim eksponentom.

Razmotrimo funkciju stepena s neparnim pozitivnim eksponentom, odnosno s a=1,3,5,… .

Na slici ispod prikazani su grafikoni funkcija snage - crna linija, - plava linija, - crvena linija, - zelena linija. Za a=1 imamo linearna funkcija y=x .

Svojstva potencijske funkcije s neparnim pozitivnim eksponentom.

Funkcija snage s parnim pozitivnim eksponentom.

Razmotrimo funkciju stepena s parnim pozitivnim eksponentom, to jest za a=2,4,6,… .

Kao primjer, uzmimo grafove funkcija snage - crna linija, - plava linija, - crvena linija. Za a=2 imamo kvadratnu funkciju čiji je graf kvadratna parabola.

Svojstva funkcije stepena s parnim pozitivnim eksponentom.

Funkcija snage s neparnim negativnim eksponentom.

Pogledajte grafikone eksponencijalne funkcije za neparne negativne vrijednosti eksponenta, odnosno za = -1, -3, -5, ....

Na slici su prikazani grafovi eksponencijalnih funkcija kao primjeri - crna linija, - plava linija, - crvena linija, - zelena linija. Za a=-1 imamo inverzna proporcionalnost, čiji je graf hiperbola.

Svojstva potencijske funkcije s neparnim negativnim eksponentom.

Funkcija snage s parnim negativnim eksponentom.

Prijeđimo na funkciju snage na a=-2,-4,-6,….

Na slici su prikazani grafikoni funkcija snage - crna linija, - plava linija, - crvena linija.

Svojstva potencijske funkcije s parnim negativnim eksponentom.

Funkcija stepena s racionalnim ili iracionalnim eksponentom čija je vrijednost veća od nule i manja od jedan.

Bilješka! Ako je a pozitivan razlomak s neparnim nazivnikom, tada neki autori smatraju da je interval domena funkcije stepena. Istodobno je propisano da je eksponent a nesvodljiv razlomak. Sada autori mnogih udžbenika o algebri i počecima analize NE DEFINIRAJU funkcije stepena s eksponentom u obliku razlomka s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Pridržavat ćemo se upravo takvog gledišta, odnosno smatrat ćemo domene funkcija stepena s razlomkom pozitivnih eksponenta skupom . Potičemo učenike da steknu perspektivu vašeg učitelja o ovoj suptilnoj točki kako bi izbjegli neslaganje.

Razmotrimo funkciju snage s racionalnim ili iracionalnim eksponentom a , i .

Prikazujemo grafove funkcija snaga za a=11/12 (crna linija), a=5/7 (crvena linija), (plava linija), a=2/5 (zelena linija).

Funkcija stepena s necjelobrojnim racionalnim ili iracionalnim eksponentom većim od jedan.

Razmotrimo funkciju stepena s necjelobrojnim racionalnim ili iracionalnim eksponentom a , i .

Predstavimo grafove funkcija snaga zadanih formulama (crne, crvene, plave i zelene linije).

Za ostale vrijednosti eksponenta a grafovi funkcije će imati sličan izgled.

Svojstva funkcije snage za .

Funkcija stepena s realnim eksponentom koji je veći od minus jedan i manji od nule.

Bilješka! Ako je a negativan razlomak s neparnim nazivnikom, onda neki autori razmatraju interval . Istodobno je propisano da je eksponent a nesvodljiv razlomak. Sada autori mnogih udžbenika o algebri i počecima analize NE DEFINIRAJU funkcije stepena s eksponentom u obliku razlomka s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Pridržavat ćemo se upravo takvog gledišta, odnosno skupom ćemo smatrati domene funkcija stepena s razlomačnim negativnim eksponentima. Potičemo učenike da steknu perspektivu vašeg učitelja o ovoj suptilnoj točki kako bi izbjegli neslaganje.

Prijelazimo na funkciju snage , gdje je .

Kako bismo imali dobru ideju o vrsti grafova funkcija moći za , dajemo primjere grafova funkcija (crne, crvene, plave i zelene krivulje).

Svojstva potencijske funkcije s eksponentom a , .

Funkcija stepena s realnim eksponentom koji nije cijeli broj manji od minus jedan.

Navedimo primjere grafova funkcija stepena za , prikazani su crnim, crvenim, plavim i zelenim linijama.

Svojstva potencijske funkcije s negativnim eksponentom koji nije cijeli broj manji od minus jedan.

Kada je a=0 i imamo funkciju - ovo je ravna linija iz koje je točka (0; 1) isključena (izraz 0 0 je dogovoren da ne pridaje nikakvu važnost).

Eksponencijalna funkcija.

Jedna od osnovnih elementarnih funkcija je eksponencijalna funkcija.

Graf eksponencijalne funkcije, gdje i poprima drugačiji oblik ovisno o vrijednosti baze a. Idemo to shvatiti.

Prvo, razmotrimo slučaj kada baza eksponencijalne funkcije uzima vrijednost od nule do jedan, to jest, .

Na primjer, prikazujemo grafove eksponencijalne funkcije za a = 1/2 - plava linija, a = 5/6 - crvena linija. Grafovi eksponencijalne funkcije imaju sličan izgled za ostale vrijednosti baze iz intervala.

Svojstva eksponencijalne funkcije s bazom manjom od jedan.

Okrećemo se slučaju kada je baza eksponencijalne funkcije veća od jedan, odnosno, .

Kao ilustraciju prikazujemo grafove eksponencijalnih funkcija - plava linija i - crvena linija. Za druge vrijednosti baze, veće od jedan, grafovi eksponencijalne funkcije će imati sličan izgled.

Svojstva eksponencijalne funkcije s bazom većom od jedan.

Logaritamska funkcija.

Sljedeća osnovna elementarna funkcija je logaritamska funkcija , gdje je , . Logaritamska funkcija definirana je samo za pozitivne vrijednosti argumenta, odnosno za .

Graf logaritamske funkcije poprima drugačiji oblik ovisno o vrijednosti baze a.

Duljina segmenta na koordinatnoj osi nalazi se po formuli:

Duljina segmenta na koordinatnoj ravnini traži se po formuli:

Za pronalaženje duljine segmenta u trodimenzionalnom koordinatnom sustavu koristi se sljedeća formula:

Koordinate sredine segmenta (za koordinatnu os se koristi samo prva formula, za koordinatnu ravninu - prve dvije formule, za trodimenzionalni koordinatni sustav - sve tri formule) izračunavaju se po formulama:

Funkcija je korespondencija oblika y= f(x) između varijabli, zbog čega svaka razmatra vrijednost neke varijable x(argument ili nezavisna varijabla) odgovara određenoj vrijednosti druge varijable, y(ovisna varijabla, ponekad se ova vrijednost jednostavno naziva vrijednošću funkcije). Imajte na umu da funkcija pretpostavlja jednu vrijednost argumenta x može postojati samo jedna vrijednost zavisne varijable na. Međutim, ista vrijednost na mogu se dobiti s raznim x.

Opseg funkcije su sve vrijednosti nezavisne varijable (argument funkcije, obično x) za koji je definirana funkcija, t.j. njegovo značenje postoji. Naznačena je domena definicije D(y). Uglavnom, već ste upoznati s ovim konceptom. Opseg funkcije inače se naziva domenom valjanih vrijednosti ili ODZ, koju već dugo možete pronaći.

Raspon funkcija su sve moguće vrijednosti zavisne varijable ove funkcije. Označeno E(na).

Funkcija raste na intervalu na kojem veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije. Funkcija Smanjenje na intervalu na kojem veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

Intervali funkcija su intervali nezavisne varijable u kojima zavisna varijabla zadržava svoj pozitivni ili negativni predznak.

Nule funkcije su one vrijednosti argumenta za koje je vrijednost funkcije jednaka nuli. U tim točkama graf funkcije siječe os apscise (os OX). Vrlo često, potreba za pronalaženjem nula funkcije znači jednostavno rješavanje jednadžbe. Također, često potreba za pronalaženjem intervala konstantnog predznaka znači i potrebu jednostavnog rješavanja nejednakosti.

Funkcija y = f(x) se zovu čak x

To znači da su za bilo koje suprotne vrijednosti argumenta vrijednosti parne funkcije jednake. Graf parne funkcije uvijek je simetričan u odnosu na y-os op-pojačala.

Funkcija y = f(x) se zovu neparan, ako je definiran na simetričnom skupu i za bilo koji x iz domene definicije ispunjena je jednakost:

To znači da su za bilo koje suprotne vrijednosti argumenta vrijednosti neparne funkcije također suprotne. Graf neparne funkcije uvijek je simetričan u odnosu na ishodište.

Zbroj korijena parnih i neparnih funkcija (točke presjeka osi apscise OX) uvijek je jednak nuli, jer za svaki pozitivan korijen x ima negativan korijen x.

Važno je napomenuti da neka funkcija ne mora biti parna ili neparna. Postoje mnoge funkcije koje nisu ni parne ni neparne. Takve funkcije se nazivaju opće funkcije, i nijedna od gore navedenih jednakosti ili svojstava ne vrijedi za njih.

Linearna funkcija naziva se funkcija koja se može dati formulom:

Graf linearne funkcije je ravna linija i u općem slučaju izgleda ovako (dat je primjer za slučaj kada k> 0, u ovom slučaju funkcija raste; za tu priliku k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Graf kvadratne funkcije (parabola)

Graf parabole zadan je kvadratnom funkcijom:

Kvadratna funkcija, kao i svaka druga funkcija, siječe os OX u točkama koje su njezini korijeni: ( x jedan ; 0) i ( x 2; 0). Ako nema korijena, tada kvadratna funkcija ne siječe os OX, ako postoji jedan korijen, tada u ovoj točki ( x 0; 0) kvadratna funkcija samo dodiruje os OX, ali je ne siječe. Kvadratna funkcija uvijek siječe os OY u točki s koordinatama: (0; c). Graf kvadratne funkcije (parabole) može izgledati ovako (slika prikazuje primjere koji daleko od iscrpljivanja svih mogućih vrsta parabola):

pri čemu:

• ako je koeficijent a> 0, u funkciji y = sjekira 2 + bx + c, tada su grane parabole usmjerene prema gore;
• ako a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Koordinate vrha parabole mogu se izračunati pomoću sljedećih formula. X vrhovi (str- na gornjim slikama) parabole (ili točke u kojoj kvadratni trinom doseže svoju maksimalnu ili minimalnu vrijednost):

Y vrhovi (q- na gornjim slikama) parabole ili maksimum ako su grane parabole usmjerene prema dolje ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), vrijednost kvadratnog trinoma:

Grafovi ostalih funkcija

funkcija snage

Evo nekoliko primjera grafova funkcija snage:

Obrnuto proporcionalna ovisnost pozvati funkciju danu formulom:

Ovisno o predznaku broja k Inverzno proporcionalni graf može imati dvije osnovne opcije:

Asimptota je pravac kojoj se pravac grafa funkcije približava beskonačno blizu, ali se ne siječe. Asimptote za grafove inverzne proporcionalnosti prikazane na gornjoj slici su koordinatne osi kojima se graf funkcije približava beskonačno blizu, ali ih ne siječe.

eksponencijalna funkcija s bazom a pozvati funkciju danu formulom:

a graf eksponencijalne funkcije može imati dvije temeljne opcije (također ćemo dati primjere, vidi dolje):

logaritamska funkcija pozvati funkciju danu formulom:

Ovisno o tome je li broj veći ili manji od jedan a Graf logaritamske funkcije može imati dvije osnovne opcije:

Grafikon funkcije y = |x| kako slijedi:

Grafovi periodičnih (trigonometrijskih) funkcija

Funkcija na = f(x) Zove se časopis, ako postoji takav broj različit od nule T, što f(x + T) = f(x), za bilo koga x izvan djelokruga funkcije f(x). Ako je funkcija f(x) je periodičan s točkom T, zatim funkcija:

gdje: A, k, b su konstantni brojevi, i k nije jednako nuli, također periodično s točkom T 1 , što je određeno formulom:

Većina primjera periodičnih funkcija su trigonometrijske funkcije. Ovdje su grafikoni glavnih trigonometrijskih funkcija. Sljedeća slika prikazuje dio grafa funkcije y= grijeh x(cijeli graf se nastavlja u nedogled lijevo i desno), graf funkcije y= grijeh x pozvao sinusoida:

Grafikon funkcije y= cos x pozvao kosinusni val. Ovaj grafikon je prikazan na sljedećoj slici. Od grafa sinusa, nastavlja se neograničeno duž osi OX lijevo i desno:

Grafikon funkcije y=tg x pozvao tangentoid. Ovaj grafikon je prikazan na sljedećoj slici. Kao i grafovi drugih periodičnih funkcija, i ovaj se graf neograničeno ponavlja duž osi OX lijevo i desno.

I na kraju, graf funkcije y=ctg x pozvao kotangentoid. Ovaj grafikon je prikazan na sljedećoj slici. Kao i grafovi drugih periodičnih i trigonometrijskih funkcija, ovaj graf se neograničeno ponavlja duž osi OX lijevo i desno.

Uspješna, marljiva i odgovorna provedba ove tri točke omogućit će vam da na CT-u pokažete izvrstan rezultat, maksimum onoga za što ste sposobni.

Pronašli ste pogrešku?

Ako ste, kako vam se čini, pronašli pogrešku u materijalima za obuku, napišite o tome poštom. O pogrešci možete pisati i na društvenoj mreži (). U pismu navedite predmet (fizika ili matematika), naziv ili broj teme ili testa, broj zadatka ili mjesto u tekstu (stranici) na kojem, po vašem mišljenju, postoji pogreška. Također opišite koja je navodna pogreška. Vaše pismo neće proći nezapaženo, greška će biti ili ispravljena, ili će vam biti objašnjeno zašto nije greška.

Elementarne funkcije i njihovi grafovi

Ravno proporcionalnost. Linearna funkcija.

Inverzni omjer. Hiperbola.

kvadratna funkcija. Kvadratna parabola.

Funkcija snage. Eksponencijalna funkcija.

logaritamska funkcija. trigonometrijske funkcije.

Inverzne trigonometrijske funkcije.

Molimo nacrtajte kvadratnu parabolu za slučaj a > 0, D > 0 .

Glavne karakteristike i svojstva kvadratne parabole:

Opseg funkcije:  < x+ (tj. x R ), i područje

vrijednosti: … (Odgovorite sami na ovo pitanje!);

Funkcija kao cjelina nije monotona, već desno ili lijevo od vrha

ponaša se kao monotono;

Funkcija je neograničena, svugdje kontinuirana, čak i za b = c = 0,

i neperiodični;

- na D< 0 не имеет нулей. (А что при D 0 ?) .

Funkcije y= Arcsin x(sl.23) i y= Arccos x(sl.24) mnogovrijedan, neograničen; njihovo područje definicije i raspon vrijednosti, odnosno: 1 x+1 i  < y+ . Budući da su ove funkcije viševrijedne,