Osoba razlikuje predmete oko sebe po obliku. Zanimanje za oblik predmeta može biti diktirano životnom potrebom ili može biti uzrokovano ljepotom oblika. Forma koja se temelji na kombinaciji simetrije i zlatnog reza pridonosi najboljoj vizualnoj percepciji i pojavi osjećaja ljepote i sklada. Cjelina se uvijek sastoji od dijelova, dijelovi različitih veličina su u određenom međusobnom odnosu i prema cjelini. Načelo zlatnog reza najviša je manifestacija strukturne i funkcionalne savršenosti cjeline i njezinih dijelova u umjetnosti, znanosti, tehnici i prirodi.
Zlatni rez - harmonijski omjer
U matematici proporcija(lat. proportio) nazivamo jednakost dvaju odnosa:
a : b = c : d.
Segment linije AB može se podijeliti na dva dijela na sljedeće načine:
- na dva jednaka dijela AB : AC = AB : PRIJE KRISTA;
- na dva nejednaka dijela u bilo kojem omjeru (takvi dijelovi ne tvore proporcije);
- pa kad AB : AC = AC : PRIJE KRISTA.
Ovo posljednje je zlatna podjela ili podjela segmenta u ekstremnom i prosječnom omjeru.
Zlatni rez je takva razmjerna podjela segmenta na nejednake dijelove, u kojoj se cijeli segment odnosi prema većem dijelu na isti način kao što se sam veći dio odnosi prema manjem; ili drugim riječima, manji segment je povezan s većim kao što je veći sa svime:
a : b = b : c
ili
c : b = b : a.
Riža. jedan. Geometrijski prikaz zlatnog reza
Praktično upoznavanje sa zlatnim rezom počinje dijeljenjem ravnog odsječka u zlatnom rezu pomoću šestara i ravnala.
Riža. 2.PRIJE KRISTA = 1/2 AB; CD = PRIJE KRISTA
Od točke B vraća se okomica jednaka polovici AB. Primljena točka C povezan linijom s točkom A. Na rezultirajućoj liniji nacrtan je segment PRIJE KRISTA, završava s točkom D. Segment linije OGLAS prenijeti na ravnu liniju AB. Rezultirajuća točka E dijeli segment AB u zlatnom rezu.
Segmenti zlatnog reza izražavaju se beskonačnim iracionalnim razlomkom AE= 0,618... ako AB uzeti kao jedinicu BITI\u003d 0,382 ... U praktične svrhe često se koriste približne vrijednosti od 0,62 i 0,38. Ako segment AB uzeto kao 100 dijelova, tada je najveći dio segmenta 62, a manji 38 dijelova.
Svojstva zlatnog reza opisana su jednadžbom:
x 2 – x – 1 = 0.
Rješenje ove jednadžbe:
Svojstva zlatnog presjeka stvorila su oko ovog broja romantičnu auru misterije i gotovo mističnog obožavanja.
Drugi zlatni rez
Bugarski časopis "Otadžbina" (br. 10, 1983.) objavio je članak Tsvetana Tsekova-Karandasha "O drugom zlatnom rezu", koji slijedi iz glavnog odjeljka i daje drugačiji omjer 44:56.
Takav se omjer nalazi u arhitekturi, a ima iu izgradnji kompozicija slika izduženog horizontalnog formata.
Riža. 3.
Podjela se provodi na sljedeći način. Segment linije AB dijeli se prema zlatnom rezu. Od točke C vraća se okomica CD. Radius AB postoji točka D, koji je linijom povezan s točkom A. Pravi kut ACD dijeli se na pola. Od točke C crta se dok se ne presječe s linijom OGLAS. Točka E dijeli segment OGLAS u odnosu na 56:44.
Riža. četiri.
Na slici je prikazan položaj linije drugog zlatnog reza. Nalazi se u sredini između linije zlatnog reza i središnja linija pravokutnik.
Zlatni trokut
Da biste pronašli segmente zlatnog reza uzlaznog i silaznog niza, možete koristiti pentagram.
Riža. 5. Konstrukcija pravilnog peterokuta i pentagrama
Da biste izgradili pentagram, morate izgraditi pravilan peterokut. Metodu njegove gradnje razvio je njemački slikar i grafičar Albrecht Dürer (1471...1528). Neka O- središte kruga A je točka na kružnici i E- sredina segmenta OA. Okomito na polumjer OA, obnovljena na točki O, siječe krug u točki D. Koristeći šestar, odvojite segment na promjeru CE = ED. Duljina stranice pravilnog peterokuta upisanog u krug je DC. Stavljanje segmenata na krug DC i dobiti pet bodova za crtanje pravilnog peterokuta. Spojimo uglove peterokuta kroz jednu dijagonalu i dobijemo pentagram. Sve dijagonale peterokuta dijele jedna drugu na segmente povezane zlatnim rezom.
Svaki kraj peterokutne zvijezde je zlatni trokut. Njegove strane na vrhu tvore kut od 36°, a bočno položena baza dijeli ga proporcionalno zlatnom rezu.
Riža. 6. Konstrukcija zlatnog trokuta
Crtamo ravnu liniju AB. od točke A položi segment na njega tri puta O proizvoljna vrijednost, kroz rezultirajuću točku P nacrtati okomicu na liniju AB, na okomici desno i lijevo od točke P izdvojiti segmente O. Primljeni bodovi d i d 1 spojite ravnim linijama u točku A. Segment linije dd 1 odvojen na liniji Oglas 1 , dobivanje boda C. Prekinula je liniju Oglas 1 u odnosu na zlatni rez. linije Oglas 1 i dd 1 koristi se za izradu "zlatnog" pravokutnika.
Povijest zlatnog reza
Opće je prihvaćeno da je pojam zlatnog odjeljka u znanstvenu upotrebu uveo Pitagora, starogrčki filozof i matematičar (VI. st. pr. Kr.). Postoji pretpostavka da je Pitagora svoje znanje o zlatnoj podjeli posudio od Egipćana i Babilonaca. Doista, proporcije Keopsove piramide, hramova, bareljefa, kućanskih predmeta i ukrasa iz grobnice pokazuju da su egipatski majstori koristili omjere zlatne podjele pri izradi istih. Francuski arhitekt Le Corbusier utvrdio je da na reljefu iz hrama faraona Setija I. u Abidosu i na reljefu s prikazom faraona Ramzesa proporcije figura odgovaraju vrijednostima zlatne pregrade. Arhitekt Hesira, prikazan na reljefu drvene ploče s grobnice njegova imena, drži mjerni alati, u kojem su fiksirani omjeri zlatne podjele.
Grci su bili vješti geometri. Čak su i aritmetiku svoju djecu učili uz pomoć geometrijskih figura. Pitagorin kvadrat i dijagonala tog kvadrata bili su osnova za konstruiranje dinamičkih pravokutnika.
Riža. 7. Dinamički pravokutnici
Za zlatnu podjelu znao je i Platon (427...347. pr. Kr.). Njegov dijalog "Timej" posvećen je matematičkim i estetskim pogledima Pitagorine škole, a posebno pitanjima zlatne diobe.
Na pročelju starogrčkog hrama Partenona nalaze se zlatni razmjeri. Tijekom njegovih iskopavanja pronađeni su kompasi koje su koristili arhitekti i kipari antičkog svijeta. Pompejanski šestar (Muzej u Napulju) također sadrži proporcije zlatnog odjeljka.
Riža. osam.
U staroj literaturi koja je došla do nas, zlatni dio se prvi put spominje u Euklidovim Elementima. U 2. knjizi »Početaka« daje se geometrijska konstrukcija zlatna divizija. Nakon Euklida zlatnom su se podjelom bavili Hipsiklo (2. st. pr. Kr.), Papus (3. st. po Kr.) i drugi. srednjovjekovna Europa upoznali su zlatnu podjelu iz arapskih prijevoda Euklidovih „Početaka“. Prevoditelj J. Campano iz Navarre (3. st.) komentirao je prijevod. Tajne zlatne divizije bile su ljubomorno čuvane, čuvane u strogoj tajnosti. Bili su poznati samo iniciranima.
U renesansi se među znanstvenicima i umjetnicima povećao interes za zlatnu diobu u vezi s njezinom upotrebom i u geometriji i u umjetnosti, posebno u arhitekturi Leonardo da Vinci, umjetnik i znanstvenik, uvidio je da talijanski umjetnici imaju veliko empirijsko iskustvo, ali malo znanja . Zamislio je i počeo pisati knjigu o geometriji, ali se u to vrijeme pojavila knjiga redovnika Luce Paciolija, a Leonardo je odustao od svoje ideje. Prema suvremenicima i povjesničarima znanosti, Luca Pacioli bio je prava svjetiljka, najveći matematičar u Italiji između Fibonaccija i Galilea. Luca Pacioli bio je učenik slikara Piera della Francesca, koji je napisao dvije knjige, od kojih se jedna zove O perspektivi u slikarstvu. Smatra se tvorcem nacrtne geometrije.
Luca Pacioli je bio itekako svjestan važnosti znanosti za umjetnost. Godine 1496. na poziv vojvode Moreaua dolazi u Milano, gdje drži predavanja iz matematike. Na dvoru Moro u Milanu u to je vrijeme radio i Leonardo da Vinci. Godine 1509. u Veneciji je objavljena Božanska proporcija Luce Paciolija sa sjajno izvedenim ilustracijama, zbog čega se vjeruje da ih je izradio Leonardo da Vinci. Knjiga je bila entuzijastični hvalospjev zlatnom rezu. Među brojnim prednostima zlatnog reza, redovnik Luca Pacioli nije propustio navesti njegovu "božansku bit" kao izraz Božanskog Trojstva - Boga Oca, Boga Sina i Boga Duha Svetoga (podrazumijeva se da je mali segment je personifikacija Boga Sina, veći segment je Bog Otac, a cijeli segment - Bog Duh Sveti).
Elektroničke knjige:
- Mario Livio.
Zanimljivosti o "zlatnom rezu"
Zlatni rez je univerzalna manifestacija strukturalnog sklada. Nalazi se u prirodi, znanosti, umjetnosti – u svemu s čime čovjek može doći u dodir. Jednom upoznato sa zlatnim pravilom, čovječanstvo ga više nije varalo.
Definicija
Najopširnija definicija zlatnog reza kaže da se manji dio odnosi na veći, kao što je veći na cjelinu. Njegova približna vrijednost je 1,6180339887. U zaokruženom postotku, udjeli dijelova cjeline će korelirati kao 62% prema 38%. Taj omjer djeluje u obliku prostora i vremena.
Stari su vidjeli zlatni rez kao odraz kozmičkog poretka, a Johannes Kepler ga je nazvao jednim od blaga geometrije. Moderna znanost smatra zlatni rez "asimetričnom simetrijom", nazivajući ga u širem smislu univerzalno pravilo odražavajući strukturu i poredak našeg svjetskog poretka.
Priča
Stari Egipćani imali su predodžbu o zlatnim proporcijama, znali su za njih i u Rusiji, ali redovnik Luca Pacioli prvi je put znanstveno objasnio zlatni rez u knjizi Božanska proporcija (1509.), koju je navodno ilustrirao Leonardo da Vinci. Pacioli je u zlatnom presjeku vidio božansko trojstvo: mali segment personificirao je Sina, veliki - Oca, a cijeli - Duha Svetoga.
Ime talijanskog matematičara Leonarda Fibonaccija izravno je povezano s pravilom zlatnog reza. Kao rezultat rješavanja jednog od problema, znanstvenik je došao do niza brojeva, sada poznatog kao Fibonaccijev niz: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 itd. Kepler je skrenuo pozornost na odnos ovog niza prema zlatnom rezu: “Raspoređen je na takav način da dva niža člana ovog beskonačnog omjera zbrajaju treći član, a bilo koja dva zadnja člana, ako se zbroje, daju sljedeći mandat, a isti omjer ostaje na neodređeno vrijeme. Sada je Fibonaccijev niz aritmetička osnova za izračunavanje proporcija zlatnog reza u svim njegovim pojavnim oblicima.
Leonardo da Vinci također je posvetio puno vremena proučavanju značajki zlatnog omjera, najvjerojatnije sam pojam pripada njemu. Njegovi crteži stereometrijskog tijela formiranog od pravilnih peterokuta dokazuju da svaki od pravokutnika dobivenih presjekom daje omjer stranica u zlatnoj podjeli.
S vremenom se pravilo zlatnog reza pretvorilo u akademsku rutinu, a tek ga je filozof Adolf Zeising 1855. vratio u život. Doveo je proporcije zlatnog presjeka do apsoluta, učinivši ih univerzalnim za sve pojave okolnog svijeta. No, njegov "matematički esteticizam" izazvao je dosta kritika.
Priroda
Čak i da ne ulazimo u izračune, zlatni rez se lako može pronaći u prirodi. Dakle, omjer repa i tijela guštera, udaljenost između lišća na grani pada ispod njega, postoji zlatni presjek iu obliku jajeta, ako se kroz njegov najširi dio povuče uvjetna linija.
Bjeloruski znanstvenik Eduard Soroko, koji je proučavao oblike zlatnih podjela u prirodi, primijetio je da je sve što raste i nastoji zauzeti svoje mjesto u svemiru obdareno proporcijama zlatnog presjeka. Prema njegovim riječima, jedan od naj zanimljivih oblika to je spirala.
Čak je i Arhimed, obraćajući pažnju na spiralu, na temelju njenog oblika izveo jednadžbu koja se i danas koristi u tehnici. Kasnije je Goethe primijetio privlačnost prirode spiralnim oblicima, nazivajući spiralu "krivuljom života". Suvremeni znanstvenici otkrili su da takve manifestacije spiralnih oblika u prirodi kao što su puževa ljuštura, raspored sjemenki suncokreta, web uzorci, kretanje uragana, struktura DNK, pa čak i struktura galaksija, sadrže Fibonaccijev niz.
ljudski
Modni dizajneri i dizajneri odjeće rade sve izračune na temelju proporcija zlatnog presjeka. Čovjek je univerzalni oblik za provjeru zakona zlatnog reza. Naravno, po prirodi nemaju svi ljudi idealne proporcije, što stvara određene poteškoće s odabirom odjeće.
U dnevniku Leonarda da Vincija nalazi se crtež golog čovjeka upisanog u krug, u dva položaja postavljena jedan na drugi. Na temelju studija rimskog arhitekta Vitruvija, Leonardo je na sličan način pokušao utvrditi proporcije ljudskog tijela. Kasnije je francuski arhitekt Le Corbusier, koristeći se Leonardovim Vitruvijevim čovjekom, stvorio vlastitu ljestvicu “harmoničnih proporcija” koja je utjecala na estetiku arhitekture 20. stoljeća.
Adolf Zeising, istražujući proporcionalnost čovjeka, napravio je ogroman posao. Izmjerio je oko dvije tisuće ljudskih tijela, kao i mnoge antičke kipove, i zaključio da zlatni rez izražava prosječni zakon. Kod osobe su mu podređeni gotovo svi dijelovi tijela, ali glavni pokazatelj zlatnog presjeka je podjela tijela pupkom.
Kao rezultat mjerenja, istraživač je otkrio da su proporcije muškog tijela 13:8 bliže zlatnom rezu nego proporcije ženskog tijela - 8:5.
Umjetnost prostornih oblika
Umjetnik Vasilij Surikov rekao je da "postoji nepromjenjiv zakon u kompoziciji, kada se ništa ne može ukloniti ili dodati na sliku, čak ni dodatna točka ne može se staviti, to je prava matematika." Umjetnici su dugo vremena intuitivno slijedili ovaj zakon, ali nakon Leonarda da Vincija proces stvaranja slike više nije potpun bez rješavanja geometrijskih problema. Na primjer, Albrecht Dürer koristio je proporcionalni kompas koji je izumio za određivanje točaka zlatnog presjeka.
Likovni kritičar F. V. Kovalev, nakon što je detaljno proučio sliku Nikolaja Gea "Aleksandar Sergejevič Puškin u selu Mikhailovsky", primjećuje da je svaki detalj na platnu, bilo da je to kamin, polica za knjige, fotelja ili sam pjesnik, strogo ispisan zlatnim proporcijama.
Istraživači zlatnog reza neumorno proučavaju i mjere remek-djela arhitekture, tvrdeći da su takva postala jer su stvorena prema zlatnim kanonima: na njihovom popisu nalaze se Velike piramide u Gizi, katedrala Notre Dame, katedrala Vasilija Blaženog, Partenon .
I danas, u bilo kojoj umjetnosti prostornih oblika, pokušavaju slijediti proporcije zlatnog reza, jer, prema povjesničarima umjetnosti, olakšavaju percepciju djela i stvaraju estetski osjećaj kod gledatelja.
Riječ, zvuk i film
Forme temporalne umjetnosti nam na svoj način pokazuju princip zlatne diobe. Književni kritičari, na primjer, primijetili su da je najpopularniji broj redaka u pjesmama kasno razdoblje Puškinova kreativnost odgovara Fibonaccijevom nizu - 5, 8, 13, 21, 34.
Pravilo zlatnog reza vrijedi i za pojedinačna djela ruskog klasika. Dakle, vrhunac Pikove dame je dramatična scena Hermana i grofice, koja završava smrću potonje. U priči ima 853 stiha, a kulminacija pada u 535. stih (853:535=1,6) – to je točka zlatnog reza.
Sovjetski muzikolog E. K. Rozenov bilježi nevjerojatnu točnost omjera zlatnog presjeka u strogim i slobodnim oblicima djela Johanna Sebastiana Bacha, što odgovara promišljenom, koncentriranom, tehnički provjerenom stilu majstora. To vrijedi i za izvanredna djela drugih skladatelja, gdje točka zlatnog reza obično predstavlja najupečatljivije ili najneočekivanije glazbeno rješenje.
Filmski redatelj Sergej Eisenstein namjerno je uskladio scenarij za svoj film "Bojni brod Potemkin" s pravilom zlatnog reza, podijelivši vrpcu u pet dijelova. U prva tri dijela radnja se odvija na brodu, au posljednja dva - u Odesi. Odlasci na scene u gradu i tamo zlatna sredina film.
Taras Repin
Bibliografski opis: Maksimenko O. V., Pastor V. S., Vorfolomeeva P. V., Mozikova K. A., Nikolaeva M. E., Shmeleva O. V. O konceptu zlatnog reza // Mladi znanstvenik. - 2016. - br. 6.1. - S. 35-39..02.2019).
“Geometrija ima dva blaga:
jedan od njih je Pitagorin teorem,
drugi je podjela segmenta na srednji i krajnji omjer "
Johannes Kepler
Ključne riječi: zlatni rez, zlatni razmjeri, znanstveni fenomen.
Svrha našeg rada je proučavanje izvora informacija vezanih uz "Zlatni rez" u različitim područjima znanja, utvrđivanje obrazaca i pronalaženje poveznica među znanostima, prepoznavanje praktičnog značenja Zlatnog reza.
Relevantnost ove studije određena je stoljetnom poviješću upotrebe zlatnog reza u matematici i umjetnosti. Ono oko čega su stari bili zbunjeni ostaje relevantno i izaziva interes suvremenika.
U svim vremenima ljudi su pokušavali pronaći uzorke u svijetu oko sebe. Okružili su se predmetima "ispravnog" oblika s njihove točke gledišta. Tek s razvojem matematike ljudi su uspjeli izmjeriti "zlatni rez", koji je kasnije postao poznat kao "zlatni rez".
Zlatni omjer- harmonijska proporcija
Zlatni rez je takva proporcionalna podjela segmenta na nejednake dijelove, u kojoj se cijeli segment odnosi prema većem dijelu na isti način kao što se sam veći dio odnosi prema manjem; ili, drugim riječima, manji segment je povezan s većim kao što je veći sa svime (slika 1).
a: b = b: c
Riža. 1. Podjela segmenta prema zlatnim proporcijama
Podsjetimo vas što je zlatni rez. Najopširnija definicija zlatnog reza kaže da se manji dio odnosi na veći, kao što je veći na cjelinu. Njegova približna vrijednost je 1,6180339887. U zaokruženom postotku, udjeli dijelova cjeline će korelirati kao 62% prema 38%. Taj omjer djeluje u obliku prostora i vremena.
zlatni trokut ipravokutnik
Uz podjelu segmenta na nejednake dijelove (zlatni presjek), razmotrite zlatni trokut i zlatni pravokutnik.
Zlatni pravokutnik je pravokutnik čije su duljine stranica u zlatnom rezu (slika 2).
Svaki kraj peterokutne zvijezde je zlatni trokut. Stranice mu pri vrhu sklapaju kut od 36°, a bočno položena baza dijeli ga razmjerno zlatnom presjeku (sl. 3).
sl.2. zlatni pravokutnik
Sl.3 Zlatni trokut
Pentagram
U pravilnoj petokrakoj zvijezdi svaki segment je podijeljen segmentom koji ga siječe u zlatnom presjeku, tj. omjer plavog segmenta prema zelenom, crvenog prema plavom, zelenog prema ljubičastom je 1,618 (slika 4).
sl.4. pentagram-hygieia
Pitagora je tvrdio da je pentagram ili, kako ga je on nazvao, hygieia, matematičko savršenstvo, jer skriva zlatni rez. Omjer plavog segmenta prema zelenom, crvenog prema plavom, zelenog prema ljubičastom je zlatni rez.
Fibonaccijev niz
Niz brojeva 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 itd. poznat je kao Fibonaccijev niz. Osobitost niza brojeva je u tome što svaki njegov član, počevši od trećeg, jednak je zbroju prethodna dva, a omjer susjednih brojeva niza približava se omjeru zlatnog podjeljka.
Dakle, 21:34 = 0,617
34: 55 = 0,618.
Povijest zlatnog reza
Opće je prihvaćeno da je pojam zlatnog odjeljka u znanstvenu upotrebu uveo Pitagora, starogrčki filozof i matematičar (VI. st. pr. Kr.). Postoji pretpostavka da je Pitagora svoje znanje o zlatnoj podjeli posudio od Egipćana i Babilonaca. Doista, proporcije Keopsove piramide, hramova, bareljefa, kućanskih predmeta i ukrasa iz grobnice Tutankamona pokazuju da su egipatski majstori koristili omjere zlatne podjele prilikom njihove izrade.
zlatne proporcije udijelovi ljudskog tijela
Godine 1855. njemački istraživač zlatnog reza, profesor Zeising, objavio je svoje djelo Estetsko istraživanje.
Zeising je izmjerio oko dvije tisuće ljudskih tijela i došao do zaključka da zlatni rez izražava prosječni statistički zakon (slika 5).
Slika 5 Zlatne proporcije u dijelovima ljudskog tijela
zlatni rez udivlje životinje
Nevjerojatno je kako se samo jedan matematički koncept nalazi u mnogim dijelovima ljudskog znanja. Čini se da prožima sve na svijetu, spaja harmoniju i kaos, matematiku i umjetnost.
Biološke studije pokazale su da se, počevši od virusa i biljaka pa sve do ljudskog tijela, posvuda otkriva zlatni omjer koji karakterizira proporcionalnost i sklad njihove strukture. Zlatni rez priznat je kao univerzalni zakon živih sustava.
Kod guštera su na prvi pogled uhvaćene oku ugodne proporcije - duljina njegovog repa odnosi se prema duljini ostatka tijela kao 62 prema 38 (slika 6).
Sl.6 Zlatne proporcije u dijelovima tijela guštera
zlatni rez uarhitektura
U knjigama o "zlatnom rezu" može se naći opaska da u arhitekturi, kao iu slikarstvu, sve ovisi o poziciji promatrača, pa ako neke proporcije u građevini s jedne strane izgledaju kao "zlatni rez", onda će s drugih stajališta izgledati drugačije. "Zlatni rez" daje najopušteniji omjer veličina pojedinih duljina.
Jedno od najljepših djela starogrčke arhitekture je Partenon (slika 7). Omjer visine zgrade i njezine duljine je 0,618. Ako Partenon podijelimo prema “zlatnom presjeku”, dobit ćemo određene izbočine pročelja.
Još jedan primjer iz antičke arhitekture je Keopsova piramida (slika 8).
Proporcije Velike piramide održavaju se u "zlatnom omjeru"
Drevni graditelji uspjeli su izgraditi ovaj veličanstveni spomenik s gotovo savršenom inženjerskom preciznošću i simetrijom.
sl.7. Partenon
sl.8. Keopsova piramida
zlatni rez uskulptura
Proporcije "zlatnog reza" stvaraju dojam sklada ljepote, pa su ih kipari koristili u svojim djelima. Tako se, primjerice, poznati kip Apolona Belvedere sastoji od dijelova koji su podijeljeni prema zlatnom rezu (slika 9).
Sl.9 Kip Apolona Belvedere
zlatni rez uslika
Okrećući se primjerima "zlatnog presjeka" u slikarstvu, ne možemo ne zaustaviti pozornost na djelu Leonarda da Vincija. Pogledajmo pobliže sliku "La Gioconda". Kompozicija portreta izgrađena je na zlatnim trokutima (sl. 10).
sl. 10 Leonardo da Vinci "Gioconda"
Drugi primjer zlatnog reza u slikarstvu je Rafaelova slika Masakr nevinih (sl. 11). Na pripremnoj skici Rafaela crvene linije povlače se iz semantičkog središta kompozicije. Ako ove dijelove krivulje prirodno povežete isprekidanom linijom, tada s vrlo velikom točnošću dobivate ... zlatnu spiralu!
Sl.11. Raphael "Masakr nevinih"
zlatni rez uknjiževna djela
Forme temporalne umjetnosti nam na svoj način pokazuju princip zlatne diobe. Pravilo zlatnog reza vrijedi i za pojedinačna djela ruskog klasika. Dakle, u priči "Pikova dama" ima 853 reda, a vrhunac pada na 535. redak (853:535 = 1,6) - to je točka zlatnog presjeka.
zlatni rez ufilmovi
Filmski redatelj Sergej Eisenstein namjerno je uskladio scenarij za svoj film "Bojni brod Potemkin" s pravilom zlatnog reza, podijelivši vrpcu u pet dijelova.
Zaključak
Zlatni rez je bio poznat u starom Egiptu i Babilonu, u Indiji i Kini. Veliki Pitagora stvorio je tajnu školu u kojoj se proučavala mistična suština "zlatnog reza". Euklid ga je primijenio stvarajući svoju geometriju, a Fidija - svoje besmrtne skulpture. Platon je rekao da je svemir uređen prema “zlatnom presjeku”. I Aristotel je pronašao korespondenciju "zlatnog reza" s etičkim zakonom. Najvišu harmoniju “zlatnog reza” propovijedat će Leonardo da Vinci i Michelangelo, jer ljepota i “zlatni rez” su jedno te isto. A kršćanski mistici crtat će pentagrame "zlatnog reza" po zidovima svojih samostana, bježeći od đavla. Istodobno će znanstvenici – od Paciolija do Einsteina – tražiti, ali nikada neće pronaći njezino točno značenje. Beskrajni niz iza decimalne točke - 1.6180339887... Čudna, tajanstvena, neobjašnjiva stvar: ta božanska proporcija mistično prati sva živa bića. Neživa priroda ne zna što je "zlatni rez". Ali sigurno ćete vidjeti ovaj omjer u oblinama morskih školjki, iu obliku cvijeća, iu obliku buba, iu lijepom ljudskom tijelu. Sve živo i sve lijepo - sve se pokorava božanskom zakonu, čije je ime "zlatni rez". Dakle, što je "zlatni rez"? Kakva je to savršena, božanstvena kombinacija? Možda je to zakon ljepote? Ili je još uvijek mistična tajna? Znanstveni fenomen ili etički princip? Odgovor je još nepoznat. Točnije – ne, zna se. “Zlatni rez” je i to, i drugo, i treće. Samo ne zasebno, nego u isto vrijeme ... I to je njegova prava misterija, njegova velika tajna.
Književnost:
- Vilenkin N. Ya., Zhokhov V. I. i dr. Matematika - 6. - M .: Mnemosyne, 2015.
- Korbalan F. Zlatni rez. Matematički jezik ljepote. (Svijet matematike T.1). - M.: DeAgostini, 2014
- Timerding G. E. Zlatni rez. - M.: Librokom, 2009
Ključne riječi: zlatni rez, zlatni razmjeri, znanstveni fenomen.
Napomena: Zlatni rez je univerzalna manifestacija strukturalnog sklada. Nalazi se u prirodi, znanosti, umjetnosti – u svemu s čime čovjek može doći u dodir. Autori članka istražuju literaturu, pronalaze poveznice između znanosti vezanih uz Zlatni rez, otkrivaju praktično značenje zlatnih proporcija.
ZLATNI OMJER
1. Uvod 2 . Zlatni rez - harmonijski omjer
3
. Drugi zlatni rez
četiri . Zo lotosov trokut (pentagram)
5
.
Povijest zlatnog reza
6
. Zlatni rez i simetrija 7. Fibonaccijev niz 8 . Generalizirani zlatni rez
9
. Principi nastanka u prirodi
1
0
. Ljudsko tijelo i zlatni rez
1
1
. Zlatni rez u kiparstvu
1
2
. Zlatni rez u arhitekturi
1
3
. Zlatni rez u glazbi
1
4
. Zlatni rez u poeziji
1
5
. Zlatni rez u fontovima i kućanskim predmetima
1
6
. Optimalni fizikalni parametri okoliša
1
7
. Zlatni rez u slikarstvu
1
8
.
Zlatni rez i percepcija slike
19.
Zlatni omjer u fotografijama
2
0
. Zlatni rez i prostor 2 1 . Zaključak 2 2 . Bibliografija
UVOD
Ljudi su od davnina bili zabrinuti oko pitanja jesu li tako nedostižne stvari kao što su ljepota i sklad podložne bilo kakvim matematičkim proračunima..
Naravno, svi zakoni ljepote ne mogu se sadržavati u nekoliko formula, ali proučavanjem matematike možemo otkriti neke pojmove ljepote.- Zlatni omjer.
Naš zadatak je otkriti kakav je zlatni rez i gdje je čovječanstvo pronašlo primjenu zlata. th odjeljak. Vjerojatno ste obratili pozornost na činjenicu da različito tretiramo predmete i pojave okolne stvarnosti. Nered, bezobličnost, disproporcionalnost doživljavamo kao ružne i ostavljaju odbojan dojam. A predmeti i pojave koje karakteriziraju mjera, svrhovitost i sklad doživljavaju se kao lijepi i izazivaju u nama osjećaj divljenja, radosti, razveseljuju.
Čovjek se u svojoj aktivnosti stalno susreće s predmetima koji koriste zlatni rez kao svoju osnovu.Postoje stvari koje se ne mogu objasniti. Pa dođete do prazne klupe i sjednete na nju. Gdje ćete sjediti - u sredini? Ili možda sa samog ruba? Ne, najvjerojatnije ni jedno ni drugo. Sjedit ćete tako da omjer jednog dijela klupe prema drugom, u odnosu na vaše tijelo, bude otprilike 1,62. Jednostavna stvar, apsolutno instinktivna... Sjedajući na klupu, napravili ste "zlatni rez". Zlatni rez je bio poznat u starom Egiptu i Babilonu, u Indiji i Kini. Veliki Pitagora stvorio je tajnu školu u kojoj se proučavala mistična suština "zlatnog reza". Euklid ga je primijenio stvarajući svoju geometriju, a Fidija - svoje besmrtne skulpture. Platon je rekao da je svemir uređen prema “zlatnom presjeku”. I Aristotel je pronašao korespondenciju "zlatnog reza" s etičkim zakonom. Najvišu harmoniju “zlatnog reza” propovijedat će Leonardo da Vinci i Michelangelo, jer ljepota i “zlatni rez” su jedno te isto. A kršćanski mistici crtat će pentagrame "zlatnog reza" po zidovima svojih samostana, bježeći od đavla. Istodobno, znanstvenici – od Pacha l i prije Einsteina - tražit će, ali nikad neće pronaći njegovo točno značenje. Beskrajni niz iza decimalne točke - 1.6180339887... Čudna, tajanstvena, neobjašnjiva stvar: ta božanska proporcija mistično prati sva živa bića. Neživa priroda ne zna što je "zlatni rez". Ali sigurno ćete vidjeti ovaj omjer u oblinama morskih školjki, iu obliku cvijeća, iu obliku buba, iu lijepom ljudskom tijelu. Sve živo i sve lijepo - sve se pokorava božanskom zakonu, čije je ime "zlatni rez". Što je onda "zlatni rez"?.. Što je to idealna, božanstvena kombinacija? Možda je to zakon ljepote? Ili je to još uvijek mistična tajna? Znanstveni fenomen ili etički princip? Odgovor je još nepoznat. Točnije – ne, zna se. “Zlatni rez” je i to, i drugo, i treće. Samo ne zasebno, nego u isto vrijeme ... I to je njegova prava misterija, njegova velika tajna.
Vjerojatno je teško naći pouzdanu mjeru za objektivnu ocjenu same ljepote, a sama logika tu ne može. No, tu će pomoći iskustvo onih kojima je potraga za ljepotom bila sam smisao života, kojima je to postala profesija. Prije svega, to su ljudi umjetnosti, kako ih mi zovemo: umjetnici, arhitekti, kipari, glazbenici, pisci. Ali to su i ljudi egzaktnih znanosti, prije svega matematičari.
Vjerujući oku više nego drugim osjetilnim organima, čovjek je prije svega naučio razlikovati predmete oko sebe po obliku. Zanimanje za oblik predmeta može biti diktirano životnom potrebom ili može biti uzrokovano ljepotom oblika. Forma koja se temelji na kombinaciji simetrije i zlatnog reza pridonosi najboljoj vizualnoj percepciji i pojavi osjećaja ljepote i sklada. Cjelina se uvijek sastoji od dijelova, dijelovi različitih veličina su u određenom međusobnom odnosu i prema cjelini.Načelo zlatnog reza najviša je manifestacija strukturne i funkcionalne savršenosti cjeline i njezinih dijelova u umjetnosti, znanosti, tehnici i prirodi.
ZLATNI PRESJEK - HARMONIČKA PROPORCIJA
U matematici, proporcija je jednakost dva omjera: a: b = c: d.
Dug AB se može podijeliti na dva dijela na sljedeće načine:
--
na dva jednaka dijela - AB: AC = AB: BC;
--
na dva nejednaka dijela u bilo kojem omjeru (takvi dijelovi ne tvore proporcije);
--
dakle, kada je AB: AC = AC: BC.
Posljednja je zlatna divizija.
Zlatni rez je takva proporcionalna podjela segmenta na nejednake dijelove, u kojoj se cijeli segment odnosi prema većem dijelu na isti način kao što se sam veći dio odnosi prema manjem; ili drugim riječima, manji segment je povezan s većim kao što je veći sa svime
a: b = b: c ili c: b = b: a.
Praktično upoznavanje sa zlatnim rezom počinje dijeljenjem ravnog odsječka u zlatnom rezu pomoću šestara i ravnala.
Iz točke B ponovno je postavljena okomica jednaka polovici AB. Rezultirajuća točka C spojena je linijom s točkom A. Na dobivenoj liniji ucrtan je segment BC koji završava točkom D. Segment AD prenese se na ravnu liniju AB. Rezultirajuća točka E dijeli segment AB u omjeru zlatnog reza.
Izraženi su segmenti zlatnog reza beskonačni razlomak AE \u003d 0,618 ..., ako se AB uzme kao jedinica, BE \u003d 0,382 ... U praktične svrhe često se koriste približne vrijednosti od 0,62 i 0,38. Ako se segment AB uzme kao 100 dijelova, tada je najveći dio segmenta 62, a manji 38 dijelova.
Svojstva zlatnog reza opisana su jednadžbom: x2 - x - 1 = 0. Rješenje ove jednadžbe:
 |
DRUGI ZLATNI REZ Bugarski časopis "Otadžbina" objavio je članak Tsvetana Tsekova-Karandasha "O drugom zlatnom rezu", koji slijedi iz glavnog dijela i daje drugi omjer 44:56. Ovaj omjer nalazimo u arhitekturi. Podjela se provodi na sljedeći način. Odsječak AB podijeljen je proporcionalno zlatnom presjeku. Iz točke C vraća se okomica CD. Polumjer AB je točka D, koja je crtom povezana s točkom A. Pravi kut ACD se raspolavlja. Iz točke C povučen je pravac do sjecišta s pravcem AD. Točka E dijeli segment AD u omjeru 56:44. Na slici je prikazan položaj linije drugog zlatnog reza. Nalazi se u sredini između linije zlatnog presjeka i srednje linije pravokutnika. ZLATNI TROKUT Da biste pronašli segmente zlatnog reza uzlaznih i silaznih redaka, možete koristiti pentagram. Da biste izgradili pentagram, morate izgraditi pravilan peterokut. Metodu njegove izgradnje razvio je njemački slikar i grafičar Albrecht Dürer. Neka je O središte kružnice, A točka na kružnici, a E središte segmenta OA. Okomica na polumjer OA, podignuta u točki O, siječe kružnicu u točki D. Šestarom označite na promjeru isječak CE = ED. Duljina stranice pravilnog peterokuta upisanog u krug je DC. Odvojimo segmente DC na kružnici i dobijemo pet bodova za crtanje pravilnog peterokuta. Spojimo uglove peterokuta kroz jednu dijagonalu i dobijemo pentagram. Sve dijagonale peterokuta dijele jedna drugu na segmente povezane zlatnim rezom. Svaki kraj peterokutne zvijezde je zlatni trokut. Njegove stranice na vrhu tvore kut od 36°, a postolje položeno sa strane dijeli ga proporcionalno zlatnom rezu. Nacrtaj ravnu liniju AB. Od točke A odložimo na nju segment O proizvoljne veličine tri puta, kroz dobivenu točku P povučemo okomicu na liniju AB, na okomici desno i lijevo od točke P odložimo segmente O. Dobiveni točke d i d1 spojene su ravnim linijama s točkom A. Segment dd1 smo stavili na liniju Ad1, dobivajući točku C. Podijelila je liniju Ad1 proporcionalno zlatnom rezu. Linije Ad1 i dd1 koriste se za izgradnju "zlatnog" pravokutnika. POVIJEST ZLATNOG PRESJEKA
Opće je prihvaćeno da je pojam zlatnog odjeljka u znanstvenu upotrebu uveo Pitagora, starogrčki filozof i matematičar. Postoji pretpostavka da je Pitagora svoje znanje o zlatnoj podjeli posudio od Egipćana i Babilonaca. Doista, proporcije Keopsove piramide, hramova, kućanskih predmeta i ukrasa iz grobnice Tutankamona pokazuju da su egipatski majstori koristili omjere zlatne podjele pri izradi istih. Francuski arhitekt Le Corbusier utvrdio je da na reljefu iz hrama faraona Setija I. u Abidosu i na reljefu s prikazom faraona Ramzesa proporcije figura odgovaraju vrijednostima zlatne pregrade. Arhitekt Khesira, prikazan na reljefu drvene ploče s grobnice njegova imena, u rukama drži mjerne instrumente u kojima su fiksirane proporcije zlatne podjele. Grci su bili vješti geometri. Čak su i aritmetiku svoju djecu učili uz pomoć geometrijskih figura. Pitagorin kvadrat i dijagonala tog kvadrata bili su osnova za konstruiranje dinamičkih pravokutnika. I Platon je znao za zlatnu podjelu. Pitagorejac Timej, u istoimenom Platonovom dijalogu, kaže: "Nemoguće je da dvije stvari budu savršeno ujedinjene bez treće, budući da se između njih mora pojaviti nešto što bi ih držalo zajedno. Ovo najbolji način omjer može ispuniti, jer ako tri broja imaju svojstvo da je prosjek povezan s manjim kao što je veći s prosjekom, i obrnuto, manji je spram prosjeka kao što je prosjek s većim, tada posljednji i prvi će biti prosjek, a prosjek će biti prvi i posljednji. Tako će sve potrebno biti isto, a budući da će biti isto, to će činiti cjelinu." Platon gradi zemaljski svijet pomoću trokuta dvije varijante: jednakokračnog i nejednakokračnog. On smatra najljepšim pravokutni trokut je onaj u kojem je hipotenuza dvostruko veća od manje katete (takav pravokutnik je polovica jednakostraničnog, glavna figura Babilonaca, ima omjer 1:3). 1/2 , koji se od zlatnog reza razlikuje za oko 1/25, a Thymerding ga naziva "suparnikom zlatnog reza"). Uz pomoć trokuta Platon gradi četiri pravilna poliedra, povezujući ih s četiri zemaljska elementa (zemlja, voda, zrak i vatra). I samo posljednji od pet postojećih pravilnih poliedara - dodekaedar, čijih su svih dvanaest lica pravilni peterokuti, tvrdi da je simbolična slika nebeskog svijeta.
Ikozaedar i dodekaedar Čast da otkrije dodekaedar (ili, kako se pretpostavljalo, sam Svemir, ovu suštinu četiri elementa, simbolizirana redom tetraedrom, oktaedrom, ikosaedrom i kockom) pripada Hipasu, koji je kasnije umro u brodolomu. Ova figura doista zahvaća mnoge odnose zlatnog reza, pa je potonjem dodijeljena glavna uloga u nebeskom svijetu, na čemu je naknadno inzistirao mlađi brat Luca Pacioli. Na pročelju starogrčkog hrama Partenona nalaze se zlatni razmjeri. Tijekom njegovih iskopavanja pronađeni su kompasi koje su koristili arhitekti i kipari antičkog svijeta. Pompejanski šestar (Muzej u Napulju) također sadrži proporcije zlatnog odjeljka. U antičkoj literaturi koja je došla do nas, zlatna dioba se prvi put spominje u Euklidovim "Počecima". U 2. knjizi "Početaka" data je geometrijska konstrukcija zlatne diobe. Nakon Euklida zlatnom podjelom bavili su se Hipsiklo (2. st. pr. Kr.), Pap (3. st. po Kr.) i dr. U srednjovjekovnoj Europi sa zlatnom podjelom su se upoznali iz arapskih prijevoda Euklidovih "Početaka". Prevoditelj J. Campano iz Navarre (3. st.) komentirao je prijevod. Tajne zlatne divizije bile su ljubomorno čuvane, čuvane u strogoj tajnosti. Bili su poznati samo iniciranima. U srednjem vijeku pentagram je demoniziran (kao i mnogo toga što se smatralo božanskim u drevnom poganstvu) i našao je utočište u okultnim znanostima. Međutim, renesansa ponovno iznosi na vidjelo i pentagram i zlatni rez. Dakle, shema koja opisuje strukturu ljudskog tijela dobila je široku cirkulaciju u tom razdoblju afirmacije humanizma: Leonardo da Vinci također je više puta pribjegao takvoj slici, u biti reproducirajući pentagram. Njegovo tumačenje: ljudsko tijelo ima božansko savršenstvo, jer su proporcije koje su mu svojstvene iste kao u glavnoj nebeskoj figuri. Leonardo da Vinci, umjetnik i znanstvenik, uvidio je da talijanski umjetnici imaju puno empirijskog iskustva, ali malo znanja. Zamislio je i počeo pisati knjigu o geometriji, ali se u to vrijeme pojavila knjiga redovnika Luce Paciolija, a Leonardo je odustao od svoje ideje. Prema suvremenicima i povjesničarima znanosti, Luca Pacioli bio je prava svjetiljka, najveći matematičar u Italiji između Fibonaccija i Galilea. Luca Pacioli bio je učenik umjetnika Piera della Francesca, koji je napisao dvije knjige, od kojih se jedna zove O perspektivi u slikarstvu. Smatra se tvorcem nacrtne geometrije.
Luca Pacioli je bio itekako svjestan važnosti znanosti za umjetnost. Godine 1496. na poziv vojvode od Moreaua dolazi u Milano, gdje drži predavanja iz matematike. Na dvoru Moro u Milanu u to je vrijeme radio i Leonardo da Vinci. Godine 1509. u Veneciji je objavljena knjiga Luce Paciolija "O božanskoj proporciji" (De divina correctione, 1497., objavljena u Veneciji 1509.) sa sjajno izvedenim ilustracijama, zbog čega se vjeruje da ih je izradio Leonardo da Vinci. Knjiga je bila entuzijastični hvalospjev zlatnom rezu. Postoji samo jedan takav udio, i jedinstvenost najviše svojstvo Bog. Utjelovljuje sveto trojstvo. Taj se omjer ne može izraziti dostupnim brojem, ostaje skriven i tajan, a sami matematičari ga nazivaju iracionalnim (pa se Bog ne može definirati niti objasniti riječima). Bog se nikada ne mijenja i predstavlja sve u svemu i sve u svakom svom dijelu, tako da je zlatni rez za bilo koju kontinuiranu i određenu količinu (bez obzira da li je velika ili mala) isti, ne može se promijeniti ili drugačije percipirati umom. Bog je dozvao u postojanje nebesku krepost, inače zvanu peta supstancija, uz pomoć nje četiri druga jednostavna tijela (četiri elementa - zemlja, voda, zrak, vatra) i na njihovoj osnovi dozvao u postojanje sve druge stvari u prirodi; tako naša sveta proporcija, prema Platonu u Timeju, daje formalno biće samom nebu, jer se pripisuje obliku tijela zvanom dodekaedar, koji se ne može izgraditi bez zlatnog reza. To su Paciolijevi argumenti.
Leonardo da Vinci također je posvetio veliku pozornost proučavanju zlatne podjele. Napravio je presjeke stereometrijskog tijela formiranog od pravilnih peterokuta i svaki put dobio pravokutnike s omjerima stranica u zlatnoj podjeli. Stoga je ovoj podjeli dao naziv zlatni rez. Tako da je još uvijek najpopularniji. U isto vrijeme, u sjevernoj Europi, u Njemačkoj, Albrecht Dürer je radio na istim problemima. On skicira uvod u prvi nacrt rasprave o proporcijama. Durer piše. "Potrebno je da onaj tko to zna nauči druge kojima je to potrebno. To je ono što sam ja zacrtao." Sudeći prema jednom od Dürerovih pisama, tijekom njegova boravka u Italiji susreo se s Lucom Paciolijem. Albrecht Dürer detaljno razvija teoriju o proporcijama ljudskog tijela. važno mjesto Dürer je u svom sustavu omjera dodijelio zlatni rez. Visina osobe podijeljena je u zlatnim proporcijama linijom pojasa, kao i linijom povučenom kroz vrhove srednjih prstiju spuštenih ruku, donji dio lica - usta itd. Poznati proporcionalni šestar Dürer. Veliki astronom 16. stoljeća Johannes Kepler nazvao je zlatni rez jednim od blaga geometrije. Prvi je skrenuo pozornost na značaj zlatnog reza za botaniku (rast i građu biljaka). Kepler je zlatni rez nazvao kontinuiranim samim sobom. "Uređen je na takav način", napisao je, "da se dva mlađa člana ovog beskonačnog omjera zbrajaju u treći član, a bilo koja dva zadnja člana, ako se zbroje, daju sljedeći mandat, a isti omjer ostaje do beskonačnosti". Konstrukcija niza segmenata zlatnog reza može se vršiti i u smjeru povećanja (rastući niz) i u smjeru smanjenja (silazni niz). Ako na ravnoj liniji proizvoljne duljine odvojimo segment m, zatim odvojimo segment M. Na temelju ova dva segmenta gradimo ljestvicu segmenata zlatnog udjela uzlaznih i silaznih redaka U narednim stoljećima pravilo zlatnog reza pretvorilo se u akademski kanon, a kada je s vremenom u umjetnosti počela borba s akademskom rutinom, u žaru borbe "izbacili su dijete s vodom". Zlatni rez ponovno je "otkriven" sredinom 19. stoljeća. Godine 1855. njemački istraživač zlatnog reza, profesor Zeising, objavio je svoje djelo "Estetička istraživanja". Kod Zeisinga se točno ono što se dogodilo moralo dogoditi istraživaču koji fenomen promatra kao takav, bez veze s drugim fenomenima. Apsolutizirao je proporciju zlatnog reza, proglasivši ga univerzalnim za sve pojave prirode i umjetnosti. Zeising je imao brojne sljedbenike, ali bilo je i protivnika koji su njegovo učenje o proporcijama proglašavali "matematičkom estetikom". Zeising je napravio sjajan posao. Izmjerio je oko dvije tisuće ljudskih tijela i došao do zaključka da zlatni rez izražava prosječni statistički zakon. Podjela tijela prema točki pupka - najvažniji pokazatelj Zlatni omjer. Proporcije muškog tijela fluktuiraju unutar prosječnog omjera 13:8 = 1,625 i približavaju se zlatnom rezu nešto bliže nego proporcije ženskog tijela, u odnosu na koje je prosječna vrijednost proporcije izražena u omjeru 8:5. = 1,6. Kod novorođenčeta omjer je 1:1, do 13. godine 1,6, a do 21. godine izjednačen je s muškim. Proporcije zlatnog reza očituju se i u odnosu na druge dijelove tijela - duljinu ramena, podlaktice i šake, šake i prstiju itd. Zeising je ispitao valjanost svoje teorije na grčkim kipovima. Najdetaljnije je razvio proporcije Apolona Belvedere. Grčke vaze, arhitektonske strukture raznih epoha, biljke, životinje, ptičja jaja, glazbeni tonovi, pjesničke veličine. Zeising je definirao zlatni rez, pokazao kako se izražava u segmentima i brojevima. Kad su dobiveni brojevi koji izražavaju duljine segmenata, Zeising je vidio da oni sačinjavaju Fibonaccijev niz, koji se može neograničeno nastavljati u jednom iu drugom smjeru. Sljedeća mu je knjiga naslovljena "Zlatni razrez kao temeljni morfološki zakon u prirodi i umjetnosti". Godine 1876. izašla je u Rusiji mala knjiga, gotovo pamflet, u kojoj je prikazan rad Zeisingov. Autor se sklonio pod inicijale Yu.F.V. U ovom izdanju ne spominje se niti jedna slika. Krajem XIX - početkom XX stoljeća. pojavilo se dosta čisto formalističkih teorija o upotrebi zlatnog reza u umjetničkim djelima i arhitekturi. S razvojem dizajna i tehničke estetike, zakon zlatnog reza proširio se i na dizajn automobila, namještaja itd. ZLATNI REZ I SIMETRIJA Zlatni rez ne može se promatrati sam po sebi, zasebno, bez veze sa simetrijom. Veliki ruski kristalograf G.V. Wulff (1863...1925) je zlatni rez smatrao jednom od manifestacija simetrije. Zlatna podjela nije manifestacija asimetrije, nešto suprotno od simetrije.Prema suvremenim shvaćanjima, zlatna podjela je asimetrična simetrija. Znanost o simetriji uključuje koncepte kao što su statička i dinamička simetrija. Statička simetrija karakterizira mirovanje, ravnotežu, a dinamička simetrija karakterizira kretanje, rast. Dakle, u prirodi je statična simetrija predstavljena strukturom kristala, au umjetnosti karakterizira mir, ravnotežu i nepomičnost. Dinamička simetrija izražava aktivnost, karakterizira kretanje, razvoj, ritam, ona je dokaz života. Statičku simetriju karakteriziraju jednaki segmenti, jednake veličine. Dinamičku simetriju karakterizira povećanje segmenata ili njihovo smanjenje, a izražava se u vrijednostima zlatnog presjeka rastućeg ili opadajućeg niza. FIBON RED AF H I
Ime talijanskog matematičara redovnika Leonarda iz Pise, poznatijeg kao Fibonacci, neizravno je povezano s poviješću zlatnog reza. Puno je putovao po istoku, upoznao Europu s arapskim brojevima. Godine 1202. objavljeno je njegovo matematičko djelo The Book of the Abacus (Counting Board) u kojem su sabrani svi u to vrijeme poznati problemi. Niz brojeva 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 itd. poznat kao Fibonaccijev niz. Osobitost niza brojeva je u tome što je svaki njegov član, počevši od trećeg, jednak zbroju prethodna dva 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34 itd., a omjer susjednih brojeva niza približava se omjeru zlatne podjele. Dakle, 21:34 = 0,617, a 34:55 = 0,618. Taj omjer je označen simbolom F. Samo ovaj omjer - 0,618: 0,382 - daje kontinuiranu podjelu ravnog segmenta u zlatnom rezu, povećavajući ga ili smanjujući do beskonačnosti, kada se manji segment odnosi na veći kao onaj veći je svemu. Kao što je prikazano na donjoj slici, duljina svakog zgloba prsta povezana je s duljinom sljedećeg zgloba u proporciji F. Isti odnos se vidi u svim prstima na rukama i nogama. Ova povezanost je nekako neobična, jer je jedan prst duži od drugog bez ikakve vidljive šare, ali to nije slučajno - kao što sve u ljudskom tijelu nije slučajno. Udaljenosti na prstima, označene od A do B do C do D do E, sve su međusobno povezane u omjeru F, kao i falange prstiju od F do G do H.
Pogledajte ovaj žablji kostur i vidite kako svaka kost odgovara modelu proporcije F baš kao što je to slučaj u ljudskom tijelu.
GENERALIZIRANI ZLATNI REZ Znanstvenici su nastavili aktivno razvijati teoriju Fibonaccijevih brojeva i zlatnog reza. Yu. Matiyasevich pomoću Fibonaccijevih brojeva rješava 10- Yu Hilbertov problem. Postoje metode za rješavanje niza kibernetičkih problema (teorija pretraživanja, igre, programiranje) pomoću Fibonaccijevih brojeva i zlatnog reza. U SAD-u se čak stvara i Mathematical Fibonacci Association, koja od 1963. izdaje poseban časopis. Jedno od postignuća u ovom području je otkriće generaliziranih Fibonaccijevih brojeva i generaliziranog zlatnog reza. Fibonaccijev niz (1, 1, 2, 3, 5, 8) i "binarni" niz težina 1, 2, 4, 8, koje je on otkrio, na prvi se pogled potpuno razlikuju. Ali algoritmi za njihovu konstrukciju vrlo su slični jedni drugima: u prvom slučaju svaki broj je zbroj prethodnog broja sa samim sobom 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., u drugom - ovo je zbroj dva prethodna broja 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 = 3 + 2 .... Je li moguće pronaći opću matematičku formulu iz koje "binarne" serije, a Fibonaccijeve serije? Ili će nam možda ova formula dati nove numeričke skupove s nekim novim jedinstvena svojstva? Zaista, postavimo numerički parametar S, koji može poprimiti bilo koje vrijednosti: 0, 1, 2, 3, 4, 5... odvojen od prethodnog za S koraka. Ako a n-ti član ovaj niz će biti označen sa S (n), tada dobivamo opću formulu? S(n) =? S (n - 1) + ? S (n - S - 1). Očito, sa S = 0, iz ove formule ćemo dobiti "binarni" niz, sa S = 1 - Fibonaccijev niz, sa S = 2, 3, 4. novi niz brojeva, koji se nazivaju S-Fibonaccijevi brojevi. NA opći pogled zlatni S-proporcija je pozitivan korijen jednadžbe zlatnog S-presjeka x S+1 - x S - 1 = 0. Lako je pokazati da se pri S = 0 dobiva podjela segmenta na pola, a pri S = 1 poznati klasični zlatni presjek. Omjeri susjednih Fibonaccijevih S-brojeva s apsolutnom matematičkom točnošću podudaraju se u granici sa zlatnim S-proporcijama! Matematičari u takvim slučajevima kažu da su zlatni S-presjeci numeričke invarijante Fibonaccijevih S-brojeva. Činjenice koje potvrđuju postojanje zlatnih S-presjeka u prirodi dao je bjeloruski znanstvenik E.M. Soroko u knjizi "Strukturalna harmonija sustava" (Minsk, "Znanost i tehnologija", 1984.). Pokazalo se, na primjer, da dobro proučene binarne legure imaju posebna, izražena funkcionalna svojstva (toplinski stabilne, tvrde, otporne na habanje, otporne na oksidaciju itd.) samo ako su specifične težine početnih komponenti međusobno povezane. jednom od zlatnih S-proporcija. To je omogućilo autoru da postavi hipotezu da su zlatni S-presjeci numeričke invarijante samoorganizirajućih sustava. Budući da je eksperimentalno potvrđena, ova hipoteza može biti od temeljne važnosti za razvoj sinergije - novo područje znanost koja proučava procese u samoorganizirajućim sustavima. Koristeći kodove zlatnog S-proporcija, bilo koji realni broj može se izraziti kao zbroj stupnjeva zlatnih S-proporcija s cjelobrojnim koeficijentima. Temeljna razlika između ove metode kodiranja brojeva je u tome što se baze novih kodova, koje su zlatne S-proporcije, ispostavljaju iracionalnim brojevima za S > 0. Tako su novi brojevni sustavi s iracionalnim bazama, takoreći, "naglavce" postavili povijesno uspostavljenu hijerarhiju odnosa između racionalnih i iracionalnih brojeva. Činjenica je da su isprva "otkriveni" prirodni brojevi; onda su njihovi omjeri racionalni brojevi. I tek kasnije - nakon što su pitagorejci otkrili nesamjerljive segmente - pojavili su se iracionalni brojevi. Na primjer, u decimalnom, kvinarnom, binarnom i drugim klasičnim pozicijskim brojevnim sustavima prirodni brojevi - 10, 5, 2 - odabrani su kao neka vrsta temeljnog principa, iz kojeg su proizašli svi ostali prirodni brojevi, kao i racionalni i iracionalni brojevi. izgrađena prema određenim pravilima. Svojevrsna alternativa postojećim metodama numeriranja je novi, iracionalni sustav, kao temeljni princip, čiji je početak odabran iracionalan broj(što je, podsjetimo, korijen jednadžbe zlatnog reza); preko njega su već izraženi drugi realni brojevi. U takvom brojevnom sustavu svaki prirodni broj uvijek se može predstaviti kao konačan broj - a ne beskonačan, kao što se prije mislilo! - zbrojevi stupnjeva bilo koje od zlatnih S-proporcija. To je jedan od razloga zašto se čini da je "iracionalna" aritmetika, koja ima nevjerojatnu matematičku jednostavnost i eleganciju, apsorbirala najbolje kvalitete klasične binarne i "Fibonaccijeve" aritmetike. NAČELA OBLIKOVANJA U PRIRODI Sve što je poprimilo neki oblik formiralo se, raslo, težilo zauzeti mjesto u prostoru i sačuvati se. Ova težnja ostvaruje se uglavnom u dvije varijante - rastom prema gore ili širenjem po površini zemlje i uvijanjem u spiralu. Školjka je uvijena u spiralu. Ako ga rasklopite, dobit ćete duljinu malo manju od duljine zmije. Mala školjka od deset centimetara ima spiralu dugu 35 cm.Spirale su vrlo česte u prirodi. Koncept zlatnog reza bit će nepotpun, ako ne govorimo o spirali. Oblik spiralno uvijene školjke privukao je pažnju Arhimeda. Proučavao ju je i izveo jednadžbu spirale. Spirala nacrtana prema ovoj jednadžbi naziva se njegovim imenom. Povećanje njezina koraka uvijek je ravnomjerno. Trenutno se Arhimedova spirala široko koristi u inženjerstvu. Čak je i Goethe isticao sklonost prirode spiralnosti. Spiralni i spiralni raspored lišća na granama drveća uočen je davno.
Spirala je vidljiva u rasporedu sjemenki suncokreta, u češerima, ananasima, kaktusima itd. Suradnja botaničari i matematičari rasvijetlili su ove nevjerojatne prirodne pojave. Ispostavilo se da se u rasporedu lišća na grani (filotaksa), sjemenki suncokreta, šišarki očituje Fibonaccijev niz, a samim tim i zakon zlatnog presjeka. Pauk ispreda svoju mrežu u obliku spirale. Uragan se vrti u spiralu. Uplašeno krdo sobova rasprši se u spiralu. Molekula DNA je upletena u dvostruku spiralu. Goethe je spiralu nazvao "krivuljom života". Zo Zlatna spirala je usko povezana s ciklusima. Moderna znanost o kaosu proučava jednostavne cikličke povratne operacije i fraktalne oblike koje one generiraju, a koje su prije bile nepoznate. Slika 6 prikazuje poznatu Mandelbrotovu seriju, stranicu iz rječnika beskonačnosti pojedinačnih obrazaca koji se zove Julian serija. Neki znanstvenici povezuju Mandelbrotov niz s genetskim kodom staničnih jezgri. Dosljedno povećanje odjeljaka otkriva nevjerojatne fraktale u njihovoj umjetničkoj složenosti. I ovdje postoje logaritamske spirale! Ovo je tim važnije jer ni Mandelbrotov niz ni Julianov niz nisu izumi ljudskog uma. Oni proizlaze iz područja Platonovih prototipova. Kao što je liječnik R. Penrose rekao, „oni su kao Mount Everest.“ Spirala je usko povezana s ciklusima. Moderna znanost o kaosu proučava jednostavne cikličke povratne operacije i one fraktalne koje one generiraju.
Među cestovnim biljem raste neugledna biljka - cikorija. Pogledajmo ga pobliže. Od glavne stabljike formirana je grana. Evo prvog lista.
 |
| Riža. . Cikorija |
Kod guštera su na prvi pogled uhvaćene oku ugodne proporcije - duljina njegovog repa odnosi se prema duljini ostatka tijela kao 62 prema 38.
 |
| Riža. . živorodni gušter |
Ovakvi oblici ptičjih jaja nisu slučajni, jer je sada utvrđeno da oblik jaja opisan omjerom zlatnog reza odgovara većim karakteristikama čvrstoće ljuske jajeta.
 |
| Riža. . ptičje jaje |
Međutim, snježne pahulje, koje su također kristali vode, sasvim su dostupne našem oku.
Svi likovi izuzetne ljepote koji tvore snježne pahulje, sve osi, krugovi i geometrijski likovi u snježnim pahuljama također su uvijek, bez iznimke, građeni prema savršeno jasnoj formuli zlatnog reza.
U mikrokozmosu su sveprisutne trodimenzionalne logaritamske forme građene prema zlatnim proporcijama. Na primjer, mnogi virusi imaju trodimenzionalni geometrijski oblik ikosaedra. Možda je najpoznatiji od ovih virusa Adeno virus. Proteinski omotač Adeno virusa sastoji se od 252 jedinice proteinskih stanica raspoređenih u određenom nizu. U svakom kutu ikosaedra nalazi se 12 jedinica proteinskih stanica u obliku peterokutne prizme, a iz tih se kutova protežu strukture nalik na šiljke.
 |
| Adeno virus |
Klugov komentar još jednom podsjeća na krajnje očitu istinu: u strukturi čak i mikroskopskog organizma, kojeg znanstvenici svrstavaju u "najprimitivniji oblik života", u ovom slučaju virusa, postoji jasan plan i razuman projekt. implementiran je 16. Ovaj je projekt u svojoj savršenosti i točnosti izvedbe neusporediv s najnaprednijim arhitektonski projekti stvorili ljudi. Na primjer, projekti koje je stvorio briljantni arhitekt Buckminster Fuller. Trodimenzionalni modeli dodekaedra i ikosaedra prisutni su i u strukturi kostura jednostaničnih morskih mikroorganizama radiolarija (beamers), čiji je kostur izgrađen od silicijevog dioksida. Radiolarije tvore svoje tijelo vrlo izuzetne, neobične ljepote. Njihov oblik je pravilan dodekaedar. Štoviše, pseudo-izduženje-udovi i drugi neobični oblici-izrasline rastu iz svakog njegovog ugla. Veliki Goethe, pjesnik, prirodoslovac i umjetnik (crtao je i slikao akvarelom), sanjao je o stvaranju jedinstvenog učenja o obliku, formiranju i transformaciji organskih tijela. Upravo je on u znanstvenu upotrebu uveo pojam morfologija. Pierre Curie početkom našeg stoljeća formulirao je niz dubokih ideja o simetriji. Tvrdio je da se ne može razmatrati simetrija bilo kojeg tijela bez uzimanja u obzir simetrije okoline. Zakoni "zlatne" simetrije očituju se u energetskim prijelazima elementarnih čestica, u strukturi nekih kemijski spojevi, u planetarnim i svemirskim sustavima, u genskim strukturama živih organizama. Ovi obrasci, kao što je gore navedeno, nalaze se u strukturi pojedinih organa osobe i tijela u cjelini, a također se očituju u bioritmovima i funkcioniranju mozga i vizualnoj percepciji. LJUDSKO TIJELO I ZLATNI REZ Sve ljudske kosti su proporcionalne zlatnom presjeku.
Proporcije različitih dijelova našeg tijela čine broj vrlo blizak zlatnom rezu. Ako se te proporcije podudaraju s formulom zlatnog reza, tada se izgled ili tijelo osobe smatra idealno izgrađenim.
Ako uzmemo točku pupka kao središte ljudskog tijela, a udaljenost između ljudskog stopala i točke pupka kao mjernu jedinicu, tada je visina osobe ekvivalentna broju 1,618.
Razmak od razine ramena do tjemena i veličina glave je 1:1.618
Udaljenost od točke pupka do tjemena i od razine ramena do tjemena je 1:1,618
Udaljenost točke pupka od koljena i od koljena do stopala je 1:1,618
Udaljenost od vrha brade do vrha gornje usne i od vrha gornje usne do nosnica je 1:1,618
Zapravo, točna prisutnost zlatnog reza na licu osobe ideal je ljepote za ljudsko oko.
Udaljenost od vrha brade do gornje linije obrva i od gornje linije obrva do vrha glave je 1:1.618
Visina lica / širina lica
Središnja točka spoja usana s bazom nosa / dužina nosa.
Visina lica / udaljenost od vrha brade do središnje točke spoja usana
Širina usta/širina nosa
Širina nosa / udaljenost između nosnica
Udaljenost zjenica / udaljenost obrva Dovoljno je sada samo približiti dlan i pažljivo pogledati svoj kažiprst, i odmah ćete u njemu pronaći formulu zlatnog reza.
Svaki prst naše ruke sastoji se od tri falange. Zbroj prve dvije falange prsta u odnosu na cijelu dužinu prsta daje zlatni rez (s izuzetkom palca).
Osim toga, omjer između srednjeg prsta i malog prsta je takođerZlatni omjerOsoba ima 2 ruke, prsti na svakoj ruci sastoje se od 3 falange (s izuzetkom palca). Svaka ruka ima 5 prstiju, odnosno ukupno 10, ali s izuzetkom dva dvofalangealna palčevi samo 8 prstiju nastaje prema principu zlatnog reza. Dok su svi ovi brojevi 2, 3, 5 i 8 brojevi Fibonaccijevog niza.
Također treba napomenuti da je kod većine ljudi razmak između krajeva raširenih ruku jednak visini. Istine zlatnog reza su u nama iu nama prostor
Osobitost bronha koji čine pluća osobe leži u njihovoj asimetriji. Bronhi se sastoje od dva glavna dišna puta, jedan (lijevi) je duži, a drugi (desni) je kraći.
Utvrđeno je da se ta asimetrija nastavlja u ograncima bronha, u svim manjim dišnim putovima.
Štoviše, omjer duljine kratkih i dugih bronha također je zlatni rez i jednak je 1:1,618.
Ljudsko unutarnje uho sadrži organ pužnica ("Puž"), koji obavlja funkciju prijenosa zvučne vibracije. Ova struktura slična kosti ispunjena je tekućinom i također stvorena u obliku puža, koji sadrži stabilan logaritamski spiralni oblik = 73? 43". Krvni tlak se mijenja kako srce kuca. Najveću vrijednost postiže u lijevoj klijetki srca u vrijeme njezine kontrakcije (sistola). U arterijama tijekom sistole ventrikula srca krvni tlak doseže maksimalnu vrijednost jednaku 115-125 mm Hg u mlade, zdrave osobe. U trenutku opuštanja srčanog mišića (dijastola) tlak se smanjuje na 70-80 mm Hg. Omjer maksimalnog (sistoličkog) i minimalnog (dijastoličkog) tlaka u prosjeku je 1,6, odnosno blizu zlatnog reza.Ako kao jedinicu uzmemo prosječni krvni tlak u aorti, tada je sistolički krvni tlak u aorti 0,382, a dijastolički 0,618, odnosno njihov odnos odgovara zlatnom rezu. To znači da se rad srca u odnosu na vremenske cikluse i promjene krvnog tlaka optimizira prema istom principu – zakonu zlatnog reza.
Molekula DNA sastoji se od dvije okomito isprepletene spirale. Svaka od ovih spirala duga je 34 angstrema i široka 21 angstrem. (1 angstrom je stomilijunti dio centimetra). struktura spiralnog dijela molekule DNA
Dakle, 21 i 34 su brojevi, sljedeći prijatelj jedan za drugim u nizu Fibonaccijevih brojeva, odnosno omjer duljine i širine logaritamske spirale molekule DNK nosi zlatnu formulu 1:1.618.
|
ZLATNI PRESJEK U KIPARSTVU
Skulpturalne strukture, spomenici se podižu kako bi se ovjekovječili značajni događaji, sačuvali u sjećanju potomaka imena slavnih ljudi, njihovih podviga i djela. Poznato je da je čak iu antičko doba osnova kiparstva bila teorija proporcija. Odnos dijelova ljudskog tijela povezivao se s formulom zlatnog reza.Proporcije "zlatnog reza" ostavljaju dojam sklada ljepote pa su ih kipari koristili u svojim djelima.Kipari tvrde da je struk dijeli savršeno ljudsko tijelo u odnosu na "zlatni rez". Na primjer, poznati kip Apolona Belvedere sastoji se od dijelova podijeljenih zlatnim omjerima.Veliki starogrčki kipar Phidias često je koristio "zlatni rez" u svojim djelima. Najpoznatiji od njih bili su kip olimpskog Zeusa (koji se smatrao jednim od svjetskih čuda) i Atene Partenos.  Poznat je zlatni udio kipa Apolona Belvedere: visina prikazane osobe podijeljena je pupčanom linijom u zlatnom presjeku.  |
ZLATNI REZ U ARHITEKTURI
U knjigama o "zlatnom rezu" može se naći opaska da u arhitekturi, kao iu slikarstvu, sve ovisi o poziciji promatrača, te da ako neke proporcije u zgradi s jedne strane izgledaju kao "zlatni rez", onda će iz drugih točaka vizije izgledati drugačije. "Zlatni rez" daje najopušteniji omjer veličina pojedinih duljina.
Jedno od najljepših djela starogrčke arhitekture je Partenon (V. st. pr. Kr.).
  Slike pokazuju niz uzoraka povezanih sa zlatnim rezom. Proporcije zgrade mogu se izraziti kroz različite stupnjeve broja F = 0,618 ... Partenon ima 8 stupova na kraćim stranama i 17 na dugim. izbočine su u potpunosti izrađene od kvadrata pentilskog mramora. Plemenitost materijala od kojeg je izgrađen hram omogućila je ograničavanje upotrebe bojanja, što je bilo uobičajeno u grčkoj arhitekturi, samo naglašava detalje i oblikuje obojenu pozadinu (plavu i crvenu) za skulpturu. Omjer visine zgrade i njezine duljine je 0,618. Podijelimo li Partenon prema "zlatnom presjeku", dobit ćemo određene izbočine pročelja. Na tlocrtu Partenona također možete vidjeti "zlatne pravokutnike":  Zlatni rez možemo vidjeti u zgradi katedrale Notre Dame (Notre Dame de Paris) i u Keopsovoj piramidi:   Nisu samo egipatske piramide građene u skladu sa savršenim proporcijama zlatnog reza; isti se fenomen nalazi u meksičkim piramidama. Dugo se vremena vjerovalo da arhitekti Drevna Rusija gradio sve "na oko", bez posebnih matematičkih proračuna. No najnovija istraživanja pokazala su da su ruski arhitekti dobro poznavali matematičke proporcije, o čemu svjedoči analiza geometrije antičkih hramova. Poznati ruski arhitekt M. Kazakov široko je koristio "zlatni rez" u svom radu. Njegov talent bio je višestruk, ali se u većoj mjeri otkrio u brojnim realiziranim projektima. stambene zgrade i imanja. Na primjer, "zlatni rez" nalazi se u arhitekturi zgrade Senata u Kremlju. Prema projektu M. Kazakova, u Moskvi je izgrađena bolnica Golitsyn, koja se trenutno zove Prva klinička bolnica nazvana po N.I. Pirogov (Lenjinski prospekt, d.  Palača Petrovski u Moskvi. Izgrađen prema projektu M.F. Kazakov.  Još jedno arhitektonsko remek-djelo Moskve - Paškova kuća - jedno je od najsavršenijih djela arhitekture V. Bazhenova.  Prekrasna kreacija V. Bazhenova čvrsto je ušla u ansambl središta moderne Moskve, obogatila ga. Vanjski izgled kuće ostao je gotovo nepromijenjen do danas, unatoč činjenici da je teško spaljena 1812. godine. Tijekom obnove zgrada je dobila masivnije oblike. Nije sačuvan ni unutarnji raspored zgrade, o čemu tek nacrt donje etaže daje predodžbu. Mnoge izjave arhitekta danas zaslužuju pozornost. O svojoj najdražoj umjetnosti V. Bazhenov je rekao: "Arhitektura ima tri glavna predmeta: ljepotu, smirenost i snagu građevine ... Da bi se to postiglo, znanje o proporciji, perspektivi, mehanici ili fizici općenito služi kao vodič, a svima njima zajednički vođa je razum." |
Svako glazbeno djelo ima vremensko proširenje i podijeljeno je na određene "estetske prekretnice" u zasebne dijelove koji privlače pozornost i olakšavaju percepciju u cjelini. Ti prekretnici mogu biti dinamičke i intonacijske kulminacijske točke glazbenog djela. Odvojeni vremenski intervali glazbenog djela, povezani "vrhunskim događajem", u pravilu su u omjeru zlatnog reza.
Davne 1925., likovni kritičar L. L. Sabaneev, analizirajući 1770 glazbenih djela 42 autora, pokazao je da se velika većina izvanrednih djela može lako podijeliti na dijelove bilo po temi, bilo po intonaciji, ili po modalnom sustavu, koji su u odnosu na svaki ostalo zlatni rez. Štoviše, što je skladatelj talentiraniji, to je u njegovim djelima pronađeno više zlatnih presjeka. Prema Sabanejevu, zlatni rez dovodi do dojma posebne harmonije glazbene kompozicije. Taj je rezultat Sabaneev potvrdio na svih 27 Chopinovih etida. U njima je pronašao 178 zlatnih presjeka. Pritom se pokazalo da su ne samo veliki dijelovi etida podijeljeni po trajanju u odnosu na zlatni rez, nego su dijelovi etida unutar njih često podijeljeni u istom omjeru.
Skladatelj i znanstvenik M. A. Marutaev prebrojao je broj mjera u poznatoj sonati "Appassionata" i pronašao niz zanimljivih numeričkih omjera. Konkretno, u razvitku - središnjoj strukturnoj cjelini sonate, gdje se intenzivno razvijaju teme i smjenjuju ključevi - dva su glavna dijela. Prvi ima 43,25 barova, drugi ima 26,75. Omjer 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 daje zlatni rez.
Najveći broj djela u kojima je prisutan Zlatni rez imaju Arensky (95%), Beethoven (97%), Haydn (97%), Mozart (91%), Chopin (92%), Schubert (91%).
Ako je glazba harmonijski poredak zvukova, onda je poezija harmonijski poredak govora. Jasan ritam, pravilna izmjena naglašenih i nenaglašenih slogova, uređena dimenzionalnost pjesama, njihovo emocionalno bogatstvo čine poeziju sestra glazbena djela. Zlatni rez u poeziji prvenstveno se očituje kao prisutnost određenog trenutka pjesme (vrhunac, semantička prekretnica, glavna ideja djela) u retku koji se može pripisati točki podjele. ukupni broj stihovi pjesme u zlatnom rezu. Dakle, ako pjesma sadrži 100 redaka, tada prva točka Zlatnog reza pada na 62. red (62%), druga - na 38. (38%), itd. Djela Aleksandra Sergejeviča Puškina, uključujući "Eugene Onegin" - najbolja korespondencija zlatnog reza! Djela Shota Rustavelija i M.Yu. Ljermontova također su građene na principu zlatnog reza.
Stradivarius je to napisao uz pomoć
zlatni rez, odredio je mjesta za f izrezi u obliku - na tijelu njihovih slavnih violina. ZLATNI REZ U POEZIJI Puškinova poezija Studije pjesničkih djela s ovih pozicija tek počinju. I morate početi s poezijom A. S. Puškina. Uostalom, njegova su djela primjer najistaknutijih kreacija ruske kulture, primjer najviše razine harmonije. Poezijom A. S. Puškina započet ćemo potragu za zlatnim omjerom – mjerilom sklada i ljepote. Mnogo toga u strukturi pjesničkih djela čini ovaj oblik umjetnosti srodnim glazbi. Jasan ritam, pravilna izmjena naglašenih i nenaglašenih slogova, uređena dimenzionalnost pjesama, njihovo emocionalno bogatstvo čine poeziju sestrom glazbenih djela. Svaki stih ima svoj glazbeni oblik – svoj ritam i melodiju. Može se očekivati da će se u strukturi pjesama pojaviti neka obilježja glazbenih djela, obrasci glazbene harmonije, a time i zlatni rez. Krenimo od veličine pjesme, odnosno broja redaka u njoj. Čini se da se ovaj parametar pjesme može mijenjati proizvoljno. Međutim, pokazalo se da to nije tako. Na primjer, analiza pjesama A.S. Puškin je s ove točke gledišta pokazao da su veličine stihova vrlo neravnomjerno raspoređene; pokazalo se da Puškin očito preferira veličine od 5, 8, 13, 21 i 34 retka (Fibonaccijevi brojevi).
Mnogi su istraživači primijetili da su pjesme poput glazbenih komada; oni također imaju vrhunske točke koje dijele pjesmu proporcionalno zlatnom rezu. Razmotrimo, na primjer, pjesmu A.S. Puškin "Postolar": Jednom je postolar tražio sliku
I ukazao je na grešku u cipelama;
Uzevši odmah kist, umjetnik se ispravio,
Evo, boki, nastavio je postolar:
"Mislim da je lice malo iskrivljeno...
Nisu li ta prsa previše gola?
Tu ga Apelles nestrpljivo prekine:
– Sudac, prijatelju, ne iznad čizme!
Imam prijatelja na umu:
Ne znam koji je to predmet.
Bio je znalac, iako neverbalno strog,
Ali ga đavo nosi da sudi svjetlost:
Probajte da procijenite čizme!
Poznata Ljermontovljeva pjesma "Borodino" podijeljena je u dva dijela: uvod koji je upućen pripovjedaču i zauzima samo jednu strofu ("Reci mi, ujače, nije bez razloga ..."), i glavni dio, koji predstavlja samostalnu cjelinu, koji je podijeljen na dva jednaka dijela. U prvom od njih očekivanje bitke opisuje se s rastućom napetošću, u drugom - sama bitka s postupnim smanjenjem napetosti prema kraju pjesme. Granica između ovih dijelova je vrhunac djela i pada točno na točku njegove podjele zlatnim rezom. glavni dio Pjesma se sastoji od 13 sedmeraca, odnosno 91 stiha. Dijeleći ga zlatnim omjerom (91:1,618 = 56,238), uvjeravamo se da je točka dijeljenja na početku 57. stiha, gdje je kratka rečenica: "Pa, bio je dan!". Upravo taj izraz predstavlja "vrhunac uzbuđenog iščekivanja", kojim se završava prvi dio pjesme (iščekivanje bitke) i otvara njezin drugi dio (opis bitke). Dakle, zlatni rez igra vrlo značajnu ulogu u poeziji, ističući vrhunac pjesme. Poezija Shota Rustavelija Mnogi istraživači pjesme Šote Rustavelija “Vitez u panterovoj koži” bilježe izuzetnu harmoniju i melodičnost njegovih stihova. Ova svojstva pjesme gruzijskog znanstvenika akademika G.V. Tsereteli to pripisuje svjesnom korištenju zlatnog reza od strane pjesnikinje kako u oblikovanju forme pjesme tako iu konstrukciji svojih pjesama. Rustavelijeva pjesma sastoji se od 1587 strofa, od kojih se svaka sastoji od četiri stiha. Svaki redak sastoji se od 16 slogova i podijeljen je na dva jednaka dijela po 8 slogova u svakom poluretku. Svi polucrti podijeljeni su u dva segmenta dvije vrste: A - polucrt s jednakim segmentima i parnim brojem slogova (4 + 4); B - poluprava s asimetričnom podjelom na dva nejednaka dijela (5 + 3 ili 3 + 5). Tako su u polucrti B omjeri 3:5:8, što je aproksimacija zlatnog reza.
Utvrđeno je da je od 1587 strofa u Rustavelijevoj pjesmi više od polovice (863) izgrađeno prema principu zlatnog reza. Rođen u našem vremenu nova vrsta umjetnost - kinematografija, koja je apsorbirala dramaturgiju akcije, slikarstva, glazbe. Očitovanja zlatnog reza legitimno je tražiti u izuzetnim djelima kinematografije. Prvi je to učinio tvorac remek-djela svjetske kinematografije "Bojni brod Potemkin", redatelj Sergej Eisenstein. U konstrukciji ove slike uspio je utjeloviti osnovno načelo harmonije - zlatni rez. Kako sam Eisenstein primjećuje, crvena zastava na jarbolu pobunjenog bojnog broda (apogejska točka filma) vijori se na točki zlatnog reza, računajući od kraja filma. ZLATNI REZ U FONTOVIMA I KUĆANSKIM PREDMETIMA Posebnu vrstu likovne umjetnosti antičke Grčke treba istaknuti izradu i oslikavanje svih vrsta posuda. U elegantnom obliku lako se pogađaju proporcije zlatnog presjeka.
U slikarstvu i kiparstvu hramova, na kućanskim predmetima, stari Egipćani najčešće su prikazivali bogove i faraone. Uspostavljeni su kanoni slike stojeće osobe koja hoda, sjedi itd. Umjetnici su morali zapamtiti pojedinačne oblike i sheme slika iz tablica i uzoraka. Starogrčki umjetnici posebno su putovali u Egipat kako bi naučili koristiti kanon. OPTIMALNI FIZIČKI PARAMETRI VANJSKE SREDINE Glasnoća zvuka.
Poznato je da je najveća glasnoća zvuka koja uzrokuje bol 130 decibela.
Podijelimo li taj interval zlatnim rezom od 1,618, dobit ćemo 80 decibela, što je tipično za glasnoću ljudskog krika.
Ako sada 80 decibela podijelimo zlatnim rezom, dobit ćemo 50 decibela, što odgovara glasnoći ljudskog govora.
Konačno, ako 50 decibela podijelimo s kvadratom zlatnog reza 2,618, dobit ćemo 20 decibela, što odgovara ljudskom šaptu.
Dakle, svi karakteristični parametri glasnoće zvuka međusobno su povezani kroz zlatni rez.
Vlažnost zraka. Pri temperaturi od 18-20® optimalnim se smatra raspon vlažnosti od 40-60%.
Granice optimalnog raspona vlažnosti mogu se dobiti ako se apsolutna vlažnost od 100% dva puta podijeli zlatnim rezom: 100 / 2,618 = 38,2% (donja granica); 100/1,618 = 61,8% (gornja granica).
Tlak zraka. Pri tlaku zraka od 0,5 MPa, osoba doživljava neugodne osjećaje, njegova fizička i psihička aktivnost se pogoršava. Pri tlaku od 0,3 - 0,35 MPa dopušten je samo kratkotrajni rad, a pri tlaku od 0,2 MPa dopušteno je raditi ne više od 8 minuta.
Svi ovi karakteristični parametri međusobno su povezani zlatnim rezom: 0,5 / 1,618 = 0,31 MPa; 0,5 / 2,618 = 0,19 MPa.
Temperatura vanjskog zraka. Granični parametri vanjske temperature zraka, unutar kojih je moguće normalno postojanje (i, što je najvažnije, podrijetlo) osobe, je temperaturni raspon od 0 do + (57-58) ® S. Očito, na prvoj granici nema potrebe davati objašnjenja.
Navedeni raspon pozitivnih temperatura dijelimo zlatnim rezom. Ovo nam daje dvije granice:
Obje granice su temperature karakteristične za ljudsko tijelo: prva odgovara temperaturi Druga granica odgovara maksimalnoj mogućoj vanjskoj temperaturi za ljudsko tijelo.ZLATNI REZ U SLIKARSTVU
Još u renesansi umjetnici su otkrili da svaka slika ima određene točke koje nenamjerno privlače našu pozornost, takozvana vizualna središta. U ovom slučaju nije važno kakav je format slike - vodoravni ili okomiti. Postoje samo četiri takve točke, a nalaze se na udaljenosti od 3/8 i 5/8 od odgovarajućih rubova ravnine.
Ovo otkriće među umjetnicima tog vremena nazvano je "zlatnim rezom" slike. Okrećući se primjerima "zlatnog presjeka" u slikarstvu, ne možemo ne zaustaviti pozornost na djelu Leonarda da Vincija. Njegov identitet jedna je od misterija povijesti. Sam Leonardo da Vinci je rekao: "Neka se nitko tko nije matematičar ne usudi čitati moja djela."
Stekao je slavu kao nenadmašni umjetnik, veliki znanstvenik, genij koji je anticipirao mnoge izume koji su implementirani tek u 20. stoljeću.
Nema sumnje da je Leonardo da Vinci bio veliki umjetnik, uviđali su to već njegovi suvremenici, no njegova osobnost i djelovanje ostat će obavijeni velom tajne, budući da potomstvu nije ostavio suvisli prikaz svojih ideja, već samo brojne rukom pisane skice , bilješke koje kažu "i svi na svijetu."
Pisao je s desna na lijevo nečitkim rukopisom i lijevom rukom. Ovo je najpoznatiji primjer zrcalnog pisma koji postoji.
Portret Monna Lise (La Gioconda) godinama je privlačio pažnju istraživača koji su otkrili da se kompozicija crteža temelji na zlatnim trokutima koji su dijelovi pravilnog zvjezdanog peterokuta. Postoje mnoge verzije o povijesti ovog portreta. Ovdje je jedan od njih.
Jednom je Leonardo da Vinci dobio narudžbu od bankara Francesca de le Gioconda da naslika portret mlade žene, bankarove žene Monna Lise. Žena nije bila lijepa, ali privukla ju je jednostavnost i prirodnost njezina izgleda. Leonardo je pristao naslikati portret. Njegov model bio je tužan i tužan, ali Leonardo joj je ispričao bajku, nakon što je čula postala je živa i zanimljiva.
PRIČA
Bio jednom jedan siromah, imao četiri sina: tri pametna, a od njih jedan ovakav i onakav. A onda je po oca stigla smrt. Prije nego što se rastaje sa životom, dozva svoju djecu k sebi i reče: "Sinovi moji, uskoro ću umrijeti. Čim me sahranite, zaključajte kolibu i idite na kraj svijeta da svoju sreću stvarate. Neka svatko od vas nešto nauči, da se može prehraniti." Otac je umro, a sinovi su se razišli po svijetu, dogovorivši se da se tri godine kasnije vrate na proplanak rodnog gaja. Došao je prvi brat, koji je naučio drvodjelju, posjekao drvo i isklesao ga, napravio od njega ženu, prošetao malo i čeka. Drugi brat se vratio, ugledao drvenu ženu i, budući da je bio krojač, u jednom trenutku ju je obukao: poput vještog majstora sašio joj je prekrasnu svilenu odjeću. Treći sin ukrasio je ženu zlatom i dragim kamenjem - na kraju krajeva, on je bio draguljar. Napokon je stigao i četvrti brat. Nije znao stolirati i šivati, znao je samo slušati što govore zemlja, drveće, bilje, životinje i ptice, znao je hod nebeskih tijela i znao je pjevati divne pjesme. Pjevao je pjesmu koja je rasplakala braću koja su se skrivala iza grmlja. Ovom pjesmom je ženu oživio, nasmiješila se i uzdahnula. Braća su pojurila k njoj i svaki je vikao isto: "Ti moraš biti moja žena." Ali žena odgovori: "Ti si me stvorio - budi mi otac. Ti si me obukao i ti si me ukrasio - budi mi braća.
A ti, koji si mi udahnuo dušu i naučio me uživati u životu, trebaš mi sam za život".
Završivši priču, Leonardo je pogledao Monnu Lisu, lice joj je bilo obasjano svjetlom, oči su joj blistale. Zatim, kao da se probudila iz sna, uzdahnula je, prešla rukom preko lica i bez riječi otišla na svoje mjesto, sklopila ruke i zauzela svoj uobičajeni položaj. Ali djelo je učinjeno - umjetnik je probudio ravnodušni kip; osmijeh blaženstva, polako nestajući s njezina lica, ostao je u kutovima njezinih usana i podrhtavao, dajući njezinu licu nevjerojatan, tajanstven i pomalo lukav izraz, kao kod osobe koja je saznala tajnu i, pažljivo je čuvajući, ne može obuzdati njegov trijumf. Leonardo je radio u tišini, bojeći se propustiti ovaj trenutak, ovu zraku sunca koja je obasjala njegov dosadni model...
Teško je primijetiti što je zamijećeno u ovom remek-djelu, ali svi su govorili o Leonardovom dubokom poznavanju strukture ljudskog tijela, zahvaljujući čemu je uspio uhvatiti taj, tako reći, tajanstveni osmijeh. Razgovaralo se o ekspresivnosti pojedinih dijelova slike i o pejzažu, neviđenom pratiocu portreta. Govorili su o prirodnosti izraza, jednostavnosti poze, ljepoti ruku. Umjetnik je napravio nešto bez presedana: slika prikazuje zrak, obavija lik prozirnom izmaglicom. Unatoč uspjehu, Leonardo je bio tmuran, umjetniku se situacija u Firenci činila mučnom, spremao se otići. Podsjetnici na naloge za poplavu nisu mu pomogli.
|
Zlatni presjek na slici I. I. Shishkina "Pine Grove" Na ovoj poznatoj slici I. I. Šiškina jasno su vidljivi motivi zlatnog reza. Jarko osvijetljen bor (koji stoji u prvom planu) dijeli duljinu slike prema zlatnom rezu. Desno od bora nalazi se brežuljak obasjan suncem. Dijeli desnu stranu slike horizontalno prema zlatnom rezu. Lijevo od glavnog bora nalazi se mnogo borova - ako želite, možete uspješno nastaviti s podjelom slike prema zlatnom presjeku i dalje. |
|
Prisutnost na slici svijetlih vertikala i horizontala, dijeleći je u odnosu na zlatni rez, daje joj karakter ravnoteže i mira, u skladu s umjetnikovom namjerom. Kad je umjetnikova intencija drugačija, ako, recimo, stvara sliku s ubrzanim razvojem radnje, takva geometrijska shema kompozicije (s prevlašću vertikala i horizontala) postaje neprihvatljiva.
 |
|
 V. I. Surikov. Bojar Morozova. Uloga joj je dodijeljena srednji dio slike. Omeđena je točkom najvišeg uspona i točkom najnižeg pada na parceli slike. 1) Ovo je uspon Morozove ruke sa znakom križa s dva prsta kao najvišom točkom. 2) Ovo je bespomoćno ispružena ruka prema istoj plemkinji, ali ovoga puta ruka starice – jadne lutalice, ruka ispod koje, uz posljednju nadu u spas, izmiče kraj saonica. . A što je s "najvišom točkom"? Na prvi pogled imamo prividnu kontradikciju: uostalom, dionica A1B1, koja je 0,618 ... od desnog ruba slike, ne prolazi kroz ruku, čak ni kroz glavu ili oko plemkinje, nego ispada negdje pred ustima plemkinje! |
|
| Portret Mona Lise privlači činjenicom da je kompozicija crteža izgrađena na "zlatnim trokutima" (točnije, na trokutima koji su dijelovi pravilnog peterokuta u obliku zvijezde). | |
Ne postoji poetičnija slika od slike Sandra Botticellija, a veliki Sandro nema slavniju sliku od svoje "Venere". Za Botticellija, njegova Venera je utjelovljenje ideje o univerzalnom skladu "zlatnog presjeka" koji prevladava u prirodi.
 U to nas uvjerava proporcionalna analiza Venere.  Raphael "Atenska škola" Rafael nije bio matematičar, ali je, poput mnogih umjetnika tog doba, imao značajno znanje o geometriji. Na poznatoj fresci "Atenska škola", gdje se u hramu znanosti održava društvo velikih filozofa antike, pažnju nam privlači skupina Euklida, najvećeg starogrčkog matematičara, koji analizira složeni crtež. Genijalna kombinacija dva trokuta također je izgrađena u skladu sa zlatnim rezom: može se upisati u pravokutnik s omjerom stranica 5/8. Ovaj crtež je iznenađujuće lako umetnuti u gornji dio arhitekture. Gornji kut trokuta naslanja se na ključni kamen luka u području koje je najbliže promatraču, donji - na točki nestajanja perspektiva, a bočni presjek označava proporcije prostornog razmaka između dva dijela luka. . Zlatna spirala u Rafaelovom "Masakru nevinih" |
|
Za razliku od zlatnog reza, osjećaj dinamike, uzbuđenja, možda je najizraženiji u jednom drugom jednostavnom geometrijskom liku – spirali. Višefiguralna kompozicija koju je 1509. - 1510. godine izradio Rafael, kada je slavni slikar stvarao svoje freske u Vatikanu, upravo se odlikuje dinamizmom i dramatičnošću radnje. Rafael nikada nije doveo svoju zamisao do kraja, ali je njegovu skicu urezao nepoznati talijanski grafičar Marcantinio Raimondi, koji je prema ovoj skici izradio gravuru Masakr nevinih.
Ako se na Rafaelovoj pripremnoj skici mentalno povuku linije koje idu od semantičkog središta kompozicije - točke gdje su se ratnikovi prsti sklopili oko djetetova gležnja - duž figura djeteta, žene koja ga privija uz sebe, ratnika s podignuti mač, a zatim duž likova iste skupine na desnim dijelovima skice (na slici su ove linije nacrtane crvenom bojom), a zatim spojite te dijelove krivulje isprekidanom linijom, zatim je zlatna spirala dobivena s vrlo velikom točnošću. To se može provjeriti mjerenjem omjera duljina segmenata koje spirala presječe na ravnima koje prolaze kroz početak krivulje.
 |
|
ZLATNI REZ I PERCEPCIJA SLIKE
Odavno je poznata sposobnost ljudskog vizualnog analizatora da objekte izgrađene prema algoritmu zlatnog reza razlikuje kao lijepe, privlačne i skladne. Zlatni rez daje osjećaj najsavršenije jedinstvene cjeline. Format mnogih knjiga slijedi zlatni rez. Odabire se za prozore, slike i kuverte, poštanske marke, posjetnice. Osoba možda ne zna ništa o broju F, ali u strukturi predmeta, kao iu slijedu događaja, podsvjesno pronalazi elemente zlatnog reza.
Provedene su studije u kojima su ispitanici trebali odabrati i kopirati pravokutnike različitih proporcija. Na izbor su bila tri pravokutnika: kvadrat (40:40 mm), pravokutnik "zlatnog reza" omjera stranica 1:1,62 (31:50 mm) i pravokutnik izduženog omjera 1:2,31 (26: 60 mm).
 Pri odabiru pravokutnika u normalnom stanju, u 1/2 slučajeva prednost se daje kvadratu. Desna hemisfera preferira zlatni rez i odbija izduženi pravokutnik. Naprotiv, lijeva hemisfera teži izduženim proporcijama i odbacuje zlatni rez. Prilikom kopiranja ovih pravokutnika uočeno je sljedeće. Kada je desna hemisfera bila aktivna, proporcije na kopijama održavane su najtočnije. Kada je lijeva hemisfera bila aktivna, proporcije svih pravokutnika bile su iskrivljene, pravokutnici su bili rastegnuti (kvadrat je nacrtan kao pravokutnik s omjerom stranica 1:1,2; proporcije rastegnutog pravokutnika naglo su se povećale i dosegle 1:2,8 ). Najjače iskrivljene proporcije "zlatnog" pravokutnika; njegove su proporcije u kopijama postale proporcije pravokutnika 1:2,08. Prilikom crtanja vlastitih crteža prevladavaju proporcije bliske zlatnom rezu i izdužene. U prosjeku, proporcije su 1:2, dok desna hemisfera preferira proporcije zlatnog reza, lijeva se hemisfera odmiče od proporcija zlatnog reza i rasteže uzorak. Sada nacrtajte nekoliko pravokutnika, izmjerite njihove stranice i pronađite omjer širine i visine. Koju hemisferu imate? |
|
Primjer korištenja zlatnog reza u fotografiji je položaj ključnih komponenti okvira na točkama koje se nalaze 3/8 i 5/8 od rubova okvira. To se može ilustrirati sljedećim primjerom.
Ovdje je fotografija mačke koja se nalazi na proizvoljnom mjestu u okviru.
Sada uvjetno podijelimo okvir na segmente, u omjeru 1,62 ukupne duljine sa svake strane okvira. Na raskrižju segmenata bit će glavna "vizualna središta" u koja je vrijedno postaviti potrebne ključne elemente slike. Prenesimo našu mačku na točke "vizualnih centara". ZLATNI REZ I PROSTOR Iz povijesti astronomije poznato je da je I. Titius, njemački astronom iz 18. stoljeća, koristeći ovaj niz, pronašao pravilnost i red u udaljenostima između planeta Sunčevog sustava.
Međutim, jedan slučaj koji se činio protivan zakonu: između Marsa i Jupitera nije bilo planeta.Usredotočeno promatranje ovog dijela neba dovelo je do otkrića asteroidnog pojasa. To se dogodilo nakon Titijeve smrti u početkom XIX u. Fibonaccijev niz je široko korišten: uz njegovu pomoć predstavljaju arhitektoniku živih bića, strukture koje je napravio čovjek i strukturu galaksija. Ove činjenice su dokaz neovisnosti serije brojeva o uvjetima njegova očitovanja, što je jedan od znakova njegove univerzalnosti.
Dvije zlatne spirale galaksije su kompatibilne s Davidovom zvijezdom. Obratite pozornost na zvijezde koje izlaze iz galaksije u bijeloj spirali. Točno 180® iz jedne od spirala dolazi druga spirala koja se odvija. ... Dugo su vremena astronomi jednostavno vjerovali da je sve što je tamo ono što vidimo; ako je nešto vidljivo, onda postoji. Nevidljivi dio Stvarnosti ili uopće nisu primjećivali, ili ga nisu smatrali važnim. Ali nevidljiva strana naše Stvarnosti zapravo je puno veća. vidljiva strana a vjerojatno i važnije. ... Drugim riječima, vidljivi dio Stvarnosti je puno manji od jedan posto cjeline – gotovo ništa. Zapravo, naš pravi dom je nevidljivi svemir... U Svemiru sve galaksije poznate čovječanstvu i sva tijela u njima postoje u obliku spirale, što odgovara formuli zlatnog reza. U spirali naše galaksije nalazi se zlatni rez
ZAKLJUČAK Priroda, shvaćena kao cijeli svijet u raznolikosti njegovih oblika, sastoji se takoreći od dva dijela: žive i nežive prirode. Kreacije nežive prirode karakterizira visoka stabilnost, niska varijabilnost, sudeći prema razmjerima ljudskog života. Čovjek se rađa, živi, stari, umire, ali granitne planine ostaju iste, a planeti kruže oko Sunca na isti način kao u Pitagorino doba. Svijet divljih životinja pojavljuje nam se na potpuno drugačiji način - pokretljiv, promjenjiv i iznenađujuće raznolik. Život nam pokazuje fantastičan karneval raznolikosti i originalnosti kreativnih kombinacija! Svijet nežive prirode je, prije svega, svijet simetrije, koja njegovim kreacijama daje stabilnost i ljepotu. Svijet prirode je, prije svega, svijet harmonije, u kojem djeluje "zakon zlatnog reza". NA moderni svijet znanost dobiva posebno značenje zbog sve većeg utjecaja čovjeka na prirodu. Važni zadaci u sadašnjoj fazi su potraga za novim načinima suživota čovjeka i prirode, proučavanje filozofskih, društvenih, ekonomskih, obrazovnih i drugih problema s kojima se društvo suočava. U ovom radu razmatran je utjecaj svojstava "zlatnog reza" na živo i neživo divlje životinje, o povijesnom tijeku razvoja povijesti čovječanstva i planeta u cjelini. Analizirajući sve navedeno, može se još jednom zadiviti veličinom procesa spoznaje svijeta, otkrivanjem njegovih uvijek novih obrazaca i zaključiti: načelo zlatnog reza najviša je manifestacija strukturalnog i funkcionalni njegovo savršenstvo cjeline i njezinih dijelova u umjetnosti, znanosti, tehnologiji i prirodi. Može se očekivati da zakonitosti razvoja raznih sustava U prirodi, zakoni rasta nisu vrlo raznoliki i mogu se pratiti u raznim formacijama. Ovo je manifestacija jedinstva prirode. Ideja takvog jedinstva, utemeljena na manifestaciji istih obrazaca u heterogenim prirodnim pojavama, zadržala je svoju relevantnost od Pitagore do danas. th. 51
Zlatni rez je univerzalna manifestacija strukturalnog sklada. Nalazi se u prirodi, znanosti, umjetnosti – u svemu s čime čovjek može doći u dodir. Jednom upoznato sa zlatnim pravilom, čovječanstvo ga više nije varalo.
Definicija
Najopširnija definicija zlatnog reza kaže da se manji dio odnosi na veći, kao što je veći na cjelinu. Njegova približna vrijednost je 1,6180339887. U zaokruženom postotku, udjeli dijelova cjeline će korelirati kao 62% prema 38%. Taj omjer djeluje u obliku prostora i vremena. Stari su vidjeli zlatni rez kao odraz kozmičkog poretka, a Johannes Kepler ga je nazvao jednim od blaga geometrije. Moderna znanost smatra zlatni rez "asimetričnom simetrijom", nazivajući ga u širem smislu univerzalnim pravilom koje odražava strukturu i poredak našeg svjetskog poretka.
Priča
Opće je prihvaćeno da je u znanstvenu upotrebu uveden pojam zlatnog odjeljka Pitagora, starogrčki filozof i matematičar (VI. st. pr. Kr.). Postoji pretpostavka da je Pitagora svoje znanje o zlatnoj podjeli posudio od Egipćana i Babilonaca. Doista, proporcije Keopsove piramide, hramova, bareljefa, kućanskih predmeta i ukrasa iz grobnice Tutankamona pokazuju da su egipatski majstori koristili omjere zlatne podjele prilikom njihove izrade. Francuski arhitekt Le Corbusien otkrio je da na reljefu iz hrama faraona Setija I. u Abidosu i na reljefu s prikazom faraona Ramzesa proporcije figura odgovaraju vrijednostima zlatne pregrade. Arhitekt Khesira, prikazan na reljefu drvene ploče s grobnice njegova imena, u rukama drži mjerne instrumente u kojima su fiksirane proporcije zlatne podjele.
Grci su bili vješti geometri. Čak su i aritmetiku svoju djecu učili uz pomoć geometrijskih figura. Pitagorin kvadrat i dijagonala tog kvadrata bili su osnova za konstruiranje dinamičkih pravokutnika.
Platon(427...347. pr. Kr.) također je znao za zlatnu podjelu. Njegov dijalog "Timej" posvećen je matematičkim i estetskim pogledima Pitagorine škole, a posebno pitanjima zlatne diobe.
Na pročelju starogrčkog hrama Partenona nalaze se zlatni razmjeri. Tijekom njegovih iskopavanja pronađeni su kompasi koje su koristili arhitekti i kipari antičkog svijeta. Pompejanski šestar (Muzej u Napulju) također sadrži proporcije zlatnog odjeljka.
Riža. Antikni šestari sa zlatnim rezom
U staroj literaturi koja je došla do nas, zlatna divizija se prvi put spominje u "Počecima" Euklid. U 2. knjizi "Početaka" data je geometrijska konstrukcija zlatne diobe. Nakon Euklida zlatnom podjelom bavili su se Hipsiklo (2. st. pr. Kr.), Pap (3. st. po Kr.) i dr. U srednjovjekovnoj Europi sa zlatnom podjelom su se upoznali iz arapskih prijevoda Euklidovih "Početaka". Prevoditelj J. Campano iz Navarre (3. st.) komentirao je prijevod. Tajne zlatne divizije bile su ljubomorno čuvane, čuvane u strogoj tajnosti. Bili su poznati samo iniciranima.
Ideju o zlatnim proporcijama imali su i u Rusiji, ali je prvi put znanstveno objašnjen zlatni rez Redovnik Luca Pacioli u Božanskoj proporciji (1509), koju je navodno ilustrirao Leonardo da Vinci. Pacioli je vidio božansko trojstvo u zlatnom rezu: mali segment personificira Sina, veliki Oca, a cijeli Duha Svetoga. Prema suvremenicima i povjesničarima znanosti, Luca Pacioli bio je prava svjetiljka, najveći matematičar u Italiji između Fibonaccija i Galilea. Luca Pacioli bio je učenik umjetnika Piera della Francesca, koji je napisao dvije knjige, od kojih se jedna zove O perspektivi u slikarstvu. Smatra se tvorcem nacrtne geometrije.
Luca Pacioli je bio itekako svjestan važnosti znanosti za umjetnost. Godine 1496. na poziv vojvode Moreaua dolazi u Milano, gdje drži predavanja iz matematike. Na dvoru Moro u Milanu u to je vrijeme radio i Leonardo da Vinci.
Ime talijanskog matematičara izravno je povezano s pravilom zlatnog reza. Leonardo Fibonacci. Kao rezultat rješavanja jednog od problema, znanstvenik je došao do niza brojeva, sada poznatog kao Fibonaccijev niz: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 itd. Kepler je skrenuo pozornost na odnos ovog niza prema zlatnom rezu: “Raspoređen je na takav način da dva niža člana ovog beskonačnog omjera zbrajaju treći član, a bilo koja dva zadnja člana, ako se zbroje, daju sljedeći mandat, a isti omjer ostaje na neodređeno vrijeme. Sada je Fibonaccijev niz aritmetička osnova za izračunavanje proporcija zlatnog reza u svim njegovim pojavnim oblicima.
Leonardo da Vinci također je posvetio puno vremena proučavanju značajki zlatnog presjeka, najvjerojatnije sam pojam pripada njemu. Njegovi crteži stereometrijskog tijela formiranog od pravilnih peterokuta dokazuju da svaki od pravokutnika dobivenih presjekom daje omjer stranica u zlatnoj podjeli.
S vremenom je pravilo zlatnog reza postalo akademska rutina, i to samo filozofska Adolf Zeising 1855. vratio mu je drugi život. Doveo je proporcije zlatnog presjeka do apsoluta, učinivši ih univerzalnim za sve pojave okolnog svijeta. No, njegov "matematički esteticizam" izazvao je dosta kritika.
Priroda
astronom iz 16. stoljeća Johannes Kepler nazvao zlatni rez jednim od blaga geometrije. Prvi je skrenuo pozornost na značaj zlatnog reza za botaniku (rast i građu biljaka).
Kepler je zlatni rez nazvao samonastavljajućim. "Uređen je na takav način", napisao je, "da se dva mlađa člana ovog beskonačnog omjera zbrajaju u treći član, a bilo koja dva zadnja člana, ako se zbroje, daju sljedeći član, a isti omjer ostaje do beskonačnosti."
Konstrukcija niza segmenata zlatnog reza može se vršiti i u smjeru povećanja (rastući niz) i u smjeru smanjenja (silazni niz).
Ako je na ravnoj liniji proizvoljne duljine, odgodite segment m, odložite segment M. Na temelju ova dva segmenta gradimo ljestvicu segmenata zlatnog proporcija uzlaznog i silaznog reda.
Riža. Izgradnja ljestvice segmenata zlatnog reza
Riža. Cikorija
Čak i da ne ulazimo u izračune, zlatni rez se lako može pronaći u prirodi. Dakle, omjer repa i tijela guštera, udaljenost između lišća na grani pada ispod njega, postoji zlatni presjek iu obliku jajeta, ako se kroz njegov najširi dio povuče uvjetna linija.
Riža. živorodni gušter
Riža. ptičje jaje
Bjeloruski znanstvenik Eduard Soroko, koji je proučavao oblike zlatnih podjela u prirodi, primijetio je da je sve što raste i nastoji zauzeti svoje mjesto u svemiru obdareno proporcijama zlatnog presjeka. Prema njegovom mišljenju, jedan od najzanimljivijih oblika je spiralni.
Više Arhimed, obraćajući pažnju na spiralu, izveo je jednadžbu temeljenu na njenom obliku, koja se još uvijek koristi u tehnici. Kasnije je Goethe primijetio privlačnost prirode spiralnim oblicima, pozivima spirala "krivulje života". Suvremeni znanstvenici otkrili su da takve manifestacije spiralnih oblika u prirodi kao što su puževa ljuštura, raspored sjemenki suncokreta, web uzorci, kretanje uragana, struktura DNK, pa čak i struktura galaksija, sadrže Fibonaccijev niz.
ljudski
Modni dizajneri i dizajneri odjeće rade sve izračune na temelju proporcija zlatnog presjeka. Čovjek je univerzalni oblik za provjeru zakona zlatnog reza. Naravno, po prirodi nemaju svi ljudi idealne proporcije, što stvara određene poteškoće s odabirom odjeće.
U dnevniku Leonarda da Vincija nalazi se crtež golog čovjeka upisanog u krug, u dva položaja postavljena jedan na drugi. Na temelju studija rimskog arhitekta Vitruvija, Leonardo je na sličan način pokušao utvrditi proporcije ljudskog tijela. Kasnije je francuski arhitekt Le Corbusier, koristeći se Leonardovim Vitruvijevim čovjekom, stvorio vlastitu ljestvicu “harmoničnih proporcija” koja je utjecala na estetiku arhitekture 20. stoljeća. Adolf Zeising, istražujući proporcionalnost čovjeka, napravio je ogroman posao. Izmjerio je oko dvije tisuće ljudskih tijela, kao i mnoge antičke kipove, i zaključio da zlatni rez izražava prosječni zakon. Kod osobe su mu podređeni gotovo svi dijelovi tijela, ali glavni pokazatelj zlatnog presjeka je podjela tijela pupkom.
Kao rezultat mjerenja, istraživač je otkrio da su proporcije muškog tijela 13:8 bliže zlatnom rezu nego proporcije ženskog tijela - 8:5.
Umjetnost prostornih oblika
Umjetnik Vasilij Surikov rekao je da "postoji nepromjenjiv zakon u kompoziciji, kada se ništa ne može ukloniti ili dodati na sliku, čak ni dodatna točka ne može se staviti, to je prava matematika." Umjetnici su dugo vremena intuitivno slijedili ovaj zakon, ali nakon Leonarda da Vincija proces stvaranja slike više nije potpun bez rješavanja geometrijskih problema. Na primjer, Albrecht Dürer za određivanje točaka zlatnog presjeka koristio se proporcionalnim šestarom koji je izumio.
Likovni kritičar F. V. Kovalev, nakon što je detaljno proučio sliku Nikolaja Gea "Aleksandar Sergejevič Puškin u selu Mikhailovsky", primjećuje da je svaki detalj na platnu, bilo da je to kamin, polica za knjige, fotelja ili sam pjesnik, strogo ispisan zlatnim proporcijama. Istraživači zlatnog reza neumorno proučavaju i mjere remek-djela arhitekture, tvrdeći da su takva postala jer su stvorena prema zlatnim kanonima: na njihovom popisu nalaze se Velike piramide u Gizi, katedrala Notre Dame, katedrala Vasilija Blaženog, Partenon .
I danas, u bilo kojoj umjetnosti prostornih oblika, pokušavaju slijediti proporcije zlatnog reza, jer, prema povjesničarima umjetnosti, olakšavaju percepciju djela i stvaraju estetski osjećaj kod gledatelja.
Goethe, pjesnik, prirodoslovac i umjetnik (crtao je i slikao akvarelom), sanjao je o stvaranju jedinstvene doktrine o obliku, nastanku i preobrazbi organskih tijela. On je skovao taj izraz morfologija.
Pierre Curie početkom našeg stoljeća formulirao je niz dubokih ideja o simetriji. Tvrdio je da se ne može razmatrati simetrija bilo kojeg tijela bez uzimanja u obzir simetrije okoline.
Obrasci "zlatne" simetrije očituju se u energetskim prijelazima elementarnih čestica, u strukturi nekih kemijskih spojeva, u planetarnim i svemirskim sustavima, u genskim strukturama živih organizama. Ovi obrasci, kao što je gore navedeno, nalaze se u strukturi pojedinih organa osobe i tijela u cjelini, a također se očituju u bioritmovima i funkcioniranju mozga i vizualnoj percepciji.
Zlatni rez i simetrija
Zlatni rez ne može se promatrati sam po sebi, zasebno, bez veze sa simetrijom. Veliki ruski kristalograf G.V. Wulff (1863...1925) je zlatni rez smatrao jednom od manifestacija simetrije.
Zlatna podjela nije manifestacija asimetrije, nešto suprotno od simetrije. Prema modernim konceptima, zlatna podjela je asimetrična simetrija. Znanost o simetriji uključuje koncepte kao što su statički i dinamička simetrija. Statička simetrija karakterizira mirovanje, ravnotežu, a dinamička simetrija karakterizira kretanje, rast. Dakle, u prirodi je statična simetrija predstavljena strukturom kristala, au umjetnosti karakterizira mir, ravnotežu i nepomičnost. Dinamička simetrija izražava aktivnost, karakterizira kretanje, razvoj, ritam, ona je dokaz života. Statičku simetriju karakteriziraju jednaki segmenti, jednake veličine. Dinamičku simetriju karakterizira povećanje segmenata ili njihovo smanjenje, a izražava se u vrijednostima zlatnog presjeka rastućeg ili opadajućeg niza.
Riječ, zvuk i film
Forme temporalne umjetnosti nam na svoj način pokazuju princip zlatne diobe. Književni kritičari, na primjer, primijetili su da najpopularniji broj redaka u pjesmama kasnog razdoblja Puškinova stvaralaštva odgovara Fibonaccijevom nizu - 5, 8, 13, 21, 34.
Pravilo zlatnog reza vrijedi i za pojedinačna djela ruskog klasika. Dakle, vrhunac Pikove dame je dramatična scena Hermana i grofice, koja završava smrću potonje. U priči ima 853 stiha, a vrhunac pada u 535. stih (853:535=1,6) – to je točka zlatnog reza.
Sovjetski muzikolog E. K. Rozenov bilježi nevjerojatnu točnost omjera zlatnog presjeka u strogim i slobodnim oblicima djela Johanna Sebastiana Bacha, što odgovara promišljenom, koncentriranom, tehnički provjerenom stilu majstora. To vrijedi i za izvanredna djela drugih skladatelja, gdje točka zlatnog reza obično predstavlja najupečatljivije ili najneočekivanije glazbeno rješenje.
Filmski redatelj Sergej Eisenstein namjerno je uskladio scenarij za svoj film "Bojni brod Potemkin" s pravilom zlatnog reza, podijelivši vrpcu u pet dijelova. U prva tri dijela radnja se odvija na brodu, au posljednja dva - u Odesi. Prijelaz na scene u gradu zlatna je sredina filma.
Pozivamo vas na raspravu o ovoj temi u našoj grupi -
