3. korijen 1728. Inženjerski kalkulator

Ako imate pri ruci kalkulator, izvlačenje kubnog korijena bilo kojeg broja neće biti problem. Ali ako nemate kalkulator ili ako samo želite impresionirati druge, možete izvući kubni korijen ručno. Većini ljudi će se ovdje opisani postupak činiti prilično kompliciranim, ali s vježbom će vađenje kockastih korijena postati puno lakše. Prije nego počnete čitati ovaj članak, prisjetite se osnovnih matematičkih operacija i izračuna s brojevima u kocki.

Koraci

1. dio

Zapiši zadatak. Ručno vađenje kubnog korijena slično je dugom dijeljenju, ali s nekim nijansama. Prvo zapišite zadatak u određenom obliku.

• Zapišite broj iz kojeg želite izvaditi kubni korijen. Podijelite broj u skupine od tri znamenke i počnite brojati s decimalnom točkom. Na primjer, trebate uzeti kubni korijen od 10. Zapišite ovaj broj ovako: 10, 000,000. Dodatne nule dizajniran za poboljšanje točnosti rezultata.
• U blizini i iznad broja nacrtajte znak korijena. Zamislite to kao vodoravne i okomite crte koje crtate kada dijelite u stupac. Jedina razlika je oblik dva lika.
• Stavite decimalnu točku iznad vodoravne crte. Učinite to neposredno iznad decimalne točke izvornog broja.

1. Upamtite rezultate označavanja cijelih brojeva. Oni će se koristiti u izračunima.

   • 1 3 = 1 ∗ 1 ∗ 1 = 1 (\displaystyle 1^(3)=1*1*1=1)
   • 2 3 = 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=2*2*2=8)
   • 3 3 = 3 ∗ 3 ∗ 3 = 27 (\displaystyle 3^(3)=3*3*3=27)
   • 4 3 = 4 ∗ 4 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 4^(3)=4*4*4=64)
   • 5 3 = 5 ∗ 5 ∗ 5 = 125 (\displaystyle 5^(3)=5*5*5=125)
   • 6 3 = 6 ∗ 6 ∗ 6 = 216 (\displaystyle 6^(3)=6*6*6=216)
   • 7 3 = 7 ∗ 7 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=7*7*7=343)
   • 8 3 = 8 ∗ 8 ∗ 8 = 512 (\displaystyle 8^(3)=8*8*8=512)
   • 9 3 = 9 ∗ 9 ∗ 9 = 729 (\displaystyle 9^(3)=9*9*9=729)
   • 10 3 = 10 ∗ 10 ∗ 10 = 1000 (\displaystyle 10^(3)=10*10*10=1000)

2. Pronađite prvu znamenku odgovora. Odaberite kocku cijelog broja koja je najbliža, ali manja od prve skupine od tri znamenke.

   • U našem primjeru, prva grupa od tri znamenke je broj 10. Pronađite najveću kocku koja je manja od 10. Ova kocka je 8, a kubni korijen od 8 je 2.
   • Iznad vodoravne crte iznad broja 10 upišite broj 2. Zatim upišite vrijednost operacije 2 3 (\displaystyle 2^(3))= 8 ispod 10. Nacrtajte liniju i oduzmite 8 od 10 (kao kod normalnog dugog dijeljenja). Rezultat je 2 (ovo je prvi ostatak).
   • Dakle, pronašli ste prvu znamenku odgovora. Razmislite je li ovaj rezultat dovoljno točan. U većini slučajeva to će biti vrlo grub odgovor. Kubirajte rezultat kako biste saznali koliko je blizu izvornom broju. U našem primjeru: 2 3 (\displaystyle 2^(3))= 8, što nije baš blizu 10, pa je potrebno nastaviti s izračunima.

3. Pronađite sljedeću znamenku u odgovoru. Pripišite drugu grupu od tri znamenke prvom ostatku i nacrtajte okomitu crtu lijevo od dobivenog broja. Uz pomoć primljenog broja pronaći ćete drugu znamenku odgovora. U našem primjeru, prvom ostatku (2) treba dodijeliti drugu grupu od tri znamenke (000) da bi se dobio broj 2000.

   • Lijevo od okomite crte napisat ćete tri broja čiji je zbroj jednak nekom prvom faktoru. Ostavite prazna mjesta za ove brojeve i stavite znak plus između njih.

4. Pronađite prvi član (od tri). U prvi prazan prostor upišite rezultat množenja broja 300 s kvadratom prve znamenke odgovora (piše se iznad znaka korijena). U našem primjeru, prva znamenka odgovora je 2, pa je 300*(2^2) = 300*4 = 1200. Napišite 1200 u prvi prazan prostor. Prvi član je 1200 (plus još dva broja za pronaći).

   Pronađite drugu znamenku odgovora. Saznajte s kojim brojem trebate pomnožiti 1200 tako da rezultat bude blizu, ali ne veći od 2000. Ovaj broj može biti samo 1, budući da je 2 * 1200 = 2400, što je više od 2000. Napišite 1 (druga znamenka odgovora) iza 2 i decimalne točke iznad znaka korijena.

   Pronađite drugi i treći član (od tri). Množitelj se sastoji od tri broja (pojma), od kojih ste prvi već pronašli (1200). Sada moramo pronaći preostala dva člana.

   • Pomnožite 3 s 10 i za svaku znamenku odgovora (napisane su iznad znaka korijena). U našem primjeru: 3*10*2*1 = 60. Dodajte ovaj rezultat 1200 i dobit ćete 1260.
   • Na kraju kvadrirajte posljednju znamenku svog odgovora. U našem primjeru zadnja znamenka odgovora je 1, dakle 1^2 = 1. Dakle, prvi faktor je zbroj sljedećih brojeva: 1200 + 60 + 1 = 1261. Zapišite ovaj broj lijevo od okomite trake .

5. Pomnožite i oduzmite. Pomnožite zadnju znamenku odgovora (u našem primjeru je 1) s pronađenim faktorom (1261): 1 * 1261 = 1261. Zapišite ovaj broj ispod 2000 i oduzmite ga od 2000. Dobit ćete 739 (ovo je drugi ostatak ).

6. Razmislite je li odgovor koji dobijete dovoljno točan. Učinite to svaki put nakon što završite drugo oduzimanje. Nakon prvog oduzimanja odgovor je bio 2, što nije točan rezultat. Nakon drugog oduzimanja, odgovor je 2,1.

   • Kako biste provjerili točnost svog odgovora, sastavite ga na kocku: 2,1*2,1*2,1 = 9,261.
   • Ako mislite da je odgovor dovoljno točan, ne morate nastaviti s izračunom; u suprotnom, napravite još jedno oduzimanje.

7. Pronađite drugi množitelj. Da biste uvježbali izračune i dobili točniji rezultat, ponovite gornje korake.

   • Drugom ostatku (739) dodajte treću skupinu od tri znamenke (000). Dobit ćete broj 739000.
   • Pomnožite 300 s kvadratom broja koji je napisan iznad znaka korijena (21): 300 ∗ 21 2 (\displaystyle 300*21^(2)) = 132300.
   • Pronađite treću znamenku odgovora. Saznajte s kojim brojem trebate pomnožiti 132300 tako da rezultat bude blizu, ali ne više od 739000. Ovaj broj je 5: 5 * 132200 = 661500. Napišite 5 (treća znamenka odgovora) nakon 1 iznad korijena znak.
   • Pomnožite 3 s 10 s 21 i posljednjom znamenkom odgovora (napisani su iznad znaka korijena). U našem primjeru: 3 ∗ 21 ∗ 5 ∗ 10 = 3150 (\displaystyle 3*21*5*10=3150).
   • Na kraju kvadrirajte posljednju znamenku svog odgovora. U našem primjeru, zadnja znamenka odgovora je 5, dakle 5 2 = 25. (\displaystyle 5^(2)=25.)
   • Dakle, drugi množitelj je: 132300 + 3150 + 25 = 135475.

8. Pomnožite zadnju znamenku svog odgovora s drugim faktorom. Nakon što ste pronašli drugi množitelj i treću znamenku odgovora, postupite na sljedeći način:

   • Pomnožite zadnju znamenku odgovora s pronađenim množiteljem: 135475*5 = 677375.
   • Oduzmi: 739000-677375 = 61625.
   • Razmislite je li odgovor koji dobijete dovoljno točan. Da biste to učinili, iseckajte ga na kocke: 2 , 15 ∗ 2 , 15 ∗ 2 , 15 = 9 , 94 (\displaystyle 2,15*2,15*2,15=9,94).

9. Zapiši odgovor. Rezultat napisan iznad znaka korijena je odgovor na dvije decimale. U našem primjeru, kubni korijen iz 10 je 2,15. Provjerite svoj odgovor kubičnim: 2,15^3 = 9,94, što je otprilike 10. Ako trebate više preciznosti, nastavite s izračunom (kao što je gore opisano).

   2. dio

   Izvlačenje kubnog korijena metodom procjena

   1. Pomoću brojčanih kocki odredite gornju i donju granicu. Ako trebate izvući kubni korijen gotovo bilo kojeg broja, pronađite kocke (nekih brojeva) koje su bliske zadanom broju.

      • Na primjer, trebate uzeti kubni korijen od 600. Budući da 8 3 = 512 (\displaystyle 8^(3)=512) i 9 3 = 729 (\displaystyle 9^(3)=729), tada kubni korijen od 600 leži između 8 i 9. Dakle, koristite 512 i 729 kao gornju i donju granicu za svoj odgovor.

   2. Procijenite drugi broj. Pronašli ste prvi broj zahvaljujući poznavanju kubova cijelih brojeva. Sada pretvorite cijeli broj u decimal, dodajući mu (nakon decimalne točke) neku brojku od 0 do 9. Potrebno je pronaći decimalni ulomak, čija će kocka biti blizu, ali manja od izvornog broja.

      • U našem primjeru broj 600 nalazi se između brojeva 512 i 729. Na primjer, prvom pronađenom broju (8) dodajte broj 5. Rezultat će biti broj 8,5.
   3. • U našem primjeru: 8 , 5 ∗ 8 , 5 ∗ 8 , 5 = 614 , 1. (\displaystyle 8.5*8.5*8.5=614.1.)

   4. Usporedi kub dobivenog broja s izvornim brojem. Ako je kocka dobivenog broja veća od izvornog broja, pokušajte procijeniti manji broj. Ako je kub dobivenog broja puno manji od izvornog broja, procijenite velike brojke sve dok kub jednog od njih ne premaši izvorni broj.

      • U našem primjeru: 8 , 5 3 (\displaystyle 8,5^(3))> 600. Dakle, procijenite donji broj 8.4. Sastavite ovaj broj na kocku i usporedite ga s izvornim brojem: 8 , 4 ∗ 8 , 4 ∗ 8 , 4 = 592 , 7 (\displaystyle 8.4*8.4*8.4=592.7). Ovaj rezultat je manji od izvornog broja. Dakle, vrijednost kubnog korijena od 600 leži između 8,4 i 8,5.

   5. Procijenite sljedeći broj kako biste poboljšali točnost svog odgovora. Svakom broju koji ste posljednji procijenili dodijelite broj od 0 do 9 dok ne dobijete točan odgovor. U svakom krugu ocjenjivanja morate pronaći gornju i donju granicu između kojih se nalazi izvorni broj.

      • U našem primjeru: 8 , 4 3 = 592 , 7 (\displaystyle 8,4^(3)=592,7) i 8 , 5 3 = 614 , 1 (\displaystyle 8.5^(3)=614.1). Izvorni broj 600 bliži je 592 nego 614. Stoga, zadnjem broju koji ste procijenili dodajte broj koji je bliži 0 nego 9. Na primjer, ovaj broj je 4. Dakle, kockirajte broj 8,44.

   6. Ako je potrebno, procijenite drugi broj. Usporedi kub dobivenog broja s izvornim brojem. Ako je kocka dobivenog broja veća od izvornog broja, pokušajte procijeniti manji broj. Ukratko, trebate pronaći dva broja čiji su kubovi malo veći i malo manji od originalnog broja.

      • U našem primjeru 8 , 44 ∗ 8 , 44 ∗ 8 , 44 = 601 , 2 (\displaystyle 8.44*8.44*8.44=601.2). Ovo je nešto veće od izvornog broja, pa procijenite drugi (manji) broj, kao što je 8,43: 8 , 43 ∗ 8 , 43 ∗ 8 , 43 = 599 , 07 (\displaystyle 8,43*8,43*8,43=599,07). Dakle, vrijednost kubnog korijena od 600 leži između 8,43 i 8,44.

   7. Slijedite opisani postupak dok ne dobijete točan odgovor na vaše zadovoljstvo. Procijenite sljedeći broj, usporedite ga s izvornikom, zatim procijenite drugi broj ako je potrebno, i tako dalje. Imajte na umu da svaka dodatna znamenka nakon decimalne točke povećava točnost odgovora.

      • U našem primjeru, kocka broja 8,43 manja je od izvornog broja za manje od 1. Ako vam je potrebna veća preciznost, kockajte broj 8,434 i dobijte to 8 , 434 3 = 599 , 93 (\displaystyle 8,434^(3)=599,93), to jest, rezultat je manje od 0,1 manji od izvornog broja.

Objavljeno na našoj web stranici. Uzimanje korijena broja često se koristi u razne kalkulacije, a naš kalkulator izvrstan je alat za takve matematičke izračune.

Online kalkulator s korijenima omogućit će vam da brzo i jednostavno napravite sve izračune koji sadrže vađenje korijena. Korijen trećeg stupnja računat će se lako kao Korijen broja, korijen negativnog broja, korijen kompleksnog broja, korijen pi itd.

Izračunavanje korijena broja moguće je ručno. Ako je moguće izračunati cjelobrojni korijen broja, tada jednostavno nalazimo vrijednost korijenskog izraza iz tablice korijena. U drugim slučajevima, približni izračun korijena svodi se na proširenje korijenskog izraza u produkt od više od glavni faktori, koji su stupnjevi i mogu se ukloniti iz znaka korijena, pojednostavljujući izraz pod korijenom što je više moguće.

Ali ne biste trebali koristiti takvu otopinu korijena. I zato. Prvo, morate potrošiti puno vremena na takve izračune. Brojevi u korijenu, odnosno izrazi mogu biti prilično složeni, a stupanj nije nužno kvadratni ili kubični. Drugo, točnost takvih izračuna nije uvijek zadovoljena. I treće, postoji online kalkulator korijena koji će za vas napraviti bilo kakvo vađenje korijena u nekoliko sekundi.

Izvući korijen iz broja znači pronaći broj koji će, kada se podigne na potenciju n, biti jednak vrijednosti korijenskog izraza, gdje je n stupanj korijena, a sam broj je baza korijen. Korijen 2. stupnja naziva se jednostavnim ili kvadratnim, a korijen trećeg stupnja naziva se kubičnim, pri čemu se u oba slučaja izostavlja oznaka stupnja.

Otopina korijena u online kalkulator svodi se samo na pisanje matematičkog izraza u ulazni red. Vađenje iz korijena u kalkulatoru se označava kao sqrt i izvodi se pomoću tri tipke - vađenje kvadratnog korijena od sqrt(x), vađenje kubičnog korijena od sqrt3(x) i vađenje korijena od n stupnjeva sqrt(x,y) . Detaljnije informacije o upravljačkoj ploči prikazane su na stranici.

Vađenje kvadratnog korijena

Pritiskom na ovaj gumb umetnut ćete unos kvadratnog korijena u redak za unos: sqrt(x), trebate samo unijeti korijenski izraz i zatvoriti zagradu.

Primjer rješenja kvadratni korijeni u kalkulatoru:

Ako pod korijen negativan broj, a stupanj korijena je paran, tada će odgovor biti predstavljen kao kompleksan broj s imaginarnom jedinicom i.

Kvadratni korijen negativnog broja:

Treći korijen

Koristite ovu tipku kada trebate izračunati kubni korijen. Umeće unos sqrt3(x) u ulazni red.

Korijen 3. stupnja:

Korijen stupnja n

Naravno, online kalkulator korijena omogućuje vam izvlačenje ne samo kvadratnih i kubnih korijena broja, već i korijena stupnja n. Pritiskom na ovaj gumb prikazat će se zapis oblika sqrt(x x,y).

Korijen 4. stupnja:

Točan n-ti korijen broja može se izdvojiti samo ako je sam broj točna vrijednost stupanj n. Inače će se izračun pokazati približnim, iako vrlo blizu idealnog, budući da točnost izračuna online kalkulatora doseže 14 decimalnih mjesta.

5. korijen s približnim rezultatom:

Korijen razlomka

Kalkulator može izračunati korijen iz razni brojevi i izrazi. Traženje korijena razlomka svodi se na odvojeno izdvajanje korijena iz brojnika i nazivnika.

Kvadratni korijen razlomka:

korijen od korijena

U slučajevima kada je korijen izraza ispod korijena, po svojstvu korijena, oni se mogu zamijeniti jednim korijenom, čiji će stupanj biti jednak proizvodu stupnjeva oba. Pojednostavljeno rečeno, za izvlačenje korijena iz korijena dovoljno je pomnožiti eksponente korijena. U primjeru prikazanom na slici, izraz korijena trećeg stupnja korijena drugog stupnja može se zamijeniti jednim korijenom 6. stupnja. Navedite izraz kako želite. U svakom slučaju, kalkulator će sve ispravno izračunati.

Primjer kako izvući korijen iz korijena:

Stupanj u korijenu

Kalkulator korijena stupnja omogućuje vam izračun u jednom koraku, bez prethodnog smanjivanja eksponenata korijena i stupnja.

Kvadratni korijen potencije:

Sve funkcije našeg besplatnog kalkulatora prikupljene su u jednom odjeljku.

Rješavanje korijena u online kalkulatoru posljednji put izmijenjeno: 3. ožujka 2016. od strane Administrator

Čestitamo: danas ćemo analizirati korijene - jednu od najzanimljivijih tema 8. razreda. :)

Mnogi se zbunjuju oko korijena, ne zato što su složeni (što je komplicirano - par definicija i još par svojstava), nego zato što su u većini školskih udžbenika korijeni definirani kroz takve divljine da samo autori udžbenika sami znaju. može razumjeti ovo škrabanje. I to samo uz bocu dobrog viskija. :)

Stoga ću sada dati najispravnije i najviše ispravna definicija root je jedini kojeg stvarno trebate zapamtiti. I tek tada ću objasniti: zašto je sve to potrebno i kako to primijeniti u praksi.

Ali prvo zapamtite jedno važna točka, o čemu mnogi sastavljači udžbenika iz nekog razloga "zaboravljaju":

Korijeni mogu biti parnog stupnja (naš omiljeni $\sqrt(a)$, kao i bilo koji $\sqrt(a)$ i parni $\sqrt(a)$) i neparnog stupnja (bilo koji $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ itd.). I definicija korijena neparnog stupnja je nešto drugačija od parnog.

Ovdje u ovom jebenom "nešto drugačijem" krije se, vjerojatno, 95% svih pogrešaka i nesporazuma povezanih s korijenima. Dakle, raščistimo terminologiju jednom zauvijek:

Definicija. Čak i korijen n od broja $a$ je bilo koji nenegativan broj $b$ takav da je $((b)^(n))=a$. A korijen neparnog stupnja iz istog broja $a$ općenito je bilo koji broj $b$ za koji vrijedi ista jednakost: $((b)^(n))=a$.

U svakom slučaju, korijen se označava ovako:

\(a)\]

Broj $n$ u takvom se zapisu naziva korijenski eksponent, a broj $a$ radikalni izraz. Konkretno, za $n=2$ dobivamo naš "omiljeni" kvadratni korijen (usput, ovo je korijen parnog stupnja), a za $n=3$ dobivamo kubični korijen (neparni stupanj), koji se također često nalazi u problemima i jednadžbama.

Primjeri. Klasični primjeri kvadratni korijen:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]

Usput, $\sqrt(0)=0$ i $\sqrt(1)=1$. Ovo je sasvim logično jer $((0)^(2))=0$ i $((1)^(2))=1$.

Kubični korijeni su također uobičajeni - nemojte ih se bojati:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]

Pa, par "egzotičnih primjera":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

Ako ne razumijete koja je razlika između parnog i neparnog stupnja, ponovno pročitajte definiciju. Vrlo je važno!

U međuvremenu ćemo razmotriti jednu neugodnu osobinu korijena, zbog koje smo morali uvesti posebnu definiciju za parne i neparne eksponente.

Zašto nam uopće trebaju korijeni?

Nakon što pročitaju definiciju, mnogi studenti će se zapitati: “Što su matematičari popušili kad su ovo smislili?” I stvarno: zašto nam trebaju svi ti korijeni?

Kako bismo odgovorili na ovo pitanje, vratimo se na trenutak osnovne razrede. Zapamtite: u ta daleka vremena, kada je drveće bilo zelenije, a knedle ukusnije, naša glavna briga bila je pravilno pomnožiti brojeve. Pa nešto u duhu "pet po pet - dvadeset i pet", to je sve. Ali uostalom, brojeve možete množiti ne u parovima, već u trojkama, četvorkama i općenito cijelim skupovima:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Međutim, nije u tome poanta. Trik je drugačiji: matematičari su lijeni ljudi, pa su množenje deset petica morali zapisati ovako:

Pa su došli do diploma. Zašto ne biste broj faktora napisali kao superskript umjesto dugog niza? Kao ova:

Vrlo je povoljno! Svi izračuni smanjeni su nekoliko puta, a ne možete potrošiti hrpu pergamentnih listova bilježnica da zapišete nekih 5 183 . Takav unos nazvan je stupanj broja, u njemu je pronađena hrpa svojstava, ali sreća se pokazala kratkotrajnom.

Nakon grandiozne pijanke, koja je organizirana upravo oko “otkrića” stupnjeva, neki posebno nabusiti matematičar iznenada upita: “Što ako znamo stupanj broja, ali ne znamo sam broj?” Doista, ako znamo da određeni broj $b$, na primjer, daje 243 na 5. potenciju, kako onda možemo pogoditi čemu je jednak sam broj $b$?

Pokazalo se da je ovaj problem mnogo globalniji nego što se na prvi pogled čini. Jer pokazalo se da za većinu “konfekcijskih” diploma ne postoje te “početne” brojke. Prosudite sami:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Strelica desno b=4\cdot 4\cdot 4\Strelica desno b=4. \\ \end(align)\]

Što ako $((b)^(3))=50$? Ispada da trebate pronaći određeni broj, koji će nam, pomnožen sam sa sobom tri puta, dati 50. Ali koji je to broj? Jasno je da je veći od 3 jer je 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. tj. ovaj broj leži negdje između tri i četiri, ali čemu je jednak - FIG shvatit ćete.

Upravo su zato matematičari došli do $n$-tih korijena. Zato je uvedena radikalna ikona $\sqrt(*)$. Za označavanje istog broja $b$, koji će nam, na zadanu potenciju, dati prethodno poznatu vrijednost

\[\sqrt[n](a)=b\desna strelica ((b)^(n))=a\]

Ne raspravljam: često se ti korijeni lako razmatraju - vidjeli smo nekoliko takvih primjera gore. No ipak, u većini slučajeva, ako zamislite proizvoljan broj, a zatim pokušate iz njega izvući korijen proizvoljnog stupnja, čeka vas okrutna nevolja.

Što je tamo! Čak ni najjednostavniji i najpoznatiji $\sqrt(2)$ ne može se prikazati u obliku na koji smo navikli - kao cijeli broj ili razlomak. A ako ovaj broj unesete u kalkulator, vidjet ćete ovo:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Kao što vidite, iza decimalne točke nalazi se beskonačan niz brojeva koji se ne pokoravaju nikakvoj logici. Možete, naravno, zaokružiti ovaj broj za brzu usporedbu s drugim brojevima. Na primjer:

\[\sqrt(2)=1,4142...\približno 1,4 \lt 1,5\]

Ili evo još jednog primjera:

\[\sqrt(3)=1,73205...\približno 1,7 \gt 1,5\]

Ali sva ta zaokruživanja su, prvo, prilično gruba; i drugo, također morate znati raditi s približnim vrijednostima, inače možete uhvatiti hrpu neočitih pogrešaka (usput, vještina uspoređivanja i zaokruživanja u bez greške provjereno na profilnom ispitu).

Stoga se u ozbiljnoj matematici ne može bez korijena - oni su isti jednaki predstavnici skupa svih realnih brojeva $\mathbb(R)$, kao i razlomaka i cijelih brojeva koji su nam odavno poznati.

Nemogućnost predstavljanja korijena kao razlomka oblika $\frac(p)(q)$ znači da taj korijen nije racionalni broj. Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim i ne mogu se točno prikazati osim uz pomoć radikala ili drugih za to posebno dizajniranih konstrukcija (logaritmi, stupnjevi, limiti itd.). Ali o tome drugom prilikom.

Razmotrite nekoliko primjera u kojima će nakon svih izračuna u odgovoru i dalje ostati iracionalni brojevi.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\približno 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\približno -1,2599... \\ \end(align)\]

Naravno, po izgled korijenu gotovo je nemoguće pogoditi koji će brojevi doći iza decimalne točke. Međutim, moguće je izračunati na kalkulatoru, ali čak i najnapredniji kalkulator datuma daje nam samo prvih nekoliko znamenki iracionalnog broja. Stoga je mnogo ispravnije odgovore pisati kao $\sqrt(5)$ i $\sqrt(-2)$.

Za to su i izmišljeni. Da biste lakše zapisivali odgovore.

Zašto su potrebne dvije definicije?

Pažljivi čitatelj vjerojatno je već primijetio da su svi kvadratni korijeni navedeni u primjerima izvučeni iz pozitivni brojevi. Pa barem od nule. Ali kockasti korijeni mirno se izvlače iz apsolutno bilo kojeg broja - čak i pozitivnog, čak i negativnog.

Zašto se ovo događa? Pogledajte graf funkcije $y=((x)^(2))$:

Pokušajmo izračunati $\sqrt(4)$ koristeći ovaj grafikon. Da biste to učinili, na grafikonu se nacrta vodoravna linija $y=4$ (označena crvenom bojom) koja siječe parabolu u dvije točke: $((x)_(1))=2$ i $((x) _(2)) =-2$. To je sasvim logično, jer

Sve je jasno s prvim brojem - pozitivan je, dakle korijen:

Ali što onda učiniti s drugom točkom? Ima li 4 dva korijena odjednom? Uostalom, ako kvadriramo broj −2, također ćemo dobiti 4. Zašto onda ne napisati $\sqrt(4)=-2$? A zašto profesori gledaju takve zapise kao da vas žele pojesti? :)

Problem je u tome što će, ako se ne nametnu dodatni uvjeti, četiri imati dva kvadratna korijena - pozitivan i negativan. I bilo koji pozitivan broj također će ih imati dva. Ali negativni brojevi uopće neće imati korijene - to se može vidjeti iz istog grafikona, budući da parabola nikada ne pada ispod osi g, tj. ne uzima negativne vrijednosti.

Sličan problem javlja se za sve korijene s parnim eksponentom:

1. Strogo govoreći, svaki pozitivan broj će imati dva korijena s parnim eksponentom $n$;
2. Iz negativnih brojeva uopće se ne izvlači korijen s parnim $n$.

Zato definicija parnog korijena $n$ posebno propisuje da odgovor mora biti nenegativan broj. Tako se rješavamo dvosmislenosti.

Ali za neparnih $n$ nema tog problema. Da bismo to vidjeli, pogledajmo graf funkcije $y=((x)^(3))$:

Iz ovog grafikona mogu se izvući dva zaključka:

1. Grane kubične parabole, za razliku od uobičajene, idu u beskonačnost u oba smjera - i gore i dolje. Stoga, na kojoj god visini nacrtali vodoravnu crtu, ta će se linija sigurno presijecati s našim grafikonom. Dakle, kubni korijen uvijek se može uzeti, apsolutno iz bilo kojeg broja;
2. Osim toga, takvo će sjecište uvijek biti jedinstveno, tako da ne morate razmišljati o tome koji broj smatrati "ispravnim" korijenom, a koji bodovati. Zato je definicija korijena za neparni stupanj jednostavnija nego za parni (ne postoji zahtjev za nenegativnošću).

Šteta je što te jednostavne stvari nisu objašnjene u većini udžbenika. Umjesto toga, naši se mozgovi počinju lebdjeti sa svim vrstama aritmetičkih korijena i njihovih svojstava.

Da, ne raspravljam: što je aritmetički korijen - također morate znati. I o tome ću detaljno govoriti u zasebnoj lekciji. Danas ćemo također govoriti o njemu, jer bez njega bi sva razmišljanja o korijenima $n$-te višestrukosti bila nepotpuna.

Ali prvo morate jasno razumjeti definiciju koju sam dao gore. U suprotnom, zbog obilja pojmova, u vašoj će glavi početi takva zbrka da na kraju nećete razumjeti baš ništa.

I sve što trebate razumjeti je razlika između parnih i neparnih brojeva. Stoga ćemo još jednom prikupiti sve što stvarno trebate znati o korijenima:

1. Parni korijen postoji samo iz nenegativnog broja i sam je uvijek nenegativan broj. Za negativne brojeve takav je korijen nedefiniran.
2. Ali korijen neparnog stupnja postoji iz bilo kojeg broja i sam po sebi može biti bilo koji broj: za pozitivne brojeve on je pozitivan, a za negativne brojeve, kao što se naslućuje na vrhu, on je negativan.

Je li teško? Ne, nije teško. Čisto? Da, očito je! Stoga ćemo sada malo vježbati s izračunima.

Osnovna svojstva i ograničenja

Korijeni imaju mnogo čudnih svojstava i ograničenja - ovo će biti zasebna lekcija. Stoga ćemo sada razmotriti samo najvažniji "čip", koji se odnosi samo na korijene s parnim eksponentom. Ovo svojstvo zapisujemo u obliku formule:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\lijevo| x\desno|\]

Drugim riječima, ako broj podignemo na parnu potenciju, a zatim iz toga izvučemo korijen istog stupnja, nećemo dobiti izvorni broj, već njegov modul. Ovo je jednostavan teorem koji je lako dokazati (dovoljno je posebno razmotriti nenegativne $x$, a zatim posebno razmotriti negativne). Učitelji stalno pričaju o tome, to je navedeno u svakom školskom udžbeniku. Ali čim dođe do rješavanja iracionalnih jednadžbi (tj. jednadžbi s predznakom radikala), učenici zajedno zaborave ovu formulu.

Da bismo detaljno razumjeli problem, zaboravimo na trenutak sve formule i pokušajmo brojati dva broja unaprijed:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\lijevo(-3 \desno))^(4)))=?\]

Ovo je vrlo jednostavni primjeri. Prvi primjer će većina ljudi riješiti, ali na drugom se mnogi drže. Da biste bez problema riješili takvo sranje, uvijek razmotrite postupak:

1. Prvo se broj diže na četvrtu potenciju. Pa, nekako je lako. Dobit će se novi broj, koji se čak može naći u tablici množenja;
2. A sada iz ovog novog broja potrebno je izvući korijen četvrtog stupnja. Oni. nema "redukcije" korijena i stupnjeva - to su sekvencijalne radnje.

Pozabavimo se prvim izrazom: $\sqrt(((3)^(4)))$. Očito, prvo morate izračunati izraz ispod korijena:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Zatim izdvajamo četvrti korijen broja 81:

Sada učinimo isto s drugim izrazom. Prvo dižemo broj −3 na četvrtu potenciju, za što ga trebamo pomnožiti samim sobom 4 puta:

\[((\lijevo(-3 \desno))^(4))=\lijevo(-3 \desno)\cdot \lijevo(-3 \desno)\cdot \lijevo(-3 \desno)\cdot \ lijevo(-3 \desno)=81\]

Dobili smo pozitivan broj, jer je ukupan broj minusa u proizvodu 4 komada i svi će se poništiti (uostalom, minus za minus daje plus). Zatim ponovno izvucite korijen:

U principu, ovaj redak ne bi mogao biti napisan, jer nije pametno da će odgovor biti isti. Oni. parni korijen iste parne snage "spaljuje" minuse i u tom smislu rezultat se ne razlikuje od uobičajenog modula:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\lijevo| 3\desno|=3; \\ & \sqrt(((\lijevo(-3 \desno))^(4)))=\lijevo| -3 \desno|=3. \\ \end(align)\]

Ovi izračuni dobro se slažu s definicijom korijena parnog stupnja: rezultat je uvijek nenegativan, a radikalni predznak također je uvijek nenegativan broj. Inače, korijen nije definiran.

Napomena o redoslijedu operacija

1. Oznaka $\sqrt(((a)^(2)))$ znači da prvo kvadriramo broj $a$, a zatim vadimo kvadratni korijen dobivene vrijednosti. Prema tome, možemo biti sigurni da se nenegativan broj uvijek nalazi ispod znaka korijena, jer $((a)^(2))\ge 0$ ionako;
2. Ali oznaka $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, naprotiv, znači da iz određenog broja $a$ prvo izvučemo korijen, a tek onda kvadriramo rezultat. Dakle, broj $a$ ni u kom slučaju ne može biti negativan - to je obvezni zahtjev uključeni u definiciju.

Dakle, ni u kojem slučaju ne treba nepromišljeno smanjivati ​​korijene i stupnjeve, čime se navodno "pojednostavljuje" izvorni izraz. Jer ako je ispod korijena negativan broj, a njegov eksponent je paran, dobit ćemo puno problema.

Međutim, svi ovi problemi relevantni su samo za parne pokazatelje.

Uklanjanje znaka minus ispod znaka korijena

Naravno, i korijeni s neparnim eksponentima imaju svoje svojstvo, koje u principu ne postoji za parne. Naime:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Ukratko, možete izvaditi minus ispod znaka korijena neparnog stupnja. Ovo je vrlo korisno svojstvo, što vam omogućuje da "izbacite" sve minuse:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \lijevo(-\sqrt(32) \desno)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

Ovo jednostavno svojstvo uvelike pojednostavljuje mnoge izračune. Sada se ne morate brinuti: što ako je negativan izraz ušao ispod korijena, a stupanj u korijenu se pokazao jednakim? Dovoljno je samo “izbaciti” sve minuse izvan korijena, nakon čega se oni mogu međusobno množiti, dijeliti i općenito raditi mnoge sumnjive stvari, koje nas u slučaju “klasičnih” korijena garantirano vode do greška.

I tu na scenu stupa još jedna definicija - upravo ona s kojom većina škola započinje proučavanje iracionalnih izraza. I bez kojih bi naše razmišljanje bilo nepotpuno. Upoznajte!

aritmetički korijen

Pretpostavimo na trenutak da samo pozitivni brojevi ili, u ekstremnim slučajevima, nula mogu biti ispod znaka korijena. Ocjenjujmo parne/neparne pokazatelje, ocjenjujmo sve gore navedene definicije - radit ćemo samo s nenegativnim brojevima. Što onda?

I onda dobijemo aritmetički korijen - on se djelomično presijeca s našim "standardnim" definicijama, ali se ipak razlikuje od njih.

Definicija. Aritmetički korijen $n$-tog stupnja nenegativnog broja $a$ je nenegativan broj $b$ takav da je $((b)^(n))=a$.

Kao što vidite, više nas ne zanima paritet. Umjesto toga pojavilo se novo ograničenje: radikalni izraz je sada uvijek nenegativan, a sam korijen je također nenegativan.

Da biste bolje razumjeli kako se aritmetički korijen razlikuje od uobičajenog, pogledajte grafikone kvadratne i kubične parabole koji su nam već poznati:

Kao što vidite, od sada nas zanimaju samo oni dijelovi grafikona koji se nalaze u prvoj koordinatnoj četvrtini - gdje su koordinate $x$ i $y$ pozitivne (ili barem nula). Više ne morate gledati indikator da biste shvatili imamo li pravo na korijen negativnog broja ili ne. Budući da se negativni brojevi više u načelu ne razmatraju.

Možete pitati: "Pa, zašto nam treba tako kastrirana definicija?" Ili: "Zašto se ne možemo snaći s gore navedenom standardnom definicijom?"

Pa, dat ću samo jedno svojstvo, zbog kojeg nova definicija postaje prikladna. Na primjer, pravilo stepenovanja:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Imajte na umu: možemo podignuti korijenski izraz na bilo koju potenciju i istovremeno pomnožiti korijenski eksponent istom potencijom - i rezultat će biti isti broj! Evo nekoliko primjera:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

Pa, što je loše u tome? Zašto to nismo mogli prije? Evo zašto. Razmotrimo jednostavan izraz: $\sqrt(-2)$ je broj koji je sasvim normalan u našem klasičnom smislu, ali apsolutno neprihvatljiv sa stajališta aritmetičkog korijena. Pokušajmo to pretvoriti:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\lijevo(-2 \desno))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Kao što vidite, u prvom smo slučaju izvadili minus ispod radikala (imamo potpuno pravo, jer je indikator neparan), au drugom smo upotrijebili gornju formulu. Oni. s gledišta matematike, sve se radi po pravilima.

WTF?! Kako isti broj može biti i pozitivan i negativan? Nema šanse. Samo što formula za potenciranje, koja odlično funkcionira za pozitivne brojeve i nulu, počinje odavati potpunu herezu u slučaju negativnih brojeva.

Ovdje su, kako bi se riješili takve dvosmislenosti, smislili aritmetičke korijene. Njima je posvećena posebna velika lekcija, gdje detaljno razmatramo sva njihova svojstva. Stoga se sada nećemo zadržavati na njima - lekcija se ionako pokazala predugom.

Algebarski korijen: za one koji žele znati više

Dugo sam razmišljao: napraviti ovu temu u zasebnom paragrafu ili ne. Na kraju sam odlučio otići odavde. Ovaj je materijal namijenjen onima koji žele još bolje razumjeti korijene - ne više na prosječnoj "školskoj" razini, već na razini bliskoj olimpijadi.

Dakle: osim "klasične" definicije korijena $n$-tog stupnja iz broja i pripadajuće podjele na parne i neparne pokazatelje, postoji "odraslija" definicija, koja ne ovisi o parnosti i druge suptilnosti uopće. To se zove algebarski korijen.

Definicija. Algebarski $n$-ti korijen bilo kojeg $a$ je skup svih brojeva $b$ takvih da je $((b)^(n))=a$. Ne postoji dobro utvrđena oznaka za takve korijene, pa samo stavite crticu na vrh:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\lijevo\( b\lijevo| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \desno. \desno\) \]

Temeljna razlika u odnosu na standardnu ​​definiciju danu na početku lekcije je u tome što algebarski korijen nije određeni broj, već skup. A budući da radimo sa stvarnim brojevima, ovaj skup ima samo tri vrste:

1. Prazan set. Javlja se kada je potrebno pronaći algebarski korijen parnog stupnja iz negativnog broja;
2. Skup koji se sastoji od jednog elementa. Svi korijeni neparnih potencija, kao i korijeni parnih potencija od nule, spadaju u ovu kategoriju;
3. Konačno, skup može uključivati ​​dva broja - iste $((x)_(1))$ i $((x)_(2))=-((x)_(1))$ koje smo vidjeli na grafikon kvadratne funkcije. Prema tome, takvo je poravnanje moguće samo kada se iz pozitivnog broja izvlači korijen parnog stupnja.

Posljednji slučaj zaslužuje detaljnije razmatranje. Nabrojimo nekoliko primjera da shvatimo razliku.

Primjer. Izračunaj izraze:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Riješenje. Prvi izraz je jednostavan:

\[\overline(\sqrt(4))=\lijevo\( 2;-2 \desno\)\]

To su dva broja koji su dio skupa. Jer svaki od njih na kvadrat daje četvorku.

\[\overline(\sqrt(-27))=\lijevo\( -3 \desno\)\]

Ovdje vidimo skup koji se sastoji od samo jednog broja. To je sasvim logično, jer je eksponent korijena neparan.

Na kraju, posljednji izraz:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Imamo prazan set. Jer ne postoji niti jedan realan broj koji će nam, kad ga se podigne na četvrtu (tj. parnu!) potenciju, dati negativan broj −16.

Završna napomena. Napomena: nisam slučajno posvuda primijetio da radimo s realnim brojevima. Jer postoje i složeni brojevi - tamo je sasvim moguće izračunati $\sqrt(-16)$ i mnoge druge čudne stvari.

Međutim, u suvremenom školskom kurikulumu matematike kompleksni brojevi se gotovo nikada ne nalaze. Oni su izostavljeni iz većine udžbenika jer naši dužnosnici smatraju temu "preteškom za razumijevanje".

Uputa

Za povećanje broja na potenciju 1/3, unesite broj, zatim pritisnite tipku za uključivanje i upišite približnu vrijednost 1/3 - 0,333. Ova je točnost dovoljna za većinu izračuna. Međutim, vrlo je jednostavno poboljšati točnost izračuna - samo dodajte onoliko trojki koliko stane na indikator kalkulatora (na primjer, 0,3333333333333333). Zatim pritisnite gumb "=".

Da biste izračunali treći korijen pomoću računala, pokrenite program Windows Calculator. Postupak za izračunavanje korijena trećeg stupnja potpuno je sličan gore opisanom. Jedina razlika je u dizajnu gumba za stepenovanje. Na virtualnoj tipkovnici kalkulatora označen je kao "x^y".

Korijen trećeg stupnja može se izračunati i u MS Excelu. Da biste to učinili, unesite "=" u bilo koju ćeliju i odaberite ikonu "umetni" (fx). Odaberite funkciju "STUPANJ" u prozoru koji se pojavi i kliknite na gumb "OK". U prozor koji se pojavi unesite vrijednost broja za koji želite izračunati korijen trećeg stupnja. U "Stupanj" unesite broj "1/3". Birajte broj 1/3 točno u ovom obliku - kao običan. Nakon toga kliknite gumb "OK". U ćeliji tablice u kojoj je kreiran pojavit će se kubni korijen zadanog broja.

Ako se korijen trećeg stupnja mora stalno izračunavati, malo poboljšajte gore opisanu metodu. Kao broj iz kojeg želite izvući korijen, ne navedite sam broj, već ćeliju tablice. Nakon toga samo svaki put unesite izvorni broj u ovu ćeliju - njegov kubni korijen pojavit će se u ćeliji s formulom.

Slični Videi

Bilješka

Zaključak. U ovom smo radu razmatrali razne metode izračun vrijednosti kubnog korijena. Pokazalo se da se vrijednosti kubnog korijena mogu pronaći metodom iteracije, također je moguće aproksimirati kubni korijen, podići broj na potenciju 1/3, tražiti vrijednosti korijena trećeg stupnja koristeći Microsoft Office Excel, postavljanje formula u ćelije.

Koristan savjet

Korijeni drugog i trećeg stupnja koriste se posebno često i stoga imaju posebna imena. Kvadratni korijen: U ovom slučaju eksponent se obično izostavlja, a izraz "korijen" bez navođenja stupnja najčešće podrazumijeva kvadratni korijen. Praktično izračunavanje korijena Algoritam za pronalaženje korijena n-tog stupnja. Kvadratni i kubni korijeni obično se nalaze u svim kalkulatorima.

Izvori:

• treći korijen
• Kako izvaditi kvadratni korijen na N stupanj u Excelu

Operacija pronalaženja korijena treći stupanj obično se naziva vađenje "kubičnog" korijena, a sastoji se u pronalaženju takvog realnog broja, čija će konstrukcija u kocku dati vrijednost jednaku korijenskom broju. Operacija izvlačenja aritmetičkog korijena bilo kojeg stupanj n je ekvivalentan operaciji dizanja na potenciju 1/n. Postoji nekoliko načina za izračunavanje kubnog korijena u praksi.

Prilikom rješavanja nekih tehničkih problema može biti potrebno izračunati korijen treći stupanj. Ponekad se ovaj broj naziva i kubni korijen. korijen treći stupanj iz zadanog broja zove se takav broj, čiji je kub (treći stupanj) jednak zadanom. To jest, ako je y korijen treći stupanj brojeva x, tada mora biti zadovoljen sljedeći uvjet: y?=x (x je jednako y kocki).

Trebat će vam

• kalkulator ili računalo

Uputa

• Za izračunavanje korijena treći stupanj koristite kalkulator. Poželjno je da to nije obični kalkulator, već kalkulator koji se koristi za inženjerske izračune. Međutim, čak ni na takvom kalkulatoru nećete pronaći poseban gumb za vađenje korijena treći stupanj. Dakle, upotrijebite funkciju za podizanje broja na potenciju. Vađenje korijena treći stupanj odgovara podizanju na potenciju 1/3 (jedna trećina).
• Da biste povećali broj na potenciju 1/3, utipkajte sam broj na tipkovnici kalkulatora. Zatim pritisnite tipku "potenciranje". Takav gumb, ovisno o vrsti kalkulatora, može izgledati kao xy (y - u obliku superskripta). Budući da većina kalkulatora nema mogućnost rada s običnim (nedecimalnim) razlomcima, umjesto broja 1/3 upišite njegovu približnu vrijednost: 0,33. Da biste dobili veću točnost izračuna, potrebno je povećati broj "trojki", na primjer, birajte 0,33333333333333. Zatim pritisnite gumb "=".
• Za izračunavanje korijena treći stupanj na računalu koristite standardni Windows kalkulator. Postupak je potpuno sličan onom opisanom u prethodnom odlomku upute. Jedina razlika je oznaka gumba za stepenovanje. Na "računalnom" kalkulatoru to izgleda kao x ^ y.
• Ako je korijen treći stupanj Ako morate sustavno računati, onda koristite MS Excel. Za izračunavanje korijena treći stupanj u Excelu unesite znak “=” u bilo koju ćeliju, a zatim odaberite ikonu “fx” - umetanje funkcije. U prozoru koji se pojavi, na popisu "Odaberi funkciju" odaberite redak "STUPANJ". Pritisnite gumb OK. U novootvorenom prozoru unesite u redak "Broj" vrijednost broja iz kojeg želite izvući korijen. U retku "Stupanj" unesite broj "1/3" i kliknite "U redu". Željena vrijednost kubnog korijena iz izvornog broja pojavit će se u ćeliji tablice.