Encontrar la longitud entre dos puntos. Distancia de punto a punto: fórmulas, ejemplos, soluciones.

Distancia de punto a punto es la longitud del segmento que conecta estos puntos, en una escala dada. Así, cuando se trata de medir distancias, se requiere conocer la escala (unidad de longitud) en la que se tomarán las medidas. Por lo tanto, el problema de encontrar la distancia de un punto a otro generalmente se considera en una línea de coordenadas o en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en un plano o en un espacio tridimensional. En otras palabras, lo más frecuente es que tengas que calcular la distancia entre puntos por sus coordenadas.

En este artículo, en primer lugar, recordamos cómo se determina la distancia de un punto a un punto en una línea de coordenadas. A continuación, obtenemos fórmulas para calcular la distancia entre dos puntos de un plano o espacio según unas coordenadas dadas. Finalmente, echemos un vistazo más de cerca a las soluciones. ejemplos característicos y tareas

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La distancia entre dos puntos en una línea de coordenadas.

Primero definamos la notación. La distancia del punto A al punto B se denotará como .

De esto podemos concluir que la distancia del punto A con coordenada al punto B con coordenada es igual al módulo de la diferencia de coordenadas, es decir, para cualquier arreglo de puntos en la línea de coordenadas.

Distancia de un punto a otro punto del plano, fórmula.

Vamos a obtener una fórmula para calcular la distancia entre puntos y dada en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el plano.

Dependiendo de la ubicación de los puntos A y B, son posibles las siguientes opciones.

Si los puntos A y B coinciden, entonces la distancia entre ellos es cero.

Si los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje x, entonces los puntos y coinciden, y la distancia es igual a la distancia. En el párrafo anterior, encontramos que la distancia entre dos puntos en la línea de coordenadas es igual al módulo de la diferencia entre sus coordenadas, por lo tanto, . Por lo tanto, .

De manera similar, si los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje y, entonces la distancia del punto A al punto B se encuentra como .

En este caso, el triángulo ABC es de construcción rectangular y y . Por el teorema de Pitágoras podemos escribir la igualdad , de donde .

Resumamos todos los resultados: la distancia de un punto a un punto en un plano se encuentra a través de las coordenadas de los puntos por la fórmula .

La fórmula resultante para encontrar la distancia entre puntos se puede usar cuando los puntos A y B coinciden o se encuentran en una línea recta perpendicular a uno de los ejes de coordenadas. De hecho, si A y B son iguales, entonces . Si los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje Ox, entonces . Si A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje Oy, entonces .

Distancia entre puntos en el espacio, fórmula.

Introduzcamos un sistema de coordenadas rectangulares Оxyz en el espacio. Obtenga la fórmula para encontrar la distancia desde un punto al punto .

En general, los puntos A y B no se encuentran en un plano paralelo a uno de los planos de coordenadas. Dibujemos a través de los puntos A y B en el plano perpendicular a los ejes de coordenadas Ox, Oy y Oz. Los puntos de intersección de estos planos con los ejes de coordenadas nos darán las proyecciones de los puntos A y B sobre estos ejes. Denota las proyecciones .

La distancia deseada entre los puntos A y B es una diagonal cuboides se muestra en la figura. Por construcción, las dimensiones de este paralelepípedo son y . En el curso de geometría. escuela secundaria se demostró que el cuadrado de la diagonal de un paralelepípedo rectangular es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones, por tanto, . Con base en la información de la primera sección de este artículo, podemos escribir las siguientes igualdades, por lo tanto,

donde conseguimos fórmula para hallar la distancia entre puntos en el espacio .

Esta fórmula también es válida si los puntos A y B

• partido;
• pertenecer a uno de los ejes de coordenadas o una recta paralela a uno de los ejes de coordenadas;
• pertenecen a uno de los planos de coordenadas o un plano paralelo a uno de los planos de coordenadas.

Encontrar la distancia de un punto a otro, ejemplos y soluciones.

Entonces, hemos recibido fórmulas para encontrar la distancia entre dos puntos de la línea de coordenadas, el plano y el espacio tridimensional. Es hora de considerar las soluciones de ejemplos típicos.

La cantidad de problemas en los que el paso final es encontrar la distancia entre dos puntos según sus coordenadas es realmente enorme. Revision completa tales ejemplos están más allá del alcance de este artículo. Aquí nos limitamos a ejemplos en los que se conocen las coordenadas de dos puntos y se requiere calcular la distancia que los separa.

Sea dado un sistema de coordenadas rectangulares.

Teorema 1.1. Para dos puntos cualesquiera M 1 (x 1; y 1) y M 2 (x 2; y 2) del plano, la distancia d entre ellos se expresa mediante la fórmula

Prueba. Dejemos caer desde los puntos M 1 y M 2 las perpendiculares M 1 B y M 2 A, respectivamente

en los ejes Oy y Ox y denote con K el punto de intersección de las líneas M 1 B y M 2 A (Fig. 1.4). Son posibles los siguientes casos:

1) Los puntos M 1, M 2 y K son diferentes. Obviamente, el punto K tiene coordenadas (x 2; y 1). Es fácil ver que M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôy 2 – y 1 ô. Porque ∆M 1 KM 2 es rectangular, entonces por el teorema de Pitágoras d = M 1 M 2 = = .

2) El punto K coincide con el punto M 2, pero es diferente del punto M 1 (Fig. 1.5). En este caso y 2 = y 1

y d \u003d M 1 M 2 \u003d M 1 K \u003d ôx 2 - x 1 ô \u003d =

3) El punto K coincide con el punto M 1, pero es diferente del punto M 2. En este caso x 2 = x 1 y d =

M 1 M 2 \u003d KM 2 \u003d ôy 2 - y 1 ô \u003d = .

4) El punto M 2 coincide con el punto M 1. Entonces x 1 \u003d x 2, y 1 \u003d y 2 y

d \u003d M 1 M 2 \u003d O \u003d.

La división del segmento en este sentido.

Sea un segmento arbitrario M 1 M 2 sobre el plano y sea M cualquier punto de este

segmento que no sea el punto M 2 (Fig. 1.6). El número l definido por la igualdad l = , se llama actitud, en el que el punto M divide al segmento M 1 M 2.

Teorema 1.2. Si el punto M (x; y) divide el segmento M 1 M 2 en relación con l, entonces las coordenadas de este están determinadas por las fórmulas

x = , y = , (4)

donde (x 1; y 1) son las coordenadas del punto M 1, (x 2; y 2) son las coordenadas del punto M 2.

Prueba. Probemos la primera de las fórmulas (4). La segunda fórmula se prueba de manera similar. Dos casos son posibles.

x = x 1 = = = .

2) La línea recta M 1 M 2 no es perpendicular al eje Ox (Fig. 1.6). Dejemos caer las perpendiculares desde los puntos M 1 , M, M 2 al eje Ox y denotemos los puntos de su intersección con el eje Ox respectivamente P 1 , P, P 2 . Según el teorema de los segmentos proporcionales =l.

Porque P 1 P \u003d ôx - x 1 ô, PP 2 \u003d ôx 2 - xô y los números (x - x 1) y (x 2 - x) tienen el mismo signo (para x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 son negativos), entonces

yo == ,

x - x 1 \u003d l (x 2 - x), x + lx \u003d x 1 + lx 2,

x = .

Corolario 1.2.1. Si M 1 (x 1; y 1) y M 2 (x 2; y 2) son dos puntos arbitrarios y el punto M (x; y) es el punto medio del segmento M 1 M 2, entonces

x = , y = (5)

Prueba. Como M 1 M = M 2 M, entonces l = 1 y por las fórmulas (4) obtenemos las fórmulas (5).

Área de un triángulo.

Teorema 1.3. Para cualquier punto A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) y C (x 3; y 3) que no se encuentran en el mismo

recta, el área S del triángulo ABC se expresa mediante la fórmula

S \u003d ô (x 2 - x 1) (y 3 - y 1) - (x 3 - x 1) (y 2 - y 1) ô (6)

Prueba. El área ∆ ABC mostrada en la fig. 1.7, calculamos de la siguiente manera

S ABC \u003d S ADEC + S BCEF - S ABFD.

Calcular el área del trapezoide:

S-ADEC=
,

SBCEF=

ABFD =

Ahora tenemos

S ABC \u003d ((x 3 - x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 - x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 - -x 1) (y 1 + y 2) ) \u003d (x 3 y 3 - x 1 y 3 + x 3 y 1 - x 1 y 1 + + x 2 y 3 - -x 3 y 3 + x 2 y 2 - x 3 y 2 - x 2 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 2 + x 1 y 2) \u003d (x 3 y 1 - x 3 y 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 -

X 1 y 3) \u003d (x 3 (y 1 - y 2) + x 1 y 2 - x 1 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 1 + y 3 (x 2 - x 1)) \u003d (x 1 (y 2 - y 1) - x 3 (y 2 - y 1) + + y 1 (x 1 - x 2) - y 3 (x 1 - x 2)) \u003d ((x 1 - x 3) ( y 2 - y 1) + (x 1 - x 2) (y 1 - y 3)) \u003d ((x 2 - x 1) (y 3 - y 1) -

- (x 3 - x 1) (y 2 - y 1)).

Para otra localidad ∆ ABC, la fórmula (6) se prueba de manera similar, pero se puede obtener con el signo “-”. Por lo tanto, en la fórmula (6) pon el signo del módulo.

Conferencia 2

Ecuación de una recta sobre un plano: ecuación de línea recta con el coeficiente principal, la ecuación general de una línea recta, la ecuación de una línea recta en segmentos, la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos. Ángulo entre rectas, condiciones de paralelismo y perpendicularidad de rectas sobre un plano.

2.1. Sea un sistema de coordenadas rectangulares y alguna línea L sobre el plano.

Definición 2.1. Una ecuación de la forma F(x;y) = 0 que relaciona las variables x e y se llama ecuación de línea L(en un sistema de coordenadas dado) si esta ecuación se satisface con las coordenadas de cualquier punto que se encuentre sobre la línea L, y no con las coordenadas de cualquier punto que no se encuentre sobre esta línea.

Ejemplos de ecuaciones de rectas en un plano.

1) Considere una línea recta paralela al eje Oy de un sistema de coordenadas rectangular (Fig. 2.1). Designemos con la letra A el punto de intersección de esta línea con el eje Ox, (a; o) ─ su or-

dinats. La ecuación x = a es la ecuación de la línea dada. De hecho, esta ecuación se satisface con las coordenadas de cualquier punto M(a; y) de esta línea y no con las coordenadas de cualquier punto que no esté sobre la línea. Si a = 0, entonces la línea coincide con el eje Oy, que tiene la ecuación x = 0.

2) La ecuación x - y \u003d 0 define el conjunto de puntos en el plano que forman las bisectrices de los ángulos de coordenadas I y III.

3) La ecuación x 2 - y 2 \u003d 0 es la ecuación de dos bisectrices de ángulos coordenados.

4) La ecuación x 2 + y 2 = 0 define un único punto O(0;0) en el plano.

5) La ecuación x 2 + y 2 \u003d 25 es la ecuación de un círculo de radio 5 centrado en el origen.

En este artículo, consideraremos formas de determinar la distancia de un punto a otro teóricamente y en el ejemplo de tareas específicas. Comencemos con algunas definiciones.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definición 1

Distancia entre puntos- esta es la longitud del segmento que los une, en la escala existente. Es necesario configurar la escala para tener una unidad de medida de longitud. Por lo tanto, básicamente el problema de encontrar la distancia entre puntos se resuelve utilizando sus coordenadas en la línea de coordenadas, en el plano de coordenadas o espacio tridimensional.

Datos iniciales: la línea de coordenadas O x y un punto arbitrario A. Un número real es inherente a cualquier punto de la línea: sea este un número cierto para el punto A xA, es la coordenada del punto A.

En general, podemos decir que la estimación de la longitud de un determinado segmento se produce en comparación con el segmento tomado como unidad de longitud en una escala dada.

Si el punto A corresponde a un número real entero, habiendo separado sucesivamente desde el punto O hasta un punto a lo largo de una línea recta O A segmentos - unidades de longitud, podemos determinar la longitud del segmento O A por el número total de segmentos individuales pendientes.

Por ejemplo, el punto A corresponde al número 3: para llegar a él desde el punto O, será necesario reservar tres segmentos unitarios. Si el punto A tiene una coordenada de -4, los segmentos individuales se trazan de manera similar, pero en una dirección negativa diferente. Así, en el primer caso, la distancia O A es 3; en el segundo caso, O A \u003d 4.

Si el punto A tiene como coordenada número racional, luego desde el origen (punto O) apartamos un número entero de segmentos unitarios, y luego su parte necesaria. Pero geométricamente no siempre es posible hacer una medición. Por ejemplo, parece difícil dejar de lado la fracción directa de coordenadas 4 111 .

De la manera anterior, descanse en línea recta. numero irracional y completamente imposible. Por ejemplo, cuando la coordenada del punto A es 11 . En este caso, es posible recurrir a la abstracción: si la coordenada dada del punto A es mayor que cero, entonces O A \u003d x A (el número se toma como una distancia); si la coordenada menos que cero, entonces O A = - x A . En general, estas afirmaciones son verdaderas para cualquier número real x A.

Resumiendo: la distancia del origen al punto, que corresponde a un número real en la línea de coordenadas, es igual a:

• 0 si el punto es el mismo que el origen;

• xA si xA > 0;

• - x A si x A< 0 .

En este caso, es obvio que la longitud del segmento en sí no puede ser negativa, por lo tanto, usando el signo del módulo, escribimos la distancia desde el punto O hasta el punto A con la coordenada x un: O A = x A

La afirmación correcta sería: la distancia de un punto a otro será igual al módulo de la diferencia de coordenadas. Aquellas. para los puntos A y B que se encuentran en la misma línea de coordenadas en cualquier ubicación y que tienen, respectivamente, las coordenadas x un y x segundo: UN segundo = x segundo - x UN .

Datos iniciales: puntos A y B que se encuentran en un plano en un sistema de coordenadas rectangulares O x y con coordenadas dadas: A (x A , y A) y B (x B , y B) .

Dibujemos perpendiculares a los ejes de coordenadas O x y O y a través de los puntos A y B y obtengamos como resultado los puntos de proyección: A x , A y , B x , B y . En función de la ubicación de los puntos A y B, son posibles las siguientes opciones:

Si los puntos A y B coinciden, entonces la distancia entre ellos es cero;

Si los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje O x (eje de abscisas), entonces los puntos y coinciden, y | AB | = | A y B y | . Como la distancia entre los puntos es igual al módulo de la diferencia entre sus coordenadas, entonces A y B y = y B - y A , y, por lo tanto, A B = A y B y = y B - y A .

Si los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje O y (eje y), por analogía con el párrafo anterior: A B = A x B x = x B - x A

Si los puntos A y B no se encuentran en una línea recta perpendicular a uno de los ejes de coordenadas, encontramos la distancia entre ellos derivando la fórmula de cálculo:

Vemos que el triángulo A B C es rectángulo por construcción. En este caso, A C = A x B x y B C = A y B y . Usando el teorema de Pitágoras, componemos la igualdad: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , y luego la transformamos: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x segundo - x UN 2 + y segundo - y UN 2 = (x segundo - x UN) 2 + (y segundo - y UN) 2

Formamos una conclusión a partir del resultado obtenido: la distancia del punto A al punto B en el plano está determinada por el cálculo mediante la fórmula utilizando las coordenadas de estos puntos

UN segundo = (x segundo - x un) 2 + (y segundo - y un) 2

La fórmula resultante también confirma las afirmaciones formadas anteriormente para los casos de coincidencia de puntos o situaciones cuando los puntos se encuentran en líneas rectas perpendiculares a los ejes. Entonces, para el caso de la coincidencia de los puntos A y B, la igualdad será cierta: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Para la situación en la que los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje x:

UN segundo = (x segundo - x un) 2 + (y segundo - y un) 2 = 0 2 + (y segundo - y un) 2 = y segundo - y un

Para el caso en que los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje y:

UN segundo = (x segundo - x un) 2 + (y segundo - y un) 2 = (x segundo - x un) 2 + 0 2 = x segundo - x un

Datos iniciales: sistema de coordenadas rectangulares O x y z con puntos arbitrarios sobre él con coordenadas dadas A (x A , y A , z A) y B (x B , y B , z B) . Es necesario determinar la distancia entre estos puntos.

Considere el caso general cuando los puntos A y B no se encuentran en un plano paralelo a uno de los planos de coordenadas. Dibuje a través de los puntos A y B los planos perpendiculares a los ejes de coordenadas y obtenga los puntos de proyección correspondientes: A x , A y , A z , B x , B y , B z

La distancia entre los puntos A y B es la diagonal de la caja resultante. Según la construcción de la medida de esta caja: A x B x , A y B y y A z B z

Del curso de geometría se sabe que el cuadrado de la diagonal de un paralelepípedo es igual a la suma de los cuadrados de sus dimensiones. Con base en esta afirmación, obtenemos la igualdad: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Usando las conclusiones obtenidas anteriormente, escribimos lo siguiente:

UNA x segundo x = x segundo - x UNA , UNA y segundo y = y segundo - y UNA , UNA z segundo z = z segundo - z UNA

Transformemos la expresión:

UN segundo 2 = UN x segundo x 2 + UN y segundo y 2 + UN z segundo z 2 = x segundo - x UN 2 + y segundo - y UN 2 + z segundo - z UN 2 = = (x segundo - x UN) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Final fórmula para determinar la distancia entre puntos en el espacio se verá así:

UN segundo = x segundo - x UN 2 + y segundo - y UN 2 + (z segundo - z UN) 2

La fórmula resultante también es válida para los casos en que:

Los puntos coinciden;

mienten en uno eje de coordenadas o una línea recta paralela a uno de los ejes de coordenadas.

Ejemplos de resolución de problemas para hallar la distancia entre puntos

Datos iniciales: se dan una línea de coordenadas y los puntos que se encuentran en ella con las coordenadas dadas A (1 - 2) y B (11 + 2). Es necesario encontrar la distancia desde el punto de referencia O hasta el punto A y entre los puntos A y B.

Decisión

1. La distancia desde el punto de referencia hasta el punto es igual al módulo de la coordenada de este punto, respectivamente O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
2. La distancia entre los puntos A y B se define como el módulo de la diferencia entre las coordenadas de estos puntos: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Respuesta: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Ejemplo 2

Dato inicial: dado un sistema de coordenadas rectangulares y dos puntos sobre él A (1 , - 1) y B (λ + 1 , 3) ​​. λ es un número real. Es necesario encontrar todos los valores de este número para los cuales la distancia A B será igual a 5.

Decisión

Para encontrar la distancia entre los puntos A y B, debes usar la fórmula A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Sustituyendo los valores reales de las coordenadas, obtenemos: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Y también usamos la condición existente de que A B = 5 y entonces la igualdad será verdadera:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Respuesta: A B \u003d 5 si λ \u003d ± 3.

Ejemplo 3

Datos iniciales: dados espacio tridimensional en un sistema de coordenadas rectangular O x y z y los puntos A (1 , 2 , 3) ​​​​y B - 7 , - 2 , 4 que se encuentran en él.

Decisión

Para resolver el problema, usamos la fórmula A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Sustituyendo los valores reales, obtenemos: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Respuesta: | AB | = 9

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Dados dos puntos en un plano con coordenadas UN (X 1 , y 1) y B (X 2 , y 2).

Y

y 2 B

y 1 UN C

0 X 1 X 2 X

Del triángulo ABC:

,
- fórmulas para encontrar las coordenadas del centro del segmento.

2.2.3. Ecuación general de una recta

Teorema 1 . Cualquier ecuación no degenerada de primer grado en dos variables define alguna línea recta en el plano, y viceversa.

PERO X + EN y + Con =0 - ecuación general de una línea recta,

- la condición de no degeneración.

Consideremos varios casos de ubicación de una línea recta en un plano según los coeficientes de la ecuación general.

1) Con = 0, Hacha + Por= 0 - la línea pasa por el origen;

PERO= 0,Por+C= 0 - la línea corre paralela al eje OH;

EN= 0,Hacha+C= 0 - la línea corre paralela al eje UNED;

2) UN = C= 0,Por= 0 - la línea coincide con el eje OH;

B = C = 0,Hacha= 0 - la línea coincide con el eje UNED.

Distancia desde el puntoMETRO 0 (X 0 , y 0 ) a una línea recta dada por la ecuación general Hacha + Por + C= 0, se encuentra por la fórmula

.

2.2.4. Ecuación de línea con pendiente

Supongamos que la recta forma un ángulo j al eje OH y cortado del eje UNED segmento en b unidades. Escribamos una ecuación para esta recta.

Tomar un punto arbitrario METRO (X, y) sobre esta recta, encontramos una ecuación que relaciona las variables X y y. Se puede ver en la figura: SOY = UN + Nuevo Méjico, donde SOY = y, UN = b. de un triangulo BMN: Minnesota = BN tg j. Denotar tg j = k y llámalo la pendiente de la línea. Minnesota = k · X. Sustituyendo en la igualdad SOY = UN + Nuevo Méjico expresiones de segmento SOY = y,UN = b,Minnesota = k · X; obtenemos y = k · X + b - la ecuación de una recta con una pendiente.

2.2.5. Ecuación de una recta que pasa por

a través de un punto dado en una dirección dada

Supongamos que la recta pasa por el punto METRO 1 (X 1 ,y 1) y formas con el eje BUEY

inyección j. Escribamos una ecuación para esta recta.

y METRO(X, y)

en 1 METRO 1 (X 1 ,y 1)norte

j

0x1xX

Buscaremos la ecuación de una recta en forma de ecuación con pendiente: y = k · X + b. La pendiente de una línea recta se puede encontrar conociendo el ángulo de inclinación k =tg j. Tomar un punto arbitrario METRO (X, y) sobre esta línea recta y encuentre una ecuación que relacione las variables X y y. Dado que los puntos METRO y METRO 1 se encuentran en la recta, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación de la recta: y = k · X + b, y 1 = k · X 1 + b. Restando estas igualdades, obtenemos:

y - y 1 = k · (X - X 1 ) es la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado en una dirección dada.

2.2.6. Ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados

dados dos puntos METRO 1 (X 1 , y 1) y METRO 2 (X 2 , y 2). Escribamos la ecuación de una recta que pasa por estos dos puntos,

es la pendiente de una recta que pasa por dos puntos dados.

Usamos la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado METRO 1 y en esta dirección
:

- ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados.

2.2.7. Ángulo entre dos rectas. Condición paralela. La condición de perpendicularidad de las rectas.

Definición 1. El ángulo entre dos líneas I y II es el ángulo medido en la dirección positiva de la línea I a la línea II.

Yo

Sean dos rectas dadas por ecuaciones con coeficientes de pendiente

y = k 1 · X + b 1 , y = k 2 · X + b 2 .

Encuentra el ángulo entre la primera y la segunda línea. Denotemos los ángulos de inclinación de las rectas φ 1 y φ2 . Entonces

k 1 = tg φ 1, k 2 = tg φ 2 .

Dibujemos una línea recta a través del punto de intersección paralela al eje BUEY.

- Fórmula para calcular el ángulo entre dos rectas.

1. Suponga que las líneas son paralelas:

Þtg  Þ

k 1 = k 2 - condición de líneas paralelas.

2. Suponga que las líneas son perpendiculares:

 0 Þtg  no existeÞctg  = 0Þ

Þ k 1 · k 2 = -1 - condición de perpendicularidad de las líneas

Preguntas para el autoexamen.

1. ¿Cómo es la ecuación general de una línea recta7 Describe casos especiales de esta ecuación.

2. Condición de líneas paralelas.

3. La condición de perpendicularidad de las líneas.

4. Escribe la ecuación de una línea recta con pendiente.

5. Escribe la ecuación de una línea recta que pasa por estos puntos.