Proporción inversa. La proporcionalidad inversa en las matemáticas y en la vida

Las dos cantidades se llaman directamente proporcional, si al aumentar uno de ellos varias veces, el otro aumenta en la misma cantidad. En consecuencia, cuando uno de ellos disminuye varias veces, el otro disminuye en la misma cantidad.

La relación entre tales cantidades es una relación directamente proporcional. Ejemplos directos dependencia proporcional:

1) a velocidad constante, la distancia recorrida es directamente proporcional al tiempo;

2) el perímetro de un cuadrado y su lado son directamente proporcionales;

3) el costo de una mercancía comprada a un precio es directamente proporcional a su cantidad.

Para distinguir una relación proporcional directa de una inversa, puede usar el proverbio: "Cuanto más adentro en el bosque, más leña".

Es conveniente resolver problemas de cantidades directamente proporcionales utilizando proporciones.

1) Para la fabricación de 10 piezas se necesitan 3,5 kg de metal. ¿Cuánto metal se usará para hacer 12 de esas partes?

(Argumentamos así:

1. En la columna completa, coloque la flecha en la dirección desde más al más pequeño.

2. Cuantas más piezas, más metal se necesita para fabricarlas. Entonces es una relación directamente proporcional.

Sean necesarios x kg de metal para hacer 12 partes. Formamos la proporción (en la dirección desde el comienzo de la flecha hasta su final):

12:10=x:3.5

Para encontrar , necesitamos dividir el producto de los términos extremos por el término medio conocido:

Esto significa que se requerirán 4,2 kg de metal.

Respuesta: 4,2 kg.

2) Se pagaron 1680 rublos por 15 metros de tela. ¿Cuánto cuestan 12 metros de esa tela?

(1. En la columna completa, coloque la flecha en la dirección del número más grande al más pequeño.

2. Cuanta menos tela compre, menos tendrá que pagar por ella. Entonces es una relación directamente proporcional.

3. Por lo tanto, la segunda flecha se dirige en la misma dirección que la primera).

Deje que x rublos cuesten 12 metros de tela. Formamos la proporción (desde el principio de la flecha hasta su final):

15:12=1680:x

Para encontrar el miembro extremo desconocido de la proporción, dividimos el producto de los términos medios por el miembro extremo conocido de la proporción:

Entonces, 12 metros cuestan 1344 rublos.

Respuesta: 1344 rublos.

La proporcionalidad es la relación entre dos cantidades, en la que un cambio en una de ellas implica un cambio en la otra en la misma cantidad.

La proporcionalidad es directa e inversa. En esta lección, veremos cada uno de ellos.

Proporcionalidad directa

Supongamos que un automóvil se mueve a una velocidad de 50 km/h. Recordamos que la velocidad es la distancia recorrida por unidad de tiempo (1 hora, 1 minuto o 1 segundo). En nuestro ejemplo, el automóvil se desplaza a una velocidad de 50 km/h, es decir, en una hora recorrerá una distancia igual a cincuenta kilómetros.

Grafiquemos la distancia recorrida por el automóvil en 1 hora.

Deje que el automóvil conduzca durante otra hora a la misma velocidad de cincuenta kilómetros por hora. Entonces resulta que el carro recorrerá 100 km

Como se puede ver en el ejemplo, al duplicar el tiempo, la distancia recorrida aumentó en la misma cantidad, es decir, el doble.

Se dice que cantidades como el tiempo y la distancia son directamente proporcionales. La relación entre estas cantidades se llama proporcionalidad directa.

La proporcionalidad directa es la relación entre dos cantidades, en la que el aumento de una de ellas conlleva el aumento de la otra en la misma cantidad.

y viceversa, si un valor disminuye un cierto número de veces, entonces el otro disminuye en la misma cantidad.

Supongamos que originalmente se planeó conducir un automóvil 100 km en 2 horas, pero después de conducir 50 km, el conductor decidió tomar un descanso. Entonces resulta que al reducir la distancia a la mitad, el tiempo disminuirá en la misma cantidad. En otras palabras, una disminución en la distancia recorrida conducirá a una disminución en el tiempo por el mismo factor.

Una característica interesante de las cantidades directamente proporcionales es que su relación siempre es constante. Es decir, al cambiar los valores de cantidades directamente proporcionales, su relación permanece sin cambios.

En el ejemplo considerado, la distancia fue al principio igual a 50 km y el tiempo fue de una hora. La razón de la distancia al tiempo es el número 50.

Pero hemos aumentado el tiempo de movimiento en 2 veces, haciéndolo igual a dos horas. Como resultado, la distancia recorrida aumentó en la misma cantidad, es decir, llegó a ser igual a 100 km. La razón de cien kilómetros a dos horas es nuevamente el número 50

el numero 50 se llama coeficiente de proporcionalidad directa. Muestra cuánta distancia hay por hora de movimiento. En este caso, el coeficiente juega el papel de la velocidad de movimiento, ya que la velocidad es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo.

Las proporciones se pueden hacer a partir de cantidades directamente proporcionales. Por ejemplo, las razones y componen la proporción:

Cincuenta kilómetros están relacionados con una hora como cien kilómetros están relacionados con dos horas.

Ejemplo 2. El costo y la cantidad de los bienes comprados son directamente proporcionales. Si 1 kg de dulces cuesta 30 rublos, entonces 2 kg de los mismos dulces costarán 60 rublos, 3 kg - 90 rublos. Con el aumento en el costo de los bienes comprados, su cantidad aumenta en la misma cantidad.

Dado que el valor de una mercancía y su cantidad son directamente proporcionales, su relación es siempre constante.

Escribamos la proporción de treinta rublos a un kilogramo.

Ahora escribamos a qué equivale la proporción de sesenta rublos por dos kilogramos. Esta relación volverá a ser igual a treinta:

Aquí, el coeficiente de proporcionalidad directa es el número 30. Este coeficiente muestra cuántos rublos por kilogramo de dulces. A este ejemplo el coeficiente juega el papel del precio de un kilogramo de bienes, ya que el precio es la relación entre el costo de los bienes y su cantidad.

proporcionalidad inversa

Considere el siguiente ejemplo. La distancia entre las dos ciudades es de 80 km. El motociclista salió de la primera ciudad y a una velocidad de 20 km/h llegó a la segunda ciudad en 4 horas.

Si la velocidad de un motociclista fue de 20 km/h, esto significa que cada hora recorrió una distancia igual a veinte kilómetros. Representemos en la figura la distancia recorrida por el motociclista y el tiempo de su movimiento:

En el camino de regreso, la velocidad del motociclista era de 40 km/h, y tardó 2 horas en el mismo viaje.

Es fácil ver que cuando cambia la velocidad, el tiempo de movimiento ha cambiado en la misma cantidad. Además, cambió en la dirección opuesta, es decir, la velocidad aumentó y el tiempo, por el contrario, disminuyó.

Las cantidades como la velocidad y el tiempo se llaman inversamente proporcionales. La relación entre estas cantidades se llama proporcionalidad inversa.

La proporcionalidad inversa es la relación entre dos cantidades, en la que el aumento de una de ellas conlleva la disminución de la otra en la misma cantidad.

y viceversa, si un valor disminuye un cierto número de veces, entonces el otro aumenta en la misma cantidad.

Por ejemplo, si en el camino de regreso la velocidad de un motociclista fuera de 10 km/h, entonces recorrería los mismos 80 km en 8 horas:

Como se puede ver en el ejemplo, una disminución en la velocidad condujo a un aumento en el tiempo de viaje por el mismo factor.

La peculiaridad de las cantidades inversamente proporcionales es que su producto es siempre constante. Es decir, al cambiar los valores de cantidades inversamente proporcionales, su producto permanece sin cambios.

En el ejemplo considerado, la distancia entre las ciudades era de 80 km. Al cambiar la velocidad y el tiempo del motociclista, esta distancia siempre se mantuvo sin cambios.

Un motociclista podría recorrer esta distancia a una velocidad de 20 km/h en 4 horas, a una velocidad de 40 km/h en 2 horas y a una velocidad de 10 km/h en 8 horas. En todos los casos, el producto de la velocidad por el tiempo fue igual a 80 km.

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Hoy veremos qué cantidades se llaman inversamente proporcionales, cómo se ve el gráfico de proporcionalidad inversa y cómo todo esto puede ser útil para usted no solo en las lecciones de matemáticas, sino también fuera de las paredes de la escuela.

proporciones tan diferentes

proporcionalidad Nombra dos cantidades que sean mutuamente dependientes.

La dependencia puede ser directa e inversa. Por lo tanto, la relación entre cantidades describe proporcionalidad directa e inversa.

Proporcionalidad directa- esta es una relación de este tipo entre dos cantidades, en la que un aumento o disminución en una de ellas conduce a un aumento o disminución en la otra. Aquellos. su actitud no cambia.

Por ejemplo, cuanto más esfuerzo pongas en prepararte para los exámenes, mejores serán tus calificaciones. O cuantas más cosas llevas contigo en una caminata, más difícil es llevar tu mochila. Aquellos. la cantidad de esfuerzo dedicado a la preparación de los exámenes es directamente proporcional a las calificaciones recibidas. Y la cantidad de cosas empacadas en una mochila es directamente proporcional a su peso.

proporcionalidad inversa - esta es una dependencia funcional, en la que una disminución o aumento varias veces de un valor independiente (se denomina argumento) provoca un aumento o disminución proporcional (es decir, por la misma cantidad) en un valor dependiente (se denomina función).

Ilustrar ejemplo sencillo. Quieres comprar manzanas en el mercado. Las manzanas en el mostrador y la cantidad de dinero en tu billetera están inversamente relacionadas. Aquellos. Cuantas más manzanas compres, más menos dinero te habrás ido

Función y su gráfica

La función de proporcionalidad inversa se puede describir como y = k/x. Donde X≠ 0 y k≠ 0.

Esta función tiene las siguientes propiedades:

1. Su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales excepto X = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. El rango son todos los números reales excepto y= 0. E(y): (-∞; 0) tu (0; +∞) .
3. No tiene valores máximos ni mínimos.
4. es impar y su gráfica es simétrica respecto al origen.
5. No PERIODICO.
6. Su gráfica no cruza los ejes de coordenadas.
7. No tiene ceros.
8. si un k> 0 (es decir, el argumento aumenta), la función decrece proporcionalmente en cada uno de sus intervalos. si un k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. A medida que aumenta el argumento ( k> 0) valores negativos funciones están en el intervalo (-∞; 0), y positivo - (0; +∞). Cuando el argumento es decreciente ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

La gráfica de la función de proporcionalidad inversa se llama hipérbola. Representado de la siguiente manera:

Problemas de proporcionalidad inversa

Para hacerlo más claro, veamos algunas tareas. No son demasiado complicados y su solución te ayudará a visualizar qué es la proporción inversa y cómo este conocimiento puede ser útil en tu vida cotidiana.

Tarea número 1. El automóvil se mueve a una velocidad de 60 km/h. Tardó 6 horas en llegar a su destino. ¿Cuánto tiempo le tomará recorrer la misma distancia si se mueve al doble de la velocidad?

Podemos comenzar escribiendo una fórmula que describa la relación de tiempo, distancia y velocidad: t = S/V. De acuerdo, nos recuerda mucho a la función de proporcionalidad inversa. E indica que el tiempo que el coche pasa en la carretera, y la velocidad con la que se desplaza, son inversamente proporcionales.

Para verificar esto, encontremos V 2, que, por condición, es 2 veces mayor: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Luego calculamos la distancia usando la fórmula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Ahora bien, no es difícil encontrar el tiempo t 2 que se requiere de nosotros según la condición del problema: t 2 = 360/120 = 3 horas.

Como puede ver, el tiempo de viaje y la velocidad son inversamente proporcionales: con una velocidad 2 veces mayor que la original, el automóvil pasará 2 veces menos tiempo en la carretera.

La solución a este problema también se puede escribir como una proporción. ¿Por qué creamos un diagrama como este?

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x hora

Las flechas indican una relación inversa. Y también sugieren que al dibujar la proporción, se debe voltear el lado derecho del registro: 60/120 \u003d x / 6. ¿Dónde obtenemos x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 horas?

Tarea número 2. El taller emplea a 6 trabajadores que hacen frente a una determinada cantidad de trabajo en 4 horas. Si el número de trabajadores se reduce a la mitad, ¿cuánto tiempo tardarán los trabajadores restantes en completar la misma cantidad de trabajo?

Escribimos las condiciones del problema en la forma esquema visual:

↓ 6 trabajadores - 4 horas

↓ 3 trabajadores - x h

Escribamos esto como una proporción: 6/3 = x/4. Y obtenemos x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 horas Si hay 2 veces menos trabajadores, el resto pasará 2 veces más tiempo para completar todo el trabajo.

Tarea número 3. Dos tuberías conducen a la piscina. Por una tubería entra agua a razón de 2 l/s y llena la piscina en 45 minutos. A través de otra tubería, la piscina se llenará en 75 minutos. ¿Qué tan rápido entra el agua a la piscina a través de esta tubería?

Para empezar, llevaremos todas las cantidades que nos dan según la condición del problema a las mismas unidades de medida. Para ello expresamos la tasa de llenado de la piscina en litros por minuto: 2 l/s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l/min.

Como se sigue de la condición de que la piscina se llene más lentamente a través de la segunda tubería, significa que la tasa de entrada de agua es menor. En la cara de proporción inversa. Expresemos la velocidad que nos es desconocida en términos de x y elaboremos el siguiente esquema:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

Y luego haremos una proporción: 120 / x \u003d 75/45, de donde x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.

En el problema, la tasa de llenado de la piscina se expresa en litros por segundo, llevemos nuestra respuesta a la misma forma: 72/60 = 1,2 l/s.

Tarea número 4. Las tarjetas de visita se imprimen en una pequeña imprenta privada. Un empleado de la imprenta trabaja a una velocidad de 42 tarjetas de presentación por hora y trabaja a tiempo completo: 8 horas. Si trabajaba más rápido e imprimía 48 tarjetas de presentación por hora, ¿cuánto antes podría irse a casa?

Vamos de manera comprobada y elaboramos un esquema de acuerdo con la condición del problema, denotando el valor deseado como x:

↓ 42 tarjetas de visita/h – 8h

↓ 48 tarjetas de visita/h – xh

Tenemos ante nosotros una relación inversamente proporcional: cuántas veces más tarjetas de visita imprime un empleado de una imprenta por hora, la misma cantidad de tiempo le llevará completar el mismo trabajo. Sabiendo esto, podemos establecer la proporción:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 horas.

Así, habiendo realizado el trabajo en 7 horas, el empleado de la imprenta podría irse a casa una hora antes.

Conclusión

Nos parece que estos problemas de proporcionalidad inversa son realmente sencillos. Esperamos que ahora tú también los consideres así. Y lo más importante, el conocimiento de la dependencia inversamente proporcional de las cantidades realmente puede serte útil más de una vez.

No solo en clases de matemáticas y exámenes. Pero aun así, cuando te vas de viaje, vas de compras, decides ganar algo de dinero durante las vacaciones, etc.

Cuéntanos en los comentarios qué ejemplos de proporcionalidad inversa y directa notas a tu alrededor. Que esto sea un juego. Verás lo emocionante que es. No olvides compartir este artículo. en las redes sociales para que tus amigos y compañeros de clase también puedan jugar.

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Hoy veremos qué cantidades se llaman inversamente proporcionales, cómo se ve el gráfico de proporcionalidad inversa y cómo todo esto puede ser útil para usted no solo en las lecciones de matemáticas, sino también fuera de las paredes de la escuela.

proporciones tan diferentes

proporcionalidad Nombra dos cantidades que sean mutuamente dependientes.

La dependencia puede ser directa e inversa. Por lo tanto, la relación entre cantidades describe proporcionalidad directa e inversa.

Proporcionalidad directa- esta es una relación de este tipo entre dos cantidades, en la que un aumento o disminución en una de ellas conduce a un aumento o disminución en la otra. Aquellos. su actitud no cambia.

Por ejemplo, cuanto más esfuerzo pongas en prepararte para los exámenes, mejores serán tus calificaciones. O cuantas más cosas llevas contigo en una caminata, más difícil es llevar tu mochila. Aquellos. la cantidad de esfuerzo dedicado a la preparación de los exámenes es directamente proporcional a las calificaciones recibidas. Y la cantidad de cosas empacadas en una mochila es directamente proporcional a su peso.

proporcionalidad inversa- esta es una dependencia funcional, en la que una disminución o aumento varias veces de un valor independiente (se denomina argumento) provoca un aumento o disminución proporcional (es decir, por la misma cantidad) en un valor dependiente (se denomina función).

Ilustremos con un ejemplo sencillo. Quieres comprar manzanas en el mercado. Las manzanas en el mostrador y la cantidad de dinero en tu billetera están inversamente relacionadas. Aquellos. Cuantas más manzanas compras, menos dinero te queda.

Función y su gráfica

La función de proporcionalidad inversa se puede describir como y = k/x. Donde X≠ 0 y k≠ 0.

Esta función tiene las siguientes propiedades:

1. Su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales excepto X = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. El rango son todos los números reales excepto y= 0. E(y): (-∞; 0) tu (0; +∞) .
3. No tiene valores máximos ni mínimos.
4. es impar y su gráfica es simétrica respecto al origen.
5. No PERIODICO.
6. Su gráfica no cruza los ejes de coordenadas.
7. No tiene ceros.
8. si un k> 0 (es decir, el argumento aumenta), la función decrece proporcionalmente en cada uno de sus intervalos. si un k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. A medida que aumenta el argumento ( k> 0) los valores negativos de la función están en el intervalo (-∞; 0), y los valores positivos están en el intervalo (0; +∞). Cuando el argumento es decreciente ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

La gráfica de la función de proporcionalidad inversa se llama hipérbola. Representado de la siguiente manera:

Problemas de proporcionalidad inversa

Para hacerlo más claro, veamos algunas tareas. No son demasiado complicados y su solución te ayudará a visualizar qué es la proporción inversa y cómo este conocimiento puede ser útil en tu vida cotidiana.

Tarea número 1. El automóvil se mueve a una velocidad de 60 km/h. Tardó 6 horas en llegar a su destino. ¿Cuánto tiempo le tomará recorrer la misma distancia si se mueve al doble de la velocidad?

Podemos comenzar escribiendo una fórmula que describa la relación de tiempo, distancia y velocidad: t = S/V. De acuerdo, nos recuerda mucho a la función de proporcionalidad inversa. E indica que el tiempo que el coche pasa en la carretera, y la velocidad con la que se desplaza, son inversamente proporcionales.

Para verificar esto, encontremos V 2, que, por condición, es 2 veces mayor: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Luego calculamos la distancia usando la fórmula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Ahora bien, no es difícil encontrar el tiempo t 2 que se requiere de nosotros según la condición del problema: t 2 = 360/120 = 3 horas.

Como puede ver, el tiempo de viaje y la velocidad son inversamente proporcionales: con una velocidad 2 veces mayor que la original, el automóvil pasará 2 veces menos tiempo en la carretera.

La solución a este problema también se puede escribir como una proporción. ¿Por qué creamos un diagrama como este?

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x hora

Las flechas indican una relación inversa. Y también sugieren que al dibujar la proporción, se debe voltear el lado derecho del registro: 60/120 \u003d x / 6. ¿Dónde obtenemos x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 horas?

Tarea número 2. El taller emplea a 6 trabajadores que hacen frente a una determinada cantidad de trabajo en 4 horas. Si el número de trabajadores se reduce a la mitad, ¿cuánto tiempo tardarán los trabajadores restantes en completar la misma cantidad de trabajo?

Escribimos las condiciones del problema en forma de diagrama visual:

↓ 6 trabajadores - 4 horas

↓ 3 trabajadores - x h

Escribamos esto como una proporción: 6/3 = x/4. Y obtenemos x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 horas Si hay 2 veces menos trabajadores, el resto pasará 2 veces más tiempo para completar todo el trabajo.

Tarea número 3. Dos tuberías conducen a la piscina. Por una tubería entra agua a razón de 2 l/s y llena la piscina en 45 minutos. A través de otra tubería, la piscina se llenará en 75 minutos. ¿Qué tan rápido entra el agua a la piscina a través de esta tubería?

Para empezar, llevaremos todas las cantidades que nos dan según la condición del problema a las mismas unidades de medida. Para ello expresamos la tasa de llenado de la piscina en litros por minuto: 2 l/s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l/min.

Como se sigue de la condición de que la piscina se llene más lentamente a través de la segunda tubería, significa que la tasa de entrada de agua es menor. En la cara de proporción inversa. Expresemos la velocidad que nos es desconocida en términos de x y elaboremos el siguiente esquema:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

Y luego haremos una proporción: 120 / x \u003d 75/45, de donde x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.

En el problema, la tasa de llenado de la piscina se expresa en litros por segundo, llevemos nuestra respuesta a la misma forma: 72/60 = 1,2 l/s.

Tarea número 4. Las tarjetas de visita se imprimen en una pequeña imprenta privada. Un empleado de la imprenta trabaja a una velocidad de 42 tarjetas de presentación por hora y trabaja a tiempo completo: 8 horas. Si trabajaba más rápido e imprimía 48 tarjetas de presentación por hora, ¿cuánto antes podría irse a casa?

Vamos de manera comprobada y elaboramos un esquema de acuerdo con la condición del problema, denotando el valor deseado como x:

↓ 42 tarjetas de visita/h – 8h

↓ 48 tarjetas de visita/h – xh

Tenemos ante nosotros una relación inversamente proporcional: cuántas veces más tarjetas de visita imprime un empleado de una imprenta por hora, la misma cantidad de tiempo le llevará completar el mismo trabajo. Sabiendo esto, podemos establecer la proporción:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 horas.

Así, habiendo realizado el trabajo en 7 horas, el empleado de la imprenta podría irse a casa una hora antes.

Conclusión

Nos parece que estos problemas de proporcionalidad inversa son realmente sencillos. Esperamos que ahora tú también los consideres así. Y lo más importante, el conocimiento de la dependencia inversamente proporcional de las cantidades realmente puede serte útil más de una vez.

No solo en clases de matemáticas y exámenes. Pero aun así, cuando te vas de viaje, vas de compras, decides ganar algo de dinero durante las vacaciones, etc.

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