Snímka 2
x y 0 cos sin 900+ 1800+ 2700+ Zostrojme ľubovoľný ostrý uhol natočenia . Teraz nakreslíme uhly 900+ , 1800+ , 2700+ a 3600+ . сos(900+) sin(900+) сos(1800+) sin(1800+) sin(2700+) cos(2700+) , 3600+ Z rovnosti pravouhlých trojuholníkov môžeme usúdiť, že : cos =sin(900+ )=–cos(1800+ )=–sin(2700+ )=cos(3600+ ), a tiež sin=–cos(900+ )=–sin( 1800+ )=cos(2700+ )=sin(3600+ ).
Snímka 3
Hodnoty goniometrických funkcií akéhokoľvek uhla natočenia možno znížiť na hodnotu goniometrických funkcií ostrého uhla. Preto sa používajú redukčné vzorce. Skúsme porozumieť nasledujúcej tabuľke (preneste si ju do notebooku!): S prvým stĺpcom je všetko jasné – obsahuje goniometrické funkcie, ktoré poznáte. Druhý stĺpec ukazuje, že akýkoľvek argument (uhol) týchto funkcií môže byť reprezentovaný v tejto forme. Vysvetlime si to na konkrétnych príkladoch:
Snímka 4
V stupňoch: V radiánoch: 10200=900·11+300=900·12–600 1020 90 11 90 120 90 30 Ako vidíte, použili sme akciu, ktorú poznáte zo základnej školy - delenie so zvyškom. Okrem toho zvyšok nepresahuje deliteľa 90 (v prípade miery) alebo (v prípade radiánovej miery). Nacvičte si to! Vynásobte výsledný súčet alebo rozdiel a získajte požadované výrazy. V každom prípade sme dosiahli nasledovné: náš argument k goniometrickej funkcii je reprezentovaný ako celé číslo pravých uhlov plus alebo mínus nejaký ostrý uhol. Zamerajme sa teraz na 3. a 4. stĺpec tabuľky. Hneď si všimnime, že v prípade párneho počtu pravých uhlov zostáva goniometrická funkcia rovnaká a v prípade nepárneho počtu sa mení na kofunkciu (sin na cos, tg na ctg a naopak), a argument tejto funkcie je zvyšok.
Snímka 5
Zostáva sa zaoberať znakom pred každým výsledkom. Toto sú znaky týchto funkcií v závislosti od súradnicových štvrtí. Pripomeňme si ich: x 0 y 1 1 x 0 y 1 1 x 0 y 1 1 Znaky hriech Znaky cos Znaky tg a ctg + + + + + + – – – – – Dôležité! Nezabudnite pomocou tejto funkcie určiť znamienko konečného výsledku, a nie to, ktoré sa získa v prípade párneho alebo nepárneho počtu pravých uhlov! Poďme na konkrétnych príkladoch použitia tejto tabuľky. Príklad 1. Nájdite sin10200. Riešenie. Najprv uveďme tento uhol v tvare, ktorý potrebujeme: 10200=900·11+300=900·12–600 I II
Snímka 6
V prvom prípade budeme musieť túto funkciu sínus zmeniť na kofunkciu - kosínus (počet pravých uhlov je nepárny - 11), v druhom zostane funkcia sínus rovnaká. I II Otázka znamienka výsledku zostáva nejasná. Aby sme to vyriešili, musíme vedieť pracovať s jednotkovou trigonometrickou kružnicou (pozorne sledovať rotáciu bodu): ? ? x y 0 1 1 x y 0 1 1 I II 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 V každom prípade sa získa štvrtá štvrtina, v ktorej je sínus záporný. – –
Táto prezentácia je vynikajúcim vzdelávacím materiálom na tému „Redukčné vzorce“. Toto je jedna z dôležitých tém v oblasti trigonometrie, ktorá sa bude dlho študovať v 10. ročníku.
Tento proces vyrieši mnoho algebraických a geometrických problémov pomocou trigonometrie.
Prvá snímka prezentácie hovorí o význame redukčných vzorcov v trigonometrii. Funkcie určitého typu je možné zjednodušiť pomocou týchto pravidiel, ktoré sú predmetom tohto školiaceho materiálu.
Pre určité znaky funkcie, ktorá bude podliehať transformáciám, sa zachová názov goniometrickej funkcie. V iných prípadoch sa sínus mení na kosínus, dotyčnica na kotangens a podľa toho aj naopak.
Ďalšia snímka hovorí o tom, ako správne umiestniť značku. Tieto pravidlá si treba pamätať.
Všetky tieto redukčné vzorce možno zapísať v stupňoch. Ako sa to robí, je uvedené na ďalšej snímke.
Všetky tieto teoreticky preskúmané pravidlá pre redukciu goniometrických funkcií sú detailne demonštrované vo vizuálnej forme nižšie.
Kruh s číselnými jednotkami je zobrazený so všetkými potrebnými zápismi, sú viditeľné aj bodky, sú naznačené príslušné oblúky a je tu tabuľka, na ktorej je všetko krok za krokom demonštrované pomocou animačných efektov.
Podobné snímky sú 4. Všetky vysvetľujú redukčné vzorce. Po zhliadnutí všetkých týchto snímok by mal študent pochopiť celú pointu.
Nasleduje prvý príklad. Navrhuje nájsť sínus určitého stupňa, väčší ako 180. Znamienko je záporné. Použitie redukčného vzorca rieši tento príklad oveľa jednoduchšie. Všetko je tiež jasne demonštrované na stole.
Ďalšia snímka obsahuje úlohu, v ktorej musíte preukázať určitú identitu. Na dôkaz sa používa iný redukčný vzorec.
Nasledujúce príklady sú podobné. Na pravej strane všetkých výrokov je jednotka, ktorá študentom hovorí, k akému vzorcu by mali vo výsledku dospieť.
Prezentácia vám pomôže pripraviť sa na samostatnú prácu, ktorá obsahuje goniometrické výrazy, na vyriešenie, dokázanie alebo zjednodušenie, ktoré potrebujete na pochopenie základných vzorcov, princípov a metód.
Umožňuje vypočítať hodnoty funkcií trigonometrických uhlov akýkoľvek štvrtina cez roh ja štvrtí
Mestský vzdelávací ústav telocvičňa č. 18 pomenovaná po. V.G. Sokolová, Rybinsk
Peštová E.V. Učiteľ matematiky
Napríklad: sin ( + α) = - sin α
cos (3 /2+ α) = sin α
sin ( + α) = - sin α cos (3 / 2 + α) = sin α
α – uhol prvej štvrtiny, t.j. α˂ / 2
II III IV I II III IV
sin ( + α) = - sin α cos (3 /2+ α) = sin α
cos ( - α) = - cos α sin ( /2+ α) = cos α
- Ako je znak umiestnený na pravej strane rovnosti?
- V akom prípade sa nahradí názov pôvodnej funkcie?
pravidlá:, ak je 0 ± α , 2 ± α názov pôvodnej funkcie uložené / 2 ± α , 3 / 2 ± α názov pôvodnej funkcie vymenené
Napríklad: zjednodušiť cos ( - α) =
1. - α – uhol druhej štvrtiny, kosínus – zápor, teda nastavíme “ mínus ».
2. Uhol - α je vyčlenený z osi OX, čo znamená názov funkcie(kosínus) uložené .
Odpoveď: cos ( - α) = - cos α
pravidlá: 1. Prevezme sa funkcia na pravej strane rovnosti s rovnakým znakom ako pôvodná funkcia, ak je 0 ± α , 2 ± α názov pôvodnej funkcie uložené. Pre uhly, ktoré sú odsadené od osi OU, / 2 ± α , 3 / 2 ± α názov pôvodnej funkcie vymenené(sínus na kosínus, kosínus na sínus, dotyčnica na kotangens, kotangens na dotyčnicu).
Napríklad: zjednodušiť hriech (3 /2+ α) =
1. 3 / 2 + α je uhol štvrtej štvrtiny, sínus je záporný, preto nastavíme „ mínus ».
2. Uhol 3 / 2 + α je odsadený od osi operačného zosilňovača, čo znamená názov funkcie(sinus) sa mení na kosínus.
Odpoveď: hriech (3 /2+ α) = - cos α
Zjednodušiť:
- hriech ( + α) =
1). + α – uhol... štvrtiny, sínus v tejto štvrtine má znamienko...
2). Uhol + α je vyčlenený z osi ..., čo znamená názov funkcie (sínus) ...
Odpoveď: hriech ( + α) = - hriech α
- cos (3 /2+ α) =
1). Ktorá štvrť je roh?
Odpoveď: cos (3 /2+ α) = sin α
- hriech (3 /2- α) =
1). Ktorá štvrť je roh?
2). Z ktorej osi nakreslíme uhol? Mám zmeniť názov funkcie?
Odpoveď: hriech (3 /2- α) = - cos α
- Pre výpočty:
- Pre zjednodušenie výrazov:
Dokážte tieto rovnosti rôznymi spôsobmi
(pomocou naučených pravidiel a použitím definície tangens a kotangens).
Sám za seba. Zjednodušte výrazy:
- Čo nové ste sa naučili v lekcii?
- čo ste sa naučili?
- Aké pravidlo si pamätáte?
- Na čo sa používajú redukčné vzorce?
