Progetto educativo "equazioni negli incarichi OGE". Risolvere equazioni quadratiche Risolverò oge equazioni quadratiche

Le equazioni quadratiche vengono studiate in terza media, quindi qui non c'è nulla di complicato. La capacità di risolverli è assolutamente necessaria.

Un'equazione quadratica è un'equazione della forma ax 2 + bx + c = 0, dove i coefficienti a, b e c sono numeri arbitrari e a ≠ 0.

Prima di studiare metodi di soluzione specifici, si noti che tutte le equazioni quadratiche possono essere divise in tre classi:

Non hanno radici;
Avere esattamente una radice;
Hanno due radici diverse.

Questa è una differenza importante tra le equazioni quadratiche e quelle lineari, dove la radice esiste sempre ed è unica. Come determinare quante radici ha un'equazione? C'è una cosa meravigliosa in questo - discriminante.

Discriminante

Sia data l'equazione quadratica ax 2 + bx + c = 0. Allora il discriminante è semplicemente il numero D = b 2 − 4ac.

Devi conoscere questa formula a memoria. Da dove viene non è importante adesso. Un'altra cosa è importante: dal segno del discriminante puoi determinare quante radici ha un'equazione quadratica. Vale a dire:

Se d< 0, корней нет;
Se D = 0, esiste esattamente una radice;
Se D > 0 ci saranno due radici.

Nota: il discriminante indica il numero di radici e non i loro segni, come per qualche motivo molte persone credono. Dai un'occhiata agli esempi e capirai tutto da solo:

Compito. Quante radici hanno le equazioni quadratiche:

x2 − 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x2 − 6x + 9 = 0.

Scriviamo i coefficienti della prima equazione e troviamo il discriminante:
un = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Quindi il discriminante è positivo, quindi l'equazione ha due radici diverse. Analizziamo la seconda equazione in modo simile:
un = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Il discriminante è negativo, non ci sono radici. L'ultima equazione rimasta è:
un = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Il discriminante è zero, la radice sarà uno.

Si prega di notare che i coefficienti sono stati scritti per ciascuna equazione. Sì, è lungo, sì, è noioso, ma non confonderai le probabilità e non commetterai errori stupidi. Scegli tu stesso: velocità o qualità.

A proposito, se ci prendi la mano, dopo un po' non avrai più bisogno di annotare tutti i coefficienti. Eseguirai tali operazioni nella tua testa. La maggior parte delle persone inizia a farlo da qualche parte dopo 50-70 equazioni risolte, in generale, non così tanto.

Radici di un'equazione quadratica

Passiamo ora alla soluzione stessa. Se il discriminante D > 0 le radici si possono trovare utilizzando le formule:

Formula base per le radici di un'equazione quadratica

Quando D = 0, puoi utilizzare una qualsiasi di queste formule: otterrai lo stesso numero, che sarà la risposta. Infine, se il d< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Prima equazione:
x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ l'equazione ha due radici. Troviamoli:

Seconda equazione:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ l'equazione ha ancora due radici. Troviamoli

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(allinea)\]

Infine, la terza equazione:
x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ l'equazione ha una radice. È possibile utilizzare qualsiasi formula. Ad esempio, il primo:

Come puoi vedere dagli esempi, tutto è molto semplice. Se conosci le formule e sai contare, non ci saranno problemi. Molto spesso si verificano errori quando si sostituiscono coefficienti negativi nella formula. Anche in questo caso, la tecnica sopra descritta aiuterà: guarda la formula letteralmente, annota ogni passaggio e molto presto ti libererai degli errori.

Equazioni quadratiche incomplete

Accade che un'equazione quadratica sia leggermente diversa da quanto indicato nella definizione. Per esempio:

x2 + 9x = 0;
x2-16 = 0.

È facile notare che a queste equazioni manca uno dei termini. Tali equazioni quadratiche sono ancora più facili da risolvere di quelle standard: non richiedono nemmeno il calcolo del discriminante. Quindi, introduciamo un nuovo concetto:

L'equazione ax 2 + bx + c = 0 è chiamata equazione quadratica incompleta se b = 0 o c = 0, cioè il coefficiente della variabile x o dell'elemento libero è uguale a zero.

Naturalmente, un caso molto difficile è possibile quando entrambi questi coefficienti sono uguali a zero: b = c = 0. In questo caso, l'equazione assume la forma ax 2 = 0. Ovviamente, tale equazione ha un'unica radice: x = 0.

Consideriamo i restanti casi. Sia b = 0, quindi otteniamo un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 + c = 0. Trasformiamola un po':

Poiché la radice quadrata aritmetica esiste solo di un numero non negativo, l’ultima uguaglianza ha senso solo per (−c /a) ≥ 0. Conclusione:

Se in un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 + c = 0 la disuguaglianza (−c /a) ≥ 0 è soddisfatta, ci saranno due radici. La formula è quella riportata sopra;
Se (−c /a)< 0, корней нет.

Come puoi vedere, non era richiesto un discriminante: non ci sono calcoli complessi nelle equazioni quadratiche incomplete. In realtà non è nemmeno necessario ricordare la disuguaglianza (−c /a) ≥ 0. Basta esprimere il valore x 2 e vedere cosa c'è dall'altra parte del segno di uguale. Se c'è un numero positivo, ci saranno due radici. Se è negativo, non ci saranno radici.

Consideriamo ora le equazioni della forma ax 2 + bx = 0, in cui l'elemento libero è uguale a zero. Qui tutto è semplice: ci saranno sempre due radici. È sufficiente fattorizzare il polinomio:

Togliendo il fattore comune tra parentesi

Il prodotto è zero quando almeno uno dei fattori è zero. Da qui provengono le radici. In conclusione, diamo un’occhiata ad alcune di queste equazioni:

Compito. Risolvere equazioni quadratiche:

x2-7x = 0;

5x2 + 30 = 0;

4x2 − 9 = 0.

x2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Non ci sono radici, perché un quadrato non può essere uguale a un numero negativo.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.

Insegnante : Yurgenson Veronica Alexandrovna

Classe: 9

Articolo: Algebra

Argomento della lezione: Lezione di preparazione per l'OGE nel grado 9 "Equazioni quadratiche".

Fase di formazione su questo argomento : preparazione per l'OGE.

Tipo di lezione: Lezione sulla generalizzazione e sistematizzazione della conoscenza

Bersaglio:

Attività: Formazione delle competenze degli studenti per implementare metodi di azione normativa.

Contenuto: - esercitarsi sui metodi per risolvere equazioni quadratiche;

Sviluppare la capacità di scegliere la soluzione più razionale;

Sviluppo: formare le competenze chiave degli studenti: informative (la capacità di analizzare informazioni, confrontare, trarre conclusioni), risoluzione di problemi (la capacità di porre problemi e, utilizzando le conoscenze esistenti, trovare una via d'uscita dalla situazione); comunicativo (capacità di lavorare in gruppo, capacità di ascoltare e sentire gli altri, accettare le opinioni degli altri)

Compiti per l'insegnante:

Per aiutare ad aggiornare le conoscenze degli studenti sulla risoluzione delle equazioni quadratiche;

Organizzare attività educative per esercitarsi su come risolvere equazioni quadratiche;

Creare condizioni per la formazione di competenze per sviluppare la capacità di scegliere la soluzione più razionale;

Creare condizioni per la formazione dell'UUD normativo: definizione degli obiettivi, autostima e autocontrollo, pianificazione.

Tecnologia: Formazione multilivello

Metodi di insegnamento: Visivo, verbale, metodo di verifica reciproca, metodo per trovare insieme una soluzione ottimale, lavoro temporaneo in gruppo, creazione di una situazione problematica, riproduttivo (istruzione, illustrazione, spiegazione, formazione pratica). Metodi di autocontrollo.

Forme utilizzate per organizzare l'attività cognitiva degli studenti:

Forma di lavoro collettiva (domande frontali, lavoro orale), lavoro di gruppo, lavoro individuale (lavoro indipendente), lavoro in coppia (domande reciproche).

Attrezzature e principali fonti di informazione:

Computer, proiettore, schermo, presentazione della lezione sull'argomento "Metodi per risolvere le equazioni quadratiche".

Scheda di prestazione per il controllo e l'autocontrollo.

Compiti di carte per lavoro indipendente a più livelli

Mappa tecnologica della lezione:

Attività

alunno

Organizzativo

Saluto agli studenti

Il saluto dell'insegnante

Stabilire gli scopi e gli obiettivi della lezione. Motivazione per le attività di apprendimento degli studenti

Alla certificazione finale ci sono spesso compiti in cui è necessario essere in grado di risolvere equazioni quadratiche.

Comunicare lo scopo della lezione :

Oggi nella lezione ripeteremo, generalizzeremo e introdurremo nel sistema i tipi, i metodi e le tecniche studiati per risolvere le equazioni quadratiche.

In base ai risultati del proprio lavoro, cioè in base al numero di punti ottenuti, ognuno riceverà dei voti.

Motto della lezione: “Pensiamo, pensiamo, lavoriamo e ci aiutiamo a vicenda”

(Diapositiva 2 ).

Gli insegnanti stanno ascoltando.

Aggiornamento della conoscenza.

Ragazzi, di solito iniziamo la lezione controllando i compiti.

Chi dirà che era necessario ripetere le equazioni quadratiche?

Cosa sono le equazioni quadratiche?

Quali sono?

Quali metodi per risolvere le equazioni quadratiche conosci?

Gli insegnanti rispondono alle domande e conducono un'autovalutazione delle loro conoscenze.

Generalizzazione e sistematizzazione della conoscenza

1. Ruolo di controllo reciproco.

Ecco le equazioni (diapositiva 3)

X 2 + 7 X – 18 = 0;

2 X 2 + 1 = 0;

X 2 –2 X + 9 = 0;

2 sì 2 – 3 anni + 1 = 0;

2 sì 2 = 1;

–2 X 2 – X + 1 = 0;

X 2 + 6 X = 0;

4x 2 =0;

– X 2 – 6 x=1

2 x+x 2 – 1=0

Sul tuo tavolo c'è una carta con le domande a cui devi rispondere (Appendice 1).

(diapositiva 4 ) Controllando i risultati, scambia le carte con il tuo vicino.

Rispondere alle domande

2. Lavoro frontale con la classe.

SU(diapositiva 5) vengono scritte le formule con elementi mancanti. Il compito della classe è scoprire cos'è questa formula e cosa manca nella registrazione di questa formula.

D = B ² – * UN * .

D > 0 , significa * radice.

D * 0 , significa 1 radice.

D * 0 , Significa * radici.

Rispondere alle domande

corretta conoscenza.

Risolvi equazioni da flashcard. Uno dei membri del gruppo mostrerà la soluzione alla lavagna.

Confronta le tue risposte con quelle corrette, per ogni risposta corretta - 1 punto

Risolvere equazioni

Spiega la soluzione.

Lavoro frontale con la classe

Dimmi, potresti rispondere immediatamente, senza fare calcoli, alla mia domanda: "Qual è la somma e il prodotto delle radici di un'equazione quadratica?" (Una persona alla lavagna scrive le formule del teorema di Vieta.)

(diapositiva6)

Compito successivo: trova verbalmente la somma e la differenza delle radici dell'equazione utilizzando il teorema:

(risposte: 5 e 6; 9 e 20; -3 e 2) Introduzione al metodo di risoluzione orale di alcune equazioni quadratiche.

Il teorema di Vieta è ampiamente utilizzato nelle equazioni della formaUNX 2 + Bx + c = 0.

L'uso di determinate proprietà offre vantaggi significativi per ottenere rapidamente risposte durante la risoluzione di equazioni quadratiche.

Consideriamo queste proprietà(diapositiva7)

1) UN + B+c = 0× 1 = 1,x 2 = sì/a.

5x 2 + 4x – 9 = 0; X 1 =1,x 2 = - 9/2.

2) un-B+ c = 0x 1 = -1,x 2 = - sì.

Ad esempio: 4x 2 +11x+7 = 0; X 1 = -1,x 2 = - 7/4.

(diapositiva8)

3)a in +c 0

Risolvi oralmente l'equazione: x 2 + Bx + ac = 0

Dividere le sue radici per a.

a) 2x 2 – 11x + 5 = 0.

Risolviamo oralmente l'equazione: x 2 – 11x + 10 = 0. Le sue radici sono 1 e 10. Dividi per 2.

Quindi x 1 = ,x 2 = 5.

Risposta: ; 5.

(diapositiva9)

c) 6x 2 –7x – 3 = 0

Risolviamo oralmente l'equazione: x 2 –7x – 18 = 0. Le sue radici sono -2 e 9. Dividere per 6.

Quindi x 1 = - ,x 2 = .

Risposta: -; .

Rispondere alle domande. Colmare le lacune di conoscenza

Lavorare in gruppi multi-livello

Accoglienza "Conformità"

Tecnica “Prendi un errore”.

Risolvi le equazioni utilizzando queste proprietà(diapositiva 10)

IOgruppo.

1)trova la somma delle radici dell'equazione

2x 2 – 3x + 1 = 0

2) Trova il prodotto delle radici dell'equazione

X 2 +9x+20 = 0

3) risolvere l'equazione

10x 2 – 8x - 2= 0

IIgruppo.

1)trova la somma e il prodotto delle radici dell'equazione

3x 2 – 8x + 5 = 0

Risolvere equazioni

2)x 2 + 2x -24 = 0

3)2x 2 -7x+5 = 0

IIIgruppo

Risolvi i problemi:

1)x 2 +5x-6=0

2)5x 2 -7x+2=0

3)100x 2 -99x-199=0

Risolvere equazioni

Controlla la soluzione.

Viene eseguita la correzione della conoscenza.

2. Abbina equazioni quadratiche e metodi per risolverle:

(diapositiva 11)

2x 2 – 3x + 11 = 0

7 volte 2 = 8x

X 2 – 10x + 100 = 0

X 2 –5x –6 = 0

– 2x 2 +x+14=0

-fattorizzazione

- formula generale delle radici

-Teorema di Vieta

3. Trova errori nella risoluzione delle equazioni =

I ragazzi che completano rapidamente il lavoro possono risolvere un compito aggiuntivo(diapositiva 14), scritto alla lavagna.

Dopo l'esecuzione viene effettuato un rapido controllo.(diapositiva15)

Ora conta il numero totale di punti e assegnati un voto.(diapositiva16)

30-24 punti – punteggio 5;

23-18 punti – punteggio 4;

12-17 punti –. punteggio4

E a tutti viene assegnato un voto dall'insegnante per attività, coraggio e perseveranza. Bene, se qualcuno oggi non è riuscito a ottenere punti per una valutazione positiva, allora il successo è ancora davanti a te e sarà sicuramente con te la prossima volta.

Risolvere equazioni

condurre un’autovalutazione.

Riflessione.

Chi può dire quello che abbiamo ripetuto oggi in classe?

Ti è piaciuto come l'abbiamo fatto?

Continua le frasi:

Adesso lo so per certo...

Capisco …

Ho studiato …

La mia opinione …

Tutti hanno carte colorate sul tavolo.

Se sei felice e soddisfatto della lezione, solleva una carta verde.

Se la lezione è interessante e hai lavorato attivamente, alzi un cartellino giallo.

condurre un’autovalutazione.

Compiti a casa

(diapositiva 17) Risolvere equazioni dalla raccolta di compiti

Certificazione finale statale

Diplomati del 9° grado.

AV. Semenov, A.S. Trepalin, I.V. Yashchenko

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Analisi del compito n. 4 sull'argomento: "Risoluzione di equazioni di vario tipo"

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Il compito n. 4 richiede la capacità di risolvere equazioni di vario tipo. Ragazzi, dovreste essere esperti nei metodi per risolvere correttamente le equazioni quadratiche, le equazioni razionali frazionarie e le equazioni lineari ordinarie. Dovresti anche essere bravo a eseguire operazioni con i polinomi: moltiplicare e dividere un polinomio per un polinomio. Hai bisogno della capacità di selezionare le radici di un'equazione incluse nell'area della soluzione e determinare quali radici dovrebbero essere eliminate e non prese in considerazione?

Lezioni che ti aiuteranno nella preparazione di questo compito:

1.Definizioni di base ed esempi di soluzioni di funzioni lineari.
2. Concetto e forma standard di monomio.
3. Polinomio, forma standard, riduzione, trasformazione.
4. Esempi di espressioni numeriche. Espressioni algebriche con variabili e operazioni con esse.
5. Equazioni, esempi di risoluzione di equazioni.
6. Equazioni quadratiche. Lezione in corso.
7. Equazioni razionali frazionarie. Lezione in corso.
8. Radice quadrata. Lezione in corso.

Passiamo all'analisi di esempi di soluzioni.

Esempio 1.
Trova le radici dell'equazione: $16x^2-1=0$.

Soluzione.
Si noti che ci viene fornita un'equazione quadratica, ma non completa. Il coefficiente di x è zero. Quindi saremo guidati dalla regola: "lasceremo quelle espressioni in cui c'è x al quadrato a sinistra e sposteremo tutti i numeri a destra".
Trasformiamo la nostra espressione: $16x^2=1$.

Dividiamo entrambi i lati dell'equazione per il coefficiente di x al quadrato: $x^2=\frac(1)(16)$.

Per risolvere questa equazione, abbiamo bisogno della conoscenza della radice quadrata. Estraiamo la radice, senza dimenticare che dobbiamo tenere conto anche del numero negativo: $x=±\sqrt(\frac(1)(16))=±\frac(1)(4)=±0.25$.
Risposta: $x=±0,25$.

Esempio 2.
Risolvi l'equazione: $x^2=18-7x$.

Soluzione.
Spostiamo tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione: $x^2+7x-18=0$.

Possiamo risolvere la solita equazione quadratica in due modi:
1. “frontalmente”, calcolando il discriminante;
2. utilizzando il teorema di Viette.

1 modo.
Scriviamo tutti i coefficienti dell'equazione quadratica: $a=1$, $b=7$, $c=-18$.

Troviamo il discriminante: $D=b^2-4ac=(7)^2-4*1*(-18)=49+72=121=(11)^2>0$.
Abbiamo scoperto che l'equazione ha 2 radici.
Dobbiamo solo trovare queste radici:
$x_1=\frac(-b+\sqrt(D))(2a)=\frac(-7+11)(2)=2$.
$x_2=\frac(-b-\sqrt(D))(2a)=\frac(-7-11)(2)=-9$.

Metodo 2.
Usiamo il teorema di Viette. Il teorema di Viette spesso semplifica molte volte la soluzione delle equazioni quadratiche, soprattutto quando il coefficiente $a=1$. In questo caso, il prodotto delle radici dell'equazione è uguale al coefficiente $c$, e la somma delle radici dell'equazione è uguale a meno il coefficiente di $b$:
$x_1+x_2=-\frac(b)(a)$.
$x_1*x_2=\frac(c)(a)$.

Nel nostro esempio, $с=-18$ e $b=7$. Iniziamo a ordinare le coppie di numeri il cui prodotto è uguale a meno diciotto. I primi numeri che mi vengono in mente sono nove e due. Dopo aver eseguito alcune semplici moltiplicazioni e addizioni, possiamo verificare che le radici $x=-9$ e $x=2$ sono adatte a noi.
$x_1*x_2=-9*2=-18=\frac(c)(a)$.
x$_1+x_2=-9+2=-7=-\frac(b)(a)$.
Risposta: $x=-9$, $x=2$.

Esempio 3.
Risolvi l'equazione: $x-\frac(x)(7)=\frac(15)(7)$.

Soluzione.
Ci viene data un'equazione lineare ordinaria con coefficienti frazionari. Per risolvere questa equazione devi lavorare correttamente con le frazioni ordinarie.
Il primo passo è trasformare il membro sinistro dell'equazione, semplificandola: $x-\frac(x)(7)=\frac(7x)(7)-\frac(x)(7)=\frac(6x )(7)$.
Abbiamo ottenuto l'equazione: $\frac(6x)(7)=\frac(15)(7)$.
Dividiamo il lato destro dell'equazione per il coefficiente di x: $x=\frac(\frac(15)(7))(\frac(6)(7))$.

Consideriamo la divisione separatamente: $\frac(\frac(15)(7))(\frac(6)(7))=\frac(15)(7)*\frac(7)(6)=\frac( 15 )(6)=2\frac(3)(6)=2\frac(1)(2)=$2,5.

Abbiamo ricevuto: $x=2,5$.
Risposta: $x=2,5$.

Esempio 4.
Risolvi l'equazione: $(x+2)^2=(x-4)^2$.

Soluzione.
Metodo 1.
Usiamo la formula per il quadrato della somma: $(x+2)^2=x^2+4x+4$.
$(x-4)^2=x^2-8x+16$.
Abbiamo ricevuto: $x^2+4x+4=x^2-8x+16$.
Semplifichiamo la nostra equazione:
$x^2+4x-x^2+8x=16-4$.
$12x=$12.
$x=1$.

Metodo 2.
Per risolvere questa equazione, possiamo usare la formula della differenza dei quadrati. $(x+2)^2-(x-4)^2=0$.
$(x+2+x-4)(x+2-x+4)=0$.
$(2x-2)*(6)=0$.
$2x-2=0$.
$2x=2$.
$x=1$.
Risposta: $x=1$.

Esempio 5.
Risolvi l'equazione: $\frac(9)(x-14)=\frac(14)(x-9)$.

Soluzione.
Ci viene presentata un'equazione razionale frazionaria. Quando risolvi queste equazioni, vale la pena ricordare che non puoi dividere per zero. Pertanto, le radici dell'equazione dovrebbero sempre essere controllate sostituendole al denominatore dell'equazione originale.
Usiamo la regola della moltiplicazione incrociata: $9(x-9)=14(x-14)$.
Abbiamo un'equazione lineare:
$9x-81=14x-196$.
$9x-14x=-196+81$.
$-5x=-115$.
$x=23$.
Dopo aver verificato la nostra radice, siamo convinti che i denominatori delle frazioni dell'equazione originale non svaniscono.
Risposta: $x=23$.

Esempio 6.
Trova soluzioni che soddisfino il sistema: $\begin (cases) x^2+9x-22=0, \\ x≤1 \end (cases)$.

Soluzione.
Per prima cosa, risolviamo l'equazione quadratica usando il teorema di Viette. Il prodotto delle nostre radici è $22$ e la somma è $-9$.
Selezioniamo le radici:
$-11*2=-22$.
$-11+2=-9$.
Abbiamo due radici: $x_1=-11$ e $x_2=2$. Di queste radici, la disuguaglianza $x≤1$ è soddisfatta dalla prima radice, e sarà la risposta.
Risposta: $x=-11$.

Esempio 7.
Risolvi l'equazione: $23x-60-x^2=0$.
Nella tua risposta, indica il modulo della differenza delle radici.

Soluzione.
Moltiplichiamo l'equazione originale per $-1$: $x^2-23x+60=0$.
In questa forma, l’equazione sembra molto più familiare.
Usiamo il teorema di Viette e presentiamo la nostra equazione come un prodotto di binomi:
$(x-20)(x-3)=0$.
Abbiamo due radici $x_1=20$ e $x_2=3$.
Troviamo il modulo differenziale: $|x_1-x_2|=|20-3|=|17|=17$.
Risposta: 17.

Esempio 8.
Quante radici ha l'equazione $x^6-x^2=0?$

Soluzione.
Prendiamo il grado più piccolo tra parentesi: $x^2(x^4-1)=0$.
Ora usiamo la formula della differenza dei quadrati:
$x^2 (x^2-1)(x^2+1)=0$.
E usiamo ancora la stessa formula:
$x^2 (x-1)(x+1)(x^2+1)=0$.
Questa equazione è equivalente a un insieme di equazioni: abbiamo scoperto che questa equazione ha tre radici.
Risposta: 3.

Esempio 9.
Risolvi l'equazione: $\frac((x-2)(2x+1))(2-x)=0$.
Se l'equazione ha più di una radice, scrivi quella più grande come risposta.

Soluzione.
L'equazione originale è equivalente al seguente insieme: Risolviamo ciascuna equazione: poiché il denominatore della frazione non può essere uguale a zero, una soluzione viene eliminata. Abbiamo ottenuto una radice dell'equazione $x=-0,5$.
Risposta: -0,5.

Alessandro Shabalin

! Dalla teoria alla pratica;

! Dal semplice al complesso

MAOU "Scuola Secondaria Platošin",

insegnante di matematica, Melekhina G.V.

Forma generale di un'equazione lineare: ascia + B = 0 ,

Dove UN E B– numeri (coefficienti).

Se un = 0 E b = 0, Quello 0x+ 0 = 0 – infinite radici;
Se un = 0 E b ≠ 0, Quello 0x+ b = 0– nessuna soluzione;
Se un ≠ 0 E B = 0 , Quello ascia + 0 = 0 – una radice, x = 0;
Se un ≠ 0 E B ≠ 0 , Quello ascia + B = 0 – una radice,

! Se X è alla prima potenza e non è al denominatore, allora è un'equazione lineare

! E se l'equazione lineare lo è complesso :

! I termini con X vanno a sinistra, senza X a destra.

! Queste equazioni sono anch'esso lineare .

! La proprietà principale della proporzione (trasversale).

! Apri le parentesi, con X a sinistra, senza X a destra.

se il coefficiente un = 1, allora l'equazione viene chiamata dato :

se il coefficiente B = 0 o/e c = 0, allora l'equazione viene chiamata incompleto :

! Formule di base

! Più formule

Equazione biquadratica- chiamata equazione della forma ascia 4 +bx 2 + c = 0 .

L'equazione biquadratica si riduce a equazione quadrata utilizzando la sostituzione, quindi

Otteniamo un'equazione quadratica:

Troviamo le radici e torniamo alla sostituzione:

Esempio 1:

Risolvi l'equazione x 4 +5x 2 – 36 = 0.

Soluzione:

Sostituzione: x 2 = t.

t 2 + 5t – 36 = 0. Le radici dell'equazione sono t 1 = -9 e t 2 = 4.

x2 = -9 oppure x2 = 4.

Risposta: Non ci sono radici nella prima equazione, ma nella seconda: x = ±2.

Esempio 2:

Risolvi l'equazione (2х – 1) 4 – 25(2x – 1) 2 + 144 = 0.

Soluzione:

Sostituzione: (2x – 1) 2 = t.

t 2 – 25 t + 144 = 0. Le radici dell'equazione sono t 1 = 9 e t 2 = 16.

(2x – 1) 2 = 9 o (2x – 1) 2 = 16.

2x – 1 = ±3 o 2x – 1 = ±4.

La prima equazione ha due radici: x = 2 e x = -1, anche la seconda ha due radici: x = 2,5 e x = -1,5.

Risposta: -1,5; -1; 2; 2.5.

1) X 4 - 9 X 2 = 0; 2) 4 X 4 - x2 = 0;

1) X 4 +X 2 - 2 = 0;

2) X 4 - 3 X 2 - 4 = 0; 3) 9 X 4 + 8 X 2 - 1 = 0; 4) 20 X 4 - X 2 - 1 = 0.

Risolvi le equazioni selezionando dal lato sinistro piazza piena :

1) X 4 - 20 X 2 + 64 = 0; 2) X 4 - 13 X 2 + 36 = 0; 3) X 4 - 4 X 2 + 1 = 0; 4) X 4 + 2 X 2 +1 = 0.

! Ricorda il quadrato della somma e il quadrato della differenza

Espressione razionaleè un'espressione algebrica composta da numeri e una variabile X utilizzando le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed esponenziale con esponente naturale.

Se r(x)è un'espressione razionale, quindi l'equazione r(x)=0 chiamata equazione razionale.

Algoritmo per risolvere un'equazione razionale:

1. Sposta tutti i termini dell'equazione su un lato.

2. Converti questa parte dell'equazione in una frazione algebrica p(x)/q(x)

3. Risolvi l'equazione p(x)=0

4. Per ogni radice dell'equazione p(x)=0 verificare se soddisfa la condizione q(x)≠0 o no. Se sì, allora questa è la radice dell'equazione data; in caso contrario, si tratta di una radice estranea e non dovrebbe essere inclusa nella risposta.

! Ricordiamo la soluzione dell'equazione razionale frazionaria:

! Per risolvere le equazioni è utile ricordare le formule di moltiplicazione abbreviate:

Se un'equazione contiene una variabile sotto il segno di radice quadrata, viene chiamata l'equazione irrazionale .

Metodo per elevare al quadrato entrambi i membri di un'equazione- il metodo principale per risolvere equazioni irrazionali.

Dopo aver risolto l'equazione razionale risultante, è necessario controllo , estirpare eventuali radici estranee.

Risposta: 5; 4

Un altro esempio:

Visita medica:

L'espressione non ha significato.

Risposta: nessuna soluzione.

Nel termine “equazione quadratica”, la parola chiave è “quadratica”. Ciò significa che l'equazione deve necessariamente contenere una variabile (quella stessa x) al quadrato e non devono esserci x elevate alla terza (o maggiore) potenza.

La soluzione di molte equazioni si riduce alla risoluzione di equazioni quadratiche.

Impariamo a determinare che questa è un'equazione quadratica e non qualche altra equazione.

Esempio 1.

Eliminiamo il denominatore e moltiplichiamo ciascun termine dell'equazione per

Spostiamo tutto sul lato sinistro e disponiamo i termini in ordine decrescente di potenze di X

Ora possiamo dire con sicurezza che questa equazione è quadratica!

Esempio 2.

Moltiplicare i lati sinistro e destro per:

Questa equazione, sebbene fosse originariamente presente, non è quadratica!

Esempio 3.

Moltiplichiamo il tutto per:

Allarmante? Il quarto e il secondo grado... Tuttavia, se facciamo una sostituzione, vedremo che abbiamo una semplice equazione quadratica:

Esempio 4.

Sembra che sia lì, ma diamo un'occhiata più da vicino. Spostiamo tutto sul lato sinistro:

Vedi, è ridotta e ora è una semplice equazione lineare!

Ora prova a determinare tu stesso quali delle seguenti equazioni sono quadratiche e quali no:

Esempi:

Risposte:

piazza;
piazza;
non quadrato;
non quadrato;
non quadrato;
piazza;
non quadrato;
piazza.

I matematici dividono convenzionalmente tutte le equazioni quadratiche nei seguenti tipi:

Equazioni quadratiche complete- equazioni in cui i coefficienti e, così come il termine libero c, non sono uguali a zero (come nell'esempio). Inoltre, tra le equazioni quadratiche complete ci sono dato- queste sono equazioni in cui il coefficiente (l'equazione dell'esempio uno non è solo completa, ma anche ridotta!)

Equazioni quadratiche incomplete- equazioni in cui il coefficiente e/o il termine libero c sono pari a zero:
Sono incompleti perché manca qualche elemento. Ma l'equazione deve sempre contenere x al quadrato!!! Altrimenti non sarà più un'equazione quadratica, ma qualche altra equazione.

Perché hanno inventato una tale divisione? Sembrerebbe che ci sia una X al quadrato, e va bene. Questa divisione è determinata dai metodi di soluzione. Diamo un'occhiata a ciascuno di essi in modo più dettagliato.

Risoluzione di equazioni quadratiche incomplete

Innanzitutto, concentriamoci sulla risoluzione delle equazioni quadratiche incomplete: sono molto più semplici!

Esistono tipi di equazioni quadratiche incomplete:

, in questa equazione il coefficiente è uguale.
, in questa equazione il termine libero è uguale a.
, in questa equazione il coefficiente e il termine libero sono uguali.

1. io. Dato che sappiamo come calcolare la radice quadrata, esprimiamo da questa equazione

L'espressione può essere negativa o positiva. Un numero quadrato non può essere negativo, perché moltiplicando due numeri negativi o due numeri positivi, il risultato sarà sempre un numero positivo, quindi: se, allora l'equazione non ha soluzioni.

E se, allora otteniamo due radici. Non è necessario memorizzare queste formule. La cosa principale è che devi sapere e ricordare sempre che non può essere inferiore.

Proviamo a risolvere alcuni esempi.

Esempio 5:

Risolvi l'equazione

Ora non resta che estrarre la radice dai lati sinistro e destro. Dopotutto, ti ricordi come estrarre le radici?

Risposta:

Non dimenticare mai le radici con segno negativo!!!

Esempio 6:

Risolvi l'equazione

Risposta:

Esempio 7:

Risolvi l'equazione

OH! Il quadrato di un numero non può essere negativo, il che significa che l'equazione

senza radici!

Per tali equazioni che non hanno radici, i matematici hanno inventato un'icona speciale: (insieme vuoto). E la risposta può essere scritta così:

Risposta:

Pertanto, questa equazione quadratica ha due radici. Non ci sono restrizioni qui, poiché non abbiamo estratto la radice.
Esempio 8:

Risolvi l'equazione

Togliamo il fattore comune tra parentesi:

Così,

Questa equazione ha due radici.

Risposta:

Il tipo più semplice di equazioni quadratiche incomplete (anche se sono tutte semplici, giusto?). Ovviamente questa equazione ha sempre una sola radice:

Faremo a meno di esempi qui.

Risoluzione di equazioni quadratiche complete

Ti ricordiamo che un'equazione quadratica completa è un'equazione della forma equazione dove

Risolvere equazioni quadratiche complete è un po' più difficile (solo un po') di queste.

Ricordare, Qualsiasi equazione quadratica può essere risolta utilizzando un discriminante! Anche incompleto.

Gli altri metodi ti aiuteranno a farlo più velocemente, ma se hai problemi con le equazioni quadratiche, prima padroneggia la soluzione utilizzando il discriminante.

1. Risolvere equazioni quadratiche utilizzando un discriminante.

Risolvere equazioni quadratiche usando questo metodo è molto semplice; la cosa principale è ricordare la sequenza di azioni e un paio di formule.

Se, allora l'equazione ha una radice, devi prestare particolare attenzione al passaggio. Discriminante () ci dice il numero di radici dell'equazione.

Se, la formula nel passaggio verrà ridotta a. Pertanto, l'equazione avrà solo una radice.
Se, allora non saremo in grado di estrarre la radice del discriminante nel passaggio. Ciò indica che l'equazione non ha radici.

Torniamo alle nostre equazioni e guardiamo alcuni esempi.

Esempio 9:

Risolvi l'equazione

Passo 1 saltiamo.

Passo 2.

Troviamo il discriminante:

Ciò significa che l'equazione ha due radici.

Passaggio 3.

Risposta:

Esempio 10:

Risolvi l'equazione

L'equazione è presentata in forma standard, quindi Passo 1 saltiamo.

Passo 2.

Troviamo il discriminante:

Ciò significa che l'equazione ha una radice.

Risposta:

Esempio 11:

Risolvi l'equazione

L'equazione è presentata in forma standard, quindi Passo 1 saltiamo.

Passo 2.

Troviamo il discriminante:

Ciò significa che non saremo in grado di estrarre la radice del discriminante. Non ci sono radici dell'equazione.

Ora sappiamo come scrivere correttamente tali risposte.

Risposta: senza radici

2. Risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando il teorema di Vieta.

Se ricordi, esiste un tipo di equazione che si chiama ridotta (quando il coefficiente a è uguale a):

Tali equazioni sono molto facili da risolvere utilizzando il teorema di Vieta:

Somma di radici dato l'equazione quadratica è uguale e il prodotto delle radici è uguale.

Esempio 12:

Risolvi l'equazione

Questa equazione può essere risolta utilizzando il teorema di Vieta perché .

La somma delle radici dell'equazione è uguale, cioè otteniamo la prima equazione:

E il prodotto è uguale a:

Componiamo e risolviamo il sistema:

E. L'importo è pari a;
E. L'importo è pari a;
E. L'importo è uguale.

e sono la soluzione del sistema:

Risposta: ; .

Esempio 13:

Risolvi l'equazione

Risposta:

Esempio 14:

Risolvi l'equazione

L'equazione è data, il che significa:

Risposta:

EQUAZIONI QUADRATICHE. LIVELLO MEDIO

Cos'è un'equazione quadratica?

In altre parole, un'equazione quadratica è un'equazione nella forma in cui - l'incognita - alcuni numeri e.

Il numero è chiamato il più alto o primo coefficiente equazione quadrata, - secondo coefficiente, UN - membro gratuito.

Perché? Perché se l'equazione diventa immediatamente lineare, perché scomparirà.

In questo caso, e può essere uguale a zero. In questa sedia l'equazione è detta incompleta. Se tutti i termini sono a posto, l’equazione è completa.

Soluzioni a vari tipi di equazioni quadratiche

Metodi per risolvere equazioni quadratiche incomplete:

Per prima cosa, diamo un'occhiata ai metodi per risolvere equazioni quadratiche incomplete: sono più semplici.

Possiamo distinguere i seguenti tipi di equazioni:

I., in questa equazione il coefficiente e il termine libero sono uguali.

II. , in questa equazione il coefficiente è uguale.

III. , in questa equazione il termine libero è uguale a.

Ora diamo un'occhiata alla soluzione per ciascuno di questi sottotipi.

Ovviamente questa equazione ha sempre una sola radice:

Un numero quadrato non può essere negativo, perché quando moltiplichi due numeri negativi o due numeri positivi, il risultato sarà sempre un numero positivo. Ecco perché:

se, allora l'equazione non ha soluzioni;

se abbiamo due radici

Non è necessario memorizzare queste formule. La cosa principale da ricordare è che non può essere inferiore.

Esempi:

Soluzioni:

Risposta:

Non dimenticare mai le radici con un segno negativo!

Il quadrato di un numero non può essere negativo, il che significa che l'equazione

senza radici.

Per scrivere brevemente che un problema non ha soluzioni, utilizziamo l'icona del set vuoto.

Risposta:

Quindi, questa equazione ha due radici: e.

Risposta:

Togliamo il fattore comune tra parentesi:

Il prodotto è uguale a zero se almeno uno dei fattori è uguale a zero. Ciò significa che l’equazione ha una soluzione quando:

Quindi, questa equazione quadratica ha due radici: e.

Esempio:

Risolvi l'equazione.

Soluzione:

Fattorizziamo il lato sinistro dell'equazione e troviamo le radici:

Risposta:

Metodi per risolvere equazioni quadratiche complete:

1. Discriminante

Risolvere le equazioni quadratiche in questo modo è facile, l'importante è ricordare la sequenza di azioni e un paio di formule. Ricorda, qualsiasi equazione quadratica può essere risolta utilizzando un discriminante! Anche incompleto.

Hai notato la radice del discriminante nella formula per le radici? Ma il discriminante può essere negativo. Cosa fare? Dobbiamo prestare particolare attenzione al passaggio 2. Il discriminante ci dice il numero di radici dell'equazione.

Se, allora l'equazione ha radici:
Se, allora l'equazione ha le stesse radici e, in effetti, una radice:
Tali radici sono chiamate radici doppie.
Se, allora la radice del discriminante non viene estratta. Ciò indica che l'equazione non ha radici.

Perché sono possibili numeri diversi di radici? Passiamo al significato geometrico dell'equazione quadratica. Il grafico della funzione è una parabola:

In un caso speciale, che è un'equazione quadratica, . Ciò significa che le radici di un'equazione quadratica sono i punti di intersezione con l'asse delle ascisse (asse). Una parabola può non intersecare affatto l'asse, oppure può intersecarlo in uno (quando il vertice della parabola giace sull'asse) o in due punti.

Inoltre, il coefficiente è responsabile della direzione dei rami della parabola. Se, allora i rami della parabola sono diretti verso l'alto e se, quindi verso il basso.

Esempi:

Soluzioni:

Risposta:

Risposta: .

Risposta:

Ciò significa che non ci sono soluzioni.

Risposta: .

2. Teorema di Vieta

Usare il teorema di Vieta è molto semplice: basta scegliere una coppia di numeri il cui prodotto è uguale al termine libero dell'equazione, e la somma è uguale al secondo coefficiente preso con il segno opposto.

È importante ricordare che il teorema di Vieta può essere applicato solo in equazioni quadratiche ridotte ().

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi:

Esempio 1:

Risolvi l'equazione.

Soluzione:

Questa equazione può essere risolta utilizzando il teorema di Vieta perché . Altri coefficienti: ; .

La somma delle radici dell'equazione è:

E il prodotto è uguale a:

Selezioniamo coppie di numeri il cui prodotto è uguale e controlliamo se la loro somma è uguale:

E. L'importo è pari a;
E. L'importo è pari a;
E. L'importo è uguale.

e sono la soluzione del sistema:

Quindi, e sono le radici della nostra equazione.

Risposta: ; .

Esempio n.2:

Soluzione:

Selezioniamo le coppie di numeri che danno il prodotto e poi controlliamo se la loro somma è uguale:

e: danno in totale.

e: danno in totale. Per ottenerlo basta cambiare semplicemente i segni delle presunte radici: e, in fondo, il prodotto.

Risposta:

Esempio n.3:

Soluzione:

Il termine libero dell'equazione è negativo e quindi il prodotto delle radici è un numero negativo. Ciò è possibile solo se una delle radici è negativa e l'altra è positiva. Pertanto la somma delle radici è uguale a differenze dei loro moduli.

Selezioniamo coppie di numeri che danno il prodotto e la cui differenza è uguale a:

e: la loro differenza è uguale - non si adatta;

e: - non idoneo;

e: - idoneo. Non resta che ricordare che una delle radici è negativa. Poiché la loro somma deve essere uguale, la radice con modulo minore deve essere negativa: . Controlliamo:

Risposta:

Esempio n.4:

Risolvi l'equazione.

Soluzione:

L'equazione è data, il che significa:

Il termine libero è negativo e quindi il prodotto delle radici è negativo. E questo è possibile solo quando una radice dell'equazione è negativa e l'altra è positiva.

Selezioniamo coppie di numeri il cui prodotto è uguale e quindi determiniamo quali radici dovrebbero avere un segno negativo:

Ovviamente solo le radici e sono adatte alla prima condizione:

Risposta:

Esempio n.5:

Risolvi l'equazione.

Soluzione:

L'equazione è data, il che significa:

La somma delle radici è negativa, il che significa che almeno una delle radici è negativa. Ma poiché il loro prodotto è positivo, significa che entrambe le radici hanno un segno meno.

Selezioniamo coppie di numeri il cui prodotto è uguale a:

Ovviamente, le radici sono i numeri e.

Risposta:

D'accordo, è molto conveniente inventare le radici oralmente, invece di contare questo brutto discriminante. Prova a usare il teorema di Vieta il più spesso possibile.

Ma il teorema di Vieta serve per facilitare e accelerare la ricerca delle radici. Per poter trarre vantaggio dal suo utilizzo, è necessario portare le azioni all'automaticità. E per questo, risolvi altri cinque esempi. Ma non imbrogliare: non puoi usare un discriminante! Solo il teorema di Vieta:

Soluzioni ai compiti per il lavoro indipendente:

Attività 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Secondo il teorema di Vieta:

Come di consueto iniziamo la selezione con il brano:

Non adatto a causa dell'importo;

: l'importo è proprio quello di cui hai bisogno.

Risposta: ; .

Compito 2.

E ancora il nostro teorema di Vieta preferito: la somma deve essere uguale e il prodotto deve essere uguale.

Ma poiché non deve essere, ma, cambiamo i segni delle radici: e (in totale).

Risposta: ; .

Compito 3.

Hmm... Dov'è quello?

È necessario spostare tutti i termini in un'unica parte:

La somma delle radici è uguale al prodotto.

Ok, fermati! L'equazione non è data. Ma il teorema di Vieta è applicabile solo nelle equazioni date. Quindi prima devi dare un'equazione. Se non puoi guidare, abbandona questa idea e risolvila in un altro modo (ad esempio, attraverso un discriminante). Permettimi di ricordarti che dare un'equazione quadratica significa rendere uguale il coefficiente principale:

Grande. Allora la somma delle radici è uguale a e il prodotto.

Qui scegliere è facile come sgusciare le pere: dopotutto è un numero primo (scusate la tautologia).

Risposta: ; .

Compito 4.

Il membro libero è negativo. Cosa c'è di speciale in questo? E il fatto è che le radici avranno segni diversi. E ora, durante la selezione, controlliamo non la somma delle radici, ma la differenza nei loro moduli: questa differenza è uguale, ma un prodotto.

Quindi, le radici sono uguali a e, ma una di esse è meno. Il teorema di Vieta ci dice che la somma delle radici è uguale al secondo coefficiente con segno opposto, cioè. Ciò significa che la radice più piccola avrà un segno meno: e, poiché.

Risposta: ; .

Compito 5.

Cosa dovresti fare prima? Esatto, fornisci l'equazione:

Ancora: selezioniamo i fattori del numero e la loro differenza dovrebbe essere uguale a:

Le radici sono uguali a e, ma una di esse è meno. Quale? La loro somma dovrebbe essere uguale, il che significa che il meno avrà una radice più grande.

Risposta: ; .

Vorrei riassumere:

Il teorema di Vieta è utilizzato solo nelle equazioni quadratiche fornite.
Usando il teorema di Vieta, puoi trovare le radici mediante selezione, oralmente.
Se l'equazione non è data o non viene trovata una coppia adatta di fattori del termine libero, allora non ci sono radici intere ed è necessario risolverla in un altro modo (ad esempio tramite un discriminante).

3. Metodo per selezionare un quadrato completo

Se tutti i termini contenenti l'incognita sono rappresentati sotto forma di termini di formule di moltiplicazione abbreviate - il quadrato della somma o della differenza - quindi dopo aver sostituito le variabili, l'equazione può essere presentata sotto forma di un'equazione quadratica incompleta del tipo.

Per esempio:

Esempio 1:

Risolvi l'equazione: .

Soluzione:

Risposta:

Esempio 2:

Risolvi l'equazione: .

Soluzione:

Risposta:

In generale, la trasformazione sarà simile a questa:

Ciò implica: .

Non ti ricorda niente? Questa è una cosa discriminatoria! È esattamente così che abbiamo ottenuto la formula discriminante.

EQUAZIONI QUADRATICHE. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI

Equazione quadrata- questa è un'equazione della forma, dove - l'incognita, - i coefficienti dell'equazione quadratica, - il termine libero.

Equazione quadratica completa- un'equazione in cui i coefficienti non sono uguali a zero.

Equazione quadratica ridotta- un'equazione in cui il coefficiente, cioè: .

Equazione quadratica incompleta- un'equazione in cui il coefficiente e/o il termine libero c sono pari a zero:

se il coefficiente, l'equazione sarà: ,
se esiste un termine libero, l'equazione ha la forma: ,
se e, l'equazione è simile a: .

1. Algoritmo per la risoluzione di equazioni quadratiche incomplete

1.1. Un'equazione quadratica incompleta della forma, dove:

1) Esprimiamo l'ignoto: ,

2) Controlla il segno dell'espressione:

se, allora l'equazione non ha soluzioni,
se, allora l'equazione ha due radici.

1.2. Un'equazione quadratica incompleta della forma, dove:

1) Togliamo il fattore comune tra parentesi: ,

2) Il prodotto è uguale a zero se almeno uno dei fattori è uguale a zero. Pertanto l’equazione ha due radici:

1.3. Un'equazione quadratica incompleta della forma, dove:

Questa equazione ha sempre una sola radice: .

2. Algoritmo per la risoluzione di equazioni quadratiche complete della forma dove

2.1. Soluzione mediante discriminante

1) Portiamo l'equazione nella forma standard: ,

2) Calcoliamo il discriminante utilizzando la formula: , che indica il numero di radici dell'equazione:

3) Trova le radici dell'equazione:

se, allora l'equazione ha radici, che si trovano dalla formula:
se, allora l'equazione ha una radice, che si trova dalla formula:
se, allora l'equazione non ha radici.

2.2. Soluzione utilizzando il teorema di Vieta

La somma delle radici dell'equazione quadratica ridotta (equazione della forma dove) è uguale e il prodotto delle radici è uguale, ad es. , UN.

2.3. Soluzione mediante il metodo di selezione di un quadrato completo

Se un'equazione quadratica della forma ha radici, può essere scritta nella forma: .

Bene, l'argomento è finito. Se stai leggendo queste righe significa che sei molto figo.

Perché solo il 5% delle persone è in grado di padroneggiare qualcosa da solo. E se leggi fino alla fine, allora sei in questo 5%!

Ora la cosa più importante.

Hai capito la teoria su questo argomento. E, ripeto, questo... è semplicemente fantastico! Sei già migliore della stragrande maggioranza dei tuoi coetanei.

Il problema è che questo potrebbe non bastare...

Per quello?

Per aver superato con successo l'Esame di Stato Unificato, per entrare all'università con un budget limitato e, SOPRATTUTTO, per la vita.

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Le persone che hanno ricevuto una buona istruzione guadagnano molto di più di quelle che non l’hanno ricevuta. Questa è statistica.

Ma questa non è la cosa principale.

La cosa principale è che sono PIÙ FELICI (esistono studi del genere). Forse perché davanti a loro si aprono molte più opportunità e la vita diventa più luminosa? Non lo so...

Ma pensa tu stesso...

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