Dug put do razvoja vještina rješavanje jednadžbi počinje rješavanjem prvih i relativno jednostavnih jednadžbi. Pod takvim jednadžbama podrazumijevamo jednadžbe kod kojih je na lijevoj strani zbroj, razlika, umnožak ili kvocijent dvaju brojeva od kojih je jedan nepoznat, a na desnoj strani broj. Odnosno, ove jednadžbe sadrže nepoznat pojam, umanjenik, umanjenik, množitelj, dividenda ili djelitelj. O rješavanju takvih jednadžbi raspravljat ćemo u ovom članku.
Ovdje ćemo dati pravila koja nam omogućuju pronaći nepoznati član, množitelj itd. Štoviše, odmah ćemo razmotriti primjenu ovih pravila u praksi, rješavajući karakteristične jednadžbe.
Navigacija po stranici.
Dakle, zamijenimo broj 5 umjesto x u izvornoj jednadžbi 3 + x = 8, dobijemo 3 + 5 = 8 - ova jednakost je točna, dakle, ispravno smo pronašli nepoznati član. Ako smo tijekom provjere dobili netočnu brojčanu jednakost, to bi nam značilo da smo netočno riješili jednadžbu. Glavni razlozi za to mogu biti primjena pogrešnog pravila ili računske pogreške.
Kako pronaći nepoznati umanjenik, umanjenik?
Veza između zbrajanja i oduzimanja brojeva, koju smo već spomenuli u prethodnom odlomku, omogućuje nam da dobijemo pravilo za pronalaženje nepoznatog umanjenika preko poznatog umanjenika i razlike, kao i pravilo za pronalaženje nepoznatog umanjenika preko poznatog umanjenika. i razlika. Redom ćemo ih formulirati i odmah dati rješenja odgovarajućih jednadžbi.
Da biste pronašli nepoznati umanjenik, potrebno je dodati umanjenik razlici.
Na primjer, razmotrimo jednadžbu x−2=5 . Sadrži nepoznati minuend. Gornje pravilo nam govori da da bismo ga pronašli, moramo poznati oduzetak 2 dodati poznatoj razlici 5, imamo 5+2=7. Dakle, traženi minuend je jednak sedam.
Ako izostavite objašnjenja, rješenje se piše na sljedeći način:
x−2=5 ,
x=5+2 ,
x=7 .
Radi samokontrole izvršit ćemo provjeru. Pronađenu reduciranu zamijenimo u izvornu jednadžbu i dobijemo brojčanu jednakost 7−2=5. Točno je, dakle, možemo biti sigurni da smo ispravno odredili vrijednost nepoznatog umanjenika.
Možete prijeći na traženje nepoznatog subtrahenda. Nalazi se zbrajanjem sljedeće pravilo: da bismo pronašli nepoznati umanjenik, potrebno je od umanjenika oduzeti razliku.
Jednadžbu oblika 9−x=4 rješavamo koristeći napisano pravilo. U ovoj jednadžbi nepoznanica je subtrahend. Da bismo ga pronašli, trebamo oduzeti poznatu razliku 4 od poznatog smanjenog 9 , imamo 9−4=5 . Dakle, traženi subtrahend je jednak pet.
Evo kratke verzije rješenja ove jednadžbe:
9−x=4 ,
x=9−4 ,
x=5 .
Ostaje samo provjeriti ispravnost pronađenog subtrahenda. Napravimo provjeru, za koju u izvornu jednadžbu zamijenimo pronađenu vrijednost 5 umjesto x, te dobijemo brojčanu jednakost 9−5=4. Točno je, stoga je vrijednost subtrahenda koju smo pronašli točna.
I prije nego prijeđemo na sljedeće pravilo, napominjemo da se u 6. razredu razmatra pravilo za rješavanje jednadžbi koje vam omogućuje prijenos bilo kojeg člana iz jednog dijela jednadžbe u drugi s suprotnog predznaka. Dakle, sva gore razmatrana pravila za pronalaženje nepoznatog pojma, smanjenog i oduzetog, u potpunosti su u skladu s njim.
Da biste pronašli nepoznati faktor, trebate...
Pogledajmo jednadžbe x 3=12 i 2 y=6 . U njima nepoznat broj je faktor na lijevoj strani, a umnožak i drugi faktor su poznati. Da biste pronašli nepoznati faktor, možete koristiti sljedeće pravilo: da biste pronašli nepoznati faktor, morate umnožak podijeliti s poznatim faktorom.
Ovo pravilo temelji se na činjenici da smo dijeljenju brojeva dali značenje suprotno od značenja množenja. Odnosno, postoji veza između množenja i dijeljenja: iz jednakosti a b=c , u kojoj je a≠0 i b≠0, slijedi c:a=b i c:b=c , i obrnuto.
Na primjer, pronađimo nepoznati faktor jednadžbe x·3=12 . Prema pravilu, trebamo podijeliti poznati umnožak 12 s poznatim faktorom 3. Učinimo : 12:3=4 . Dakle, nepoznati faktor je 4.
Ukratko, rješenje jednadžbe zapisano je kao niz jednakosti:
x 3=12,
x=12:3 ,
x=4 .
Također je poželjno provjeriti rezultat: zamijenimo pronađenu vrijednost umjesto slova u izvornoj jednadžbi, dobivamo 4 3 \u003d 12 - točnu numeričku jednakost, tako da smo ispravno pronašli vrijednost nepoznatog faktora.
I još nešto: postupajući u skladu s proučavanim pravilom, mi zapravo izvodimo dijeljenje oba dijela jednadžbe poznatim množiteljem koji nije nula. U 6. razredu će se reći da se oba dijela jednadžbe mogu pomnožiti i podijeliti s istim brojem koji nije nula, to ne utječe na korijene jednadžbe.
Kako pronaći nepoznati dividendu, djelitelj?
U sklopu naše teme ostaje nam otkriti kako pronaći nepoznati djelitelj s poznatim djeliteljem i kvocijentom, kao i kako pronaći nepoznati djelitelj s poznatim djeliteljem i kvocijentom. Odnos između množenja i dijeljenja koji je već spomenut u prethodnom odlomku omogućuje vam da odgovorite na ova pitanja.
Da biste pronašli nepoznatu dividendu, morate kvocijent pomnožiti s djeliteljem.
Razmotrimo njegovu primjenu na primjeru. Riješite jednadžbu x:5=9 . Da bismo pronašli nepoznati djeljiv ove jednadžbe, potrebno je, prema pravilu, poznati kvocijent 9 pomnožiti s poznatim djeliteljem 5, odnosno izvršiti množenje prirodni brojevi: 9 5=45 . Dakle, željena dividenda je 45.
Pokažimo kratku notaciju rješenja:
x:5=9 ,
x=9 5 ,
x=45 .
Provjera potvrđuje da je vrijednost nepoznate dividende ispravno pronađena. Doista, kada se umjesto varijable x u izvornu jednadžbu zamijeni broj 45, to se pretvara u ispravnu numeričku jednakost 45:5=9.
Napominjemo da se analizirano pravilo može tumačiti kao množenje oba dijela jednadžbe s poznatim djeliteljem. Takva transformacija ne utječe na korijene jednadžbe.
Prijeđimo na pravilo za pronalaženje nepoznatog djelitelja: da biste pronašli nepoznati djelitelj, podijelite dividendu s kvocijentom.
Razmotrite primjer. Pronađite nepoznati djelitelj iz jednadžbe 18:x=3 . Da bismo to učinili, moramo podijeliti poznatu dividendu 18 s poznatim kvocijentom 3, imamo 18:3=6. Dakle, traženi djelitelj je jednak šest.
Rješenje se također može formulirati na sljedeći način:
18:x=3 ,
x=18:3 ,
x=6 .
Provjerimo pouzdanost ovog rezultata: 18:6=3 je točna numerička jednakost, dakle, korijen jednadžbe je ispravno pronađen.
Jasno je da se ovo pravilo može primijeniti samo kada je kvocijent različit od nule, kako ne bi došlo do dijeljenja s nulom. Kad je kvocijent nula, moguća su dva slučaja. Ako je u ovom slučaju dividenda jednaka nuli, odnosno jednadžba ima oblik 0:x=0 , tada ova jednadžba zadovoljava svaku vrijednost djelitelja koja nije nula. Drugim riječima, korijeni takve jednadžbe su bilo koji brojevi koji nisu jednaki nuli. Ako je, kada je kvocijent jednak nuli, dividenda različita od nule, tada se za bilo koju vrijednost djelitelja izvorna jednadžba ne pretvara u pravu numeričku jednakost, odnosno jednadžba nema korijena. Za ilustraciju predstavljamo jednadžbu 5:x=0, ona nema rješenja.
Pravila dijeljenja
Dosljedna primjena pravila za pronalaženje nepoznatog člana, umanjenika, oduzimača, množitelja, dividende i djelitelja omogućuje rješavanje jednadžbi s jednom varijablom više od složeni tip. Pozabavimo se time na primjeru.
Razmotrimo jednadžbu 3 x+1=7 . Prvo možemo pronaći nepoznati član 3 x , za to trebamo poznati član 1 oduzeti od zbroja 7, dobivamo 3 x=7−1 i zatim 3 x=6 . Sada ostaje pronaći nepoznati faktor dijeljenjem umnoška od 6 sa poznatim faktorom 3 , imamo x=6:3 , odakle je x=2 . Dakle, pronađen je korijen izvorne jednadžbe.
Za učvršćivanje gradiva donosimo kratko rješenje još jedne jednadžbe (2·x−7):3−5=2 .
(2 x−7):3−5=2 ,
(2 x−7):3=2+5 ,
(2 x−7):3=7 ,
2 x−7=7 3 ,
2x−7=21 ,
2x=21+7 ,
2x=28 ,
x=28:2 ,
x=14 .
Bibliografija.
- Matematika.. 4. razred. Proc. za opće obrazovanje institucija. U 2 sata, 1. dio / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova i dr.] - 8. izd. - M.: Obrazovanje, 2011. - 112 str.: ilustr. - (Ruska škola). - ISBN 978-5-09-023769-7.
- Matematika: studije. za 5 ćelija. opće obrazovanje institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
| P. | NA. | IZ. |
236m?(236+95)m?(H.-108)m
Na glavno pitanje zadatka Koliko je metara tkanine trgovina prodala u 3 dana? ne možemo odmah odgovoriti jer ne znamo koliko je metara tkanine trgovina prodala u utorak i srijedu. Znajući da u ponedjeljak je trgovina prodala 236 m tkanine, au utorak - 95 m više nego u ponedjeljak, možemo saznati koliko je metara tkanine trgovina prodala u utorak zbrajanjem, potiču nas riječi __ više. Znajući koliko je metara tkanine trgovina prodala u utorak, možemo saznati koliko je metara tkanine prodala u srijedu. Izjava zadatka kaže: u utorak - 95 m više nego u ponedjeljak i 108 m više nego u srijedu . Riječ sugerira da je to neizravno stanje i . Dakle, srijeda 108 m manje nego u utorak. Pronalazimo radnju oduzimanja, potiču nas riječi __ manje. Znajući koliko je tkanina trgovina prodala u utorak i srijedu, možemo odgovoriti na glavno pitanje problema Koliko je metara tkanine trgovina prodala u 3 dana? radnja zbrajanja za pronalaženje cjeline je zbrajanje dijelova (zbrajanje 3 dijela). Problem se rješava u tri koraka...
Da biste naučili kako brzo i uspješno rješavati jednadžbe, morate početi od najvišeg jednostavna pravila i primjeri. Prije svega treba naučiti rješavati jednadžbe od kojih je lijevo razlika, zbroj, kvocijent ili umnožak nekih brojeva s jednom nepoznatom, a desno drugi broj. Drugim riječima, u ovim jednadžbama postoji jedan nepoznati član i ili umanjenik s umanjenikom, ili djeljiv s djeliteljem, itd. Upravo o jednadžbama ovog tipa ćemo razgovarati s vama.
Ovaj je članak posvećen osnovnim pravilima koja vam omogućuju pronalaženje faktora, nepoznatih pojmova itd. Odmah ćemo objasniti sve teorijske odredbe s konkretnim primjerima.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pronalaženje nepoznatog člana
Recimo da imamo neki broj kuglica u dvije vaze, recimo 9 . Znamo da se u drugoj vazi nalaze 4 klikera. Kako pronaći količinu u drugom? Zapišimo ovaj problem u matematičkom obliku, označavajući broj koji treba pronaći kao x. Prema izvornom uvjetu, ovaj broj zajedno sa 4 čini 9, tako da možemo napisati jednadžbu 4 + x = 9. S lijeve strane dobili smo zbroj s jednim nepoznatim članom, s desne vrijednost tog zbroja. Kako pronaći x? Da biste to učinili, morate koristiti pravilo:
Definicija 1
Da biste pronašli nepoznati član, od zbroja oduzmite poznati.
U ovom slučaju oduzimanju dajemo značenje koje je suprotno od zbrajanja. Drugim riječima, postoji određena veza između operacija zbrajanja i oduzimanja, koja se doslovno može izraziti na sljedeći način: ako a + b \u003d c, tada c - a \u003d b i c - b \u003d a, i obrnuto, iz izraza c - a \u003d b i c − b = a možemo zaključiti da je a + b = c .
Poznavajući ovo pravilo, možemo pronaći jedan nepoznati član pomoću poznatog i zbroja. Koji pojam poznajemo, prvi ili drugi, u ovom slučaju nije bitno. Pogledajmo kako ovo pravilo primijeniti u praksi.
Primjer 1
Uzmimo jednadžbu koju smo dobili gore: 4 + x = 9. Prema pravilu, od poznatog zbroja, jednakog 9, trebamo oduzeti poznati član, jednak 4. Oduzmi jedan prirodni broj od drugog: 9 - 4 = 5 . Dobili smo pojam koji nam je potreban, jednak 5.
Obično se rješenja takvih jednadžbi pišu na sljedeći način:
- Prvo se piše izvorna jednadžba.
- Zatim zapisujemo jednadžbu koju smo dobili nakon što smo primijenili pravilo za izračunavanje nepoznatog člana.
- Nakon toga napišemo jednadžbu koja je nastala nakon svih radnji s brojevima.
Ovakav oblik pisanja potreban je kako bi se ilustrirala uzastopna zamjena izvorne jednadžbe ekvivalentnim i kako bi se prikazao proces pronalaženja korijena. Rješenje naše gornje jednostavne jednadžbe bilo bi ispravno napisano kao:
4 + x = 9 , x = 9 − 4 , x = 5 .
Možemo provjeriti ispravnost dobivenog odgovora. Zamijenimo ono što smo dobili u izvornoj jednadžbi i vidimo hoće li iz nje proizaći ispravna numerička jednakost. Zamijenite 5 u 4 + x = 9 i dobit ćete: 4 + 5 = 9 . Jednakost 9 = 9 je točna, što znači da je nepoznati član točno pronađen. Ako se jednakost pokaže pogrešnom, treba se vratiti na rješenje i još jednom ga provjeriti, jer je to znak pogreške. U pravilu se najčešće radi o računskoj pogrešci ili primjeni netočnog pravila.
Pronalaženje nepoznatog umanjenika ili umanjenika
Kao što smo spomenuli u prvom odlomku, postoji određeni odnos između procesa zbrajanja i oduzimanja. Uz njegovu pomoć možete formulirati pravilo koje će vam pomoći pronaći nepoznati umanjenik kada znamo razliku i umanjenik, odnosno nepoznati umanjenik preko umanjenika ili razlike. Zapisujemo ova dva pravila redom i pokazujemo kako ih primijeniti za rješavanje problema.
Definicija 2
Da biste pronašli nepoznati umanjenik, dodajte umanjenik razlici.
Primjer 2
Na primjer, imamo jednadžbu x - 6 = 10 . Smanjena nepoznata. Prema pravilu, razlici 10 trebamo dodati oduzeto 6, dobivamo 16. To jest, izvorni minuend je šesnaest. Napišimo rješenje u cijelosti:
x − 6 = 10 , x = 10 + 6 , x = 16 .
Provjerimo rezultat dodavanjem dobivenog broja izvornoj jednadžbi: 16 - 6 = 10. Jednakost 16 - 16 bit će točna, što znači da smo sve točno izračunali.
Definicija 3
Da biste pronašli nepoznati umanjenik, oduzmite razliku od smanjenog.
Primjer 3
Upotrijebimo pravilo za rješavanje jednadžbe 10 - x = 8 . Ne znamo što se oduzima, pa od 10 treba oduzeti razliku, tj. 10 - 8 = 2. Dakle, traženi subtrahend je jednak dva. Ovdje je unos cijelog rješenja:
10 - x = 8 , x = 10 - 8 , x = 2 .
Provjerimo točnost zamjenom dvojke u izvornoj jednadžbi. Dobijmo točnu jednakost 10 - 2 = 8 i uvjerimo se da će vrijednost koju smo pronašli biti točna.
Prije nego prijeđemo na druga pravila, napominjemo da postoji pravilo za prijenos bilo kojeg člana iz jednog dijela jednadžbe u drugi s obrnutim predznakom. Sva gore navedena pravila u potpunosti su u skladu s njim.
Pronalaženje nepoznatog množitelja
Pogledajmo dvije jednadžbe: x 2 = 20 i 3 x = 12. U oba, znamo vrijednost proizvoda i jedan od faktora, moramo pronaći drugi. Da bismo to učinili, moramo koristiti drugo pravilo.
Definicija 4
Da biste pronašli nepoznati faktor, morate umnožak podijeliti s poznatim faktorom.
Ovo se pravilo temelji na smislu koji je suprotan množenju. Između množenja i dijeljenja postoji sljedeći odnos: a b = c kada a i b nisu jednaki 0, c: a = b, c: b = c i obrnuto.
Primjer 4
Izračunajte nepoznati faktor u prvoj jednadžbi dijeljenjem poznatog kvocijenta 20 s poznatim faktorom 2. Provodimo dijeljenje prirodnih brojeva i dobivamo 10. Zapišimo niz jednakosti:
x 2 = 20 x = 20: 2 x = 10 .
Zamijenimo deseticu u izvornoj jednakosti i dobili smo 2 10 \u003d 20. Vrijednost nepoznatog množitelja je ispravno urađena.
Pojasnimo da ako je jedan od faktora nula, ovo se pravilo ne može primijeniti. Dakle, pomoću njega ne možemo riješiti jednadžbu x 0 = 11. Ovaj zapis nema smisla jer je rješenje podijeliti 11 s 0, a dijeljenje s nulom je nedefinirano. O takvim smo slučajevima detaljnije govorili u članku posvećenom linearnim jednadžbama.
Kada primijenimo ovo pravilo, u biti dijelimo obje strane jednadžbe faktorom koji se razlikuje od 0 . Postoji zasebno pravilo prema kojem se takva podjela može provesti, a ono neće utjecati na korijene jednadžbe, a ono o čemu smo pisali u ovom paragrafu potpuno je u skladu s njim.
Pronalaženje nepoznate dividende ili djelitelja
Drugi slučaj koji trebamo razmotriti je pronalaženje nepoznatog djelitelja ako znamo djelitelj i količnik, kao i pronalaženje djelitelja kada su količnik i djelitelj poznati. Ovo pravilo možemo formulirati uz pomoć već spomenute veze između množenja i dijeljenja.
Definicija 5
Da biste pronašli nepoznatu dividendu, pomnožite djelitelj s kvocijentom.
Pogledajmo kako se ovo pravilo primjenjuje.
Primjer 5
Iskoristimo ga za rješavanje jednadžbe x: 3 = 5 . Poznati kvocijent i poznati djelitelj pomnožimo međusobno i dobijemo 15, što će biti djeljiv koji nam treba.
Evo sažetka cijelog rješenja:
x: 3 = 5, x = 3 5, x = 15.
Provjera pokazuje da smo sve dobro izračunali, jer kad se 15 podijeli s 3, stvarno ispadne 5. Prava brojčana jednakost je dokaz ispravne odluke.
Ovo se pravilo može protumačiti kao množenje desne i lijeve strane jednadžbe s istim brojem koji nije 0. Ova transformacija ni na koji način ne utječe na korijene jednadžbe.
Prijeđimo na sljedeće pravilo.
Definicija 6
Da biste pronašli nepoznati djelitelj, trebate podijeliti dividendu s količnikom.
Primjer 6
Uzmimo jednostavan primjer - jednadžbu 21: x = 3 . Da bismo ga riješili, podijelimo poznati djeljiv 21 s kvocijentom 3 i dobijemo 7. Ovo će biti željeni djelitelj. Sada donosimo pravu odluku:
21:x=3, x=21:3, x=7.
Uvjerimo se da je rezultat točan zamjenom sedam u izvornoj jednadžbi. 21: 7 = 3, dakle korijen jednadžbe je točno izračunat.
Važno je napomenuti da se ovo pravilo primjenjuje samo kada je kvocijent različit od nule, inače bismo morali ponovno dijeliti s 0. Ako je kvocijent nula, moguće su dvije opcije. Ako je dividenda također nula, a jednadžba izgleda kao 0: x \u003d 0, tada će vrijednost varijable biti bilo koja, odnosno ova jednadžba ima beskonačan broj korijena. Ali jednadžba s kvocijentom jednakim 0, s dividendom različitom od 0, neće imati rješenja, jer ne postoje takve vrijednosti djelitelja. Primjer bi bila jednadžba 5: x = 0, koja nema nikakav korijen.
Dosljedna primjena pravila
Često ih u praksi ima više izazovne zadatke, u kojem se pravila za pronalaženje članova, umanjenika, oduzetika, faktora, djeljivaca i kvocijenata moraju primjenjivati redom. Uzmimo primjer.
Primjer 7
Imamo jednadžbu poput 3 x + 1 = 7 . Izračunavamo nepoznati član 3 x oduzimajući jedan od 7. Završavamo s 3 · x = 7 − 1 , zatim 3 · x = 6 . Ovu je jednadžbu vrlo lako riješiti: podijelite 6 s 3 i dobijete korijen izvorne jednadžbe.
Ovdje je skraćenica za rješavanje još jedne jednadžbe (2 x − 7): 3 − 5 = 2:
(2 x - 7) : 3 - 5 = 2 , (2 x - 7) : 3 = 2 + 5 , (2 x - 7) : 3 = 7 , 2 x - 7 = 7 3 , 2 x − 7 = 21 , 2 x = 21 + 7 , 2 x = 28 , x = 28 : 2 , x = 14 .
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
