Razmotrimo bilo koji pravac l (krivulja ili izlomljena linija) koji leži u određenoj ravnini (slika 386, a, b) i proizvoljnu točku M koja ne leži u ovoj ravnini. Sve moguće ravne linije koje spajaju točku M sa svim točkama pravca čine plohu a; takva se ploha naziva stožasta ploha, točka je vrh, pravac se zove vodilica, ravne su generatori. Na sl. 386 ne ograničavamo površinu na njezin vrh, već je zamislimo kako se proteže unedogled s obje strane vrha.
Ako konusnu plohu presječe neka ravnina paralelna ravnini vodilice, tada u presjeku dobijemo liniju (krivulju ili izlomljenu, ovisno o tome je li bila krivulja ili izlomljena), homotetičnu liniji l, sa centrom homotetije na vrhu stožaste površine. Doista, omjer svih odgovarajućih segmenata linije bit će konstantan:
Dakle, presjeci stožaste plohe ravninama paralelnim s ravninom vodilice su slični i slično smješteni, sa središtem sličnosti na vrhu stožaste površine; isto vrijedi za sve paralelne ravnine koje ne prolaze kroz vrh površine.
Sada neka vodilica bude zatvorena konveksna crta (krivulja na slici 387, a, izlomljena linija na slici 387, b). Tijelo koje je bočno omeđeno stožastom površinom između vrha i ravnine vodilice i ravnom bazom u ravnini vodilice naziva se stožac (ako je krivulja) ili piramida (ako je izlomljena linija).
Piramide se klasificiraju prema broju stranica poligona koji leži u njihovoj bazi. Oni govore o trokutnim, četverokutnim i općenito -kutnim piramidama. Imajte na umu da piramida -uglja ima lice: bočne strane i bazu. Na vrhu piramide imamo -edarski kut s ravnim i diedralnim kutovima.
Nazivaju se, odnosno ravni kutovi vrhova i diedralni kutovi na bočnim bridovima. Na vrhovima baze imamo trokutne kutove; njihovi ravni kutovi formirani od strane, bridova i stranica baze nazivaju se ravnim kutovima na bazi, diedralni kutovi između bočnih strana i ravnine baze nazivaju se diedralni kutovi u bazi.
Trokutasta piramida se inače naziva tetraedar (odnosno tetraedar). Bilo koje njegovo lice može se uzeti kao baza.
Piramida se naziva pravilnom ako su ispunjena dva uvjeta: 1) pravilni mnogokut leži u podnožju piramide,
2) visina spuštena od vrha piramide do baze siječe ga u središtu ovog poligona (drugim riječima, vrh piramide se projicira u središte baze).
Imajte na umu da pravilna piramida nije, općenito govoreći, pravilan poliedar!
Uočavamo neka svojstva pravilne piramide ugljena. Povucimo visinu SO kroz vrh takve piramide (sl. 388).
Zarotirajmo cijelu piramidu u cjelini oko ove visine za kut.Takvom rotacijom osnovni poligon će se pretvoriti u sebe: svaki njegov vrh zauzet će položaj susjednog. Vrh piramide i njezina visina (os rotacije!) ostat će na mjestu, pa će se piramida kao cjelina kombinirati sama sa sobom: svaki bočni rub će ići na sljedeći, svaka bočna strana će se kombinirati s sljedeći će se svaki diedralni kut na bočnom rubu također kombinirati sa susjednim.
Odatle zaključak: svi su bočni bridovi međusobno jednaki, sve bočne strane su jednaki jednakokračni trokuti, svi diedarski kutovi na bazi su jednaki, svi ravni kutovi na vrhu su jednaki, svi ravni kutovi u bazi su jednaki.
Iz broja čunjeva u okviru elementarne geometrije proučavamo pravi kružni stožac, odnosno stožac čija je baza kružnica, a čiji je vrh projiciran u središte te kružnice.
Ravni kružni stožac prikazan je na sl. 389. Ako kroz vrh stošca povučemo visinu SO i zakrenemo stožac oko te visine za proizvoljan kut, tada će opseg baze kliziti sam od sebe; visina i vrh ostat će na mjestu, tako da će se konus, kada se zakrene pod bilo kojim kutom, poravnati sam sa sobom. Iz ovoga se posebno vidi da su svi tvorci stošca međusobno jednaki i jednako su nagnuti prema ravnini baze. Presjeci stošca ravninama koje prolaze kroz njegovu visinu bit će međusobno jednaki jednakokračni trokuti. Cijeli se stožac dobiva rotacijom pravokutnog trokuta SOA oko njegove noge (koja postaje visina stošca). Stoga je pravi kružni stožac tijelo okretanja i naziva se i stožac okretanja. Osim ako nije drugačije navedeno, radi kratkoće ćemo u nastavku jednostavno reći "konus", što znači stožac revolucije.
Presjeci stošca ravninama paralelnim s ravninom njegove baze su kružnice (makar samo zato što su homotetične kružnici baze).
Zadatak. Diedralni kutovi na bazi pravilne trokutaste piramide su a. Pronađite diedralne kutove na bočnim rubovima.
Odluka. Označimo privremeno stranu baze piramide kao a. Nacrtajmo presjek piramide ravninom koja sadrži njezinu visinu SO i medijan baze AM (sl. 390).
Konus (točnije, kružni stožac) je tijelo koje se sastoji od kružnice - baze stošca, točke koja ne leži u ravnini ove kružnice - vrha stošca i svih segmenata koji povezuju vrh stošca. stožac s točkama baze (slika 1) Segmenti koji spajaju vrh stošca s točkama opsega baze, nazivaju se generatrisi stošca. Svi generatori stošca su međusobno jednaki. Površina stošca sastoji se od baze i bočne površine.
Riža. jedan
Konus se naziva ravnim ako je pravac koja povezuje vrh stošca sa središtem baze okomita na ravninu baze. Vizualno se ravan kružni stožac može zamisliti kao tijelo dobiveno rotacijom pravokutnog trokuta oko svoje noge kao osi (slika 2).
Riža. 2
Visina stošca je okomica povučena od njegova vrha do ravnine njegove baze. Za pravi stožac, baza visine poklapa se sa središtem baze. Os pravog kružnog stošca je ravna crta koja sadrži njegovu visinu.
Presjek stošca ravninom koja prolazi kroz njegov vrh je jednakokračni trokut, u kojemu su stranice tvorci stošca (slika 3.). Konkretno, jednakokračni trokut je aksijalni presjek stošca. Ovo je presjek koji prolazi kroz os stošca (slika 4).
Riža. 3 sl. 4
Površina konusa
Bočna površina stošca, kao i bočna površina cilindra, može se pretvoriti u ravninu rezanjem duž jednog od generatora (slika 2, a, b). Razvoj bočne površine stošca je kružni sektor (slika 2.6), čiji je polumjer jednak generatrisi stošca, a duljina luka sektora je opseg baze stošca. .
Područje njegovog razvoja uzima se kao površina bočne površine stošca. Površinu Sside bočne površine stošca izražavamo kroz njegovu generatricu l i polumjer baze r.
Površina kružnog sektora - razvoj bočne površine stošca (slika 2) - jednaka je (Pl2a) / 360, gdje je a mjera stupnja luka ABA", dakle
Sside \u003d (Pl2a) / 360. (*)
Izrazimo a u terminima l i r. Budući da je duljina luka ABA "jednaka 2Pr (opseg baze stošca), tada je 2Pr \u003d Pla / 180, od čega je \u003d 360r / l. Zamjenom ovog izraza u formulu (*), dobivamo:
Sside = Prl. (**)
Dakle, površina bočne površine stošca jednaka je umnošku polovine opsega baze i generatrikse.
Ukupna površina stošca je zbroj površina bočne površine i baze. Za izračunavanje površine Scon pune površine stošca dobiva se formula: Scon \u003d Pr (l + r). (***)
Frustum
Uzmite proizvoljni konus i nacrtajte reznu ravninu okomitu na njegovu os. Ova ravnina siječe se sa stošcem u kružnici i dijeli konus na dva dijela. Jedan od dijelova je stožac, a drugi se naziva krnji stožac. Osnova prvotnog stošca i kružnica dobivena u presjeku ovog stošca ravninom nazivaju se osnovicama krnjeg stošca, a segment koji povezuje njihova središta naziva se visina krnjeg stošca.
Dio stožaste plohe koji omeđuje krnji stožac naziva se njegova bočna ploha, a segmenti tvornice stožaste plohe zatvoreni između baza nazivaju se generatori krnjeg stošca. Svi generatori krnjeg stošca su međusobno jednaki (dokažite sami).
Površina bočne površine skraćenog stošca jednaka je umnošku polovice zbroja opsega baza i generatrike: Sside = P (r + r1) l.
Dodatne informacije o konusu
1. U geologiji postoji koncept "konusa za uklanjanje". Ovo je reljefni oblik nastao nakupljanjem klastičnih stijena (šljunak, šljunak, pijesak) nošenih planinskim rijekama u podbrdsku ravnicu ili u ravniju široku dolinu.
2. U biologiji postoji koncept "konus rasta". Ovo je vrh izbojka i korijen biljaka, koji se sastoji od stanica obrazovnog tkiva.
3. "Češeri" su obitelj morskih mekušaca podrazreda prednjih škrga. Ljuska je stožasta (2–16 cm), jarke boje. Postoji preko 500 vrsta čunjeva. Žive u tropima i suptropima, grabežljivci su, imaju otrovnu žlijezdu. Ugriz čunjeva je vrlo bolan. Poznate smrti. Školjke se koriste kao ukrasi i suveniri.
4. Prema statistikama na Zemlji, 6 ljudi na 1 milijun stanovnika godišnje umire od udara groma (češće u južnim zemljama). To se ne bi dogodilo da posvuda ima gromobrana, jer se formira sigurnosni stožac. Što je gromobran veći, to je veći volumen takvog stošca. Neki se pokušavaju sakriti od pražnjenja ispod stabla, ali drvo nije dirigent, na njemu se nakupljaju naboji i stablo može biti izvor napona.
5. U fizici postoji pojam "čvrstog kuta". Ovo je suženi kut urezan u loptu. Jedinica krutog kuta je 1 steradijan. 1 steradian je čvrsti kut čiji je kvadrat polumjera jednak površini dijela kugle koju izrezuje. Ako se u ovaj kut postavi izvor svjetlosti od 1 kandele (1 svijeća), tada dobivamo svjetlosni tok od 1 lumena. Svjetlost filmske kamere, reflektora se širi u obliku stošca.
Konus (od grčkog "konos")- Šišarka. Konus je poznat ljudima od davnina. Godine 1906. otkrivena je knjiga "O metodi", koju je napisao Arhimed (287.-212. pr. Kr.), u kojoj se daje rješenje problema obujma zajedničkog dijela cilindara koji se sijeku. Arhimed kaže da ovo otkriće pripada starogrčkom filozofu Demokritu (470.-380. pr. Kr.), koji je koristeći ovaj princip dobio formule za izračunavanje volumena piramide i stošca.
Konus (kružni stožac) - tijelo koje se sastoji od kružnice - baze stošca, točke koja ne pripada ravnini ove kružnice - vrha stošca i svih segmenata koji povezuju vrh stošca i baze kružne točke. Segmenti koji spajaju vrh stošca s točkama kružnice baze nazivaju se generatorima stošca. Površina stošca sastoji se od baze i bočne površine.
Konus se naziva ravnim ako je pravac koja spaja vrh stošca sa središtem baze okomita na ravninu baze. Pravi kružni stožac se može smatrati tijelom dobivenim rotacijom pravokutnog trokuta oko svoje noge kao osi.
Visina stošca je okomica povučena od njegova vrha do ravnine njegove baze. Za pravi stožac, baza visine poklapa se sa središtem baze. Os pravog stošca je ravna crta koja sadrži njegovu visinu.
Presjek stošca ravninom koja prolazi kroz tvornicu stošca i okomita na aksijalni presjek povučen kroz ovu generatricu naziva se tangentna ravnina stošca.
Ravnina okomita na os stošca siječe stožac u kružnici, a bočna površina u kružnici sa središtem na osi stošca.
Ravnina okomita na os stošca odsijeca od nje manji stožac. Ostatak se naziva krnji stožac.
Volumen stošca jednak je jednoj trećini umnoška visine i površine baze. Dakle, svi stošci koji počivaju na danoj bazi i imaju vrh koji se nalazi na danoj ravnini paralelnoj s bazom imaju isti volumen, budući da su im visine jednake.
Bočna površina stošca može se pronaći pomoću formule:
S strana \u003d πRl,
Ukupna površina stošca nalazi se po formuli:
S con \u003d πRl + πR 2,
gdje je R polumjer baze, l je duljina generatrike.
Volumen kružnog stošca je
V = 1/3 πR 2 H,
gdje je R polumjer baze, H visina stošca
Područje bočne površine krnjeg stošca može se pronaći po formuli:
S strana = π(R + r)l,
Ukupna površina krnjeg stošca može se pronaći pomoću formule:
S con \u003d πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,
gdje je R polumjer donje baze, r je polumjer gornje baze, l je duljina generatrike.
Volumen krnjeg stošca može se pronaći na sljedeći način:
V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),
gdje je R polumjer donje baze, r polumjer gornje baze, H je visina stošca.
blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.
definicije:
Definicija 1. Konus
Definicija 2. Kružni stožac
Definicija 3. Visina stošca
Definicija 4. Ravni konus
Definicija 5. Desni kružni stožac
Teorem 1. Generatori stošca
Teorem 1.1. Aksijalni presjek stošca
Volumen i površina:
Teorem 2. Volumen stošca
Teorem 3. Površina bočne površine stošca
frustum :
Teorem 4. Presjek paralelan s bazom
Definicija 6. Krnji stožac
Teorem 5. Volumen krnjeg stošca
Teorem 6. Površina bočne površine krnjeg stošca
Definicija
Tijelo koje je sa strana omeđeno stožastom površinom između vrha i ravnine vodilice i ravnom bazom vodilice koju čini zatvorena krivulja naziva se konus.
Osnovni koncepti
Kružni stožac je tijelo koje se sastoji od kružnice (baze), točke koja ne leži u ravnini baze (vrha) i svih segmenata koji spajaju vrh s točkama baze. 
Desni stožac je stožac čija visina sadrži središte baze stošca kao svoju bazu.
Razmotrite bilo koju liniju (krivulju, izlomljenu ili mješovitu) (na primjer, l) koja leži u nekoj ravnini, a proizvoljna točka (na primjer, M) koja ne leži u ovoj ravnini. Svi mogući pravci koji spajaju točku M sa svim točkama zadanog pravca l, oblik površina koja se zove kanonska. Točka M je vrh takve plohe i zadana linija l - vodič. Svi pravci koji spajaju točku M sa svim točkama pravca l, nazvao generiranje. Kanonska površina nije ograničena svojim vrhom ili vodilicom. Proteže se na neodređeno vrijeme s obje strane vrha. Sada neka vodilica bude zatvorena konveksna linija. Ako je vodilica izlomljena linija, tada se tijelo koje je bočno omeđeno kanonskom površinom između njezina vrha i ravnine vodilice, te ravnom bazom u ravnini vodilice, naziva piramidom.
Ako je vodilica krivulja ili mješovita linija, tada se tijelo omeđeno bočno kanonskom površinom između vrha i ravnine vodilice i ravnom bazom u ravnini vodilice naziva konus ili
Definicija 1
. Konus je tijelo koje se sastoji od baze - ravne figure omeđene zatvorenom linijom (krivuljom ili mješovitom), vrha - točke koja ne leži u ravnini baze i svih segmenata koji povezuju vrh sa svim mogućim točkama baze.
Svi pravci koji prolaze kroz vrh stošca i bilo koju od točaka krivulje koja omeđuje lik baze stošca nazivaju se generatori stošca. Najčešće, u geometrijskim problemima, generatrisa ravne linije označava dio ove ravne crte zatvoren između vrha i ravnine baze stošca.
Dno ograničene mješovite linije vrlo je rijedak slučaj. Ovdje je naveden samo zato što se može razmatrati u geometriji. Češće se razmatra slučaj sa zakrivljenom vodilicom. Mada, da je slučaj s proizvoljnom krivuljom, da je slučaj s mješovitom vodilicom od male koristi i iz njih je teško izvesti bilo kakve pravilnosti. Od broja čunjeva u tečaju elementarne geometrije proučava se desni kružni stožac.
Poznato je da je krug poseban slučaj zatvorene krivulje. Krug je plosnati lik omeđen kružnicom. Uzimajući krug kao vodič, možete definirati kružni stožac.
Definicija 2
. Kružni stožac je tijelo koje se sastoji od kružnice (baze), točke koja ne leži u ravnini baze (vrha) i svih segmenata koji spajaju vrh s točkama baze.
Definicija 3
. Visina stošca je okomica spuštena s vrha na ravninu baze stošca. Moguće je izdvojiti konus čija visina pada u središte ravne figure baze.
Definicija 4
. Desni stožac je stožac čija visina sadrži središte baze stošca kao svoju bazu.
Ako povežemo ove dvije definicije, dobivamo stožac čija je baza kružnica, a visina pada u središte te kružnice.
Definicija 5
. Pravi kružni stožac naziva se stožac čija je osnova kružnica, a visina spaja vrh i središte baze ovog stošca. Takav se stožac dobiva rotacijom pravokutnog trokuta oko jedne od kateta. Stoga je pravi kružni stožac tijelo okretanja i naziva se i stožac okretanja. Osim ako nije drugačije navedeno, zbog sažetosti u nastavku jednostavno kažemo konus.
Dakle, evo nekih svojstava stošca:
Teorem 1.
Svi generatori stošca su jednaki. Dokaz. Visina MO je po definiciji okomita na sve prave baze, okomita na pravac na ravninu. Stoga su trokuti MOA, MOV i MOS pravokutni i jednaki su u dva kraka (MO - općenito, OA \u003d OB \u003d OS - polumjeri baze. Dakle, hipotenuze, tj. generatori, također su jednaki.
Ponekad se naziva polumjer baze stošca polumjer konusa. Visina stošca se također naziva os konusa, pa se svaki dio koji prolazi kroz visinu naziva aksijalni presjek. Bilo koji aksijalni presjek siječe bazu u promjeru (budući da ravna crta duž koje se sijeku aksijalni presjek i ravnina baze prolazi središtem kružnice) i tvori jednakokračni trokut.
Teorem 1.1.
Aksijalni presjek stošca je jednakokračan trokut. Dakle, trokut AMB je jednakokračan, jer. njegove dvije strane MB i MA su generatori. Kut AMB je kut na vrhu aksijalnog presjeka.
Danas ćemo vam reći kako pronaći generatrisu stošca, što je često potrebno u školskim problemima geometrije.
Pojam generatrise stošca
Desni stožac je lik koji nastaje rotacijom pravokutnog trokuta oko jedne od njegovih nogu. Osnova stošca čini krug. Okomiti presjek stošca je trokut, horizontalni presjek je krug. Visina stošca je segment koji povezuje vrh stošca sa središtem baze. Generator konusa je segment koji povezuje vrh stošca s bilo kojom točkom na liniji opsega baze.
Budući da je stožac formiran rotacijom pravokutnog trokuta, ispada da je prvi krak takvog trokuta visina, drugi polumjer kružnice koja leži u osnovi, a generatriksa stošca bit će hipotenuza. Lako je pretpostaviti da je Pitagorin teorem koristan za izračunavanje duljine generatrike. A sada više o tome kako pronaći duljinu generatrike stošca.
Pronalaženje generatrikse
Najlakši način da shvatite kako pronaći generatricu je korištenje konkretnog primjera. Pretpostavimo da su zadani sljedeći uvjeti zadatka: visina je 9 cm, promjer osnovne kružnice je 18 cm. Potrebno je pronaći generatricu.
Dakle, visina stošca (9 cm) je jedan od krakova pravokutnog trokuta, uz pomoć kojeg je ovaj stožac formiran. Drugi krak će biti polumjer kružnice baze. Polumjer je polovica promjera. Tako dani promjer podijelimo na pola i dobijemo duljinu polumjera: 18:2 = 9. Polumjer je 9.
Sada je vrlo lako pronaći generatrisu stošca. Budući da se radi o hipotenuzi, kvadrat njezine duljine bit će jednak zbroju kvadrata kateta, odnosno zbroju kvadrata polumjera i visine. Dakle, kvadrat duljine generatrike \u003d 64 (kvadrat duljine polumjera) + 64 (kvadrat duljine visine) \u003d 64x2 \u003d 128. Sada izvlačimo kvadratni korijen od 128 Kao rezultat, dobivamo osam korijena od dva. Ovo će biti generatriksa stošca.
Kao što vidite, u tome nema ništa komplicirano. Na primjer, uzeli smo jednostavne uvjete problema, ali u školskom tečaju oni mogu biti složeniji. Zapamtite da za izračunavanje duljine generatrike morate saznati polumjer kružnice i visinu konusa. Poznavajući ove podatke, lako je pronaći duljinu generatrike.
