Volumen tijela rotacije oko oh osi je formula. III Izračunavanje volumena rotacijskih tijela. Područje ravne figure

Kako izračunati obujam rotacijskog tijela
pomoću određenog integrala?

Općenito, postoji mnogo zanimljivih primjena u integralnom računu; pomoću određenog integrala možete izračunati površinu figure, volumen tijela rotacije, duljinu luka, površinu rotacija i još mnogo toga. Dakle, bit će zabavno, ostanite optimistični!

Zamislite neku ravnu figuru na koordinatnoj ravnini. Predstavljeno? ... Pitam se tko je što predstavio... =))) Već smo našli njegovo područje. Ali, osim toga, ova se figura također može rotirati, i to na dva načina:

- oko apscisne osi;
- oko osi ordinata.

Ovaj će članak ispitati oba slučaja. Posebno je zanimljiva druga metoda rotacije, koja izaziva najviše poteškoća, ali je zapravo rješenje gotovo isto kao i kod uobičajenije rotacije oko x-osi. Kao bonus na koji ću se vratiti problem pronalaženja površine figure, a ja ću vam reći kako pronaći područje na drugi način - duž osi. Nije to toliko bonus koliko se materijal dobro uklapa u temu.

Počnimo s najpopularnijom vrstom rotacije.

ravna figura oko osi

Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom lika omeđenog crtama oko osi.

Riješenje: Kao u problemu pronalaženja područja, rješenje počinje crtežom plošne figure. To jest, na ravnini je potrebno konstruirati lik omeđen linijama, i ne zaboravite da jednadžba određuje os. Kako učinkovitije i brže dovršiti crtež možete pronaći na stranicama Grafovi i svojstva elementarnih funkcija i . Ovo je kineski podsjetnik i neću se više zadržavati na ovom mjestu.

Ovdje je crtež prilično jednostavan:

Plavom bojom osjenčana je željena ravna figura koja se okreće oko osi, a kao rezultat rotacije dobiva se leteći tanjur blago jajolikog oblika koji je simetričan u odnosu na os. Zapravo, tijelo ima matematičko ime, ali previše sam lijen da razjasnim bilo što u priručniku, pa idemo dalje.

Kako izračunati volumen tijela rotacije?

Volumen tijela rotacije može se izračunati pomoću formule:

U formuli, broj mora biti prisutan prije integrala. Tako se dogodilo - sve što se vrti u životu povezano je s ovom konstantom.

Mislim da je lako pogoditi kako postaviti granice integracije "a" i "be" iz završenog crteža.

Funkcija... koja je ovo funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je omeđena grafom parabole na vrhu. Ovo je funkcija koja je implicirana u formuli.

U praktičnim zadacima ravna figura se ponekad može nalaziti ispod osi. Ovo ne mijenja ništa - integrand u formuli je na kvadrat: , dakle integral je uvijek nenegativan, što je vrlo logično.

Izračunajmo volumen rotacijskog tijela pomoću ove formule:

Kao što sam već primijetio, integral se gotovo uvijek pokazuje jednostavnim, glavna stvar je biti oprezan.

Odgovor:

U svom odgovoru morate navesti dimenziju - kubične jedinice. Odnosno, u našem tijelu rotacije nalazi se otprilike 3,35 "kockica". Zašto kubični jedinice? Jer najuniverzalnija formulacija. Mogli bi biti kubični centimetri, mogli bi biti kubični metri, mogli bi biti kubični kilometri itd., eto koliko zelenih čovječuljaka vaša mašta može staviti u leteći tanjur.

Odredite obujam tijela nastalog rotacijom oko osi lika omeđenog linijama , ,

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Razmotrimo dva složenija problema, koji se također često susreću u praksi.

Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom oko osi apscisa lika omeđenog linijama , , i

Riješenje: Nacrtajmo na crtežu ravnu figuru omeđenu linijama , , , , ne zaboravljajući da jednadžba definira os:

Željena figura je osjenčana plavom bojom. Kada se okrene oko svoje osi, ispada nadrealna krafna s četiri kuta.

Izračunajmo volumen tijela rotacije kao razlika u volumenima tijela.

Prvo, pogledajmo lik zaokružen crvenom bojom. Kada se okreće oko osi, dobiva se krnji stožac. Označimo obujam tog krnjeg stošca s .

Razmotrite figuru koja je zaokružena zelenom bojom. Ako ovu figuru okrenete oko osi, također ćete dobiti krnji stožac, samo malo manji. Označimo njegov volumen s .

I, očito, razlika u volumenu je upravo volumen naše "krafne".

Koristimo standardnu formulu za pronalaženje volumena tijela revolucije:

1) Slika zaokružena crvenom bojom ograničena je odozgo ravnom linijom, dakle:

2) Slika zaokružena zelenom bojom ograničena je odozgo ravnom linijom, dakle:

3) Volumen željenog tijela rotacije:

Odgovor:

Zanimljivo je da se u ovom slučaju rješenje može provjeriti pomoću školske formule za izračunavanje volumena krnjeg stošca.

Sama odluka često se piše kraće, otprilike ovako:

Sada se malo odmorimo i pričajmo vam o geometrijskim iluzijama.

Ljudi često imaju iluzije povezane s volumenima, što je primijetio Perelman (drugi) u knjizi Zabavna geometrija. Pogledajte ravnu figuru u riješenom zadatku - čini se da je male površine, a volumen tijela revolucije je nešto više od 50 kubičnih jedinica, što se čini prevelikim. Inače, prosječan čovjek u cijelom životu popije tekućine ekvivalentne prostoriji od 18 četvornih metara, što se, naprotiv, čini premalom količinom.

Nakon lirske digresije, upravo je prikladno riješiti kreativni zadatak:

Izračunajte obujam tijela koje nastaje rotacijom oko osi ravnog lika omeđenog pravcima , , gdje je .

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Imajte na umu da se svi slučajevi pojavljuju u pojasu, drugim riječima, zapravo su dane gotove granice integracije. Ispravno nacrtajte grafove trigonometrijskih funkcija, podsjetit ću vas na gradivo lekcije o geometrijske transformacije grafova: ako je argument podijeljen s dva: , tada se grafovi razvlače dva puta duž osi. Preporučljivo je pronaći najmanje 3-4 boda prema trigonometrijskim tablicama da točnije dovršite crtež. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Usput, zadatak se može riješiti racionalno i ne baš racionalno.

Izračunavanje obujma tijela nastalog rotacijom
ravna figura oko osi

Drugi odlomak bit će još zanimljiviji od prvog. Zadatak izračunavanja obujma tijela rotacije oko ordinatne osi također je prilično čest gost u ispitnom radu. Usput će se razmotriti problem pronalaženja površine figure druga metoda je integracija duž osi, to će vam omogućiti ne samo da poboljšate svoje vještine, već će vas također naučiti pronaći najprofitabilniji put rješenja. Ima u tome i praktičnog životnog smisla! Kako se sa smiješkom prisjetila moja profesorica metodike matematike, mnogi su joj maturanti zahvaljivali riječima: „Vaš predmet nam je puno pomogao, sada smo učinkoviti menadžeri i optimalno upravljamo osobljem.“ I ovom prilikom joj izražavam veliku zahvalnost, tim više što stečeno znanje koristim namjenski =).

Preporučam ga svima, čak i potpunim glupanima. Štoviše, materijal naučen u drugom odlomku pružit će neprocjenjivu pomoć u izračunavanju dvostrukih integrala.

S obzirom na stan lik omeđen linijama , , .

1) Pronađite površinu ravne figure ograničene ovim linijama.
2) Odredi obujam tijela dobivenog rotacijom ravnog lika omeđenog ovim pravcima oko osi.

Pažnja!Čak i ako želite pročitati samo drugu točku, svakako prvo pročitajte prvu!

Riješenje: Zadatak se sastoji iz dva dijela. Počnimo s kvadratom.

1) Napravimo crtež:

Lako je vidjeti da funkcija zadaje gornju granu parabole, a funkcija zadaje donju granu parabole. Pred nama je trivijalna parabola koja "leži na boku".

Željena figura, čije područje treba pronaći, osjenčana je plavom bojom.

Kako pronaći područje figure? Može se pronaći na “uobičajen” način, o čemu je bilo riječi u razredu Određeni integral. Kako izračunati površinu figure. Štoviše, područje figure nalazi se kao zbroj područja:
- na segmentu ;
- na segmentu.

Zato:

Zašto je uobičajeno rješenje loše u ovom slučaju? Prvo, dobili smo dva integrala. Drugo, postoje korijeni ispod integrala, a korijeni u integralima nisu dar, a osim toga, možete se zbuniti u zamjeni granica integracije. Zapravo, integrali, naravno, nisu ubojiti, ali u praksi sve može biti mnogo tužnije, samo sam odabrao "bolje" funkcije za problem.

Postoji racionalnije rješenje: ono se sastoji od prebacivanja na inverzne funkcije i integriranja duž osi.

Kako doći do inverznih funkcija? Grubo govoreći, trebate izraziti "x" kroz "y". Prvo, pogledajmo parabolu:

Ovo je dovoljno, ali pobrinimo se da se ista funkcija može izvesti iz niže grane:

Lakše je s ravnom linijom:

Sada pogledajte os: molimo povremeno nagnite glavu udesno za 90 stupnjeva dok objašnjavate (ovo nije šala!). Slika koja nam je potrebna nalazi se na segmentu koji je označen crvenom točkastom linijom. U ovom slučaju, na segmentu se ravna linija nalazi iznad parabole, što znači da područje figure treba pronaći pomoću formule koja vam je već poznata: . Što se promijenilo u formuli? Samo pismo i ništa više.

! Bilješka: Treba postaviti granice integracije duž osi strogo odozdo prema gore!

Pronalaženje područja:

Na segmentu, dakle:

Obratite pažnju kako sam proveo integraciju, to je najracionalniji način, au sljedećem paragrafu zadatka bit će jasno zašto.

Za čitatelje koji sumnjaju u ispravnost integracije, pronaći ću izvedenice:

Dobivena je izvorna funkcija integranda, što znači da je integracija izvršena ispravno.

Odgovor:

2) Izračunajmo volumen tijela koje nastaje rotacijom ove figure oko osi.

Ponovno ću nacrtati crtež u nešto drugačijem dizajnu:

Dakle, figura osjenčana plavom bojom rotira oko osi. Rezultat je "lebdeći leptir" koji se okreće oko svoje osi.

Da bismo pronašli volumen tijela rotacije, integrirat ćemo po osi. Prvo moramo prijeći na inverzne funkcije. To je već učinjeno i detaljno opisano u prethodnom paragrafu.

Sada ponovno naginjemo glavu udesno i proučavamo svoju figuru. Očito, volumen rotacijskog tijela treba pronaći kao razliku volumena.

Rotiramo figuru zaokruženu crvenom bojom oko osi, što rezultira krnjim stošcem. Označimo taj volumen s .

Lik zaokružen zelenom bojom vrtimo oko osi i označavamo ga volumenom dobivenog rotacijskog tijela.

Volumen našeg leptira jednak je razlici volumena.

Koristimo formulu za pronalaženje volumena tijela revolucije:

Koja je razlika od formule u prethodnom odlomku? Samo u pismu.

Ali prednost integracije, o kojoj sam nedavno govorio, puno je lakše pronaći , umjesto da prvo podignemo integrand na 4. potenciju.

Odgovor:

Imajte na umu da ako se ista ravna figura okrene oko osi, dobit ćete potpuno drugačije tijelo rotacije, s drugim volumenom, naravno.

Zadana ravna figura omeđena linijama i osi.

1) Idite na inverzne funkcije i pronađite područje ravnog lika omeđenog tim linijama integracijom preko varijable.
2) Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom ravnog lika omeđenog ovim linijama oko osi.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Zainteresirani također mogu pronaći površinu figure na "uobičajen" način, čime provjeravaju točku 1). Ali ako, ponavljam, rotirate ravnu figuru oko osi, dobit ćete potpuno drugačije tijelo rotacije s drugačijim volumenom, usput, točan odgovor (također za one koji vole rješavati probleme).

Cjelovito rješenje dvije predložene točke zadatka nalazi se na kraju sata.

Da, i ne zaboravite nagnuti glavu udesno kako biste razumjeli rotacijska tijela i granice integracije!

Htio sam završiti članak, ali danas su donijeli zanimljiv primjer samo za pronalaženje volumena tijela rotacije oko ordinatne osi. Svježe:

Izračunaj obujam tijela koje nastaje rotacijom oko osi lika omeđenog krivuljama i .

Riješenje: Napravimo crtež:

Usput se upoznajemo s grafovima još nekih funkcija. Evo zanimljivog grafa parne funkcije...

C se nalazi u intervalu. Tako ponovno dobivamo Langrangian oblik dodatnog člana. 5. Zaključak. U kolegiju se daju definicije određenog i nevlastitog integrala i njegove vrste, te se razmatraju pitanja nekih primjena određenog integrala. Konkretno, Wallisova formula, koja ima povijesno značenje kao prvi prikaz broja p kao granice lako izračunatog...

Određeni integral tipske funkcije numerički predstavlja površinu krivuljastog trapeza ograničenu krivuljama x=0, y=a, y=b i y= (slika 1). Postoje dvije metode za izračunavanje ove površine ili određenog integrala - metoda trapeza (slika 2) i metoda prosječnih pravokutnika (slika 3). Riža. 1. Krivolinijski trapez. Riža. 2. Metoda trapeza. Riža. 3. Metoda prosječnih pravokutnika. Po metodama...

N (povećanjem broja integracija) povećava se točnost aproksimativnog izračuna integrala Laboratorijske zadaće 1) Napisati programe za izračunavanje određenog integrala koristeći metode: srednjeg, pravokutnika, trapeza i Simpsonove metode. Izvršite integraciju sljedećih funkcija: 1. f(x)=x f(x)=x2 f(x)= x3 f(x)= x4 na segmentu s korakom, 2. f(x)= f(x) = f(x)= ...

... (TABL postupak) i integral. 4. Zaključak i zaključci. Dakle, očito je da nam pri izračunavanju određenih integrala pomoću kvadraturnih formula, a posebno pomoću Chebyshevljeve formule, ne daje točnu vrijednost, već samo približnu. Kako biste se što više približili pouzdanoj vrijednosti integrala, morate biti u mogućnosti pravilno odabrati metodu i formulu po kojoj će se izvršiti izračun. Također...

ravna figura oko osi

Primjer 3

S obzirom na stan lik omeđen linijama , , .

1) Pronađite površinu ravne figure ograničene ovim linijama.

2) Odredi obujam tijela dobivenog rotacijom ravnog lika omeđenog ovim pravcima oko osi.

Pažnja!Čak i ako želite pročitati samo drugu točku, prvo Obavezno procitaj prvu!

Riješenje: Zadatak se sastoji iz dva dijela. Počnimo s kvadratom.

1) Napravimo crtež:

Lako je vidjeti da funkcija zadaje gornju granu parabole, a funkcija zadaje donju granu parabole. Pred nama je trivijalna parabola koja "leži na boku".

Željena figura, čije područje treba pronaći, osjenčana je plavom bojom.

Kako pronaći područje figure? Može se pronaći na "normalan" način. Štoviše, područje figure nalazi se kao zbroj područja:

– na segmentu;

- na segmentu.

Zato:

Postoji racionalnije rješenje: ono se sastoji od prebacivanja na inverzne funkcije i integriranja duž osi.

Kako doći do inverznih funkcija? Grubo govoreći, trebate izraziti "x" kroz "y". Prvo, pogledajmo parabolu:

Ovo je dovoljno, ali pobrinimo se da se ista funkcija može izvesti iz niže grane:

Lakše je s ravnom linijom:

Sada pogledajte os: molimo povremeno nagnite glavu udesno za 90 stupnjeva dok objašnjavate (ovo nije šala!). Slika koja nam je potrebna nalazi se na segmentu koji je označen crvenom točkastom linijom. U ovom slučaju, na segmentu se ravna crta nalazi iznad parabole, što znači da područje figure treba pronaći pomoću formule koja vam je već poznata:. Što se promijenilo u formuli? Samo pismo i ništa više.

! Bilješka : Granice integracije osi treba postavitistrogo odozdo prema gore !

Pronalaženje područja:

Na segmentu, dakle:

Obratite pažnju kako sam proveo integraciju, to je najracionalniji način, au sljedećem paragrafu zadatka bit će jasno zašto.

Za čitatelje koji sumnjaju u ispravnost integracije, pronaći ću izvedenice:

Dobivena je izvorna funkcija integranda, što znači da je integracija izvršena ispravno.

Odgovor:

2) Izračunajmo volumen tijela koje nastaje rotacijom ove figure oko osi.

Ponovno ću nacrtati crtež u nešto drugačijem dizajnu:

Dakle, figura osjenčana plavom bojom rotira oko osi. Rezultat je "lebdeći leptir" koji se okreće oko svoje osi.

Da bismo pronašli volumen tijela rotacije, integrirat ćemo po osi. Prvo moramo prijeći na inverzne funkcije. To je već učinjeno i detaljno opisano u prethodnom paragrafu.

Sada ponovno naginjemo glavu udesno i proučavamo svoju figuru. Očito, volumen rotacijskog tijela treba pronaći kao razliku volumena.

Rotiramo figuru zaokruženu crvenom bojom oko osi, što rezultira krnjim stošcem. Označimo taj volumen s .

Lik zaokružen zelenom bojom vrtimo oko osi i označavamo ga volumenom dobivenog rotacijskog tijela.

Volumen našeg leptira jednak je razlici volumena.

Koristimo formulu za pronalaženje volumena tijela revolucije:

Koja je razlika od formule u prethodnom odlomku? Samo u pismu.

Ali prednost integracije, o kojoj sam nedavno govorio, puno je lakše pronaći nego prvo dizanje integranda na 4. potenciju.

Odgovor:

Imajte na umu da ako se ista ravna figura okrene oko osi, dobit ćete potpuno drugačije tijelo rotacije, s drugim volumenom, naravno.

Primjer 7

Izračunaj obujam tijela koje nastaje rotacijom oko osi lika omeđenog krivuljama i .

Riješenje: Napravimo crtež:

Usput se upoznajemo s grafovima još nekih funkcija. Evo zanimljivog grafa parne funkcije...

Za određivanje obujma rotacijskog tijela dovoljno je koristiti desnu polovicu figure koju sam osjenčao plavom bojom. Obje funkcije su parne, njihovi grafovi su simetrični u odnosu na os, a naš lik je simetričan. Dakle, osjenčani desni dio, koji se okreće oko osi, sigurno će se podudarati s lijevim nezasjenjenim dijelom. ili . Zapravo, i ja se uvijek osiguravam tako da u nađenu inverznu funkciju zamijenim par točaka grafa.

Sada nagnemo glavu udesno i primijetimo sljedeće:

– na segmentu iznad osi nalazi se graf funkcije;

Logično je pretpostaviti da volumen tijela rotacije treba tražiti kao zbroj volumena tijela rotacije!

Koristimo formulu:

U ovom slučaju.

osim pronalaženje površine ravnog lika pomoću određenog integrala najvažnija primjena teme je izračunavanje volumena rotacijskog tijela. Gradivo je jednostavno, ali čitatelj mora biti pripremljen: morate znati riješiti neodređeni integrali srednje složenosti i primijeniti Newton-Leibnizovu formulu u određeni integral . Kao i kod problema pronalaženja područja, potrebne su vam samopouzdane vještine crtanja - to je gotovo najvažnija stvar (budući da će sami integrali često biti laki). Uz pomoć metodološkog materijala možete savladati kompetentne i brze tehnike izrade grafikona . Ali, zapravo, o važnosti crteža već sam nekoliko puta govorio na satu. .

Općenito, postoji mnogo zanimljivih primjena u integralnom računu; pomoću određenog integrala možete izračunati površinu figure, volumen tijela rotacije, duljinu luka, površinu tijelo i još mnogo toga. Dakle, bit će zabavno, ostanite optimistični!

– oko x-osi; – oko osi ordinata.

Ovaj će članak ispitati oba slučaja. Posebno je zanimljiva druga metoda rotacije, koja izaziva najviše poteškoća, ali je zapravo rješenje gotovo isto kao i kod uobičajenije rotacije oko x-osi. Kao bonus na koji ću se vratiti problem pronalaženja površine figure , a ja ću vam reći kako pronaći područje na drugi način - duž osi. Nije to toliko bonus koliko se materijal dobro uklapa u temu.

Počnimo s najpopularnijom vrstom rotacije.

Izračunavanje obujma tijela nastalog rotacijom plosnate figure oko osi

Primjer 1

Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom lika omeđenog crtama oko osi.

Riješenje: Kao u problemu pronalaženja područja, rješenje počinje crtežom plošne figure. To jest, na ravnini je potrebno konstruirati lik omeđen linijama, i ne zaboravite da jednadžba određuje os. Kako učinkovitije i brže dovršiti crtež možete pronaći na stranicama Grafovi i svojstva elementarnih funkcija I Određeni integral. Kako izračunati površinu figure . Ovo je kineski podsjetnik i neću se više zadržavati na ovom mjestu.

Ovdje je crtež prilično jednostavan:

Željena ravna figura je osjenčana plavom bojom; to je ona koja se okreće oko osi. Kao rezultat rotacije, rezultat je blago jajolik leteći tanjur koji je simetričan u odnosu na os. Zapravo, tijelo ima matematičko ime, ali previše sam lijen da pogledam u priručnik, pa idemo dalje.

Kako izračunati volumen tijela rotacije?

Volumen tijela rotacije može se izračunati pomoću formule:

U formuli, broj mora biti prisutan prije integrala. Tako se dogodilo - sve što se vrti u životu povezano je s ovom konstantom.

Mislim da je lako pogoditi kako postaviti granice integracije "a" i "be" iz završenog crteža.

Funkcija... koja je ovo funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je omeđena grafom parabole na vrhu. Ovo je funkcija koja je implicirana u formuli.

U praktičnim zadacima ravna figura se ponekad može nalaziti ispod osi. Ovo ne mijenja ništa - funkcija u formuli je na kvadrat: , dakle volumen tijela revolucije je uvijek nenegativan, što je vrlo logično.

Izračunajmo volumen rotacijskog tijela pomoću ove formule:

Kao što sam već primijetio, integral se gotovo uvijek pokazuje jednostavnim, glavna stvar je biti oprezan.

Odgovor:

Primjer 2

Odredite obujam tijela nastalog rotacijom oko osi lika omeđenog linijama , ,

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Razmotrimo dva složenija problema, koji se također često susreću u praksi.

Primjer 3

Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom oko osi apscisa lika omeđenog linijama , , i

Riješenje: Nacrtajmo na crtežu ravnu figuru omeđenu linijama , , , , ne zaboravljajući da jednadžba definira os: