Geometrijsko značenje modula i argumenta analitičke funkcije. Neka funkcija w=f(z) je analitička u nekoj domeni D. Odaberimo proizvoljnu točku i povucimo kroz nju proizvoljnu glatku krivulju koja u cijelosti leži u D. Funkcija f(z) prikazuje područje D kompleksna ravnina ( z) po regiji G kompleksna ravnina ( w). Neka je točka preslikana u točku, a krivulja preslikana u krivulju. Označimo s kut koji čini tangenta na u točki s osi Vol, a kroz - kut koji čini tangenta u točki s osi Ou. Budući da funkcija f(z) analitički, onda postoji derivat u bilo kojoj točki u regiji D. Pretpostavimo da u D. Derivacija se može prikazati u eksponencijalnom obliku, tj. napiši u obliku:
Izaberimo metodu stremljenja u kojoj točke leže na krivulji. Tada će odgovarajuće točke Kompleksni brojevi i na ravnini biti predstavljene vektorima sekansnim na krivulje i, redom, i i su duljine vektora sekanti, a i su kutovi koje tvore ti vektori i pozitivne osi. Kada ovi sekanti vektori postanu tangente na krivulje i u točkama i. Iz jednakosti (10) slijedi da je , tj. izvodni argument ima geometrijsko značenje razlike između kuta vektora tangente krivulje i kuta vektora tangente. Budući da derivacija ne ovisi o načinu prelaska na granicu, ona će biti ista za bilo koju drugu krivulju koja prolazi točkom. Drugim riječima, lukovi koji prolaze kroz točku z 0 na površini z kada se prikaže w=f(z) zakrenuti za isti kut u ravnini w. Kada je kut između bilo koje krivulje na ravnini ( z), prolazeći kroz točku z 0, jednak je kutu između krivulja i na ravnini ( w), onda se to zove svojstvo očuvanje (konzervativnost) kutova.
Slično, iz jednakosti (10) dobivamo: , tj. do količina višeg reda malenosti vrijedi jednakost: .
Posljednja relacija također ne ovisi o metodi odabira krivulje i njeno geometrijsko značenje je da kada se preslikavanje provodi pomoću analitičke funkcije koja zadovoljava uvjet, infinitezimalni linearni elementi (infinitezimalni lukovi) se transformiraju na sličan način, a naziva se modul derivacije koeficijent sličnosti. Ovo svojstvo ovog preslikavanja naziva se svojstvo stalno istezanje, Zato k također se zove faktor istezanja. Kažu da kada k>1 – istezanje, i kada k<1 – сжатие.
Definicija konformnog preslikavanja i osnovna svojstva. Definicija 17. Mapiranje područja jedan na jedan D kompleksna ravnina ( z) po regiji G kompleksna ravnina ( w) nazvao konforman, ako je u svim točkama z D ima svojstvo održavanja kutova i stalnog istezanja.
Teorem 6. Kako bi se složena funkcija w=f(z) konformno mapirano područje D avion ( z) po regiji G avion ( w), potrebno je i dovoljno da bude analitičan u D a ne bilo gdje u regiji D.
□ Nužnost. Pretpostavimo. koja je funkcija w=f(z) izvodi konformno preslikavanje. Po definiciji to znači ispunjavanje svojstava očuvanja kutova i stalnog istezanja. Uzmimo to u avion z proizvoljna točka z 0 au njegovoj blizini nalaze se dvije točke: z 1 I z2. Na površini w oni će odgovarati bodovima w 0, w 1, w 2
S točnošću do infinitezimalnih veličina bit će zadovoljene relacije: , a iz stalnosti kutova slijedi: . Iz jednakosti argumenata slijedi da su kutovi jednaki ne samo po apsolutnoj vrijednosti, nego i po smjeru. Kao rezultat dobivamo: .
Dakle, iz posljednje dvije jednakosti slijedi, točno do infinitezimalnih veličina, da su zadovoljene sljedeće jednakosti: . Zbog proizvoljnosti izbora točke z 0 i bodova z 1,z 2 iz njegove blizine slijedi da postoji Adekvatnost. Neka derivacija postoji i neka nije jednaka nuli u regiji D, tada iz geometrijskog značenja derivacije slijedi da su zadovoljena svojstva očuvanja kutova i konstantnosti proširenja, a to, po definiciji, znači da funkcija provodi konformno preslikavanje. ■
Konformno preslikavanje koristi se za rješavanje problema u matematičkoj fizici, hidrodinamici i aerodinamici, teoriji elastičnosti te teoriji elektromagnetskih i toplinskih polja. Glavni zadatak teorije konformnog preslikavanja je pronaći funkciju kompleksne varijable w=f(z), koji bi prikazao dato područje D avion z na određeno područje G avion w. Teorem ima važnu ulogu u rješavanju ovog problema.
Teorem 7. Bilo koja jednostavno povezana regija D složena ravnina z, čija se granica sastoji od više od jedne točke, može se konformno preslikati na unutrašnjost jedinične kružnice<1 комплексной плоскости w.(nema dokaza).
Ovaj teorem implicira mogućnost konformnog preslikavanja danog područja D na određeno područje G, ako se granica svake regije sastoji od više od jedne točke. Zatim, preslikavanje ovih područja na pomoćni krug <1, мы получим искомое отображение. Конформное отображение многосвязной области на односвязную область невозможно, но в ряде случаев возможно конформное отображение областей одинаковой связности. Рассмотрим два конформных отображения.
Linearni prikaz. Linearno je preslikavanje koje provodi linearna funkcija gdje a I b- kompleksni brojevi.
Takvo preslikavanje je jedan na jedan i konformno na cijeloj kompleksnoj ravnini jer linearno preslikavanje ostavlja dvije točke fiksne:
Zamislimo linearno preslikavanje u obliku tri najjednostavnija.
1) Transformacija rotacije cijele z ravnine za kut oko ishodišta:
2) Transformacija sličnosti sa središtem sličnosti u ishodištu, tj. rastezanje na >1 i kompresija na 0< <1:
3) Paralelni prijenos u vektor b:
Primjer 4. Pronađite funkciju koja prikazuje trokut sa zadanim vrhovima z 1 = -1, z 2 = i, z 3 = 1 u trokut s vrhovima w1 =0, w2 =-2+2i, w3 =4i.
Riješenje. Konstruirajmo traženu funkciju kao superpoziciju tri elementarne transformacije.
1) - okretanje za kut u smjeru suprotnom od kazaljke na satu;
2) - dvostruko rastezanje;
3) - pomak gore dvije jedinice;
Tražena funkcija ima oblik:
Frakcijsko linearno preslikavanje. Frakcijska linearna funkcija, gdje a,b,c,d- implementirani su kompleksni brojevi frakcijsko linearno preslikavanje proširena kompleksna ravnina z w. Nađimo izvedenicu: if .
Definicija 18. Bodovi z 1 I z 2 se zovu simetričan u odnosu na krug, ako leže na istoj zraki koja prolazi kroz točke z 1, z 2 i točka z 0 , i .
Inverzija u odnosu na krug je transformacija proširene kompleksne ravnine na samu sebe koja uzima svaku točku z 1 ravnina do točke z 2, simetričan u odnosu na ovu kružnicu. Razmotrimo preslikavanje definirano funkcijom i označimo Koristeći svojstvo modula, možemo napisati: . Slijedi da je dotično preslikavanje inverzija u odnosu na kružnicu radijusa R, centriran u ishodištu nakon čega slijedi zrcalna slika u odnosu na stvarnu os.
Po analogiji s linearnim preslikavanjem, zamislimo frakcijsko linearno preslikavanje kao superpoziciju jednostavnih transformacija. Odaberimo najprije cijeli dio razlomka:
Najjednostavnije transformacije bit će sljedeće:
1) paralelni prijenos na: ;
2) inverzijska transformacija u odnosu na krug radijusa R središte u ishodištu praćeno zrcalnom slikom oko prave osi: ;
3) rotacija u odnosu na ishodište: ;
4) paralelni prijenos na: .
Primjer 5. Pronađite područje u koje će krug ići pod linearno-frakcijskim preslikavanjem.
Riješenje.
Ovo će biti krug koji se dobije nakon sljedećih transformacija:
1) pomakni 1 dolje:
2) inverzija u odnosu na , promijenit će se smjer obilaznice:
3) rotirati za 90 stupnjeva:
4) pomakni 1 dolje:
Svojstva frakcijskog linearnog preslikavanja. Bez dokaza formuliramo sljedeća svojstva.
1. Sukladnost. Linearna frakcijska funkcija konformno preslikava proširenu kompleksnu ravninu z na proširenu kompleksnu ravninu w.
2. Jedinstvenost. Postoji jedinstvena linearna frakcijska funkcija kojoj su dane tri različite točke z 1, z 2, z 3 avion z prikazuje na tri različite točke w 1, w 2, w 3 avion w a to preslikavanje zadano je jednakošću: .
3. Kružno svojstvo. S frakcijskim linearnim preslikavanjem, slika bilo kojeg kruga u širem smislu je krug (u širem smislu, tj. krug ili bilo koja ravna linija).
4. Načelo prikazivanja granica. S frakcijskim linearnim preslikavanjem, područje koje leži unutar kruga transformira se u područje koje leži unutar ili izvan transformiranog kruga (granica se preslikava u granicu).
5. Načelo Riemann-Schwartzove simetrije. S frakcijskim linearnim preslikavanjem, točke koje su simetrične u odnosu na kružnicu preslikavaju se u točke koje su simetrične u odnosu na transformiranu kružnicu (simetrija u smislu inverzije).
Primjer 6. Zadana je gornja poluravnina ravnine z i proizvoljna točka z 0. Pronađite funkciju koja ga preslikava u jediničnu kružnicu ravnine w tako da z 0 prikazan u središtu kruga.
Riješenje.
Neka , a zatim prema principu preslikavanja granica, realna os na ravnini zće se preslikati na krug jediničnog radijusa. Prema svojstvu simetrije, točka će se preslikati u točku. Dakle, uzimajući to u obzir, konstruirat ćemo funkciju. Ako uzmemo u obzir bodove z, leže na realnoj osi, a to su točke oblika: , tada će za njih biti zadovoljene jednakosti: , jer svi su jednako udaljeni od točke koja leži na realnoj osi, tj. imamo da će sve točke realne osi biti preslikane u sve točke jedinične kružnice.Otuda nalazimo da će ako razmatramo modul traženo preslikavanje imati oblik: .
Riješite još jedan problem linearnog frakcijskog preslikavanja i ubacite oba u prvi modul!
Predavanje br.4.
Geometrijski, funkcija kompleksne varijable w=f(z) određuje prikaz određenog skupa z– ravnine na određeni skup w-avion. Točka wÎ G nazvao put bodova z kada se prikaže w=f(z), točka zÎ D – prototip bodova w.
Ako svi z odgovara samo jedna vrijednost w=f(z), tada se funkcija poziva nedvosmislen (w=|z|,w=,w= Ponovno z itd.) Ako neki z odgovara više od jedne vrijednosti w, funkcija se poziva polisemantičan (w= Arg z).
Ako (tj. na različitim točkama u području D funkcija poprima različite vrijednosti), zatim funkcija w=f(z) Zove se jednolisni u području D.
Drugim riječima, jednovalentna funkcija w=f(z) jedan na jedan kartira područje D na G. S prikazom od jednog lista w=f(z) inverzna slika bilo koje točke wÎ G sastoji se od jednog elementa: : . Zato z može se smatrati funkcijom varijable w, definirano na G. Određen je i pozvan inverzna funkcija .
Ako u tom području D postoji barem jedan par točaka, tada funkcija f(z) se zovu višelisni u području D.
Ako prikaz w=f(z) je višelisna na D(Na primjer, w=z n), onda u ovom slučaju neke vrijednosti wÎ G odgovara više od jedne točke zÎ D:f(z)=w. Stoga inverzno preslikavanje nije jednoznačna, to je funkcija s više vrijednosti.
Jedna znamenka na području D funkcija w=f(z) Zove se grana višeznačne funkcije F, ako vrijednost f u bilo kojem trenutku zÎ D odgovara jednoj od vrijednosti F u ovom trenutku.
Kako biste izolirali grane s jednom vrijednošću funkcije s više vrijednosti, postupite na sljedeći način: područje D podijeliti funkcije u domene jednovalentnosti w=f(z) tako da nijedna od regija nema zajedničkih unutarnjih točaka i da svaka točka zÎ D pripadalo jednom od tih područja ili granici nekog od njih. U svakoj od ovih domena jednovalentnosti definira se funkcija inverzna w=f(z). To je grana s jednom vrijednošću funkcije s više vrijednosti.
Pojam konformnog preslikavanja
Primjer. Odredite koeficijent rastezanja i kut zakreta u točki z=2ja prilikom prikazivanja.
■ Pronađite derivaciju i njezinu vrijednost u danoj točki.
Omjer istezanja k jednaka modulu derivacije: .
Kut rotacije j jednaka je argumentu derivacije. Poanta je dakle u četvrtoj četvrtini, . ■
Primjer 3.5. Odredite koji dio ravnine kada je prikazan w=z 2 je rastegnuta, a koja je stisnuta.
■ Pronalaženje izvoda w¢=2 z. Faktor napetosti u bilo kojoj točki z jednaki k=|w¢( z)|=2|z|. Skup točaka u kompleksnoj ravnini za koje k>1, odnosno 2| z|>1 ili , čini dio ravnine, koji je rastegnut kada se prikazuje. Stoga se pri prikazivanju w=z 2, vanjski dio kruga je rastegnut, a unutarnji je komprimiran. ■
Prikaz w=f(z) Zove se konforman (tj. zadržava svoj oblik) u točki ako čuva kutove između krivulja i ima svojstvo stalnog proširenja okoline točke.
Svako preslikavanje uspostavljeno pomoću analitičke funkcije f(z) je konforman u svim točkama gdje je .
Preslikavanje se zove konforman u regiji , ako je konforman u svakoj točki ovog područja.
Konformno preslikavanje u kojem je sačuvan referentni smjer kutova naziva se konformno preslikavanje prve vrste . Konformno preslikavanje u kojem je smjer kutova obrnut naziva se konformno preslikavanje roda ΙΙ (Na primjer, ).
U teoriji i praksi konformnih preslikavanja postavljaju se i rješavaju dva problema.
Prvi zadatak je pronaći sliku zadane linije ili područja ispod zadanog preslikavanja - izravni zadatak .
Drugi je pronaći funkciju koja preslikava datu liniju ili područje u drugu datu liniju ili područje - inverzni problem .
Pri rješavanju izravnog zadatka uzima se u obzir da slika točke z 0 kada se prikaže w=f(z) je točka w 0 , tako da w 0 =f(z 0), odnosno rezultat zamjene z 0 in f(z). Stoga, da biste pronašli sliku skupa, trebate riješiti sustav koji se sastoji od dvije relacije. Jedan od njih specificira funkciju mapiranja w=f(z), druga je jednadžba pravca, ako se rješava problem nalaženja slike pravca, ili nejednadžba koja određuje skup točaka praslike, ako se rješava problem preslikavanja površina. U oba slučaja postupak rješavanja se svodi na eliminaciju varijable z iz dva zadana omjera.
Pravilo 3.3. Kako bismo pronašli sliku pravca zadanog jednadžbom F(x,g)=0 (ili izričito g=j(x)), prilikom prikazivanja w=f(z) potrebno:
1. Odaberite realni i imaginarni dio funkcije f(z): u=Re f(z), v=Im f(z).
2. Isključiti iz sustava x I u. Rezultirajući odnos je jednadžba slike ovog pravca.
Pravilo 3.4. Za pronalaženje slike zadane linije prilikom prikaza w=f(z) potrebno:
1. Napišite jednadžbu pravca u parametarskom obliku z=z(t) ili u složenom obliku.
2. Ovisno o vrsti jednadžbe linije, razmotrite odgovarajući slučaj:
Ako je linija dana u parametarskom obliku, zamijenite izraz z(t) V w=f(z);
Ako je linija dana u složenom obliku, izrazite z iz w=f(z), odnosno i . Onda biste trebali zamijeniti z a u jednadžbi pravca. Rezultirajući odnos je jednadžba slike ovog pravca.
Pravilo 3.5. Da biste pronašli sliku određenog područja, trebali biste koristiti jednu od dvije metode.
Prvi način.
1. Napiši jednadžbu granice tog područja. Pronađite sliku granice zadanog područja pomoću pravila 3.3 ili 3.4.
2. Odaberite proizvoljnu unutarnju točku zadanog područja i pronađite njenu sliku ispod zadanog preslikavanja. Regija kojoj pripada dobivena točka je željena slika dane regije.
Drugi način.
1. Izraziti z iz omjera w=f(z).
2. Zamijenite ono što ste primili u 1. koraku. izraz u nejednakosti koja definira danu regiju. Dobiveni omjer je željena slika.
Primjer. Pronađite sliku kruga | z|=1 kada se prikazuje pomoću funkcije w=z 2 .
■ 1 način(prema pravilu 3.3).
1. Neka z=x+iy, w=u+iv. Zatim u+iv =x 2 -g 2 +ja 2xy. Dobivamo:
2. Isključimo x I na iz ovih jednadžbi. Da bismo to učinili, kvadrirajmo prvu i drugu jednadžbu i zbrojimo:
u 2 +v 2 =x 4 -2x 2 g 2 +g 4 +2x 2 g 2 =x 4 +2x 2 g 2 +g 4 =(x 2 +g 2) 2 .
Uzimajući u obzir treću jednadžbu sustava, dobivamo: u 2 +v 2 =1 ili | w| 2 =1, to jest | w|=1. Dakle, slika kruga | z|=1 je krug | w|=1, može se prijeći dvaput. To proizlazi iz činjenice da je od w=z 2 zatim Arg w=2 Arg z+2pak. Pa kad je točka z opisuje potpuni krug | z|=1, tada njegova slika opisuje krug | w|=1 dva puta.
Metoda 2(prema pravilu 3.4).
1. Napišimo jednadžbu jedinične kružnice u parametarskom obliku: z=e to (0£ t£2 str).
2. Zamijenimo z=e to u omjeru w=z 2: w=e i 2 t=cos2 t+ja grijeh2 t. Stoga, | w| 2 = cos 2 2 t+grijeh 2 2 t=1, odnosno | w|=1 – jednadžba slike. ■
Primjer. Nađi jednadžbu slike pravca y=x kada se prikaže w=z 3 .
■ Budući da je krivulja dana eksplicitno, primjenjujemo pravilo 3.3.
1. w=z 3 =(x+iy) 3 =x 3 +3x 2 iy+3x(iy) 2 +(iy) 3 =x 3 - 3xy 2 +ja(3x 2 y-y 3).
2. U dobivenom sustavu zamjenjujemo y=x: Isključujući x iz ovih jednadžbi dobivamo v=-u.
Dakle, slika simetrale I i III koordinatnog kuta sustava xOy je simetrala II i IV koordinatnog kuta sustava uOv. ■
1. Linearna funkcija
Linearna funkcija naziva funkcija oblika
w=az+b, (4.1)
Gdje A, b- kompleksne konstante.
Ovu funkciju definiraju , . Stoga, ako je , tada linearna funkcija proizvodi konformno preslikavanje cijele ravnine kompleksne varijable. U ovom slučaju, tangente na sve krivulje su zakrenute za isti kut Arg a, a napetost u svim točkama je jednaka. Ako a= 1, tada nema istezanja ili rotacije. U ovom slučaju dobivamo w=z+b. Ovo preslikavanje pomiče cijelu ravninu za vektor.
U općem slučaju, prelazeći na eksponencijalni oblik zapisivanja kompleksnog broja, dobivamo. Stoga je linearno preslikavanje sastav triju geometrijskih transformacija:
w 1 =rz- sličnost s koeficijentom r=|a|;
w 2 =e i j w 1 =rze i j- okrenuti pod kutom j= arg a oko točke OKO;
w=w 2 +b=re i j z+b- paralelni prijenos na vektor.
Prema tome, preslikavanje w=az+b mijenja linearne dimenzije bilo kojeg ravnog lika u | a| jednom, rotira ovu figuru za kut j= arg a oko ishodišta i pomiče ga u smjeru vektora za njegovu vrijednost.
Linearno preslikavanje ima svojstvo kružnosti, odnosno preslikava kružnice z-ravni u krugu w-ravni (i obrnuto); pretvara ravne linije u ravne.
Primjer. Pronađite sliku osi OU kada se prikaže w=2iz-3i.
■ 1 način(prema pravilu 3.4). Odaberemo jednadžbu osi u parametarskom obliku.
1. Budući da u realnom obliku jednadžba osi Joj: x=0, -¥<g<+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy, -¥<g<+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран na.
2. Zamijenimo z=iy u izraz w=2iz-3i: w=-2g-3ja, -¥<g<+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (na- parametar). Izdvajajući stvarni i imaginarni dio, dobivamo jednadžbu slike u stvarnom obliku: u=-2g, v=-3 ili v=-3, -¥<u<+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOv, paralelno s pravom osi.
Metoda 2. Koristimo svojstvo kružnosti linearne transformacije – slika pravca je pravac. Budući da je ravna crta definirana određivanjem dviju točaka, dovoljna je na osi OU odaberite bilo koje dvije točke i pronađite njihove slike. Pravac koji prolazi kroz pronađene točke bit će traženi. Izaberimo bodove z 1 =0, z 2 =ja, njihove slike w 1 =-3ja, w 2 =-2-3ja pri preslikavanju leže na liniji Im w= -3.Dakle, slika osi OU je ravna linija v=-3.
3 načina(geometrijski). Iz relacije w=2iz-3i slijedi to a=2ja, b=-3ja, |a|=2, . To znači da je zadana pravac (os OU) mora se rotirati za kut u odnosu na ishodište, a zatim pomaknuti 3 jedinice prema dolje. Rastezanje 2 puta ne mijenja geometrijski izgled izvorne linije, jer ona prolazi kroz ishodište. ■
Primjer. Pronađite neku linearnu funkciju koja predstavlja kružnicu | z-i|=1 po opsegu | w- 3|=2.
■ Postavljeni problem je inverzni problem teorije preslikavanja - za zadanu sliku i predsliku pronaći odgovarajuće preslikavanje. Bez dodatnih uvjeta problem nema jedinstveno rješenje. Predstavimo geometrijsko rješenje.
1. Pomaknite središte kruga u ishodište. Da bismo to učinili, primjenjujemo mapiranje w 1 =z-i.
2. U ravnini w 1 primijenimo preslikavanje koje daje dvostruko rastezanje, tj w 2 =2w 1 .
3. Pomaknite krug za 3 jedinice udesno: w=w 2 +3. Na kraju dobivamo: w=2(z-i)+3, w= 2z+3-2ja– traženu funkciju.
Možete odabrati drugačiji redoslijed izvođenja geometrijskih operacija - nemojte prvo pomicati, već rotirajte ili rastegnite. ■
2. Frakcijska linearna funkcija
Frakcijski linearni naziva funkcija oblika
Gdje a, b,c,d- kompleksni brojevi takvi da je , .
Svojstva frakcijske linearne transformacije
1°Sukladnost
Prikaz w=L(z) je konformna na svim krajnjim točkama kompleksne ravnine osim .
2° Kružno svojstvo
Slika pravca ili kruga u frakcijskom linearnom preslikavanju w=L(z) je ravna crta ili kružnica (a slika prave može biti ili kružnica ili ravna crta, a slika kružnice može biti i ravna i kružnica). Lako je to ustanoviti prilikom prikaza w=L(z) sve prave i kružnice koje prolaze točkom prelaze u ravnine ( w), i sve ravne linije ili kružnice koje ne prolaze kroz točku d, - u opsegu ravnine ( w).
3°Invarijantnost dvostrukog odnosa
Relacija je sačuvana pri frakcijskom linearnom preslikavanju, odnosno njegova je invarijanta. Ovaj odnos se zove dvostruki omjer četiri boda. Dakle, frakcijska linearna transformacija je jednoznačno određena zadavanjem tri točke i njihovih slika: . Koristeći ove parove, možete pronaći frakcijsku linearnu funkciju pomoću formule:
Ova se formula također može primijeniti u slučaju kada neki od brojeva z k I tjedan pretvoriti u ¥, ako koristite pravilo: razliku u kojoj se pojavljuje simbol ¥ treba zamijeniti s 1.
4°Održavanje simetrije
Ako bodovi z 1 i z 2 su simetrične u odnosu na neku liniju ili kružnicu g, tada za bilo koje frakcijsko linearno preslikavanje w=L(z) njihove slike w 1 i w 2 bit će simetrična u odnosu na sliku g: .
Simetrija u odnosu na ravnu liniju shvaća se u uobičajenom smislu.
Bodovi z I z* se zovu simetričan u odnosu na krug |z-z 0 |=R, ako leže na istoj zraki koja izlazi iz središta kružnice, a umnožak njihovih udaljenosti od središta kružnice jednak je kvadratu njezina polumjera, tj.
|z-z 0 |×| z*-z 0 |=R 2 . (4.4)
Točka simetrična točki z 0 – centar kruga je očito beskonačna točka.
5°Načelo usklađivanja prijelaza granica (prikazivanje područja omeđenih linijama ili krugovima)
Ako se u frakcijskom linearnom preslikavanju ravna crta ili kružnica g pretvara u ravnu liniju ili krug g¢, zatim područje D, koji je ograničen g, pretvara se u jedno od dva područja koja su omeđena g¢. U ovom slučaju vrijedi načelo korespondencije graničnog obilaska: ako tijekom nekog obilaska linije g regija D ispada lijevo (desno), zatim s odgovarajućim obilaskom linije g¢ regija D¢ također treba biti s lijeve (desne) strane.
Primjer. Pronađite razlomačku linearnu funkciju w=L(z), tako da w(ja)=2ja, w(¥)=1, w(-1)=¥.
■ Označimo z 1 =ja, z 2 =¥, z 3 = -1 i w 1 =2ja, w 2 =1, w 3 =¥. Primijenimo formulu (4.3), zamjenjujući razlike koje sadrže z 2 i w 3 u ¥:
Pretvorimo: - w-wi+ 2ja- 2=wz-wi-z+i Û w(z+1)=z-2+jaÛ je tražena funkcija. ■ :w =1 i Im w=0.
2. Sada sukladno st.2. Pravilo 3.5, odaberite proizvoljnu točku, na primjer, z= -1O D. Njegova slika pod danim preslikavanjem je , leži između linija Im w=1 i Im w=0. Stoga će slika zadanog područja biti traka 0< Imw<1. ■
3. Eksponencijalna funkcija
Eksponencijalna funkcija kompleksne varijablez=x+iy naziva se funkcija označena s exp z(čitaj "eksponent" z") i definirana formulom
Svojstva exp z
1° Ako , tada eksp z=exp x=e x, tj. na realnoj osi eksponencijalna funkcija kompleksne varijable koincidira s eksponencijalnom funkcijom realne varijable. Stoga uz oznaku eksp z str, paralelno s pravom osi:
Ako je, na primjer, , tada .
8° Eksponencijalna funkcija je analitička na , (exp z)¢=exp z.
Primjer. Pronađite realni, imaginarni dio, modul i glavnu vrijednost argumenta za broj e 2- ja.
■ Koristimo definiciju eksponencijalne funkcije kompleksne varijable. Neka z=2-i, x=Re z=2, g=Im z=-1.
Zatim . Stoga,
Također možete koristiti adicijski teorem i Eulerovu formulu (1.7) umjesto definicije. ■
Prikazw =exp z
KONFORMNO PREslikavanje (konformna transformacija), preslikavanje jednog područja (u ravnini ili prostoru) u drugo područje, uz očuvanje kutova između krivulja. Najjednostavniji primjeri konformnog preslikavanja su transformacije sličnosti i rotacije (ortogonalne transformacije).
Konformno preslikavanje koristi se u kartografiji kada je potrebno prikazati dio površine globusa na ravnini (karti) uz očuvanje vrijednosti svih kutova; primjeri takvih konformnih preslikavanja su stereografska projekcija i Mercatorova projekcija (vidi Kartografske projekcije). Posebno mjesto zauzimaju konformna preslikavanja jednih područja ravnine na druge; njihova teorija ima značajne primjene u aero- i mehanici fluida, elektrostatici i teoriji elastičnosti. Rješenje mnogih važnih problema lako se dobiva kada područje za koje se postavlja problem ima prilično jednostavan oblik (na primjer, krug ili poluravnina). Ako se problem postavlja za složeniju domenu, tada se pokazuje da je dovoljno najjednostavniju domenu konformno preslikati na zadanu da bi se iz poznatog rješenja dobilo rješenje novog problema. Upravo je to put kojim je krenuo N. E. Žukovski stvarajući teoriju avionskog krila.
Ne dopuštaju sva područja ravnine konformno preslikavanje jedno na drugo. Na primjer, kružni prsten omeđen koncentričnim krugovima ne može se konformno preslikati na prsten s različitim omjerom radijusa. Međutim, bilo koja dva područja, od kojih je svako ograničeno samo jednom krivuljom (jednostavno povezana područja), mogu se konformno preslikati jedno na drugo (Riemannov teorem). Što se tiče područja omeđenih s nekoliko krivulja, takvo se područje uvijek može konformno preslikati na područje omeđeno istim brojem paralelnih odsječaka ravne linije (Hilbertov teorem) ili kružnica (Köbeov teorem), ali veličine i relativni položaji tih odsječaka odnosno kružnice se ne mogu postavljati proizvoljno .
Ako uvedemo kompleksne varijable z i w u ravnini izvornika i slike, tada je varijabla w, razmatrana u konformnom preslikavanju kao funkcija z, ili analitička funkcija ili funkcijski kompleks konjugiran analitičkoj. Obrnuto, bilo koja funkcija koja je analitička u određenoj domeni i uzima različite vrijednosti u različitim točkama domene (takva se funkcija naziva univalentnom) konformno preslikava ovu domenu na neku drugu domenu. Stoga se proučavanje konformnih preslikavanja ravninskih područja svodi na proučavanje jednovalentnih analitičkih funkcija.
Svako konformno preslikavanje trodimenzionalnih područja transformira sfere i ravnine u sfere i ravnine i svodi se ili na transformaciju sličnosti ili na jednu transformaciju inverzije i jednu transformaciju sličnosti koje se izvode sekvencijalno (Liouvilleov teorem). Stoga konformna preslikavanja trodimenzionalnih (i općenito višedimenzionalnih) regija nemaju tako veliku važnost i tako raznoliku primjenu kao konformna preslikavanja dvodimenzionalnih regija.
Teorija konformnog preslikavanja započela je s L. Eulerom (1777.), koji je otkrio vezu između funkcija kompleksne varijable i problema konformnog preslikavanja dijelova kugle na ravninu (za konstruiranje geografskih karata). Proučavanje općeg problema konformnog preslikavanja jedne površine na drugu dovelo je K. Gaussa (1822.) do razvoja opće teorije površina. B. Riemann (1851) formulirao je uvjete pod kojima je moguće konformno preslikavanje jednog područja ravnine u drugo, ali je pristup koji je on zacrtao dobio potkrijepljenost tek početkom 20. stoljeća (A. Poincaré i C. Carathéodory). Studije N. E. Zhukovsky i S. A. Chaplygin, koji su otvorili široko polje primjene konformnog preslikavanja u aero- i hidromehanici, poslužile su kao snažan poticaj za razvoj teorije konformnog preslikavanja kao velike grane teorije analitičkih funkcija.
Lit.: Goluzin G.M. Geometrijska teorija funkcija kompleksne varijable. 2. izd. M., 1966.; Markushevich A.I. Teorija analitičkih funkcija. 2. izd. M., 1968. T. 2; Lavrentyev M.A., Shabat B.V. Metode teorije funkcija kompleksne varijable. 6. izd. M., 2002. (monografija).
Neka je jednoznačna funkcija definirana u određenoj domeni i neka točke i pripadaju domeni.
Definicija. Ako postoji konačna granica omjera kada, prema bilo kojem zakonu, teži nuli, tada:
1) ova granica se zove izvod funkcije u točki i označen je simbolom
2) u ovom slučaju funkcija se poziva diferencijabilan u točki.
Sva pravila i formule za diferenciranje funkcija realne varijable ostaju na snazi i za funkcije kompleksne varijable.
Teorema. Da bi funkcija bila diferencijabilna u točki 
, potrebno je i dovoljno da:
1) realne funkcije i bile su diferencijabilne u točki *);
2) u ovom trenutku su uvjeti ispunjeni
, (4.2)
nazvao Cauchy-Riemannovi uvjeti(C.-R.)ili d'Alembert-Euler.
Ako su ispunjeni uvjeti ( C.-R.) izvod funkcije može se pronaći pomoću jedne od sljedećih formula:
Navedimo dvije definicije koje su od temeljne važnosti u teoriji funkcija kompleksne varijable.
Definicija.Funkcija nazvao analitički na terenu, ako je diferencijabilan u svakoj točki ove regije.
Definicija.Funkcija nazvao analitički u točki, ako je analitička u nekoj okolini točke, tj. ako je funkcija diferencijabilna ne samo u danoj točki, već i u svojoj okolini.
Iz gornjih definicija jasno je da se pojmovi analitičnosti i diferencijabilnosti funkcije u domeni podudaraju, ali su analitičnost funkcije u točki i diferencijabilnost u točki različiti pojmovi. Ako je funkcija analitička u nekoj točki, onda je sigurno tamo diferencijabilna, ali obrnuto ne mora biti točno. Funkcija može biti diferencijabilna u točki, ali ne može biti diferencijabilna ni u jednom susjedstvu te točke, u kojem slučaju neće biti analitička u dotičnoj točki.
Uvjet da funkcija bude analitička u domeni je da su Cauchy-Riemannovi uvjeti zadovoljeni za sve točke u ovoj domeni.
Odnos analitičkih funkcija i harmonijskih funkcija. Može li bilo koja funkcija dviju varijabli poslužiti kao realni i imaginarni dio neke analitičke funkcije?
Ako je funkcija analitička u domeni, tada su funkcije harmonijske, odnosno zadovoljavaju Laplaceovu jednadžbu.
I 
.
Međutim, ako su funkcije proizvoljno odabrane harmonijske funkcije, tada funkcija 
, općenito govoreći, neće biti analitički, tj. uvjeti za njih neće uvijek biti ispunjeni.
Možete konstruirati analitičku funkciju iz jedne dane harmonijske funkcije (na primjer, 
), uzimajući drugu 
tako da su uvjeti zadovoljeni. Uvjeti (4.2) omogućuju nam da odredimo nepoznatu funkciju (npr. ) svojim dvjema parcijalnim izvodnicama ili, što je isto, svojim ukupnim diferencijalom. Pronalaženje harmonijske funkcije iz njenog diferencijala je problem integriranja ukupnog diferencijala funkcije dviju varijabli, poznat iz stvarne analize.
Geometrijsko značenje modula i argumenta derivacije. Neka je funkcija diferencijabilna u domeni i . Funkcija će preslikati točku u ravnini u točku u ravnini, krivulju koja prolazi kroz točku u krivulju koja prolazi (Slika 4.1).
Modul derivacije 
je granica omjera infinitezimalne udaljenosti između preslikanih točaka i infinitezimalne udaljenosti između njihovih prototipova i . Stoga se veličina može geometrijski smatrati koeficijentom rastezanja (ako je ) u točki kada se regija preslikava u regiju, što se provodi pomoću funkcije
 |  |
U svakoj točki regije u svakom smjeru koeficijent istezanja bit će različit. Za argument izvedenice možemo pisati
gdje su i redom kutovi i da vektori i tvore s realnom osi (slika 4.1). Neka su kutovi koje tangente tvore na krivulju i u točkama i sa stvarnom osi. Zatim za , a , dakle 
definira kut za koji se tangenta na krivulju u točki mora zakrenuti da bi se dobio smjer tangente na krivulju u točki.
Ako promatramo dvije krivulje i , i , tada su kutovi i (sl. 4.1) između njihovih tangenti, općenito govoreći, nejednaki.
Definicija. Preslikavanje domene u domenu koja ima svojstva konstantnih dilatacija () u bilo kojem smjeru i očuvanje (ili konzervatizam) kutova između dviju krivulja koje se sijeku u točki naziva se konforman(slično u malom). Preslikavanje koje provodi analitička funkcija je konformno u svim točkama u kojima .
VJEŽBE
55. Pokažite da je funkcija diferencijabilna i analitička u cijeloj kompleksnoj ravnini. Izračunajte njegovu derivaciju.
Riješenje. Pronađimo i. Po definiciji imamo. Stoga, 
.
, 
,
Gdje 
, 
.
Kao što se može vidjeti, parcijalne derivacije su kontinuirane u cijeloj ravnini, a funkcije i diferencijabilne su u svakoj točki ravnine. Uvjeti su ispunjeni. Prema tome, on je diferencijabilan u svakoj točki ravnine, a prema tome i analitičan na cijeloj ravnini. Stoga se derivacija može pronaći pomoću jedne od formula (4.3):
Konačno, izvod se može pronaći pomoću pravila formalnog diferenciranja: .
56. Utvrditi je li funkcija analitička:
Riješenje. a) Otkad, dakle, odakle 
. Kao što se vidi, prvi uvjet (4.2) nije zadovoljen ni za jedan i . Posljedično, funkcija nije diferencijabilna ni u jednoj točki u ravnini, pa stoga nije analitička.
b) Imamo . Funkcija 
I 
diferencijabilne u svakoj točki ravnine, jer su njihove parcijalne derivacije kontinuirane kroz ravninu. Ali uvjeti nisu zadovoljeni ni u jednoj točki u ravnini, osim u točki u kojoj su sve parcijalne derivacije jednake nuli. Prema tome, funkcija je diferencijabilna samo u jednoj točki, ali tamo nije analitička, jer po definiciji zahtijeva diferencijabilnost u blizini te točke.
Dakle, funkcija nije analitička ni za jednu vrijednost. Iz gornjeg primjera jasno je da je analitičnost funkcije u točki jači zahtjev od njezine diferencijabilnosti u ovoj točki.
57. Postoji li analitička funkcija za koju 
?
Riješenje. Provjerimo je li funkcija 
harmonik. U tu svrhu nalazimo
I 
. Iz zadnje relacije proizlazi da ona ne može biti realan, kao ni imaginarni dio analitičke funkcije.
58. Pronađite, ako je moguće, analitičku funkciju iz njenog realnog dijela 
.
Riješenje. Prvo provjerimo je li funkcija 
harmonik. Pronašli smo , , 
, 
I 
. Funkcija koja je harmonijska na cijeloj ravnini povezana je s Cauchy-Riemannovim uvjetima, . Iz ovih uvjeta dobivamo, 
. Iz prve jednadžbe sustava nalazimo ga integracijom preko , uz pretpostavku konstante.
gdje je proizvoljna funkcija koju treba odrediti. Pronađimo ga odavde 
te ga izjednačiti s prethodno pronađenim izrazom: . Dobivamo diferencijalnu jednadžbu za određivanje funkcije 
, gdje
Dakle, . Zatim, tj. u ovoj točki postoji rotacija kroz kut i formiranje kuta jedna s drugom, prikazuju se u zrakama i tvore kut jedna s drugom 
. Stoga je u jednom trenutku narušena konformnost preslikavanja zbog činjenice da je povrijeđeno svojstvo kutnog konzervativizma: kutovi nisu sačuvani, već su utrostručeni.
Sustavi elektroda sa složenim dvodimenzionalnim elektrostatskim poljima mogu se izračunati pomoću metode konformnog preslikavanja. Glavna ideja ove metode je zamijeniti složena polja jednostavnim poljima za koja su rješenja poznata. Takva jednostavna polja uključuju polja ravnog ili cilindričnog kondenzatora udaljena od njihovih rubova. Metoda konformnih preslikavanja praktična je primjena teorije funkcija kompleksne varijable. Konformno preslikavanje je kontinuirano preslikavanje koje čuva oblik infinitezimalnih (infinitezimalnih) likova. Za konformno preslikavanje zadovoljeno je svojstvo stalnosti kutova i stalnosti proširenja. Ime dolazi iz kasnog latinskog jezika - konformis– slično, kontinuirano preslikavanje koje čuva oblik infinitezimalnih likova: npr. b.m. krug ostaje b.m. svuda okolo; kutovi između linija u točki njihovog međusobnog sjecišta se ne mijenjaju. Područje primjene metode konformnog preslikavanja za proračun električnih polja su dvodimenzionalna elektrostatička polja.
Konformna transformacija preslikava svaku točku z=x+j×y stvarno računsko polje, opisano kompleksnom ravninom, do točke w=u+j×v još jedna složena ravnina, s jednostavnijom konfiguracijom polja. Glavna poteškoća metode je pronalaženje vrste funkcije za dani stvarni sustav elektroda. U praksi, kada pokušavaju pronaći funkciju konformnog preslikavanja, ili koriste posebne kataloge konformnih preslikavanja ili je traže uzastopnim pokusima.
Pretpostavimo da znamo oblik neke transformacije z=f(w) ili obrnuto pretvaranje w=f(z), koji uspostavlja korespondenciju jedan-na-jedan između dvije kompleksne ravnine s kompleksom ( z) i jednostavno ( w) konfiguracija polja. Faktor pretvorbe je omjer dw/dz.
Ovdje se koriste sljedeće relacije:
, 
. (2.94)
Slično možemo napisati:
. (2.95)
Dva kompleksna broja su jednaka ako su im realni i imaginarni dijelovi jednaki. Uspoređujući vrijednosti koeficijenta pretvorbe date u izrazima (2.93) i (2.95), možemo napisati:
Izrazi (2.96) poznati su kao Cauchy-Riemannovi uvjeti. Koristeći različite oblike predstavljanja kompleksnih brojeva, koeficijent pretvorbe može se napisati kao:
Gdje 
je koeficijent promjene duljine segmenata tijekom transformacije, a tg(j) = b/a(j je kut rotacije segmenata tijekom transformacije). Iz Cauchy-Riemannove relacije dobivamo:
(2.99)
Iz relacija (2.97) – (2.98) slijedi da je koeficijent konformne transformacije M je relativna jakost električnog polja, a svaka od funkcija u I v može biti izabran kao potencijal na novoj kompleksnoj ravni w=f(u,v). Ovaj se zaključak može provjeriti i na drugi način. Ako funkcije u I v može biti izabran kao potencijal, tada svaki od njih mora zadovoljiti Laplaceovu jednadžbu: D u=0 i D v=0. Ovo se može provjeriti izravnim ponovnim diferenciranjem Cauchy-Riemannovih uvjeta. Razlikujmo prvi uvjet s obzirom na x, i drugi na; zbrajati rezultat; Premjestimo sve značajne derivacije na lijevu stranu notacije i ostavimo nulu na desnoj:
; ; . (2.100)
Iz dobivenog izraza proizlazi da funkcija u zadovoljava Laplaceovu jednadžbu (1.25), (1.30) i može se uzeti kao potencijal. Razlikujmo 1. uvjet s obzirom na na, a 2. - po x:
; ; , (2.101)
oni. i funkcija v također zadovoljava Laplaceovu jednadžbu i također se može uzeti kao potencijal. Budući da sila i ekvipotencijalne linije na ravnini z=f(x,y) su međusobno okomiti, a konformna transformacija ostavlja nepromijenjene kutove između pravaca u točki njihova sjecišta, tada iz (2.97) ¸ (2.101) slijedi da ako funkcija u uzeti npr. kao potencijal, zatim crta sa v=const – je linija sile. Ako v– potencijal, dakle u=const – dalekovod. Koja od funkcija u ili v je potencijal, a koja je linija sile, treba odrediti iz analize konformne transformacije polja na izvornoj ravnini z=f(x,y) u polju u ravnini w=f(u,v). Bilo koja funkcija z=f(w)(ili w=f(z)) daje nam rješenje za bilo koji problem u elektrostatici. Možete smisliti proizvoljnu funkciju, pronaći rješenja za nju, a zatim odabrati odgovarajući sustav elektroda za pronađena rješenja. Mnoga rješenja elektrostatičkih problema pronađena su ovom metodom (unatrag).
Prilikom određivanja jakosti električnog polja metodom konformnog preslikavanja treba uzeti u obzir sljedeću važnu okolnost. Uzorak električnog polja u potpunosti je određen geometrijskim parametrima sustava elektroda, bez obzira na prostorno mjerilo i primijenjeni napon. Stoga se polje može opisati intenzitetom po jedinici napona ili duljine. Izrazi (2.97)-(2.98) predstavljaju upravo takvu relativnu napetost. Za dobivanje stvarnog napona potrebno je uzeti u obzir stvarni primijenjeni napon i stvarni razmak između elektroda. To se postiže množenjem izraza (2.97)-(2.98) faktorom razmjera K m. Neka je udaljenost između elektroda u ravnini w jednaki u 2 -u 1 (v 2 -v 1), ako su funkcije u ili v, odnosno. Tada faktor razmjera ima oblik:
K m= U/(u 2 -u 1) ili K m= U/(v 2 -v 1). (2.102)
Cilindrični kondenzator. Iako je proračun elektrostatskog polja cilindričnog kondenzatora dan u §2.5, smatramo ga primjerom primjene metode konformnog preslikavanja. Polje cilindričnog kondenzatora (polje dva koncentrična kruga) na ravnini xy može se preslikati na uniformno polje (polje kondenzatora s paralelnim pločama) sljedećom transformacijom:
z = e w; x + j×y = e u+jv = e u(Cos v+j×Grijeh v).
Odvojimo stvarni i imaginarni dio:
Pravac na realnoj ravnini z, prolazeći kroz ishodište s kutom nagiba prema osi x jednak v=const postaje pravac na ravnini w, paralelno s x-osi.
Na u= const na ravnini w dobiva se sustav ravnih pravaca paralelnih s osi ordinata. Na površini z odgovaraju sustavu koncentričnih krugova. Očito je da linije sa u= const treba uzeti kao potencijalne linije, i v- izvan linija polja. Napetost ćemo izračunati pomoću formule (2.97):
Duljina malog segmenta koji se pretvara kada se prenosi iz ravnine z do aviona w mijenja se u 1/ r puta gdje r– udaljenost od središta krugova. Što je dalje od središta, manji je koeficijent promjene duljina segmenata. Preneseni segment se rotira za kut j = arctg(- y/x). Kut između zrake koja dolazi od ishodišta do sredine pretvorenog segmenta i osi x postaje jednaka nuli. Svi radijusi uključeni z- avioni se pretvaraju u w- ravnine u liniji paralelnoj s osi u. Faktor razmjera
Napetost
(2.103)
Rezultirajuća formula (2.103) podudara se, kao što bi se moglo očekivati zbog teorema jedinstvenosti, s izrazom (2.18) dobivenim pomoću Ostrogradsky-Gaussovog teorema.
Polje unutar pravog kuta kojeg čine dvije ravnine
Kao još jedan primjer primjene metode konformnih preslikava, razmotrimo polje koje tvore dvije beskonačne vodljive međusobno okomite ravnine. Očito je da takav sustav elektroda ima translacijsku simetriju s infinitezimalnim korakom translacije duž ravnina i ravninom simetrije koja prolazi pod kutom od 45° na svaku od ravnina. Takvo polje se svodi na dvodimenzionalno polje, a za određivanje njegovih parametara dovoljno je izračunati karakteristike polja između jedne od ravnina i ravnine simetrije. Za dvodimenzionalna polja može se primijeniti metoda konformnog preslikavanja. Polje u z– ravnina okomita na crtu presjeka nabijenih ravnina, prikazana na sl. 2.20a. Iza osovina x I na linije presjeka nabijenih ravnina sa z- ravan. Polje unutar pravog kuta kojeg čine dvije ravnine pretvara se transformacijom u uniformno polje w = z 2. Pokažimo ovo:
w= u+jv = z 2 = (x+jy) 2 = x 2 + j 2xy – g 2 ; u = x 2 – g 2 ; v = + j 2xy.
Na u= const pravci paralelni s osi v na površini w, pretvaraju se u familiju jednakostraničnih hiperbola x 2 – g 2 = A 2 u avionu z. Os 0 x je prava (žarišna) os hiperbola, a os na svoju zamišljenu os. Pravac koji prolazi kroz ishodište pod kutom od 45° u odnosu na os x (u = 0; g = x), predstavlja crtu presjeka z– ravnina s ravninom simetrije i asimptota je hiperbola. Kut presjeka hiperbola s osi x jednak 90°, tj. funkcijske linije u=x 2 -na 2 okomito na ekvipotencijalni pravac x(površina nabijene ravnine x).
Funkcije v = 2xy na različite vrijednosti v opisati drugu obitelj jednakostraničnih hiperbola čije su osi x I na su asimptote, a pravac na = x je žarišna os. Na slici 2.20a prikazane su hiperbole sa v= 4, 16, 36. Kada v= 0 hiperbola degenerira u koordinatnoj osi x I na, koje koincidiraju s nabijenim ravninama. Kako je površina nabijenih ravnina površina istog potencijala, očito je da je funkcija v mora se uzeti kao potencijalna funkcija na ravnini w. U ovom slučaju funkcija u predstavlja funkciju sile. Polje dviju beskonačnih međusobno okomitih ravnina (os x I na na z– ravnina) pretvara u uniformno polje beskonačne nabijene ravnine (os v na w– avioni).
Konformna transformacija, uz očuvanje oblika infinitezimalnih likova, može značajno promijeniti oblik konačnih likova. Primjer takve promjene je transformacija kvadrata abcd s koordinatama A(0,8;0,8), b(0,8;4), c(4;4), d(4;0,8) uključeno z- ravnine u krivocrtni četverokut a¢b¢c¢d¢ s koordinatama a¢(0;1,28), b¢(-15,36;6,4), c¢(0;32), d¢(15.36;6.4) dalje w- avioni.
Odredimo relativnu jakost elektrostatskog polja nabijenih ravnina na sl. 2.20a. Od dviju formula (2.97) i (2.98), koristit ćemo (2.98) za određivanje napetosti, jer je to funkcija v = 2xy opisuje sustav ekvipotencijalnih ploha (pravaca). Faktor linearne konverzije:
, (2.104)
Duljina pretvorenog malog segmenta pri prijenosu iz z- avioni uključeni w- ravnina se povećava za 2 r puta gdje r=x 2 +na 2 – udaljenost na z- ravnina od ishodišta do središta segmenta. Preneseni segment se zakrene za kut j = arctan( y/x). Dolazi do udvostručenja kuta između zrake koja ide od ishodišta do sredine segmenta i osi x. Faktor razmjera K m = U/(v 2 -v 1) = U/(2x 2 g 2 -2x 1 g 1). Jačina polja se određuje množenjem relativne jakosti s faktorom razmjera: E=E¢×K m. Neka faktor razmjera bude K m=100 v/m. Odredimo jakost polja u dvije točke na nabijenoj ravnini: bliže kutu presjeka ravnina n 1(1;0) i udaljena od nje n 2 (5;0).
V/m, ×v/m.
Što je bliže uglu, to je manja jakost polja. Ovaj se rezultat može očekivati iz slike polja na sl. 2.20: udaljenost između ekvipotencijalnih linija smanjuje se s udaljenošću od kuta. Svako udubljenje (udubljenje, udubljenje, kaverna, pukotina itd.) na površini elektrode može se približno opisati razmatranim problemom. Zatim, uzimajući u obzir rezultate prethodnog odlomka, možemo zaključiti: u blizini vrha ili izbočine, jakost električnog polja raste, a u blizini udubljenja ili rupe slabi. Slična slika na slici 2.20a ponašanja linija sile i ekvipotencijala opaža se u blizini točke grananja polja dvaju istoimenih naboja (§2.11).
Polje na rubu ravnog kondenzatora (Rogowski profil)
Postavimo ishodište koordinata na z- ravnine tako da os x bila paralelna s ravninama ploča kondenzatora i bila na istoj udaljenosti od njih a. Os na okomito na ploče i prolazi kroz njihove rubove. Funkciju preslikavanja polja na rubu ravnog kondenzatora u uniformno polje dobio je Yu. K. Maxwell 1881. u obliku:
. (2.105)
Nakon odvajanja varijabli dobivamo:
Na v I= 0, g = 0, 
. Na vII= p, g= a, 
.
Očito, potencijalnu funkciju treba odabrati kao v.
, 
S obzirom na to K m=U/(v II -v I) = U/str
(2.106)
Na u < -5 в области от v I=0 do vII=p, dobiva se gotovo jednolično polje s jakošću U/a. Na u®0 napon na elektrodi ( v=v II = p) snažno raste i teži beskonačnosti kao u=0. Najveća napetost u stvarnim sustavima ne nestaje:
. (2.107)
Pri konačnoj debljini ploče kondenzatora v¹p i napetost ostaje konačna. Veličina v treba odabrati tako da se ekvipotencijalna površina poklapa sa stvarnom površinom ploče kondenzatora. Neka v= 174° = 29p/30, tada je omjer napona na rubu elektrode prema prosječnom naponu:
.
Može se vidjeti da čak i na prilično tupom rubu napetost naglo raste. Taj se omjer može približiti jedinici ako je površina elektrode izrađena u obliku ekvipotencijalne površine s v£ p/2. Ovaj profil elektrode naziva se profil Rogowskog (slika 2.21c). Na udaljenosti A= p (razmak između ploča je 2p) ima koordinatu v= p/2 i za to x = u+1; g= p/2+ e u, tj. na= p/2+ e (x-1) (2.108)
Profil Rogowskog je od velike praktične važnosti u eksperimentima na slomu u polju koje je blizu jednoličnog kako bi se eliminirao rubni učinak. U središtu uređaja s Rogowski elektrodama nalazi se jednolično polje.
Polje razdvojenih žica.
U visokonaponskim dalekovodima fazna žica je razdvojena u nekoliko vodiča kako bi se smanjili gubici prenesene snage zbog koronskog pražnjenja. Za opis podijeljenog polja
žice možete koristiti funkciju prikaza, gdje n –
broj pojedinačnih vodiča na koje je fazna žica podijeljena. Kako bismo ilustrirali metodu konformnih preslikavanja, razmotrimo razdvajanje u dvije žice ( n=2). (Imajte na umu da se ovaj slučaj može vrlo jednostavno riješiti korištenjem slikovne metode)
Neka avion z okomito na razdvojene žice. Odaberimo os x na z ravninu tako da prolazi kroz osi žica. Neka os g prolazi kroz sredinu segmenta između žica. Rješenje je uvelike pojednostavljeno ako nađemo ne-funkcije x,y=f(u,v), i funkcije u,v = f(x,y). Odvajanjem stvarnog i imaginarnog dijela dobivamo:
, 
Ekvipotencijalni pravci odgovaraju funkciji u. Funkcionirati u bio jednak nuli, logaritam mora biti jednak nuli, a izraz u uglatim zagradama mora biti jednak 1. Tada vrijedi relacija:
(x 2 +na 2) 2 = 2A 2 (x 2 -na 2)
Ova funkcija prolazi kroz ishodište z- avioni. Na u u rasponu -1,28< u < 0 на z- ravna, kružna područja promatraju se desno i lijevo od osi na. Na u£ -1.28 su praktički točke s koordinatama x = -A I x = A. Na u> 0 rješenja su zatvorene krivulje, koje s porastom u približavajući se obliku krugova. Ove krivulje predstavljaju potencijalne silnice dva cilindra s nabojima istog predznaka, tj. polja dviju žica s istim potencijalom. Točke na površini žica su od najvećeg interesa R 2 i R 1, u kojem se promatraju najveća i najmanja jakost polja. Točka R 2 nalazi se na površini žice u točki koja je najudaljenija od druge žice i ima koordinate:
, 
Uzimajući u obzir faktor razmjera za točku p 2 dobivamo:
. (2.109)
Pri s®0 sustav elektroda prelazi u sustav dva koaksijalna cilindra ( b=0, s=0) (vidi (2.18)):
Tipično za dalekovod p ³ 200.
Pitanja za samotestiranje
1. Navedite osnovne Laplaceove jednadžbe u prostoru, homogenom i planparalelnom polju.
2. Navedite formule za izračunavanje potencijala i jakosti polja točkastog naboja. Odredite kapacitet jedne metalne kuglice.
3. Navedite formule za izračun potencijala i jakosti polja jedne beskonačno tanke ravne žice beskonačne duljine.
4. Gdje su područja s maksimalnom jakošću polja koaksijalnog kabela. Nađite optimalni promjer unutarnje jezgre za zadanu veličinu vanjske ljuske i potencijalnu razliku između njih. Odredite linearni kapacitet koaksijalnog kabela.
5. Zašto se kabeli izrađuju s izolacijom od raznih vrsta dielektrika?
6. Objasnite konstrukciju kondenzatorskog ulaza i njegovu namjenu.
7. Što je metoda preklapanja, a što djelomični kapacitet?
8. Što je električni dipol, koje su karakteristike polja dipola? Za objašnjenje kojih se pojava koristi pojam dipola?
9. Koje su sličnosti i razlike između polja dva jednaka i različita naboja?
10. Grafički prikaži polje dviju suprotno nabijenih beskonačnih osi. Navedite formule za izračun takvog sustava i označite točke s maksimalnom jakošću polja.
11. Što je metoda refleksije? Objasnite suštinu metode na primjeru proračuna parametara polja jedne žice iznad zemlje.
12. Dajte metodu za izračunavanje parametara polja točkastog naboja koji se nalazi u blizini metalne kuglice.
13. Odredite jakost električnog polja na površini jedne žice koja se nalazi iznad tla.
14. Kako odrediti parametre polja trofaznog voda?
15. Odredite najveći napon kugličnog raspora.
16. Navedite metodu za određivanje parametara polja koje stvara vodič konačne duljine.
17. Dajte metodu za pronalaženje parametara polja koje stvara prstenasti naboj.
18. Dajte metodu za pronalaženje parametara polja koje stvara nabijeni disk.
19. Kako parametri polja ovise o polumjeru zakrivljenosti površine elektrode? Zašto površine visokonaponskih elektroda moraju biti zaglađene i brušene?
20. Objasnite suštinu metode konformnog preslikavanja i navedite redoslijed izračuna primjenom ove metode.
21. Što je Rogowski profil?
22. Kako nastaje prostorni naboj i kako mijenja karakteristike električnog polja?
23. Koja je od karakteristika električnog polja analog energije?
24. Koja je karakteristika električnog polja analogna sili?
25. U koju svrhu se na vodovima nazivnog napona 330 kV i više jednofazni vodič rastavlja u više paralelnih vodiča? Označite točke s najvećom napetosti na razdvojenim žicama. Koliki su razmaci između razdvojenih vodiča?
26. Gdje je jakost električnog polja u blizini površine zemlje veća: u udubljenju (rupa, klanac) ili na uzvisini (brdo, humak)? Svoj odgovor obrazložite grafički i računski.
27. Kako se mijenja jakost električnog polja u razini tla ispod jednokružnog dalekovoda s horizontalnim faznim vodovima?
28. Navedite algoritam za proračun kapacitivnosti uzemljenja trofaznog nadzemnog voda.
29. U koju svrhu se postavljaju prstenasti zasloni na visokonaponskim uređajima?
30. Izvedite formule za proračun parametara cilindričnog kondenzatora.
