Vjerojatnost je jedan od osnovnih pojmova teorije vjerojatnosti. Postoji nekoliko definicija ovog pojma. Dajmo definiciju koja se naziva klasičnom.
Vjerojatnost događaj je omjer broja elementarnih ishoda koji pogoduju određenom događaju i broja svih jednako mogućih ishoda iskustva u kojima se taj događaj može pojaviti.
Vjerojatnost događaja A označava se sa GODIŠNJE)(ovdje R- prvo slovo francuske riječi vjerojatnost- vjerojatnost).
Prema definiciji
gdje je broj osnovnih ishoda testa koji pogoduju izgledu događaja;
Ukupan broj mogućih elementarnih ishoda ispitivanja.
Ova definicija vjerojatnosti naziva se klasična. Nastala je u početnoj fazi razvoja teorije vjerojatnosti.
Broj se često naziva relativnom učestalošću pojavljivanja događaja. ALI u iskustvu.
Što je veća vjerojatnost događaja, to se češće događa, i obrnuto, što je manja vjerojatnost događaja, to se rjeđe događa. Kada je vjerojatnost događaja blizu jedan ili jednaka jedan, tada se javlja u gotovo svim pokusima. Kaže se da je takav događaj gotovo sigurno, tj. da se svakako može računati na njegovu ofenzivu.
Suprotno tome, kada je vjerojatnost nula ili vrlo mala, tada se događaj događa iznimno rijetko; kaže se da je takav događaj skoro nemoguće.
Ponekad se vjerojatnost izražava kao postotak: R(A) 100% je prosječni postotak broja pojavljivanja događaja A.
Primjer 2.13. Prilikom biranja telefonskog broja, pretplatnik je zaboravio jednu znamenku i birao je nasumično. Pronađite vjerojatnost da je željena znamenka pozvana.
Odluka.
Označiti sa ALI događaj - "potrebni broj je pozvan".
Pretplatnik je mogao birati bilo koju od 10 znamenki, tako da je ukupan broj mogućih elementarnih ishoda 10. Ovi ishodi su nekompatibilni, jednako mogući i čine cjelovitu grupu. Pogoduje događaju ALI samo jedan ishod (potreban broj je samo jedan).
Željena vjerojatnost jednaka je omjeru broja ishoda koji pogoduju događaju i broja svih elementarnih ishoda:
Klasična formula vjerojatnosti pruža vrlo jednostavan način izračunavanja vjerojatnosti koji ne zahtijeva eksperimentiranje. Međutim, jednostavnost ove formule je vrlo varljiva. Činjenica je da se prilikom korištenja u pravilu postavljaju dva vrlo teška pitanja:
1. Kako odabrati sustav ishoda iskustva da budu jednako vjerojatni i je li to uopće moguće učiniti?
2. Kako pronaći brojeve m i n?
Ako je više ispitanika uključeno u eksperiment, nije uvijek lako vidjeti jednako vjerojatne ishode.
Veliki francuski filozof i matematičar d'Alembert ušao je u povijest teorije vjerojatnosti svojom poznatom greškom, čija je bit bila u tome što je u eksperimentu sa samo dva novčića pogrešno odredio jednakovjerojatnost ishoda!
Primjer 2.14. ( d'Alembertova pogreška). Bacaju se dva identična novčića. Kolika je vjerojatnost da padnu na istu stranu?
d'Alembertovo rješenje.
Iskustvo ima tri jednako moguća ishoda:
1. Oba novčića će pasti na "orla";
2. Oba novčića će pasti na "repove";
3. Jedan od novčića će pasti na glavu, a drugi na rep.
Ispravno rješenje.
Iskustvo ima četiri jednako moguća ishoda:
1. Prvi će novčić pasti na "orla", drugi također na "orla";
2. Prvi novčić će pasti na "repove", drugi će također pasti na "repove";
3. Prvi novčić sletjet će na glavu, a drugi na rep;
4. Prvi novčić sletjet će na rep, a drugi na glavu.
Od toga će dva ishoda biti povoljna za naš događaj, pa je željena vjerojatnost jednaka .
d'Alembert je napravio jednu od najčešćih pogrešaka pri izračunavanju vjerojatnosti: spojio je dva elementarna ishoda u jedan, čime je vjerojatnost učinio nejednakim s preostalim ishodima eksperimenta.
"Slučajnost nije slučajna"... Zvuči kao da je filozof rekao, ali zapravo je proučavanje slučajnosti sudbina velike znanosti matematike. U matematici je slučajnost teorija vjerojatnosti. U članku će biti prikazane formule i primjeri zadataka, kao i glavne definicije ove znanosti.
Što je teorija vjerojatnosti?
Teorija vjerojatnosti jedna je od matematičkih disciplina koja proučava slučajne događaje.
Da bude malo jasnije, dajmo mali primjer: ako bacite novčić prema gore, može pasti glava ili rep. Sve dok je novčić u zraku, obje su ove mogućnosti moguće. Odnosno, vjerojatnost mogućih posljedica korelira 1:1. Ako se jedna izvuče iz špila sa 36 karata, vjerojatnost će biti označena kao 1:36. Čini se da nema što istraživati i predviđati, pogotovo uz pomoć matematičkih formula. Ipak, ako određenu radnju ponovite mnogo puta, tada možete identificirati određeni obrazac i na temelju njega predvidjeti ishod događaja u drugim uvjetima.
Da sumiramo sve navedeno, teorija vjerojatnosti u klasičnom smislu proučava mogućnost nastanka jednog od mogućih događaja u numeričkom smislu.
Sa stranica povijesti
Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri prvih zadataka pojavili su se u dalekom srednjem vijeku, kada su se prvi put pojavili pokušaji predviđanja ishoda kartaških igara.
U početku teorija vjerojatnosti nije imala nikakve veze s matematikom. Opravdano je empirijskim činjenicama ili svojstvima događaja koji su se mogli reproducirati u praksi. Prvi radovi na ovom području kao matematičkoj disciplini pojavili su se u 17. stoljeću. Osnivači su bili Blaise Pascal i Pierre Fermat. Dugo su proučavali kockanje i vidjeli određene obrasce o kojima su odlučili ispričati javnosti.
Istu tehniku izumio je Christian Huygens, iako nije bio upoznat s rezultatima istraživanja Pascala i Fermata. On je uveo pojam "teorije vjerojatnosti", formule i primjere koji se smatraju prvima u povijesti discipline.
Nemale važnosti su djela Jacoba Bernoullija, Laplaceovi i Poissonovi teoremi. Učinili su teoriju vjerojatnosti više poput matematičke discipline. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri osnovnih zadataka dobili su današnji oblik zahvaljujući Kolmogorovljevim aksiomima. Kao rezultat svih promjena, teorija vjerojatnosti postala je jedna od matematičkih grana.
Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti. Događaji
Glavni koncept ove discipline je "događaj". Događaji su tri vrste:
- Pouzdan. One koje će se ipak dogoditi (novčić će pasti).
- Nemoguće. Događaji koji se neće dogoditi ni u kojem scenariju (novčić će ostati visjeti u zraku).
- Slučajno. Oni koji će se dogoditi ili neće. Na njih mogu utjecati različiti čimbenici koje je vrlo teško predvidjeti. Ako govorimo o novčiću, onda nasumični čimbenici koji mogu utjecati na rezultat: fizičke karakteristike novčića, njegov oblik, početni položaj, sila bacanja itd.
Svi događaji u primjerima označeni su velikim latiničnim slovima, s izuzetkom R, koji ima drugačiju ulogu. Na primjer:
- A = "studenti su došli na predavanje."
- Ā = "studenti nisu došli na predavanje".
U praktičnim zadacima događaji se obično bilježe riječima.
Jedna od najvažnijih karakteristika događaja je njihova jednaka mogućnost. Odnosno, ako bacite novčić, moguće su sve varijante početnog pada dok ne padne. Ali događaji također nisu jednako vjerojatni. To se događa kada netko namjerno utječe na ishod. Na primjer, "označene" igraće karte ili kockice, u kojima je pomaknuto težište.
Događaji su također kompatibilni i nekompatibilni. Kompatibilni događaji ne isključuju pojavu jedan drugog. Na primjer:
- A = "student je došao na predavanje."
- B = "student je došao na predavanje."
Ti su događaji neovisni jedan o drugom, a pojava jednog od njih ne utječe na pojavu drugog. Nespojivi događaji definirani su činjenicom da pojava jednog isključuje pojavu drugoga. Ako govorimo o istom novčiću, onda gubitak "repova" onemogućuje pojavu "glava" u istom eksperimentu.
Radnje na događaje
Događaji se mogu množiti i zbrajati, odnosno u disciplinu se uvode logički veznici "I" i "ILI".
Iznos je određen činjenicom da se ili događaj A, ili B, ili oba mogu dogoditi u isto vrijeme. U slučaju kada su nekompatibilni, zadnja opcija je nemoguća, ili A ili B će ispasti.
Umnožavanje događaja sastoji se u pojavi A i B u isto vrijeme.
Sada možete dati nekoliko primjera kako biste bolje zapamtili osnove, teoriju vjerojatnosti i formule. Primjeri rješavanja problema u nastavku.
Vježba 1: Tvrtka se natječe za ugovore za tri vrste radova. Mogući događaji koji se mogu dogoditi:
- A = "poduzeće će primiti prvi ugovor."
- A 1 = "poduzeće neće primiti prvi ugovor."
- B = "poduzeće će dobiti drugi ugovor."
- B 1 = "poduzeće neće primiti drugi ugovor"
- C = "poduzeće će dobiti treći ugovor."
- C 1 = "poduzeće neće primiti treći ugovor."
Pokušajmo izraziti sljedeće situacije pomoću radnji na događaje:
- K = "poduzeće će primiti sve ugovore."
U matematičkom obliku, jednadžba će izgledati ovako: K = ABC.
- M = "poduzeće neće dobiti niti jedan ugovor."
M \u003d A 1 B 1 C 1.
Kompliciramo zadatak: H = "firma će dobiti jedan ugovor." Budući da nije poznato koji će ugovor tvrtka dobiti (prvi, drugi ili treći), potrebno je zabilježiti cijeli niz mogućih događaja:
H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.
A 1 BC 1 je niz događaja u kojima tvrtka ne prima prvi i treći ugovor, ali prima drugi. Drugi mogući događaji također se bilježe odgovarajućom metodom. Simbol υ u disciplini označava hrpu "ILI". Ako gornji primjer prevedemo na ljudski jezik, tada će tvrtka dobiti ili treći ugovor, ili drugi, ili prvi. Slično, možete napisati i druge uvjete u disciplini "Teorija vjerojatnosti". Gore navedene formule i primjeri rješavanja problema pomoći će vam da to učinite sami.
Zapravo, vjerojatnost
Možda je u ovoj matematičkoj disciplini vjerojatnost događaja središnji pojam. Postoje 3 definicije vjerojatnosti:
- klasična;
- statistički;
- geometrijski.
Svaki od njih ima svoje mjesto u proučavanju vjerojatnosti. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri (9. razred) uglavnom koriste klasičnu definiciju koja zvuči ovako:
- Vjerojatnost situacije A jednaka je omjeru broja ishoda koji pogoduju njenom nastanku i broja svih mogućih ishoda.
Formula izgleda ovako: P (A) \u003d m / n.
I, zapravo, događaj. Ako se dogodi suprotno od A, može se napisati kao Ā ili A 1 .
m je broj mogućih povoljnih slučajeva.
n - svi događaji koji se mogu dogoditi.
Na primjer, A \u003d "izvucite karticu odijela srca". U standardnom špilu ima 36 karata, od kojih je 9 od srca. Prema tome, formula za rješavanje problema izgledat će ovako:
P(A)=9/36=0,25.
Kao rezultat toga, vjerojatnost da će se iz špila izvući karta u obliku srca bit će 0,25.
na višu matematiku
Sada je postalo malo poznato što je teorija vjerojatnosti, formule i primjeri rješavanja zadataka koji se susreću u školskom programu. Međutim, teorija vjerojatnosti nalazi se i u višoj matematici, koja se predaje na sveučilištima. Najčešće operiraju s geometrijskim i statističkim definicijama teorije i složenim formulama.
Teorija vjerojatnosti je vrlo zanimljiva. Formule i primjeri (viša matematika) bolje je početi učiti od male - od statističke (ili učestalosti) definicije vjerojatnosti.
Statistički pristup nije u suprotnosti s klasičnim pristupom, ali ga neznatno proširuje. Ako je u prvom slučaju bilo potrebno odrediti s kojim stupnjem vjerojatnosti će se događaj dogoditi, tada je u ovoj metodi potrebno naznačiti koliko će se često događati. Ovdje se uvodi novi koncept “relativne frekvencije” koji se može označiti s W n (A). Formula se ne razlikuje od klasične:
Ako se za predviđanje izračunava klasična formula, onda se statistička izračunava prema rezultatima eksperimenta. Uzmimo, na primjer, mali zadatak.
Odjel tehnološke kontrole provjerava kvalitetu proizvoda. Među 100 proizvoda utvrđeno je da su 3 bila loše kvalitete. Kako pronaći frekvencijsku vjerojatnost kvalitetnog proizvoda?
A = "izgled kvalitetnog proizvoda."
W n (A)=97/100=0,97
Dakle, učestalost kvalitetnog proizvoda je 0,97. Odakle ti 97? Od 100 proizvoda koji su provjereni, 3 su se pokazala loše kvalitete. Od 100 oduzmemo 3, dobijemo 97, to je količina kvalitetnog proizvoda.
Malo o kombinatorici
Druga metoda teorije vjerojatnosti naziva se kombinatorika. Njegovo osnovno načelo je da ako se određeni izbor A može napraviti na m različitih načina, a izbor B na n različitih načina, tada se izbor A i B može napraviti množenjem.
Na primjer, postoji 5 cesta od grada A do grada B. Postoje 4 rute od grada B do grada C. Na koliko načina se može doći od grada A do grada C?
Jednostavno je: 5x4 = 20, odnosno postoji dvadeset različitih načina da dođete od točke A do točke C.
Otežajmo zadatak. Na koliko načina postoji kartanje u pasijansu? U špilu od 36 karata, ovo je početna točka. Da biste saznali broj načina, trebate "oduzeti" jednu kartu od početne točke i pomnožiti.
To jest, 36x35x34x33x32…x2x1= rezultat ne stane na ekran kalkulatora, pa se može jednostavno označiti kao 36!. Potpiši "!" pored broja označava da se cijeli niz brojeva međusobno množi.
U kombinatorici postoje koncepti kao što su permutacija, smještaj i kombinacija. Svaki od njih ima svoju formulu.
Uređeni skup elemenata skupa naziva se raspored. Položaji se mogu ponavljati, što znači da se jedan element može koristiti više puta. I bez ponavljanja, kada se elementi ne ponavljaju. n su svi elementi, m su elementi koji sudjeluju u postavljanju. Formula za postavljanje bez ponavljanja izgledat će ovako:
A n m =n!/(n-m)!
Veze od n elemenata koje se razlikuju samo po redoslijedu postavljanja nazivaju se permutacije. U matematici to izgleda ovako: P n = n!
Kombinacije n elemenata po m su takvi spojevi u kojima je važno koji su elementi bili i koliki je njihov ukupan broj. Formula će izgledati ovako:
A n m =n!/m!(n-m)!
Bernoullijeva formula
U teoriji vjerojatnosti, kao i u svakoj disciplini, postoje radovi vrhunskih istraživača u svom području koji su je podigli na novu razinu. Jedno od tih djela je Bernoullijeva formula, koja vam omogućuje da odredite vjerojatnost da će se određeni događaj dogoditi u neovisnim uvjetima. To sugerira da pojava A u eksperimentu ne ovisi o pojavljivanju ili nepostojanju istog događaja u prethodnim ili sljedećim testovima.
Bernoullijeva jednadžba:
P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .
Vjerojatnost (p) pojave događaja (A) je nepromijenjena za svaki pokus. Vjerojatnost da će se situacija dogoditi točno m puta u n broj pokusa izračunat će se prema gore prikazanoj formuli. Sukladno tome, postavlja se pitanje kako saznati broj q.
Ako se događaj A dogodi p broj puta, prema tome, možda se neće dogoditi. Jedinica je broj koji se koristi za označavanje svih ishoda situacije u disciplini. Stoga je q broj koji ukazuje na mogućnost da se događaj ne dogodi.
Sada znate Bernoullijevu formulu (teoriju vjerojatnosti). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema (prva razina).
Zadatak 2: Posjetitelj trgovine obavit će kupnju s vjerojatnošću od 0,2. Samostalno je u trgovinu ušlo 6 posjetitelja. Kolika je vjerojatnost da će posjetitelj obaviti kupnju?
Rješenje: Budući da nije poznato koliko posjetitelja treba izvršiti kupnju, jedan ili svih šest, potrebno je izračunati sve moguće vjerojatnosti koristeći Bernoullijevu formulu.
A = "posjetitelj će izvršiti kupnju."
U ovom slučaju: p = 0,2 (kako je naznačeno u zadatku). Prema tome, q=1-0,2 = 0,8.
n = 6 (jer u trgovini ima 6 kupaca). Broj m promijenit će se iz 0 (nijedan kupac neće kupiti) na 6 (svi posjetitelji trgovine će nešto kupiti). Kao rezultat, dobivamo rješenje:
P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.
Nitko od kupaca neće izvršiti kupnju s vjerojatnošću od 0,2621.
Kako se inače koristi Bernoullijeva formula (teorija vjerojatnosti)? Primjeri rješavanja problema (druga razina) u nastavku.
Nakon gornjeg primjera postavljaju se pitanja gdje su C i p otišli. S obzirom na p, broj na stepen od 0 bit će jednak jedan. Što se tiče C, može se pronaći po formuli:
C n m = n! /m!(n-m)!
Budući da je u prvom primjeru m = 0, odnosno C=1, što u principu ne utječe na rezultat. Koristeći novu formulu, pokušajmo saznati kolika je vjerojatnost da će dva posjetitelja kupiti robu.
P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.
Teorija vjerojatnosti nije tako komplicirana. Bernoullijeva formula, čiji su primjeri prikazani gore, izravan je dokaz za to.
Poissonova formula
Poissonova se jednadžba koristi za izračunavanje malo vjerojatnih slučajnih situacija.
Osnovna formula:
P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .
U ovom slučaju, λ = n x p. Evo tako jednostavne Poissonove formule (teorija vjerojatnosti). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema.
Zadatak 3 O: Tvornica je proizvela 100.000 dijelova. Izgled neispravnog dijela = 0,0001. Kolika je vjerojatnost da će u seriji biti 5 neispravnih dijelova?
Kao što vidite, brak je malo vjerojatan događaj i stoga se za izračun koristi Poissonova formula (teorija vjerojatnosti). Primjeri rješavanja problema ove vrste ne razlikuju se od ostalih zadataka discipline, potrebne podatke zamjenjujemo u gornju formulu:
A = "slučajno odabrani dio bit će neispravan."
p = 0,0001 (prema uvjetu dodjele).
n = 100000 (broj dijelova).
m = 5 (neispravni dijelovi). Zamjenjujemo podatke u formuli i dobivamo:
100 000 R (5) = 10 5 / 5! Xe -10 = 0,0375.
Baš kao i Bernoullijeva formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješenja pomoću koje su napisani gore, Poissonova jednadžba ima nepoznato e. U biti, može se pronaći po formuli:
e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .
Međutim, postoje posebne tablice koje sadrže gotovo sve vrijednosti e.
De Moivre-Laplaceov teorem
Ako je u Bernoullijevoj shemi broj pokušaja dovoljno velik, a vjerojatnost pojave događaja A u svim shemama jednaka, tada se vjerojatnost pojave događaja A određeni broj puta u nizu pokušaja može pronaći pomoću Laplaceova formula:
R n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).
Xm = m-np/√npq.
Da biste bolje zapamtili Laplaceovu formulu (teorija vjerojatnosti), primjeri zadataka koji će vam pomoći u nastavku.
Prvo pronađemo X m , zamjenjujemo podatke (svi su gore navedeni) u formulu i dobivamo 0,025. Pomoću tablica nalazimo broj ϕ (0,025), čija je vrijednost 0,3988. Sada možete zamijeniti sve podatke u formuli:
P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.
Dakle, vjerojatnost da će letak pogoditi točno 267 puta je 0,03.
Bayesova formula
Bayesova formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješavanja zadataka pomoću koje će biti dati u nastavku, je jednadžba koja opisuje vjerojatnost događaja na temelju okolnosti koje bi se mogle povezati s njim. Glavna formula je sljedeća:
P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).
A i B su određeni događaji.
P(A|B) - uvjetna vjerojatnost, odnosno događaj A može se dogoditi, pod uvjetom da je događaj B istinit.
R (V|A) - uvjetna vjerojatnost događaja V.
Dakle, završni dio kratkog tečaja "Teorija vjerojatnosti" je Bayesova formula, primjeri rješavanja problema s kojima su u nastavku.
Zadatak 5: U skladište su doneseni telefoni iz tri tvrtke. Istovremeno, dio telefona koji se proizvodi u prvoj tvornici iznosi 25%, u drugoj - 60%, u trećoj - 15%. Također je poznato da je prosječni postotak neispravnih proizvoda u prvoj tvornici 2%, u drugoj - 4%, au trećoj - 1%. Potrebno je pronaći vjerojatnost da će slučajno odabrani telefon biti neispravan.
A = "slučajno uzet telefon."
B 1 - telefon koji je prva tvornica napravila. Sukladno tome, pojavit će se uvodni B 2 i B 3 (za drugu i treću tvornicu).
Kao rezultat, dobivamo:
P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - tako da smo pronašli vjerojatnost svake opcije.
Sada morate pronaći uvjetne vjerojatnosti željenog događaja, odnosno vjerojatnost neispravnih proizvoda u tvrtkama:
P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;
P (A / B 2) \u003d 0,04;
P (A / B 3) \u003d 0,01.
Sada zamjenjujemo podatke u Bayesovu formulu i dobivamo:
P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.
Članak predstavlja teoriju vjerojatnosti, formule i primjere rješavanja problema, no to je samo vrh ledenog brijega jedne velike discipline. I nakon svega napisanog bit će logično postaviti pitanje je li teorija vjerojatnosti potrebna u životu. Jednostavnoj osobi je teško odgovoriti, bolje je pitati nekoga tko je uz njezinu pomoć više puta pogodio jackpot.
Osnove teorije vjerojatnosti
Plan:
1. Slučajni događaji
2. Klasična definicija vjerojatnosti
3. Proračun vjerojatnosti događaja i kombinatorika
4. Geometrijska vjerojatnost
Teoretske informacije
Slučajni događaji.
slučajna pojava- pojava čiji je ishod jednoznačno određen. Ovaj se koncept može tumačiti u prilično širokom smislu. Naime: sve je u prirodi sasvim slučajno, pojava i rođenje svakog pojedinca je slučajna pojava, izbor robe u trgovini također je slučajan fenomen, dobivanje ocjene na ispitu je slučajna pojava, bolest i oporavak su slučajni fenomeni itd.
Primjeri slučajnih pojava:
~ Pucanje se izvodi iz pištolja postavljenog pod određenim kutom prema horizontu. Pogoditi ga u metu je slučajno, ali pogoditi projektil u određenoj "rašći" je obrazac. Možete odrediti udaljenost bližu i dalje od koje projektil neće letjeti. Nabavite malo "raspršivanje školjki vilicama"
~ Isto tijelo se vaga nekoliko puta. Strogo govoreći, svaki put će se dobiti različiti rezultati, iako se razlikuju za zanemarivo malu količinu, ali različiti.
~ Zrakoplov koji leti po istoj ruti ima određeni koridor leta unutar kojeg zrakoplov može manevrirati, ali nikada neće imati potpuno istu rutu
~ Sportaš nikada neće moći trčati istu udaljenost s istim vremenom. Njegovi će rezultati također biti unutar određenog brojčanog raspona.
Iskustvo, eksperiment, promatranje su testovi
Suđenje- uočavanje ili ispunjenje određenog skupa uvjeta koji se ponavljaju, a redovito ponavljaju u istom slijedu, trajanju, uz promatranje drugih identičnih parametara.
Uzmimo u obzir izvedbu sportaša koji je pogodio metu. Da bi se proizveo, potrebno je ispuniti uvjete kao što su priprema sportaša, punjenje oružja, nišanjenje itd. "Pogodak" i "promašaj" događaji su kao rezultat udarca.
Događaj– kvalitativni rezultat ispitivanja.
Događaj se može i ne mora dogoditi Događaji su označeni velikim latiničnim slovima. Na primjer: D ="Strijelac je pogodio metu". S="Bijela lopta izvučena". K="Nasumična srećka bez dobitka.".
Bacanje novčića je test. Pad njenog "grba" je jedan događaj, pad njenog "broja" je drugi događaj.
Svaki test uključuje pojavu nekoliko događaja. Neki od njih mogu biti potrebni istraživaču u određenom trenutku, dok drugi možda neće biti potrebni.
Događaj se naziva slučajan, ako pod provedbom određenog skupa uvjeta S može se dogoditi ili ne dogoditi. U nastavku, umjesto da kažemo "skup uvjeta S je ispunjen", kratko ćemo reći: "test je proveden." Dakle, događaj će se smatrati rezultatom testa.
~ Strijelac puca u metu podijeljenu na četiri područja. Snimak je test. Pogađanje određenog područja mete je događaj.
~ U urni su kuglice u boji. Jedna kuglica se nasumce izvlači iz urne. Vađenje lopte iz urne je test. Pojava lopte određene boje je događaj.
Vrste slučajnih događaja
1. Kažu da su događaji nespojivi ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugih događaja u istom ispitivanju.
~ Dio je nasumično uzet iz kutije s dijelovima. Izgled standardnog dijela isključuje izgled nestandardnog dijela. Događaji € pojavio se standardni dio" i pojavio se nestandardni dio" - nespojivo.
~ Bačen je novčić. Izgled "grba" isključuje izgled natpisa. Događaji "pojavio se grb" i "pojavio se natpis" su nespojivi.
Formira se nekoliko događaja puna grupa, ako se barem jedan od njih pojavi kao rezultat testa. Drugim riječima, pojava barem jednog od događaja cijele grupe je određeni događaj.
Konkretno, ako su događaji koji tvore kompletnu grupu parno nekompatibilni, tada će se kao rezultat testa pojaviti jedan i samo jedan od tih događaja.Ovaj poseban slučaj nas je od najvećeg interesa jer se koristi u nastavku.
~ Kupljene su dvije listiće lutrije novca i odjeće. Mora se dogoditi jedan i samo jedan od sljedećih događaja:
1. "dobitak je pao na prvi listić i nije pao na drugi",
2. "dobitak nije pao na prvi listić već je pao na drugi",
3. "dobitak je pao na oba listića",
4. "oba listića nisu osvojena."
Ovi događaji čine potpunu skupinu događaja koji nisu spojeni u parovima,
~ Strijelac je ispalio hitac u metu. Jedan od sljedeća dva događaja će se sigurno dogoditi: pogodak, promašaj. Ova dva nepovezana događaja također čine cjelovitu skupinu.
2. Događaji se zovu jednako moguće ako postoji razlog vjerovati da nijedno nije moguće više od drugog.
~ Pojava "grba" i pojava natpisa pri bacanju novčića podjednako su mogući događaji. Doista, pretpostavlja se da je novčić izrađen od homogenog materijala, pravilnog cilindričnog oblika, a prisutnost kovanog novca ne utječe na gubitak jedne ili druge strane novčića.
~ Pojava jednog ili drugog broja bodova na bačenoj kocki jednako je vjerojatan događaj. Doista, pretpostavlja se da je matrica izrađena od homogenog materijala, ima oblik pravilnog poliedra, a prisutnost točaka ne utječe na gubitak bilo kojeg lica.
3. Događaj se zove autentičan, ako se to ne može dogoditi
4. Događaj se zove nije pouzdan ako se to ne može dogoditi.
5. Događaj se zove suprotan na neki događaj ako se sastoji od nenastupanja zadanog događaja. Suprotni događaji nisu kompatibilni, ali jedan od njih se nužno mora dogoditi. Suprotni događaji se obično nazivaju negacijama, t.j. iznad slova je ispisana crtica. Događaji su suprotni: A i Ā; U i Ū itd. .
Klasična definicija vjerojatnosti
Vjerojatnost je jedan od osnovnih pojmova teorije vjerojatnosti.
Postoji nekoliko definicija ovog pojma. Dajmo definiciju koja se naziva klasičnom. Zatim, ukazujemo na slabosti ove definicije i dajemo druge definicije koje omogućuju prevladavanje nedostataka klasične definicije.
Razmotrite situaciju: kutija sadrži 6 identičnih loptica, 2 su crvene, 3 plave i 1 bijela. Očito, mogućnost da se iz urne nasumce izvuče obojena (tj. crvena ili plava) kugla veća je od mogućnosti izvlačenja bijele kugle. Ovu mogućnost možemo okarakterizirati brojem, koji se naziva vjerojatnost događaja (pojava kuglice u boji).
Vjerojatnost- broj koji karakterizira stupanj mogućnosti nastanka događaja.
U razmatranoj situaciji označavamo:
Događaj A = "Izvlačenje kuglice u boji".
Svaki od mogućih ishoda testa (test se sastoji od vađenja lopte iz urne) se zove elementarni (mogući) ishod i događaj. Elementarni ishodi mogu se označiti slovima s indeksima ispod, na primjer: k 1 , k 2 .
U našem primjeru postoji 6 loptica, dakle postoji 6 mogućih ishoda: pojavila se bijela kugla; pojavila se crvena lopta; pojavila se plava lopta i tako dalje. Lako je vidjeti da ovi ishodi tvore potpunu skupinu parno nespojivih događaja (nužno će se pojaviti samo jedna lopta) i jednako su vjerojatni (loptica se vadi nasumično, loptice su iste i temeljito izmiješane).
Elementarne ishode, u kojima se dogodi događaj koji nas zanima, nazvat ćemo povoljni ishodi ovaj događaj. U našem primjeru, događaj je favoriziran ALI(izgled kuglice u boji) sljedećih 5 ishoda:
Tako događaj ALI promatrano ako se pojavi u testu, bez obzira koji, od elementarnih ishoda koji idu u prilog ALI. Ovo je izgled bilo koje kuglice u boji, kojih u kutiji ima 5 komada
U razmatranom primjeru elementarnih ishoda 6; od kojih 5 favorizira događaj ALI. Stoga, P(A)= 5/6. Ovaj broj daje onu kvantifikaciju stupnja mogućnosti pojave kuglice u boji.
Definicija vjerojatnosti:
Vjerojatnost događaja A je omjer broja ishoda povoljnih za ovaj događaj prema ukupnom broju svih jednako mogućih nespojivih elementarnih ishoda koji čine cjelovitu skupinu.
P(A)=m/n ili P(A)=m: n, gdje je:
m je broj elementarnih ishoda koji pogoduju ALI;
P- broj svih mogućih elementarnih ishoda testa.
Ovdje se pretpostavlja da su elementarni ishodi nespojivi, jednako vjerojatni i da čine cjelovitu skupinu.
Iz definicije vjerojatnosti slijede sljedeća svojstva:
1. Vjerojatnost određenog događaja jednaka je jedan.
Doista, ako je događaj pouzdan, tada svaki elementarni ishod testa favorizira događaj. U ovom slučaju m = n dakle p=1
2. Vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.
Doista, ako je događaj nemoguć, tada niti jedan od elementarnih ishoda suđenja ne ide u prilog događaju. U ovom slučaju m=0, dakle p=0.
3.Vjerojatnost slučajnog događaja je pozitivan broj između nule i jedan. 0
U sljedećim temama bit će dati teoremi koji omogućuju, iz poznatih vjerojatnosti nekih događaja, pronaći vjerojatnosti drugih događaja.
Mjerenje. U grupi učenika je 6 djevojčica i 4 dječaka. Kolika je vjerojatnost da će slučajno odabrana učenica biti djevojka? hoće li to biti mladić?
p dev = 6 / 10 = 0,6 p jun = 4 / 10 = 0,4
Koncept "vjerojatnosti" u modernim rigoroznim tečajevima teorije vjerojatnosti izgrađen je na teorijskoj osnovi. Pogledajmo neke od ovih pristupa.
Pretpostavimo da se kao rezultat testa dogodi jedan i samo jedan od sljedećih događaja: w i(i=1, 2, .... n). Događaji w i, Zove se elementarni događaji (elementarni ishodi). O slijedi da su elementarni događaji parno nekompatibilni. Skup svih elementarnih događaja koji se mogu pojaviti u pokusu naziva se elementarni prostor događajaΩ (grčko slovo omega veliko), i sami elementarni događaji - točke u ovom prostoru..
Događaj ALI identificiran s podskupom (prostora Ω) čiji su elementi elementarni ishodi koji favoriziraju ALI; događaj NA je podskup Ω čiji su elementi ishodi koji pogoduju NA, itd. Dakle, skup svih događaja koji se mogu dogoditi u testu je skup svih podskupova Ω. Ω se sam pojavljuje za bilo koji ishod testa, stoga je Ω određeni događaj; prazan podskup prostora Ω je -nemogući događaj (ne događa se ni za jedan ishod testa).
Elementarni događaji se od svih događaja razlikuju po temama, "svaki od njih sadrži samo jedan element Ω
Na svaki elementarni ishod w i podudaraju s pozitivnim brojem p i je vjerojatnost ovog ishoda i zbroj svega p i jednak 1 ili sa predznakom zbroja, ova činjenica će biti zapisana kao izraz:
Po definiciji, vjerojatnost GODIŠNJE) događaji ALI jednak je zbroju vjerojatnosti favoriziranja elementarnih ishoda ALI. Stoga je vjerojatnost određenog događaja jednaka jedan, nemoguće - nuli, proizvoljna - između nule i jedan.
Razmotrimo jedan važan poseban slučaj, kada su svi ishodi jednako vjerojatni.Broj ishoda jednak je n, zbroj vjerojatnosti svih ishoda jednak je jedan; stoga je vjerojatnost svakog ishoda 1/n. Neka događaj ALI pogoduje m ishodima.
Vjerojatnost događaja ALI jednak je zbroju vjerojatnosti favoriziranja ishoda ALI:
P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1
Dobivena je klasična definicija vjerojatnosti.
Još uvijek postoji aksiomatski pristup konceptu "vjerojatnosti". U sustavu predloženih aksioma. Kolmogorov A.N., nedefinirani koncepti su elementarni događaj i vjerojatnost. Izgradnja logički potpune teorije vjerojatnosti temelji se na aksiomatskoj definiciji slučajnog događaja i njegove vjerojatnosti.
Evo aksioma koji definiraju vjerojatnost:
1. Svaki događaj ALI dodijeljen nenegativni realni broj GODIŠNJE). Taj se broj naziva vjerojatnost događaja. ALI.
2. Vjerojatnost određenog događaja jednaka je jedan:
3. Vjerojatnost pojave barem jednog od parno nespojivih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja.
Na temelju ovih aksioma, svojstva vjerojatnosti za odnos između njih izvode se kao teoremi.
Za praktične aktivnosti važno je znati usporediti događaje prema stupnju mogućnosti njihova nastanka. Očigledno, događaji - "kiša" i "snijeg" prvog dana ljeta u određenom području, "osvojiti jedan listić" i "osvojiti svaki od 5 kupljenih listića" na lutriji za novac i odjeću imaju različite stupnjeve mogućnosti njihova pojava. Stoga je potrebna određena mjera za usporedbu događaja.
Za kvantificiranje stupnja mogućnosti slučajnog događaja koristi se izraz vjerojatnost.
Postavimo zadatak da kvantificiramo mogućnost da pri bacanju kocke ispadnu 4 boda. Gubitak četiri boda smatrat će se događajem A. Svaki od mogućih rezultata testa (test - bacanje kocke) nazivat će se elementarnim ishodom (elementarni događaj).U našem primjeru moguće je sljedećih 6 elementarnih ishoda: 1 bod, 2 boda, 3 boda, 4 boda, 5 bodova, 6 bodova. One elementarne ishode u kojima se dogodi događaj koji nas zanima, nazvat ćemo povoljnim za ovaj događaj. U našem primjeru, od šest osnovnih ishoda, događaj A favorizira jedan. Dakle, vjerojatnost da će broj ubačenih bodova biti jednak 4 jednaka je 1/6. Ovaj broj daje kvantitativnu procjenu stupnja mogućnosti pojave četiri točke koje smo željeli pronaći.
Prema klasičnoj definiciji, vjerojatnost događaja A jednaka je omjeru broja ishoda povoljnih za ovaj događaj i ukupnog broja jednako mogućih elementarnih ishoda.
Iz definicije vjerojatnosti slijede sljedeća svojstva:
Svojstvo 1. Vjerojatnost određenog događaja jednaka je jedan.
P(A) = m/n = n/n = 1.
Svojstvo 2. Vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.
P(A) = m/n = 0/n = 0.
Svojstvo 3. Vjerojatnost slučajnog događaja je pozitivan broj između nule i jedan.
0
GODIŠNJE) 
1.
Primjer 1. Na području poduzeća došlo je do kvara u vodoopskrbi. Ukupna duljina vodoopskrbe je 150 m. Uključujući 50 m cijevi pada na teško dostupna mjesta. Kolika je vjerojatnost da će se popravak morati obaviti na teško dostupnom području?
P(A) = 50/150 = 1/3
Primjer 2. Urna sadrži m bijelih i n crnih kuglica. Kolika je vjerojatnost izvlačenja bijele kugle (događaj A)?
3. Statistička definicija vjerojatnosti.
Koristeći klasičnu definiciju vjerojatnosti, može se izračunati vjerojatnost slučajnog događaja bez pribjegavanja iskustvu. Međutim, to nije uvijek izvedivo, jer u praksi nije uvijek moguće promatrati uvjet jednakovjerojatnosti koji leži u osnovi klasične definicije.
Na primjer, ako je novčić spljošten, tada se događaji "pojava grba" i "izgled broja" ne mogu smatrati jednako mogućim, a formula (1) neće biti primjenjiva za izračunavanje vjerojatnosti bilo kojeg od njih . Iz tog razloga, uz klasičnu definiciju, koristi se i statistička definicija vjerojatnosti.
Prilikom proučavanja fenomena mase, slučajni događaj ili slučajna varijabla može se pojaviti nekoliko puta tijekom testa. Neka se, na primjer, u n pokusa događaj A pojavio m puta. Broj m naziva se učestalost pojavljivanja događaja A. Omjer učestalosti događaja A i ukupnog broja pokušaja P naziva se frekvencija događaja ili relativna frekvencija, koja se označava sa
Ako slučajni događaj ima stalnu učestalost tijekom niza pokušaja, t.j. u svakoj seriji testova, učestalost ovog događaja se neznatno mijenja i fluktuira oko određenog pozitivnog broja, tada se taj broj uzima kao vjerojatnost ovog događaja. Ovako izračunata vjerojatnost naziva se statistička vjerojatnost.
(2)
Primjer 1. Bacimo novčić 10 puta i dobićemo, na primjer, sljedeće rezultate:
|
G, G, C, G, C, |
G, C, G, C, 10) C, |
S povećanjem broja testova, fluktuacije frekvencije se smanjuju i frekvencija postaje praktički stabilna. Takva stabilna frekvencija uzima se jednakom vjerojatnosti događaja koji nas zanima.
U primjeru bacanja novčića, broj pokušaja je proizvoljan. Zapravo, da bi se dobila pouzdana vrijednost vjerojatnosti, broj pokusa trebao bi biti mnogo veći.
U gospodarstvu, kao i u drugim područjima ljudskog djelovanja ili u prirodi, stalno se moramo suočiti s događajima koji se ne mogu točno predvidjeti. Dakle, obujam prodaje robe ovisi o potražnji, koja može značajno varirati, te o nizu drugih čimbenika koje je gotovo nemoguće uzeti u obzir. Stoga se pri organiziranju proizvodnje i prodaje ishod takvih aktivnosti mora predvidjeti na temelju ili vlastitog prethodnog iskustva, ili sličnog iskustva drugih ljudi, ili intuicije, koja se također dobrim dijelom temelji na eksperimentalnim podacima.
Da bi se na neki način vrednovao događaj koji se razmatra, potrebno je uzeti u obzir ili posebno organizirati uvjete u kojima se ovaj događaj snima.
Provedba određenih uvjeta ili radnji za identifikaciju dotičnog događaja naziva se iskustvo ili eksperiment.
Događaj se zove nasumično ako se kao rezultat pokusa može dogoditi ili ne mora.
Događaj se zove pouzdan, ako se nužno pojavljuje kao rezultat ovog iskustva, i nemoguće ako se ne može pojaviti u ovom iskustvu.
Na primjer, snijeg u Moskvi 30. studenoga je slučajan događaj. Dnevni izlazak sunca može se smatrati određenim događajem. Snježne padaline na ekvatoru mogu se smatrati nemogućim događajem.
Jedan od glavnih problema u teoriji vjerojatnosti je problem određivanja kvantitativne mjere mogućnosti nastanka događaja.
Algebra događaja
Događaji se nazivaju nespojivim ako se ne mogu promatrati zajedno u istom iskustvu. Dakle, prisutnost dva i tri automobila u jednoj prodavaonici u isto vrijeme dva su nespojiva događaja.
iznos događaj je događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od ovih događaja
Primjer zbroja događaja je prisutnost barem jednog od dva proizvoda u trgovini.
raditi događajima se naziva događaj koji se sastoji u istovremenom nastanku svih tih događaja
Događaj koji se sastoji u pojavi dvije robe u isto vrijeme u trgovini je proizvod događaja: - pojava jednog proizvoda, - pojave drugog proizvoda.
Događaji čine cjelovitu skupinu događaja ako se barem jedan od njih nužno javlja u iskustvu.
Primjer. Luka ima dva veza za brodove. Mogu se smatrati tri događaja: - izostanak plovila na vezovima, - prisutnost jednog plovila na jednom od vezova, - prisutnost dva plovila na dva veza. Ova tri događaja čine cjelovitu grupu događaja.
Suprotan nazivaju se dva jedinstvena moguća događaja koji čine cjelovitu grupu.
Ako je jedan od suprotnih događaja označen s , tada se suprotni događaj obično označava s .
Klasične i statističke definicije vjerojatnosti događaja
Svaki od jednako mogućih rezultata ispitivanja (pokusa) naziva se elementarni ishod. Obično se označavaju slovima. Na primjer, baca se kocka. Prema broju bodova na stranama može biti šest elementarnih ishoda.
Od elementarnih ishoda možete sastaviti složeniji događaj. Dakle, događaj parnog broja bodova određen je s tri ishoda: 2, 4, 6.
Kvantitativna mjera mogućnosti nastanka događaja koji se razmatra je vjerojatnost.
Dvije definicije vjerojatnosti događaja najčešće se koriste: klasična i statistički.
Klasična definicija vjerojatnosti povezana je s pojmom povoljnog ishoda.
Egzodus se zove povoljan ovaj događaj, ako njegovo pojavljivanje povlači nastanak ovog događaja.
U navedenom primjeru, događaj koji se razmatra je paran broj bodova na oborenom rubu, ima tri povoljna ishoda. U ovom slučaju, general
broj mogućih ishoda. Dakle, ovdje možete koristiti klasičnu definiciju vjerojatnosti događaja.
Klasična definicija jednak je omjeru broja povoljnih ishoda i ukupnog broja mogućih ishoda
gdje je vjerojatnost događaja, broj povoljnih ishoda za događaj, ukupan broj mogućih ishoda.
U razmatranom primjeru
Statistička definicija vjerojatnosti povezana je s konceptom relativne učestalosti pojavljivanja događaja u eksperimentima.
Relativna učestalost pojavljivanja događaja izračunava se po formuli
gdje je broj pojavljivanja događaja u nizu pokusa (testova).
Statistička definicija. Vjerojatnost događaja je broj u odnosu na koji se relativna frekvencija stabilizira (uspostavlja) uz neograničeno povećanje broja pokusa.
U praktičnim problemima, relativna učestalost za dovoljno velik broj pokušaja uzima se kao vjerojatnost događaja.
Iz ovih definicija vjerojatnosti događaja može se vidjeti da nejednakost uvijek vrijedi
Za određivanje vjerojatnosti događaja na temelju formule (1.1), kombinatoričke formule često se koriste za pronalaženje broja povoljnih ishoda i ukupnog broja mogućih ishoda.
