Ecuación de una recta que pasa por dos puntos. En el artículo" " Te prometí analizar la segunda forma de resolver los problemas presentados para encontrar la derivada, con una función gráfica dada y una tangente a esta gráfica. Exploraremos este método en , ¡No te pierdas! Por qué¿Siguiente?
El hecho es que allí se utilizará la fórmula de la ecuación de una línea recta. Por supuesto, uno podría simplemente mostrar esta fórmula y recomendarle que la aprenda. Pero es mejor explicar de dónde viene (cómo se deriva). ¡Es necesario! Si lo olvida, restáurelo rápidamenteno será difícil. Todo se detalla a continuación. Entonces, tenemos dos puntos A en el plano de coordenadas(x 1; y 1) y B (x 2; y 2), se traza una línea recta por los puntos indicados: 
Aquí está la fórmula directa:
*Es decir, al sustituir las coordenadas específicas de los puntos, obtenemos una ecuación de la forma y=kx+b.
** Si esta fórmula simplemente se “memoriza”, entonces existe una alta probabilidad de confundirse con los índices cuando X. Además, los índices se pueden denotar de diferentes maneras, por ejemplo:
Por eso es importante entender el significado.
Ahora la derivación de esta fórmula. ¡Todo es muy simple!
Los triángulos ABE y ACF son semejantes en esquina filosa(el primer signo de similitud triángulos rectángulos). De esto se deduce que las proporciones de los elementos correspondientes son iguales, es decir:
Ahora simplemente expresamos estos segmentos en términos de la diferencia en las coordenadas de los puntos:
Por supuesto, no habrá ningún error si escribe las relaciones de los elementos en un orden diferente (lo principal es mantener la correspondencia):
El resultado es la misma ecuación de una línea recta. ¡Es todo!
Es decir, no importa cómo se designen los puntos (y sus coordenadas), al comprender esta fórmula, siempre encontrará la ecuación de una línea recta.
La fórmula se puede deducir a partir de las propiedades de los vectores, pero el principio de derivación será el mismo, ya que hablaremos de la proporcionalidad de sus coordenadas. En este caso, funciona la misma similitud de los triángulos rectángulos. En mi opinión, la conclusión descrita anteriormente es más comprensible)).
Ver salida a través de coordenadas vectoriales >>>
Sea una línea recta construida en el plano de coordenadas que pasa por dos puntos dados A (x 1; y 1) y B (x 2; y 2). Marquemos un punto arbitrario C en la recta de coordenadas ( X; y). También denotamos dos vectores:
Se sabe que para los vectores que se encuentran en líneas paralelas (o en una línea), sus coordenadas correspondientes son proporcionales, es decir:
- escribimos la igualdad de los cocientes de las coordenadas correspondientes:
Considere un ejemplo:
Halla la ecuación de una recta que pasa por dos puntos de coordenadas (2;5) y (7:3).
Ni siquiera puedes construir la línea en sí. Aplicamos la fórmula:
Es importante que capte la correspondencia al elaborar la relación. No puedes equivocarte si escribes:
Respuesta: y=-2/5x+29/5 vamos y=-0.4x+5.8
Para asegurarse de que la ecuación resultante se encuentra correctamente, asegúrese de verificarla: sustituya las coordenadas de datos en la condición de los puntos. Debe obtener igualdades correctas.
Eso es todo. Espero que el material te haya sido de utilidad.
Atentamente, Alejandro.
P.D: Le agradecería que hablara del sitio en las redes sociales.
Se dan dos puntos M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2). Escribimos la ecuación de una línea recta en la forma (5), donde k coeficiente aún desconocido:
Desde el punto M 2 pertenece a una línea dada, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación (5): 
. Expresando a partir de aquí y sustituyéndolo en la ecuación (5), obtenemos la ecuación deseada:
si un 
Esta ecuación se puede reescribir en una forma que sea más fácil de recordar:
(6)
Ejemplo. Escribe la ecuación de una recta que pasa por los puntos M 1 (1.2) y M 2 (-2.3)
Decisión. 
. Haciendo uso de la propiedad de la proporción, y realizando las transformaciones necesarias, obtenemos la ecuación general de una recta:
Ángulo entre dos rectas
Considere dos líneas el 1 y el 2:
el 1: , , y
el 2: , ,
φ es el ángulo entre ellos (). La Figura 4 muestra: .
 |
De aquí 
, o
Usando la fórmula (7), se puede determinar uno de los ángulos entre las líneas. El segundo ángulo es .
Ejemplo. Dos líneas rectas están dadas por las ecuaciones y=2x+3 y y=-3x+2. encontrar el ángulo entre estas líneas.
Decisión. A partir de las ecuaciones se puede ver que k 1 \u003d 2 y k 2 \u003d-3. sustituyendo estos valores en la fórmula (7), encontramos
. Entonces el ángulo entre estas líneas es .
Condiciones de paralelismo y perpendicularidad de dos rectas
si recto el 1 y el 2 son paralelos, entonces φ=0 y tgφ=0. de la fórmula (7) se sigue que , de donde k 2 \u003d k 1. Así, la condición para el paralelismo de dos rectas es la igualdad de sus pendientes.
si recto el 1 y el 2 perpendiculares, entonces φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . 
. Así, la condición para que dos rectas sean perpendiculares es que sus pendientes sean recíprocas en magnitud y de signo opuesto.
Distancia de punto a línea
Teorema. Si se da un punto M(x 0, y 0), entonces la distancia a la línea Ax + Vy + C \u003d 0 se define como
Prueba. Sea el punto M 1 (x 1, y 1) la base de la perpendicular trazada desde el punto M hasta la recta dada. Entonces la distancia entre los puntos M y M 1:
Las coordenadas x 1 e y 1 se pueden encontrar como una solución al sistema de ecuaciones:
La segunda ecuación del sistema es la ecuación de una línea recta que pasa por detrás Punto dado M 0 es perpendicular a una línea dada.
Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,
entonces, resolviendo, obtenemos:
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:
El teorema ha sido probado.
Ejemplo. Determine el ángulo entre las líneas: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k 1 \u003d -3; k2 = 2tgj= ; j = p/4.
Ejemplo. Demuestre que las rectas 3x - 5y + 7 = 0 y 10x + 6y - 3 = 0 son perpendiculares.
Encontramos: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, por lo tanto, las líneas son perpendiculares.
Ejemplo. Se dan los vértices del triángulo A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Encuentra la ecuación para la altura dibujada desde el vértice C.
Encontramos la ecuación del lado AB: ; 4x = 6y - 6;
2x - 3y + 3 = 0;
La ecuación de la altura deseada es: Ax + By + C = 0 o y = kx + b.
k= . Entonces y = . Porque la altura pasa por el punto C, luego sus coordenadas satisfacen esta ecuación: de donde b \u003d 17. Total: .
Respuesta: 3x + 2y - 34 = 0.
La distancia de un punto a una línea está determinada por la longitud de la perpendicular caída desde el punto a la línea.
Si la recta es paralela al plano de proyección (h | | P 1), entonces para determinar la distancia desde el punto PERO a derecho h es necesario dejar caer una perpendicular desde el punto PERO a la horizontal h.
Considere más ejemplo complejo cuando la línea ocupa posición general. Sea necesario determinar la distancia desde el punto METRO a derecho un posición general
Tarea de definición distancias entre lineas paralelas resuelto de forma similar al anterior. Se toma un punto en una línea y se traza una perpendicular desde él a otra línea. La longitud de la perpendicular es igual a la distancia entre las líneas paralelas.
Curva de segundo orden es una línea definida por una ecuación de segundo grado con respecto a las coordenadas cartesianas actuales. En el caso general, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,
donde A, B, C, D, E, F son números reales y al menos uno de los números A 2 + B 2 + C 2 ≠0.
Círculo
Centro del círculo- este es el lugar geométrico de los puntos en el plano equidistantes del punto del plano C (a, b).
El círculo está dado por la siguiente ecuación:
Donde x, y son las coordenadas de un punto arbitrario en el círculo, R es el radio del círculo.
Signo de la ecuación del círculo.
1. No hay término con x, y
2. Los coeficientes en x 2 y y 2 son iguales
Elipse
Elipse se llama el lugar geométrico de los puntos en un plano, la suma de las distancias de cada uno de los cuales desde dos puntos dados de este plano se llama focos (un valor constante).
Ecuación canónica de una elipse:
X e y pertenecen a una elipse.
a es el semieje mayor de la elipse
b es el semieje menor de la elipse
La elipse tiene 2 ejes de simetría OX y OY. Los ejes de simetría de la elipse son sus ejes, el punto de su intersección es el centro de la elipse. El eje sobre el que se ubican los focos se llama eje focal. El punto de intersección de la elipse con los ejes es el vértice de la elipse.
Relación de compresión (estiramiento): ε = c/a- excentricidad (caracteriza la forma de la elipse), cuanto menor es, menos se extiende la elipse a lo largo del eje focal.
Si los centros de la elipse no están en el centro С(α, β)
Hipérbola
Hipérbole Llamado lugar geométrico de los puntos en un plano, el valor absoluto de la diferencia de distancias, cada una de las cuales desde dos puntos dados de este plano, llamados focos, es un valor constante diferente de cero.
Ecuación canónica de una hipérbola
Una hipérbola tiene 2 ejes de simetría:
a - semieje real de simetría
b - semieje imaginario de simetría
Asíntotas de una hipérbola:
Parábola
parábola es el lugar geométrico de los puntos en un plano que equidistan de un punto F, llamado foco, y de una línea dada, llamada directriz.
Ecuación de parábola canónica:
Y 2 \u003d 2px, donde p es la distancia desde el foco hasta la directriz (parámetro de parábola)
Si el vértice de la parábola es C (α, β), entonces la ecuación de la parábola (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)
Si el eje focal se toma como el eje y, entonces la ecuación de la parábola tomará la forma: x 2 \u003d 2qy
Deje que la línea recta pase por los puntos M 1 (x 1; y 1) y M 2 (x 2; y 2). La ecuación de una línea recta que pasa por el punto M 1 tiene la forma y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)
donde k - Coeficiente aún desconocido.
Dado que la línea recta pasa por el punto M 2 (x 2 y 2), entonces las coordenadas de este punto deben satisfacer la ecuación (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).
A partir de aquí encontramos Sustituyendo el valor encontrado k
en la ecuación (10.6), obtenemos la ecuación de una línea recta que pasa por los puntos M 1 y M 2: 
Se supone que en esta ecuación x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Si x 1 \u003d x 2, entonces la línea recta que pasa por los puntos M 1 (x 1, y I) y M 2 (x 2, y 2) es paralela al eje y. su ecuacion es x = x 1 .
Si y 2 \u003d y I, entonces la ecuación de la línea recta se puede escribir como y \u003d y 1, la línea recta M 1 M 2 es paralela al eje x.
Ecuación de una recta en segmentos
Deje que la línea recta se cruce con el eje Ox en el punto M 1 (a; 0), y el eje Oy, en el punto M 2 (0; b). La ecuación tomará la forma: 
aquellas. 
. Esta ecuación se llama la ecuación de una recta en segmentos, porque los números a y b indican qué segmentos corta la línea recta en los ejes de coordenadas.
Ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a un vector dado
Encontremos la ecuación de una recta que pasa por un punto Mo (x O; y o) perpendicular a un vector distinto de cero n = (A; B).
Tome un punto arbitrario M(x; y) en la línea recta y considere el vector M 0 M (x - x 0; y - y o) (ver Fig. 1). Como los vectores n y M o M son perpendiculares, su producto escalar es igual a cero: es decir,
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
La ecuación (10.8) se llama ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a un vector dado .
El vector n = (A; B) perpendicular a la recta se llama normal vector normal de esta línea .
La ecuación (10.8) se puede reescribir como Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
donde A y B son las coordenadas del vector normal, C \u003d -Ax o - Vu o - miembro libre. Ecuación (10.9) es la ecuación general de una recta(ver Fig. 2).
Figura 1 Figura 2
Ecuaciones canónicas de la línea recta
,
Donde 
son las coordenadas del punto por el que pasa la recta, y 
- vector de dirección.
Curvas de segundo orden Círculo
Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de un punto dado, que se llama centro.
Ecuación canónica de un círculo de radio
R centrado en un punto 
:
En particular, si el centro de la estaca coincide con el origen, la ecuación se verá así: 
Elipse
Una elipse es un conjunto de puntos en un plano, la suma de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos dados
y 
, que se llaman focos, es un valor constante 
, mayor que la distancia entre los focos 
.
La ecuación canónica de una elipse cuyos focos se encuentran en el eje Ox y cuyo origen está en el medio entre los focos tiene la forma 
GRAMO 
Delaware un la longitud del semieje mayor; b es la longitud del semieje menor (Fig. 2).
Se dan dos puntos METRO(X 1 ,En 1) y norte(X 2,y 2). Encontremos la ecuación de la recta que pasa por estos puntos.
Como esta recta pasa por el punto METRO, entonces de acuerdo con la fórmula (1.13) su ecuación tiene la forma
En – Y 1 = k(x-x 1),
Donde k es la pendiente desconocida.
El valor de este coeficiente se determina a partir de la condición de que la recta deseada pase por el punto norte, lo que significa que sus coordenadas satisfacen la ecuación (1.13)
Y 2 – Y 1 = k(X 2 – X 1),
A partir de aquí se puede encontrar la pendiente de esta línea:
,
O después de la conversión
(1.14)
La fórmula (1.14) define Ecuación de una recta que pasa por dos puntos METRO(X 1, Y 1) y norte(X 2, Y 2).
En el caso particular de que los puntos METRO(UN, 0), norte(0, B), PERO ¹ 0, B¹ 0, se encuentran en los ejes de coordenadas, la ecuación (1.14) toma una forma más simple
Ecuación (1.15) llamado Ecuación de una recta en segmentos, aquí PERO y B denote segmentos cortados por una línea recta en los ejes (Figura 1.6).
Figura 1.6
Ejemplo 1.10. Escribe la ecuación de una recta que pasa por los puntos METRO(1, 2) y B(3, –1).
. De acuerdo con (1.14), la ecuación de la recta deseada tiene la forma
2(Y – 2) = -3(X – 1).
Pasando todos los términos al lado izquierdo, finalmente obtenemos la ecuación deseada
3X + 2Y – 7 = 0.
Ejemplo 1.11. Escribe una ecuación para una recta que pasa por un punto METRO(2, 1) y el punto de intersección de las rectas X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.
. Encontramos las coordenadas del punto de intersección de las líneas resolviendo estas ecuaciones juntas
Si sumamos estas ecuaciones término por término, obtenemos 2 X+ 1 = 0, de donde . Sustituyendo el valor encontrado en cualquier ecuación, encontramos el valor de la ordenada En:
Ahora escribamos la ecuación de una recta que pasa por los puntos (2, 1) y :
o .
Por lo tanto o -5( Y – 1) = X – 2.
Finalmente, obtenemos la ecuación de la recta deseada en la forma X + 5Y – 7 = 0.
Ejemplo 1.12. Hallar la ecuación de una recta que pasa por puntos METRO(2.1) y norte(2,3).
Usando la fórmula (1.14), obtenemos la ecuación
No tiene sentido porque el segundo denominador es cero. De la condición del problema se puede ver que las abscisas de ambos puntos tienen el mismo valor. Por lo tanto, la línea requerida es paralela al eje OY y su ecuación es: X = 2.
Comentario . Si, al escribir la ecuación de una línea recta de acuerdo con la fórmula (1.14), uno de los denominadores resulta ser igual a cero, entonces se puede obtener la ecuación deseada igualando el numerador correspondiente a cero.
Consideremos otras formas de establecer una línea recta en un plano.
1. Sea un vector distinto de cero perpendicular a una línea dada L, y el punto METRO 0(X 0, Y 0) se encuentra en esta línea (Figura 1.7).
Figura 1.7
Denotar METRO(X, Y) un punto arbitrario en la línea L. Vectores y 
Ortogonal. Usando las condiciones de ortogonalidad para estos vectores, obtenemos o PERO(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.
Hemos obtenido la ecuación de una recta que pasa por un punto METRO 0 es perpendicular al vector . Este vector se llama Vector normal a una línea recta L. La ecuación resultante se puede reescribir como
Vaya + Wu + Con= 0, donde Con = –(PEROX 0 + Por 0), (1.16),
Donde PERO y EN son las coordenadas del vector normal.
Obtenemos la ecuación general de una recta en forma paramétrica.
2. Una línea en un plano se puede definir de la siguiente manera: sea un vector distinto de cero paralelo a una línea dada L y punto METRO 0(X 0, Y 0) se encuentra en esta línea. Nuevamente, tome un punto arbitrario METRO(X, y) en línea recta (Figura 1.8).
Figura 1.8
Vectores y 
colineal
Escribamos la condición de colinealidad de estos vectores: , donde T es un número arbitrario, llamado parámetro. Escribamos esta igualdad en coordenadas:
Estas ecuaciones se llaman Ecuaciones paramétricas Derecho. Excluyamos de estas ecuaciones el parámetro T:
Estas ecuaciones se pueden escribir en la forma
. (1.18)
La ecuación resultante se llama ecuación canónica derecho. Llamada vectorial Dirección vectorial recta .
Comentario . Es fácil ver que si es el vector normal a la recta L, entonces su vector director puede ser el vector , ya que , es decir .
Ejemplo 1.13. Escribe la ecuación de una recta que pasa por un punto METRO 0(1, 1) paralelo a la línea 3 X + 2En– 8 = 0.
Decisión . El vector es el vector normal a las líneas dadas y deseadas. Usemos la ecuación de una línea recta que pasa por un punto METRO 0 con un vector normal dado 3( X –1) + 2(En– 1) = 0 o 3 X + 2 años- 5 \u003d 0. Obtuvimos la ecuación de la línea recta deseada.
