Ildizlarning xossalari, formulalari, isbotlari, misollari. Kvadrat ildiz. Misollar bilan batafsil nazariya Kvadrat ildiz, arifmetik kvadrat ildiz

\(\sqrt(a)=b\) agar \(b^2=a\), bu erda \(a≥0,b≥0\)

Misollar:

\(\sqrt(49)=7\), chunki \(7^2=49\)
\(\sqrt(0,04)=0,2\),chunki \(0,2^2=0,04\)

Raqamning kvadrat ildizini qanday chiqarish mumkin?

Raqamning kvadrat ildizini olish uchun siz o'zingizga savol berishingiz kerak: qaysi raqamning kvadrati ildiz ostidagi ifodani beradi?

misol uchun. Ildizni ajratib oling: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0.001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

a) Qaysi sonning kvadrati \(2500\) ni beradi?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) Qaysi sonning kvadrati \(\frac(4)(9)\) ni beradi?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

c) Qaysi sonning kvadrati \(0,0001\) ni beradi?

\(\sqrt(0.0001)=0.01\)

d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\) qaysi kvadrat sonni beradi? Savolga javob berish uchun siz noto'g'ri tarjima qilishingiz kerak.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Izoh: \(-50\), \(-\frac(2)(3)\) , \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\) berilgan savollarga ham javob bersa ham , lekin ular hisobga olinmaydi, chunki kvadrat ildiz har doim ijobiy bo'ladi.

Ildizning asosiy xususiyati

Ma'lumki, matematikada har qanday harakat teskari xususiyatga ega. Qo'shishda ayirish, ko'paytirishda bo'lish bor. Kvadratlashtirishning aksi kvadrat ildizni olishdir. Shunday qilib, bu harakatlar bir-birini bekor qiladi:

\((\sqrt(a))^2=a\)

Bu ko'pincha ishlatiladigan ildizning asosiy xususiyati (shu jumladan OGE da)

Misol . (OGE topshirig'i). \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\) ifoda qiymatini toping.

Qaror :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36) )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Misol . (OGE topshirig'i). \((\sqrt(85)-1)^2\) ifoda qiymatini toping.

Qaror:

Albatta, kvadrat ildiz bilan ishlashda siz boshqalardan foydalanishingiz kerak.

Misol . (OGE topshirig'i). \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\) ifoda qiymatini toping.
Qaror:

Javob: \(220\)

Har doim unutiladigan 4 ta qoida

Ildiz har doim ham olinmaydi

Misol: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) va boshqalar. - raqamdan ildiz chiqarish har doim ham mumkin emas va bu normaldir!

Sonning ildizi, shuningdek, son

\(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\) larga maxsus tarzda muomala qilishning hojati yo'q. Bu raqamlar, lekin butun sonlar emas, ha, lekin bizning dunyomizdagi hamma narsa butun sonlar bilan o'lchanmaydi.

Ildiz faqat manfiy bo'lmagan sonlardan olinadi

Shuning uchun, darsliklarda bunday yozuvlarni ko'rmaysiz \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\) va hokazo.

Men yana plastinkaga qaradim ... Va, ketaylik!

Oddiydan boshlaylik:

Bir daqiqa kuting. bu, ya'ni biz buni shunday yozishimiz mumkin:

Tushundim? Mana sizga keyingisi:

Olingan raqamlarning ildizlari aniq olinmaganmi? Xavotir olmang, bu erda bir nechta misollar mavjud:

Ammo ikkita ko'paytiruvchi emas, balki ko'proq bo'lsa-chi? Xuddi shu! Ildizni ko'paytirish formulasi har qanday omillar bilan ishlaydi:

Endi butunlay mustaqil:

Javoblar: Barakalla! Qabul qilaman, hamma narsa juda oson, asosiysi ko'paytirish jadvalini bilishdir!

Ildiz bo'linishi

Biz ildizlarning ko'payishini aniqladik, endi bo'linish xususiyatiga o'tamiz.

Sizga shuni eslatib o'tamanki, formula umumiy tarzda quyidagicha ko'rinadi:

Va bu shuni anglatadiki bo'lakning ildizi ildizlarning qismiga teng.

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:

Hammasi fan. Va bu erda bir misol:

Hamma narsa birinchi misoldagidek silliq emas, lekin siz ko'rib turganingizdek, hech qanday murakkab narsa yo'q.

Agar ifoda quyidagicha ko'rinsa nima bo'ladi:

Siz formulani teskari tartibda qo'llashingiz kerak:

Va bu erda bir misol:

Siz ushbu ifodani ham ko'rishingiz mumkin:

Hamma narsa bir xil, faqat bu erda siz kasrlarni qanday tarjima qilishni eslab qolishingiz kerak (agar eslamasangiz, mavzuga qarang va qaytib keling!). Esingizdami? Endi biz qaror qilamiz!

Ishonchim komilki, siz hamma narsani, hamma narsani engdingiz, endi bir darajaga ildiz otishga harakat qilaylik.

Koʻrsatkich koʻtarish

Kvadrat ildiz kvadrat bo'lsa nima bo'ladi? Bu oddiy, raqamning kvadrat ildizining ma'nosini eslang - bu kvadrat ildizi teng bo'lgan raqam.

Xo'sh, agar biz kvadrat ildizi teng bo'lgan sonni kvadratga aylantirsak, nima bo'ladi?

Xo'sh, albatta,!

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:

Hammasi oddiy, to'g'rimi? Va agar ildiz boshqa darajada bo'lsa? Hammasi joyida; shu bo'ladi!

Xuddi shu mantiqqa rioya qiling va darajalar bilan xususiyatlarni va mumkin bo'lgan harakatlarni eslang.

"" mavzusidagi nazariyani o'qing va hamma narsa sizga aniq bo'ladi.

Misol uchun, bu erda bir ifoda bor:

Bu misolda daraja juft, lekin agar u toq bo'lsa-chi? Shunga qaramay, quvvat xususiyatlarini qo'llang va hamma narsani hisoblang:

Bu bilan hamma narsa aniq bo'lib tuyuladi, lekin bir darajali raqamdan ildizni qanday chiqarish mumkin? Mana, masalan, bu:

Juda oddiy, to'g'rimi? Agar daraja ikkidan katta bo'lsa-chi? Biz darajalarning xususiyatlaridan foydalangan holda xuddi shu mantiqqa amal qilamiz:

Xo'sh, hamma narsa aniqmi? Keyin o'zingizning misollaringizni hal qiling:

Va bu erda javoblar:

Ildiz belgisi ostida kirish

Biz ildizlar bilan nima qilishni o'rganmadik! Raqamni ildiz belgisi ostida kiritishni mashq qilishgina qoladi!

Bu juda oson!

Aytaylik, bizda raqam bor

U bilan nima qilishimiz mumkin? Albatta, uchlik kvadrat ildiz ekanligini yodda tutgan holda, uchlikni ildiz ostida yashiring!

Nega bizga kerak? Ha, misollarni yechishda imkoniyatlarimizni kengaytirish uchun:

Ildizlarning bu xususiyati sizga qanday yoqadi? Hayotni ancha osonlashtiradimi? Men uchun bu to'g'ri! Faqat biz kvadrat ildiz belgisi ostida faqat ijobiy raqamlarni kiritishimiz mumkinligini yodda tutishimiz kerak.

Ushbu misolni o'zingiz uchun sinab ko'ring:
Siz boshqardingizmi? Keling, nimani olishingiz kerakligini ko'rib chiqaylik:

Barakalla! Siz raqamni ildiz belgisi ostida kiritishga muvaffaq bo'ldingiz! Keling, bir xil darajada muhim narsaga o'tamiz - kvadrat ildizni o'z ichiga olgan raqamlarni qanday solishtirishni ko'rib chiqing!

Ildiz solishtirish

Nega biz kvadrat ildizi bo'lgan raqamlarni solishtirishni o'rganishimiz kerak?

Juda onson. Ko'pincha, imtihonda uchraydigan katta va uzun iboralarda biz mantiqsiz javob olamiz (bu nima ekanligini eslaysizmi? Biz bu haqda bugun gaplashdik!)

Qabul qilingan javoblarni koordinata chizig'iga joylashtirishimiz kerak, masalan, tenglamani echish uchun qaysi interval mos ekanligini aniqlash uchun. Va bu erda to'siq paydo bo'ladi: imtihonda kalkulyator yo'q va usiz qaysi raqam kattaroq va qaysi biri kichikroq ekanligini qanday tasavvur qilish mumkin? Bo'ldi shu!

Masalan, qaysi biri kattaroq ekanligini aniqlang: yoki?

Siz darhol aytolmaysiz. Keling, ildiz belgisi ostidagi son qo'shishning tahlil qilingan xususiyatidan foydalanamiz?

Keyin oldinga:

Xo'sh, aniqki, ildiz belgisi ostidagi raqam qanchalik katta bo'lsa, ildizning o'zi ham shunchalik katta bo'ladi!

Bular. degani bo'lsa.

Bundan qat'iy xulosa chiqaramiz Va hech kim bizni boshqacha ishontira olmaydi!

Ko'p sonlardan ildizlarni ajratib olish

Undan oldin biz ildiz belgisi ostida omil kiritdik, lekin uni qanday chiqarish kerak? Siz shunchaki uni ajratib ko'rsatishingiz va olingan narsani chiqarib olishingiz kerak!

Boshqa yo'l bilan borish va boshqa omillarga ajralish mumkin edi:

Yomon emas, to'g'rimi? Ushbu yondashuvlarning har biri to'g'ri, o'zingizni qanday qulay his qilishingizni hal qiling.

Faktoring quyidagi kabi nostandart vazifalarni hal qilishda juda foydali:

Biz qo'rqmaymiz, biz harakat qilamiz! Biz har bir omilni ildiz ostida alohida omillarga ajratamiz:

Va endi o'zingiz sinab ko'ring (kalkulyatorsiz! U imtihonda bo'lmaydi):

Bu oxirmi? Biz yarim yo'lda to'xtamaymiz!

Hammasi shu, unchalik qo'rqinchli emas, to'g'rimi?

Bo'ldimi? Yaxshi, siz haqsiz!

Endi ushbu misolni sinab ko'ring:

Va misol - yorilish uchun qattiq yong'oq, shuning uchun siz unga qanday yondashishni darhol aniqlay olmaysiz. Lekin biz, albatta, tishdamiz.

Xo'sh, faktoringni boshlaylik, shundaymi? Darhol shuni ta'kidlaymizki, siz raqamni quyidagiga bo'lishingiz mumkin (bo'linish belgilarini eslang):

Va endi o'zingiz sinab ko'ring (yana kalkulyatorsiz!):

Xo'sh, ishladimi? Yaxshi, siz haqsiz!

Xulosa qilish

1. Manfiy bo'lmagan sonning kvadrat ildizi (arifmetik kvadrat ildiz) kvadrati teng bo'lgan manfiy bo'lmagan sondir.
   .
2. Agar biror narsaning kvadrat ildizini olsak, biz har doim bitta salbiy bo'lmagan natijaga erishamiz.
3. Arifmetik ildiz xususiyatlari:
4. Kvadrat ildizlarni solishtirganda shuni esda tutish kerakki, ildiz belgisi ostidagi raqam qanchalik katta bo'lsa, ildizning o'zi ham shunchalik katta bo'ladi.

Kvadrat ildizni qanday yoqtirasiz? Hammasi tushunarli?

Biz sizga kvadrat ildiz haqida imtihonda bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsani suvsiz tushuntirishga harakat qildik.

Endi seni navbating. Bu mavzu siz uchun qiyinmi yoki yo'qmi bizga yozing.

Siz yangi narsalarni o'rgandingizmi yoki hamma narsa allaqachon aniq edi.

Izohlarda yozing va imtihonlarda omad tilaymiz!

Tabriklaymiz: bugun biz ildizlarni tahlil qilamiz - 8-sinfning eng aqlga sig'maydigan mavzularidan biri. :)

Ko'pchilik ildizlar haqida ular murakkab bo'lgani uchun (bu murakkab - bir nechta ta'riflar va yana bir nechta xususiyatlar) emas, balki ko'pchilik maktab darsliklarida ildizlar shunday yirtqichlar orqali aniqlanganligi sababli chalkashib ketishadi, chunki faqat darslik mualliflarining o'zlari. bu yozuvni tushunish mumkin. Va shunga qaramay, faqat bir shisha yaxshi viski bilan. :)

Shuning uchun, endi men ildizning eng to'g'ri va eng malakali ta'rifini beraman - siz haqiqatan ham eslab qolishingiz kerak bo'lgan yagona ta'rif. Va shundan keyingina men tushuntiraman: bularning barchasi nima uchun kerak va uni amalda qanday qo'llash kerak.

Ammo, birinchi navbatda, bir muhim jihatni esda tuting, uni negadir ko'plab darslik tuzuvchilari "unutib qo'yishadi":

Ildizlar juft darajali (bizning sevimli $\sqrt(a)$, shuningdek har qanday $\sqrt(a)$ va hatto $\sqrt(a)$) va toq darajali (har qanday $\sqrt(a)$) boʻlishi mumkin. , $\ sqrt(a)$ va boshqalar). Va toq daraja ildizining ta'rifi juftlikdan biroz farq qiladi.

Bu erda "biroz boshqacha" yashirin, ehtimol, ildizlar bilan bog'liq barcha xatolar va tushunmovchiliklarning 95%. Shunday qilib, keling, terminologiyani bir marta va butunlay aniqlaymiz:

Ta'rif. Hatto ildiz n$a$ raqamidan istalgan salbiy bo'lmagan$b$ soni shundayki, $((b)^(n))=a$. Xuddi shu $a$ sonidan toq darajaning ildizi odatda bir xil tenglik amal qiladigan har qanday $b$ sondir: $((b)^(n))=a$.

Har holda, ildiz quyidagicha belgilanadi:

\(a)\]

Bunday yozuvdagi $n$ soni ildiz ko‘rsatkichi, $a$ soni esa radikal ifoda deyiladi. Xususan, $n=2$ uchun biz “sevimli” kvadrat ildizimizni olamiz (darvoqe, bu juft darajali ildiz), $n=3$ uchun esa kub ildiz (toq daraja), Bu ko'pincha masala va tenglamalarda ham uchraydi.

Misollar. Kvadrat ildizlarning klassik misollari:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end (tekislash)\]

Aytgancha, $\sqrt(0)=0$ va $\sqrt(1)=1$. Bu juda mantiqiy, chunki $((0)^(2))=0$ va $((1)^(2))=1$.

Kub ildizlari ham keng tarqalgan - ulardan qo'rqmang:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end (tekislash)\]

Xo'sh, bir nechta "ekzotik misollar":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end (tekislash)\]

Agar siz juft va toq daraja o'rtasidagi farq nima ekanligini tushunmasangiz, ta'rifni qayta o'qing. Bu juda muhim!

Shu bilan birga, biz ildizlarning bir noxush xususiyatini ko'rib chiqamiz, shuning uchun biz juft va toq ko'rsatkichlar uchun alohida ta'rifni kiritishimiz kerak edi.

Nima uchun bizga umuman ildiz kerak?

Ta'rifni o'qib bo'lgach, ko'plab talabalar: "Matematiklar buni o'ylab topganlarida nima chekishgan?" Va haqiqatan ham: nega bizga bu ildizlar kerak?

Bu savolga javob berish uchun keling, bir lahzaga boshlang'ich maktabga qaytaylik. Esingizda bo'lsin: o'sha uzoq vaqtlarda, daraxtlar yashil bo'lib, chuchvara mazali bo'lganida, bizning asosiy tashvishimiz raqamlarni to'g'ri ko'paytirish edi. Xo'sh, "beshdan beshga - yigirma besh" ruhida nimadir, hammasi shu. Axir, siz raqamlarni juftlikda emas, balki uchlik, to'rtlik va umuman butun to'plamlarda ko'paytirishingiz mumkin:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Biroq, bu masala emas. Hiyla boshqacha: matematiklar dangasa odamlardir, shuning uchun ular o'n beshning ko'payishini quyidagicha yozishlari kerak edi:

Shunday qilib, ular ilmiy darajaga ega bo'lishdi. Nega omillar sonini uzun satr o'rniga yuqori chiziq sifatida yozmaslik kerak? Bu kabi:

Bu juda qulay! Barcha hisob-kitoblar bir necha marta kamayadi, va siz ba'zi 5 183 yozish uchun daftar pergament varaqlar bir guruh sarflash mumkin emas. Bunday rekord raqamning darajasi deb nomlangan, unda ko'plab xususiyatlar topilgan, ammo baxt qisqa muddatli bo'lib chiqdi.

Darajalar "kashfiyoti" arafasida uyushtirilgan ulkan ichimlikdan so'ng, ba'zi bir ayniqsa toshbo'ronli matematik birdan so'radi: "Agar biz raqamning darajasini bilsak-u, lekin raqamning o'zini bilmasak nima bo'ladi?" Darhaqiqat, ma'lum bir $b$ soni, masalan, 5-darajali 243 ni berishini bilsak, $b$ sonining o'zi nimaga teng ekanligini qanday taxmin qilish mumkin?

Bu muammo birinchi qarashda ko'rinadiganidan ancha global bo'lib chiqdi. Chunki "tayyor" darajalarning aksariyati uchun bunday "dastlabki" raqamlar yo'qligi ma'lum bo'ldi. O'zingiz uchun hukm qiling:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\O'ng strelka b=4\cdot 4\cdot 4\O'ng strelka b=4. \\ \end (tekislash)\]

$((b)^(3))=50$ bo'lsa-chi? Ma'lum bo'lishicha, siz ma'lum bir raqamni topishingiz kerak, uni uch marta ko'paytirganda bizga 50 ni beradi. Lekin bu raqam nima? Bu aniq 3 dan katta, chunki 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Ya'ni. Bu raqam uchdan to'rtgacha bo'lgan joyda yotadi, lekin u nimaga teng - FIG siz tushunasiz.

Aynan shuning uchun matematiklar $n$-th ildizlarini o'ylab topishgan. Shuning uchun radikal belgi $\sqrt(*)$ kiritildi. Bir xil $b $ raqamini belgilash uchun, bu bizga ma'lum darajada ma'lum bo'lgan qiymatni beradi

\[\sqrt[n](a)=b\O'ng strelka ((b)^(n))=a\]

Men bahslashmayman: ko'pincha bu ildizlar osongina ko'rib chiqiladi - biz yuqorida bir nechta bunday misollarni ko'rdik. Ammo shunga qaramay, ko'p hollarda, agar siz o'zboshimchalik bilan raqamni o'ylab ko'rsangiz va undan o'zboshimchalik darajasining ildizini olishga harakat qilsangiz, sizni shafqatsiz bummer kutmoqda.

Nima bor! Hatto eng oddiy va eng tanish $\sqrt(2)$ ni ham odatiy shaklda - butun son yoki kasr shaklida ifodalab bo'lmaydi. Va agar siz ushbu raqamni kalkulyatorga kiritsangiz, buni ko'rasiz:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Ko'rib turganingizdek, kasrdan keyin hech qanday mantiqqa bo'ysunmaydigan raqamlarning cheksiz ketma-ketligi mavjud. Siz, albatta, boshqa raqamlar bilan tezda solishtirish uchun bu raqamni yaxlitlashingiz mumkin. Misol uchun:

\[\sqrt(2)=1,4142...\taxminan 1,4 \lt 1,5\]

Yoki yana bir misol:

\[\sqrt(3)=1,73205...\taxminan 1,7 \gt 1,5\]

Ammo bu yaxlitlashlarning barchasi, birinchi navbatda, juda qo'pol; va ikkinchidan, siz taxminiy qiymatlar bilan ham ishlashingiz kerak, aks holda siz bir qator noaniq xatolarga duch kelishingiz mumkin (Aytgancha, taqqoslash va yaxlitlash mahorati profil imtihonida albatta tekshiriladi).

Shuning uchun, jiddiy matematikada ildizlarsiz amalga oshirib bo'lmaydi - ular bizga qadimdan ma'lum bo'lgan kasrlar va butun sonlar kabi $\mathbb(R)$ barcha haqiqiy sonlar to'plamining bir xil teng vakillaridir.

Ildizni $\frac(p)(q)$ ko`rinishdagi kasr sifatida ifodalashning mumkin emasligi bu ildizning ratsional son emasligini bildiradi. Bunday raqamlar irratsional deb ataladi va ularni aniq ifodalash mumkin bo'lgan radikal yoki buning uchun maxsus mo'ljallangan boshqa konstruktsiyalar (logarifmlar, darajalar, chegaralar va boshqalar) bo'lmasa. Ammo bu haqda boshqa safar.

Barcha hisob-kitoblardan keyin irratsional sonlar javobda qoladigan bir nechta misollarni ko'rib chiqing.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\taxminan 2236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\taxminan -1,2599... \\ \end(align)\]

Tabiiyki, ildizning paydo bo'lishi bilan, kasrdan keyin qaysi raqamlar kelishini taxmin qilish deyarli mumkin emas. Biroq, kalkulyatorda hisoblash mumkin, lekin hatto eng ilg'or sana kalkulyatori bizga irratsional sonning faqat birinchi bir necha raqamlarini beradi. Shuning uchun javoblarni $\sqrt(5)$ va $\sqrt(-2)$ deb yozish ancha to`g`riroq.

Ular aynan shu maqsadda ixtiro qilingan. Javoblarni yozishni osonlashtirish uchun.

Nima uchun ikkita ta'rif kerak?

Diqqatli o'quvchi, ehtimol, misollarda keltirilgan barcha kvadrat ildizlar ijobiy raqamlardan olinganligini payqagandir. Xo'sh, hech bo'lmaganda noldan. Ammo kub ildizlari mutlaqo har qanday raqamdan xotirjamlik bilan chiqariladi - hatto ijobiy, hatto salbiy.

Nima uchun bu sodir bo'lmoqda? $y=((x)^(2))$ funksiya grafigiga qarang:

Keling, ushbu grafik yordamida $\sqrt(4)$ ni hisoblashga harakat qilaylik. Buning uchun grafikda $y=4$ (qizil rang bilan belgilangan) gorizontal chiziq chiziladi, u parabolani ikki nuqtada kesib o'tadi: $((x)_(1))=2$ va $((x) _(2)) =-2$. Bu juda mantiqiy, chunki

Birinchi raqam bilan hamma narsa aniq - bu ijobiy, shuning uchun u ildiz:

Ammo ikkinchi nuqta bilan nima qilish kerak? 4 ning birdaniga ikkita ildizi bormi? Axir −2 sonini kvadratga aylantirsak, biz ham 4 ni olamiz. Nima uchun $\sqrt(4)=-2$ deb yozmaslik kerak? Va nega o'qituvchilar bunday yozuvlarga sizni yeyishni xohlayotgandek qarashadi? :)

Muammo shundaki, agar qo'shimcha shartlar qo'yilmasa, to'rtta ikkita kvadrat ildizga ega bo'ladi - ijobiy va salbiy. Va har qanday ijobiy raqam ham ulardan ikkitasiga ega bo'ladi. Ammo manfiy sonlar umuman ildizga ega bo'lmaydi - buni bir xil grafikdan ko'rish mumkin, chunki parabola hech qachon o'qdan pastga tushmaydi. y, ya'ni. salbiy qiymatlarni qabul qilmaydi.

Xuddi shunday muammo teng ko'rsatkichli barcha ildizlar uchun yuzaga keladi:

1. To'g'ri aytganda, har bir musbat sonning $n$ ko'rsatkichi teng bo'lgan ikkita ildizi bo'ladi;
2. Salbiy raqamlardan hatto $n$ bo'lgan ildiz umuman chiqarilmaydi.

Shuning uchun $n$ juft ildizining ta'rifi javobning manfiy bo'lmagan son bo'lishi kerakligini aniq belgilaydi. Shunday qilib, biz noaniqlikdan xalos bo'lamiz.

Lekin g'alati $n$ uchun bunday muammo yo'q. Buni ko‘rish uchun $y=((x)^(3))$ funksiya grafigini ko‘rib chiqamiz:

Ushbu grafikdan ikkita xulosa chiqarish mumkin:

1. Kub parabolaning shoxlari odatdagidan farqli o'laroq, ikkala yo'nalishda ham - yuqoriga ham, pastga ham cheksizlikka boradi. Shuning uchun, qaysi balandlikda gorizontal chiziq chizamiz, bu chiziq, albatta, bizning grafik bilan kesishadi. Shuning uchun kub ildizi har doim, mutlaqo istalgan raqamdan olinishi mumkin;
2. Bunga qo'shimcha ravishda, bunday kesishma har doim o'ziga xos bo'ladi, shuning uchun siz qaysi raqamni "to'g'ri" ildizni hisobga olishingiz va qaysi biriga gol kiritishingiz haqida o'ylashingiz shart emas. Shuning uchun toq daraja uchun ildizlarning ta'rifi juftlikka qaraganda oddiyroqdir (salbiy bo'lmaganlik talabi yo'q).

Ko‘pchilik darsliklarda bu oddiy narsalar tushuntirilmagani achinarli. Buning o'rniga, bizning miyamiz har xil arifmetik ildizlar va ularning xususiyatlari bilan ko'tarila boshlaydi.

Ha, men bahslashmayman: arifmetik ildiz nima - siz ham bilishingiz kerak. Va men bu haqda alohida darsda batafsil gaplashaman. Bugun biz bu haqda ham gaplashamiz, chunki usiz $n$-inchi ko'plikning ildizlari haqidagi barcha fikrlar to'liq bo'lmaydi.

Lekin birinchi navbatda siz yuqorida bergan ta'rifni aniq tushunishingiz kerak. Aks holda, atamalarning ko'pligi tufayli sizning boshingizda shunday tartibsizlik boshlanadiki, oxirida siz hech narsani tushunmaysiz.

Va siz tushunishingiz kerak bo'lgan yagona narsa - juft va toq raqamlar o'rtasidagi farq. Shuning uchun, biz yana bir bor ildizlar haqida bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsani to'playmiz:

1. Juft ildiz faqat manfiy bo'lmagan sondan mavjud bo'lib, o'zi ham doim manfiy bo'lmagan sondir. Salbiy sonlar uchun bunday ildiz aniqlanmagan.
2. Ammo g'alati darajaning ildizi har qanday sondan mavjud bo'lib, o'zi ham har qanday raqam bo'lishi mumkin: musbat sonlar uchun u musbat, manfiy sonlar uchun esa, shapka ko'rsatganidek, manfiy.

Bu qiyinmi? Yo'q, qiyin emas. Tushunarli? Ha, bu aniq! Shuning uchun, endi biz hisob-kitoblar bilan bir oz mashq qilamiz.

Asosiy xususiyatlar va cheklovlar

Ildizlar juda ko'p g'alati xususiyatlar va cheklovlarga ega - bu alohida dars bo'ladi. Shuning uchun, endi biz faqat teng ko'rsatkichli ildizlarga tegishli bo'lgan eng muhim "chip" ni ko'rib chiqamiz. Ushbu xususiyatni formula shaklida yozamiz:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\chap| x\right|\]

Boshqacha qilib aytganda, agar biz sonni juft darajaga ko'tarsak va undan bir xil darajadagi ildizni chiqarsak, biz asl sonni emas, balki uning modulini olamiz. Bu isbotlash oson bo'lgan oddiy teorema (salbiy bo'lmagan $x $ ni alohida ko'rib chiqish kifoya, keyin esa salbiylarni alohida ko'rib chiqish kifoya). O'qituvchilar bu haqda doimo gapiradilar, bu har bir maktab darsligida berilgan. Ammo irratsional tenglamalarni (ya'ni, radikal belgisini o'z ichiga olgan tenglamalarni) echish bilanoq, talabalar bu formulani birgalikda unutishadi.

Muammoni batafsil tushunish uchun keling, barcha formulalarni bir daqiqaga unutib, oldinda ikkita raqamni sanashga harakat qilaylik:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \o'ng))^(4)))=?\]

Bular juda oddiy misollar. Birinchi misolni ko'pchilik hal qiladi, ikkinchisida esa ko'pchilik yopishadi. Bunday axlatni muammosiz hal qilish uchun har doim protsedurani ko'rib chiqing:

1. Birinchidan, raqam to'rtinchi darajaga ko'tariladi. Xo'sh, bu qandaydir oson. Yangi raqam olinadi, uni hatto ko'paytirish jadvalida ham topish mumkin;
2. Va endi bu yangi raqamdan to'rtinchi darajali ildizni ajratib olish kerak. Bular. ildizlar va darajalarning "kamayishi" yo'q - bu ketma-ket harakatlar.

Birinchi ifoda bilan shug'ullanamiz: $\sqrt(((3)^(4)))$. Shubhasiz, siz avval ildiz ostidagi ifodani hisoblashingiz kerak:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Keyin 81 raqamining to'rtinchi ildizini chiqaramiz:

Endi ikkinchi ifoda bilan ham xuddi shunday qilamiz. Birinchidan, biz −3 sonini to'rtinchi darajaga ko'taramiz, buning uchun uni o'z-o'zidan 4 marta ko'paytirishimiz kerak:

\[((\left(-3 \o'ng))^(4))=\left(-3 \o'ng)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \ chap (-3 \o'ng)=81\]

Biz ijobiy raqamga ega bo'ldik, chunki mahsulotdagi minuslarning umumiy soni 4 ta bo'lib, ularning barchasi bir-birini bekor qiladi (oxir-oqibat, minus bilan minus plyus beradi). Keyin yana ildizni chiqarib oling:

Aslida, bu qatorni yozib bo'lmaydi, chunki javob bir xil bo'lishi aql bovar qilmaydi. Bular. bir xil teng quvvatning teng ildizi minuslarni "yoqadi" va bu ma'noda natija odatdagi moduldan farq qilmaydi:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \o'ng))^(4)))=\chap| -3 \o'ng|=3. \\ \end (tekislash)\]

Bu hisob-kitoblar juft daraja ildizining ta'rifi bilan yaxshi mos keladi: natija har doim manfiy emas, radikal belgi ham har doim manfiy bo'lmagan sondir. Aks holda, ildiz aniqlanmaydi.

Operatsiyalar tartibi haqida eslatma

1. $\sqrt(((a)^(2)))$ belgisi birinchi navbatda $a$ raqamini kvadratga aylantiramiz, keyin esa olingan qiymatning kvadrat ildizini olamiz. Shuning uchun, manfiy bo'lmagan son har doim ildiz belgisi ostida o'tirishiga ishonch hosil qilishimiz mumkin, chunki baribir $((a)^(2))\ge 0$;
2. Lekin $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ yozuvi, aksincha, biz avval ma'lum $a$ sonidan ildizni ajratib olishimizni va shundan keyingina natijani kvadratga solishimizni bildiradi. Shuning uchun $a$ soni hech qanday holatda salbiy bo'lishi mumkin emas - bu ta'rifga kiritilgan majburiy talab.

Shunday qilib, hech qanday holatda ildizlar va darajalarni o'ylamasdan qisqartirmaslik kerak va shu bilan asl iborani "soddalashtirish" kerak. Chunki agar ildiz ostida manfiy son bo‘lsa va uning ko‘rsatkichi juft bo‘lsa, ko‘p muammolarga duch kelamiz.

Biroq, bu muammolarning barchasi faqat hatto ko'rsatkichlar uchun ham tegishli.

Ildiz belgisi ostidagi minus belgisini olib tashlash

Tabiiyki, ko'rsatkichlari toq bo'lgan ildizlarning ham o'ziga xos xususiyati bor, ular, qoida tariqasida, juftlar uchun mavjud emas. Aynan:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Muxtasar qilib aytganda, g'alati darajadagi ildizlarning belgisi ostidan minusni chiqarib olishingiz mumkin. Bu barcha minuslarni "tashlash" imkonini beruvchi juda foydali xususiyat:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \o'ng)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(tuzalash)\]

Ushbu oddiy xususiyat ko'plab hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtiradi. Endi tashvishlanishingizga hojat yo'q: agar salbiy ibora ildiz ostiga tushsa va ildiz darajasi teng bo'lib chiqsa nima bo'ladi? Ildizlardan tashqaridagi barcha minuslarni "tashlab qo'yish" kifoya qiladi, shundan so'ng ular bir-biriga ko'paytirilishi, bo'linishi va umuman olganda ko'plab shubhali ishlarni bajarishi mumkin, bu "klassik" ildizlar holatida bizni bir narsaga olib kelishi kafolatlanadi. xato.

Va bu erda sahnaga yana bir ta'rif kiradi - aksariyat maktablar irratsional iboralarni o'rganishni boshlaydilar. Va busiz bizning fikrimiz to'liq bo'lmaydi. Tanishing!

arifmetik ildiz

Bir lahzaga faraz qilaylik, ildiz belgisi ostida faqat musbat raqamlar yoki o'ta og'ir hollarda nol bo'lishi mumkin. Keling, juft / toq ko'rsatkichlar bo'yicha ball to'playmiz, yuqorida keltirilgan barcha ta'riflar bo'yicha ball to'playmiz - biz faqat manfiy bo'lmagan raqamlar bilan ishlaymiz. Keyin nima?

Va keyin biz arifmetik ildizni olamiz - u bizning "standart" ta'riflarimiz bilan qisman kesishadi, lekin baribir ulardan farq qiladi.

Ta'rif. $a$ manfiy boʻlmagan sonning $n$-chi darajali arifmetik ildizi manfiy boʻlmagan $b$ son boʻlib, $((b)^(n))=a$ boʻladi.

Ko'rib turganingizdek, endi bizni paritet qiziqtirmaydi. Buning o'rniga yangi cheklov paydo bo'ldi: radikal ifoda endi har doim salbiy emas, ildizning o'zi ham salbiy emas.

Arifmetik ildiz odatdagidan qanday farq qilishini yaxshiroq tushunish uchun bizga allaqachon tanish bo'lgan kvadrat va kub parabola grafiklarini ko'rib chiqing:

Ko'rib turganingizdek, bundan buyon bizni faqat birinchi koordinata choragida joylashgan grafik qismlari qiziqtiradi - bu erda $x$ va $y$ koordinatalari ijobiy (yoki hech bo'lmaganda nolga teng). Salbiy raqamni ildiz otish huquqiga egamiz yoki yo'qligini tushunish uchun endi indikatorga qarashingiz shart emas. Chunki manfiy raqamlar endi printsipial jihatdan hisobga olinmaydi.

Siz shunday deb so'rashingiz mumkin: "Xo'sh, nega bizga kastratsiya qilingan ta'rif kerak?" Yoki: "Nega biz yuqorida keltirilgan standart ta'rifga erisha olmaymiz?"

Xo'sh, men faqat bitta xususiyatni beraman, shuning uchun yangi ta'rif mos keladi. Masalan, eksponentsiya qoidasi:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Iltimos, diqqat qiling: biz ildiz ifodasini istalgan darajaga ko'tarishimiz va shu bilan birga ildiz ko'rsatkichini bir xil kuchga ko'paytirishimiz mumkin - natijada bir xil raqam bo'ladi! Mana bir nechta misollar:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(tuzala)\]

Xo'sh, buning nimasi yomon? Nega biz oldin buni qila olmadik? Mana nima uchun. Oddiy iborani ko'rib chiqaylik: $\sqrt(-2)$ - bu bizning klassik ma'nomizda juda normal, ammo arifmetik ildiz nuqtai nazaridan mutlaqo qabul qilib bo'lmaydigan raqam. Keling, uni aylantirishga harakat qilaylik:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2))))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \o'ng))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Ko'rib turganingizdek, birinchi holatda, biz radikal ostidan minusni chiqardik (bizda barcha huquqlar bor, chunki indikator g'alati), ikkinchisida biz yuqoridagi formuladan foydalandik. Bular. matematika nuqtai nazaridan, hamma narsa qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi.

WTF?! Qanday qilib bir xil raqam ham ijobiy, ham salbiy bo'lishi mumkin? Bo'lishi mumkin emas. Shunchaki, musbat sonlar va nol uchun ajoyib ishlaydigan ko'rsatkich formulasi manfiy sonlar holatida to'liq bid'atni bera boshlaydi.

Mana, bunday noaniqlikdan xalos bo'lish uchun ular arifmetik ildizlarni o'ylab topdilar. Ularga alohida katta dars bag'ishlangan bo'lib, unda biz ularning barcha xususiyatlarini batafsil ko'rib chiqamiz. Endi biz ular haqida to'xtalmaymiz - baribir dars juda uzoq bo'lib chiqdi.

Algebraik ildiz: ko'proq bilishni istaganlar uchun

Men uzoq o'yladim: bu mavzuni alohida paragrafga aylantiramanmi yoki yo'qmi. Oxir-oqibat, men bu erdan ketishga qaror qildim. Ushbu material ildizlarni yaxshiroq tushunishni istaganlar uchun mo'ljallangan - endi o'rtacha "maktab" darajasida emas, balki Olimpiadaga yaqin darajada.

Shunday qilib: sondan $n$-chi daraja ildizining "klassik" ta'rifi va unga bog'liq bo'lgan juft va toq ko'rsatkichlarga bo'linishidan tashqari, paritetga bog'liq bo'lmagan ko'proq "kattalar" ta'rifi mavjud. umuman boshqa nozikliklar. Bu algebraik ildiz deyiladi.

Ta'rif. Har qanday $a$ ning $n$-inchi algebraik ildizi $((b)^(n))=a$ boʻladigan barcha $b$ sonlar toʻplamidir. Bunday ildizlar uchun aniq belgi yo'q, shuning uchun tepaga chiziqcha qo'ying:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \o'ng. \o'ng\) \]

Dars boshida berilgan standart ta’rifdan tub farqi shundaki, algebraik ildiz aniq son emas, balki to‘plamdir. Va biz haqiqiy raqamlar bilan ishlayotganimiz sababli, bu to'plam faqat uch xil:

1. Bo'sh to'plam. Manfiy sondan juft darajali algebraik ildizni topish talab qilinganda yuzaga keladi;
2. Bitta elementdan tashkil topgan to'plam. Toq kuchlarning barcha ildizlari, shuningdek, noldan boshlab juft darajalarning ildizlari shu toifaga kiradi;
3. Nihoyat, to'plam ikkita raqamni o'z ichiga olishi mumkin - biz ko'rgan $((x)_(1))$ va $((x)_(2))=-((x)_(1))$ kvadratik funksiya diagrammasi. Shunga ko'ra, bunday tekislash faqat musbat sondan juft darajaning ildizini olishda mumkin.

Oxirgi holat batafsilroq ko'rib chiqishga loyiqdir. Farqni tushunish uchun bir nechta misollarni sanab o'tamiz.

Misol. Ifodalarni hisoblash:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Qaror. Birinchi ifoda oddiy:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \o'ng\)\]

Bu to'plamning bir qismi bo'lgan ikkita raqam. Chunki ularning har birining kvadrati to'rtlikni beradi.

\[\overline(\sqrt(-27))=\chap\( -3 \o'ng\)\]

Bu erda biz faqat bitta raqamdan iborat to'plamni ko'ramiz. Bu juda mantiqiy, chunki ildizning ko'rsatkichi g'alati.

Nihoyat, oxirgi ifoda:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Bizda bo'sh to'plam bor. Chunki to'rtinchi (ya'ni, hatto!) Kuchga ko'tarilganda bizga manfiy -16 sonini beradigan bitta haqiqiy son yo'q.

Yakuniy eslatma. E'tibor bering: biz haqiqiy raqamlar bilan ishlayotganimizni hamma joyda ta'kidlaganim yo'q. Chunki murakkab raqamlar ham bor - u erda $\sqrt(-16)$ va boshqa ko'plab g'alati narsalarni hisoblash mumkin.

Biroq, matematikaning zamonaviy maktab o'quv dasturida murakkab sonlar deyarli topilmaydi. Ular ko‘pchilik darsliklardan olib tashlangan, chunki bizning mutasaddilar mavzuni “tushunish juda qiyin” deb hisoblaydi.

Hammasi shu. Keyingi darsda biz ildizlarning barcha asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqamiz va nihoyat irratsional ifodalarni qanday soddalashtirishni o'rganamiz. :)

Ildiz formulalari. kvadrat ildizlarning xossalari.

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." deganlar uchun.
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Oldingi darsda biz kvadrat ildiz nima ekanligini aniqladik. Nima ekanligini aniqlash vaqti keldi ildizlar uchun formulalar, nima ildiz xususiyatlari va bularning barchasi haqida nima qilish mumkin.

Ildiz formulalari, ildiz xossalari va ildizlar bilan amal qilish qoidalari- bu aslida bir xil narsa. Kvadrat ildizlar uchun juda kam formulalar mavjud. Bu, albatta, mamnun! Aksincha, siz juda ko'p har xil formulalarni yozishingiz mumkin, ammo ildizlar bilan amaliy va ishonchli ishlash uchun faqat uchtasi etarli. Qolganlarning hammasi shu uchtasidan kelib chiqadi. Garchi ko'pchilik ildizlarning uchta formulasida adashgan bo'lsa-da, ha ...

Eng oddiyidan boshlaylik. Mana u:

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan test. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Er. ildiz, bo'yin, ildiz · kamaytirmoq. nafratli ildizpoya, kattalashtiruvchi ildiz, har bir o'simlikning er osti qismi. Daraxtlarda umurtqa va lateral ildizlar ajralib turadi va ular bilan birga ildizlar va mayda bo'laklar mavjud. namlikni yutish. Ildiz sodir bo'ladi: bulbous, ... ... Dahlning tushuntirish lug'ati

ROOT, pH, pl. rni, rni, er. 1. O'simlikning tuproqda uni mustahkamlash va undan suv va ozuqa moddalarini olish uchun xizmat qiladigan er osti qismi. Asosiy, lateral, qo'shimchali.Havo ildizlari (lianalarda va erdan baland bo'lgan boshqa ba'zi o'simliklarda ... Ozhegovning izohli lug'ati

- (radix), bargli o'simliklarning asosiy vegetativ organlaridan biri bo'lib, u substratga yopishish, undan suv olish va oziqlantirish uchun xizmat qiladi. moddalar. Filogenetik jihatdan K. poyadan kechroq paydo boʻlgan va, ehtimol, ildizsimon ... ... dan kelib chiqqan. Biologik ensiklopedik lug'at

Boshlanishini, sababini, kelib chiqishini ko'ring. ostida. ed. N. Abramova, M .: Ruscha lug'atlar, 1999. ildiz, boshlanish, sabab, kelib chiqishi; radikal; umurtqa, poya, ...... Sinonim lug'at

ildiz- ROOT, rnya, m 1. Do'st, do'st. 2. Erkak jinsiy a'zosi Kichkina odam ildiz ildiziga aylanadi Kuchli ildiz - qadimgi, sodiq do'st. 1. mumkin yordamchi bilan ifloslanish ... Ruscha Argo lug'ati

Matematikada ..1) a sonidan n daraja ildizi istalgan x son (belgilangan, a radikal ifoda deyiladi), n-darajasi a () ga teng. Ildizni topish harakati ildizni ajratib olish deyiladi2)] Tenglamaning ildizi bu ... ... dan keyin bo'lgan sondir.

Birlamchi ildiz ko'plab ignabargli daraxtlarda umr bo'yi saqlanib qoladi va kuchli ildiz ildizi shaklida rivojlanadi, undan lateral ildizlar tarqaladi. Kamroq, ba'zi qarag'aylarda bo'lgani kabi, asosiy ildiz kam rivojlangan va uning o'rnini lateral ildizlar egallaydi. Uzoq vaqtdan tashqari ... Biologik entsiklopediya

- (matematik), 1) a sonining n darajali ildizi n-darajali berilgan a soniga teng bo‘lgan son (belgilangan; a radikal ifoda deyiladi). Ildizni topish harakati ildizni ajratib olish deyiladi. 2) Tenglama qiymatini yechish ... ... Zamonaviy entsiklopediya

Biologiyada o'simliklarning asosiy organlaridan biri bo'lib, u tuproqda mustahkamlanish, suv, mineral moddalarni o'zlashtirish, organik birikmalarni sintez qilish, shuningdek, ba'zi metabolik mahsulotlarni ajratib olish uchun xizmat qiladi. Ildiz zaxira uchun saqlash joyi bo'lishi mumkin ... ... Katta ensiklopedik lug'at

Tilshunoslikda hech qanday affiksni o‘z ichiga olmaydi, hosila bo‘lmagan (oddiy) so‘z o‘zagi. Ildiz so'zning lug'aviy o'zagidir, ya'ni u o'zining asosiy haqiqiy ma'nosini anglatadi ... Katta ensiklopedik lug'at

Kitoblar

• Barcha yovuzlikning ildizi, Uilyams R. Donald Beyli qiyin o'smir emas, balki shunchaki baxtsizdir. U tuzatib bo'lmaydigan ish qilib, do'stlarining ishonchini, ona mehrini va o'z tinchligini yo'qotdi. Unga nima qoldi? Qochib keting...
• Muammoning ildizi, Genri R. Brandt. Ushbu kitob muallifi har xil ruhiy kasalliklardan xalos bo'lish haqidagi Bibliyadagi juda oddiy haqiqatni taklif qiladi: gunohni barcha muammolarning asosiy sababi sifatida bilish va qilingan gunohlar uchun tavba qilish. DA…