Formula e sipërfaqesështë e nevojshme për të përcaktuar sipërfaqen e një figure, e cila është një funksion me vlerë reale i përcaktuar në një klasë të caktuar figurash të rrafshit Euklidian dhe që plotëson 4 kushte:
- Pozitiviteti - Zona nuk mund të jetë më e vogël se zero;
- Normalizimi - një katror me njësi anësore ka sipërfaqen 1;
- Kongruenca - figurat kongruente kanë sipërfaqe të barabartë;
- Aditiviteti - zona e bashkimit të 2 figurave pa pika të brendshme të përbashkëta është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të këtyre figurave.
| Figura gjeometrike | Formula | Vizatim |
|---|---|---|
|
Rezultati i shtimit të distancave ndërmjet pikave të mesit të anëve të kundërta të një katërkëndëshi konveks do të jetë i barabartë me gjysmëperimetrin e tij. |
||
|
Sektori i rrethit. Sipërfaqja e një sektori të një rrethi është e barabartë me produktin e harkut të tij dhe gjysmën e rrezes së tij. |
|
|
|
Segment rrethi. Për të marrë sipërfaqen e segmentit ASB, mjafton të zbritet sipërfaqja e trekëndëshit AOB nga zona e sektorit AOB. |
S = 1/2 R(s - AC) |
|
|
Sipërfaqja e elipsës është e barabartë me produktin e gjatësisë së gjysmëboshteve të mëdha dhe të vogla të elipsës dhe numrin pi. |
|
|
|
Elipsa. Një tjetër mundësi për llogaritjen e sipërfaqes së një elipsi është përmes dy rrezeve të saj. |
|
|
|
Trekëndëshi. Përmes bazës dhe lartësisë. Formula për zonën e një rrethi duke përdorur rrezen dhe diametrin e tij. |
||
|
Sheshi. Përmes anës së tij. Sipërfaqja e një katrori është e barabartë me katrorin e gjatësisë së anës së tij. |
|
|
|
Sheshi. Përmes diagonaleve të saj. Sipërfaqja e një katrori është e barabartë me gjysmën e katrorit të gjatësisë së diagonales së tij. |
||
|
Shumëkëndëshi i rregullt. Për të përcaktuar sipërfaqen e një shumëkëndëshi të rregullt, është e nevojshme ta ndani atë në trekëndësha të barabartë që do të kishin një kulm të përbashkët në qendër të rrethit të brendashkruar. |
S= r p = 1/2 r n a |
Një trekëndësh është një figurë gjeometrike e sheshtë me një kënd të barabartë me 90°. Për më tepër, në gjeometri shpesh është e nevojshme të llogaritet zona e një figure të tillë. Ne do t'ju tregojmë se si ta bëni këtë më tej.
Formula më e thjeshtë për përcaktimin e sipërfaqes së një trekëndëshi kënddrejtë
Të dhënat fillestare, ku: a dhe b janë brinjët e trekëndëshit që shtrihen nga këndi i drejtë.
Kjo do të thotë, zona është e barabartë me gjysmën e produktit të dy anëve që shtrihen nga këndi i duhur. Sigurisht, ekziston formula e Heronit që përdoret për të llogaritur sipërfaqen e një trekëndëshi të rregullt, por për të përcaktuar vlerën duhet të dini gjatësinë e tre anëve. Prandaj, do të duhet të llogarisni hipotenuzën, dhe kjo është kohë shtesë.
Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë duke përdorur formulën e Heronit
Kjo është një formulë e njohur dhe origjinale, por për këtë ju do të duhet të llogarisni hipotenuzën në dy këmbë duke përdorur teoremën e Pitagorës.
Në këtë formulë: a, b, c janë brinjët e trekëndëshit dhe p është gjysmëperimetri.
Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë duke përdorur hipotenuzën dhe këndin
Nëse asnjë nga këmbët nuk njihet në problemin tuaj, atëherë nuk do të jeni në gjendje të përdorni metodën më të thjeshtë. Për të përcaktuar vlerën, duhet të llogaritni gjatësinë e këmbëve. Kjo mund të bëhet thjesht duke përdorur hipotenuzën dhe kosinusin e këndit ngjitur.
b=c×cos(α)
Pasi të dini gjatësinë e njërës prej këmbëve, duke përdorur teoremën e Pitagorës mund të llogarisni anën e dytë që del nga këndi i duhur.
b 2 =c 2 -a 2
Në këtë formulë, c dhe a janë përkatësisht hipotenuza dhe këmbë. Tani mund të llogarisni zonën duke përdorur formulën e parë. Në të njëjtën mënyrë, ju mund të llogaritni njërën nga këmbët, duke pasur parasysh të dytën dhe këndin. Në këtë rast, një nga anët e kërkuara do të jetë e barabartë me produktin e këmbës dhe tangjentën e këndit. Ka mënyra të tjera për të llogaritur sipërfaqen, por duke ditur teoremat dhe rregullat bazë, mund të gjeni lehtësisht vlerën e dëshiruar.
Nëse nuk keni asnjë nga brinjët e trekëndëshit, por vetëm mesataren dhe njërin nga këndet, atëherë mund të llogarisni gjatësinë e brinjëve. Për ta bërë këtë, përdorni vetitë e mesatares për të ndarë një trekëndësh kënddrejtë në dysh. Prandaj, mund të veprojë si hipotenuzë nëse del nga një kënd akut. Përdorni teoremën e Pitagorës dhe përcaktoni gjatësinë e brinjëve të trekëndëshit që vijnë nga këndi i duhur.
Siç mund ta shihni, duke ditur formulat bazë dhe teoremën e Pitagorës, mund të llogarisni sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë, duke pasur vetëm një nga këndet dhe gjatësinë e njërës prej anëve.
Një trekëndësh kënddrejtë gjendet në realitet pothuajse në çdo cep. Njohja e vetive të një figure të caktuar, si dhe aftësia për të llogaritur sipërfaqen e saj, padyshim që do të jetë e dobishme për ju jo vetëm për zgjidhjen e problemeve të gjeometrisë, por edhe në situata të jetës.
Gjeometria e trekëndëshit
Në gjeometrinë elementare, një trekëndësh kënddrejtë është një figurë që përbëhet nga tre segmente të lidhura që formojnë tre kënde (dy akute dhe një i drejtë). Trekëndëshi kënddrejtë është një figurë origjinale e karakterizuar nga një numër karakteristikash të rëndësishme që formojnë themelin e trigonometrisë. Ndryshe nga një trekëndësh i rregullt, anët e një figure drejtkëndore kanë emrat e tyre:
- Hipotenuza është ana më e gjatë e një trekëndëshi, përballë këndit të drejtë.
- Këmbët janë segmente që formojnë një kënd të drejtë. Në varësi të këndit në shqyrtim, këmba mund të jetë ngjitur me të (duke formuar këtë kënd me hipotenuzën) ose përballë (shtrirë përballë këndit). Nuk ka këmbë për trekëndëshat jo të drejtë.
Është raporti i këmbëve dhe hipotenuzës që përbën bazën e trigonometrisë: sinuset, tangjentet dhe sekantet përcaktohen si raporti i brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë.
Trekëndëshi kënddrejtë në realitet
Kjo shifër është bërë e përhapur në realitet. Trekëndëshat përdoren në dizajn dhe teknologji, kështu që llogaritja e sipërfaqes së një figure duhet të bëhet nga inxhinierë, arkitektë dhe projektues. Bazat e tetraedroneve ose prizmave - figura tredimensionale që janë të lehta për t'u takuar në jetën e përditshme - kanë formën e një trekëndëshi. Për më tepër, një katror është paraqitja më e thjeshtë e një trekëndëshi kënddrejtë "të sheshtë" në realitet. Sheshi është një vegël e përpunimit të metaleve, vizatimit, ndërtimit dhe zdrukthtarisë që përdoret për të ndërtuar kënde si nga nxënësit e shkollës ashtu edhe nga inxhinierët.
Sipërfaqja e një trekëndëshi
Sipërfaqja e një figure gjeometrike është një vlerësim sasior se sa pjesë e rrafshit kufizohet nga anët e trekëndëshit. Zona e një trekëndëshi të zakonshëm mund të gjendet në pesë mënyra, duke përdorur formulën e Heronit ose duke përdorur variabla të tillë si baza, ana, këndi dhe rrezja e rrethit të brendashkruar ose të rrethuar. Formula më e thjeshtë për sipërfaqen shprehet si:
ku a është brinja e trekëndëshit, h është lartësia e tij.
Formula për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi kënddrejtë është edhe më e thjeshtë:
ku a dhe b janë këmbët.
Duke punuar me kalkulatorin tonë në internet, mund të llogarisni sipërfaqen e një trekëndëshi duke përdorur tre palë parametra:
- dy këmbë;
- këmba dhe këndi ngjitur;
- këmbën dhe këndin e kundërt.
Në probleme ose situata të përditshme do t'ju jepen kombinime të ndryshme variablash, kështu që kjo formë e kalkulatorit ju lejon të llogaritni sipërfaqen e një trekëndëshi në disa mënyra. Le të shohim disa shembuj.
Shembuj të jetës reale
Pllakë qeramike
Le të themi se dëshironi të mbuloni muret e kuzhinës me pllaka qeramike, të cilat kanë formën e një trekëndëshi kënddrejtë. Për të përcaktuar konsumin e pllakave, duhet të zbuloni sipërfaqen e një elementi të veshjes dhe sipërfaqen totale të sipërfaqes që trajtohet. Le të themi se ju duhet të përpunoni 7 metra katrorë. Gjatësia e këmbëve të një elementi është 19 cm, atëherë sipërfaqja e pllakës do të jetë e barabartë me:
Kjo do të thotë që sipërfaqja e një elementi është 24.5 centimetra katrorë ose 0.01805 metra katrorë. Duke ditur këto parametra, mund të llogarisni se për të përfunduar 7 metra katror mur do t'ju nevojiten 7/0.01805 = 387 elementë të pllakave të përballimit.
Detyrë shkollore
Le të themi se në një problem të gjeometrisë shkollore ju duhet të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë, duke ditur vetëm se ana e njërës këmbë është 5 cm dhe këndi i kundërt është 30 gradë. Llogaritësi ynë online vjen me një ilustrim që tregon brinjët dhe këndet e një trekëndëshi kënddrejtë. Nëse ana a = 5 cm, atëherë këndi i kundërt i saj është këndi alfa, i barabartë me 30 gradë. Futni këto të dhëna në formularin e kalkulatorit dhe merrni rezultatin:
Kështu, kalkulatori jo vetëm që llogarit sipërfaqen e një trekëndëshi të caktuar, por gjithashtu përcakton gjatësinë e këmbës ngjitur dhe hipotenuzës, si dhe vlerën e këndit të dytë.
konkluzioni
Trekëndëshat kënddrejtë gjenden në jetën tonë fjalë për fjalë në çdo cep. Përcaktimi i zonës së figurave të tilla do të jetë i dobishëm për ju jo vetëm kur zgjidhni detyra shkollore në gjeometri, por edhe në aktivitetet e përditshme dhe profesionale.
Në gjeometrinë elementare, një trekëndësh kënddrejtë është një figurë e përbërë nga tre segmente të lidhura në pika, me kënde dy prej të cilave janë akute dhe një i drejtë (d.m.th., i barabartë me 90°). Trekëndësh kënddrejtë karakterizohet nga një numër karakteristikash të rëndësishme, shumë prej të cilave formojnë bazën e trigonometrisë (për shembull, marrëdhënia midis anëve dhe këndeve të saj). Që në shkollë, të gjithë dimë të llogarisim zona e një trekëndëshi kënddrejtë, dhe në jetën e përditshme e ndeshim mjaft shpesh këtë figurë gjeometrike, ndonjëherë edhe pa e vënë re. Ajo gjen aplikim mjaft të gjerë në teknologji dhe për këtë arsye inxhinierët, projektuesit dhe arkitektët shpesh duhet të zgjidhin një problem të tillë.
Arkitektët duhet ta përcaktojnë këtë vlerë kur projektojnë ndërtesa me pedimente, të cilat janë përfundimi i fasadave dhe kanë formë trekëndore i kufizuar nga një qoshe dhe nga anët me shpate çatie. Shpesh këndi ndërmjet shpateve është i drejtë dhe në raste të tilla pedimenti ka formën e një trekëndëshi kënddrejtë. Është e nevojshme të përcaktohet zona e saj për arsyen e thjeshtë se është e nevojshme të dihet saktësisht sasia e materialit ndërtimor që kërkohet për rregullimin e tij. Duhet të theksohet se gablet janë elementë të detyrueshëm të ndërtesave të ulëta (shtëpi të fshatit, vila, dacha).
Gjetja e sipërfaqes së një trekëndëshi kënddrejtë
Formula për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi kënddrejtë
| S | ab |
a- këmbën
b- këmbën
S- zona e një trekëndëshi kënddrejtë
Forma trekëndësh kënddrejtë kanë shumë nga detajet nga të cilat janë bërë mobilje moderne. Siç e dini, për të shfrytëzuar sa më mirë hapësirën e dhomës, duhet të vendosen në të në mënyrë optimale të gjithë elementët e arredimit. Ju mund të përdorni mirë zona të tilla si qoshet duke përdorur tavolina në formë trekëndore, majat e të cilave në shumicën e rasteve janë trekëndësha kënddrejtë me këmbë ngjitur me muret. Gjatë projektimit dhe llogaritjes së këtyre elementeve, projektuesit e prodhimit të mobiljeve përdorin formulën sipas së cilës gjetja e sipërfaqes së një trekëndëshi kënddrejtë kryhet në bazë të gjatësisë së anëve të saj. Përveç kësaj, ata shpesh duhet të zhvillojnë dizajne për tavolina të ngjitura drejtpërdrejt në mure, të cilat përfshijnë elemente mbështetëse, të cilat gjithashtu përfaqësojnë trekëndëshat kënddrejtë.
Ndërtuesit e angazhuar në punë ballore shpesh në aktivitetet e tyre profesionale duhet të përdorin pllaka qeramike në formën e një trekëndëshi kënddrejtë me këmbë me gjatësi të njëjta ose të ndryshme. Ata gjithashtu duhet të përcaktojnë zonën e këtyre elementeve për të gjetur numrin e kërkuar.
Forma trekëndësh kënddrejtë Ai gjithashtu ka një mjet matës kaq të rëndësishëm dhe të nevojshëm si një katror. Përdoret për të ndërtuar dhe kontrolluar kënde të drejta, dhe përdoret shumë gjerësisht dhe nga shumë njerëz: nga nxënësit e zakonshëm të shkollës në mësimet e gjeometrisë deri tek projektuesit e teknologjisë më të fundit.
Një trekëndësh kënddrejtë është një trekëndësh në të cilin njëri prej këndeve është 90°. Zona e saj mund të gjendet nëse njihen dy anët. Sigurisht, mund të merrni rrugën e gjatë - gjeni hipotenuzën dhe llogaritni sipërfaqen duke përdorur , por në shumicën e rasteve kjo do të marrë vetëm kohë shtesë. Kjo është arsyeja pse formula për sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë duket si kjo:
Sipërfaqja e një trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me gjysmën e produktit të këmbëve.
Një shembull i llogaritjes së sipërfaqes së një trekëndëshi kënddrejtë.
Jepet një trekëndësh kënddrejtë me këmbë a= 8 cm, b= 6 cm.
Ne llogarisim sipërfaqen: 
Sipërfaqja është: 24 cm 2
Teorema e Pitagorës vlen edhe për një trekëndësh kënddrejtë. – shuma e katrorëve të dy këmbëve është e barabartë me katrorin e hipotenuzës.
Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë dykëndësh llogaritet në të njëjtën mënyrë si për një trekëndësh të rregullt kënddrejtë.
Një shembull i llogaritjes së sipërfaqes së një trekëndëshi kënddrejtë dykëndësh:
Jepet një trekëndësh me këmbë a= 4 cm, b= 4 cm Llogaritni sipërfaqen:
Llogaritni sipërfaqen: = 8 cm 2
Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë nga hipotenuza mund të përdoret nëse kushtit i jepet një këmbë. Nga teorema e Pitagorës gjejmë gjatësinë e këmbës së panjohur. Për shembull, duke pasur parasysh hipotenuzën c dhe këmbën a, këmbë b do të jetë e barabartë me:
Më pas, llogarisni zonën duke përdorur formulën e zakonshme. Një shembull i llogaritjes së formulës për sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë bazuar në hipotenuzë është identik me atë të përshkruar më sipër.
Le të shqyrtojmë një problem interesant që do të ndihmojë në konsolidimin e njohurive për formulat për zgjidhjen e një trekëndëshi.
Detyrë: Sipërfaqja e një trekëndëshi kënddrejtë është 180 metra katrorë. shikoni, gjeni këmbën më të vogël të trekëndëshit nëse është 31 cm më e vogël se e dyta.
Zgjidhje: le të caktojmë këmbët a Dhe b. Tani le t'i zëvendësojmë të dhënat në formulën e zonës: ne gjithashtu e dimë se njëra këmbë është më e vogël se tjetra a – b= 31 cm
Nga kushti i parë marrim atë
Ne e zëvendësojmë këtë kusht në ekuacionin e dytë: 
Meqë gjetëm anët, heqim shenjën minus.
Rezulton se këmba a= 40 cm, a b= 9 cm.
