Kënde ngjitur dhe vertikale. Vija pingule. Cilat janë këndet ngjitur? Këndet fqinje janë gjithmonë të barabarta

1. Këndet ngjitur.

Nëse e zgjerojmë brinjën e çdo këndi përtej kulmit të tij, fitojmë dy kënde (Fig. 72): ∠ABC dhe ∠CBD, në të cilat njëra anë BC është e përbashkët dhe dy të tjerat, AB dhe BD, formojnë një vijë të drejtë.

Dy kënde në të cilat njëra anë është e përbashkët dhe dy të tjerat formojnë një vijë të drejtë quhen kënde ngjitur.

Këndet fqinje mund të fitohen edhe në këtë mënyrë: nëse vizatojmë një rreze nga një pikë e drejtëzës (jo e shtrirë në një vijë të caktuar), do të fitojmë kënde ngjitur.

Për shembull, ∠ADF dhe ∠FDB janë kënde ngjitur (Fig. 73).

Këndet ngjitur mund të kenë një shumëllojshmëri të gjerë pozicionesh (Fig. 74).

Këndet fqinje shtohen në një kënd të drejtë, pra shuma e dy këndeve ngjitur është 180°

Prandaj, një kënd i drejtë mund të përkufizohet si një kënd i barabartë me këndin e tij ngjitur.

Duke ditur madhësinë e njërit prej këndeve ngjitur, mund të gjejmë madhësinë e këndit tjetër ngjitur me të.

Për shembull, nëse një nga këndet ngjitur është 54°, atëherë këndi i dytë do të jetë i barabartë me:

180° - 54° = l26°.

2. Kënde vertikale.

Nëse i zgjerojmë anët e këndit përtej kulmit të tij, marrim kënde vertikale. Në figurën 75, këndet EOF dhe AOC janë vertikale; këndet AOE dhe COF janë gjithashtu vertikale.

Dy kënde quhen vertikale nëse brinjët e njërit kënd janë vazhdimësi të brinjëve të këndit tjetër.

Le të ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(Fig. 76). ∠2 ngjitur me të do të jetë e barabartë me 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, pra 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

Në të njëjtën mënyrë, ju mund të llogaritni se me çfarë janë të barabarta ∠3 dhe ∠4.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (Fig. 77).

Shohim që ∠1 = ∠3 dhe ∠2 = ∠4.

Ju mund të zgjidhni disa probleme të tjera të njëjta dhe çdo herë do të merrni të njëjtin rezultat: këndet vertikale janë të barabarta me njëri-tjetrin.

Megjithatë, për t'u siguruar që këndet vertikale janë gjithmonë të barabarta me njëri-tjetrin, nuk mjafton të merren parasysh shembuj individualë numerikë, pasi përfundimet e nxjerra nga shembuj të veçantë ndonjëherë mund të jenë të gabuara.

Është e nevojshme të verifikohet vlefshmëria e vetive të këndeve vertikale me anë të vërtetimit.

Prova mund të kryhet si më poshtë (Fig. 78):

∠a+∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(pasi shuma e këndeve ngjitur është 180°).

∠a+∠c = ∠b+∠c

(pasi ana e majtë e kësaj barazie është e barabartë me 180°, dhe ana e djathtë e saj është gjithashtu e barabartë me 180°).

Kjo barazi përfshin të njëjtin kënd Me.

Nëse zbresim sasi të barabarta nga sasitë e barabarta, atëherë do të mbeten sasi të barabarta. Rezultati do të jetë: ∠a = ∠b, pra këndet vertikale janë të barabarta me njëri-tjetrin.

3. Shuma e këndeve që kanë një kulm të përbashkët.

Në vizatimin 79, ∠1, ∠2, ∠3 dhe ∠4 ndodhen në njërën anë të vijës dhe kanë një kulm të përbashkët në këtë vijë. Si përmbledhje, këto kënde përbëjnë një kënd të drejtë, d.m.th.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Në figurën 80, ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 dhe ∠5 kanë një kulm të përbashkët. Këto kënde mblidhen deri në një kënd të plotë, d.m.th. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Dy kënde të vendosura në të njëjtën drejtëz dhe që kanë të njëjtin kulm quhen fqinj.

Përndryshe, nëse shuma e dy këndeve në një drejtëz është e barabartë me 180 gradë dhe ata kanë një anë të përbashkët, atëherë këto janë kënde ngjitur.

1 kënd ngjitur + 1 kënd ngjitur = 180 gradë.

Këndet ngjitur janë dy kënde në të cilat njëra anë është e përbashkët, dhe dy anët e tjera zakonisht formojnë një vijë të drejtë.

Shuma e dy këndeve ngjitur është gjithmonë 180 gradë. Për shembull, nëse një kënd është 60 gradë, atëherë i dyti domosdoshmërisht do të jetë i barabartë me 120 gradë (180-60).

Këndet AOC dhe BOC janë kënde ngjitur sepse plotësohen të gjitha kushtet për karakteristikat e këndeve ngjitur:

1.OS - ana e përbashkët e dy qosheve

2.AO - ana e këndit AOS, OB - ana e këndit BOS. Së bashku këto anë formojnë një vijë të drejtë AOB.

3. Janë dy kënde dhe shuma e tyre është 180 gradë.

Duke kujtuar kursin e gjeometrisë së shkollës, mund të themi sa vijon për këndet ngjitur:

këndet ngjitur kanë një anë të përbashkët, dhe dy anët e tjera i përkasin të njëjtës drejtëz, domethënë janë në të njëjtën drejtëz. Nëse sipas figurës, atëherë këndet SOB dhe BOA janë kënde ngjitur, shuma e të cilave është gjithmonë e barabartë me 180, pasi ata ndajnë një kënd të drejtë, dhe një kënd i drejtë është gjithmonë i barabartë me 180.



Këndet ngjitur janë një koncept i lehtë në gjeometri. Këndet ngjitur, një kënd plus një kënd, mblidhen deri në 180 gradë.

Dy kënde ngjitur do të jenë një kënd i shpalosur.

Ka disa prona të tjera. Me kënde ngjitur, problemet janë të lehta për t'u zgjidhur dhe teorema për t'u provuar.

Këndet ngjitur formohen duke tërhequr një rreze nga një pikë arbitrare në një vijë të drejtë. Atëherë kjo pikë arbitrare rezulton të jetë kulmi i këndit, rrezja rezulton të jetë ana e përbashkët e këndeve ngjitur dhe vija e drejtë nga e cila është tërhequr rrezja rezulton të jetë dy anët e mbetura të këndeve ngjitur. Këndet ngjitur mund të jenë të njëjta në rastin e një pingul, ose të ndryshëm në rastin e një trau të pjerrët. Është e lehtë të kuptohet se shuma e këndeve ngjitur është e barabartë me 180 gradë ose thjesht një vijë e drejtë. Në një mënyrë tjetër, ky kënd mund të shpjegohet me një shembull të thjeshtë - ju së pari ecët në një drejtim në një vijë të drejtë, pastaj ndryshuat mendje, vendosët të ktheheshit dhe, duke u kthyer 180 gradë, u nisët përgjatë së njëjtës vijë të drejtë në të kundërtën drejtimin.



Pra, çfarë është një kënd ngjitur? Përkufizimi:

Dy kënde me një kulm të përbashkët dhe një anë të përbashkët quhen fqinjë, dhe dy brinjët e tjera të këtyre këndeve shtrihen në të njëjtën drejtëz.



Dhe një mësim i shkurtër video që tregon në mënyrë të ndjeshme për këndet ngjitur, këndet vertikale, plus për vijat pingule, të cilat janë një rast i veçantë i këndeve ngjitur dhe vertikal

Këndet fqinje janë kënde në të cilat njëra anë është e përbashkët dhe tjetra është një vijë.

Këndet fqinje janë kënde që varen nga njëri-tjetri. Kjo do të thotë, nëse ana e përbashkët rrotullohet pak, atëherë një kënd do të ulet me disa gradë dhe automatikisht këndi i dytë do të rritet me të njëjtin numër gradë. Kjo veti e këndeve ngjitur lejon që dikush të zgjidhë probleme të ndryshme në Gjeometri dhe të kryejë prova të teoremave të ndryshme.

Shuma totale e këndeve ngjitur është gjithmonë 180 gradë.



Nga lënda e gjeometrisë, (me sa më kujtohet në klasën e 6-të), dy kënde quhen fqinjë, në të cilët njëra anë është e përbashkët, dhe brinjët e tjera janë rreze shtesë, shuma e këndeve ngjitur është 180. Secili nga të dy këndet ngjitur plotësojnë tjetrin me një kënd të zgjeruar. Shembull i këndeve ngjitur:



Këndet ngjitur janë dy kënde me një kulm të përbashkët, njëra nga anët e të cilave është e përbashkët, dhe anët e mbetura shtrihen në të njëjtën drejtëz (nuk përputhen). Shuma e këndeve ngjitur është njëqind e tetëdhjetë gradë. Në përgjithësi, e gjithë kjo është shumë e lehtë për t'u gjetur në Google ose në një libër shkollor të gjeometrisë.

Dy kënde quhen ngjitur nëse kanë një kulm të përbashkët dhe njërën anë, dhe dy brinjët e tjera formojnë një vijë të drejtë. Shuma e këndeve ngjitur është 180 gradë.



Në figurë, këndet AOB dhe BOC janë ngjitur.



Këndet ngjitur janë ato që kanë një kulm të përbashkët, një anë të përbashkët dhe brinjët e tjera janë vazhdimësi e njëra-tjetrës dhe formojnë një kënd të zgjatur. Një veti e jashtëzakonshme e këndeve ngjitur është se shuma e këtyre këndeve është gjithmonë e barabartë me 180 gradë.

Këndet me një kulm të përbashkët dhe një anë të përbashkët në gjeometri quhen fqinjë

Shuma e këndeve ngjitur është 180 gradë

Duhet të theksohet se këndet ngjitur kanë sinus të barabartë

Për të mësuar më shumë rreth këndeve ngjitur, lexoni këtu

Çdo kënd, në varësi të madhësisë së tij, ka emrin e vet:

Lloji i këndit	Madhësia në gradë	Shembull
pikante	Më pak se 90°
Drejt	E barabartë me 90°. Në një vizatim, një kënd i drejtë zakonisht shënohet me një simbol të tërhequr nga njëra anë e këndit në tjetrën.
E paqartë	Më shumë se 90° por më pak se 180°
Zgjeruar	E barabartë me 180° Një kënd i drejtë është i barabartë me shumën e dy këndeve të drejta, dhe një kënd i drejtë është gjysma e një këndi të drejtë.
Konveks	Më shumë se 180° por më pak se 360°
Plot	E barabartë me 360°

Të dy këndet quhen ngjitur, nëse kanë njërën anë të përbashkët, dhe dy anët e tjera formojnë një vijë të drejtë:

Kënde MOP Dhe PON ngjitur, që nga tra OP- ana e përbashkët dhe dy anët e tjera - OM Dhe AKTIV përbëjnë një vijë të drejtë.

Brinja e përbashkët e këndeve fqinjë quhet i zhdrejtë në të drejtë, në të cilën shtrihen dy anët e tjera, vetëm në rastin kur këndet ngjitur nuk janë të barabartë me njëri-tjetrin. Nëse këndet ngjitur janë të barabartë, atëherë ana e tyre e përbashkët do të jetë pingul.

Shuma e këndeve ngjitur është 180°.

Të dy këndet quhen vertikale, nëse anët e njërit kënd plotësojnë anët e këndit tjetër me vija të drejta:

Këndet 1 dhe 3, si dhe këndet 2 dhe 4, janë vertikale.

Këndet vertikale janë të barabarta.

Le të vërtetojmë se këndet vertikale janë të barabarta:

Shuma e ∠1 dhe ∠2 është një kënd i drejtë. Dhe shuma e ∠3 dhe ∠2 është një kënd i drejtë. Pra këto dy shuma janë të barabarta:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

Në këtë barazi, ka një term identik majtas dhe djathtas - ∠2. Barazia nuk do të cenohet nëse ky term majtas dhe djathtas hiqet. Pastaj e marrim.

Si të gjeni një kënd ngjitur?

Matematika është shkenca ekzakte më e vjetër, e cila studiohet detyrimisht në shkolla, kolegje, institute dhe universitete. Sidoqoftë, njohuritë themelore janë gjithmonë në shkollë. Ndonjëherë, fëmijës i jepen detyra mjaft komplekse, por prindërit nuk janë në gjendje të ndihmojnë, sepse thjesht harruan disa gjëra nga matematika. Për shembull, si të gjeni një kënd ngjitur bazuar në madhësinë e këndit kryesor, etj. Problemi është i thjeshtë, por mund të shkaktojë vështirësi në zgjidhje për shkak të mosnjohjes se cilat kënde quhen ngjitur dhe si t'i gjeni ato.

Le të hedhim një vështrim më të afërt në përkufizimin dhe vetitë e këndeve ngjitur, si dhe mënyrën e llogaritjes së tyre nga të dhënat në problem.

Përkufizimi dhe vetitë e këndeve ngjitur

Dy rreze që dalin nga një pikë formojnë një figurë të quajtur "kënd plan". Në këtë rast, kjo pikë quhet kulm i këndit, dhe rrezet janë anët e saj. Nëse vazhdoni njërën nga rrezet përtej pikës së fillimit në një vijë të drejtë, atëherë formohet një kënd tjetër, i cili quhet ngjitur. Çdo kënd në këtë rast ka dy kënde ngjitur, pasi anët e këndit janë ekuivalente. Kjo do të thotë, ka gjithmonë një kënd ngjitur prej 180 gradë.

Vetitë kryesore të këndeve ngjitur përfshijnë

• Këndet ngjitur kanë një kulm të përbashkët dhe një anë;
• Shuma e këndeve ngjitur është gjithmonë e barabartë me 180 gradë ose numrin Pi nëse llogaritja kryhet në radianë;
• Sinuset e këndeve ngjitur janë gjithmonë të barabartë;
• Kosinuset dhe tangjentet e këndeve ngjitur janë të barabartë, por kanë shenja të kundërta.

Si të gjeni kënde ngjitur

Zakonisht jepen tre variacione problemash për të gjetur madhësinë e këndeve ngjitur

• Është dhënë vlera e këndit kryesor;
• Është dhënë raporti i këndit kryesor dhe atij fqinj;
• Është dhënë vlera e këndit vertikal.

Çdo version i problemit ka zgjidhjen e vet. Le t'i shikojmë ato.

Është dhënë vlera e këndit kryesor

Nëse problemi specifikon vlerën e këndit kryesor, atëherë gjetja e këndit ngjitur është shumë e thjeshtë. Për ta bërë këtë, thjesht zbritni vlerën e këndit kryesor nga 180 gradë dhe do të merrni vlerën e këndit ngjitur. Kjo zgjidhje bazohet në vetinë e një këndi ngjitur - shuma e këndeve ngjitur është gjithmonë e barabartë me 180 gradë.

Nëse vlera e këndit kryesor është dhënë në radianë dhe problemi kërkon gjetjen e këndit ngjitur në radianë, atëherë është e nevojshme të zbritet vlera e këndit kryesor nga numri Pi, pasi vlera e këndit të plotë të shpalosur prej 180 gradë. është e barabartë me numrin Pi.

Është dhënë raporti i këndit kryesor dhe atij fqinj

Problemi mund të japë raportin e këndeve kryesore dhe ngjitur në vend të shkallëve dhe radianeve të këndit kryesor. Në këtë rast, zgjidhja do të duket si një ekuacion proporcioni:

1. Përpjesëtimin e këndit kryesor e shënojmë si ndryshore "Y".
2. Pjesa e lidhur me këndin ngjitur shënohet si ndryshore "X".
3. Numri i shkallëve që bien në çdo proporcion do të shënohet, për shembull, me "a".
4. Formula e përgjithshme do të duket kështu - a*X+a*Y=180 ose a*(X+Y)=180.
5. Faktorin e përbashkët të ekuacionit “a” e gjejmë duke përdorur formulën a=180/(X+Y).
6. Pastaj shumëzojmë vlerën rezultuese të faktorit të përbashkët "a" me fraksionin e këndit që duhet të përcaktohet.

Në këtë mënyrë mund të gjejmë vlerën e këndit ngjitur në gradë. Sidoqoftë, nëse ju duhet të gjeni një vlerë në radianë, atëherë thjesht duhet t'i konvertoni shkallët në radianë. Për ta bërë këtë, shumëzojeni këndin në gradë me Pi dhe ndani gjithçka me 180 gradë. Vlera që rezulton do të jetë në radianë.

Është dhënë vlera e këndit vertikal

Nëse problemi nuk jep vlerën e këndit kryesor, por është dhënë vlera e këndit vertikal, atëherë këndi ngjitur mund të llogaritet duke përdorur të njëjtën formulë si në paragrafin e parë, ku jepet vlera e këndit kryesor.

Një kënd vertikal është një kënd që e ka origjinën nga e njëjta pikë me këndin kryesor, por është i drejtuar pikërisht në drejtim të kundërt. Kjo rezulton në një imazh pasqyre. Kjo do të thotë që këndi vertikal është i barabartë në madhësi me atë kryesor. Nga ana tjetër, këndi ngjitur i këndit vertikal është i barabartë me këndin ngjitur të këndit kryesor. Falë kësaj, këndi ngjitur i këndit kryesor mund të llogaritet. Për ta bërë këtë, thjesht zbritni vlerën vertikale nga 180 gradë dhe merrni vlerën e këndit ngjitur të këndit kryesor në gradë.

Nëse vlera është dhënë në radianë, atëherë është e nevojshme të zbritet vlera e këndit vertikal nga numri Pi, pasi vlera e këndit të plotë të shpalosur prej 180 gradë është e barabartë me numrin Pi.

Ju gjithashtu mund të lexoni artikujt tanë të dobishëm dhe.

Në procesin e studimit të një kursi gjeometrie, konceptet e "këndit", "këndeve vertikale", "këndeve ngjitur" dalin mjaft shpesh. Kuptimi i secilit prej termave do t'ju ndihmojë të kuptoni problemin dhe ta zgjidhni atë në mënyrë korrekte. Cilat janë këndet ngjitur dhe si t'i përcaktojmë ato?

Këndet ngjitur - përkufizimi i konceptit

Termi "kënde ngjitur" karakterizon dy kënde të formuara nga një rreze e përbashkët dhe dy gjysmëdrejtëza shtesë që shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë. Të tre rrezet dalin nga e njëjta pikë. Një gjysmë vijë e zakonshme është njëkohësisht një anë e njërit dhe e këndit tjetër.

Këndet ngjitur - vetitë themelore

1. Bazuar në formulimin e këndeve ngjitur, është e lehtë të vërehet se shuma e këndeve të tilla gjithmonë formon një kënd të kundërt, masa e shkallës së të cilit është 180°:

• Nëse μ dhe η janë kënde ngjitur, atëherë μ + η = 180°.
• Duke ditur madhësinë e njërit prej këndeve ngjitur (për shembull, μ), lehtë mund të llogarisni masën e shkallës së këndit të dytë (η) duke përdorur shprehjen η = 180° - μ.

2. Kjo veti e këndeve na lejon të nxjerrim përfundimin e mëposhtëm: një kënd që është ngjitur me një kënd të drejtë do të jetë gjithashtu i drejtë.

3. Duke marrë parasysh funksionet trigonometrike (sin, cos, tg, ctg), bazuar në formulat e reduktimit për këndet ngjitur μ dhe η, është e vërtetë:

• siνη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cose = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Kënde fqinje - shembuj

Shembulli 1

Jepet një trekëndësh me kulme M, P, Q – ΔMPQ. Gjeni këndet ngjitur me këndet ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Le të zgjasim secilën anë të trekëndëshit me një vijë të drejtë.
• Duke ditur se këndet ngjitur plotësojnë njëri-tjetrin deri në një kënd të kundërt, zbulojmë se:

ngjitur me këndin ∠QMP është ∠LMP,

ngjitur me këndin ∠MPQ është ∠SPQ,

ngjitur me këndin ∠PQM është ∠HQP.

Shembulli 2

Vlera e një këndi ngjitur është 35°. Sa është masa e shkallës së këndit të dytë ngjitur?

• Dy kënde ngjitur shtojnë deri në 180°.
• Nëse ∠μ = 35°, atëherë ngjitur me të ∠η = 180° – 35° = 145°.

Shembulli 3

Përcaktoni vlerat e këndeve ngjitur nëse dihet se masa e shkallës së njërit prej tyre është tre herë më e madhe se masa e shkallës së këndit tjetër.

• Le ta shënojmë madhësinë e një këndi (më të vogël) me – ∠μ = λ.
• Atëherë, sipas kushteve të problemës, vlera e këndit të dytë do të jetë e barabartë me ∠η = 3λ.
• Bazuar në vetinë bazë të këndeve ngjitur, vijon μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Kjo do të thotë se këndi i parë është ∠μ = λ = 45°, dhe këndi i dytë është ∠η = 3λ = 135°.

Aftësia për të përdorur terminologjinë, si dhe njohja e vetive themelore të këndeve ngjitur, do t'ju ndihmojë të zgjidhni shumë probleme gjeometrike.