Përkufizimi. Buzë anësore- ky është një trekëndësh në të cilin një kënd shtrihet në majë të piramidës, dhe ana e kundërt përkon me anën e bazës (poligonin).
Përkufizimi. Brinjë anësore- këto janë anët e zakonshme të faqeve anësore. Një piramidë ka aq skaj sa këndet e një shumëkëndëshi.
Përkufizimi. Lartësia e piramidës- kjo është një pingul i ulur nga maja në bazën e piramidës.
Përkufizimi. Apotemë- kjo është një pingul me faqen anësore të piramidës, e ulur nga maja e piramidës në anën e bazës.
Përkufizimi. Seksioni diagonal- kjo është një seksion i një piramide nga një aeroplan që kalon nëpër majën e piramidës dhe diagonalen e bazës.
Përkufizimi. Piramida e saktëështë një piramidë në të cilën baza është një shumëkëndësh i rregullt, dhe lartësia zbret në qendër të bazës.
Vëllimi dhe sipërfaqja e piramidës
Formula. Vëllimi i piramidës përmes sipërfaqes dhe lartësisë së bazës:
Vetitë e piramidës
Nëse të gjitha skajet anësore janë të barabarta, atëherë mund të vizatohet një rreth rreth bazës së piramidës, dhe qendra e bazës përkon me qendrën e rrethit. Gjithashtu, një pingul i rënë nga lart kalon përmes qendrës së bazës (rrethit).
Nëse të gjitha skajet anësore janë të barabarta, atëherë ato janë të prirura në rrafshin e bazës në të njëjtat kënde.
Skajet anësore janë të barabarta kur formojnë kënde të barabarta me rrafshin e bazës ose nëse mund të përshkruhet një rreth rreth bazës së piramidës.
Nëse faqet anësore janë të prirura në rrafshin e bazës në të njëjtin kënd, atëherë një rreth mund të futet në bazën e piramidës, dhe maja e piramidës projektohet në qendër të saj.
Nëse faqet anësore janë të prirura në rrafshin e bazës në të njëjtin kënd, atëherë apotemat e faqeve anësore janë të barabarta.
Vetitë e një piramide të rregullt
1. Maja e piramidës është e barabartë nga të gjitha cepat e bazës.
2. Të gjitha skajet anësore janë të barabarta.
3. Të gjitha brinjët anësore janë të prirura në kënde të barabarta me bazën.
4. Apotemat e të gjitha faqeve anësore janë të barabarta.
5. Sipërfaqet e të gjitha faqeve anësore janë të barabarta.
6. Të gjitha fytyrat kanë kënde të njëjta dihedrale (të sheshta).
7. Një sferë mund të përshkruhet rreth piramidës. Qendra e sferës së rrethuar do të jetë pika e kryqëzimit të pinguleve që kalojnë nga mesi i skajeve.
8. Ju mund të vendosni një sferë në një piramidë. Qendra e sferës së brendashkruar do të jetë pika e kryqëzimit të përgjysmuesve që dalin nga këndi midis skajit dhe bazës.
9. Nëse qendra e sferës së brendashkruar përkon me qendrën e sferës së rrethuar, atëherë shuma e këndeve të rrafshët në kulm është e barabartë me π ose anasjelltas, një kënd është i barabartë me π/n, ku n është numri të këndeve në bazën e piramidës.
Lidhja midis piramidës dhe sferës
Një sferë mund të përshkruhet rreth një piramide kur në bazën e piramidës ka një shumëfaqësh rreth të cilit mund të përshkruhet një rreth (një kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm). Qendra e sferës do të jetë pika e kryqëzimit të planeve që kalojnë pingul përmes mesit të skajeve anësore të piramidës.
Është gjithmonë e mundur të përshkruhet një sferë rreth çdo piramide trekëndore ose të rregullt.
Një sferë mund të futet në një piramidë nëse rrafshet përgjysmuese të këndeve të brendshme diedrale të piramidës kryqëzohen në një pikë (kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm). Kjo pikë do të jetë qendra e sferës.
Lidhja e një piramide me një kon
Një kon thuhet se është i gdhendur në një piramidë nëse kulmet e tyre përkojnë dhe baza e konit është e gdhendur në bazën e piramidës.
Një kon mund të futet në një piramidë nëse apotemat e piramidës janë të barabarta me njëra-tjetrën.
Një kon thuhet se është i rrethuar rreth një piramide nëse kulmet e tyre përkojnë dhe baza e konit është e rrethuar rreth bazës së piramidës.
Një kon mund të përshkruhet rreth një piramide nëse të gjitha skajet anësore të piramidës janë të barabarta me njëra-tjetrën.
Marrëdhënia midis një piramide dhe një cilindri
Një piramidë quhet e gdhendur në një cilindër nëse maja e piramidës shtrihet në njërën bazë të cilindrit, dhe baza e piramidës është e gdhendur në një bazë tjetër të cilindrit.
Një cilindër mund të përshkruhet rreth një piramide nëse një rreth mund të përshkruhet rreth bazës së piramidës.
Një katërkëndor ka katër fytyra dhe katër kulme dhe gjashtë skaje, ku çdo dy skaj nuk ka kulme të përbashkëta, por nuk preken.
Çdo kulm përbëhet nga tre faqe dhe skaje që formohen kënd trekëndësh.
Segmenti që lidh kulmin e një tetraedri me qendrën e faqes së kundërt quhet mediana e tetraedrit(GM).
Bimedian quhet një segment që lidh mesin e skajeve të kundërta që nuk preken (KL).
Të gjithë bimedianët dhe medianët e një tetraedri kryqëzohen në një pikë (S). Në këtë rast, bimediat ndahen përgjysmë, dhe medianat ndahen në një raport 3:1 duke filluar nga lart.
Përkufizimi. Piramida akute me kënd- një piramidë në të cilën apotema është më shumë se gjysma e gjatësisë së anës së bazës.
Përkufizimi. Piramidë e mpirë- një piramidë në të cilën apotema është më e vogël se gjysma e gjatësisë së anës së bazës.
Përkufizimi. Tetraedron i rregullt- një katërkëndësh në të cilin të katër faqet janë trekëndësha barabrinjës. Është një nga pesë shumëkëndëshat e rregullt. Në një katërkëndor të rregullt, të gjithë këndet dihedral (midis faqeve) dhe këndet trekëndësh (në kulm) janë të barabartë.
Përkufizimi. Katërkëndësh drejtkëndor quhet një katërkëndor në të cilin ka një kënd të drejtë midis tre skajeve në kulm (skajet janë pingul). Formohen tre fytyra kënd trekëndësh drejtkëndor dhe faqet janë trekëndësha kënddrejtë, dhe baza është një trekëndësh arbitrar. Apotema e çdo fytyre është e barabartë me gjysmën e anës së bazës mbi të cilën bie apotema.
Përkufizimi. Tetraedri izohedral quhet katërkëndësh, faqet anësore të të cilit janë të barabarta me njëra-tjetrën, dhe baza është një trekëndësh i rregullt. Një katërkëndësh i tillë ka faqe që janë trekëndësha dykëndësh.
Përkufizimi. Tetraedri ortocentrik quhet katërkëndësh në të cilin të gjitha lartësitë (perpendikularët) që janë ulur nga maja në faqen e kundërt kryqëzohen në një pikë.
Përkufizimi. Piramida e yjeve quhet shumëfaqësh, baza e të cilit është një yll.
Piramidaështë një figurë shumëplanëshe, baza e së cilës është një shumëkëndësh dhe faqet e mbetura përfaqësohen me trekëndësha me një kulm të përbashkët.
Nëse baza është një katror, atëherë piramida quhet katërkëndëshe, nëse një trekëndësh - atëherë trekëndëshi. Lartësia e piramidës është tërhequr nga maja e saj pingul me bazën. Përdoret gjithashtu për të llogaritur sipërfaqen apotemë– lartësia e faqes anësore, e ulur nga maja e saj.
Formula për sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një piramide është shuma e sipërfaqeve të faqeve të saj anësore, të cilat janë të barabarta me njëra-tjetrën. Megjithatë, kjo metodë e llogaritjes përdoret shumë rrallë. Në thelb, zona e piramidës llogaritet përmes perimetrit të bazës dhe apotemës:
Le të shqyrtojmë një shembull të llogaritjes së sipërfaqes së sipërfaqes anësore të një piramide.
Le të jepet një piramidë me bazë ABCDE dhe kulm F. AB=BC=CD=DE=EA=3 cm Apotema a = 5 cm Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të piramidës.
Le të gjejmë perimetrin. Meqenëse të gjitha skajet e bazës janë të barabarta, perimetri i pesëkëndëshit do të jetë i barabartë me:
Tani mund të gjeni zonën anësore të piramidës: 
Zona e një piramide të rregullt trekëndore
Një piramidë e rregullt trekëndore përbëhet nga një bazë në të cilën shtrihet një trekëndësh i rregullt dhe tre faqe anësore që janë të barabarta në sipërfaqe.
Formula për sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt trekëndore mund të llogaritet në mënyra të ndryshme. Ju mund të aplikoni formulën e zakonshme të llogaritjes duke përdorur perimetrin dhe apotemën, ose mund të gjeni sipërfaqen e një fytyre dhe ta shumëzoni atë me tre. Meqenëse faqja e një piramide është një trekëndësh, ne aplikojmë formulën për sipërfaqen e një trekëndëshi. Do të kërkojë një apotemë dhe gjatësinë e bazës. Le të shqyrtojmë një shembull të llogaritjes së sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt trekëndore.
Jepet një piramidë me apotemë a = 4 cm dhe faqe bazë b = 2 cm Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të piramidës.
Së pari, gjeni zonën e njërës nga fytyrat anësore. Në këtë rast do të jetë:
Zëvendësoni vlerat në formulën: 
Meqenëse në një piramidë të rregullt të gjitha anët janë të njëjta, sipërfaqja e sipërfaqes anësore të piramidës do të jetë e barabartë me shumën e sipërfaqeve të tre fytyrave. Përkatësisht: 
Zona e një piramide të cunguar
E cunguar Një piramidë është një shumëfaqësh që formohet nga një piramidë dhe seksioni i saj kryq paralel me bazën.
Formula për sipërfaqen anësore të një piramide të cunguar është shumë e thjeshtë. Sipërfaqja është e barabartë me prodhimin e gjysmës së shumës së perimetrave të bazave dhe apotemës: 
Le të shqyrtojmë një shembull të llogaritjes së sipërfaqes anësore të një piramide të cunguar.
Jepet një piramidë e rregullt katërkëndore. Gjatësitë e bazës janë b = 5 cm, c = 3 cm Apotema a = 4 cm Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të figurës.
Së pari, le të gjejmë perimetrin e bazave. Në një bazë më të madhe do të jetë e barabartë me: 
Në një bazë më të vogël: 
Le të llogarisim sipërfaqen:
Piramida trekëndoreështë një shumëfaqësh, baza e të cilit është një trekëndësh i rregullt.
Në një piramidë të tillë, skajet e bazës dhe skajet e anëve janë të barabarta me njëra-tjetrën. Prandaj, zona e faqeve anësore gjendet nga shuma e sipërfaqeve të tre trekëndëshave identikë. Ju mund të gjeni sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt duke përdorur formulën. Dhe ju mund ta bëni llogaritjen disa herë më shpejt. Për ta bërë këtë, ju duhet të aplikoni formulën për sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një piramide trekëndore:
ku p është perimetri i bazës, të gjitha anët e së cilës janë të barabarta me b, a është apotema e ulur nga lart në këtë bazë. Le të shqyrtojmë një shembull të llogaritjes së sipërfaqes së një piramide trekëndore.
Problemi: Le të jepet një piramidë e rregullt. Brinja e trekëndëshit në bazë është b = 4 cm. Apotema e piramidës është a = 7 cm. Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të piramidës.
Meqenëse, sipas kushteve të problemit, ne i dimë gjatësitë e të gjithë elementëve të nevojshëm, do të gjejmë perimetrin. Kujtojmë se në një trekëndësh të rregullt të gjitha anët janë të barabarta, dhe, për këtë arsye, perimetri llogaritet me formulën:
Le të zëvendësojmë të dhënat dhe të gjejmë vlerën:
Tani, duke ditur perimetrin, mund të llogarisim sipërfaqen anësore: 
Për të aplikuar formulën për sipërfaqen e një piramide trekëndore për të llogaritur vlerën e plotë, duhet të gjeni sipërfaqen e bazës së poliedrit. Për ta bërë këtë, përdorni formulën: 
Formula për sipërfaqen e bazës së një piramide trekëndore mund të jetë e ndryshme. Është e mundur të përdoret çdo llogaritje e parametrave për një figurë të caktuar, por më shpesh kjo nuk kërkohet. Le të shqyrtojmë një shembull të llogaritjes së sipërfaqes së bazës së një piramide trekëndore.
Problemi: Në një piramidë të rregullt, brinja e trekëndëshit në bazë është a = 6 cm. Llogaritni sipërfaqen e bazës.
Për të llogaritur, na duhet vetëm gjatësia e brinjës së trekëndëshit të rregullt që ndodhet në bazën e piramidës. Le t'i zëvendësojmë të dhënat në formulën: 
Shumë shpesh ju duhet të gjeni sipërfaqen totale të një poliedri. Për ta bërë këtë, do t'ju duhet të shtoni sipërfaqen e sipërfaqes anësore dhe bazës. 
Le të shqyrtojmë një shembull të llogaritjes së sipërfaqes së një piramide trekëndore.
Problem: Le të jepet një piramidë e rregullt trekëndore. Ana e bazës është b = 4 cm, apotema është a = 6 cm. Gjeni sipërfaqen totale të piramidës.
Së pari, le të gjejmë zonën e sipërfaqes anësore duke përdorur formulën e njohur tashmë. Le të llogarisim perimetrin:
Zëvendësoni të dhënat në formulën: 
Tani le të gjejmë zonën e bazës: 
Duke ditur sipërfaqen e bazës dhe sipërfaqes anësore, gjejmë sipërfaqen totale të piramidës: 
Kur llogaritni sipërfaqen e një piramide të rregullt, nuk duhet të harroni se baza është një trekëndësh i rregullt dhe shumë elementë të këtij poliedri janë të barabartë me njëri-tjetrin.
Sipërfaqja e piramidës. Në këtë artikull do të shqyrtojmë problemet me piramidat e rregullta. Më lejoni t'ju kujtoj se një piramidë e rregullt është një piramidë, baza e së cilës është një shumëkëndësh i rregullt, maja e piramidës është projektuar në qendër të këtij shumëkëndëshi.
Faqja anësore e një piramide të tillë është një trekëndësh dykëndësh.Lartësia e këtij trekëndëshi i nxjerrë nga kulmi i një piramide të rregullt quhet apotemë, SF - apotemë:
Në llojin e problemit të paraqitur më poshtë, duhet të gjeni sipërfaqen e të gjithë piramidës ose sipërfaqen e sipërfaqes së saj anësore. Blogu ka diskutuar tashmë disa probleme me piramidat e rregullta, ku pyetja ishte për gjetjen e elementeve (lartësia, skaji i bazës, skaji anësor).
Detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit zakonisht shqyrtojnë piramidat e rregullta trekëndore, katërkëndore dhe gjashtëkëndore. Unë nuk kam parë ndonjë problem me piramidat e rregullta pesëkëndëshe dhe shtatëkëndore.
Formula për sipërfaqen e të gjithë sipërfaqes është e thjeshtë - ju duhet të gjeni shumën e sipërfaqes së bazës së piramidës dhe sipërfaqes së sipërfaqes së saj anësore:
Le të shqyrtojmë detyrat:
Anët e bazës së një piramide të rregullt katërkëndore janë 72, skajet anësore janë 164. Gjeni sipërfaqen e kësaj piramide.
Sipërfaqja e piramidës është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të sipërfaqes anësore dhe bazës:
*Sipërfaqja anësore përbëhet nga katër trekëndësha me sipërfaqe të barabartë. Baza e piramidës është një katror.
Ne mund të llogarisim sipërfaqen e anës së piramidës duke përdorur:
Kështu, sipërfaqja e piramidës është:
Përgjigje: 28224
Anët e bazës së një piramide të rregullt gjashtëkëndore janë të barabarta me 22, skajet anësore janë të barabarta me 61. Gjeni sipërfaqen anësore të kësaj piramide.
Baza e një piramide të rregullt gjashtëkëndore është një gjashtëkëndësh i rregullt.
Sipërfaqja anësore e kësaj piramide përbëhet nga gjashtë zona me trekëndësha të barabartë me brinjë 61,61 dhe 22:
Le të gjejmë sipërfaqen e trekëndëshit duke përdorur formulën e Heronit:
Kështu, sipërfaqja anësore është:
Përgjigje: 3240
*Në problemet e paraqitura më sipër, zona e faqes anësore mund të gjendet duke përdorur një formulë tjetër trekëndëshi, por për këtë ju duhet të llogaritni apotemën.
27155. Gjeni sipërfaqen e një piramide të rregullt katërkëndore, anët e bazës së së cilës janë 6 dhe lartësia e së cilës është 4.
Për të gjetur sipërfaqen e piramidës, duhet të dimë sipërfaqen e bazës dhe sipërfaqen e sipërfaqes anësore:
Sipërfaqja e bazës është 36 pasi është një katror me anën 6.
Sipërfaqja anësore përbëhet nga katër faqe, të cilat janë trekëndësha të barabartë. Për të gjetur zonën e një trekëndëshi të tillë, duhet të dini bazën dhe lartësinë e tij (apotem):
*Sipërfaqja e një trekëndëshi është e barabartë me gjysmën e prodhimit të bazës dhe lartësisë së tërhequr në këtë bazë.
Baza dihet, është e barabartë me gjashtë. Le të gjejmë lartësinë. Konsideroni një trekëndësh kënddrejtë (të theksuar me të verdhë):
Njëra këmbë është e barabartë me 4, pasi kjo është lartësia e piramidës, tjetra është e barabartë me 3, pasi është e barabartë me gjysmën e skajit të bazës. Ne mund ta gjejmë hipotenuzën duke përdorur teoremën e Pitagorës:
Kjo do të thotë se sipërfaqja e sipërfaqes anësore të piramidës është:
Kështu, sipërfaqja e të gjithë piramidës është:
Përgjigje: 96
27069. Anët e bazës së një piramide të rregullt katërkëndore janë të barabarta me 10, skajet anësore janë të barabarta me 13. Gjeni sipërfaqen e kësaj piramide.
27070. Anët e bazës së një piramide të rregullt gjashtëkëndore janë të barabarta me 10, skajet anësore janë të barabarta me 13. Gjeni sipërfaqen anësore të kësaj piramide.
Ekzistojnë gjithashtu formula për sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt. Në një piramidë të rregullt, baza është një projeksion ortogonal i sipërfaqes anësore, prandaj:
P- perimetri i bazës, l- apotema e piramidës
*Kjo formulë bazohet në formulën për sipërfaqen e një trekëndëshi.
Nëse dëshironi të mësoni më shumë se si rrjedhin këto formula, mos e humbisni, ndiqni publikimin e artikujve.Kjo eshte e gjitha. Paç fat!
Sinqerisht, Alexander Krutitskikh.
P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.
