Ťažiskom tohto článku je logaritmus. Tu uvedieme definíciu logaritmu, ukážeme akceptovaný zápis, uvedieme príklady logaritmov a porozprávame sa o prirodzených a desiatkových logaritmoch. Potom zvážime základnú logaritmickú identitu.
Navigácia na stránke.
Definícia logaritmu
Koncept logaritmu vzniká pri riešení problému v určitom inverznom zmysle, keď potrebujete nájsť exponent zo známej hodnoty exponentu a známeho základu.
Ale dosť predslovov, je čas odpovedať na otázku „čo je to logaritmus“? Uveďme zodpovedajúcu definíciu.
Definícia.
Logaritmus b na základ a, kde a>0, a≠1 a b>0 je exponent, na ktorý musíte zvýšiť číslo a, aby ste dostali b.
V tejto fáze si všimneme, že hovorené slovo „logaritmus“ by malo okamžite vyvolať dve nadväzujúce otázky: „aké číslo“ a „na akom základe“. Inými slovami, jednoducho neexistuje logaritmus, ale iba logaritmus čísla k nejakému základu.
Hneď vstúpme logaritmický zápis: logaritmus čísla b k základu a sa zvyčajne označuje ako log a b. Logaritmus čísla b na základ e a logaritmus na základ 10 majú svoje vlastné špeciálne označenia lnb a logb, to znamená, že nepíšu log e b, ale lnb a nie log 10 b, ale lgb.
Teraz môžeme dať: .
A záznamy 
nedávajú zmysel, pretože v prvom z nich je pod znamienkom logaritmu záporné číslo, v druhom je záporné číslo v základe a v treťom je pod znamienkom logaritmu záporné číslo a jednotka v základ.
Teraz si pohovorme o pravidlá čítania logaritmov. Log a b sa číta ako "logaritmus b na základ a". Napríklad log 2 3 je logaritmus troch k základu 2 a je to logaritmus dvoch bodových dvoch tretín k základnej odmocnine z piatich. Logaritmus k základu e sa nazýva prirodzený logaritmus a zápis lnb znie "prirodzený logaritmus b". Napríklad ln7 je prirodzený logaritmus čísla sedem a budeme ho čítať ako prirodzený logaritmus čísla pí. Základný 10 logaritmus má tiež špeciálny názov - desiatkový logaritmus a lgb sa číta ako "desiatkový logaritmus b". Napríklad lg1 je desiatkový logaritmus jednej a lg2,75 je desiatkový logaritmus dvoch bodiek sedem päť stotín.
Oplatí sa venovať osobitnú pozornosť podmienkam a>0, a≠1 a b>0, za ktorých je daná definícia logaritmu. Vysvetlíme, odkiaľ tieto obmedzenia pochádzajú. Pomôže nám k tomu rovnosť tvaru s názvom , ktorá priamo vyplýva z definície logaritmu uvedenej vyššie.
Začnime s ≠1. Keďže jedna ku ktorejkoľvek mocnine sa rovná jednej, rovnosť môže platiť iba vtedy, keď b=1, ale log 1 1 môže byť akékoľvek reálne číslo. Aby sa predišlo tejto nejednoznačnosti, predpokladá sa a≠1.
Zdôvodnime účelnosť podmienky a>0. S a=0 by sme podľa definície logaritmu mali rovnosť, čo je možné len s b=0. Ale potom log 0 0 môže byť akékoľvek nenulové reálne číslo, pretože nula až akákoľvek nenulová mocnina je nula. Podmienka a≠0 nám umožňuje vyhnúť sa tejto nejednoznačnosti. A keď a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
Nakoniec podmienka b>0 vyplýva z nerovnosti a>0, keďže , a hodnota mocniny s kladnou bázou a je vždy kladná.
Na záver tohto bodu povedzme, že uvedená definícia logaritmu vám umožňuje okamžite uviesť hodnotu logaritmu, keď číslo pod znakom logaritmu predstavuje určitú mocninu základu. Definícia logaritmu nám skutočne umožňuje tvrdiť, že ak b=a p, potom sa logaritmus čísla b so základom a rovná p. To znamená, že log rovnosti a a p = p je pravdivý. Napríklad vieme, že 2 3 = 8, potom log 2 8 = 3. Viac si o tom povieme v článku.
Logaritmus čísla N založené na A nazývaný exponent X , ku ktorému je potrebné postaviť A získať číslo N
Za predpokladu, že 
,
,
Z definície logaritmu to vyplýva 
, t.j.
- táto rovnosť je základnou logaritmickou identitou.
Logaritmy so základom 10 sa nazývajú desiatkové logaritmy. Namiesto 
písať 
.
Logaritmy na základňu e
sa nazývajú prirodzené a sú určené 
.
Základné vlastnosti logaritmov.
Logaritmus jedna sa rovná nule pre akúkoľvek základňu.
Logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov faktorov.
3) Logaritmus kvocientu sa rovná rozdielu logaritmov
Faktor 
nazývaný modul prechodu z logaritmu na základ a
na logaritmy na základni b
.
Pomocou vlastností 2-5 je často možné zredukovať logaritmus zložitého výrazu na výsledok jednoduchých aritmetických operácií na logaritmoch.
Napríklad, 
Takéto transformácie logaritmu sa nazývajú logaritmy. Transformácie inverzné k logaritmom sa nazývajú potenciácia.
Kapitola 2. Prvky vyššej matematiky.
1. Limity
Limit funkcie 
je konečné číslo A, ak, as xx
0
pre každú vopred určenú 
, existuje také číslo 
že hneď ako 
, To 
.
Funkcia, ktorá má limitu, sa od nej líši o nekonečne malé množstvo: 
, kde- b.m.v., t.j. 
.
Príklad. Zvážte funkciu 
.
Pri snažení 
, funkcia r
má tendenciu k nule: 
1.1. Základné teorémy o limitách.
Hranica konštantnej hodnoty sa rovná tejto konštantnej hodnote
.
Limita súčtu (rozdielu) konečného počtu funkcií sa rovná súčtu (rozdielu) limitov týchto funkcií.
Limita súčinu konečného počtu funkcií sa rovná súčinu limitov týchto funkcií.
Limita podielu dvoch funkcií sa rovná podielu limitov týchto funkcií, ak limita menovateľa nie je nula.
Úžasné limity
,
, Kde 
1.2. Príklady výpočtu limitov
Nie všetky limity sa však vypočítajú tak jednoducho. Výpočet limitu častejšie vedie k odhaleniu neistoty typu: 
alebo .
.
2. Derivácia funkcie
Dajme si funkciu 
, kontinuálne na segmente 
.
Argument 
dostal nejaký nárast 
. Potom funkcia dostane prírastok 
.
Hodnota argumentu 
zodpovedá hodnote funkcie 
.
Hodnota argumentu 
zodpovedá hodnote funkcie.
Preto, .
Nájdite hranicu tohto pomeru na 
. Ak táto limita existuje, potom sa nazýva derivácia danej funkcie.
Definícia 3 Derivácia danej funkcie 
argumentom 
sa nazýva limita pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, keď prírastok argumentu svojvoľne smeruje k nule.
Derivácia funkcie 
možno označiť takto:
;
;
;
.
Definícia 4Operácia nájdenia derivácie funkcie sa volá diferenciácia.
2.1. Mechanický význam derivátu.
Uvažujme priamočiary pohyb nejakého tuhého telesa alebo hmotného bodu.
Nech v určitom okamihu 
pohyblivý bod 
bol na diaľku 
z východiskovej pozície 
.
Po určitom čase 
posunula sa na diaľku 
. Postoj 
=
- priemerná rýchlosť hmotného bodu 
. Nájdime hranicu tohto pomeru, ak to vezmeme do úvahy 
.
V dôsledku toho sa určenie okamžitej rýchlosti pohybu hmotného bodu redukuje na nájdenie derivácie dráhy vzhľadom na čas.
2.2. Geometrická hodnota derivátu
Majme graficky definovanú funkciu 
.
Ryža. 1. Geometrický význam derivácie
Ak 
, potom bod 
, sa bude pohybovať pozdĺž krivky a bude sa približovať k bodu 
.
Preto 
, t.j. hodnota derivácie pre danú hodnotu argumentu 
číselne sa rovná dotyčnici uhla, ktorý zviera dotyčnica v danom bode s kladným smerom osi 
.
2.3. Tabuľka základných diferenciačných vzorcov.
Funkcia napájania
|
|
|
|
|
|
|
Exponenciálna funkcia
|
|
|
|
|
Logaritmická funkcia
|
|
|
|
|
Goniometrická funkcia
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Inverzná goniometrická funkcia
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Pravidlá diferenciácie.
Derivát z 
Derivácia súčtu (rozdielu) funkcií
Derivácia súčinu dvoch funkcií
Derivácia podielu dvoch funkcií
2.5. Derivácia komplexnej funkcie.
Nech je funkcia daná 
tak, aby mohol byť zastúpený vo forme
A 
, kde je premenná 
je teda prechodný argument 
Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie danej funkcie vzhľadom na stredný argument a derivácie stredného argumentu vzhľadom na x.
Príklad 1 
Príklad 2 
3. Diferenciálna funkcia.
Nech je tam 
, diferencovateľné na nejakom intervale 
nechaj to tak pri
táto funkcia má deriváciu
,
potom môžeme písať
(1),
Kde 
- nekonečne malé množstvo,
odkedy 
Vynásobením všetkých podmienok rovnosti (1) o 
máme:
Kde 
- b.m.v. vyššia moc.
Rozsah 
nazývaný diferenciál funkcie 
a je určený 
.
3.1. Geometrická hodnota diferenciálu.
Nech je funkcia daná 
.
Obr.2. Geometrický význam diferenciálu.
.
Je zrejmé, že diferenciál funkcie 
sa rovná prírastku súradnice dotyčnice v danom bode.
3.2. Deriváty a diferenciály rôznych rádov.
Ak tu 
, Potom 
sa nazýva prvý derivát.
Derivácia prvej derivácie sa nazýva derivácia druhého rádu a píše sa 
.
Derivácia n-tého rádu funkcie 
sa nazýva derivácia (n-1) rádu a píše sa:
.
Diferenciál diferenciálu funkcie sa nazýva diferenciál druhého alebo druhého rádu.
.
.
3.3 Riešenie biologických problémov pomocou diferenciácie.
Úloha 1. Štúdie ukázali, že rast kolónie mikroorganizmov je v súlade so zákonom 
, Kde N
- počet mikroorganizmov (v tisícoch), t
– čas (dni).
b) Bude sa populácia kolónie počas tohto obdobia zvyšovať alebo znižovať?
Odpoveď. Veľkosť kolónie sa zvýši.
Úloha 2. Voda v jazere sa pravidelne testuje na sledovanie obsahu patogénnych baktérií. Cez t dní po testovaní je koncentrácia baktérií určená pomerom
.
Kedy bude mať jazero minimálnu koncentráciu baktérií a bude sa v ňom dať kúpať?
Riešenie: Funkcia dosiahne maximum alebo minimum, keď je jej derivácia nula.
,
Stanovme si maximum alebo minimum za 6 dní. Aby sme to dosiahli, zoberme si druhú deriváciu.
Odpoveď: Po 6 dňoch bude minimálna koncentrácia baktérií.
Dnes budeme hovoriť o logaritmické vzorce a dáme orientačné príklady riešenia.
Sami implikujú vzory riešení podľa základných vlastností logaritmov. Pred použitím logaritmických vzorcov na riešenie vám pripomenieme všetky vlastnosti:
Teraz si to na základe týchto vzorcov (vlastností) ukážeme príklady riešenia logaritmov.
Príklady riešenia logaritmov na základe vzorcov.
Logaritmus kladné číslo b na základ a (označené log a b) je exponent, na ktorý musí byť a umocnené, aby sme dostali b, pričom b > 0, a > 0 a 1.
Podľa definície log a b = x, čo je ekvivalent a x = b, teda log a a x = x.
Logaritmy, príklady:
log 2 8 = 3, pretože 2 3 = 8
log 7 49 = 2, pretože 72 = 49
log 5 1/5 = -1, pretože 5-1 = 1/5
Desatinný logaritmus- ide o obyčajný logaritmus, ktorého základňa je 10. Označuje sa ako lg.
log 10 100 = 2, pretože 102 = 100
Prirodzený logaritmus- tiež obyčajný logaritmus, logaritmus, ale so základom e (e = 2,71828... - iracionálne číslo). Označené ako ln.
Je vhodné zapamätať si vzorce alebo vlastnosti logaritmov, pretože ich budeme potrebovať neskôr pri riešení logaritmov, logaritmických rovníc a nerovníc. Prepracujme každý vzorec znova s príkladmi.
- Základná logaritmická identita
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1 * 10) = log 3 81 = 4
- Logaritmus kvocientu sa rovná rozdielu logaritmov
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Vlastnosti mocniny logaritmického čísla a základu logaritmu
Exponent logaritmického čísla log a b m = mlog a b
Exponent základu logaritmu log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
ak m = n, dostaneme log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Prechod na nový základ
log a b = log c b/log c a,ak c = b, dostaneme log b b = 1
potom log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Ako vidíte, vzorce pre logaritmy nie sú také zložité, ako sa zdá. Teraz, keď sme sa pozreli na príklady riešenia logaritmov, môžeme prejsť k logaritmickým rovniciam. Na príklady riešenia logaritmických rovníc sa pozrieme podrobnejšie v článku: "". Nenechajte si ujsť!
Ak máte stále otázky týkajúce sa riešenia, napíšte ich do komentárov k článku.
Poznámka: rozhodli sme sa získať inú triedu vzdelávania a študovať v zahraničí ako voliteľnú možnosť.
Logaritmus kladného čísla b na základ a (a>0, a sa nerovná 1) je číslo c také, že a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Všimnite si, že logaritmus nezáporného čísla nie je definovaný. Okrem toho základom logaritmu musí byť kladné číslo, ktoré sa nerovná 1. Napríklad, ak odmocníme -2, dostaneme číslo 4, ale to neznamená, že logaritmus na základ -2 zo 4 sa rovná 2.
Základná logaritmická identita
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Je dôležité, aby rozsah definície pravej a ľavej strany tohto vzorca bol odlišný. Ľavá strana je definovaná len pre b>0, a>0 a a ≠ 1. Pravá strana je definovaná pre ľubovoľné b a vôbec nezávisí od a. Aplikácia základnej logaritmickej „identity“ pri riešení rovníc a nerovníc teda môže viesť k zmene OD.
Dva zrejmé dôsledky definície logaritmu
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Skutočne, keď zvýšime číslo a na prvú mocninu, dostaneme rovnaké číslo a keď ho zvýšime na nulu, dostaneme jednotku.
Logaritmus súčinu a logaritmus kvocientu
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Chcel by som varovať školákov pred bezmyšlienkovitým používaním týchto vzorcov pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc. Pri ich použití „zľava doprava“ sa ODZ zužuje a pri prechode od súčtu alebo rozdielu logaritmov k logaritmu súčinu alebo kvocientu sa ODZ rozširuje.
V skutočnosti je výraz log a (f (x) g (x)) definovaný v dvoch prípadoch: keď sú obe funkcie striktne kladné alebo keď sú f(x) a g(x) obe menšie ako nula.
Premenou tohto výrazu na súčet log a f (x) + log a g (x) sme nútení obmedziť sa len na prípad, keď f(x)>0 a g(x)>0. Dochádza k zúženiu rozsahu prijateľných hodnôt, čo je kategoricky neprijateľné, pretože to môže viesť k strate riešení. Podobný problém existuje pre vzorec (6).
Stupeň možno odobrať zo znamienka logaritmu
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)A opäť by som chcel požiadať o presnosť. Zvážte nasledujúci príklad:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Ľavá strana rovnosti je samozrejme definovaná pre všetky hodnoty f(x) okrem nuly. Pravá strana je len pre f(x)>0! Vybratím stupňa z logaritmu opäť zúžime ODZ. Opačný postup vedie k rozšíreniu rozsahu prijateľných hodnôt. Všetky tieto poznámky platia nielen pre mocninu 2, ale aj pre akúkoľvek párnu mocninu.
Vzorec na prechod na nový základ
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Ten ojedinelý prípad, keď sa ODZ pri transformácii nemení. Ak ste múdro zvolili základ c (kladný a nerovná sa 1), vzorec na prechod na nový základ je úplne bezpečný.
Ak zvolíme číslo b ako nový základ c, dostaneme dôležitý špeciálny prípad vzorca (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Niekoľko jednoduchých príkladov s logaritmami
Príklad 1. Vypočítajte: log2 + log50.
Riešenie. log2 + log50 = log100 = 2. Použili sme vzorec súčtu logaritmov (5) a definíciu desiatkového logaritmu.
Príklad 2. Vypočítajte: lg125/lg5.
Riešenie. log125/log5 = log 5 125 = 3. Použili sme vzorec na prechod na nový základ (8).
Tabuľka vzorcov súvisiacich s logaritmami
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Pokračujeme v štúdiu logaritmov. V tomto článku budeme hovoriť o počítanie logaritmov, tento proces sa nazýva logaritmus. Najprv pochopíme výpočet logaritmov podľa definície. Ďalej sa pozrime na to, ako sa nachádzajú hodnoty logaritmov pomocou ich vlastností. Potom sa zameriame na výpočet logaritmov prostredníctvom pôvodne zadaných hodnôt iných logaritmov. Nakoniec sa naučíme používať logaritmické tabuľky. Celá teória je vybavená príkladmi s podrobnými riešeniami.
Navigácia na stránke.
Výpočet logaritmov podľa definície
V najjednoduchších prípadoch je možné vykonať pomerne rýchlo a jednoducho nájdenie logaritmu podľa definície. Pozrime sa bližšie na to, ako tento proces prebieha.
Jeho podstatou je reprezentovať číslo b v tvare a c, z ktorého podľa definície logaritmu je číslo c hodnotou logaritmu. To znamená, že podľa definície hľadaniu logaritmu zodpovedá nasledujúci reťazec rovnosti: log a b=log a a c =c.
Takže výpočet logaritmu podľa definície vedie k nájdeniu čísla c takého, že a c = b a samotné číslo c je požadovaná hodnota logaritmu.
Ak vezmeme do úvahy informácie v predchádzajúcich odsekoch, keď je číslo pod logaritmickým znakom dané určitou mocninou logaritmickej základne, môžete okamžite uviesť, čomu sa logaritmus rovná - rovná sa exponentu. Ukážme riešenia na príkladoch.
Príklad.
Nájdite log 2 2 −3 a tiež vypočítajte prirodzený logaritmus čísla e 5,3.
Riešenie.
Definícia logaritmu nám umožňuje okamžite povedať, že log 2 2 −3 =−3. V skutočnosti sa číslo pod logaritmickým znamienkom rovná základu 2 až -3.
Podobne nájdeme druhý logaritmus: lne 5,3 = 5,3.
odpoveď:
log 2 2 -3 = -3 a lne 5,3 = 5,3.
Ak číslo b pod znamienkom logaritmu nie je zadané ako mocnina základu logaritmu, potom sa musíte dôkladne pozrieť, či je možné prísť so zobrazením čísla b v tvare a c . Často je toto znázornenie celkom zrejmé, najmä ak sa číslo pod logaritmickým znamienkom rovná základu 1, alebo 2, alebo 3, ...
Príklad.
Vypočítajte logaritmy log 5 25 a .
Riešenie.
Je ľahké vidieť, že 25=5 2, to vám umožňuje vypočítať prvý logaritmus: log 5 25 = log 5 5 2 = 2.
Prejdime k výpočtu druhého logaritmu. Číslo môže byť vyjadrené ako mocnina 7: 
(pozri v prípade potreby). teda 
.
Prepíšme tretí logaritmus do nasledujúceho tvaru. Teraz to môžete vidieť 
, z čoho usudzujeme 
. Preto podľa definície logaritmu 
.
Stručne povedané, riešenie by sa dalo napísať takto: .
odpoveď:
log 5 25=2 , 
A .
Keď je pod logaritmickým znamienkom dostatočne veľké prirodzené číslo, nezaškodí ho zahrnúť do prvočísel. Často pomáha reprezentovať také číslo ako nejakú mocninu základu logaritmu, a preto tento logaritmus vypočítať podľa definície.
Príklad.
Nájdite hodnotu logaritmu.
Riešenie.
Niektoré vlastnosti logaritmov umožňujú okamžite určiť hodnotu logaritmov. Tieto vlastnosti zahŕňajú vlastnosť logaritmu jednotky a vlastnosť logaritmu čísla rovného základu: log 1 1 = log a a 0 = 0 a log a a = log a a 1 = 1. To znamená, že keď je pod znamienkom logaritmu číslo 1 alebo číslo a rovné základu logaritmu, potom sa v týchto prípadoch logaritmy rovnajú 0 a 1.
Príklad.
Čomu sa rovnajú logaritmy a log10?
Riešenie.
Od , potom z definície logaritmu vyplýva 
.
V druhom príklade sa číslo 10 pod znamienkom logaritmu zhoduje so základom, takže desiatkový logaritmus desiatich sa rovná jednej, teda lg10=lg10 1 =1.
odpoveď:
A lg10=1.
Všimnite si, že výpočet logaritmov podľa definície (o ktorej sme hovorili v predchádzajúcom odseku) predpokladá použitie logaritmu rovnosti a a p =p, čo je jedna z vlastností logaritmov.
V praxi, keď je číslo pod logaritmickým znakom a základom logaritmu ľahko reprezentované ako mocnina určitého čísla, je veľmi vhodné použiť vzorec 
, čo zodpovedá jednej z vlastností logaritmov. Pozrime sa na príklad nájdenia logaritmu, ktorý ilustruje použitie tohto vzorca.
Príklad.
Vypočítajte logaritmus.
Riešenie.
odpoveď:
.
Vo výpočtoch sa používajú aj vyššie neuvedené vlastnosti logaritmov, ale o tom si povieme v nasledujúcich odsekoch.
Hľadanie logaritmov pomocou iných známych logaritmov
Informácie v tomto odseku pokračujú v téme používania vlastností logaritmov pri ich výpočte. Ale tu je hlavný rozdiel v tom, že vlastnosti logaritmov sa používajú na vyjadrenie pôvodného logaritmu pomocou iného logaritmu, ktorého hodnota je známa. Pre vysvetlenie uveďme príklad. Povedzme, že vieme, že log 2 3≈1,584963, potom môžeme nájsť napríklad log 2 6 vykonaním malej transformácie pomocou vlastností logaritmu: log 2 6=log 2 (2 3)= log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Vo vyššie uvedenom príklade nám stačilo použiť vlastnosť logaritmu súčinu. Oveľa častejšie je však potrebné použiť širší arzenál vlastností logaritmov, aby sa pôvodný logaritmus vypočítal cez dané.
Príklad.
Vypočítajte logaritmus 27 na základ 60, ak viete, že log 60 2=a a log 60 5=b.
Riešenie.
Musíme teda nájsť log 60 27 . Je ľahké vidieť, že 27 = 3 3 a pôvodný logaritmus možno vďaka vlastnosti logaritmu mocniny prepísať ako 3·log 60 3 .
Teraz sa pozrime, ako vyjadriť log 60 3 pomocou známych logaritmov. Vlastnosť logaritmu čísla rovného základu nám umožňuje zapísať logaritmus rovnosti 60 60=1. Na druhej strane log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 + log 60 3+ log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . teda 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. teda log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.
Nakoniec vypočítame pôvodný logaritmus: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1-2·a-b)=3-6·a-3·b.
odpoveď:
log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Samostatne stojí za zmienku o význame vzorca na prechod na nový základ logaritmu formulára 
. Umožňuje vám prejsť od logaritmov s ľubovoľným základom k logaritmom s konkrétnym základom, ktorých hodnoty sú známe alebo je možné ich nájsť. Zvyčajne sa z pôvodného logaritmu pomocou prechodového vzorca presunú na logaritmy v jednej zo základov 2, e alebo 10, pretože pre tieto základy existujú tabuľky logaritmov, ktoré umožňujú vypočítať ich hodnoty s určitým stupňom presnosť. V nasledujúcom odseku si ukážeme, ako sa to robí.
Logaritmické tabuľky a ich použitie
Na približný výpočet logaritmických hodnôt je možné použiť logaritmické tabuľky. Najčastejšie používaná tabuľka logaritmu so základnou 2, tabuľka prirodzeného logaritmu a tabuľka desiatkových logaritmov. Pri práci v desiatkovej číselnej sústave je vhodné použiť tabuľku logaritmov na báze desať. S jeho pomocou sa naučíme nájsť hodnoty logaritmov.
Predložená tabuľka vám umožňuje nájsť hodnoty desatinných logaritmov čísel od 1 000 do 9 999 (s tromi desatinnými miestami) s presnosťou na jednu desaťtisícinu. Princíp hľadania hodnoty logaritmu pomocou tabuľky desiatkových logaritmov rozoberieme na konkrétnom príklade - takto je to prehľadnejšie. Nájdeme log1.256.
V ľavom stĺpci tabuľky desiatkových logaritmov nájdeme prvé dve číslice čísla 1,256, čiže nájdeme 1,2 (toto číslo je kvôli prehľadnosti zakrúžkované modrou farbou). Tretia číslica čísla 1,256 (číslica 5) sa nachádza v prvom alebo poslednom riadku naľavo od dvojitého riadku (toto číslo je zakrúžkované červenou farbou). Štvrtá číslica pôvodného čísla 1,256 (číslica 6) sa nachádza v prvom alebo poslednom riadku napravo od dvojitého riadku (toto číslo je zakrúžkované zelenou čiarou). Teraz nájdeme čísla v bunkách logaritmickej tabuľky na priesečníku označeného riadku a označených stĺpcov (tieto čísla sú zvýraznené oranžovou farbou). Súčet označených čísel dáva požadovanú hodnotu desiatkového logaritmu s presnosťou na štvrté desatinné miesto, t. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.
Je možné pomocou vyššie uvedenej tabuľky nájsť hodnoty desiatkových logaritmov čísel, ktoré majú viac ako tri číslice za desatinnou čiarkou, ako aj tých, ktoré presahujú rozsah od 1 do 9,999? Áno môžeš. Ukážme si, ako sa to robí na príklade.
Vypočítajme lg102,76332. Najprv musíte napísať číslo v štandardnom tvare: 102,76332=1,0276332·10 2. Potom by mala byť mantisa zaokrúhlená na tretie desatinné miesto, máme 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, zatiaľ čo pôvodný desiatkový logaritmus sa približne rovná logaritmu výsledného čísla, to znamená, že vezmeme log102,76332≈lg1,028·10 2. Teraz použijeme vlastnosti logaritmu: lg1,028·102 =lg1,028+lg102 =lg1,028+2. Nakoniec zistíme hodnotu logaritmu lg1,028 z tabuľky desiatkových logaritmov lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Výsledkom je, že celý proces výpočtu logaritmu vyzerá takto: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg102 = log1,028+2≈0,012+2=2,012.
Na záver stojí za zmienku, že pomocou tabuľky desiatkových logaritmov môžete vypočítať približnú hodnotu ľubovoľného logaritmu. Na to stačí použiť prechodový vzorec na prechod na desiatkové logaritmy, nájsť ich hodnoty v tabuľke a vykonať zostávajúce výpočty.
Napríklad vypočítajme log 2 3 . Podľa vzorca na prechod na nový základ logaritmu máme . Z tabuľky desiatkových logaritmov nájdeme log3≈0,4771 a log2≈0,3010. teda 
.
Bibliografia.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre 10. - 11. ročník inštitúcií všeobecného vzdelávania.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl).
