Celková plocha pyramídy. Plocha trojuholníkovej pyramídy Aký je povrch pravidelnej pyramídy?

Definícia. Bočný okraj- je to trojuholník, v ktorom jeden uhol leží na vrchole pyramídy a opačná strana sa zhoduje so stranou základne (mnohouholníka).

Definícia. Bočné rebrá- to sú spoločné strany bočných plôch. Pyramída má toľko hrán, koľko uhlov má mnohouholník.

Definícia. Výška pyramídy- toto je kolmica spustená zhora k základni pyramídy.

Definícia. Apothem- je to kolmica na bočnú plochu pyramídy, spustená z vrcholu pyramídy na stranu základne.

Definícia. Diagonálny rez- je to rez pyramídy rovinou prechádzajúcou vrcholom pyramídy a uhlopriečkou podstavy.

Definícia. Správna pyramída je pyramída, ktorej základňou je pravidelný mnohouholník a výška klesá do stredu základne.

Objem a povrch pyramídy

Vzorec. Objem pyramídy cez základnú plochu a výšku:

Vlastnosti pyramídy

Ak sú všetky bočné okraje rovnaké, potom je možné okolo základne pyramídy nakresliť kruh a stred základne sa zhoduje so stredom kruhu. Taktiež kolmica spadnutá zhora prechádza stredom základne (kruhu).

Ak sú všetky bočné okraje rovnaké, potom sú naklonené k rovine základne v rovnakých uhloch.

Bočné hrany sú rovnaké, keď zvierajú rovnaké uhly s rovinou základne alebo ak je možné okolo základne pyramídy opísať kruh.

Ak sú bočné steny naklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom, potom je možné do základne pyramídy vpísať kruh a vrchol pyramídy sa premieta do jej stredu.

Ak sú bočné plochy naklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom, potom sú apotémy bočných plôch rovnaké.

Vlastnosti pravidelnej pyramídy

1. Vrch pyramídy je rovnako vzdialený od všetkých rohov základne.

2. Všetky bočné okraje sú rovnaké.

3. Všetky bočné rebrá sú naklonené v rovnakých uhloch k základni.

4. Apotémy všetkých bočných stien sú rovnaké.

5. Plochy všetkých bočných plôch sú rovnaké.

6. Všetky plochy majú rovnaké dihedrálne (ploché) uhly.

7. Okolo pyramídy možno opísať guľu. Stred opísanej gule bude priesečníkom kolmic, ktoré prechádzajú stredom hrán.

8. Do pyramídy môžete vložiť guľu. Stred vpísanej gule bude priesečníkom priesečníkov vychádzajúcich z uhla medzi okrajom a základňou.

9. Ak sa stred vpísanej gule zhoduje so stredom opísanej gule, potom sa súčet rovinných uhlov vo vrchole rovná π alebo naopak, jeden uhol sa rovná π/n, kde n je číslo uhlov na základni pyramídy.

Spojenie medzi pyramídou a guľou

Okolo pyramídy možno opísať guľu, keď na základni pyramídy je mnohosten, okolo ktorého možno opísať kruh (nevyhnutná a postačujúca podmienka). Stred gule bude priesečníkom rovín prechádzajúcich kolmo cez stredy bočných hrán pyramídy.

Vždy je možné opísať guľu okolo akejkoľvek trojuholníkovej alebo pravidelnej pyramídy.

Guľa môže byť vpísaná do pyramídy, ak sa osové roviny vnútorných dihedrálnych uhlov pyramídy pretínajú v jednom bode (nevyhnutná a postačujúca podmienka). Tento bod bude stredom gule.

Spojenie pyramídy s kužeľom

Kužeľ sa hovorí, že je vpísaný do pyramídy, ak sa ich vrcholy zhodujú a základňa kužeľa je vpísaná do základne pyramídy.

Kužeľ môže byť vpísaný do pyramídy, ak sú apotémy pyramídy navzájom rovnaké.

Kužeľ je opísaný okolo pyramídy, ak sa ich vrcholy zhodujú a základňa kužeľa je opísaná okolo základne pyramídy.

Kužeľ môže byť opísaný okolo pyramídy, ak sú všetky bočné hrany pyramídy rovnaké.

Vzťah medzi pyramídou a valcom

Pyramída sa nazýva vpísaná do valca, ak vrchol pyramídy leží na jednej základni valca a základňa pyramídy je vpísaná do inej základne valca.

Valec môže byť opísaný okolo pyramídy, ak je možné opísať kruh okolo základne pyramídy.

Definícia. Skrátená pyramída (pyramídový hranol) je mnohosten, ktorý sa nachádza medzi základňou pyramídy a rovinou rezu rovnobežnou so základňou. Pyramída má teda väčšiu základňu a menšiu základňu, ktorá je podobná tej väčšej. Bočné plochy sú lichobežníkové.

Definícia. Trojuholníková pyramída (tetrahedron) je pyramída, v ktorej sú tri strany a základňa ľubovoľné trojuholníky.

Štvorsten má štyri steny a štyri vrcholy a šesť hrán, pričom žiadne dve hrany nemajú spoločné vrcholy, ale nedotýkajú sa.

Každý vrchol pozostáva z troch plôch a hrán, ktoré tvoria trojuholníkový uhol.

Segment spájajúci vrchol štvorstena so stredom protiľahlej plochy sa nazýva medián štvorstenu(GM).

Bimedián nazývaný segment spájajúci stredy protiľahlých hrán, ktoré sa nedotýkajú (KL).

Všetky bimediány a mediány štvorstenu sa pretínajú v jednom bode (S). V tomto prípade sú bimediány rozdelené na polovicu a mediány sú rozdelené v pomere 3: 1, začínajúc zhora.

Definícia. Šikmá pyramída je ihlan, v ktorom jedna z hrán zviera tupý uhol (β) so základňou.

Definícia. Obdĺžniková pyramída je pyramída, v ktorej je jedna z bočných plôch kolmá na základňu.

Definícia. Akútna uhlová pyramída- pyramída, v ktorej má apotéma viac ako polovicu dĺžky strany podstavy.

Definícia. Tupá pyramída- pyramída, v ktorej má apotém menej ako polovicu dĺžky strany podstavy.

Definícia. Pravidelný štvorsten- štvorsten, v ktorom sú všetky štyri steny rovnostranné trojuholníky. Je to jeden z piatich pravidelných mnohouholníkov. V pravidelnom štvorstene sú všetky dihedrálne uhly (medzi plochami) a trojstenné uhly (vo vrchole) rovnaké.

Definícia. Obdĺžnikový štvorsten sa nazýva štvorsten, v ktorom medzi tromi hranami na vrchole je pravý uhol (hrany sú kolmé). Vytvárajú sa tri tváre pravouhlý trojuholníkový uhol a plochy sú pravouhlé trojuholníky a základňa je ľubovoľný trojuholník. Apotém akejkoľvek tváre sa rovná polovici strany základne, na ktorú padá apotém.

Definícia. Izoedrický štvorsten sa nazýva štvorsten, ktorého bočné strany sú si navzájom rovné a základňa je pravidelný trojuholník. Takýto štvorsten má steny, ktoré sú rovnoramennými trojuholníkmi.

Definícia. Ortocentrický štvorsten sa nazýva štvorsten, v ktorom sa všetky výšky (kolmice), ktoré sú znížené zhora na opačnú stranu, pretínajú v jednom bode.

Definícia. Hviezdna pyramída nazývaný mnohosten, ktorého základňou je hviezda.

Definícia. bipyramída- mnohosten pozostávajúci z dvoch rôznych ihlanov (pyramídy môžu byť aj odrezané), ktoré majú spoločnú základňu a vrcholy ležia na opačných stranách základnej roviny.

Pyramída je mnohostranný obrazec, ktorého základňou je mnohouholník a zvyšné plochy sú znázornené trojuholníkmi so spoločným vrcholom.

Ak je základňa štvorec, potom sa pyramída nazýva štvoruholníkový, ak trojuholník – tak trojuholníkový. Výška pyramídy je nakreslená z jej vrcholu kolmo na základňu. Používa sa aj na výpočet plochy apotéma– výška bočného čela znížená od jeho vrchu.
Vzorec pre plochu bočného povrchu pyramídy je súčtom plôch jej bočných plôch, ktoré sú si navzájom rovné. Tento spôsob výpočtu sa však používa veľmi zriedkavo. V podstate sa plocha pyramídy počíta cez obvod základne a apotému:

Uvažujme o príklade výpočtu plochy bočného povrchu pyramídy.

Nech je daná pyramída so základňou ABCDE a vrcholom F. AB=BC=CD=DE=EA=3 cm. Apotéma a = 5 cm. Nájdite plochu bočného povrchu pyramídy.
Nájdeme obvod. Pretože všetky okraje základne sú rovnaké, obvod päťuholníka sa bude rovnať:
Teraz môžete nájsť bočnú oblasť pyramídy:

Plocha pravidelnej trojuholníkovej pyramídy

Pravidelná trojuholníková pyramída pozostáva zo základne, v ktorej leží pravidelný trojuholník a troch bočných plôch, ktoré majú rovnakú plochu.
Vzorec pre bočný povrch pravidelnej trojuholníkovej pyramídy možno vypočítať rôznymi spôsobmi. Môžete použiť obvyklý vzorec výpočtu pomocou obvodu a apotému, alebo môžete nájsť oblasť jednej tváre a vynásobiť ju tromi. Pretože tvár pyramídy je trojuholník, použijeme vzorec pre oblasť trojuholníka. Bude to vyžadovať apotém a dĺžku základne. Zoberme si príklad výpočtu plochy bočného povrchu pravidelnej trojuholníkovej pyramídy.

Daná pyramída s apotémou a = 4 cm a základňou b = 2 cm. Nájdite plochu bočného povrchu pyramídy.
Najprv nájdite oblasť jednej z bočných plôch. V tomto prípade to bude:
Dosaďte hodnoty do vzorca:
Pretože v bežnej pyramíde sú všetky strany rovnaké, plocha bočného povrchu pyramídy sa bude rovnať súčtu plôch troch plôch. Respektíve:

Oblasť zrezanej pyramídy

Skrátené Pyramída je mnohosten, ktorý je tvorený ihlanom a jeho prierez je rovnobežný so základňou.
Vzorec pre bočnú plochu zrezanej pyramídy je veľmi jednoduchý. Plocha sa rovná súčinu polovice súčtu obvodov základní a apotému:

Uvažujme o príklade výpočtu plochy bočného povrchu zrezanej pyramídy.

Daná pravidelná štvoruholníková pyramída. Dĺžky základne sú b = 5 cm, c = 3 cm. Apotém a = 4 cm. Nájdite plochu bočného povrchu figúry.
Najprv nájdime obvod podstavcov. Na väčšom základe sa bude rovnať:
V menšom základe:
Vypočítajme plochu:

Trojuholníková pyramída je mnohosten, ktorého základňou je pravidelný trojuholník.

V takejto pyramíde sú okraje základne a okraje strán navzájom rovnaké. V súlade s tým sa plocha bočných plôch zistí zo súčtu plôch troch identických trojuholníkov. Bočný povrch pravidelnej pyramídy nájdete pomocou vzorca. A výpočet môžete vykonať niekoľkokrát rýchlejšie. Aby ste to dosiahli, musíte použiť vzorec pre oblasť bočného povrchu trojuholníkovej pyramídy:

kde p je obvod základne, ktorej všetky strany sa rovnajú b, a je apotém znížený zhora na túto základňu. Uvažujme o príklade výpočtu plochy trojuholníkovej pyramídy.

Problém: Nech je daná pravidelná pyramída. Strana trojuholníka pri základni je b = 4 cm. Apotém pyramídy je a = 7 cm. Nájdite plochu bočného povrchu pyramídy.
Keďže podľa podmienok úlohy poznáme dĺžky všetkých potrebných prvkov, nájdeme obvod. Pamätáme si, že v pravidelnom trojuholníku sú všetky strany rovnaké, a preto sa obvod vypočíta podľa vzorca:

Nahradíme dáta a nájdeme hodnotu:

Teraz, keď poznáme obvod, môžeme vypočítať plochu bočného povrchu:

Ak chcete použiť vzorec pre oblasť trojuholníkovej pyramídy na výpočet plnej hodnoty, musíte nájsť oblasť základne mnohostenu. Ak to chcete urobiť, použite vzorec:

Vzorec pre oblasť základne trojuholníkovej pyramídy môže byť odlišný. Pre daný údaj je možné použiť ľubovoľný výpočet parametrov, ale najčastejšie sa to nevyžaduje. Uvažujme o príklade výpočtu plochy základne trojuholníkovej pyramídy.

Problém: V pravidelnej pyramíde je strana trojuholníka na základni a = 6 cm. Vypočítajte plochu základne.
Na výpočet potrebujeme iba dĺžku strany pravidelného trojuholníka umiestneného na základni pyramídy. Dosadíme údaje do vzorca:

Pomerne často musíte nájsť celkovú plochu mnohostenu. Aby ste to dosiahli, musíte spočítať plochu bočného povrchu a základne.

Uvažujme o príklade výpočtu plochy trojuholníkovej pyramídy.

Problém: Nech je daná pravidelná trojuholníková pyramída. Základná strana je b = 4 cm, apotém je a = 6 cm. Nájdite celkovú plochu pyramídy.
Najprv nájdime plochu bočného povrchu pomocou už známeho vzorca. Vypočítajme obvod:

Doplňte údaje do vzorca:
Teraz nájdime oblasť základne:
Keď poznáme plochu základne a bočného povrchu, nájdeme celkovú plochu pyramídy:

Pri výpočte plochy pravidelnej pyramídy by ste nemali zabúdať, že základňa je pravidelný trojuholník a mnohé prvky tohto mnohostenu sú si navzájom rovné.

Povrchová plocha pyramídy. V tomto článku sa pozrieme na problémy s pravidelnými pyramídami. Pripomínam, že pravidelná pyramída je pyramída, ktorej základňou je pravidelný mnohouholník, vrchol pyramídy sa premieta do stredu tohto mnohouholníka.

Bočná strana takejto pyramídy je rovnoramenný trojuholník.Nadmorská výška tohto trojuholníka nakresleného od vrcholu pravidelnej pyramídy sa nazýva apotém, SF - apotém:

V nižšie uvedenom type problému musíte nájsť plochu celej pyramídy alebo plochu jej bočného povrchu. Na blogu sa už rozoberalo niekoľko problémov s pravidelnými pyramídami, kde bola otázka o hľadaní prvkov (výška, hrana základne, bočná hrana).

Úlohy jednotnej štátnej skúšky zvyčajne skúmajú pravidelné trojuholníkové, štvoruholníkové a šesťuholníkové pyramídy. Nevidel som žiadne problémy s pravidelnými päťuholníkovými a sedemuholníkovými pyramídami.

Vzorec pre plochu celého povrchu je jednoduchý - musíte nájsť súčet plochy základne pyramídy a plochy jej bočného povrchu:

Zoberme si úlohy:

Strany základne pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy sú 72, bočné hrany sú 164. Nájdite povrchovú plochu tejto pyramídy.

Plocha pyramídy sa rovná súčtu plôch bočnej plochy a základne:

*Bočná plocha pozostáva zo štyroch trojuholníkov rovnakej plochy. Základňa pyramídy je štvorec.

Plochu strany pyramídy môžeme vypočítať pomocou:

Plocha pyramídy je teda:

Odpoveď: 28224

Strany základne pravidelnej šesťuholníkovej pyramídy sa rovnajú 22, bočné hrany sa rovnajú 61. Nájdite bočnú plochu tejto pyramídy.

Základom pravidelného šesťhranného ihlana je pravidelný šesťuholník.

Bočný povrch tejto pyramídy pozostáva zo šiestich oblastí rovnakých trojuholníkov so stranami 61, 61 a 22:

Nájdite oblasť trojuholníka pomocou Heronovho vzorca:

Bočný povrch je teda:

Odpoveď: 3240

*V problémoch uvedených vyššie je možné nájsť oblasť bočnej plochy pomocou iného trojuholníkového vzorca, ale na to musíte vypočítať apotém.

27155. Nájdite povrch pravidelnej štvorhrannej pyramídy, ktorej strany základne sú 6 a výška je 4.

Aby sme našli plochu pyramídy, potrebujeme poznať plochu základne a plochu bočnej plochy:

Plocha základne je 36, pretože je to štvorec so stranou 6.

Bočná plocha pozostáva zo štyroch plôch, ktoré sú rovnakými trojuholníkmi. Aby ste našli oblasť takéhoto trojuholníka, musíte poznať jeho základňu a výšku (apotém):

* Plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu základne a výšky k tejto základni.

Základ je známy, rovná sa šiestim. Nájdeme výšku. Zvážte pravouhlý trojuholník (zvýraznený žltou farbou):

Jedna noha sa rovná 4, pretože toto je výška pyramídy, druhá sa rovná 3, pretože sa rovná polovici okraja základne. Preponu môžeme nájsť pomocou Pytagorovej vety: