Priľahlé a vertikálne uhly. Kolmé čiary. Aké sú susedné uhly? Susedné uhly sú vždy rovnaké

1. Susedné uhly.

Ak predĺžime stranu ľubovoľného uhla za jeho vrchol, dostaneme dva uhly (obr. 72): ∠ABC a ∠CBD, v ktorých je jedna strana BC spoločná a ďalšie dva, AB a BD, tvoria priamku.

Dva uhly, v ktorých je jedna strana spoločná a ďalšie dve tvoria priamku, sa nazývajú susedné uhly.

Susedné uhly môžeme získať aj týmto spôsobom: ak nakreslíme lúč z nejakého bodu na priamke (neleží na danej priamke), získame susedné uhly.

Napríklad ∠ADF a ∠FDB sú susedné uhly (obr. 73).

Susedné uhly môžu mať rôzne polohy (obr. 74).

Susedné uhly sa sčítavajú do priameho uhla, takže súčet dvoch susedných uhlov je 180°

Pravý uhol teda možno definovať ako uhol rovný jeho susednému uhlu.

Keď poznáme veľkosť jedného zo susedných uhlov, môžeme nájsť veľkosť druhého uhla, ktorý k nemu susedí.

Napríklad, ak jeden zo susedných uhlov je 54°, potom sa druhý uhol bude rovnať:

180° - 54° = 126°.

2. Vertikálne uhly.

Ak predĺžime strany uhla za jeho vrchol, dostaneme zvislé uhly. Na obrázku 75 sú uhly EOF a AOC vertikálne; uhly AOE a COF sú tiež vertikálne.

Dva uhly sa nazývajú vertikálne, ak strany jedného uhla sú pokračovaním strán druhého uhla.

Nech ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(obr. 76). ∠2 susediace s ním sa budú rovnať 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, t.j. 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

Rovnakým spôsobom môžete vypočítať, čomu sa rovnajú ∠3 a ∠4.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (obr. 77).

Vidíme, že ∠1 = ∠3 a ∠2 = ∠4.

Môžete vyriešiť niekoľko ďalších rovnakých problémov a zakaždým dostanete rovnaký výsledok: vertikálne uhly sú rovnaké.

Aby sme sa však uistili, že vertikálne uhly sú vždy rovnaké, nestačí zvážiť jednotlivé číselné príklady, pretože závery vyvodené z konkrétnych príkladov môžu byť niekedy chybné.

Platnosť vlastností zvislých uhlov je potrebné overiť dôkazom.

Dôkaz možno vykonať nasledovne (obr. 78):

∠a+∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(keďže súčet susedných uhlov je 180°).

∠a+∠c = ∠b+∠c

(pretože ľavá strana tejto rovnosti sa rovná 180° a jej pravá strana sa tiež rovná 180°).

Táto rovnosť zahŕňa rovnaký uhol s.

Ak odpočítame rovnaké množstvá od rovnakých množstiev, zostanú rovnaké množstvá. Výsledkom bude: ∠a = ∠b t.j. vertikálne uhly sú navzájom rovnaké.

3. Súčet uhlov, ktoré majú spoločný vrchol.

Na výkrese 79 sú ∠1, ∠2, ∠3 a ∠4 umiestnené na jednej strane priamky a na tejto priamke majú spoločný vrchol. V súhrne tieto uhly tvoria priamy uhol, t.j.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Na obrázku 80 majú ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 a ∠5 spoločný vrchol. Tieto uhly tvoria celý uhol, t.j. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Dva uhly umiestnené na rovnakej priamke a majúce rovnaký vrchol sa nazývajú susedné.

V opačnom prípade, ak sa súčet dvoch uhlov na jednej priamke rovná 180 stupňom a majú jednu stranu spoločnú, ide o susedné uhly.

1 susedný uhol + 1 susedný uhol = 180 stupňov.

Susedné uhly sú dva uhly, v ktorých je jedna strana spoločná a ostatné dve strany vo všeobecnosti tvoria priamku.

Súčet dvoch susedných uhlov je vždy 180 stupňov. Napríklad, ak je jeden uhol 60 stupňov, potom druhý bude nevyhnutne rovný 120 stupňom (180-60).

Uhly AOC a BOC sú susedné uhly, pretože sú splnené všetky podmienky pre charakteristiky susedných uhlov:

1.OS - spoločná strana dvoch rohov

2.AO - strana rohu AOS, OB - strana rohu BOS. Tieto strany spolu tvoria priamku AOB.

3. Existujú dva uhly a ich súčet je 180 stupňov.

Keď si pamätáme kurz školskej geometrie, môžeme o susedných uhloch povedať nasledovné:

susedné uhly majú jednu stranu spoločnú a ostatné dve strany patria k tej istej priamke, to znamená, že sú na tej istej priamke. Ak podľa obrázku, potom sú uhly SOB a BOA susedné uhly, ktorých súčet sa vždy rovná 180, pretože delia priamy uhol a priamy uhol sa vždy rovná 180.



Susedné uhly sú v geometrii jednoduchým konceptom. Susedné uhly, uhol plus uhol, tvoria spolu 180 stupňov.

Dva susedné uhly budú jedným rozvinutým uhlom.

Existuje niekoľko ďalších nehnuteľností. So susednými uhlami sa problémy ľahko riešia a vety sa dajú dokázať.

Susedné uhly sa vytvárajú nakreslením lúča z ľubovoľného bodu na priamke. Potom sa tento ľubovoľný bod ukáže ako vrchol uhla, lúč sa ukáže ako spoločná strana susedných uhlov a priamka, z ktorej je lúč nakreslený, sa ukáže ako dve zostávajúce strany susedných uhlov. Susedné uhly môžu byť rovnaké v prípade kolmice, alebo rôzne v prípade nakloneného nosníka. Je ľahké pochopiť, že súčet susedných uhlov sa rovná 180 stupňom alebo jednoducho priamke. Iným spôsobom možno tento uhol vysvetliť na jednoduchom príklade - najprv ste kráčali jedným smerom po priamke, potom ste si to rozmysleli, rozhodli ste sa vrátiť a po otočení o 180 stupňov ste sa vydali po tej istej priamke opačným smerom. smer.



Čo je teda susedný uhol? Definícia:

Dva uhly so spoločným vrcholom a jednou spoločnou stranou sa nazývajú susedné a ďalšie dve strany týchto uhlov ležia na rovnakej priamke.



A krátka video lekcia, ktorá rozumne ukazuje susedné uhly, vertikálne uhly a kolmé čiary, ktoré sú špeciálnym prípadom susedných a vertikálnych uhlov

Susedné uhly sú uhly, v ktorých jedna strana je spoločná a druhá je jedna priamka.

Susedné uhly sú uhly, ktoré na sebe závisia. To znamená, že ak je spoločná strana mierne otočená, potom sa jeden uhol zníži o niekoľko stupňov a automaticky sa druhý uhol zväčší o rovnaký počet stupňov. Táto vlastnosť susedných uhlov umožňuje riešiť rôzne problémy v geometrii a vykonávať dôkazy rôznych viet.

Celkový súčet susedných uhlov je vždy 180 stupňov.



Z kurzu geometrie, (pokiaľ si pamätám v 6. ročníku), sa dva uhly nazývajú susedné, v ktorých jedna strana je spoločná a ostatné strany sú dodatočné lúče, súčet susedných uhlov je 180. Každý z týchto dvoch priľahlé uhly dopĺňajú ostatné k rozšírenému uhlu. Príklad susedných uhlov:



Susedné uhly sú dva uhly so spoločným vrcholom, z ktorých jedna strana je spoločná a zvyšné strany ležia na rovnakej priamke (nezhodujú sa). Súčet susedných uhlov je stoosemdesiat stupňov. Vo všeobecnosti sa to všetko dá veľmi ľahko nájsť v Google alebo v učebnici geometrie.

Dva uhly sa nazývajú susedné, ak majú spoločný vrchol a jednu stranu a ďalšie dve strany tvoria priamku. Súčet susedných uhlov je 180 stupňov.



Na obrázku sú uhly AOB a BOC priľahlé.



Susedné uhly sú tie, ktoré majú spoločný vrchol, jednu spoločnú stranu a ostatné strany sú pokračovaním jeden druhého a tvoria predĺžený uhol. Pozoruhodnou vlastnosťou susedných uhlov je, že súčet týchto uhlov sa vždy rovná 180 stupňom.

Uhly so spoločným vrcholom a jednou spoločnou stranou v geometrii sa nazývajú susedné

Súčet susedných uhlov je 180 stupňov

Treba poznamenať, že susedné uhly majú rovnaké sínusy

Ak sa chcete dozvedieť viac o susedných uhloch, prečítajte si tu

Každý uhol, v závislosti od jeho veľkosti, má svoj vlastný názov:

Typ uhla	Veľkosť v stupňoch	Príklad
Pikantné	Menej ako 90°
Rovno	Rovná sa 90°. Na výkrese je pravý uhol zvyčajne označený symbolom nakresleným z jednej strany uhla na druhú.
Tupý	Viac ako 90°, ale menej ako 180°
Rozšírené	Rovná sa 180° Priamy uhol sa rovná súčtu dvoch pravých uhlov a pravý uhol je polovica priameho uhla.
Konvexné	Viac ako 180°, ale menej ako 360°
Plný	Rovná sa 360°

Tieto dva uhly sa nazývajú priľahlé, ak majú jednu stranu spoločnú a ostatné dve strany tvoria priamku:

Uhly MOP A PON priľahlé, keďže lúč OP- spoločná strana a ďalšie dve strany - OM A ON vytvoriť rovnú čiaru.

Spoločná strana susedných uhlov sa nazýva šikmý až rovný, na ktorom ležia ďalšie dve strany, len v prípade, keď susedné uhly nie sú navzájom rovnaké. Ak sú susedné uhly rovnaké, ich spoločná strana bude rovnaká kolmý.

Súčet susedných uhlov je 180°.

Tieto dva uhly sa nazývajú vertikálne, ak strany jedného uhla dopĺňajú strany druhého uhla k rovným čiaram:

Uhly 1 a 3, ako aj uhly 2 a 4 sú vertikálne.

Vertikálne uhly sú rovnaké.

Ukážme, že vertikálne uhly sú rovnaké:

Súčet ∠1 a ∠2 je priamy uhol. A súčet ∠3 a ∠2 je priamy uhol. Takže tieto dve sumy sú rovnaké:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

V tejto rovnosti je vľavo a vpravo identický výraz - ∠2. Rovnosť nebude porušená, ak sa tento výraz vľavo a vpravo vynechá. Potom to dostaneme.

Ako nájsť susedný uhol?

Matematika je najstaršia presná veda, ktorá sa povinne študuje na školách, vysokých školách, ústavoch a univerzitách. Základné vedomosti sú však vždy položené v škole. Niekedy dieťa dostane dosť zložité úlohy, no rodičia mu nevedia pomôcť, pretože niektoré veci z matematiky jednoducho zabudli. Napríklad, ako nájsť susedný uhol na základe veľkosti hlavného uhla atď. Problém je jednoduchý, ale môže spôsobiť ťažkosti pri riešení kvôli neznalosti toho, ktoré uhly sa nazývajú susedné a ako ich nájsť.

Pozrime sa bližšie na definíciu a vlastnosti susedných uhlov, ako aj na spôsob ich výpočtu z údajov v úlohe.

Definícia a vlastnosti susedných uhlov

Dva lúče vychádzajúce z jedného bodu vytvárajú obrazec nazývaný „rovinný uhol“. V tomto prípade sa tento bod nazýva vrchol uhla a lúče sú jeho strany. Ak pokračujete v jednom z lúčov za počiatočný bod v priamke, vytvorí sa ďalší uhol, ktorý sa nazýva susedný. Každý uhol má v tomto prípade dva susedné uhly, pretože strany uhla sú ekvivalentné. To znamená, že vždy existuje susedný uhol 180 stupňov.

Medzi hlavné vlastnosti susedných uhlov patrí

• Susedné uhly majú spoločný vrchol a jednu stranu;
• Súčet susedných uhlov sa vždy rovná 180 stupňom alebo číslu Pi, ak sa výpočet vykonáva v radiánoch;
• Sínusy susedných uhlov sú vždy rovnaké;
• Kosínusy a dotyčnice susedných uhlov sú rovnaké, ale majú opačné znamienka.

Ako nájsť susedné uhly

Na nájdenie veľkosti susedných uhlov sa zvyčajne uvádzajú tri varianty problémov

• Udáva sa hodnota hlavného uhla;
• Udáva sa pomer hlavného a susedného uhla;
• Udáva sa hodnota zvislého uhla.

Každá verzia problému má svoje vlastné riešenie. Pozrime sa na ne.

Udáva sa hodnota hlavného uhla

Ak problém špecifikuje hodnotu hlavného uhla, nájdenie susedného uhla je veľmi jednoduché. Ak to chcete urobiť, stačí odpočítať hodnotu hlavného uhla od 180 stupňov a získate hodnotu susedného uhla. Toto riešenie je založené na vlastnosti susedného uhla - súčet susedných uhlov je vždy rovný 180 stupňom.

Ak je hodnota hlavného uhla udávaná v radiánoch a problém vyžaduje nájsť susedný uhol v radiánoch, potom je potrebné od čísla Pi odčítať hodnotu hlavného uhla, keďže hodnota plného rozvinutého uhla 180 stupňov sa rovná číslu Pi.

Udáva sa pomer hlavného a susedného uhla

Problém môže dať pomer hlavného a susedného uhla namiesto stupňov a radiánov hlavného uhla. V tomto prípade bude riešenie vyzerať ako proporčná rovnica:

1. Podiel hlavného uhla označujeme ako premennú „Y“.
2. Zlomok súvisiaci so susedným uhlom je označený ako premenná „X“.
3. Počet stupňov, ktoré pripadajú na každý podiel, bude označený napríklad „a“.
4. Všeobecný vzorec bude vyzerať takto - a*X+a*Y=180 alebo a*(X+Y)=180.
5. Spoločný faktor rovnice „a“ nájdeme pomocou vzorca a=180/(X+Y).
6. Potom vynásobíme výslednú hodnotu spoločného faktora „a“ zlomkom uhla, ktorý je potrebné určiť.

Takto môžeme zistiť hodnotu susedného uhla v stupňoch. Ak však potrebujete nájsť hodnotu v radiánoch, potom jednoducho musíte previesť stupne na radiány. Ak to chcete urobiť, vynásobte uhol v stupňoch Pi a rozdeľte všetko o 180 stupňov. Výsledná hodnota bude v radiánoch.

Udáva sa hodnota zvislého uhla

Ak úloha neudáva hodnotu hlavného uhla, ale je daná hodnota vertikálneho uhla, potom je možné susedný uhol vypočítať pomocou rovnakého vzorca ako v prvom odseku, kde je uvedená hodnota hlavného uhla.

Vertikálny uhol je uhol, ktorý vychádza z rovnakého bodu ako hlavný, ale smeruje presne opačným smerom. Výsledkom je zrkadlový obraz. To znamená, že vertikálny uhol sa rovná veľkosti hlavného uhla. Na druhej strane, susedný uhol vertikálneho uhla sa rovná susednému uhla hlavného uhla. Vďaka tomu je možné vypočítať susedný uhol hlavného uhla. Ak to chcete urobiť, jednoducho odpočítajte vertikálnu hodnotu od 180 stupňov a získajte hodnotu susedného uhla hlavného uhla v stupňoch.

Ak je hodnota uvedená v radiánoch, potom je potrebné od čísla Pi odčítať hodnotu vertikálneho uhla, pretože hodnota plného rozvinutého uhla 180 stupňov sa rovná číslu Pi.

Môžete si tiež prečítať naše užitočné články a.

V procese štúdia kurzu geometrie sa pomerne často objavujú pojmy „uhol“, „vertikálne uhly“, „susedné uhly“. Pochopenie každého z výrazov vám pomôže pochopiť problém a správne ho vyriešiť. Čo sú susedné uhly a ako ich určiť?

Susedné uhly - definícia pojmu

Pojem „susedné uhly“ charakterizuje dva uhly tvorené spoločným lúčom a dve ďalšie polpriamky ležiace na tej istej priamke. Všetky tri lúče vychádzajú z toho istého bodu. Spoločná polpriamka je súčasne stranou jedného aj druhého uhla.

Susedné uhly - základné vlastnosti

1. Na základe formulácie susedných uhlov je ľahké si všimnúť, že súčet takýchto uhlov vždy tvorí opačný uhol, ktorého miera stupňov je 180°:

• Ak sú μ a η susedné uhly, potom μ + η = 180°.
• Keď poznáte veľkosť jedného zo susedných uhlov (napríklad μ), môžete ľahko vypočítať mieru druhého uhla (η) pomocou výrazu η = 180° – μ.

2. Táto vlastnosť uhlov nám umožňuje vyvodiť nasledujúci záver: uhol, ktorý susedí s pravým uhlom, bude tiež pravý.

3. Vzhľadom na goniometrické funkcie (sin, cos, tg, ctg) na základe redukčných vzorcov pre susedné uhly μ a η platí nasledovné:

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Susedné uhly - príklady

Príklad 1

Je daný trojuholník s vrcholmi M, P, Q – ΔMPQ. Nájdite uhly susediace s uhlami ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Predĺžime každú stranu trojuholníka priamkou.
• Keď vieme, že susedné uhly sa navzájom dopĺňajú až do opačného uhla, zistíme, že:

vedľa uhla ∠QMP je ∠LMP,

vedľa uhla ∠MPQ je ∠SPQ,

susediaci s uhlom ∠PQM je ∠HQP.

Príklad 2

Hodnota jedného susedného uhla je 35°. Aká je miera druhého susedného uhla?

• Dva susedné uhly tvoria spolu 180°.
• Ak ∠μ = 35°, tak susediace s ním ∠η = 180° – 35° = 145°.

Príklad 3

Určte hodnoty susedných uhlov, ak je známe, že miera stupňa jedného z nich je trikrát väčšia ako miera stupňa druhého uhla.

• Označme veľkosť jedného (menšieho) uhla – ∠μ = λ.
• Potom, podľa podmienok úlohy, bude hodnota druhého uhla rovná ∠η = 3λ.
• Na základe základnej vlastnosti susedných uhlov nasleduje μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

A = 180°/4 = 45°.

To znamená, že prvý uhol je ∠μ = λ = 45° a druhý uhol je ∠η = 3λ = 135°.

Schopnosť používať terminológiu, ako aj znalosť základných vlastností susedných uhlov vám pomôže vyriešiť mnohé geometrické problémy.