glavni broj je prirodan (pozitivan cijeli) broj koji je bez ostatka djeljiv sa samo dva prirodna broja: sam po sebi. Drugim riječima, prost broj ima točno dva prirodna djelitelja: i sam broj.
Po definiciji, skup svih djelitelja prostog broja je dvoelementan, tj. je skup.
Skup svih prostih brojeva označen je simbolom . Dakle, na temelju definicije skupa prostih brojeva, možemo napisati: .
Niz prostih brojeva izgleda ovako:
Temeljni teorem aritmetike
Temeljni teorem aritmetike navodi da se svaki prirodni broj veći od jedan može predstaviti kao umnožak prostih brojeva, i jedini način do reda faktora. Tako, primarni brojevi su elementarni građevni blokovi»skupovi prirodnih brojeva.
Dekompozicija prirodnog broja title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} kanonski:
gdje je prost broj, i . Na primjer, kanonsko proširenje prirodnog broja izgleda ovako: .
Reprezentacija prirodnog broja kao umnožaka prostih brojeva također se naziva faktorizacija broja.
Svojstva prostih brojeva
Eratostenovo sito
Jedan od najpoznatijih algoritama za traženje i prepoznavanje prostih brojeva je Eratostenovo sito. Dakle, ovaj algoritam je dobio ime po grčkom matematičaru Eratostenu iz Cirene, koji se smatra autorom algoritma.
Da biste pronašli sve proste brojeve manje od zadanog broja, slijedeći Eratostenovu metodu, trebate slijediti ove korake:
Korak 1. Napišite sve cijeli brojevi od dva do , t.j. .
Korak 2 Dodijelite vrijednost varijabli, odnosno vrijednost jednaku najmanjem prostom broju.
Korak 3 Izbrišite s popisa sve brojeve od do višekratnike , odnosno brojeve: .
4. korak Pronađite prvi neprekriženi broj na popisu veći od , i dodijelite vrijednost tog broja varijabli.
Korak 5 Ponavljajte korake 3 i 4 dok se ne postigne broj.
Proces primjene algoritma će izgledati ovako:
Svi preostali neprekriženi brojevi na popisu na kraju procesa primjene algoritma bit će skup prostih brojeva od do .
Goldbachova hipoteza
Naslovnica knjige "Ujak Petros i Goldbachova pretpostavka"
Unatoč činjenici da su proste brojeve matematičari proučavali dugo vremena, danas su mnogi povezani problemi ostali neriješeni. Jedan od najpoznatijih neriješenih problema je Goldbachova pretpostavka, koji je formuliran na sljedeći način:
- Je li istina da se svaki paran broj veći od dva može predstaviti kao zbroj dvaju prostih brojeva (Goldbachova binarna pretpostavka)?
- Je li istina da se svaki neparni broj veći od 5 može predstaviti kao zbroj tri jednostavna brojevi (ternarna Goldbachova pretpostavka)?
Treba reći da je ternarna Goldbachova hipoteza poseban slučaj binarne Goldbachove hipoteze, ili, kako matematičari kažu, ternarna Goldbachova hipoteza je slabija od binarne Goldbachove hipoteze.
Goldbachova pretpostavka postala je nadaleko poznata izvan matematičke zajednice 2000. godine zahvaljujući marketinškom potezu oglašavanja izdavačkih tvrtki Bloomsbury USA (SAD) i Faber and Faber (UK). Ove su izdavačke kuće, nakon što su objavile knjigu “Uncle Petros i Goldbachova pretpostavka” (“Uncle Petros and Goldbach's Conjecture”), obećale isplatiti nagradu od 1 milijun američkih dolara u roku od 2 godine od datuma objavljivanja knjige onome tko dokazuje Goldbachovu pretpostavku. Ponekad se spomenuta nagrada izdavača miješa s nagradama za rješavanje problema Milenijske nagrade. Nemojte se zavaravati, Goldbachova hipoteza nije navedena kao Milenijski izazov od strane Instituta Clay, iako je usko povezana s Riemannova hipoteza jedan od milenijskih izazova.
Knjiga „Jednostavni brojevi. Dug put u beskonačnost
Naslovnica knjige “Svijet matematike. Jednostavni brojevi. Dug put u beskonačnost
Osim toga, preporučam čitanje fascinantne popularno-znanstvene knjige, u napomeni koja kaže: „Potraga za prostim brojevima jedan je od najparadoksalnih problema u matematici. Znanstvenici ga pokušavaju riješiti nekoliko tisućljeća, ali, stječući nove verzije i hipoteze, ova misterija i dalje ostaje neriješena. Pojava prostih brojeva ne podliježe nikakvom sustavu: oni nastaju spontano u nizu prirodnih brojeva, zanemarujući sve pokušaje matematičara da identificiraju obrasce u njihovom nizu. Ova će knjiga omogućiti čitatelju da prati evoluciju znanstvenih ideja od antičkih vremena do danas i uvede najzanimljivije teorije o potrazi za prostim brojevima.
Osim toga, citirat ću početak drugog poglavlja ove knjige: „Prosti brojevi su jedna od važnih tema koje nas vraćaju na same početke matematike, a zatim nas, putem sve složenije, vode do rezanja rub matematike. moderna znanost. Stoga bi bilo vrlo korisno pratiti fascinantnu i složenu povijest teorije prostih brojeva: kako se točno razvijala, kako su točno prikupljene činjenice i istine koje se danas smatraju općeprihvaćenima. U ovom ćemo poglavlju vidjeti kako su generacije matematičara pomno proučavale prirodne brojeve u potrazi za pravilom koje predviđa pojavu prostih brojeva, pravilom koje je tijekom pretraživanja postajalo sve nedostižnije. Također ćemo pobliže pogledati povijesni kontekst: u kakvim su uvjetima matematičari radili i u kojoj je mjeri njihov rad uključivao mistične i polureligijske prakse koje nimalo nisu slične znanstvenim metodama koje se koriste u naše vrijeme. Ipak, polako i s mukom pripremalo se tlo za nove poglede koji su inspirirali Fermata i Eulera u 17. i 18. stoljeću.”
Prosti brojevi su jedan od najzanimljivijih matematičkih fenomena koji više od dva tisućljeća privlači pažnju znanstvenika i običnih građana. Unatoč činjenici da danas živimo u doba računala i najsuvremenijih informacijskih programa, mnoge misterije prostih brojeva još nisu riješene, ima čak i onih kojima znanstvenici ne znaju kako pristupiti.
Prosti brojevi su, kao što je poznato iz tečaja elementarne aritmetike, oni koji su bez ostatka djeljivi samo s jedinicom i samim sobom. Usput, ako je prirodni broj djeljiv, osim gore navedenih, još jednim brojem, onda se naziva složenim. Jedan od najpoznatijih teorema kaže da se bilo koji složeni broj može predstaviti kao jedini mogući proizvod prostih brojeva.
Nekoliko zanimljivih činjenica. Prvo, jedinica je jedinstvena u smislu da, zapravo, ne pripada ni prostim ni složenim brojevima. Istodobno, u znanstvenoj je zajednici još uvijek uobičajeno pripisati ga prvoj skupini, budući da formalno u potpunosti zadovoljava svoje zahtjeve.
Drugo, jedini paran broj koji se uvukao u skupinu "prostih brojeva" je, naravno, dva. Bilo koji drugi paran broj jednostavno ne može doći ovdje, jer je po definiciji, osim sebe i jedan, također djeljiv s dva.
Prosti brojevi, čiji popis, kao što je gore spomenuto, može početi s jedan, beskonačan su niz, beskonačan kao i niz prirodnih brojeva. Na temelju temeljnog aritmetičkog teorema može se doći do zaključka da se prosti brojevi nikada ne prekidaju i nikada ne završavaju, jer bi inače niz prirodnih brojeva neizbježno bio prekinut.
Prosti brojevi se ne pojavljuju nasumično u prirodnom nizu, kao što bi se moglo činiti na prvi pogled. Nakon što ih pažljivo analizirate, odmah možete uočiti nekoliko značajki, od kojih su najzanimljivije povezane s takozvanim brojevima "blizanaca". Zovu se tako jer su, na neki neshvatljiv način, završile jedna do druge, razdvojene samo parnim graničnikom (pet i sedam, sedamnaest i devetnaest).
Ako ih pažljivo pogledate, primijetit ćete da je zbroj tih brojeva uvijek višekratnik tri. Štoviše, pri dijeljenju s trojkom lijevog kolege, ostatak uvijek ostaje dva, a desni - jedan. Osim toga, samu raspodjelu ovih brojeva duž prirodnog niza može se predvidjeti ako se cijeli ovaj niz predstavi u obliku oscilatornih sinusoida, čije glavne točke nastaju kada se brojevi podijele s tri i dva.
Prosti brojevi nisu samo predmet pomnog ispitivanja matematičara diljem svijeta, već se dugo uspješno koriste u sastavljanju raznih serija brojeva, što je osnova, uključujući i šifriranje. Istodobno, treba priznati da ogroman broj misterija povezanih s ovim prekrasnim elementima još uvijek čeka na rješavanje, mnoga pitanja imaju ne samo filozofsko, već i praktično značenje.
Svi prirodni brojevi, osim jednog, dijele se na proste i složene. Prosti broj je prirodan broj koji ima samo dva djelitelja: jedan i sebe.. Svi ostali se nazivaju kompozitnim. Proučavanjem svojstava prostih brojeva bavi se poseban dio matematike – teorija brojeva. U teoriji prstenova prosti brojevi su povezani s nesvodljivim elementima.
Ovdje je niz prostih brojeva počevši od 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... itd.
Prema temeljnom teoremu aritmetike, svaki prirodni broj koji je veći od jedan može se predstaviti kao umnožak prostih brojeva. Međutim, to je jedini način da se prirodni brojevi predstave do reda faktora. Na temelju toga možemo reći da su prosti brojevi elementarni dijelovi prirodnih brojeva.
Takav prikaz prirodnog broja naziva se dekompozicija prirodnog broja na proste brojeve ili faktorizacija broja.
Jedan od najstarijih i učinkovite načine izračunavanje prostih brojeva je "Erastotenovo sito".
Praksa je pokazala da je nakon izračuna prostih brojeva pomoću Erastofen sita potrebno provjeriti je li zadani broj prost. Za to, razvijen posebni testovi, takozvani testovi primarnosti. Algoritam ovih testova je vjerojatnost. Najčešće se koriste u kriptografiji.
Usput, za neke klase brojeva postoje specijalizirani učinkoviti testovi primarnosti. Na primjer, za testiranje jednostavnosti Mersenneovih brojeva koristi se Lucas-Lehmerov test, a za testiranje jednostavnosti Fermatovih brojeva koristi se Pepinov test.
Svi znamo da postoji beskonačno mnogo brojeva. S pravom se postavlja pitanje: koliko onda ima prostih brojeva? Također postoji beskonačan broj prostih brojeva. Najstariji dokaz ove presude je Euklidov dokaz, koji je izložen u Elementima. Euklidov dokaz je sljedeći:
Zamislite da je broj prostih brojeva konačan. Pomnožimo ih i zbrojimo jedan. Rezultirajući broj ne može se podijeliti ni s jednim konačnim skupom prostih brojeva, jer ostatak dijeljenja s bilo kojim od njih daje jedan. Dakle, broj mora biti djeljiv s nekim prostim brojem koji nije uključen u ovaj skup.
Teorem raspodjele prostih brojeva kaže da broj prostih brojeva manji od n, označenih π(n), raste kao n / ln(n).
Tisućama godina proučavanja prostih brojeva otkriveno je da je najveći poznati prosti broj 243112609 − 1. Ovaj broj ima 12 978 189 decimalnih znamenki i Mersennov je prost (M43112609). Ovo otkriće je napravljeno 23. kolovoza 2008. na Odjelu za matematiku Sveučilišta uCLA kao dio GIMPS-ove distribuirane pretrage za Mersenne prostim brojevima.
Dom razlikovna značajka Mersenneovi brojevi su prisutnost vrlo učinkovitog Luc-Lehmerovog testa primarnosti. Uz to, Mersenneovi prosti brojevi su, tijekom dugog vremenskog razdoblja, najveći poznati prosti brojevi.
Međutim, do danas mnoga pitanja o prostim brojevima nisu dobila točne odgovore. Na 5. međunarodnom matematičkom kongresu Edmund Landau formulirao je glavne probleme u području prostih brojeva:
Goldbachov problem, ili Landauov prvi problem, je dokazati ili opovrgnuti da se svaki paran broj veći od dva može predstaviti kao zbroj dvaju prostih brojeva, a svaki neparni broj veći od 5 može se predstaviti kao zbroj triju prostih brojeva.
Drugi Landauov problem zahtijeva pronalaženje odgovora na pitanje: postoji li beskonačan skup "jednostavnih blizanaca" - prostih brojeva, razlika između kojih je jednaka 2?
Legendreova pretpostavka ili Landauov treći problem je: je li istina da između n2 i (n + 1)2 uvijek postoji prost broj?
Landauov četvrti problem: Je li skup prostih brojeva oblika n2 + 1 beskonačan?
Osim navedenih problema, postoji i problem određivanja beskonačnog broja prostih brojeva u mnogim cjelobrojnim nizovima kao što su Fibonaccijev broj, Fermatov broj itd.
Popis djelitelja. Po definiciji, broj n je prost samo ako nije jednako djeljiv s 2 i bilo kojim cijelim brojevima osim 1 i samog sebe. Gornja formula uklanja nepotrebne korake i štedi vrijeme: na primjer, nakon provjere je li broj djeljiv s 3, nema potrebe provjeravati je li djeljiv s 9.
- Funkcija floor(x) zaokružuje x na najbliži cijeli broj manji ili jednak x.
Naučite o modularnoj aritmetici. Operacija "x mod y" (mod je skraćenica od latinske riječi "modulo", što znači "modul") znači "podijeliti x s y i pronaći ostatak". Drugim riječima, u modularnoj aritmetici, po dolasku određeni iznos, koji se zove modul, brojevi se "okreću" natrag na nulu. Na primjer, sat mjeri vrijeme u modulu 12: pokazuje 10, 11 i 12 sati, a zatim se vraća na 1.
- Mnogi kalkulatori imaju mod tipku. Kraj ovog odjeljka pokazuje kako ručno izračunati ovu funkciju za velike brojeve.
Naučite o zamkama Fermatovog malog teorema. Svi brojevi za koje nisu ispunjeni uvjeti ispitivanja su složeni, ali su preostali brojevi samo vjerojatno smatraju se jednostavnim. Ako želite izbjeći netočne rezultate, potražite n na popisu "Carmichaelovi brojevi" (kompozitni brojevi koji zadovoljavaju ovaj test) i "pseudo-prime Fermatovi brojevi" (ovi brojevi ispunjavaju uvjete testa samo za neke vrijednosti a).
Ako je prikladno, upotrijebite Miller-Rabin test. Iako ovu metodu prilično glomazan za ručne izračune, često se koristi u računalni programi. Pruža prihvatljivu brzinu i daje manje grešaka nego Fermatova metoda. Složeni broj neće se smatrati jednostavnim ako se izračuni vrše za više od ¼ vrijednosti a. Ako nasumično odaberete razna značenja a a za sve njih test će dati pozitivan rezultat, može se s velikom sigurnošću pretpostaviti da n je prost broj.
Za velike brojeve koristite modularnu aritmetiku. Ako nemate pri ruci kalkulator s mod funkcijom ili kalkulator nije dizajniran za rad s takvim velike brojke, koristite svojstva snage i modularnu aritmetiku kako biste olakšali izračune. Ispod je primjer za 3 50 (\displaystyle 3^(50)) mod 50:
- Prepišite izraz u prikladnijem obliku: mod 50. Prilikom ručnog izračunavanja mogu biti potrebna daljnja pojednostavljenja.
- (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Ovdje smo uzeli u obzir svojstvo modularnog množenja.
- 3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
- (3 25 (\displaystyle (3^(25)) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
- = 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
- = 49 (\displaystyle=49).
Prosti broj je prirodan broj koji je djeljiv samo sa sobom i jedinicom.
Ostali brojevi nazivaju se složenim.
Jednostavni prirodni brojevi
Ali nisu svi prirodni brojevi prosti.
Jednostavni prirodni brojevi su samo oni koji su djeljivi samo sobom i jedinicom.
Primjeri prostih brojeva:
2; 3; 5; 7; 11; 13;...
Jednostavni cijeli brojevi
Iz toga slijedi da su samo prirodni brojevi prosti brojevi.
To znači da su prosti brojevi nužno prirodni.
Ali svi prirodni brojevi su također cijeli brojevi.
Dakle, svi prosti brojevi su cijeli brojevi.
Primjeri prostih brojeva:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...
Čak i prosti brojevi
Postoji samo jedan paran prost broj, a to su dva.
Svi ostali prosti brojevi su neparni.
Zašto paran broj veći od dva ne može biti prost broj?
Ali zato što će svaki paran broj veći od dva biti djeljiv sam po sebi, ne s jednim, već s dva, to jest, takav će broj uvijek imati tri djelitelja, a moguće i više.
