Važno!
Funkcija oblika “y = kx + b” naziva se linearna funkcija.
Zovu se faktori slova "k" i "b". numerički koeficijenti.
Umjesto "k" i "b" mogu biti bilo koji brojevi (pozitivni, negativni ili razlomci).
Drugim riječima, možemo reći da je “y = kx + b” obitelj svih mogućih funkcija, gdje umjesto “k” i “b” stoje brojevi.
Primjeri funkcija poput "y = kx + b".
- y = 5x + 3
- y = −x + 1
- y = x − 2
k = 2 3 b = −2 y = 0,5x k = 0,5 b = 0 Obratite posebnu pozornost na funkciju "y = 0,5x" u tablici. Često griješe tražeći numerički koeficijent “b”.
Kada se razmatra funkcija "y = 0,5x", netočno je reći da u funkciji ne postoji numerički koeficijent "b".
Numerički koeficijent "b" uvijek je prisutan u funkciji kao što je "y = kx + b" uvijek. U funkciji “y = 0,5x” numerički koeficijent “b” je nula.
Kako nacrtati graf linearne funkcije
"y = kx + b"Zapamtiti!
Graf linearne funkcije “y = kx + b” je ravna linija.
Kako je graf funkcije “y = kx + b” ravna linija, funkcija se zove linearna funkcija.
Iz geometrije, prisjetimo se aksioma (tvrdnja koja ne zahtijeva dokaz) da kroz bilo koje dvije točke možete povući ravnu liniju i, štoviše, samo jednu.
Na temelju gornjeg aksioma, slijedi da bi se nacrtala funkcija oblika
“y = kx + b” bit će nam dovoljno pronaći samo dvije točke.Na primjer izgradimo graf funkcije"y = −2x + 1".
Pronađimo vrijednost funkcije "y" za dvije proizvoljne vrijednosti "x". Zamijenimo, na primjer, umjesto "x" brojeve "0" i "1".
Važno!
Prilikom odabira proizvoljnih numeričkih vrijednosti umjesto "x", bolje je uzeti brojeve "0" i "1". Lako je raditi izračune s ovim brojevima.
Rezultirajuće vrijednosti "x" i "y" su koordinate točaka na grafu funkcije.
Zapišimo dobivene koordinate točaka “y = −2x + 1” u tablicu.
Dobivene točke označimo na koordinatnom sustavu.
Sada povucimo ravnu liniju kroz označene točke. Ova linija će biti graf funkcije “y = −2x + 1”.
Kako riješiti probleme na
linearna funkcija “y = kx + b”Razmotrimo problem.
Grafički nacrtajte funkciju “y = 2x + 3”. Pronađi prema grafikonu:
- vrijednost "y" koja odgovara vrijednosti "x" jednaka -1; 2; 3; 5 ;
- vrijednost "x" ako je vrijednost "y" 1; 4; 0; −1.
Prvo nacrtajmo funkciju “y = 2x + 3”.
Koristimo se pravilima po kojima smo superiorni. Za crtanje grafa funkcije “y = 2x + 3” dovoljno je pronaći samo dvije točke.
Odaberimo dvije proizvoljne numeričke vrijednosti za "x". Radi praktičnosti izračuna, odabrat ćemo brojeve "0" i "1".
Provedimo izračune i zapišimo njihove rezultate u tablicu.
Dobivene točke označimo na pravokutnom koordinatnom sustavu.
Spojimo dobivene točke ravnom linijom. Nacrtana ravna linija bit će graf funkcije “y = 2x + 3”.
Sada radimo s konstruiranim grafom funkcije “y = 2x + 3”.
Morate pronaći vrijednost "y" koja odgovara vrijednosti "x",
što je jednako −1; 2; 3; 5 .- Vol" na nulu (x = 0);
- zamijenite nulom umjesto “x” u formuli funkcije i pronađite vrijednost “y”;
- oj".
Umjesto "x" u formuli funkcije "y = −1,5x + 3" zamijenimo broj nula.
Y(0) = −1,5 0 + 3 = 3
(0; 3) - koordinate točke presjeka grafa funkcije "y = −1,5x + 3" s osi "Oy".Zapamtiti!
Za pronalaženje koordinata sjecišta grafa funkcije
s osi " Vol"(x os) trebate:- izjednačiti koordinatu točke duž "" osi oj" na nulu (y = 0);
- zamijenite nulu umjesto "y" u formuli funkcije i pronađite vrijednost "x";
- zapišite dobivene koordinate točke presjeka s osi " oj".
Umjesto "y" u formuli funkcije "y = −1,5x + 3", zamijenimo broj nula.
0 = −1,5x + 3
1,5x = 3 | :(1,5)
x = 3: 1,5
x = 2
(2; 0) - koordinate točke presjeka grafa funkcije "y = −1,5x + 3" s osi "Ox".Da biste lakše zapamtili koju koordinatu točke treba izjednačiti s nulom, sjetite se "pravila suprotnosti".
Važno!
Ako trebate pronaći koordinate točke sjecišta grafikona s osi " Vol", tada izjednačavamo "y" s nulom.
I obrnuto. Ako trebate pronaći koordinate točke presjeka grafikona s osi "". oj", tada izjednačavamo "x" s nulom.
Učenici se na samom početku učenja algebre suočavaju sa zadatkom konstruiranja grafa funkcije i nastavljaju ga graditi iz godine u godinu. Počevši od grafa linearne funkcije, za koji trebate znati samo dvije točke, do parabole, za koju je već potrebno 6 točaka, hiperbole i sinusnog vala. Svake godine funkcije postaju sve složenije i njihove grafove više nije moguće konstruirati pomoću šablona, već je potrebno provoditi složenije studije pomoću derivacija i limita.
Hajdemo shvatiti kako pronaći graf funkcije? Da bismo to učinili, počnimo s najjednostavnijim funkcijama, čiji su grafikoni iscrtani točku po točku, a zatim razmotrimo plan za konstruiranje složenijih funkcija.
Grafičko crtanje linearne funkcije
Za izradu najjednostavnijih grafikona upotrijebite tablicu vrijednosti funkcije. Graf linearne funkcije je pravac. Pokušajmo pronaći točke na grafu funkcije y=4x+5.
- Da bismo to učinili, uzmimo dvije proizvoljne vrijednosti varijable x, zamijenimo ih jednu po jednu u funkciju, pronađemo vrijednost varijable y i sve unesemo u tablicu.
- Uzmite vrijednost x=0 i zamijenite je u funkciju umjesto x - 0. Dobivamo: y=4*0+5, odnosno y=5, ovu vrijednost upišite u tablicu pod 0. Slično uzmite x= 0, dobivamo y=4*1+5 , y=9.
- Sada, da biste izgradili grafikon funkcije, trebate iscrtati ove točke na koordinatnoj ravnini. Zatim morate nacrtati ravnu liniju.
Grafički prikaz kvadratne funkcije
Kvadratna funkcija je funkcija oblika y=ax 2 +bx +c, gdje je x varijabla, a,b,c su brojevi (a nije jednako 0). Na primjer: y=x 2, y=x 2 +5, y=(x-3) 2, y=2x 2 +3x+5.
Za konstruiranje najjednostavnije kvadratne funkcije y=x 2 obično se uzima 5-7 točaka. Uzmimo vrijednosti za varijablu x: -2, -1, 0, 1, 2 i pronađimo vrijednosti y na isti način kao kod konstruiranja prvog grafikona.
Graf kvadratne funkcije naziva se parabola. Nakon konstruiranja grafova funkcija učenici imaju nove zadatke vezane uz graf.
Primjer 1: pronađite apscisu točke grafikona funkcije y=x 2 ako je ordinata 9. Da biste riješili problem, trebate zamijeniti njegovu vrijednost 9 u funkciju umjesto y. Dobivamo 9=x 2 i rješavamo ova jednadžba. x=3 i x=-3. To se može vidjeti i na grafu funkcije.
Istraživanje funkcije i njeno crtanje
Da biste iscrtali grafove složenijih funkcija, morate izvršiti nekoliko koraka usmjerenih na njihovo proučavanje. Da biste to učinili potrebno vam je:
- Odredi domenu definicije funkcije. Domena definicije su sve vrijednosti koje varijabla x može poprimiti. One točke u kojima nazivnik postaje 0 ili radikalni izraz postaje negativan trebaju biti isključene iz domene definicije.
- Postavite je li funkcija parna ili neparna. Podsjetimo se da je parna funkcija ona koja zadovoljava uvjet f(-x)=f(x). Njegov graf je simetričan u odnosu na Oy. Funkcija će biti neparna ako ispunjava uvjet f(-x)=-f(x). U ovom slučaju, graf je simetričan u odnosu na ishodište.
- Pronađite točke sjecišta s koordinatnim osima. Da bi se našla apscisa točke presjeka s osi Ox, potrebno je riješiti jednadžbu f(x) = 0 (ordinata je jednaka 0). Da bi se odredila ordinata točke presjeka s osi Oy, potrebno je umjesto varijable x u funkciju zamijeniti 0 (apscisa je 0).
- Odredite asimptote funkcije. Asiptota je ravna linija kojoj se graf neograničeno približava, ali je nikada ne prelazi. Smislimo kako pronaći asimptote grafa funkcije.
- Vertikalna asimptota pravca x=a
- Horizontalna asimptota - pravac y=a
- Kosa asimptota - pravac oblika y=kx+b
- Naći točke ekstrema funkcije, intervale rasta i opadanja funkcije. Nađimo točke ekstrema funkcije. Da biste to učinili, trebate pronaći prvu derivaciju i izjednačiti je s 0. Upravo u tim točkama funkcija se može promijeniti iz rastuće u opadajuću. Odredimo predznak derivacije na svakom intervalu. Ako je derivacija pozitivna, onda graf funkcije raste, ako je negativna, pada.
- Pronađite točke infleksije grafa funkcije, intervale konveksnosti prema gore i dolje.
Pronalaženje točaka infleksije sada je lakše nego ikada. Samo trebate pronaći drugu derivaciju, a zatim je izjednačiti s nulom. Zatim nalazimo predznak druge derivacije na svakom intervalu. Ako je pozitivna, onda je graf funkcije konveksan prema dolje, ako je negativna, onda je konveksan prema gore.
Funkcija jedan je od najvažnijih matematičkih pojmova. Ovisnost funkcije - varijable na iz varijable x, ako je svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti na. Varijabilna x naziva nezavisna varijabla ili argument. Varijabilna na naziva zavisna varijabla. Sve vrijednosti nezavisne varijable (varijable x) čine domenu definicije funkcije. Sve vrijednosti koje zavisna varijabla poprima (varijabla g), čine raspon vrijednosti funkcije.
Grafikon funkcije nazivamo skup svih točaka koordinatne ravnine čije su apscise jednake vrijednostima argumenta, a ordinate jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije, odnosno vrijednostima varijable se crtaju duž apscisne osi x, a vrijednosti varijable su iscrtane duž ordinatne osi g. Da biste to učinili, morate znati svojstva funkcije. O glavnim svojstvima funkcije bit će riječi u nastavku!
Za iscrtavanje grafa funkcije preporučujemo korištenje našeg programa -. Ako imate bilo kakvih pitanja tijekom proučavanja materijala na ovoj stranici, uvijek ih možete postaviti na našoj. Također na forumu će vam pomoći riješiti probleme iz matematike, kemije i mnogih drugih predmeta!
Osnovna svojstva funkcija.
1) Domena funkcije i područje funkcije.
Domena funkcije je skup svih valjanih valjanih vrijednosti argumenata x(varijabilno x), za koju je funkcija y = f(x) odlučan.
Raspon funkcije je skup svih realnih vrijednosti g, što funkcija prihvaća.
U elementarnoj matematici funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.
2) Funkcijske nule.
Funkcija nula je vrijednost argumenta pri kojoj je vrijednost funkcije jednaka nuli.
3) Intervali konstantnog predznaka funkcije.
Intervali konstantnog predznaka funkcije su skupovi vrijednosti argumenata na kojima su vrijednosti funkcije samo pozitivne ili samo negativne.
4) Monotonost funkcije.
Rastuća funkcija (u određenom intervalu) je funkcija kod koje većoj vrijednosti argumenta iz tog intervala odgovara veća vrijednost funkcije.
Opadajuća funkcija (u određenom intervalu) je funkcija kod koje manja vrijednost funkcije odgovara većoj vrijednosti argumenta iz tog intervala.
5) Parna (neparna) funkcija.
Parna funkcija je funkcija čija je definicijska domena simetrična s obzirom na ishodište i za bilo koji x iz domene definicije jednakost f(-x) = f(x). Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ordinatu.
Neparna funkcija je funkcija čija je definicijska domena simetrična s obzirom na ishodište i za bilo koji x iz domene definicije jednakost je istinita f(-x) = - f(x). Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.
6) Ograničene i neograničene funkcije.
Funkcija se naziva ograničenom ako postoji pozitivan broj M takav da je |f(x)| ≤ M za sve vrijednosti x. Ako takav broj ne postoji, funkcija je neograničena.
7) Periodičnost funkcije.
Funkcija f(x) je periodična ako postoji broj T različit od nule da za bilo koji x iz domene definicije funkcije vrijedi: f(x+T) = f(x). Taj najmanji broj naziva se periodom funkcije. Sve trigonometrijske funkcije su periodične. (
Duljina segmenta na koordinatnoj osi određena je formulom:
Duljina segmenta na koordinatnoj ravnini nalazi se pomoću formule:
Da biste pronašli duljinu segmenta u trodimenzionalnom koordinatnom sustavu, koristite sljedeću formulu:
Koordinate sredine segmenta (za koordinatnu os koristi se samo prva formula, za koordinatnu ravninu - prve dvije formule, za trodimenzionalni koordinatni sustav - sve tri formule) izračunavaju se pomoću formula:
Funkcija– ovo je dopisivanje obrasca g= f(x) između varijabilnih veličina, zbog čega svaka razmatrana vrijednost neke varijabilne veličine x(argument ili nezavisna varijabla) odgovara određenoj vrijednosti druge varijable, g(ovisna varijabla, ponekad se ova vrijednost jednostavno naziva vrijednost funkcije). Imajte na umu da funkcija pretpostavlja tu jednu vrijednost argumenta x može odgovarati samo jedna vrijednost zavisne varijable na. Međutim, ista vrijednost na može se dobiti s različitim x.
Funkcijska domena– ovo su sve vrijednosti nezavisne varijable (argument funkcije, obično ovo x), za koju je definirana funkcija, tj. njegovo značenje postoji. Označeno je područje definicije D(g). Uglavnom, već ste upoznati s ovim konceptom. Područje definiranja funkcije inače se zove područje dopuštenih vrijednosti ili VA, koje ste odavno uspjeli pronaći.
Raspon funkcija su sve moguće vrijednosti zavisne varijable dane funkcije. Određeni E(na).
Funkcija se povećava na interval u kojem većoj vrijednosti argumenta odgovara veća vrijednost funkcije. Funkcija se smanjuje na intervalu u kojem manja vrijednost funkcije odgovara većoj vrijednosti argumenta.
Intervali konstantnog predznaka funkcije- to su intervali nezavisne varijable u kojima zavisna varijabla zadržava svoj pozitivan ili negativan predznak.
Funkcijske nule– to su vrijednosti argumenta pri kojima je vrijednost funkcije jednaka nuli. U tim točkama graf funkcije siječe apscisnu os (OX os). Vrlo često potreba za pronalaženjem nula funkcija znači potrebu jednostavnog rješavanja jednadžbe. Također, često potreba za pronalaženjem intervala konstantnosti predznaka znači potrebu jednostavnog rješavanja nejednadžbe.
Funkcija g = f(x) se zovu čak x
To znači da su za sve suprotne vrijednosti argumenta vrijednosti parne funkcije jednake. Graf parne funkcije uvijek je simetričan u odnosu na ordinatnu os op-amp-a.
Funkcija g = f(x) se zovu neparan, ako je definiran na simetričnom skupu i za bilo koji x iz domene definicije vrijedi jednakost:
To znači da su za sve suprotne vrijednosti argumenta, vrijednosti neparne funkcije također suprotne. Graf neparne funkcije uvijek je simetričan u odnosu na ishodište.
Zbroj korijena parnih i neparnih funkcija (sjecišta x-osi OX) uvijek je jednak nuli, jer za svaki pozitivan korijen x ima negativan korijen - x.
Važno je napomenuti: neka funkcija ne mora biti parna ili neparna. Postoje mnoge funkcije koje nisu ni parne ni neparne. Takve se funkcije nazivaju opće funkcije, i za njih nijedna od gore navedenih jednakosti ili svojstava nije zadovoljena.
Linearna funkcija je funkcija koja se može dati formulom:
Graf linearne funkcije je prava linija i u općem slučaju izgleda ovako (naveden je primjer za slučaj kada k> 0, u ovom slučaju funkcija raste; za tu priliku k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Graf kvadratne funkcije (parabola)
Graf parabole dan je kvadratnom funkcijom:
Kvadratna funkcija, kao i svaka druga funkcija, siječe os OX u točkama koje su njezini korijeni: ( x 1 ; 0) i ( x 2 ; 0). Ako nema korijena, tada kvadratna funkcija ne siječe os OX; ako postoji samo jedan korijen, tada u ovoj točki ( x 0 ; 0) kvadratna funkcija samo dodiruje os OX, ali je ne siječe. Kvadratna funkcija uvijek siječe os OY u točki s koordinatama: (0; c). Graf kvadratne funkcije (parabole) može izgledati ovako (na slici su prikazani primjeri koji ne iscrpljuju sve moguće vrste parabola):
pri čemu:
- ako je koeficijent a> 0, u funkciji g = sjekira 2 + bx + c, tada su grane parabole usmjerene prema gore;
- ako a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Koordinate vrha parabole mogu se izračunati pomoću sljedećih formula. X vrhovi (str- na gornjim slikama) parabole (ili točka u kojoj kvadratni trinom doseže najveću ili najmanju vrijednost):
Vrhovi Igrek (q- na gornjim slikama) parabole ili maksimum ako su grane parabole usmjerene prema dolje ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), vrijednost kvadratnog trinoma:
Grafovi ostalih funkcija
Funkcija snage
Evo nekoliko primjera grafova funkcija snage:
Obrnuto proporcionalan je funkcija dana formulom:
Ovisno o predznaku broja k Grafikon obrnuto proporcionalne ovisnosti može imati dvije temeljne opcije:
Asimptota je linija kojoj se graf funkcije beskonačno približava, ali se ne siječe. Asimptote za grafove obrnute proporcionalnosti prikazane na gornjoj slici su koordinatne osi kojima se graf funkcije beskonačno približava, ali ih ne siječe.
Eksponencijalna funkcija s bazom A je funkcija dana formulom:
a Graf eksponencijalne funkcije može imati dvije temeljne opcije (također dajemo primjere, vidi dolje):
Logaritamska funkcija je funkcija dana formulom:
Ovisno o tome je li broj veći ili manji od jedan a Graf logaritamske funkcije može imati dvije osnovne opcije:
Graf funkcije g = |x| kako slijedi:
Grafovi periodičkih (trigonometrijskih) funkcija
Funkcija na = f(x) Zove se periodički, ako postoji takav broj različit od nule T, Što f(x + T) = f(x), za bilo koga x iz domene funkcije f(x). Ako funkcija f(x) je periodičan s periodom T, tada funkcija:
Gdje: A, k, b su konstantni brojevi, i k nije jednak nuli, također periodičan s periodom T 1, koji se određuje formulom:
Većina primjera periodičnih funkcija su trigonometrijske funkcije. Predstavljamo grafove glavnih trigonometrijskih funkcija. Sljedeća slika prikazuje dio grafa funkcije g= grijeh x(cijeli graf se nastavlja neograničeno lijevo i desno), graf funkcije g= grijeh x nazvao sinusoida:
Graf funkcije g=cos x nazvao kosinus. Ovaj grafikon je prikazan na sljedećoj slici. Budući da se sinusni grafikon neograničeno nastavlja duž OX osi lijevo i desno:
Graf funkcije g= tg x nazvao tangentoid. Ovaj grafikon je prikazan na sljedećoj slici. Kao i grafovi drugih periodičkih funkcija, ovaj graf se neograničeno ponavlja duž OX osi lijevo i desno.
I na kraju, graf funkcije g=ctg x nazvao kotangentoid. Ovaj grafikon je prikazan na sljedećoj slici. Kao i grafovi drugih periodičkih i trigonometrijskih funkcija, ovaj graf se neograničeno ponavlja duž OX osi lijevo i desno.
Uspješno, marljivo i odgovorno provođenje ove tri točke omogućit će vam da na CT-u pokažete odličan rezultat, maksimum onoga za što ste sposobni.
Pronašli ste grešku?
Ako mislite da ste pronašli pogrešku u materijalima za obuku, pišite o tome putem e-pošte. Pogrešku možete prijaviti i na društvenoj mreži (). U pismu navedite predmet (fizika ili matematika), naziv ili broj teme ili testa, broj zadatka ili mjesto u tekstu (stranici) gdje je po Vašem mišljenju greška. Također opišite koja je greška na koju se sumnja. Vaše pismo neće proći nezapaženo, pogreška će biti ispravljena ili će vam biti objašnjeno zašto nije pogreška.
Što riječi znače? "postaviti funkciju"? Oni znače: objasnite svima koji žele znati što specifična funkcija pričamo. Štoviše, objasnite jasno i nedvosmisleno!
Kako to mogu učiniti? Kako postaviti funkciju?
Možete napisati formulu. Možete nacrtati grafikon. Možete napraviti stol. Bilo koji način je neko pravilo pomoću kojeg možemo saznati vrijednost i za x vrijednost koju smo odabrali. Oni. "postavi funkciju", to znači pokazati zakon, pravilo po kojem se x pretvara u y.
Obično postoje različiti zadaci već spreman funkcije. Daju nam su već postavljeni. Odlučite sami, da, odlučite.) Ali... Najčešće školarci (pa čak i studenti) rade s formulama. Naviknu se, znate... Toliko se naviknu da svako elementarno pitanje vezano za drugačiji način specificiranja funkcije čovjeka odmah uznemiri...)
Kako bismo izbjegli takve slučajeve, ima smisla razumjeti različite načine specificiranja funkcija. I, naravno, primijenite ovo znanje na "škakljiva" pitanja. Sasvim je jednostavno. Ako znate što je funkcija...)
Ići?)
Analitička metoda zadavanja funkcije.
Najuniverzalniji i najmoćniji način. Funkcija definirana analitički ovo je funkcija koja je dana formule. Zapravo, ovo je cijelo objašnjenje.) Funkcije koje su svima poznate (želim vjerovati!), Na primjer: y = 2x, ili y = x 2 itd. i tako dalje. određuju se analitički.
Usput, ne može svaka formula definirati funkciju. Ne ispunjava svaka formula strogi uvjet iz definicije funkcije. Naime - za svaki X može postojati samo jedan igrek. Na primjer, u formuli y = ±x, Za jedan vrijednosti x=2, ispada dva y vrijednosti: +2 i -2. Ova formula ne može definirati jedinstvenu funkciju. U pravilu, oni ne rade s viševrijednim funkcijama u ovoj grani matematike, u računu.
Što je dobro u analitičkom načinu specificiranja funkcije? Jer ako imate formulu, znate za funkciju Svi! Možete napraviti znak. Izgradite grafikon. Istražite ovu značajku u cijelosti. Predvidite točno gdje i kako će se ova funkcija ponašati. Sve matematičke analize temelje se na ovoj metodi određivanja funkcija. Recimo, uzimanje derivata tablice je izuzetno teško...)
Analitička metoda je dosta poznata i ne stvara probleme. Možda postoje neke varijacije ove metode s kojima se učenici susreću. Govorim o parametarskim i implicitnim funkcijama.) Ali takve funkcije su u posebnoj lekciji.
Prijeđimo na manje poznate načine određivanja funkcije.
Tablični način zadavanja funkcije.
Kao što naziv sugerira, ova metoda je jednostavan znak. U ovoj tablici svaki x odgovara ( stavlja se u skladu) neki smisao igre. Prvi red sadrži vrijednosti argumenta. Drugi redak sadrži odgovarajuće vrijednosti funkcije, na primjer:
Stol 1.
| x | - 3 | - 1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
| g | 5 | 2 | - 4 | - 1 | 6 | 5 |
Molim obratite pažnju! U ovom primjeru, igra ovisi o X u svakom slučaju. Ovo sam namjerno smislio.) Nema uzorka. U redu je, događa se. Sredstva, točno Specificirao sam ovu specifičnu funkciju. Točno Uspostavio sam pravilo prema kojem se X pretvara u Y.
Možete se pomiriti još ploča koja sadrži uzorak. Ovaj znak će pokazati drugo funkcija, na primjer:
Tablica 2.
| x | - 3 | - 1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
| g | - 6 | - 2 | 0 | 4 | 6 | 8 |
Jeste li uhvatili uzorak? Ovdje se sve vrijednosti igre dobivaju množenjem x s dva. Ovdje je prvo "škakljivo" pitanje: može li se funkcija definirana pomoću tablice 2 smatrati funkcijom y = 2x? Razmislite za sada, odgovor će biti ispod, na grafički način. Tu je sve vrlo jasno.)
Što je dobro tablična metoda specificiranja funkcije? Da, jer ne morate ništa brojati. Sve je već izračunato i napisano u tablici.) Ali nema više ništa dobro. Ne znamo vrijednost funkcije za X, kojih nema u tabeli. U ovoj metodi, takve x vrijednosti su jednostavne ne postoji. Usput, ovo je nagovještaj škakljivog pitanja.) Ne možemo saznati kako se funkcija ponaša izvan tablice. Ne možemo ništa. A jasnoća ove metode ostavlja mnogo da se poželi... Grafička metoda je dobra za jasnoću.
Grafički način specificiranja funkcije.
U ovoj metodi funkcija je predstavljena grafom. Argument (x) se crta duž apscisne osi, a vrijednost funkcije (y) se crta duž ordinatne osi. Prema rasporedu, također možete odabrati bilo koji x i pronađite odgovarajuću vrijednost na. Graf može biti bilo koji, ali... ne bilo koji.) Radimo samo s jednoznačnim funkcijama. Definicija takve funkcije jasno kaže: svaki x stavlja se u skladu jedini na. Jedan jednu igru, ne dvije ili tri... Na primjer, pogledajmo kružni grafikon:
Krug je kao krug... Zašto ne bi bio graf funkcije? Pronađimo koja igra će odgovarati vrijednosti X, na primjer, 6? Pomaknemo kursor preko grafikona (ili dodirnemo crtež na tabletu) i... vidimo da ovaj x odgovara dva značenja igre: y=2 i y=6.
Dva i šest! Stoga takav graf neće biti grafička dodjela funkcije. Na jedan x računa za dva igra. Ovaj graf ne odgovara definiciji funkcije.
Ali ako je ispunjen uvjet jednoznačnosti, graf može biti apsolutno bilo što. Na primjer:
Ta ista krivudavost je zakon po kojem se X može pretvoriti u Y. Jednoznačno. Htjeli smo znati značenje funkcije za x = 4, Na primjer. Moramo pronaći četiri na x-osi i vidjeti koja igra odgovara ovom x. Prelazimo mišem preko slike i vidimo da je vrijednost funkcije na Za x=4 jednako pet. Ne znamo koja formula određuje ovu transformaciju X u Y. I nije potrebno. Sve je određeno rasporedom.
Sada se možemo vratiti na "škakljivo" pitanje o y=2x. Nacrtajmo ovu funkciju. Evo ga:
Naravno, prilikom crtanja ovog grafa nismo uzeli beskonačan broj vrijednosti X. Uzeli smo nekoliko vrijednosti i izračunali y, napravio znak - i sve je spremno! Najpismeniji ljudi uzimali su samo dvije vrijednosti X! I to s pravom. Za ravnu liniju ne treba vam više. Zašto dodatni posao?
Ali mi sigurno znaošto x može biti bilo tko. Cijeli broj, razlomak, negativan... Bilo koji. Ovo je prema formuli y=2x vidi se. Stoga smo hrabro spojili točke na grafikonu punom linijom.
Ako nam je funkcija dana u tablici 2, tada ćemo morati uzeti vrijednosti x samo sa stola. Jer drugi X-ovi (i Y-ovi) nam nisu dani, a nemamo ih odakle ni nabaviti. Ove vrijednosti nisu prisutne u ovoj funkciji. Raspored će uspjeti od bodova. Pomaknemo miš preko slike i vidimo graf funkcije navedene u tablici 2. Nisam napisao x-y vrijednosti na osi, shvatit ćete to, ćeliju po ćeliju?)
Evo odgovora na "škakljivo" pitanje. Funkcija određena tablicom 2 i funkcijom y=2x - drugačiji.
Grafička metoda je dobra zbog svoje jasnoće. Odmah možete vidjeti kako se funkcija ponaša, gdje se povećava. gdje se smanjuje. Iz grafikona možete odmah saznati neke važne karakteristike funkcije. A u temi s izvedenicama zadaci s grafovima su posvuda!
Općenito, analitičke i grafičke metode definiranja funkcije idu ruku pod ruku. Rad s formulom pomaže u izgradnji grafikona. A grafikon često predlaže rješenja koja ne biste ni primijetili u formuli... Bit ćemo prijatelji s grafikonima.)
Gotovo svaki učenik zna tri načina za definiranje funkcije koje smo upravo pogledali. Ali na pitanje: “A četvrti!?” - temeljito se smrzava.)
Postoji takav način.
Verbalni opis funkcije.
Da da! Funkcija se može sasvim nedvosmisleno odrediti riječima. Veliki i moćni ruski jezik sposoban je za mnogo!) Recimo funkciju y=2x može se specificirati sljedećim verbalnim opisom: Svakoj realnoj vrijednosti argumenta x pridružena je njegova dvostruka vrijednost. Kao ovo! Pravilo je uspostavljeno, funkcija je određena.
Štoviše, možete verbalno odrediti funkciju koju je iznimno teško, ako ne i nemoguće, definirati pomoću formule. Na primjer: Svaka vrijednost prirodnog argumenta x povezana je sa zbrojem znamenki koje čine vrijednost x. Na primjer, ako x=3, Da y=3. Ako x=257, Da y=2+5+7=14. I tako dalje. Problematično je to napisati formulom. Ali znak je lako napraviti. I napravite raspored. Usput, grafikon izgleda smiješno...) Pokušajte.
Metoda verbalnog opisa prilično je egzotična. Ali ponekad se dogodi. Donio sam ga ovdje kako bih vam dao povjerenje u neočekivanim i neobičnim situacijama. Samo trebate razumjeti značenje riječi "određena funkcija..." Evo ga, ovo značenje:
Ako postoji zakon korespondencije jedan na jedan između x I na- to znači da postoji funkcija. Koji zakon, u kojem obliku je izražen - formula, ploča, grafikon, riječi, pjesme, plesovi - ne mijenja bit stvari. Ovaj zakon vam omogućuje da odredite odgovarajuću vrijednost Y iz vrijednosti X. Svi.
Sada ćemo ovo duboko znanje primijeniti na neke nestandardne zadatke.) Kao što je obećano na početku lekcije.
Vježba 1:
Funkcija y = f(x) dana je u tablici 1:
Stol 1.
Nađi vrijednost funkcije p(4), ako je p(x)= f(x) - g(x)
Ako uopće ne možete razumjeti što je što, pročitajte prethodnu lekciju "Što je funkcija?" Vrlo je jasno napisano o takvim slovima i zagradama.) A ako vas samo tablični oblik zbunjuje, onda ćemo to ovdje riješiti.
Iz prethodne lekcije je jasno da ako, p(x) = f(x) - g(x), To p(4) = f(4) - g(4). pisma f I g znači pravila prema kojima se svakom X dodjeljuje vlastita igra. Za svako slovo ( f I g) - tvoje Pravilo. Što je dato odgovarajućom tablicom.
Vrijednost funkcije f(4) određena iz tablice 1. To će biti 5. Vrijednost funkcije g4) određuje se prema tablici 2. Ovo će biti 8. Ostaje ono najteže.)
p(4) = 5 - 8 = -3
Ovo je točan odgovor.
Riješite nejednadžbu f(x) > 2
To je to! Potrebno je riješiti nejednadžbu, koje (u uobičajenom obliku) sjajno nema! Jedino što preostaje je ili odustati od zadatka ili upotrijebiti svoju glavu. Biramo drugo i razgovaramo.)
Što znači riješiti nejednakost? To znači pronaći sve vrijednosti x pri kojima je zadani uvjet zadovoljen f(x) > 2. Oni. sve vrijednosti funkcije ( na) mora biti veći od dva. A na našem grafikonu imamo svaku igru... I ima više dvojki, a manje... I povucimo, radi jasnoće, granicu duž ove dvije! Pomaknemo kursor preko crteža i vidimo ovu granicu.
Strogo govoreći, ova granica je graf funkcije y=2, ali nije u tome stvar. Važno je da sada grafikon vrlo jasno pokazuje gdje, na koji X, vrijednosti funkcije, tj. y, više od dva. Oni su više x > 3. Na x > 3 cijela naša funkcija prolazi viši granice y=2. To je rješenje. Ali još je rano da ugasiš glavu!) Još moram zapisati odgovor...
Grafikon pokazuje da se naša funkcija ne proteže lijevo i desno u beskonačnost. Točke na krajevima grafikona to pokazuju. Funkcija tu završava. Stoga, u našoj nejednakosti, svi X-ovi koji izlaze izvan granica funkcije nemaju nikakvo značenje. Za funkciju ovih X-ova ne postoji. I mi, zapravo, rješavamo nejednakost za funkciju...
Točan odgovor će biti:
3 < x ≤ 6
Ili, u drugom obliku:
x ∈ (3; 6]
Sada je sve kako treba biti. Tri nije uključeno u odgovor, jer izvorna nejednakost je stroga. I šestica se pali, jer i funkcija na šest postoji, a uvjet nejednakosti je zadovoljen. Uspješno smo riješili nejednadžbu koja (u uobičajenom obliku) ne postoji...
Ovako vas znanje i elementarna logika spašavaju u nestandardnim slučajevima.)
