Definición. borde lateral- este es un triángulo en el que un ángulo se encuentra en la cima de la pirámide y el lado opuesto coincide con el lado de la base (polígono).
Definición. costillas laterales- estos son los lados comunes de las caras laterales. Una pirámide tiene tantas aristas como ángulos de un polígono.
Definición. altura de la pirámide- Esta es una perpendicular que baja desde la cima hasta la base de la pirámide.
Definición. Apotema- Esta es una perpendicular a la cara lateral de la pirámide, bajada desde la parte superior de la pirámide hasta el lado de la base.
Definición. sección diagonal- esta es una sección de una pirámide por un plano que pasa por la cima de la pirámide y la diagonal de la base.
Definición. Pirámide correcta Es una pirámide en la que la base es un polígono regular y la altura desciende hasta el centro de la base.
Volumen y superficie de la pirámide.
Fórmula. Volumen de la pirámide a través del área de la base y la altura:
Propiedades de la pirámide
Si todos los bordes laterales son iguales, entonces se puede dibujar un círculo alrededor de la base de la pirámide y el centro de la base coincide con el centro del círculo. Además, una perpendicular caída desde arriba pasa por el centro de la base (círculo).
Si todos los bordes laterales son iguales, entonces están inclinados con respecto al plano de la base en los mismos ángulos.
Las aristas laterales son iguales cuando forman ángulos iguales con el plano de la base o si se puede describir un círculo alrededor de la base de la pirámide.
Si las caras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo, entonces se puede inscribir un círculo en la base de la pirámide y la cima de la pirámide se proyecta en su centro.
Si las caras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo, entonces las apotemas de las caras laterales son iguales.
Propiedades de una pirámide regular
1. La cima de la pirámide está equidistante de todos los ángulos de la base.
2. Todos los bordes laterales son iguales.
3. Todas las nervaduras laterales están inclinadas en ángulos iguales con respecto a la base.
4. Las apotemas de todas las caras laterales son iguales.
5. Las áreas de todas las caras laterales son iguales.
6. Todas las caras tienen los mismos ángulos diédricos (planos).
7. Se puede describir una esfera alrededor de la pirámide. El centro de la esfera circunscrita será el punto de intersección de las perpendiculares que pasan por el medio de las aristas.
8. Puedes encajar una esfera en una pirámide. El centro de la esfera inscrita será el punto de intersección de las bisectrices que emanan del ángulo entre el borde y la base.
9. Si el centro de la esfera inscrita coincide con el centro de la esfera circunscrita, entonces la suma de los ángulos planos en el vértice es igual a π o viceversa, un ángulo es igual a π/n, donde n es el número de ángulos en la base de la pirámide.
La conexión entre la pirámide y la esfera.
Se puede describir una esfera alrededor de una pirámide cuando en la base de la pirámide hay un poliedro alrededor del cual se puede describir un círculo (condición necesaria y suficiente). El centro de la esfera será el punto de intersección de los planos que pasan perpendicularmente por los puntos medios de los bordes laterales de la pirámide.
Siempre es posible describir una esfera alrededor de cualquier pirámide triangular o regular.
Una esfera puede inscribirse en una pirámide si los planos bisectores de los ángulos diédricos internos de la pirámide se cruzan en un punto (condición necesaria y suficiente). Este punto será el centro de la esfera.
Conexión de una pirámide con un cono.
Se dice que un cono está inscrito en una pirámide si sus vértices coinciden y la base del cono está inscrita en la base de la pirámide.
Un cono puede estar inscrito en una pirámide si las apotemas de la pirámide son iguales entre sí.
Se dice que un cono está circunscrito a una pirámide si sus vértices coinciden y la base del cono está circunscrita a la base de la pirámide.
Se puede describir un cono alrededor de una pirámide si todos los bordes laterales de la pirámide son iguales entre sí.
Relación entre una pirámide y un cilindro.
Una pirámide se dice inscrita en un cilindro si la cima de la pirámide se encuentra en una base del cilindro y la base de la pirámide está inscrita en otra base del cilindro.
Se puede describir un cilindro alrededor de una pirámide si se puede describir un círculo alrededor de la base de la pirámide.
Un tetraedro tiene cuatro caras, cuatro vértices y seis aristas, donde dos aristas cualesquiera no tienen vértices comunes pero no se tocan.
Cada vértice consta de tres caras y aristas que forman ángulo triangular.
El segmento que une el vértice de un tetraedro con el centro de la cara opuesta se llama mediana del tetraedro(GM).
bimediana llamado segmento que conecta los puntos medios de bordes opuestos que no se tocan (KL).
Todas las bimedianas y medianas de un tetraedro se cruzan en un punto (S). En este caso, las bimedianas se dividen por la mitad y las medianas se dividen en una proporción de 3:1 comenzando desde arriba.
Definición. Pirámide de ángulo agudo- una pirámide en la que la apotema mide más de la mitad de la longitud del lado de la base.
Definición. pirámide obtusa- una pirámide en la que la apotema mide menos de la mitad de la longitud del lado de la base.
Definición. tetraedro regular- un tetraedro en el que las cuatro caras son triángulos equiláteros. Es uno de los cinco polígonos regulares. En un tetraedro regular, todos los ángulos diédricos (entre caras) y triédricos (en el vértice) son iguales.
Definición. tetraedro rectangular Se llama tetraedro en el que hay un ángulo recto entre tres aristas en el vértice (las aristas son perpendiculares). Se forman tres caras ángulo triangular rectangular y las caras son triángulos rectángulos y la base es un triángulo arbitrario. La apotema de cualquier cara es igual a la mitad del lado de la base sobre el que cae la apotema.
Definición. tetraedro isoédrico Se llama tetraedro cuyas caras laterales son iguales entre sí y la base es un triángulo regular. Tal tetraedro tiene caras que son triángulos isósceles.
Definición. tetraedro ortocéntrico Se llama tetraedro en el que todas las alturas (perpendiculares) que descienden desde la cima hasta la cara opuesta se cruzan en un punto.
Definición. pirámide estelar llamado poliedro cuya base es una estrella.
Pirámide Es una figura multifacética, cuya base es un polígono, y el resto de caras están representadas por triángulos con un vértice común.
Si la base es un cuadrado, entonces la pirámide se llama cuadrangular, si es un triángulo – entonces triangular. La altura de la pirámide se dibuja desde su cima perpendicular a la base. También se utiliza para calcular el área. apotema– la altura de la cara lateral, bajada desde su parte superior.
La fórmula del área de la superficie lateral de una pirámide es la suma de las áreas de sus caras laterales, que son iguales entre sí. Sin embargo, este método de cálculo se utiliza muy raramente. Básicamente, el área de la pirámide se calcula a través del perímetro de la base y la apotema:
Consideremos un ejemplo de cálculo del área de la superficie lateral de una pirámide.
Sea una pirámide con base ABCDE y vértice F. AB=BC=CD=DE=EA=3 cm Apotema a = 5 cm Calcula el área de la superficie lateral de la pirámide.
Encontremos el perímetro. Como todas las aristas de la base son iguales, el perímetro del pentágono será igual a:
Ahora puedes encontrar el área lateral de la pirámide: 
Área de una pirámide triangular regular
Una pirámide triangular regular consta de una base en la que se encuentra un triángulo regular y tres caras laterales de igual área.
La fórmula para el área de la superficie lateral de una pirámide triangular regular se puede calcular de diferentes formas. Puedes aplicar la fórmula de cálculo habitual usando el perímetro y la apotema, o puedes encontrar el área de una cara y multiplicarla por tres. Como la cara de una pirámide es un triángulo, aplicamos la fórmula del área de un triángulo. Necesitará una apotema y la longitud de la base. Consideremos un ejemplo de cálculo del área de la superficie lateral de una pirámide triangular regular.
Dada una pirámide con apotema a = 4 cm y cara base b = 2 cm, encuentra el área de la superficie lateral de la pirámide.
Primero, encuentra el área de una de las caras laterales. En este caso será:
Sustituye los valores en la fórmula: 
Como en una pirámide regular todos los lados son iguales, el área de la superficie lateral de la pirámide será igual a la suma de las áreas de las tres caras. Respectivamente: 
Área de una pirámide truncada
Truncado Una pirámide es un poliedro que está formado por una pirámide y su sección transversal paralela a la base.
La fórmula para calcular el área de la superficie lateral de una pirámide truncada es muy sencilla. El área es igual al producto de la mitad de la suma de los perímetros de las bases y la apotema: 
Consideremos un ejemplo de cálculo del área de la superficie lateral de una pirámide truncada.
Dada una pirámide cuadrangular regular. Las longitudes de la base son b = 5 cm, c = 3 cm Apotema a = 4 cm Calcula el área de la superficie lateral de la figura.
Primero, encontremos el perímetro de las bases. En una base mayor será igual a: 
En una base más pequeña: 
Calculemos el área:
Pirámide triangular es un poliedro cuya base es un triángulo regular.
En tal pirámide, los bordes de la base y los bordes de los lados son iguales entre sí. En consecuencia, el área de las caras laterales se calcula a partir de la suma de las áreas de tres triángulos idénticos. Puedes encontrar el área de la superficie lateral de una pirámide regular usando la fórmula. Y podrás hacer el cálculo varias veces más rápido. Para hacer esto, aplique la fórmula para el área de la superficie lateral de una pirámide triangular:
donde p es el perímetro de la base, cuyos lados son iguales a b, a es la apotema bajada desde arriba hasta esta base. Consideremos un ejemplo de cálculo del área de una pirámide triangular.
Problema: Sea dada una pirámide regular. El lado del triángulo en la base es b = 4 cm La apotema de la pirámide es a = 7 cm Calcula el área de la superficie lateral de la pirámide.
Como según las condiciones del problema conocemos las longitudes de todos los elementos necesarios, encontraremos el perímetro. Recordamos que en un triángulo regular todos los lados son iguales y, por tanto, el perímetro se calcula mediante la fórmula:
Sustituyamos los datos y encontremos el valor:
Ahora, conociendo el perímetro, podemos calcular la superficie lateral: 
Para aplicar la fórmula del área de una pirámide triangular para calcular el valor completo, debes encontrar el área de la base del poliedro. Para hacer esto, use la fórmula: 
La fórmula para el área de la base de una pirámide triangular puede ser diferente. Es posible utilizar cualquier cálculo de parámetros para una figura determinada, pero la mayoría de las veces esto no es necesario. Consideremos un ejemplo de cálculo del área de la base de una pirámide triangular.
Problema: En una pirámide regular el lado del triángulo en la base es a = 6 cm Calcula el área de la base.
Para calcular, solo necesitamos la longitud del lado del triángulo regular ubicado en la base de la pirámide. Sustituyamos los datos en la fórmula: 
Muy a menudo es necesario encontrar el área total de un poliedro. Para hacer esto, deberá sumar el área de la superficie lateral y la base. 
Consideremos un ejemplo de cálculo del área de una pirámide triangular.
Problema: Sea dada una pirámide triangular regular. El lado de la base es b = 4 cm, la apotema es a = 6 cm Calcula el área total de la pirámide.
Primero, encontremos el área de la superficie lateral usando la fórmula ya conocida. Calculemos el perímetro:
Sustituye los datos en la fórmula: 
Ahora encontremos el área de la base: 
Conociendo el área de la base y superficie lateral, encontramos el área total de la pirámide: 
Al calcular el área de una pirámide regular, no debes olvidar que la base es un triángulo regular y muchos elementos de este poliedro son iguales entre sí.
Área de superficie de la pirámide. En este artículo veremos los problemas con las pirámides regulares. Permítanme recordarles que una pirámide regular es una pirámide cuya base es un polígono regular, la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro de este polígono.
La cara lateral de dicha pirámide es un triángulo isósceles.La altura de este triángulo dibujado desde el vértice de una pirámide regular se llama apotema, SF - apotema:
En el tipo de problema que se presenta a continuación, necesitas encontrar el área de la superficie de toda la pirámide o el área de su superficie lateral. El blog ya ha discutido varios problemas con pirámides regulares, donde la pregunta era cómo encontrar los elementos (altura, borde de la base, borde lateral).
Las tareas del Examen Estatal Unificado generalmente examinan pirámides regulares triangulares, cuadrangulares y hexagonales. No he visto ningún problema con las pirámides pentagonales y heptagonales regulares.
La fórmula para el área de toda la superficie es simple: debes encontrar la suma del área de la base de la pirámide y el área de su superficie lateral:
Consideremos las tareas:
Los lados de la base de una pirámide cuadrangular regular son 72, los bordes laterales son 164. Encuentra el área de superficie de esta pirámide.
El área superficial de la pirámide es igual a la suma de las áreas de la superficie lateral y la base:
*La superficie lateral consta de cuatro triángulos de igual área. La base de la pirámide es un cuadrado.
Podemos calcular el área del lado de la pirámide usando:
Así, el área de superficie de la pirámide es:
Respuesta: 28224
Los lados de la base de una pirámide hexagonal regular son iguales a 22, los bordes laterales son iguales a 61. Encuentra el área de la superficie lateral de esta pirámide.
La base de una pirámide hexagonal regular es un hexágono regular.
El área de la superficie lateral de esta pirámide consta de seis áreas de triángulos iguales de lados 61,61 y 22:
Encontremos el área del triángulo usando la fórmula de Heron:
Por tanto, el área de la superficie lateral es:
Respuesta: 3240
*En los problemas presentados anteriormente, el área de la cara lateral se podría encontrar usando otra fórmula de triángulo, pero para ello es necesario calcular la apotema.
27155. Calcula el área de superficie de una pirámide cuadrangular regular cuyos lados de base son 6 y cuya altura es 4.
Para encontrar el área de la superficie de la pirámide, necesitamos saber el área de la base y el área de la superficie lateral:
El área de la base es 36 ya que es un cuadrado de lado 6.
La superficie lateral consta de cuatro caras, que son triángulos iguales. Para encontrar el área de dicho triángulo, necesitas saber su base y altura (apotema):
*El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la base por la altura trazada a esta base.
La base es conocida, es igual a seis. Encontremos la altura. Considere un triángulo rectángulo (resaltado en amarillo):
Un cateto es igual a 4, ya que esta es la altura de la pirámide, el otro es igual a 3, ya que es igual a la mitad del borde de la base. Podemos encontrar la hipotenusa usando el teorema de Pitágoras:
Esto significa que el área de la superficie lateral de la pirámide es:
Así, la superficie de toda la pirámide es:
Respuesta: 96
27069. Los lados de la base de una pirámide cuadrangular regular son iguales a 10, los bordes laterales son iguales a 13. Encuentra el área de la superficie de esta pirámide.
27070. Los lados de la base de una pirámide hexagonal regular son iguales a 10, los bordes laterales son iguales a 13. Encuentra el área de la superficie lateral de esta pirámide.
También existen fórmulas para el área de la superficie lateral de una pirámide regular. En una pirámide regular, la base es una proyección ortogonal de la superficie lateral, por tanto:
PAG- perímetro de la base, yo- apotema de la pirámide
*Esta fórmula se basa en la fórmula del área de un triángulo.
Si quieres conocer más sobre cómo se derivan estas fórmulas, no te lo pierdas, sigue la publicación de artículos.Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!
Atentamente, Alexander Krutitskikh.
P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.
