Le të jepen dy pikë M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2, y 2). Ekuacionin e drejtëzës e shkruajmë në formën (5), ku k Koeficienti ende i panjohur:
Që nga pika M 2 i përket një linje të caktuar, atëherë koordinatat e saj plotësojnë ekuacionin (5): 
. Duke u shprehur nga këtu dhe duke e zëvendësuar me ekuacionin (5), marrim ekuacionin e dëshiruar:
Nese nje 
Ky ekuacion mund të rishkruhet në një formë që është më e lehtë për t'u mbajtur mend:
(6)
Shembull. Shkruani ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër pikat M 1 (1.2) dhe M 2 (-2.3)
Vendimi. 
. Duke përdorur vetinë e proporcionit dhe duke kryer transformimet e nevojshme, marrim ekuacionin e përgjithshëm të një vije të drejtë:
Këndi midis dy vijave
Konsideroni dy rreshta l 1 dhe l 2:
l 1: , , dhe
l 2: , ,
φ është këndi ndërmjet tyre (). Figura 4 tregon: .
 |
Nga këtu 
, ose
Duke përdorur formulën (7), mund të përcaktohet një nga këndet midis vijave. Këndi i dytë është.
Shembull. Dy drejtëza jepen me barazimet y=2x+3 dhe y=-3x+2. gjeni këndin midis këtyre vijave.
Vendimi. Mund të shihet nga ekuacionet që k 1 \u003d 2, dhe k 2 \u003d-3. duke i zëvendësuar këto vlera në formulën (7), gjejmë
. Pra, këndi ndërmjet këtyre vijave është .
Kushtet për paralelizmin dhe pingulitetin e dy drejtëzave
Nëse drejt l 1 dhe l 2 janë paralele pra φ=0 dhe tgφ=0. nga formula (7) rrjedh se , prej nga k 2 \u003d k 1. Pra, kushti për paralelizmin e dy drejtëzave është barazia e pjerrësisë së tyre.
Nëse drejt l 1 dhe l 2 pingul, atëherë φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . 
. Pra, kushti që dy drejtëza të jenë pingule është që pjerrësia e tyre të jetë reciproke në madhësi dhe të kundërta në shenjë.
Largësia nga pika në vijë
Teorema. Nëse është dhënë një pikë M(x 0, y 0), atëherë distanca në vijën Ax + Vy + C \u003d 0 përcaktohet si
Dëshmi. Le të jetë pika M 1 (x 1, y 1) baza e pingulit të rënë nga pika M në drejtëzën e dhënë. Atëherë distanca midis pikave M dhe M 1:
Koordinatat x 1 dhe y 1 mund të gjenden si zgjidhje për sistemin e ekuacioneve:
Ekuacioni i dytë i sistemit është ekuacioni i një drejtëze që kalon pikë e dhënë M 0 është pingul me një drejtëz të caktuar.
Nëse e transformojmë ekuacionin e parë të sistemit në formën:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Nga 0 + C = 0,
atëherë, duke zgjidhur, marrim:
Duke i zëvendësuar këto shprehje në ekuacionin (1), gjejmë:
Teorema është vërtetuar.
Shembull. Përcaktoni këndin ndërmjet drejtëzave: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k 1 \u003d -3; k 2 = 2tgj= ; j = p/4.
Shembull. Tregoni se drejtëzat 3x - 5y + 7 = 0 dhe 10x + 6y - 3 = 0 janë pingul.
Gjejmë: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, prandaj, linjat janë pingule.
Shembull. Janë dhënë kulmet e trekëndëshit A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Gjeni ekuacionin për lartësinë e nxjerrë nga kulmi C.
Gjejmë ekuacionin e brinjës AB: ; 4x = 6y - 6;
2x - 3y + 3 = 0;
Ekuacioni i lartësisë së dëshiruar është: Ax + By + C = 0 ose y = kx + b.
k= . Atëherë y = . Sepse lartësia kalon nëpër pikën C, atëherë koordinatat e saj plotësojnë këtë ekuacion: prej nga b \u003d 17. Gjithsej: .
Përgjigje: 3x + 2y - 34 = 0.
Distanca nga një pikë në një vijë përcaktohet nga gjatësia e pingulit të rënë nga pika në vijë.
Nëse drejtëza është paralele me rrafshin e projeksionit (h | | P 1), pastaj me qëllim që të përcaktohet largësia nga pika POR drejt drejt hështë e nevojshme të bjerë një pingul nga pika POR në horizontale h.
Konsideroni më shumë shembull kompleks kur linja zë pozicioni i përgjithshëm. Le të jetë e nevojshme të përcaktohet distanca nga pika M drejt drejt a pozicioni i përgjithshëm.
Detyrë përkufizimi distanca ndërmjet vijave paralele zgjidhur në mënyrë të ngjashme me atë të mëparshme. Një pikë merret në një vijë, dhe një pingul tërhiqet nga ajo në një vijë tjetër. Gjatësia e pingulës është e barabartë me distancën ndërmjet vijave paralele.
Kurba e rendit të dytëështë një vijë e përcaktuar nga një ekuacion i shkallës së dytë në lidhje me koordinatat aktuale karteziane. Në rastin e përgjithshëm, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,
ku A, B, C, D, E, F janë numra realë dhe të paktën një nga numrat A 2 + B 2 + C 2 ≠0.
Rretho
Qendra e rrethit- ky është vendndodhja e pikave në rrafshin në distancë të barabartë nga pika e rrafshit C (a, b).
Rrethi jepet nga ekuacioni i mëposhtëm:
Ku x, y janë koordinatat e një pike arbitrare në rreth, R është rrezja e rrethit.
Shenja e ekuacionit të rrethit
1. Nuk ka term me x, y
2. Koeficientët në x 2 dhe y 2 janë të barabartë
Elipsa
Elipsa quhet vendndodhja e pikave në një rrafsh, shuma e largësive të secilës prej të cilave nga dy pika të dhëna të këtij rrafshi quhet vatra (vlerë konstante).
Ekuacioni kanonik i një elipsi:
X dhe y i përkasin një elipsi.
a është gjysmëboshti kryesor i elipsës
b është gjysmëboshti i vogël i elipsës
Elipsa ka 2 boshte simetrie OX dhe OY. Boshtet e simetrisë së elipsës janë boshtet e saj, pika e kryqëzimit të tyre është qendra e elipsës. Boshti në të cilin ndodhen vatra quhet boshti fokal. Pika e prerjes së elipsës me boshtet është kulmi i elipsës.
Raporti i ngjeshjes (shtrirjes): ε = c/a- ekscentriciteti (karakterizon formën e elipsës), sa më e vogël të jetë, aq më pak elipsa zgjatet përgjatë boshtit fokal.
Nëse qendrat e elipsës nuk janë në qendër С(α, β)
Hiperbola
Hiperbola quhet vendndodhja e pikave në një rrafsh, vlera absolute e diferencës së distancave, secila prej të cilave nga dy pika të dhëna të këtij plani, të quajtura vatra, është një vlerë konstante e ndryshme nga zero.
Ekuacioni kanonik i një hiperbole
Një hiperbolë ka 2 boshte simetrie:
a - gjysmë boshti real i simetrisë
b - gjysmë boshti imagjinar i simetrisë
Asimptotat e një hiperbole:
Parabola
parabolëështë vendndodhja e pikave në një rrafsh të barabartë nga një pikë e caktuar F, e quajtur fokus, dhe një vijë e caktuar, e quajtur direktrix.
Ekuacioni kanonik i parabolës:
Y 2 \u003d 2px, ku p është distanca nga fokusi në drejtim (parametri i parabolës)
Nëse kulmi i parabolës është C (α, β), atëherë ekuacioni i parabolës (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)
Nëse boshti fokal merret si bosht y, atëherë ekuacioni i parabolës do të marrë formën: x 2 \u003d 2qy
Ky artikull zbulon derivimin e ekuacionit të një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna në një sistem koordinativ drejtkëndor të vendosur në një plan. Ne nxjerrim ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna në një sistem koordinativ drejtkëndor. Ne do të tregojmë dhe zgjidhim vizualisht disa shembuj që lidhen me materialin e trajtuar.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Para se të merret ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna, është e nevojshme t'i kushtohet vëmendje disa fakteve. Ekziston një aksiomë që thotë se përmes dy pikave jo të rastësishme në një plan është e mundur të vizatoni një vijë të drejtë dhe vetëm një. Me fjalë të tjera, dy pika të dhëna të aeroplanit përcaktohen nga një vijë e drejtë që kalon nëpër këto pika.
Nëse rrafshi jepet nga sistemi koordinativ drejtkëndor Oxy, atëherë çdo vijë e drejtë e përshkruar në të do të korrespondojë me ekuacionin e vijës së drejtë në aeroplan. Ekziston edhe një lidhje me vektorin drejtues të drejtëzës.Këto të dhëna mjaftojnë për të nxjerrë ekuacionin e drejtëzës që kalon në dy pika të dhëna.
Konsideroni një shembull të zgjidhjes së një problemi të ngjashëm. Është e nevojshme të përpilohet ekuacioni i një drejtëze a që kalon nëpër dy pika të papërputhshme M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2, y 2) të vendosura në sistemin e koordinatave karteziane.
Në ekuacionin kanonik të një vije të drejtë në një plan, që ka formën x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y, një sistem koordinativ drejtkëndor O x y specifikohet me një vijë të drejtë që kryqëzohet me të në një pikë me koordinatat M 1 (x 1, y 1) me një vektor udhëzues a → = (a x , a y) .
Është e nevojshme të përpilohet ekuacioni kanonik i drejtëzës a, e cila do të kalojë nëpër dy pika me koordinata M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2, y 2) .
Drejtëza a ka një vektor drejtues M 1 M 2 → me koordinata (x 2 - x 1, y 2 - y 1), pasi pret pikat M 1 dhe M 2. Ne kemi marrë të dhënat e nevojshme për të transformuar ekuacionin kanonik me koordinatat e vektorit të drejtimit M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) dhe koordinatat e pikave M 1 që shtrihen mbi to. (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2 , y 2) . Marrim një ekuacion të formës x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ose x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .
Konsideroni figurën më poshtë.
Në vijim të llogaritjeve, shkruajmë ekuacionet parametrike të drejtëzës në një rrafsh që kalon në dy pika me koordinata M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2, y 2) . Marrim një ekuacion të formës x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ ose x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.
Le të hedhim një vështrim më të afërt në disa shembuj.
Shembulli 1
Shkruani ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër 2 pika të dhëna me koordinata M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .
Vendimi
Ekuacioni kanonik për një drejtëz që ndërpritet në dy pika me koordinatat x 1 , y 1 dhe x 2 , y 2 merr formën x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Sipas kushtit të problemit, kemi që x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Është e nevojshme të zëvendësohen vlerat numerike në ekuacionin x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Nga këtu marrim se ekuacioni kanonik do të marrë formën x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .
Përgjigje: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .
Nëse është e nevojshme të zgjidhni një problem me një lloj tjetër ekuacioni, atëherë për fillim mund të shkoni në atë kanonik, pasi është më e lehtë të vini te ndonjë tjetër prej tij.
Shembulli 2
Hartoni ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze që kalon nëpër pika me koordinatat M 1 (1, 1) dhe M 2 (4, 2) në sistemin e koordinatave O x y.
Vendimi
Së pari ju duhet të shkruani ekuacionin kanonik të një linje të caktuar që kalon nëpër dy pikat e dhëna. Marrim një ekuacion të formës x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .
Ne e sjellim ekuacionin kanonik në formën e dëshiruar, atëherë marrim:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Përgjigje: x - 3 y + 2 = 0 .
Shembuj të detyrave të tilla u konsideruan në tekstet shkollore në mësimet e algjebrës. Detyrat e shkollës ndryshonin në atë që njihej ekuacioni i një vije të drejtë me një koeficient të pjerrësisë, që kishte formën y \u003d k x + b. Nëse keni nevojë të gjeni vlerën e pjerrësisë k dhe numrin b, në të cilin ekuacioni y \u003d k x + b përcakton një vijë në sistemin O x y që kalon nëpër pikat M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2, y 2) , ku x 1 ≠ x 2 . Kur x 1 = x 2 , atëherë pjerrësia merr vlerën e pafundësisë dhe drejtëza M 1 M 2 përcaktohet nga një ekuacion i përgjithshëm jo i plotë i formës x - x 1 = 0 .
Sepse pikat M 1 dhe M 2 janë në vijë të drejtë, atëherë koordinatat e tyre plotësojnë ekuacionin y 1 = k x 1 + b dhe y 2 = k x 2 + b. Është e nevojshme të zgjidhet sistemi i ekuacioneve y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b në lidhje me k dhe b.
Për ta bërë këtë, gjejmë k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ose k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
Me vlera të tilla të k dhe b, merr ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pikat e dhëna pamje tjetër y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ose y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
Memorizimi i një numri kaq të madh formulash menjëherë nuk do të funksionojë. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të rritet numri i përsëritjeve në zgjidhjen e problemeve.
Shembulli 3
Shkruani ekuacionin e drejtëzës me pjerrësi që kalon nëpër pika me koordinata M 2 (2, 1) dhe y = k x + b.
Vendimi
Për të zgjidhur problemin, ne përdorim një formulë me një pjerrësi që ka formën y \u003d k x + b. Koeficientët k dhe b duhet të marrin një vlerë të tillë që ky ekuacion t'i përgjigjet një drejtëze që kalon nëpër dy pika me koordinata M 1 (- 7 , - 5) dhe M 2 (2 , 1) .
pikë M 1 dhe M 2 të vendosura në një vijë të drejtë, atëherë koordinatat e tyre duhet të përmbysin ekuacionin y = k x + b barazinë e saktë. Nga këtu marrim se - 5 = k · (- 7) + b dhe 1 = k · 2 + b. Le ta bashkojmë ekuacionin në sistemin - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b dhe ta zgjidhim.
Pas zëvendësimit, ne e marrim atë
5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Tani vlerat k = 2 3 dhe b = - 1 3 zëvendësohen në ekuacionin y = k x + b. Marrim se ekuacioni i dëshiruar që kalon nëpër pikat e dhëna do të jetë një ekuacion që ka formën y = 2 3 x - 1 3 .
Kjo mënyrë e zgjidhjes paracakton shpenzimet një numër i madh koha. Ekziston një mënyrë në të cilën detyra zgjidhet fjalë për fjalë në dy hapa.
Ne shkruajmë ekuacionin kanonik të një drejtëze që kalon nëpër M 2 (2, 1) dhe M 1 (- 7, - 5) , që ka formën x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Tani le të kalojmë te ekuacioni i pjerrësisë. Marrim se: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .
Përgjigje: y = 2 3 x - 1 3 .
Nëse në hapësirën tredimensionale ekziston një sistem koordinativ drejtkëndor O x y z me dy pika të dhëna jo të rastësishme me koordinatat M 1 (x 1, y 1, z 1) dhe M 2 (x 2, y 2, z 2), drejtëza M duke kaluar nëpër to 1 M 2 , është e nevojshme të merret ekuacioni i kësaj drejtëze.
Kemi që ekuacionet kanonike të formës x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z dhe ekuacionet parametrike x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ janë në gjendje të vendosë një vijë në sistemin e koordinatave O x y z që kalon nëpër pika që kanë koordinata (x 1, y 1, z 1) me një vektor drejtues a → = (a x, a y, a z) .
Drejt M 1 M 2 ka një vektor drejtimi të formës M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , ku drejtëza kalon nëpër pikën M 1 (x 1 , y 1 , z 1) dhe M 2 (x 2, y 2, z 2), prandaj ekuacioni kanonik mund të jetë i formës x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ose x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, nga ana tjetër, parametrike x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ose x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.
Konsideroni një figurë që tregon 2 pika të dhëna në hapësirë dhe ekuacionin e një drejtëze.
Shembulli 4
Shkruani ekuacionin e një drejtëze të përcaktuar në një sistem koordinativ drejtkëndor O x y z të hapësirës tredimensionale, duke kaluar nëpër dy pikat e dhëna me koordinatat M 1 (2, - 3, 0) dhe M 2 (1, - 3, - 5). ) .
Vendimi
Duhet të gjejmë ekuacionin kanonik. Meqenëse po flasim për hapësirën tredimensionale, do të thotë që kur një vijë e drejtë kalon nëpër pika të dhëna, ekuacioni kanonik i dëshiruar do të marrë formën x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .
Me kusht, kemi që x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Nga kjo rrjedh se ekuacionet e nevojshme mund të shkruhen si më poshtë:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Përgjigje: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Le të jepen dy pikë M(X 1 ,Në 1) dhe N(X 2,y 2). Le të gjejmë ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër këto pika.
Meqenëse kjo linjë kalon nëpër pikën M, atëherë sipas formulës (1.13) ekuacioni i tij ka formën
Në – Y 1 = K(X-x 1),
Ku Kështë pjerrësia e panjohur.
Vlera e këtij koeficienti përcaktohet nga kushti që drejtëza e dëshiruar të kalojë nëpër pikë N, që do të thotë se koordinatat e tij plotësojnë ekuacionin (1.13)
Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),
Nga këtu mund të gjeni pjerrësinë e kësaj linje:
,
Ose pas konvertimit
(1.14)
Formula (1.14) përcakton Ekuacioni i drejtëzës që kalon nga dy pika M(X 1, Y 1) dhe N(X 2, Y 2).
Në rastin e veçantë kur pikat M(A, 0), N(0, B), POR ¹ 0, B¹ 0, shtrihuni në boshtet e koordinatave, ekuacioni (1.14) merr një formë më të thjeshtë
Ekuacioni (1.15) thirrur Ekuacioni i një drejtëze në segmente, ketu POR dhe B tregojnë segmente të prera nga një vijë e drejtë në akset (Figura 1.6).
Figura 1.6
Shembulli 1.10. Shkruani ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pika M(1, 2) dhe B(3, –1).
. Sipas (1.14), ekuacioni i drejtëzës së dëshiruar ka formën
2(Y – 2) = -3(X – 1).
Duke transferuar të gjithë termat në anën e majtë, më në fund marrim ekuacionin e dëshiruar
3X + 2Y – 7 = 0.
Shembulli 1.11. Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon nëpër një pikë M(2, 1) dhe pika e prerjes së vijave X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.
. Koordinatat e pikës së prerjes së drejtëzave i gjejmë duke i zgjidhur së bashku këto ekuacione
Nëse i mbledhim këto ekuacione term pas termi, marrim 2 X+ 1 = 0, prej nga . Duke zëvendësuar vlerën e gjetur në çdo ekuacion, gjejmë vlerën e ordinatës Në:
Tani le të shkruajmë ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër pikat (2, 1) dhe :
ose .
Prandaj ose -5 ( Y – 1) = X – 2.
Së fundi, marrim ekuacionin e drejtëzës së dëshiruar në formë X + 5Y – 7 = 0.
Shembulli 1.12. Gjeni ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër pika M(2.1) dhe N(2,3).
Duke përdorur formulën (1.14), marrim ekuacionin
Nuk ka kuptim sepse emëruesi i dytë është zero. Nga kushti i problemit shihet se abshisat e të dy pikave kanë të njëjtën vlerë. Prandaj, vija e kërkuar është paralele me boshtin OY dhe ekuacioni i tij është: x = 2.
Komentoni . Nëse, kur shkruani ekuacionin e një vije të drejtë sipas formulës (1.14), njëri nga emëruesit rezulton të jetë i barabartë me zero, atëherë ekuacioni i dëshiruar mund të merret duke barazuar numëruesin përkatës me zero.
Le të shqyrtojmë mënyra të tjera për të vendosur një vijë të drejtë në një aeroplan.
1. Le të jetë një vektor jozero pingul me një drejtëz të caktuar L, dhe pika M 0(X 0, Y 0) shtrihet në këtë linjë (Figura 1.7).
Figura 1.7
Shënoni M(X, Y) një pikë arbitrare në vijë L. Vektorët dhe 
Ortogonale. Duke përdorur kushtet e ortogonalitetit për këta vektorë, marrim ose POR(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.
Ne kemi marrë ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër një pikë M 0 është pingul me vektorin . Ky vektor quhet Vektor normal në një vijë të drejtë L. Ekuacioni që rezulton mund të rishkruhet si
Oh + Wu + Me= 0, ku Me = –(PORX 0 + Nga 0), (1.16),
Ku POR dhe AT janë koordinatat e vektorit normal.
Ne marrim ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze në një formë parametrike.
2. Një drejtëz në një rrafsh mund të përcaktohet si më poshtë: le të jetë një vektor jozero paralel me një drejtëz të caktuar L dhe pika M 0(X 0, Y 0) shtrihet në këtë linjë. Përsëri, merrni një pikë arbitrare M(X, y) në një vijë të drejtë (Figura 1.8).
Figura 1.8
Vektorët dhe 
kolineare.
Le të shkruajmë kushtin e kolinearitetit të këtyre vektorëve: , ku Tështë një numër arbitrar, i quajtur parametër. Le ta shkruajmë këtë barazi në koordinata:
Këto ekuacione quhen Ekuacionet parametrike Drejt. Le të përjashtojmë nga këto ekuacione parametrin T:
Këto ekuacione mund të shkruhen në formë
. (1.18)
Ekuacioni që rezulton quhet Ekuacioni kanonik i një drejtëze. Thirrje vektoriale Vektori i drejtimit drejt .
Komentoni . Është e lehtë të shihet se nëse është vektori normal në vijë L, atëherë vektori i drejtimit të tij mund të jetë vektori , pasi , d.m.th.
Shembulli 1.13. Shkruani ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër një pikë M 0 (1, 1) paralel me rreshtin 3 X + 2Në– 8 = 0.
Vendimi . Vektori është vektori normal për linjat e dhëna dhe të dëshiruara. Le të përdorim ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër një pikë M 0 me një vektor normal të dhënë 3( X –1) + 2(Në– 1) = 0 ose 3 X + 2 vjet- 5 \u003d 0. Ne morëm ekuacionin e drejtëzës së dëshiruar.
Vetitë e vijës së drejtë në gjeometrinë Euklidiane.
Ka pafundësisht shumë linja që mund të vizatohen në çdo pikë.
Përmes çdo dy pikash që nuk përputhen, ka vetëm një vijë të drejtë.
Dy drejtëza jo të përputhshme në rrafsh ose kryqëzohen në një pikë të vetme, ose janë
paralele (rrjedh nga ajo e mëparshmja).
AT hapësirë tredimensionale Ekzistojnë tre opsione për pozicionin relativ të dy rreshtave:
- linjat kryqëzohen;
- vijat e drejta janë paralele;
- vijat e drejta kryqëzohen.
Drejt linjë- kurba algjebrike e rendit të parë: në sistemin koordinativ kartezian, një vijë e drejtë
jepet në rrafsh me një ekuacion të shkallës së parë (ekuacion linear).
Ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze.
Përkufizimi. Çdo vijë në aeroplan mund të jepet nga një ekuacion i rendit të parë
Ah + Wu + C = 0,
dhe konstante A, B jo e barabartë me zero në të njëjtën kohë. Ky ekuacion i rendit të parë quhet të përgjithshme
ekuacioni drejtvizor. Në varësi të vlerave të konstanteve A, B dhe Me Rastet e mëposhtme të veçanta janë të mundshme:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- vija kalon nga origjina
. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Nga + C = 0)- vijë e drejtë paralele me boshtin Oh
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- vijë e drejtë paralele me boshtin OU
. B = C = 0, A ≠ 0- vija përkon me boshtin OU
. A = C = 0, B ≠ 0- vija përkon me boshtin Oh
Ekuacioni i një drejtëze mund të paraqitet në forma të ndryshme në varësi të çdo të dhënë
kushtet fillestare.
Ekuacioni i një drejtëze me një pikë dhe një vektor normal.
Përkufizimi. Në një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian, një vektor me komponentë (A, B)
pingul me drejtëzën e dhënë nga ekuacioni
Ah + Wu + C = 0.
Shembull. Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër një pikë A(1, 2) pingul me vektorin (3, -1).
Vendimi. Le të kompozojmë në A \u003d 3 dhe B \u003d -1 ekuacionin e vijës së drejtë: 3x - y + C \u003d 0. Për të gjetur koeficientin C
ne i zevendesojme koordinatat e pikes se dhene A ne shprehjen qe rezulton Marrim: 3 - 2 + C = 0, pra
C = -1. Totali: ekuacioni i dëshiruar: 3x - y - 1 \u003d 0.
Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika.
Le të jepen dy pikë në hapësirë M 1 (x 1 , y 1 , z 1) dhe M2 (x 2, y 2 , z 2), pastaj ekuacioni drejtvizor,
duke kaluar nëpër këto pika:
Nëse ndonjë prej emërtuesve është i barabartë me zero, numëruesi përkatës duhet të vendoset i barabartë me zero. Në
plani, ekuacioni i një drejtëze të shkruar më sipër është thjeshtuar:
nëse x 1 ≠ x 2 dhe x = x 1, nëse x 1 = x 2 .
Fraksioni = k thirrur faktori i pjerrësisë drejt.
Shembull. Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pikat A(1, 2) dhe B(3, 4).
Vendimi. Duke zbatuar formulën e mësipërme, marrim:
Ekuacioni i një drejtëze me një pikë dhe një pjerrësi.
Nëse ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze Ah + Wu + C = 0 sillni në formën:
dhe caktoni 
, atëherë thirret ekuacioni që rezulton
ekuacioni i drejtëzës me pjerrësi k.
Ekuacioni i një drejtëze në një pikë dhe një vektor drejtues.
Për analogji me pikën duke marrë parasysh ekuacionin e një vije të drejtë përmes vektorit normal, mund të futni detyrën
një vijë e drejtë përmes një pike dhe një vektor i drejtimit të një vije të drejtë.
Përkufizimi. Çdo vektor jozero (α 1 , α 2), komponentët e të cilit plotësojnë kushtin
Aα 1 + Bα 2 = 0 thirrur vektori i drejtimit të drejtëzës.
Ah + Wu + C = 0.
Shembull. Gjeni ekuacionin e një drejtëze me vektor drejtimi (1, -1) dhe që kalon nga pika A(1, 2).
Vendimi. Ne do të kërkojmë ekuacionin e drejtëzës së dëshiruar në formën: Ax + By + C = 0. Sipas përcaktimit,
koeficientët duhet të plotësojnë kushtet:
1 * A + (-1) * B = 0, d.m.th. A = B.
Atëherë ekuacioni i një drejtëze ka formën: Ax + Ay + C = 0, ose x + y + C / A = 0.
në x=1, y=2 marrim C/A = -3, d.m.th. ekuacioni i dëshiruar:
x + y - 3 = 0
Ekuacioni i një drejtëze në segmente.
Nëse në ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës Ah + Wu + C = 0 C≠0, atëherë, duke e pjesëtuar me -C, marrim:
ose , ku
Kuptimi gjeometrik i koeficientëve është se koeficienti a është koordinata e pikës së kryqëzimit
drejt me bosht Oh, a b- koordinata e pikës së prerjes së drejtëzës me boshtin OU.
Shembull. Është dhënë ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës x - y + 1 = 0. Gjeni ekuacionin e kësaj drejtëze në segmente.
C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.
Ekuacioni normal i një drejtëze.
Nëse të dyja anët e ekuacionit Ah + Wu + C = 0 pjesëto me numër 
, e cila quhet
faktori normalizues, atëherë marrim
xcosφ + ysinφ - p = 0 -ekuacioni normal i një drejtëze.
Shenja ± e faktorit normalizues duhet zgjedhur në mënyrë që μ * C< 0.
R- gjatësia e pingules së rënë nga origjina në vijë,
a φ - këndi i formuar nga kjo pingul me drejtimin pozitiv të boshtit Oh.
Shembull. Jepet ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze 12x - 5y - 65 = 0. Kërkohet për të shkruar Llojet e ndryshme ekuacionet
këtë vijë të drejtë.
Ekuacioni i kësaj drejtëze në segmente:
Ekuacioni i kësaj drejtëze me pjerrësinë: (pjestojeni me 5)
Ekuacioni i një vije të drejtë:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.
Duhet të theksohet se jo çdo vijë e drejtë mund të përfaqësohet nga një ekuacion në segmente, për shembull, drejtëza,
paralel me akset ose duke kaluar nga origjina.
Këndi midis vijave në një plan.
Përkufizimi. Nëse jepen dy rreshta y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, pastaj kënd i mprehtë mes këtyre rreshtave
do të përkufizohet si
Dy drejtëza janë paralele nëse k 1 = k 2. Dy drejtëza janë pingul
nëse k 1 \u003d -1 / k 2 .
Teorema.
Direkt Ah + Wu + C = 0 dhe A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 janë paralele kur koeficientët janë proporcional
A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Nëse gjithashtu С 1 \u003d λС, atëherë rreshtat përkojnë. Koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave
gjenden si zgjidhje e sistemit të ekuacioneve të këtyre drejtëzave.
Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër një pikë të caktuar është pingul me një drejtëz të caktuar.
Përkufizimi. Një vijë që kalon nëpër një pikë M 1 (x 1, y 1) dhe pingul me drejtëzën y = kx + b
përfaqësohet nga ekuacioni:
Distanca nga një pikë në një vijë.
Teorema. Nëse jepet një pikë M(x 0, y 0), pastaj distanca deri te vija Ah + Wu + C = 0 përcaktuar si:
Dëshmi. Lëreni pikën M 1 (x 1, y 1)- baza e pingulit ka rënë nga pika M për një të dhënë
e drejtpërdrejtë. Pastaj distanca midis pikave M dhe M 1:
(1)
Koordinatat x 1 dhe 1 mund të gjendet si zgjidhje për sistemin e ekuacioneve:
Ekuacioni i dytë i sistemit është ekuacioni i një drejtëze që kalon në një pikë të caktuar M 0 pingul
linjë e dhënë. Nëse e transformojmë ekuacionin e parë të sistemit në formën:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Nga 0 + C = 0,
atëherë, duke zgjidhur, marrim:
Duke i zëvendësuar këto shprehje në ekuacionin (1), gjejmë:
Teorema është vërtetuar.
Lëreni drejtëzën të kalojë nëpër pikat M 1 (x 1; y 1) dhe M 2 (x 2; y 2). Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër pikën M 1 ka formën y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)
ku k - koeficient ende i panjohur.
Meqenëse vija e drejtë kalon nëpër pikën M 2 (x 2 y 2), atëherë koordinatat e kësaj pike duhet të plotësojnë ekuacionin (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).
Nga këtu gjejmë Zëvendësimin e vlerës së gjetur k
në ekuacionin (10.6), marrim ekuacionin e një vije të drejtë që kalon nëpër pikat M 1 dhe M 2: 
Supozohet se në këtë ekuacion x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Nëse x 1 \u003d x 2, atëherë vija e drejtë që kalon nëpër pikat M 1 (x 1, y I) dhe M 2 (x 2, y 2) është paralele me boshtin y. Ekuacioni i tij është x = x 1 .
Nëse y 2 \u003d y I, atëherë ekuacioni i vijës së drejtë mund të shkruhet si y \u003d y 1, drejtëza M 1 M 2 është paralele me boshtin x.
Ekuacioni i një drejtëze në segmente
Lëreni vijën e drejtë të presë boshtin Ox në pikën M 1 (a; 0), dhe boshtin Oy - në pikën M 2 (0; b). Ekuacioni do të marrë formën: 
ato. 
. Ky ekuacion quhet ekuacioni i drejtëzës në segmente, sepse numrat a dhe b tregojnë se cilat segmente i pret drejtëza në boshtet e koordinatave.
Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një vektor të caktuar
Le të gjejmë ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar Mo (x O; y o) pingul me një vektor të caktuar jozero n = (A; B).
Merrni një pikë arbitrare M(x; y) në vijë të drejtë dhe merrni parasysh vektorin M 0 M (x - x 0; y - y o) (shih Fig. 1). Meqenëse vektorët n dhe M o M janë pingul, produkti i tyre skalar është i barabartë me zero: d.m.th.
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
Quhet ekuacioni (10.8). ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një vektor të caktuar .
Vektori n = (A; B) pingul me drejtëzën quhet normal vektori normal i kësaj linje .
Ekuacioni (10.8) mund të rishkruhet si Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
ku A dhe B janë koordinatat e vektorit normal, C \u003d -Ax o - Vu o - anëtar i lirë. Ekuacioni (10.9) është ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze(shih Fig.2).
Fig.1 Fig.2
Ekuacionet kanonike të drejtëzës
,
Ku 
janë koordinatat e pikës nëpër të cilën kalon drejtëza dhe 
- vektori i drejtimit.
Kurbat e rrethit të rendit të dytë
Një rreth është bashkësia e të gjitha pikave të një rrafshi në distancë të barabartë nga një pikë e caktuar, e cila quhet qendër.
Ekuacioni kanonik i një rrethi me rreze
R të përqendruar në një pikë 
:
Në veçanti, nëse qendra e kunjit përkon me origjinën, atëherë ekuacioni do të duket si: 
Elipsa
Një elipsë është një grup pikash në një plan, shuma e distancave nga secila prej tyre në dy pika të dhëna
dhe 
, të cilat quhen vatra, është një vlerë konstante 
, më e madhe se distanca ndërmjet vatrave 
.
Ekuacioni kanonik i një elipse, vatrat e së cilës shtrihen në boshtin Ox dhe origjina e së cilës është në mes midis vatrave, ka formën 
G 
de a gjatësia e gjysmëboshtit kryesor; b është gjatësia e gjysmëboshtit të vogël (Fig. 2).
