Kur ndërtoni një pikë në koordinatat e dhëna, duhet të mbani mend se, në përputhje me rregullat e vizatimit, shkalla përgjatë boshtit Oh zvogëlohet në 2 herë në krahasim me shkallën përgjatë akseve Oh Dhe Oz.
1. Ndërtoni një pikë: A(2; 1; 3) x A = 2; y A = 1; z A = 3
A) zakonisht, para së gjithash, ata ndërtojnë një projeksion të një pike në një plan Oh. Shënoni pikat x A =2 Dhe y A =1 dhe vizatoni vija të drejta përmes tyre paralele me boshtet Oh Dhe Oh. Pika e kryqëzimit të tyre ka koordinatat (2;1; 0) Pika e ndërtuar A 1 (2; 1; 0.)
A(2; 1; 3)
0
y A =1
x A =2 në
A 1 (2; 1; 0) 0 y A =1në
X x A = 2 A 1 (2; 1; 0)
X
b) më larg nga pika A 1 (2; 1; 0) rivendosni pingul me rrafshin Ohoo (vizatoni një vijë të drejtë paralele me boshtin Oz ) dhe vendosni mbi të një segment të barabartë me tre: z A = 3.
2. Ndërtoni një pikë: B(3; - 2; 1) x B = 3; y B = -2; Z B = 1
z
y B = - 2
B(3; -2; 1) RRETH në
B 1 (3;-2) x B =3
X
3. Ndërtoni një pikë C(-2; 1; 3 ) z C (-2; 1; 3)
X A = -2; Y A = 1; Z A = 3
x C = - 2 C 1 (-2; 1; 0)
y A = 1 y
4. Kubi i Danit. A...D 1, buza e të cilit është e barabartë 1 . Origjina përkon me pikën NË, brinjët VA, BC Dhe BB 1 përkojnë me rrezet pozitive të boshteve koordinative. Emërtoni koordinatat e të gjitha kulmeve të tjera të kubit. Njehsoni diagonalen e kubit.
z
AB = BC = BB 1 BD 1 = =
B 1 (0;0;1) C 1 (0;1;1) = =
A 1 (1;0;1) D 1 (1;1;1)
B(0;0;0) C(0;1;0) y
A(1;0;0) D(1;1;0)
5.Partoni pikat A(1;1;-1) Dhe B(1; -1;1). A e pret segmenti boshtin koordinativ? aeroplan koordinativ? a kalon segmenti përmes origjinës? Gjeni koordinatat e pikave të kryqëzimit, nëse ka. z Pikat shtrihen në një rrafsh pingul me boshtin Oh.
Segmenti kryqëzon boshtin Oh
dhe aeroplan xOy
në pikën
B(1; -1;1) 
0(0;0;0)
C(1;0;0)
A(1;1;-1)
6. Gjeni distancën midis dy pikave: A(1;2;3) Dhe B(-1;1;1).
A)AB = = = =3
b)C(3;4;0) Dhe D(3; -1;2).
СD = = =
Në hapësirë, për të përcaktuar koordinatat e mesit të segmentit, futet një koordinatë e tretë.
B (x B; y B; z B)
ME( ; ; )
A(x A; y A; z A)
7.Gjeni koordinatat ME pikat e mesit të segmenteve: A)AB, Nëse A(3; – 2; – 7), B(11; – 8; 5),
x M = = 7; y M = = - 5; z M = = - 1; C(7; - 5; - 1)
8. Koordinatat e pikave A(x;y;z). Shkruani koordinatat e pikave simetrike me këtë në lidhje me:
A) plane koordinative
b) linjat e koordinatave
V) origjinën
A) Nëse pika A 1
simetrik me atë të dhënë në lidhje me planin koordinativ xOu,
atëherë dallimi është
koordinatat e pikave do të jenë vetëm në shenjën e koordinatave z: A 1 (x;y;-z).
pika A 2 Oxz, Pastaj A 2 (x; -y; z).
pika A 3 simetrik me atë të dhënë në lidhje me rrafshin Ouz, Pastaj A 2 (-x; y; z).
b) Nëse pika A 4
simetrik me atë të dhënë në lidhje me vijën koordinative Oh,
atëherë dallimi është
koordinatat e pikave do të jenë vetëm në shenja koordinative në
Dhe z: A 4 (x; -y; -z).
pika A 5 Oh, Pastaj A 5 (-x; y; -z).
pika A 6 simetrike me një vijë të caktuar Oz, Pastaj A 6 (-x; -y; z).
V) Nëse pika A 7 është simetrik me atë të dhënë në lidhje me origjinën, pra A 6 (-x; -y; -z).
TRANSFORMIMI I KOORDINATËVE
Kalimi nga një sistem koordinativ në tjetrin quhet transformimi i sistemit të koordinatave.
Ne do të shqyrtojmë dy raste konvertimi sistemi i koordinatave dhe nxjerrja e formulave për varësinë ndërmjet koordinatave të një pike arbitrare në rrafshin në sisteme të ndryshme koordinatat (Teknika e transformimit të një sistemi koordinativ është e ngjashme me transformimin e grafikëve).
1.Transferimi paralel. Në këtë rast, pozicioni i origjinës ndryshon, por drejtimi i akseve dhe shkalla mbeten të pandryshuara.
Nëse origjina e koordinatave shkon në pikën 0 1 me koordinata 0 1 (x 0; y 0), pastaj për pikën M(x;y) lidhje ndërmjet koordinatave të sistemit x0y Dhe x 0 0 y 0 shprehur me formulat:
x = x 0 + x"
y = y 0 + y"
Formulat që rezultojnë ju lejojnë të gjeni koordinatat e vjetra duke përdorur ato të reja të njohura X" Dhe y" dhe anasjelltas.
y M(x;y) M(x";y")
0 1 (x 0; y 0), x"
x 0 x"
2.Boshtet e koordinatave rrotulluese. Në këtë rast, të dy akset rrotullohen nga i njëjti kënd, dhe origjina dhe shkalla mbeten të pandryshuara.
M(x;y)
y 1 x 1
Koordinatat e pikave M në sistemin e vjetër M(x;y) Dhe M(x"; y") - në të renë. Atëherë rrezja polare në të dy sistemet është e njëjtë, dhe këndet polare janë përkatësisht të barabarta + Dhe , Ku - këndi polar në sistemi i ri koordinatat
Sipas formulave për kalimin nga koordinatat polare në drejtkëndore, kemi:
x = rcos( + ) x = rcos cos - rsin mëkat
y = rsin( + ) y = rcos mëkat +rsin cos
Por rcos = x" Dhe rsin = y", Kjo është arsyeja pse
x = x" cos - y"mëkat
y = x" mëkat + y" cos
Përgjigjuni me shkrim pyetjeve të mëposhtme:
- Çfarë quhet një sistem koordinativ drejtkëndor në një plan? në hapësirë?
- Cili bosht quhet bosht aplikativ? Ordinoni? Abshisa?
- Cili është shënimi për vektorët njësi në boshtet koordinative?
- Çfarë quhet orth?
- Si llogaritet gjatësia e një segmenti të përcaktuar nga koordinatat e skajeve të tij në një sistem koordinativ drejtkëndor?
- Si llogariten koordinatat e mesit të një segmenti të përcaktuar nga koordinatat e skajeve të tij?
- Çfarë quhet një sistem koordinativ polar?
- Cila është marrëdhënia midis koordinatave të një pike në sistemet e koordinatave drejtkëndëshe dhe polare?
Plotësoni detyrat:
1. Në çfarë largësie nga rrafshet koordinative ndodhet pika? A(1; -2; 3)
2. Në çfarë largësie është pika A(1; -2; 3) nga linjat koordinative A)Oh; b) Oh; V)Oz;
3. Çfarë kushti plotësojnë koordinatat e pikave në hapësirë që janë njësoj të largëta:
A) nga dy plane koordinative Ohoo Dhe Ouz; AB
b) nga të tre planet koordinative
4. Gjeni koordinatat e pikës M mesi i segmentit AB, A(-2; -4; 1); B(0; -1; 2) dhe emërtoni një pikë simetrike me pikën M, relativisht A) sëpata Oh
b) sëpata Oh
V) sëpata Oz.
5. Duke pasur një pikë B(4; - 3; - 4). Gjeni koordinatat e bazave të pingulëve të rënë nga një pikë e boshtit koordinativ dhe rrafsheve koordinative.
6.Në bosht Oh gjeni një pikë të barabartë nga dy pika A(1; 2; - 1) Dhe B(-2; 3; 1).
7. Në aeroplan Oxz gjeni një pikë të barabartë nga tre pika A(2; 1; 0); B(-1; 2; 3) Dhe C(0;3;1).
8. Gjeni gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit ABC dhe zona e saj , nëse koordinatat e kulmeve : A(-2; 0; 1), B(8; - 4; 9), C(-1; 2; 3).
9. Gjeni koordinatat e projeksioneve të pikave A(2; -3; 5); B (3;-5; ); ME (- ; - ; - ).
10. Janë dhënë pikë A(1; -1; 0) Dhe B(-3; - 1; 2). Llogaritni distancën nga origjina në pikat e dhëna.
VEKTORËT NË HAPËSIRË. KONCEPTET THEMELORE
Të gjitha sasitë që trajtohen në fizikë, teknologji dhe jetën e përditshme ndahen në dy grupe. Të parat karakterizohen plotësisht nga vlera e tyre numerike: temperatura, gjatësia, masa, sipërfaqja, puna. Sasi të tilla quhen skalar.
Sasi të tjera, si forca, shpejtësia, zhvendosja, nxitimi, etj. përcaktohen jo vetëm nga vlera e tyre numerike, por edhe nga drejtimi i tyre. Këto sasi quhen vektoriale, ose vektorët. Një sasi vektoriale paraqitet gjeometrikisht si vektor.
Vektor-ky është një segment drejtvizor i drejtuar, d.m.th. segment që ka
gjatësi dhe drejtim të caktuar.
Ndërtoni gjurmët e planit të specifikuar nga ∆BCD dhe përcaktoni distancën nga pika A në rrafshin e dhënë duke përdorur metodën trekëndësh kënddrejtë (për koordinatat e pikave A, B, C dhe D, shih Tabelën 1 të seksionit Detyrat);
1.2. Shembull i detyrës nr. 1
Detyra e parë paraqet një grup detyrash mbi temat e mëposhtme:
1. Projeksioni ortogonal, diagrami Monge, pika, drejtëza, plani: nga koordinatat e njohura të tre pikave B, C, D të ndërtojnë projeksione horizontale dhe ballore të rrafshit të dhëna nga ∆ BCD;
2. Gjurmët e një vije të drejtë, gjurmët e një rrafshi, vetitë e përkatësisë në një rrafsh të drejtë: ndërtoni gjurmët e rrafshit të dhëna nga ∆ BCD;
3. Planet e përgjithshme dhe të veçanta, kryqëzimi i drejtëzës dhe rrafshit, pinguliteti i drejtëzës dhe rrafshit, kryqëzimi i planeve, metoda e trekëndëshit kënddrejtë: përcaktoni distancën nga një pikë A në rrafshin ∆ BCD.
1.2.1. Bazuar në koordinatat e njohura të tre pikave B, C, D le të ndërtojmë projeksionet horizontale dhe ballore të rrafshit të dhëna nga ∆ BCD(Figura 1.1), për të cilën është e nevojshme të ndërtohen projeksionet horizontale dhe ballore të kulmeve ∆ BCD, dhe më pas lidhni projeksionet e kulmeve me të njëjtin emër.
Dihet se duke ndjekur aeroplaninështë një vijë e drejtë e përftuar si rezultat i kryqëzimit të një rrafshi të caktuar me rrafshin e projeksionit .
Në aeroplan pozicioni i përgjithshëm 3 gjurmë: horizontale, ballore dhe profili.
Për të ndërtuar gjurmë të një rrafshi, mjafton të ndërtohen gjurmët (horizontale dhe ballore) të çdo dy vijash të drejta që shtrihen në këtë rrafsh dhe t'i lidhim ato me njëra-tjetrën. Kështu, gjurma e rrafshit (horizontale ose ballore) do të përcaktohet në mënyrë unike, pasi përmes dy pikave në rrafsh (në këtë rast, këto pika do të jenë gjurmët e vijave të drejta) mund të vizatohet një vijë e drejtë, dhe vetëm një.
Baza për këtë ndërtim është vetia e përkatësisë në një rrafsh të drejtë: nëse një vijë e drejtë i përket një rrafshi të caktuar, atëherë gjurmët e saj qëndrojnë në gjurmë të ngjashme të këtij rrafshi .
Gjurma e një drejtëze është pika e prerjes së kësaj drejtëze me rrafshin e projeksionit. .
Gjurma horizontale e vijës së drejtë qëndron në rrafshin horizontal të projeksioneve, gjurma ballore - në rrafshin ballor të projeksioneve.
Le të shqyrtojmë ndërtimin gjurmë horizontale e drejtpërdrejtë D.B., për të cilën ju nevojiten:
1. Vazhdoni projeksionin ballor drejt D.B. derisa të kryqëzohet me boshtin X, pika e kryqëzimit M 2është një projeksion ballor i gjurmës horizontale;
2. Nga një pikë M 2 rivendosni pingulën (vijën e lidhjes së projeksionit) derisa të kryqëzohet me projeksionin horizontal të vijës së drejtë D.B. M 1 dhe do të jetë një projeksion horizontal i gjurmës horizontale (Figura 1.1), e cila përkon me vetë gjurmën M.
Gjurma horizontale e segmentit është ndërtuar në mënyrë të ngjashme NE drejt: pikë M'.
Për të ndërtuar gjurmë ballore segment C.B. direkt, ju duhet:
1. Vazhdoni projeksionin horizontal të vijës së drejtë C.B. derisa të kryqëzohet me boshtin X, pika e kryqëzimit N 1është një projeksion horizontal i gjurmës ballore;
2. Nga një pikë N 1 rivendosni pingulën (vijën e lidhjes së projeksionit) derisa të kryqëzohet me projeksionin ballor të vijës së drejtë C.B. ose vazhdimi i tij. Pika e kryqëzimit N 2 dhe do të jetë një projeksion ballor i gjurmës ballore, që përkon me vetë gjurmën N.
Lidhja e pikave M' 1 Dhe M 1 segment i drejtë, marrim një gjurmë horizontale të rrafshit απ 1 . Pika α x e prerjes së απ 1 me boshtin X thirrur pikë zhdukjeje . Për të ndërtuar gjurmën ballore të rrafshit απ 2, është e nevojshme të lidhet gjurma ballore N 2 me pikën e zhdukjes së gjurmëve α x
Figura 1.1 — Ndërtimi i gjurmëve të planit
Algoritmi për zgjidhjen e këtij problemi mund të paraqitet si më poshtë:
- (D 2 B 2 ∩ OK) = M 2 ;
- (MM 1 ∩ D 1 B 1) = M 1 = M;
- (C 2 B 2 ∩ OK) = M' 2 ;
- (M' 2 M' 1 ∩ C 1 B 1) = M' 1 = M';
- (CB∩ π 2) = N 2 = N;
- (MM') ≡ απ 1 ;
- (α x N) ≡ απ 2 .
1.2.2. Për të zgjidhur pjesën e dytë të detyrës së parë duhet të dini se:
- distanca nga pika A në rrafshin ∆ BCD përcaktohet nga gjatësia e pingulit të rivendosur nga kjo pikë në rrafsh;
- çdo drejtëz është pingul me një rrafsh nëse është pingul me dy drejtëza të kryqëzuara që shtrihen në këtë rrafsh;
- në diagram, projeksionet e një vije të drejtë pingul me rrafshin janë pingul me projeksionet e pjerrëta të horizontales dhe ballore të këtij plani ose gjurmët me të njëjtin emër të rrafshit (Fig. 1.2) (shih teoremën për pingulën tek avioni në leksione).
Për të gjetur bazën e një pingule, është e nevojshme të zgjidhet problemi i kryqëzimit të një drejtëze (në këtë problem, një vijë e tillë është pingul me një plan) me një plan:
1. Mbyllni pingulen në një plan ndihmës, i cili duhet të merret si një plan me pozicion të veçantë (projektues horizontalisht ose ballor; në shembull, projektimi horizontal i γ merret si një plan ndihmës, domethënë pingul me π 1, i tij gjurma horizontale γ 1 përkon me një projeksion horizontal të një pingul);
2. Gjeni drejtëzën e prerjes së rrafshit të dhënë ∆ BCD me γ ndihmese ( MN në Fig. 1.2);
3. Gjeni pikën e prerjes së drejtëzës së kryqëzimit të planeve MN me një pingul (pikë TE në Fig. 1.2).
4. Për të përcaktuar distancën e vërtetë nga një pikë A në një rrafsh të dhënë ∆ BCD duhet të përdoret Metoda e trekëndëshit kënddrejtë: madhësia e vërtetë e një segmenti është hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë, njëra këmbë e të cilit është një nga projeksionet e segmentit dhe tjetra është diferenca në distancat nga skajet e tij në rrafshin e projeksionit në të cilin po kryhet ndërtimi. jashtë.
5. Përcaktoni dukshmërinë e seksioneve pingul duke përdorur metodën e pikës konkurruese. Për shembull - pikë N Dhe 3 për të përcaktuar dukshmërinë në π 1, pika 4 , 5 - për të përcaktuar dukshmërinë në π 2.
Figura 1.2 - Ndërtimi i një pingule me rrafshin
Figura 1.3 — Shembull i projektimit të detyrës së kontrollit nr. 1
Shembull video e përfundimit të detyrës nr. 1
1.3. Opsionet e detyrave 1
| Opsioni | Koordinatat (x, y, z) të pikave | |||
|---|---|---|---|---|
| A | NË | ME | D | |
| 1 | 15; 55; 50 | 10; 35; 5 | 20; 10; 30 | 70; 50; 40 |
| 2 | 80; 65; 50 | 50; 10; 55 | 10; 50; 25 | 75; 25; 0 |
| 3 | 95; 45; 60 | 130; 40; 50 | 40; 5; 25 | 80; 30; 5 |
| 4 | 115; 10; 0 | 130; 40; 40 | 40; 5; 25 | 80; 30; 5 |
| 5 | 55; 5; 60 | 85; 45; 60 | 100; 5; 30 | 50; 25; 10 |
| 6 | 55; 5; 60 | 70; 40; 20 | 30; 30; 35 | 30; 10; 10 |
| 7 | 60; 10; 45 | 80; 45; 5 | 35; 0; 15 | 10; 0; 45 |
| 8 | 5; 0; 0 | 35; 0; 25 | 20; 0; 55 | 40; 40; 0 |
| 9 | 50; 5; 45 | 65; 30; 10 | 30; 25; 55 | 20; 0; 20 |
| 10 | 60; 50; 35 | 40; 30; 0 | 30; 15; 30 | 80; 5; 20 |
| 11 | 65; 35; 15 | 50; 0; 30 | 20; 25; 25 | 5; 0; 10 |
| 12 | 75; 65; 50 | 45; 10; 35 | 60; 20; 10 | 10; 65; 0 |
| 13 | 95; 0; 15 | 85; 50; 10 | 10; 10; 10 | 55; 10; 45 |
| 14 | 45; 40; 40 | 80; 50; 10 | 10; 10; 10 | 55; 10; 45 |
| 15 | 80; 20; 30 | 55; 30; 60 | 15; 10; 20 | 70; 65; 30 |
| 16 | 75; 35; 35 | 55; 30; 60 | 25; 10; 20 | 70; 65; 30 |
| 17 | 75; 65; 50 | 45; 5; 55 | 5; 45; 10 | 70; 20; 0 |
| 18 | 65; 15; 20 | 40; 5; 60 | 0; 5; 25 | 60; 60; 20 |
| 19 | 70; 20; 10 | 45; 15; 60 | 5; 10; 20 | 60; 65; 10 |
| 20 | 20; 50; 45 | 10; 20; 10 | 55; 50; 10 | 80; 0; 60 |
| 21 | 0; 5; 50 | 50; 50; 40 | 5; 55; 10 | 45; 5; 0 |
| 22 | 55; 50; 65 | 45; 55; 5 | 0; 10; 45 | 70; 0; 40 |
| 23 | 65; 5; 15 | 40; 60; 10 | 0; 20; 5 | 60; 20; 60 |
| 24 | 50; 20; 45 | 45; 60; 30 | 5; 20; 10 | 60; 30; 5 |
| 25 | 55; 15; 40 | 40; 50; 25 | 5; 15; 10 | 50; 40; 10 |
| 26 | 15; 45; 40 | 10; 25; 5 | 20; 10; 30 | 65; 40; 35 |
| 27 | 70; 30; 30 | 55; 30; 60 | 20; 5; 15 | 65; 60; 25 |
| 28 | 90; 0; 15 | 80; 45; 10 | 10; 10; 10 | 50; 10; 45 |
| 29 | 110; 10; 0 | 120; 35; 30 | 35; 5; 20 | 70; 20; 5 |
| 30 | 45; 40; 40 | 80; 45; 10 | 10; 10; 10 | 55; 10; 40 |
|
Forma verbale |
Forma grafike |
|
1. Paraqitni koordinatat përkatëse të pikës A në boshtet X, Y, Z Fitim pikat A x, A y, A z | |
|
2. Projeksioni horizontal A 1 ndodhet në kryqëzimin e linjave të komunikimit nga pikat A x dhe A y të tërhequra paralelisht me boshtet X dhe Y |
|
|
3. Projeksioni ballor A 2 ndodhet në kryqëzimin e linjave të komunikimit nga pikat A x dhe A z të tërhequra paralelisht me boshtet X dhe Z. |
|
|
4. Projeksioni i profilit A 3 ndodhet në kryqëzimin e linjave të komunikimit nga pikat A z dhe A y të tërhequra paralelisht me boshtet Z dhe Y |
|
3.2. Pozicioni i pikës në raport me rrafshet e projeksionit
Pozicioni i një pike në hapësirë në raport me rrafshet e projektimit përcaktohet nga koordinatat e saj. Koordinata X përcakton distancën e një pike nga plani P 3 (projeksioni në P 2 ose P 1), koordinata Y - distancën nga plani P 2 (projeksioni në P 3 ose P 1), koordinata Z - distanca nga rrafshi P 1 (projeksioni në P 3 ose P 2). Në varësi të vlerës së këtyre koordinatave, një pikë mund të zërë një pozicion të përgjithshëm dhe të veçantë në hapësirë në raport me rrafshet e projeksionit (Fig. 3.1).
Oriz. 3.1. Klasifikimi i pikëve
Tpikëtë përgjithshmedispozitat. Koordinatat e një pike gjenerike nuk janë të barabarta me zero ( x≠0, y≠0, z≠0 ), dhe në varësi të shenjës së koordinatës, pika mund të vendoset në një nga tetë oktantet (Tabela 2.1).
Në Fig. 3.2 ofron vizatime të pikave në pozicionin e përgjithshëm. Analiza e imazheve të tyre na lejon të konkludojmë se ato janë të vendosura në oktantet e mëposhtme të hapësirës: A(+X;+Y; +Z( Joktant;B(+X;+Y;-Z( IVoktant;C(-X;+Y; +Z( Voktant;D(+X;+Y; +Z( IIoktante.
Pikat e pozicionit të veçantë. Njëra nga koordinatat në një pikë të pozicionit të caktuar është e barabartë me zero, kështu që projeksioni i pikës qëndron në fushën përkatëse të projeksionit, dy të tjerat - në boshtet e projeksionit. Në Fig. 3.3 pika të tilla janë pikat A, B, C, D, G.A P 3, pastaj pika X A = 0; NË P 3, pastaj pika X B = 0; ME П 2, pastaj pikaY C =0;D P 1, pastaj pika Z D = 0.
Një pikë mund t'i përkasë dy rrafsheve të projeksionit njëherësh nëse shtrihet në vijën e kryqëzimit të këtyre planeve - boshti i projeksionit. Për pika të tilla, vetëm koordinata në këtë bosht nuk është zero. Në Fig. 3.3 një pikë e tillë është pika G(G OZ, pastaj pika X G =0,Y G =0).
3.3. Pozicioni relativ i pikave në hapësirë
Le të shqyrtojmë tre opsione për rregullimin relativ të pikave në varësi të raportit të koordinatave që përcaktojnë pozicionin e tyre në hapësirë.
Në Fig. 3.4 pika A dhe B kanë koordinata të ndryshme.
Pozicioni i tyre relativ mund të vlerësohet nga largësia e tyre me rrafshet e projeksionit: Y A >Y B, pastaj pika A ndodhet më larg nga plani P 2 dhe më afër vëzhguesit se pika B; Z A >Z B, atëherë pika A ndodhet më larg nga plani P 1 dhe më afër vëzhguesit se pika B; X A Në Fig. 3.5 tregon pikat A, B, C, D, për të cilat njëra nga koordinatat është e njëjtë dhe dy të tjerat janë të ndryshme. Y A =Y B =Y D, atëherë pikat A, B dhe D janë të barabarta nga rrafshi P 2, dhe projeksionet e tyre horizontale dhe të profilit janë të vendosura, përkatësisht, në vijat e drejta [A 1 B 1 ]llОХ dhe [A 3 B 3 ] llOZ. Vendndodhja gjeometrike e pikave të tilla është një plan paralel me P2; Z A =Z B =Z C, atëherë pikat A, B dhe C janë në distancë të barabartë nga rrafshi P 1, dhe projeksionet e tyre ballore dhe të profilit janë të vendosura, përkatësisht, në vijat e drejta [A 2 B 2 ]llОХ dhe [A 3 C 3 ] llOY. Vendndodhja gjeometrike e pikave të tilla është një plan paralel me P 1; X A =X C =X D, atëherë pikat A, C dhe D janë të barabarta nga rrafshi P 3 dhe projeksionet e tyre horizontale dhe ballore janë të vendosura, përkatësisht, në vijat e drejta [A 1 C 1 ]llOY dhe [A 2 D 2 ]llOZ . Vendndodhja gjeometrike e pikave të tilla është një plan paralel me P3. 3. Nëse pikat kanë dy koordinata të barabarta me të njëjtin emër, atëherë ato thirren konkurruese. Pikat konkurruese janë të vendosura në të njëjtën linjë projeksioni. Në Fig. 3.3 janë tre çifte pikash të tilla për të cilat: X A = X D ; Y A = Y D; Z D > Z A; X A = X C; Z A = Z C; Y C > Y A; Y A = Y B; Z A = Z B; X B > X A . Ka pika konkurruese horizontalisht A dhe D, të vendosura në vijën horizontale të projektimit AD, pikat konkurruese ballore A dhe C, të vendosura në vijën e projektimit ballor AC, pikat konkurruese të profilit A dhe B, të vendosura në vijën e projektimit të profilit AB. Përfundime mbi temën 1. Një pikë është një imazh gjeometrik linear, një nga konceptet bazë të gjeometrisë përshkruese. Pozicioni i një pike në hapësirë mund të përcaktohet nga koordinatat e saj. Secila nga tre projeksionet e një pike karakterizohet nga dy koordinata, emrat e tyre korrespondojnë me emrat e boshteve që formojnë planin përkatës të projeksionit: horizontal - A 1 (XA; YA); frontale – A 2 (XA; ZA); profili – A 3 (YA; ZA). Përkthimi i koordinatave midis projeksioneve kryhet duke përdorur linja komunikimi. Duke përdorur dy projeksione, mund të ndërtoni projeksione të një pike ose duke përdorur koordinata ose grafikisht. 3. Një pikë në lidhje me planet e projeksionit mund të zërë një pozicion të përgjithshëm dhe të veçantë në hapësirë. 6. Pikat konkurruese – pika koordinatat e të cilave përputhen me të njëjtin emër. Ka pika konkurruese horizontalisht, pika konkurruese frontale, pika konkurruese të profilit. Fjalë kyçe Koordinatat e pikave Pika e përgjithshme Pika private Pikat konkurruese Metodat e veprimtarisë së nevojshme për zgjidhjen e problemeve – ndërtimi i një pike sipas koordinatave të dhëna në një sistem prej tre planesh projeksioni në hapësirë; – ndërtimi i një pike sipas koordinatave të dhëna në një sistem prej tre planesh projeksioni në një vizatim kompleks. Pyetje vetë-testimi 1. Si vendoset lidhja ndërmjet vendndodhjes së koordinatave në një vizatim kompleks në sistemin e tre planeve të projeksionit P 1 P 2 P 3 me koordinatat e projeksioneve të pikave? 2. Cilat koordinata përcaktojnë distancën e pikave me rrafshet e projeksionit horizontal, ballor, profil? 3. Cilat koordinata dhe projeksione të pikës do të ndryshojnë nëse pika lëviz në drejtim pingul me rrafshin e profilit të projeksioneve P 3? 4. Cilat koordinata dhe projeksione të një pike do të ndryshojnë nëse pika lëviz në drejtim paralel me boshtin OZ? 5. Cilat koordinata përcaktojnë projeksionin horizontal (ballor, profil) të një pike? 7. Në cilin rast projeksioni i një pike përkon me vetë pikën në hapësirë dhe ku ndodhen dy projeksionet e tjera të kësaj pike? 8. A mundet që një pikë t'i përkasë tre rrafsheve të projeksionit njëkohësisht dhe në cilin rast? 9. Si quhen pikat projeksionet e të cilave përkojnë me të njëjtin emër? 10. Si mund të përcaktoni se cila nga dy pikat është më afër vëzhguesit nëse projeksionet e tyre ballore përkojnë? Detyrat për zgjidhje të pavarur 2. Ndërtoni projeksionet e pikave A dhe B sipas koordinatave të tyre në një imazh vizual dhe një vizatim kompleks: A(13.5; 20), B(6.5; –20). Ndërtoni një projeksion të pikës C, e vendosur në mënyrë simetrike me pikën A në lidhje me rrafshin ballor të projeksioneve P 2. 3. Ndërtoni projeksionet e pikave A, B, C sipas koordinatave të tyre në një imazh vizual dhe një vizatim kompleks: A(–20; 0; 0), B(–30; -20; 10), C(–10, –15, 0). Ndërtoni pikën D, të vendosur në mënyrë simetrike me pikën C në lidhje me boshtin OX. Një shembull i zgjidhjes së një problemi tipik Detyra 1. Janë dhënë koordinatat X, Y, Z të pikave A, B, C, D, E, F (Tabela 3.3) Për të ndërtuar një imazh të një objekti, elementët e tij individualë përshkruhen fillimisht në formën e elementeve më të thjeshtë të hapësirës. Kështu, kur përshkruhet një trup gjeometrik, duhet të ndërtohen kulmet e tij, të përfaqësuara me pika; skajet e përfaqësuara nga vija të drejta dhe të lakuara; fytyrat e përfaqësuara me avionë etj. Rregullat për ndërtimin e imazheve në vizatime në grafikë inxhinierike bazohen në metodën e projeksionit. Një imazh (projeksion) i një trupi gjeometrik nuk e lejon njeriun të gjykojë atë formë gjeometrike ose forma e imazheve më të thjeshta gjeometrike që përbëjnë këtë imazh. Kështu, nuk mund të gjykohet pozicioni i një pike në hapësirë vetëm nga projeksioni i saj; pozicioni i tij në hapësirë përcaktohet nga dy projeksione. Le të shqyrtojmë një shembull të ndërtimit të një projeksioni të një pike A, të vendosura në hapësirën e një këndi dihedral (Fig. 60). Ne do të vendosim një nga rrafshet e projeksionit horizontalisht dhe do ta quajmë atë plan horizontal projeksionet dhe shënoni me shkronjë P 1. Projeksionet e elementeve hapësirat në të do të shënohen me indeksin 1: A 1, a 1, S 1 ... dhe telefononi projeksionet horizontale(pika, vija të drejta, plane). Planin e dytë do ta vendosim vertikalisht përballë vëzhguesit, pingul me të parin, le ta quajmë plan vertikal projeksionet dhe shënojnë P 2. Projeksionet e elementeve hapësinore mbi të do t'i shënojmë me indeks 2: A 2, 2 dhe telefononi projeksionet ballore(pika, vija të drejta, plane). Le ta quajmë vijën e kryqëzimit të planeve të projektimit boshti i projeksionit. Le të projektojmë një pikë A në mënyrë ortogonale në të dy rrafshet e projeksionit: AA 1 _|_ P 1 ;AA 1 ^P 1 =A 1 ; AA 2 _|_ P 2 ;AA 2 ^P 2 =A 2 ; Rrezet e projeksionit AA 1 dhe AA 2 reciprokisht pingul dhe krijojnë një plan projektues në hapësirë AA 1 AA 2, pingul me të dy anët e projeksioneve. Ky plan kryqëzon rrafshet e projeksionit përgjatë vijave që kalojnë nëpër projeksionet e pikës A. Për të marrë një vizatim të sheshtë, kombinoni rrafshin horizontal të projeksioneve P 1 me rrafshin ballor P 2 që rrotullohet rreth boshtit P 2 / P 1 (Fig. 61, a). Atëherë të dy projeksionet e pikës do të jenë në të njëjtën linjë pingul me boshtin P 2 / P 1. Drejt A 1 A 2, lidhje horizontale A 1 dhe ballore A 2 Projeksioni i një pike quhet linja vertikale e komunikimit. Vizatimi i sheshtë që rezulton quhet vizatim kompleks.Është një imazh i një objekti në disa plane të kombinuara. Një vizatim kompleks i përbërë nga dy projeksione ortogonale të ndërlidhura quhet dy-projeksion. Në këtë vizatim, projeksionet horizontale dhe ballore të pikave shtrihen gjithmonë në të njëjtën linjë lidhjeje vertikale. Dy projeksione ortogonale të ndërlidhura të një pike përcaktojnë në mënyrë unike pozicionin e saj në raport me rrafshet e projeksionit. Nëse përcaktojmë pozicionin e pikës A në lidhje me këto plane (Fig. 61, b) lartësia e saj h (AA 1 =h) dhe thellësia f(AA 2 =f ), pastaj këto sasitë në një vizatim kompleks ekzistojnë si segmente të një linje komunikimi vertikale. Kjo rrethanë e bën të lehtë rindërtimin e vizatimit, domethënë përcaktimin nga vizatimi i pozicionit të pikës në raport me rrafshet e projeksionit. Për ta bërë këtë, mjafton të rivendosni një pingul me rrafshin e vizatimit (duke e konsideruar atë frontal) në pikën A 2 të vizatimit me një gjatësi të barabartë me thellësinë. f. Fundi i kësaj pingule do të përcaktojë pozicionin e pikës A në raport me rrafshin e vizatimit. Imazhi: Imazhi: 4. Si quhet largësia që përcakton pozicionin e një pike në raport me rrafshin e projeksionit? P 1, P 2? 7. Si të ndërtohet një projeksion shtesë i një pike në një plan P 4 _|_ P 2 , P 4 _|_ P 1 , P 5 _|_ P 4 ? 9. Si mund të ndërtoni një vizatim kompleks të një pike duke përdorur koordinatat e saj? Për të përcaktuar pozicionin e një trupi gjeometrik në hapësirë dhe për të marrë informacion shtesë mbi imazhet e tyre, mund të jetë e nevojshme të ndërtohet një projeksion i tretë. Pastaj rrafshi i tretë i projeksionit ndodhet në të djathtë të vëzhguesit, pingul me planin horizontal të projeksionit në të njëjtën kohë P 1 dhe plani ballor i projeksioneve P 2 (Fig. 62, a). Si rezultat i kryqëzimit të frontit P 2
dhe profili P 3
planet e projeksionit marrim një bosht të ri P 2 / P 3 ,
i cili ndodhet në vizatimin kompleks paralel me vijën vertikale të komunikimit A 1 A 2(Fig. 62, b). Projeksioni i pikës së tretë A- profili - duket të jetë i lidhur me projeksionin ballor A 2 një linjë e re komunikimi e quajtur horizontale Oriz. 62 Noah. Projeksionet ballore dhe të profilit të pikave shtrihen gjithmonë në të njëjtën linjë lidhjeje horizontale. Për më tepër A 1 A 2 _|_ A 2 A 1 Dhe A 2 A 3 , _| _ P 2 / P 3 . Pozicioni i një pike në hapësirë në këtë rast karakterizohet nga ajo gjerësi gjeografike- distanca prej saj në rrafshin e profilit të projeksioneve P 3, të cilën e shënojmë me shkronjë r. Vizatimi kompleks që rezulton i një pike quhet treprojeksioni. Në një vizatim me tre projeksione, thellësia e një pike AA 2është projektuar pa shtrembërim në rrafshet P 1 dhe P 2 (Fig. 62, A). Kjo rrethanë na lejon të ndërtojmë një projeksion të tretë - ballor të pikës A përgjatë horizontales së saj A 1 dhe ballore A 2 projeksionet (Fig. 62, V). Për ta bërë këtë, duhet të vizatoni një vijë komunikimi horizontale përmes projeksionit ballor të pikës A 2 A 3 _|_A 2 A 1 . Më pas, kudo në vizatim, vizatoni boshtin e projeksionit P 2 / P 3 _|_ A 2 A 3, mat thellësinë f të një pike në horizontale
fushën e projeksionit dhe vendoseni përgjatë vijës së lidhjes horizontale nga boshti i projeksionit P 2 / P 3. Le të marrim një projeksion të profilit A 3 pikë A. Kështu, në një vizatim kompleks të përbërë nga tre projeksione ortogonale të një pike, dy projeksione janë në të njëjtën linjë lidhëse; linjat e komunikimit janë pingul me boshtet përkatëse të projeksionit; dy projeksione të një pike përcaktojnë plotësisht pozicionin e projeksionit të tretë të saj. Duhet të theksohet se në vizatimet komplekse, si rregull, rrafshet e projeksionit nuk janë të kufizuara dhe pozicioni i tyre specifikohet me boshte (Fig. 62, c). Në rastet kur kushtet e problemit nuk e kërkojnë këtë, Rezulton se projeksionet e pikave mund të jepen pa përshkruar boshtet (Fig. 63, a, b). Një sistem i tillë quhet i pabazë. Linjat e komunikimit mund të vizatohen edhe me ndërprerje (Fig. 63, b). Imazhi: Imazhi: Vendndodhja e projeksioneve të pikave në një vizatim kompleks varet nga pozicioni i pikës në hapësirën e një këndi tredimensional. Le të shohim disa raste: Dy pika në hapësirë mund të vendosen në mënyra të ndryshme. Në një rast të veçantë, ato mund të vendosen në mënyrë që parashikimet e tyre në një plan projeksioni të përkojnë. Pika të tilla quhen konkurruese. Në Fig. 64, A ofrohet një vizatim gjithëpërfshirës i pikave A Dhe NË. Ato janë të vendosura në mënyrë që projeksionet e tyre të përkojnë në aeroplan P 1 [A 1 == B 1]. Pika të tilla quhen konkurruese horizontalisht. Nëse projeksionet e pikave A dhe B përkojnë në aeroplan P 2(Fig. 64, b), ato quhen duke konkurruar frontalisht. Dhe nëse projeksionet e pikave A Dhe NË përkojnë në rrafshin P 3 [A 3 == B 3 ] (Fig. 64, c), quhen profilin e konkurrentëve. Dukshmëria në vizatim përcaktohet nga pikat konkurruese. Për pikat konkurruese horizontalisht do të jetë e dukshme ajo me lartësi më të madhe, për pikat konkurruese ballore do të jetë e dukshme ajo me thellësi më të madhe dhe për pikat konkurruese të profilit do të jetë e dukshme ajo me gjerësi gjeografike më të madhe. Imazhi: Karakteristikat e një vizatimi me tre projeksione të një pike lejojnë përdorimin e projeksioneve të tij horizontale dhe ballore për të ndërtuar një të tretën në plane të tjera projeksioni të futura për të zëvendësuar ato të dhëna. Në Fig. 65, A pika e shfaqjes A dhe projeksionet e tij janë horizontale A 1 dhe ballore A 2. Sipas kushteve të problemit, është e nevojshme të zëvendësohen aeroplanët P 2. Le të shënojmë planin e ri të projeksionit P 4 dhe ta vendosim atë pingul me P 1. Në kryqëzimin e avionëve P 1 dhe P 4 marrim një bosht të ri P 1 / P 4 .
Projeksion i ri i pikës A 4 do të vendoset në
linjë komunikimi që kalon nëpër një pikë A 1 dhe pingul me boshtin P 1 / P 4 .
Që nga avioni i ri P 4 zëvendëson rrafshin e projeksionit ballor P 2, lartësia e pikës A përshkruhet në mënyrë të barabartë në madhësi të plotë si në rrafshin P2 ashtu edhe në rrafshin P4. Kjo rrethanë na lejon të përcaktojmë pozicionin e projeksionit A 4, në një sistem aeroplanësh P 1 _|_ P 4(Fig. 65, b) në një vizatim kompleks. Për ta bërë këtë, mjafton të matni lartësinë e pikës në aeroplanin që zëvendësohet ity e projeksionit P 2, vendoseni në një linjë të re lidhjeje nga boshti i ri i projeksioneve - dhe një projeksion i ri i pikës A 4 do të ndërtohet. Nëse futet një plan i ri projeksioni në vend të planit horizontal të projeksionit, p.sh. P 4 _|_ P 2 (Fig. 66, A), atëherë në sistemin e ri të planeve projeksioni i ri i pikës do të jetë në të njëjtën linjë komunikimi me projeksionin ballor, dhe A 2 A 4 _|_. Në këtë rast, thellësia e pikës është e njëjtë në aeroplan P 1, dhe në aeroplan P 4. Mbi këtë bazë ndërtojnë A 4(Fig. 66, b) në linjën e komunikimit A 2 A 4 në një distancë të tillë nga boshti i ri P 1 / P 4 në çfarë A 1 ndodhet nga aksi P 2 / P 1. Siç u përmend tashmë, ndërtimi i projeksioneve të reja shtesë shoqërohet gjithmonë me detyra specifike. Në të ardhmen, do të merren parasysh një sërë problemesh metrike dhe pozicionale që mund të zgjidhen duke përdorur metodën e zëvendësimit të planeve të projeksionit. Në problemet ku futja e një rrafshi shtesë nuk do të japë rezultatin e dëshiruar, futet një plan tjetër shtesë, i cili emërtohet P 5. Vendoset pingul me rrafshin tashmë të futur P 4
(Fig. 67, a), d.m.th. P 5 P 4 dhe prodhojnë një ndërtim të ngjashëm me ato të diskutuara më parë. Tani distancat maten në sekondën e zëvendësuar të planeve kryesore të projeksionit (në Fig. 67, b në aeroplan P 1) dhe shtyjini ato në një linjë të re komunikimi A 4 A 5, nga boshti i ri i projeksionit P 5 / P 4. Në sistemin e ri të planeve P 4 P 5, merret një vizatim i ri me dy projeksione, i përbërë nga projeksione ortogonale. A 4 dhe A 5 ,
të lidhur me linjë komunikimi Pozicioni i një pike në hapësirë mund të përcaktohet nga dy projeksionet e saj ortogonale, për shembull, horizontale dhe ballore, ballore dhe profili. Kombinimi i çdo dy projeksionesh ortogonale ju lejon të zbuloni vlerën e të gjitha koordinatave të një pike, të ndërtoni një projeksion të tretë dhe të përcaktoni oktantin në të cilin ndodhet. Le të shohim disa probleme tipike nga kursi i gjeometrisë përshkruese. Për një vizatim të caktuar kompleks të pikave A dhe B, është e nevojshme: Le të përcaktojmë fillimisht koordinatat e pikës A, të cilat mund të shkruhen në formën A (x, y, z). Projeksioni horizontal i pikës A - pika A", me koordinata x, y. Le të vizatojmë pingule nga pika A" në boshtet x, y dhe të gjejmë përkatësisht A x, A y. Koordinata x për pikën A është e barabartë me gjatësinë e segmentit A x O me një shenjë plus, pasi A x shtrihet në rajonin e vlerave pozitive të boshtit x. Duke marrë parasysh shkallën e vizatimit, gjejmë x = 10. Koordinata y është e barabartë me gjatësinë e segmentit A y O me një shenjë minus, pasi t A y shtrihet në rajonin e vlerave negative të boshti y. Duke marrë parasysh shkallën e vizatimit, y = –30. Projeksioni ballor i pikës A - pika A"" ka koordinata x dhe z. Le të hedhim pingulen nga A"" në boshtin z dhe të gjejmë A z. Koordinata z e pikës A është e barabartë me gjatësinë e segmentit A z O me një shenjë minus, pasi A z shtrihet në rajonin e vlerave negative të boshtit z. Duke marrë parasysh shkallën e vizatimit z = –10. Kështu, koordinatat e pikës A janë (10, –30, –10). Koordinatat e pikës B mund të shkruhen si B (x, y, z). Konsideroni projeksionin horizontal të pikës B - pika B". Meqenëse ajo shtrihet në boshtin x, atëherë B x = B" dhe koordinata B y = 0. Abshisa x e pikës B është e barabartë me gjatësinë e segmentit B x O me një shenjë plus. Duke marrë parasysh shkallën e vizatimit x = 30. Projeksioni ballor i pikës B është t ˝ ka koordinata x, z. Le të vizatojmë një pingul nga B"" në boshtin z, duke gjetur kështu B z. Zbatimi i pikës B është i barabartë me gjatësinë e segmentit B z O me një shenjë minus, pasi B z shtrihet në rajonin e vlerave negative të boshtit z. Duke marrë parasysh shkallën e vizatimit, përcaktojmë vlerën z = –20. Pra, koordinatat e B janë (30, 0, -20). Të gjitha ndërtimet e nevojshme janë paraqitur në figurën më poshtë. Pikat A dhe B në planin P 3 kanë koordinatat e mëposhtme: A""" (y, z); B""" (y, z). Në këtë rast, A"" dhe A""" shtrihen në të njëjtën pingul me boshtin z, pasi ato kanë një koordinatë të përbashkët z. Në mënyrë të ngjashme, B"" dhe B""" shtrihen në një pingul të përbashkët me boshtin z. Për të gjetur projeksionin e profilit të pikës A, ne grafikojmë përgjatë boshtit y vlerën e koordinatës përkatëse të gjetur më parë. Në figurë, kjo është bërë duke përdorur një hark rrethor me rreze A y O. Pas kësaj, vizatoni një pingul nga A y derisa të kryqëzohet me pingulen e rivendosur nga pika A"" në boshtin z. Pika e kryqëzimit të këtyre dy pingulave përcakton pozicionin e A""". Pika B""" shtrihet në boshtin z, pasi ordinata y e kësaj pike është zero. Për të gjetur projeksionin e profilit të pikës B në këtë problem, ju duhet vetëm të vizatoni një pingul nga B"" në boshtin z. pika e prerjes së kësaj pingule me boshtin z është B """. Duke imagjinuar vizualisht paraqitjen hapësinore, të përbërë nga aeroplanët e projektimit P 1, P 2 dhe P 3, vendndodhjen e oktantëve, si dhe rendin e shndërrimit të paraqitjes në diagrame, mund të përcaktoni drejtpërdrejt se pika A ndodhet në oktantin III. , dhe pika B shtrihet në rrafshin P 2. Një tjetër mundësi për zgjidhjen e këtij problemi është metoda e përjashtimeve. Për shembull, koordinatat e pikës A janë (10, -30, -10). Një abshisë x pozitive na lejon të gjykojmë se pika ndodhet në katër oktantët e parë. Një ordinatë negative y tregon se pika është në oktantin e dytë ose të tretë. Së fundi, aplikativi negativ z tregon se pika A ndodhet në oktantin e tretë. Tabela e mëposhtme ilustron qartë arsyetimin e mësipërm. Koordinatat e pikës B (30, 0, -20). Meqenëse ordinata e pikës B është zero, kjo pikë ndodhet në rrafshin e projeksionit P 2. Abshisa pozitive dhe aplikimi negativ i t tregon se ai ndodhet në kufirin e oktantit të tretë dhe të katërt. Duke përdorur një projeksion izometrik ballor, ne ndërtuam një plan urbanistik hapësinor të oktantit III. Është një trekëndësh drejtkëndor, faqet e të cilit janë rrafshet P 1, P 2, P 3, dhe këndi (-y0x) është 45 º. Në këtë sistem, segmentet përgjatë boshteve x, y, z do të vizatohen në madhësi natyrore pa shtrembërim. Le të fillojmë të ndërtojmë një imazh vizual të pikës A (10, -30, -10) me projeksionin e saj horizontal A. Pasi të kemi vizatuar koordinatat përkatëse përgjatë boshtit të abshisës dhe të ordinatave, gjejmë pikat A x dhe A y i rindërtuar nga A x dhe A y përkatësisht në boshtet x dhe y përcakton pozicionin e pikës A”. Duke vendosur nga A" paralel me boshtin z drejt vlerave negative të segmentit AA", gjatësia e të cilit është 10, gjejmë pozicionin e pikës A. Imazhi vizual i pikës B (30, 0, -20) është ndërtuar në një mënyrë të ngjashme - në rrafshin P2 përgjatë boshteve x dhe z, duhet të vizatoni koordinatat përkatëse. Prerja e pingulëve të rindërtuar nga B x dhe B z do të përcaktojë pozicionin e pikës B.Kapitulli 6. PROJEKIONET E NJË PIKË. VIZATIM KOMPLEKS
§ 32. Vizatim kompleks i një pike
60.gif
61.gif
7. Pyetje për vetëtestim
PYETJE VETËTESTIMI
33. Elementet e një vizatimi kompleks me tre projeksione të një pike
§ 33. Elemente të një vizatimi kompleks me tre projeksione të një pike
62.gif
63.gif
34. Pozicioni i një pike në hapësirën këndore tredimensionale
§ 34. Pozicioni i një pike në hapësirën e një këndi tredimensional
35. Pikat konkurruese
§ 35. Pikët konkurruese
64.gif
36. Zëvendësimi i planeve të projeksionit
§ 36. Ndërrimi i planeve të projeksionit
Ndërtimi i projeksioneve të pikave
Përcaktimi i pozicionit të pikave në hapësirë
Oktantët
Shenjat e koordinatave
x
y
z
1
+
+
+
2
+
–
+
3
+
–
–
4
+
+
–
5
–
+
+
6
–
–
+
7
–
–
–
8
–
+
–
Ndërtimi i një imazhi vizual të pikave në sistemin e planeve P 1, P 2, P 3
