Uvažujme ľubovoľnú priamku l (krivku alebo prerušovanú čiaru) ležiacu v určitej rovine (obr. 386, a, b) a ľubovoľný bod M, ktorý v tejto rovine neleží. Všetky možné priamky spájajúce bod M so všetkými bodmi priamky tvoria plochu a; takáto plocha sa nazýva kužeľová plocha, bod je vrchol, priamka sa nazýva vedenie, priamky sú generátory. Na obr. 386 povrch neobmedzujeme na jeho vrchol, ale predstavme si, že sa nekonečne rozprestiera po oboch stranách vrcholu.
Ak je kužeľová plocha prerezaná nejakou rovinou rovnobežnou s rovinou vedenia, potom v reze dostaneme čiaru (krivku alebo prerušovanú čiaru, podľa toho, či to bola krivka alebo prerušovaná čiara), homotetickú s čiarou l, so stredom homotetity v hornej časti kužeľovej plochy. Pomer všetkých zodpovedajúcich úsečiek bude skutočne konštantný:
Takže rezy kužeľovej plochy rovinami rovnobežnými s rovinou vodidla sú podobné a podobne umiestnené, so stredom podobnosti v hornej časti kužeľovej plochy; to isté platí pre všetky rovnobežné roviny, ktoré neprechádzajú vrcholom povrchu.
Teraz nech je vodítkom uzavretá konvexná čiara (krivka na obr. 387, a, prerušovaná čiara na obr. 387, b). Teleso ohraničené bočne kužeľovým povrchom medzi jeho vrcholom a rovinou vedenia a plochou základňou v rovine vedenia sa nazýva kužeľ (ak ide o zakrivenú čiaru) alebo pyramída (ak ide o prerušovaná čiara).
Pyramídy sú klasifikované podľa počtu strán polygónu, ktorý leží na ich základni. Hovoria o trojuholníkových, štvoruholníkových a všeobecne -uhlových pyramídach. Všimnite si, že -uhoľná pyramída má tvár: bočné steny a základňu. Na vrchole pyramídy máme -hedrálny uhol s plochými a dihedrálnymi uhlami.
Nazývajú sa ploché vrcholové uhly a dihedrálne uhly na bočných hranách. Na vrcholoch základne máme trojstenné uhly; ich ploché uhly tvorené stranami, hranami a stranami základne sa nazývajú ploché uhly na základni, dihedrálne uhly medzi bočnými stenami a rovinou základne sa nazývajú dihedrálne uhly v základni.
Trojuholníková pyramída sa inak nazýva štvorsten (teda štvorsten). Ako základ možno použiť ktorúkoľvek z jeho tvárí.
Pyramída sa nazýva pravidelná, ak sú splnené dve podmienky: 1) pravidelný mnohouholník leží na základni pyramídy,
2) výška znížená od vrcholu pyramídy k základni ju pretína v strede tohto mnohouholníka (inými slovami, vrchol pyramídy sa premieta do stredu základne).
Všimnite si, že pravidelná pyramída nie je vo všeobecnosti pravidelným mnohostenom!
Zaznamenávame niektoré vlastnosti pravidelnej uhoľnej pyramídy. Cez vrchol takejto pyramídy nakreslíme výšku SO (obr. 388).
Otočme celú pyramídu ako celok okolo tejto výšky o uhol.Takýmto otočením sa základný mnohouholník zmení na seba: každý jeho vrchol zaujme polohu susedného. Vrch pyramídy a jej výška (os rotácie!) zostanú na svojom mieste, a preto sa pyramída ako celok spojí sama so sebou: každá bočná hrana pôjde na ďalšiu, každá bočná stena sa spojí s ďalší, každý uhol klinu na bočnom okraji bude tiež kombinovaný so susedným.
Z toho vyplýva záver: všetky bočné hrany sú si navzájom rovné, všetky bočné strany sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky, všetky uhly klinu na základni sú rovnaké, všetky ploché uhly na vrchu sú rovnaké, všetky ploché uhly na základni sú rovnaké.
Z počtu kužeľov v priebehu elementárnej geometrie študujeme pravý kruhový kužeľ, teda kužeľ, ktorého základňou je kruh a ktorého vrchol sa premieta do stredu tohto kruhu.
Priamy kruhový kužeľ je znázornený na obr. 389. Ak vrcholom kužeľa nakreslíme výšku SO a otočíme kužeľ okolo tejto výšky o ľubovoľný uhol, potom sa obvod podstavy bude sám posúvať; výška a vrchol zostanú na svojom mieste, takže pri otočení do akéhokoľvek uhla sa kužeľ vyrovná sám so sebou. Z toho je vidieť najmä to, že všetky generátory kužeľa sú si navzájom rovné a sú rovnako naklonené k rovine základne. Úseky kužeľa rovinami prechádzajúcimi jeho výškou budú rovnoramenné trojuholníky navzájom rovnaké. Celý kužeľ sa získa otočením pravouhlého trojuholníka SOA okolo jeho nohy (ktorá sa stane výškou kužeľa). Preto je pravý kruhový kužeľ rotačným telesom a nazýva sa aj rotačný kužeľ. Ak nie je uvedené inak, pre stručnosť budeme ďalej hovoriť jednoducho „kužeľ“, čo znamená kužeľ revolúcie.
Rezy kužeľa rovinami rovnobežnými s rovinou jeho základne sú kružnice (už len preto, že sú homotetické s kružnicou základne).
Úloha. Dihedrálne uhly na základni pravidelnej trojuholníkovej pyramídy sú a. Nájdite dihedrálne uhly na bočných okrajoch.
rozhodnutie. Dočasne označme stranu podstavy pyramídy ako a. Narysujme si rez pyramídou rovinou obsahujúcou jej výšku SO a stred podstavy AM (obr. 390).
Kužeľ (presnejšie kruhový kužeľ) je teleso, ktoré pozostáva z kruhu - základne kužeľa, bodu, ktorý neleží v rovine tohto kruhu - vrcholu kužeľa a všetkých segmentov spájajúcich vrchol kužeľa. kužeľ s hrotmi podstavy (obr. 1) Úsečky spájajúce vrchol kužeľa s bodmi obvodu podstavy sa nazývajú tvoriace priamky kužeľa. Všetky generátory kužeľa sú si navzájom rovné. Povrch kužeľa pozostáva zo základne a bočnej plochy.
Ryža. jeden
Kužeľ sa nazýva rovný, ak čiara spájajúca vrchol kužeľa so stredom podstavy je kolmá na rovinu podstavy. Vizuálne si priamy kruhový kužeľ možno predstaviť ako teleso získané otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo jeho nohy ako osi (obr. 2).
Ryža. 2
Výška kužeľa je kolmica vedená od jeho vrcholu k rovine jeho základne. Pre pravý kužeľ sa základňa výšky zhoduje so stredom základne. Os pravého kruhového kužeľa sa nazýva priamka obsahujúca jeho výšku.
Rez kužeľa rovinou prechádzajúcou jeho vrcholom je rovnoramenný trojuholník, ktorého strany sú generátormi kužeľa (obr. 3). Najmä rovnoramenný trojuholník je axiálna časť kužeľa. Ide o úsek, ktorý prechádza osou kužeľa (obr. 4).
Ryža. 3 Obr. 4
Plocha povrchu kužeľa
Bočný povrch kužeľa, ako aj bočný povrch valca, je možné otočiť do roviny rezom pozdĺž jedného z generátorov (obr. 2, a, b). Rozvinutím bočnej plochy kužeľa je kruhový sektor (obr. 2.6), ktorého polomer sa rovná tvoriacej priamke kužeľa a dĺžka oblúka sektora je obvod základne kužeľa. .
Oblasť jeho vývoja sa považuje za oblasť bočného povrchu kužeľa. Plochu Sstrana bočnej plochy kužeľa vyjadríme cez jeho tvoriacu čiaru l a polomer podstavy r.
Plocha kruhového sektora - rozvinutie bočného povrchu kužeľa (obr. 2) - sa rovná (Pl2a) / 360, kde a je miera oblúka ABA, preto
Sbok \u003d (Pl2a) / 360. (*)
Vyjadrime a pomocou l a r. Pretože dĺžka oblúka ABA " sa rovná 2Pr (obvod základne kužeľa), potom 2Pr \u003d Pla / 180, z čoho \u003d 360r / l. Nahradením tohto výrazu do vzorca (*), dostaneme:
Sside = Prl. (**)
Plocha bočného povrchu kužeľa sa teda rovná súčinu polovice obvodu základne a tvoriacej čiary.
Celková plocha kužeľa je súčtom plôch bočného povrchu a základne. Na výpočet plochy Scon celého povrchu kužeľa sa získa vzorec: Scon \u003d Pr (l + r). (***)
Frustum
Vezmite ľubovoľný kužeľ a nakreslite rovinu rezu kolmú na jeho os. Táto rovina sa pretína s kužeľom v kruhu a rozdeľuje kužeľ na dve časti. Jedna z častí je kužeľ a druhá sa nazýva zrezaný kužeľ. Základňa pôvodného kužeľa a kružnica získaná v reze tohto kužeľa rovinou sa nazývajú základne zrezaného kužeľa a úsečka spájajúca ich stredy sa nazýva výška zrezaného kužeľa.
Časť kužeľovej plochy, ktorá ohraničuje zrezaný kužeľ, sa nazýva jeho bočná plocha a segmenty tvoriacej čiary kužeľovej plochy uzavreté medzi základňami sa nazývajú generátory zrezaného kužeľa. Všetky generátory zrezaného kužeľa sú si navzájom rovné (dokážte sami).
Plocha bočného povrchu zrezaného kužeľa sa rovná súčinu polovice súčtu obvodov základní a tvoriacej čiary: Sstrana \u003d P (r + r1) l.
Ďalšie informácie o kuželi
1. V geológii existuje pojem "kužeľ na odstraňovanie". Ide o reliéfnu formu vytvorenú nahromadením klastických hornín (kamienky, štrk, piesok) unášaných horskými riekami do podhorskej nížiny alebo do plochejšieho širokého údolia.
2. V biológii existuje pojem „kužeľ rastu“. Toto je vrchol výhonku a koreňa rastlín, ktorý pozostáva z buniek vzdelávacieho tkaniva.
3. "Kužele" je čeľaď morských mäkkýšov podtriedy predných žiabier. Škrupina je kužeľovitá (2–16 cm), pestrofarebná. Existuje viac ako 500 druhov šišiek. Žijú v trópoch a subtrópoch, sú predátormi, majú jedovatú žľazu. Uhryznutie šišiek je veľmi bolestivé. Známe úmrtia. Mušle sa používajú ako dekorácie a suveníry.
4. Podľa štatistík zomiera ročne na Zem (častejšie v južných krajinách) na výboj blesku 6 ľudí na 1 milión obyvateľov. To by sa nestalo, keby boli všade bleskozvody, keďže vzniká bezpečnostný kužeľ. Čím vyšší je bleskozvod, tým väčší je objem takéhoto kužeľa. Niektorí sa snažia pred výbojmi ukryť pod strom, ale strom nie je vodič, hromadia sa na ňom náboje a strom môže byť zdrojom napätia.
5. Vo fyzike existuje pojem "pevný uhol". Toto je skosený roh vyrezaný do lopty. Jednotkou priestorového uhla je 1 steradián. 1 steradián je priestorový uhol, ktorého štvorec polomeru sa rovná ploche časti gule, ktorú vyrezáva. Ak je v tomto rohu umiestnený svetelný zdroj 1 kandela (1 sviečka), potom dostaneme svetelný tok 1 lumen. Svetlo z filmovej kamery, svetlometu, sa šíri vo forme kužeľa.
Kužeľ (z gréckeho "konos")- Borovicová šiška. Šiška je ľuďom známa už od staroveku. V roku 1906 bola objavená kniha „O metóde“, ktorú napísal Archimedes (287-212 pred Kr.), v tejto knihe sa rieši problém objemu spoločnej časti pretínajúcich sa valcov. Archimedes hovorí, že tento objav patrí starogréckemu filozofovi Demokritovi (470-380 pred Kr.), ktorý na tomto princípe získal vzorce na výpočet objemu pyramídy a kužeľa.
Kužeľ (kruhový kužeľ) - teleso, ktoré pozostáva z kruhu - základne kužeľa, bodu, ktorý nepatrí do roviny tohto kruhu - vrchol kužeľa a všetky segmenty spájajúce vrchol kužeľa a základňu. kruhové body. Segmenty, ktoré spájajú vrchol kužeľa s bodmi kruhu základne, sa nazývajú generátory kužeľa. Povrch kužeľa pozostáva zo základne a bočnej plochy.
Kužeľ sa nazýva rovný, ak čiara, ktorá spája vrchol kužeľa so stredom podstavy, je kolmá na rovinu podstavy. Pravý kruhový kužeľ možno považovať za teleso získané otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo jeho nohy ako osi.
Výška kužeľa je kolmica vedená od jeho vrcholu k rovine jeho základne. Pre pravý kužeľ sa základňa výšky zhoduje so stredom základne. Os pravého kužeľa je priamka obsahujúca jeho výšku.
Úsek kužeľa rovinou prechádzajúcou cez tvoriacu čiaru kužeľa a kolmý na axiálny rez pretiahnutý touto tvoriacou čiarou sa nazýva dotyčnicová rovina kužeľa.
Rovina kolmá na os kužeľa pretína kužeľ v kruhu a bočná plocha v kruhu so stredom v osi kužeľa.
Rovina kolmá na os kužeľa z nej odreže menší kužeľ. Zvyšok sa nazýva zrezaný kužeľ.
Objem kužeľa sa rovná jednej tretine súčinu výšky a plochy základne. Všetky kužele, ktoré spočívajú na danej základni a majú vrchol umiestnený v danej rovine rovnobežnej so základňou, majú teda rovnaký objem, pretože ich výšky sú rovnaké.
Bočný povrch kužeľa možno nájsť pomocou vzorca:
Strana S \u003d πRl,
Celková plocha kužeľa sa zistí podľa vzorca:
S con \u003d πRl + πR 2,
kde R je polomer základne, l je dĺžka tvoriacej čiary.
Objem kruhového kužeľa je
V = 1/3 πR 2 H,
kde R je polomer základne, H je výška kužeľa
Plochu bočného povrchu zrezaného kužeľa možno nájsť podľa vzorca:
strana S = π(R + r)l,
Celkový povrch zrezaného kužeľa možno nájsť pomocou vzorca:
S con \u003d πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,
kde R je polomer spodnej základne, r je polomer hornej základne, l je dĺžka tvoriacej čiary.
Objem zrezaného kužeľa možno nájsť takto:
V = 1/3 πH(R2 + Rr + r2),
kde R je polomer spodnej základne, r je polomer hornej základne, H je výška kužeľa.
blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.
Definície:
Definícia 1. Kužeľ
Definícia 2. Kruhový kužeľ
Definícia 3. Výška kužeľa
Definícia 4. Rovný kužeľ
Definícia 5. Pravý kruhový kužeľ
Veta 1. Generátory kužeľa
Veta 1.1. Axiálny rez kužeľa
Objem a plocha:
Veta 2. Objem kužeľa
Veta 3. Plocha bočného povrchu kužeľa
Frustum:
Veta 4. Rez rovnobežný so základňou
Definícia 6. Zrezaný kužeľ
Veta 5. Objem zrezaného kužeľa
Veta 6. Plocha bočného povrchu zrezaného kužeľa
Definícia
Teleso ohraničené zo strán kužeľovou plochou medzi jej vrcholom a rovinou vedenia a plochou základňou vedenia tvorenou uzavretou krivkou sa nazýva kužeľ.
Základné pojmy
Kruhový kužeľ je teleso, ktoré pozostáva z kruhu (základne), bodu, ktorý neleží v rovine základne (vrchol) a všetkých segmentov spájajúcich vrchol s bodmi základne. 
Pravý kužeľ je kužeľ, ktorého výška obsahuje stred základne kužeľa ako jeho základňu.
Zvážte akúkoľvek čiaru (krivku, prerušovanú alebo zmiešanú) (napr. l) ležiaci v nejakej rovine a ľubovoľný bod (napríklad M), ktorý v tejto rovine neleží. Všetky možné priamky spájajúce bod M so všetkými bodmi danej priamky l, formulár povrch nazývaný kanonický. Bod M je vrcholom takejto plochy a danej priamky l - sprievodca. Všetky priamky spájajúce bod M so všetkými bodmi priamky l, volal generovanie. Kanonický povrch nie je obmedzený svojim vrcholom alebo vedením. Rozprestiera sa neobmedzene na oboch stranách vrcholu. Teraz nech je vodítkom uzavretá konvexná čiara. Ak je vodidlom prerušovaná čiara, potom sa teleso ohraničené zboku kánonickým povrchom medzi jeho vrcholom a rovinou vodidla a plochou základňou v rovine vodidla nazýva pyramída.
Ak je vedenie krivkou alebo zmiešanou čiarou, potom sa teleso ohraničené zboku kánonickou plochou medzi jeho vrcholom a rovinou vedenia a plochou základňou v rovine vedenia nazývame kužeľ alebo
Definícia 1
. Kužeľ je teleso pozostávajúce zo základne - plochého útvaru ohraničeného uzavretou čiarou (krivou alebo zmiešanou), vrcholu - bodu, ktorý neleží v rovine základne, a všetkých segmentov spájajúcich vrchol so všetkými možnými bodmi. základne.
Všetky priamky prechádzajúce vrcholom kužeľa a ktorýmkoľvek bodom krivky, ktorá ohraničuje obrazec základne kužeľa, sa nazývajú generátory kužeľa. Najčastejšie v geometrických úlohách tvoriaca čiara priamky znamená úsek tejto priamky uzavretý medzi vrcholom a rovinou základne kužeľa.
Spodná časť limitovanej zmiešanej línie je veľmi zriedkavý prípad. Je tu uvedený len preto, že sa s ním dá uvažovať v geometrii. Častejšie sa zvažuje prípad so zakriveným vedením. Aj keď, že puzdro s ľubovoľnou krivkou, že puzdro so zmiešaným vedením je málo užitočné a je ťažké z nich odvodiť nejaké zákonitosti. Z počtu kužeľov v elementárnej geometrii sa študuje pravý kruhový kužeľ.
Je známe, že kruh je špeciálny prípad uzavretej zakrivenej čiary. Kruh je plochá postava ohraničená kruhom. Ak použijete kruh ako vodidlo, môžete definovať kruhový kužeľ.
Definícia 2
. Kruhový kužeľ je teleso, ktoré pozostáva z kruhu (základne), bodu, ktorý neleží v rovine základne (vrchol) a všetkých segmentov spájajúcich vrchol s bodmi základne.
Definícia 3
. Výška kužeľa je kolmica spadnutá zhora na rovinu základne kužeľa. Je možné vyčleniť kužeľ, ktorého výška spadá do stredu plochej postavy základne.
Definícia 4
. Pravý kužeľ je kužeľ, ktorého výška obsahuje stred základne kužeľa ako jeho základňu.
Ak tieto dve definície spojíme, dostaneme kužeľ, ktorého základňou je kruh a výška spadá do stredu tohto kruhu.
Definícia 5
. Pravý kruhový kužeľ sa nazýva kužeľ, ktorého základňa je kruh a jeho výška spája vrchol a stred základne tohto kužeľa. Takýto kužeľ sa získa otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo jednej z nôh. Preto je pravý kruhový kužeľ rotačným telesom a nazýva sa aj rotačný kužeľ. Pokiaľ nie je uvedené inak, pre stručnosť v nasledujúcom povieme jednoducho kužeľ.
Takže tu sú niektoré vlastnosti kužeľa:
Veta 1.
Všetky generátory kužeľa sú rovnaké. Dôkaz. Výška MO je podľa definície kolmá na všetky čiary základne, kolmá na čiaru k rovine. Preto sú trojuholníky MOA, MOV a MOS pravouhlé a sú rovnaké v dvoch ramenách (MO - všeobecný, OA \u003d OB \u003d OS - polomery základne. Preto sú prepony, t. j. generátory, tiež rovnaké.
Polomer základne kužeľa sa niekedy nazýva polomer kužeľa. Výška kužeľa sa tiež nazýva os kužeľa, takže každý úsek prechádzajúci výškou sa nazýva axiálny rez. Akýkoľvek axiálny rez pretína základňu v priemere (pretože priamka, pozdĺž ktorej sa axiálny rez a rovina základne pretínajú, prechádza stredom kruhu) a tvorí rovnoramenný trojuholník.
Veta 1.1.
Axiálny rez kužeľa je rovnoramenný trojuholník. Trojuholník AMB je teda rovnoramenný, pretože. jeho dve strany MB a MA sú generátory. Uhol AMB je uhol vo vrchole axiálneho rezu.
Dnes vám povieme, ako nájsť tvoriacu čiaru kužeľa, ktorá sa často vyžaduje pri úlohách školskej geometrie.
Koncept tvoriacej čiary kužeľa
Pravý kužeľ je obrazec, ktorý je výsledkom rotácie pravouhlého trojuholníka okolo jednej z jeho nôh. Základňa kužeľa tvorí kruh. Vertikálna časť kužeľa je trojuholník, horizontálna časť je kruh. Výška kužeľa je segment, ktorý spája hornú časť kužeľa so stredom základne. Tvoriaca čiara kužeľa je úsečka, ktorá spája vrchol kužeľa s ľubovoľným bodom na priamke obvodu základne.
Keďže kužeľ je vytvorený rotáciou pravouhlého trojuholníka, ukazuje sa, že prvá vetva takéhoto trojuholníka je výška, druhá je polomer kruhu ležiaceho na základni a tvoriaca čiara kužeľa bude hypotenzia. Je ľahké uhádnuť, že Pytagorova veta je užitočná na výpočet dĺžky tvoriacej čiary. A teraz viac o tom, ako zistiť dĺžku tvoriacej čiary kužeľa.
Nájdenie generatrix
Najjednoduchší spôsob, ako pochopiť, ako nájsť generatrix, je použiť konkrétny príklad. Predpokladajme, že sú dané nasledujúce podmienky úlohy: výška je 9 cm, priemer základnej kružnice je 18 cm.Je potrebné nájsť tvoriacu čiaru.
Výška kužeľa (9 cm) je teda jednou z nôh pravouhlého trojuholníka, pomocou ktorej bol tento kužeľ vytvorený. Druhé rameno bude mať polomer základnej kružnice. Polomer je polovica priemeru. Takto daný priemer rozdelíme na polovicu a dostaneme dĺžku polomeru: 18:2 = 9. Polomer je 9.
Teraz je veľmi ľahké nájsť tvoriacu čiaru kužeľa. Keďže ide o preponu, druhá mocnina jej dĺžky sa bude rovnať súčtu druhých mocnín nôh, teda súčtu druhých mocnín polomeru a výšky. Takže druhá mocnina dĺžky generátora = 64 (druhá mocnina dĺžky polomeru) + 64 (druhá mocnina dĺžky výšky) = 64x2 = 128. Teraz extrahujeme druhú odmocninu z 128. výsledkom je osem koreňov z dvoch. Toto bude tvoriaca čiara kužeľa.
Ako vidíte, nie je v tom nič zložité. Napríklad sme zobrali jednoduché podmienky problému, ale v školskom kurze môžu byť komplikovanejšie. Pamätajte, že na výpočet dĺžky tvoriacej čiary je potrebné zistiť polomer kruhu a výšku kužeľa. Po znalosti týchto údajov je ľahké nájsť dĺžku tvoriacej čiary.
