Statika je odvetvie teoretickej mechaniky, ktoré študuje rovnovážne podmienky pre hmotné telesá pri pôsobení síl, ako aj metódy premeny síl na ekvivalentné systémy.

Pod rovnovážnym stavom sa v statike rozumie stav, v ktorom sú všetky časti mechanického systému v pokoji vzhľadom na nejaký inerciálny súradnicový systém. Jedným zo základných predmetov statiky sú sily a body ich pôsobenia.

Sila pôsobiaca na hmotný bod s vektorom polomeru z iných bodov je mierou vplyvu iných bodov na uvažovaný bod, v dôsledku čoho dostáva zrýchlenie voči inerciálnej referenčnej sústave. Hodnota silu sa určuje podľa vzorca:
,
kde m je hmotnosť bodu - hodnota, ktorá závisí od vlastností samotného bodu. Tento vzorec sa nazýva druhý Newtonov zákon.

Aplikácia statiky v dynamike

Dôležitým znakom pohybových rovníc absolútne tuhého telesa je, že sily môžu byť premenené na ekvivalentné systémy. Takouto transformáciou si pohybové rovnice zachovajú svoj tvar, ale sústava síl pôsobiacich na teleso sa môže pretransformovať na jednoduchšiu sústavu. Bod pôsobenia sily sa teda môže pohybovať pozdĺž línie jej pôsobenia; sily môžu byť rozšírené podľa pravidla rovnobežníka; sily pôsobiace v jednom bode možno nahradiť ich geometrickým súčtom.

Príkladom takýchto premien je gravitácia. Pôsobí na všetky body tuhého telesa. Ale zákon pohybu telesa sa nezmení, ak sa gravitačná sila rozložená vo všetkých bodoch nahradí jediným vektorom aplikovaným v ťažisku telesa.

Ukazuje sa, že ak k hlavnej sústave síl pôsobiacich na teleso pridáme ekvivalentnú sústavu, v ktorej sú smery síl obrátené, potom bude teleso pôsobením týchto sústav v rovnováhe. Úloha určovania ekvivalentných systémov síl sa teda redukuje na problém rovnováhy, teda na problém statiky.

Hlavná úloha statiky je ustanovenie zákonov na premenu sústavy síl na rovnocenné sústavy. Metódy statiky sa teda využívajú nielen pri štúdiu telies v rovnováhe, ale aj v dynamike tuhého telesa, pri transformácii síl na jednoduchšie ekvivalentné sústavy.

Statika hmotného bodu

Zvážte hmotný bod, ktorý je v rovnováhe. A nech naň pôsobí n síl, k = 1, 2, ..., č.

Ak je hmotný bod v rovnováhe, potom sa vektorový súčet síl, ktoré naň pôsobia, rovná nule:
(1) .

V rovnováhe je geometrický súčet síl pôsobiacich na bod nulový.

Geometrická interpretácia. Ak sa začiatok druhého vektora umiestni na koniec prvého vektora a začiatok tretieho vektora sa umiestni na koniec druhého vektora a potom tento proces pokračuje, koniec posledného, ​​n-tého vektora bude byť kombinovaný so začiatkom prvého vektora. To znamená, že dostaneme uzavretý geometrický obrazec, ktorého dĺžky strán sa rovnajú modulom vektorov. Ak všetky vektory ležia v rovnakej rovine, dostaneme uzavretý mnohouholník.

Často je vhodné si vybrať pravouhlý súradnicový systém Oxyz. Potom sa súčty priemetov všetkých vektorov síl na súradnicové osi rovnajú nule:

Ak zvolíte akýkoľvek smer definovaný nejakým vektorom , potom sa súčet priemetov vektorov síl v tomto smere rovná nule:
.
Rovnicu (1) skalárne vynásobíme vektorom:
.
Tu je skalárny súčin vektorov a .
Všimnite si, že projekcia vektora do smeru vektora je určená vzorcom:
.

Pevná statika tela

Moment sily o bode

Určenie momentu sily

Moment sily, aplikovaný na teleso v bode A vzhľadom na pevný stred O, sa nazýva vektor rovný vektorovému súčinu vektorov a:
(2) .

Geometrická interpretácia

Moment sily sa rovná súčinu sily F a ramena OH.

Nech sa vektory a nachádzajú v rovine obrázku. Podľa vlastnosti krížového súčinu je vektor kolmý na vektory a to znamená kolmý na rovinu obrázku. Jeho smer je určený správnym skrutkovým pravidlom. Na obrázku je momentový vektor nasmerovaný k nám. Absolútna hodnota okamihu:
.
Odvtedy
(3) .

Pomocou geometrie je možné poskytnúť inú interpretáciu momentu sily. Za týmto účelom nakreslite priamku AH cez vektor sily . Zo stredu O spustíme kolmicu OH na túto čiaru. Dĺžka tejto kolmice je tzv rameno sily. Potom
(4) .
Pretože vzorce (3) a (4) sú ekvivalentné.

Touto cestou, absolútna hodnota momentu sily vzhľadom na stred O je súčin sily na ramene táto sila voči zvolenému stredu O .

Pri výpočte momentu je často vhodné rozložiť silu na dve zložky:
,
kde . Sila prechádza cez bod O. Preto je jeho hybnosť nulová. Potom
.
Absolútna hodnota okamihu:
.

Zložky momentu v pravouhlých súradniciach

Ak zvolíme pravouhlý súradnicový systém Oxyz so stredom v bode O, potom moment sily bude mať tieto zložky:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Tu sú súradnice bodu A vo vybranom súradnicovom systéme:
.
Komponenty sú hodnoty momentu sily okolo osí, resp.

Vlastnosti momentu sily okolo stredu

Moment okolo stredu O zo sily prechádzajúcej týmto stredom sa rovná nule.

Ak sa bod pôsobenia sily posunie pozdĺž priamky prechádzajúcej vektorom sily, potom sa moment pri takomto pohybe nezmení.

Moment z vektorového súčtu síl pôsobiacich na jeden bod telesa sa rovná vektorovému súčtu momentov z každej zo síl pôsobiacich na ten istý bod:
.

To isté platí pre sily, ktorých predlžovacie čiary sa pretínajú v jednom bode.

Ak je vektorový súčet síl nulový:
,
potom súčet momentov z týchto síl nezávisí od polohy stredu, voči ktorému sa momenty počítajú:
.

Mocenský pár

Mocenský pár- sú to dve sily rovnaké v absolútnej hodnote, ktoré majú opačný smer, pôsobiace na rôzne body tela.

Dvojicu síl charakterizuje moment, kedy sa vytvárajú. Pretože vektorový súčet síl obsiahnutých v páre je nulový, moment vytvorený párom nezávisí od bodu, ku ktorému sa moment vypočíta. Z hľadiska statickej rovnováhy je povaha síl vo dvojici irelevantná. Dvojica síl sa používa na označenie toho, že na teleso pôsobí moment síl, ktorý má určitú hodnotu.

Moment sily okolo danej osi

Často sa vyskytujú prípady, keď nepotrebujeme poznať všetky zložky momentu sily o vybranom bode, ale potrebujeme poznať len moment sily o vybranej osi.

Moment sily okolo osi prechádzajúcej bodom O je priemetom vektora momentu sily okolo bodu O na smer osi.

Vlastnosti momentu sily okolo osi

Moment okolo osi od sily prechádzajúcej touto osou sa rovná nule.

Moment okolo osi od sily rovnobežnej s touto osou je nulový.

Výpočet momentu sily okolo osi

Nech na teleso v bode A pôsobí sila. Nájdite moment tejto sily vzhľadom na os O′O′′.

Zostavme si pravouhlý súradnicový systém. Nech sa os Oz zhoduje s O′O′′ . Z bodu A spustíme kolmicu OH na O′O′′ . Cez body O a A nakreslíme os Ox. Os Oy nakreslíme kolmo na Ox a Oz. Silu rozložíme na zložky pozdĺž osí súradnicového systému:
.
Sila pretína os O′O′′. Preto je jeho hybnosť nulová. Sila je rovnobežná s osou O′O′′. Preto je jeho moment tiež nulový. Podľa vzorca (5.3) zistíme:
.

Všimnite si, že komponent smeruje tangenciálne ku kružnici, ktorej stredom je bod O . Smer vektora je určený správnym skrutkovým pravidlom.

Podmienky rovnováhy pre tuhé teleso

V rovnováhe je vektorový súčet všetkých síl pôsobiacich na teleso rovný nule a vektorový súčet momentov týchto síl voči ľubovoľnému pevnému stredu je rovný nule:
(6.1) ;
(6.2) .

Zdôrazňujeme, že stred O, voči ktorému sa počítajú momenty síl, je možné zvoliť ľubovoľne. Bod O môže patriť telu alebo byť mimo neho. Zvyčajne sa volí stred O na uľahčenie výpočtov.

Rovnovážne podmienky môžu byť formulované iným spôsobom.

V rovnováhe je súčet projekcií síl na ľubovoľný smer daný ľubovoľným vektorom rovný nule:
.
Súčet momentov síl okolo ľubovoľnej osi O′O′′ sa tiež rovná nule:
.

Niekedy sú tieto podmienky výhodnejšie. Sú chvíle, kedy je možné výberom osí zjednodušiť výpočty.

Ťažisko tela

Zvážte jednu z najdôležitejších síl - gravitáciu. Tu sa sily neaplikujú v určitých bodoch telesa, ale sú plynule rozložené po jeho objeme. Pre každú časť tela s nekonečne malým objemom ∆V, pôsobí gravitačná sila. Tu je ρ hustota hmoty telesa, je zrýchlenie voľného pádu.

Nech je hmotnosť nekonečne malej časti tela. A nech bod A k definuje polohu tohto úseku. Nájdite veličiny súvisiace s gravitačnou silou, ktoré sú zahrnuté v rovnovážnych rovniciach (6).

Nájdite súčet gravitačných síl vytvorených všetkými časťami tela:
,
kde je hmotnosť tela. Súčet gravitačných síl jednotlivých nekonečne malých častí telesa teda môže byť nahradený jedným gravitačným vektorom celého telesa:
.

Nájdite súčet momentov gravitačných síl vo vzťahu k zvolenému stredu O ľubovoľným spôsobom:

.
Tu sme zaviedli bod C, ktorý je tzv ťažisko telo. Poloha ťažiska v súradnicovom systéme so stredom v bode O je určená vzorcom:
(7) .

Takže pri určovaní statickej rovnováhy možno súčet tiažových síl jednotlivých sekcií telesa nahradiť výslednicou
,
aplikovaný na ťažisko telesa C , ktorého poloha je určená vzorcom (7).

Polohu ťažiska pre rôzne geometrické tvary možno nájsť v príslušných referenčných knihách. Ak má teleso os alebo rovinu symetrie, potom je ťažisko umiestnené na tejto osi alebo rovine. Ťažiská gule, kruhu alebo kruhu sa teda nachádzajú v stredoch kruhov týchto postáv. Ťažiská pravouhlého rovnobežnostena, obdĺžnika alebo štvorca sú tiež umiestnené v ich stredoch - v priesečníkoch uhlopriečok.

Rovnomerne (A) a lineárne (B) rozložené zaťaženie.

Existujú aj prípady podobné gravitačnej sile, kedy sily nepôsobia v určitých bodoch telesa, ale sú plynule rozložené po jeho povrchu alebo objeme. Takéto sily sú tzv rozložené sily alebo .

(Obrázok A). Rovnako ako v prípade gravitácie môže byť nahradená výslednou silou veľkosti , aplikovanou v ťažisku diagramu. Keďže diagram na obrázku A je obdĺžnik, ťažisko diagramu je v jeho strede - v bode C: | AC | = | CB |.

(obrázok B). Dá sa nahradiť aj výslednicou. Hodnota výslednice sa rovná ploche diagramu:
.
Miesto aplikácie je v ťažisku pozemku. Ťažisko trojuholníka, výška h, je vo vzdialenosti od základne. Preto .

Trecie sily

Klzné trenie. Nechajte telo na rovnom povrchu. A nech je sila kolmá na povrch, ktorým povrch pôsobí na teleso (tlaková sila). Potom je klzná trecia sila rovnobežná s povrchom a nasmerovaná do strany, čím bráni pohybu telesa. Jeho najväčšia hodnota je:
,
kde f je koeficient trenia. Koeficient trenia je bezrozmerná veličina.

valivé trenie. Zaoblený korpus necháme vaľkať alebo sa môže váľať po povrchu. A nech je tlaková sila kolmá na povrch, ktorým povrch pôsobí na teleso. Potom na teleso v mieste dotyku s povrchom pôsobí moment trecích síl, ktorý bráni pohybu telesa. Najväčšia hodnota trecieho momentu je:
,
kde δ je koeficient valivého trenia. Má rozmer dĺžky.

Referencie:
S. M. Targ, Krátky kurz teoretickej mechaniky, Vysoká škola, 2010.

Predmet zahŕňa: kinematiku bodu a tuhého telesa (a z rôznych uhlov pohľadu sa navrhuje uvažovať o probléme orientácie tuhého telesa), klasické problémy dynamiky mechanických sústav a dynamiku tuhého telesa, prvky nebeskej mechaniky, pohyb sústav s premenlivým zložením, impaktová teória, diferenciálne rovnice analytickej dynamiky.

Kurz prezentuje všetky tradičné sekcie teoretickej mechaniky, ale osobitná pozornosť je venovaná tým najvýznamnejším a najcennejším pre teóriu a aplikácie sekciám dynamiky a metód analytickej mechaniky; statika sa študuje ako sekcia dynamiky a v sekcii kinematiky sú podrobne uvedené pojmy potrebné pre sekciu dynamiky a matematický aparát.

Informačné zdroje

Gantmakher F.R. Prednášky o analytickej mechanike. - 3. vyd. – M.: Fizmatlit, 2001.
Zhuravlev V.F. Základy teoretickej mechaniky. - 2. vyd. - M.: Fizmatlit, 2001; 3. vyd. – M.: Fizmatlit, 2008.
Markeev A.P. Teoretická mechanika. - Moskva - Iževsk: Výskumné centrum "Pravidelná a chaotická dynamika", 2007.

Požiadavky

Kurz je určený pre študentov, ktorí vlastnia aparát analytickej geometrie a lineárnej algebry v rámci prvého ročníka technickej univerzity.

Program kurzu

1. Kinematika bodu
1.1. Problémy kinematiky. Kartézsky súradnicový systém. Rozklad vektora v ortonormálnej báze. Vektor polomeru a súradnice bodu. Bodová rýchlosť a zrýchlenie. Trajektória pohybu.
1.2. Prírodný trojuholníkový. Rozšírenie rýchlosti a zrýchlenia v osiach prirodzeného triédra (Huygensova veta).
1.3. Súradnice krivočiarych bodov, príklady: polárne, cylindrické a sférické súradnicové systémy. Zložky rýchlosti a projekcie zrýchlenia na osiach krivočiareho súradnicového systému.

2. Metódy určenia orientácie tuhého telesa
2.1. Pevné. Pevné a na telo viazané súradnicové systémy.
2.2. Ortogonálne rotačné matice a ich vlastnosti. Eulerova veta o konečnom obrate.
2.3. Aktívne a pasívne uhly pohľadu na ortogonálnu transformáciu. Pridanie zákrut.
2.4. Konečné uhly rotácie: Eulerove uhly a uhly "lietadla". Vyjadrenie ortogonálnej matice pomocou konečných uhlov natočenia.

3. Priestorový pohyb tuhého telesa
3.1. Translačný a rotačný pohyb tuhého telesa. Uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie.
3.2. Rozloženie rýchlostí (Eulerov vzorec) a zrýchlení (Rivalov vzorec) bodov tuhého telesa.
3.3. Kinematické invarianty. Kinematická skrutka. Okamžitá skrutková náprava.

4. Rovinnoparalelný pohyb
4.1. Pojem planparalelneho pohybu telesa. Uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie v prípade planparalelného pohybu. Okamžitý stred rýchlosti.

5. Komplexný pohyb bodu a tuhého telesa
5.1. Pevné a pohyblivé súradnicové systémy. Absolútny, relatívny a obrazový pohyb bodu.
5.2. Veta o sčítaní rýchlostí v prípade komplexného pohybu bodu, relatívnej a obraznej rýchlosti bodu. Coriolisova veta o sčítaní zrýchlení pre komplexný pohyb bodu, relatívne, translačné a Coriolisove zrýchlenia bodu.
5.3. Absolútna, relatívna a prenosná uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie telesa.

6. Pohyb tuhého telesa s pevným bodom (kvartérna prezentácia)
6.1. Pojem komplexných a hyperkomplexných čísel. Algebra kvaternionov. Produkt Quaternion. Konjugovaný a inverzný kvaternión, norma a modul.
6.2. Trigonometrické zobrazenie jednotky quaternion. Kvartérna metóda špecifikácie rotácie tela. Eulerova veta o konečnom obrate.
6.3. Vzťah medzi kvartérnymi komponentmi v rôznych bázach. Pridanie zákrut. Rodrigues-Hamiltonove parametre.

7. Skúškové práce

8. Základné pojmy dynamiky.
8.1 Hybnosť, moment hybnosti (kinetický moment), kinetická energia.
8.2 Sila síl, práca síl, potenciál a celková energia.
8.3 Ťažisko (stred zotrvačnosti) sústavy. Moment zotrvačnosti systému okolo osi.
8.4 Momenty zotrvačnosti okolo rovnobežných osí; Huygens-Steinerova veta.
8.5 Tenzor a elipsoid zotrvačnosti. Hlavné osi zotrvačnosti. Vlastnosti osových momentov zotrvačnosti.
8.6 Výpočet momentu hybnosti a kinetickej energie telesa pomocou tenzora zotrvačnosti.

9. Základné teorémy dynamiky v inerciálnych a neinerciálnych vzťažných sústavách.
9.1 Veta o zmene hybnosti sústavy v inerciálnej vzťažnej sústave. Veta o pohybe ťažiska.
9.2 Veta o zmene momentu hybnosti sústavy v inerciálnej vzťažnej sústave.
9.3 Veta o zmene kinetickej energie sústavy v inerciálnej vzťažnej sústave.
9.4 Potenciálne, gyroskopické a disipatívne sily.
9.5 Základné teorémy dynamiky v neinerciálnych vzťažných sústavách.

10. Pohyb tuhého telesa s pevným bodom zotrvačnosťou.
10.1 Eulerove dynamické rovnice.
10.2 Eulerov prípad, prvé integrály dynamických rovníc; trvalé rotácie.
10.3 Výklady Poinsota a Macculaga.
10.4 Pravidelná precesia v prípade dynamickej symetrie tela.

11. Pohyb ťažkého tuhého telesa s pevným bodom.
11.1 Všeobecná formulácia úlohy pohybu ťažkého tuhého telesa okolo.
pevný bod. Eulerove dynamické rovnice a ich prvé integrály.
11.2 Kvalitatívna analýza pohybu tuhého telesa v prípade Lagrangea.
11.3 Vynútená pravidelná precesia dynamicky symetrického tuhého telesa.
11.4 Základný vzorec gyroskopie.
11.5 Pojem elementárnej teórie gyroskopov.

12. Dynamika bodu v centrálnom poli.
12.1 Binetova rovnica.
12.2 Orbitálna rovnica. Keplerove zákony.
12.3 Problém rozptylu.
12.4 Problém dvoch telies. Pohybové rovnice. Plošný integrál, energetický integrál, Laplaceov integrál.

13. Dynamika systémov premenlivého zloženia.
13.1 Základné pojmy a vety o zmene základných dynamických veličín v systémoch premenlivého zloženia.
13.2 Pohyb hmotného bodu premenlivej hmotnosti.
13.3 Pohybové rovnice telesa premenlivého zloženia.

14. Teória impulzívnych pohybov.
14.1 Základné pojmy a axiómy teórie impulzívnych pohybov.
14.2 Vety o zmene základných dynamických veličín pri impulzívnom pohybe.
14.3 Impulzívny pohyb tuhého telesa.
14.4 Zrážka dvoch tuhých telies.
14.5 Carnotove vety.

15. Kontrolná práca

Výsledky vzdelávania

V dôsledku zvládnutia disciplíny musí študent:

• Vedieť:
  • základné pojmy a vety z mechaniky a metódy štúdia pohybu mechanických systémov z nich vyplývajúcich;
• Byť schopný:
  • správne formulovať problémy z hľadiska teoretickej mechaniky;
  • vyvinúť mechanické a matematické modely, ktoré primerane odrážajú hlavné vlastnosti uvažovaných javov;
  • aplikovať získané poznatky na riešenie relevantných špecifických problémov;
• Vlastné:
  • zručnosti pri riešení klasických problémov teoretickej mechaniky a matematiky;
  • schopnosti študovať problémy mechaniky a vytvárať mechanické a matematické modely, ktoré primerane opisujú rôzne mechanické javy;
  • zručnosti v praktickom používaní metód a princípov teoretickej mechaniky pri riešení úloh: výpočet sily, určovanie kinematických charakteristík telies s rôznymi spôsobmi uvádzania pohybu, určovanie zákona o pohybe hmotných telies a mechanických sústav pri pôsobení síl;
  • schopnosť samostatne si osvojiť nové informácie v procese výroby a vedeckej činnosti s využitím moderných vzdelávacích a informačných technológií;

Bodová kinematika.

1. Predmet teoretická mechanika. Základné abstrakcie.

Teoretická mechanikaje veda, v ktorej sa študujú všeobecné zákony mechanického pohybu a mechanickej interakcie hmotných telies

Mechanický pohybnazývaný pohyb telesa vo vzťahu k inému telesu, vyskytujúci sa v priestore a čase.

Mechanická interakcia sa nazýva taká interakcia hmotných telies, ktorá mení charakter ich mechanického pohybu.

Statika - Toto je odvetvie teoretickej mechaniky, ktoré študuje metódy premeny sústav síl na ekvivalentné sústavy a stanovuje podmienky pre rovnováhu síl pôsobiacich na pevné teleso.

Kinematika - je odvetvie teoretickej mechaniky, ktoré sa zaoberá pohyb hmotných telies v priestore z geometrického hľadiska bez ohľadu na sily, ktoré na ne pôsobia.

Dynamika - Ide o odvetvie mechaniky, ktoré študuje pohyb hmotných telies v priestore v závislosti od síl, ktoré na ne pôsobia.

Predmety štúdia teoretickej mechaniky:

hmotný bod,

systém hmotných bodov,

Absolútne tuhé telo.

Absolútny priestor a absolútny čas sú na sebe nezávislé. Absolútny priestor - trojrozmerný, homogénny, nehybný euklidovský priestor. Absolútny čas - plynie z minulosti do budúcnosti nepretržite, je homogénna, vo všetkých bodoch priestoru rovnaká a nezávisí od pohybu hmoty.

2. Predmet kinematika.

kinematika - je to odvetvie mechaniky, ktoré študuje geometrické vlastnosti pohybu telies bez zohľadnenia ich zotrvačnosti (t.j. hmotnosti) a síl, ktoré na ne pôsobia.

Na určenie polohy pohybujúceho sa telesa (alebo bodu) s telom, voči ktorému sa pohyb tohto telesa študuje, je pevne spojený nejaký súradnicový systém, ktorý spolu s telom tvorí referenčný systém.

Hlavná úloha kinematiky je pri poznaní zákona o pohybe daného telesa (bodu) určiť všetky kinematické veličiny, ktoré charakterizujú jeho pohyb (rýchlosť a zrýchlenie).

3. Metódy určenia pohybu bodu

· prirodzeným spôsobom

Malo by byť známe:

trajektória pohybu bodu;

Začiatok a smer počítania;

Zákon pohybu bodu po danej trajektórii v tvare (1.1)

· Súradnicová metóda

Rovnice (1.2) sú pohybové rovnice bodu M.

Rovnicu pre trajektóriu bodu M možno získať odstránením parametra času « t » z rovníc (1.2)

· Vektorový spôsob

(1.3) Vzťah medzi súradnicovými a vektorovými metódami na určenie pohybu bodu (1.4)

Spojenie medzi súradnicovým a prirodzeným spôsobom určenia pohybu bodu

Určte trajektóriu bodu bez času z rovníc (1.2);

-- nájdite zákon pohybu bodu pozdĺž trajektórie (použite výraz pre oblúkový diferenciál)

Po integrácii dostaneme zákon pohybu bodu po danej trajektórii:

Súvislosť medzi súradnicovou a vektorovou metódou špecifikácie pohybu bodu určuje rovnica (1.4)

4. Určenie rýchlosti bodu vektorovou metódou určenia pohybu.

Nechajte v tejto chvílitpoloha bodu je určená vektorom polomeru a v časet 1 – polomer-vektor , potom na určitý čas bod sa pohne.

(1.5) bodová priemerná rýchlosť, smer vektora je rovnaký ako smer vektora

Rýchlosť bodu v danom čase

Na získanie rýchlosti bodu v danom časovom okamihu je potrebné prejsť na limit

(1.6)

(1.7)

Vektor rýchlosti bodu v danom čase sa rovná prvej derivácii vektora polomeru vzhľadom na čas a smeruje tangenciálne k trajektórii v danom bode.

(jednotka¾ m/s, km/h)

Stredný vektor zrýchlenia má rovnaký smer ako vektorΔ v , to znamená, že smeruje ku konkávnosti trajektórie.

Vektor zrýchlenia bodu v danom čase sa rovná prvej derivácii vektora rýchlosti alebo druhej derivácii vektora polomeru bodu vzhľadom na čas.

(jednotka - )

Ako je vektor umiestnený vo vzťahu k trajektórii bodu?

Pri priamočiarom pohybe je vektor nasmerovaný pozdĺž priamky, po ktorej sa bod pohybuje. Ak je trajektória bodu plochá krivka, potom vektor zrýchlenia, ako aj vektor cp, leží v rovine tejto krivky a smeruje k jej konkávnosti. Ak trajektória nie je rovinná krivka, potom vektor cp bude smerovať ku konkávnosti trajektórie a bude ležať v rovine prechádzajúcej cez dotyčnicu k trajektórii v bodeM a priamka rovnobežná s dotyčnicou v susednom bodeM 1 . AT limit, keď bodM 1 má tendenciu M táto rovina zaberá polohu takzvanej súvislej roviny. Preto vo všeobecnom prípade vektor zrýchlenia leží v súvislej rovine a smeruje ku konkávnosti krivky.

Všeobecné teorémy dynamiky sústavy telies. Vety o pohybe ťažiska, o zmene hybnosti, o zmene hlavného momentu hybnosti, o zmene kinetickej energie. d'Alembertove princípy a možné posuny. Všeobecná rovnica dynamiky. Lagrangeove rovnice.

Obsah

Práca vykonaná silou, sa rovná skalárnemu súčinu vektorov sily a nekonečne malému posunutiu bodu jeho pôsobenia:
,
teda súčin modulov vektorov F a ds a kosínus uhla medzi nimi.

Práca vykonaná momentom sily, sa rovná skalárnemu súčinu vektorov momentu a nekonečne malého uhla natočenia:
.

d'Alembertov princíp

Podstatou d'Alembertovho princípu je zredukovať problémy dynamiky na problémy statiky. Na to sa predpokladá (alebo je to vopred známe), že telesá systému majú určité (uhlové) zrýchlenia. Ďalej sa zavedú zotrvačné sily a (alebo) momenty zotrvačných síl, ktoré sú svojou veľkosťou rovnaké a recipročné v smere silám a momentom síl, ktoré by podľa zákonov mechaniky vytvárali dané zrýchlenia alebo uhlové zrýchlenia.

Zvážte príklad. Teleso vykonáva translačný pohyb a pôsobia naň vonkajšie sily. Ďalej predpokladáme, že tieto sily vytvárajú zrýchlenie ťažiska systému. Podľa vety o pohybe ťažiska by ťažisko telesa malo rovnaké zrýchlenie, ak by na teleso pôsobila sila. Ďalej predstavíme zotrvačnú silu:
.
Potom je úlohou dynamiky:
.
;
.

Pri rotačnom pohybe postupujte podobne. Nech sa teleso otáča okolo osi z a pôsobia naň vonkajšie momenty síl M e zk. Predpokladáme, že tieto momenty vytvárajú uhlové zrýchlenie ε z . Ďalej zavedieme moment zotrvačných síl M И = - J z ε z . Potom je úlohou dynamiky:
.
Zmení sa na statickú úlohu:
;
.

Princíp možných pohybov

Princíp možných posunov sa využíva pri riešení problémov statiky. V niektorých úlohách dáva kratšie riešenie ako písanie rovnováh rovnováhy. Platí to najmä pre sústavy so spojeniami (napríklad sústavy telies spojených závitmi a blokmi), ktoré pozostávajú z mnohých telies

Princíp možných pohybov.
Pre rovnováhu mechanickej sústavy s ideálnymi väzbami je potrebné a postačujúce, aby súčet elementárnych prác všetkých aktívnych síl pôsobiacich na ňu pri akomkoľvek možnom posunutí sústavy bol rovný nule.

Možné premiestnenie systému- ide o malé posunutie, pri ktorom nie sú prerušené spojenia uložené v systéme.

Perfektné spojenia- sú to väzby, ktoré nefungujú pri pohybe systému. Presnejšie povedané, súčet práce vykonanej samotnými odkazmi pri pohybe systému je nulový.

Všeobecná rovnica dynamiky (d'Alembert - Lagrangeov princíp)

D'Alembert-Lagrangeov princíp je kombináciou d'Alembertovho princípu s princípom možných posunov. To znamená, že pri riešení úlohy dynamiky zavedieme zotrvačné sily a problém zredukujeme na problém statiky, ktorý riešime na princípe možných posunov.

d'Alembert-Lagrangeov princíp.
Keď sa mechanický systém pohybuje s ideálnymi obmedzeniami v každom časovom okamihu, súčet základných prác všetkých aplikovaných aktívnych síl a všetkých zotrvačných síl na akékoľvek možné posunutie systému je rovný nule:
.
Táto rovnica sa nazýva všeobecná rovnica dynamiky.

Lagrangeove rovnice

Zovšeobecnené súradnice q 1, q2, ..., qn je množina n hodnôt, ktoré jednoznačne určujú polohu systému.

Počet zovšeobecnených súradníc n sa zhoduje s počtom stupňov voľnosti systému.

Všeobecné rýchlosti sú deriváty zovšeobecnených súradníc vzhľadom na čas t.

Zovšeobecnené sily Q 1, Q2, ..., Qn .
Zvážte možné posunutie systému, v ktorom súradnica q k dostane posunutie δq k . Ostatné súradnice zostávajú nezmenené. Nech δA k je práca vykonaná vonkajšími silami pri takomto posunutí. Potom
δA k = Q k δq k, alebo
.

Ak sa pri možnom posunutí systému zmenia všetky súradnice, potom práca vykonaná vonkajšími silami pri takomto posunutí má tvar:
5A = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Potom sú zovšeobecnené sily čiastočnými deriváciami práce posunutia:
.

Pre potenciálne sily s potenciálom Π,
.

Lagrangeove rovnice sú pohybové rovnice mechanického systému vo všeobecných súradniciach:

Tu je T kinetická energia. Je funkciou zovšeobecnených súradníc, rýchlostí a prípadne času. Preto je jeho parciálna derivácia tiež funkciou zovšeobecnených súradníc, rýchlostí a času. Ďalej musíte vziať do úvahy, že súradnice a rýchlosti sú funkciami času. Preto, aby ste našli deriváciu celkového času, musíte použiť pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie:
.

Referencie:
S. M. Targ, Krátky kurz teoretickej mechaniky, Vysoká škola, 2010.