Pre každého študenta, ktorý sa pripravuje na skúšku z matematiky, bude užitočné zopakovať si tému „Hľadanie uhla medzi čiarami“. Ako ukazujú štatistiky, pri absolvovaní atestačného testu spôsobujú úlohy z tohto úseku stereometrie veľkému počtu žiakov ťažkosti. Zároveň úlohy vyžadujúce zistenie uhla medzi priamymi čiarami sa nachádzajú v USE na základnej aj profilovej úrovni. To znamená, že by ich mal vedieť vyriešiť každý.

Základné momenty

Existujú 4 typy vzájomného usporiadania čiar v priestore. Môžu sa zhodovať, pretínať, byť rovnobežné alebo pretínajúce sa. Uhol medzi nimi môže byť ostrý alebo rovný.

Na nájdenie uhla medzi čiarami v Jednotnej štátnej skúške alebo napríklad v riešení môžu školáci v Moskve a iných mestách použiť niekoľko metód na riešenie problémov v tejto časti stereometrie. Úlohu môžete splniť klasickými konštrukciami. Aby ste to dosiahli, stojí za to naučiť sa základné axiómy a teorémy stereometrie. Študent musí byť schopný logicky budovať úvahy a vytvárať kresby, aby priviedol úlohu k planimetrickému problému.

Môžete tiež použiť metódu vektorových súradníc pomocou jednoduchých vzorcov, pravidiel a algoritmov. Hlavná vec v tomto prípade je správne vykonať všetky výpočty. Vzdelávací projekt Shkolkovo vám pomôže zdokonaliť vaše zručnosti pri riešení problémov v stereometrii a iných častiach školského kurzu.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Ach-och-och-och-och ... no je to plechové, ako keby ste si tú vetu prečítali sami =) Vtedy však pomôže relax, hlavne, že som si dnes kúpila vhodné doplnky. Preto prejdime k prvej časti, dúfam, že do konca článku si zachovám veselú náladu.

Vzájomné usporiadanie dvoch priamych línií

Prípad, keď sála spieva v zbore. Môžu byť dva riadky:

1) zápas;

2) byť paralelné: ;

3) alebo sa pretínajú v jednom bode: .

Pomoc pre figuríny : zapamätajte si prosím matematické znamienko križovatky , vyskytuje sa veľmi často. Zadanie znamená, že čiara sa pretína s čiarou v bode.

Ako určiť vzájomnú polohu dvoch čiar?

Začnime prvým prípadom:

Dve čiary sa zhodujú vtedy a len vtedy, ak sú ich príslušné koeficienty proporcionálne, teda je tam také číslo "lambda", že tie rovnosti

Uvažujme rovné čiary a zo zodpovedajúcich koeficientov zostavme tri rovnice: . Z každej rovnice vyplýva, že tieto čiary sa teda zhodujú.

V skutočnosti, ak sú všetky koeficienty rovnice vynásobiť -1 (zmeniť znamienka) a všetky koeficienty rovnice znížiť o 2, dostanete rovnakú rovnicu: .

Druhý prípad, keď sú čiary rovnobežné:

Dve čiary sú rovnobežné vtedy a len vtedy, ak sú ich koeficienty v premenných proporcionálne: , ale.

Ako príklad zvážte dve priame čiary. Skontrolujeme proporcionalitu zodpovedajúcich koeficientov pre premenné:

Je však jasné, že .

A tretí prípad, keď sa čiary pretínajú:

Dve čiary sa pretínajú vtedy a len vtedy, ak ich koeficienty premenných NIE sú proporcionálne, teda NIE JE taká hodnota "lambda", aby boli splnené rovnosti

Takže pre priame čiary zostavíme systém:

Z prvej rovnice vyplýva, že a z druhej rovnice: , teda, systém je nekonzistentný(žiadne riešenia). Koeficienty premenných teda nie sú proporcionálne.

Záver: čiary sa pretínajú

V praktických problémoch možno použiť práve uvažovanú schému riešenia. Mimochodom, je to veľmi podobné algoritmu na kontrolu kolinearity vektorov, o ktorom sme uvažovali v lekcii. Pojem lineárnej (ne)závislosti vektorov. Vektorový základ. Existuje však civilizovanejší balík:

Príklad 1

Zistite relatívnu polohu čiar:

rozhodnutie založené na štúdiu smerových vektorov priamych čiar:

a) Z rovníc nájdeme smerové vektory priamok: .

, takže vektory nie sú kolineárne a čiary sa pretínajú.

Pre každý prípad položím na križovatku kameň s ukazovateľmi:

Zvyšok preskočí kameň a pokračuje priamo ku Kašcheiovi Smrťujúcemu =)

b) Nájdite smerové vektory čiar:

Čiary majú rovnaký smerový vektor, čo znamená, že sú buď rovnobežné, alebo rovnaké. Tu determinant nie je potrebný.

Je zrejmé, že koeficienty neznámych sú úmerné, zatiaľ čo .

Poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá:

teda

c) Nájdite smerové vektory čiar:

Vypočítajme determinant zložený zo súradníc týchto vektorov:
, preto sú smerové vektory kolineárne. Čiary sú buď rovnobežné, alebo sa zhodujú.

Faktor proporcionality "lambda" je ľahko viditeľný priamo z pomeru vektorov kolineárneho smeru. Dá sa to však zistiť aj prostredníctvom koeficientov samotných rovníc: .

Teraz poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá. Oba voľné termíny sú nulové, takže:

Výsledná hodnota spĺňa túto rovnicu (vo všeobecnosti ju spĺňa akékoľvek číslo).

Čiary sa teda zhodujú.

Odpoveď:

Veľmi skoro sa naučíte (alebo dokonca ste sa už naučili) riešiť uvažovaný problém slovne doslova v priebehu niekoľkých sekúnd. V tomto ohľade nevidím dôvod ponúkať niečo pre nezávislé riešenie, je lepšie položiť do geometrického základu ešte jednu dôležitú tehlu:

Ako nakresliť čiaru rovnobežnú s danou?

Za neznalosť tejto najjednoduchšej úlohy slávik zbojník tvrdo trestá.

Príklad 2

Priamka je daná rovnicou . Napíšte rovnicu pre rovnobežku, ktorá prechádza bodom.

rozhodnutie: Neznámy riadok označte písmenom . Čo o tom hovorí podmienka? Čiara prechádza bodom. A ak sú priamky rovnobežné, tak je zrejmé, že smerový vektor priamky „ce“ je vhodný aj na zostrojenie priamky „te“.

Z rovnice vyberieme smerový vektor:

Odpoveď:

Geometria príkladu vyzerá jednoducho:

Analytické overenie pozostáva z nasledujúcich krokov:

1) Skontrolujeme, či priamky majú rovnaký smerový vektor (ak rovnica priamky nie je správne zjednodušená, vektory budú kolineárne).

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici.

Analytické overenie je vo väčšine prípadov jednoduché vykonať verbálne. Pozrite sa na tieto dve rovnice a mnohí z vás rýchlo prídu na to, ako sú čiary rovnobežné bez akéhokoľvek kreslenia.

Príklady na samoriešenie dnes budú kreatívne. Pretože stále musíte súťažiť s Babou Yagou a ona, viete, je milovníčkou všetkých druhov hádaniek.

Príklad 3

Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom rovnobežným s priamkou, ak

Existuje racionálny a nie veľmi racionálny spôsob riešenia. Najkratšia cesta je na konci hodiny.

Trochu sme popracovali s paralelnými čiarami a vrátime sa k nim neskôr. Prípad zhodujúcich sa línií je málo zaujímavý, preto sa zamyslime nad problémom, ktorý je vám dobre známy zo školských osnov:

Ako nájsť priesečník dvoch čiar?

Ak je rovný pretínajú v bode , potom sú riešením jeho súradnice sústavy lineárnych rovníc

Ako nájsť priesečník čiar? Vyriešte systém.

Tu je pre vás geometrický význam sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi sú dve pretínajúce sa (najčastejšie) priame čiary v rovine.

Príklad 4

Nájdite priesečník čiar

rozhodnutie: Existujú dva spôsoby riešenia - grafický a analytický.

Grafický spôsob je jednoducho nakresliť dané čiary a zistiť priesečník priamo z výkresu:

Tu je naša pointa: . Pre kontrolu by ste mali nahradiť jej súradnice do každej rovnice priamky, mali by sa zmestiť tam aj tam. Inými slovami, súradnice bodu sú riešením systému . V skutočnosti sme zvažovali grafický spôsob riešenia sústavy lineárnych rovníc s dvoma rovnicami, dvoma neznámymi.

Grafická metóda, samozrejme, nie je zlá, ale existujú značné nevýhody. Nie, nejde o to, že siedmaci sa takto rozhodujú, ide o to, že správny a PRESNÝ nákres potrvá. Navyše niektoré čiary nie je také ľahké zostrojiť a samotný priesečník môže byť niekde v tridsiatom kráľovstve mimo hárku zošita.

Preto je vhodnejšie hľadať priesečník analytickou metódou. Poďme vyriešiť systém:

Na riešenie systému bola použitá metóda termického sčítania rovníc. Ak chcete rozvíjať príslušné zručnosti, navštívte lekciu Ako vyriešiť sústavu rovníc?

Odpoveď:

Overenie je triviálne - súradnice priesečníka musia spĺňať každú rovnicu systému.

Príklad 5

Nájdite priesečník čiar, ak sa pretínajú.

Toto je príklad „urob si sám“. Úlohu možno pohodlne rozdeliť do niekoľkých etáp. Analýza stavu naznačuje, že je potrebné:
1) Napíšte rovnicu priamky.
2) Napíšte rovnicu priamky.
3) Zistite vzájomnú polohu čiar.
4) Ak sa čiary pretínajú, nájdite priesečník.

Vývoj akčného algoritmu je typický pre mnohé geometrické problémy a budem sa na to opakovane zameriavať.

Úplné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu:

Pár topánok ešte nebol opotrebovaný, pretože sme sa dostali k druhej časti lekcie:

Kolmé čiary. Vzdialenosť od bodu k čiare.
Uhol medzi čiarami

Začnime typickou a veľmi dôležitou úlohou. V prvej časti sme sa naučili postaviť priamku rovnobežnú s danou a teraz sa chatrč na kuracích stehnách otočí o 90 stupňov:

Ako nakresliť čiaru kolmú na danú?

Príklad 6

Priamka je daná rovnicou . Napíšte rovnicu pre kolmicu prechádzajúcu bodom.

rozhodnutie: Je známe, že . Bolo by pekné nájsť smerový vektor priamky. Keďže čiary sú kolmé, trik je jednoduchý:

Z rovnice „odstránime“ normálový vektor: , ktorý bude smerovacím vektorom priamky.

Zostavíme rovnicu priamky bodom a smerovacím vektorom:

Odpoveď:

Rozvinieme geometrický náčrt:

Hmmm... Oranžová obloha, oranžové more, oranžová ťava.

Analytické overenie riešenia:

1) Vytiahneme smerové vektory z rovníc a použijeme bodový súčin vektorov usúdime, že priamky sú skutočne kolmé: .

Mimochodom, môžete použiť normálne vektory, je to ešte jednoduchšie.

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici .

Overenie je opäť jednoduché vykonať verbálne.

Príklad 7

Nájdite priesečník kolmých čiar, ak je rovnica známa a bodka.

Toto je príklad „urob si sám“. V úlohe je viacero akcií, preto je vhodné usporiadať riešenie bod po bode.

Naša vzrušujúca cesta pokračuje:

Vzdialenosť od bodu k čiare

Pred nami je rovný pás rieky a našou úlohou je dostať sa k nemu čo najkratšou cestou. Neexistujú žiadne prekážky a najoptimálnejšou trasou bude pohyb po kolmici. To znamená, že vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmého segmentu.

Vzdialenosť v geometrii sa tradične označuje gréckym písmenom "ro", napríklad: - vzdialenosť od bodu "em" k priamke "de".

Vzdialenosť od bodu k čiare sa vyjadruje vzorcom

Príklad 8

Nájdite vzdialenosť od bodu k čiare

rozhodnutie: všetko, čo potrebujete, je starostlivo nahradiť čísla do vzorca a vykonať výpočty:

Odpoveď:

Vykonajte kreslenie:

Zistená vzdialenosť od bodu k čiare je presne dĺžka červeného segmentu. Ak kreslíte na kockovaný papier v mierke 1 jednotky. \u003d 1 cm (2 bunky), potom je možné vzdialenosť zmerať bežným pravítkom.

Zvážte ďalšiu úlohu podľa toho istého výkresu:

Úlohou je nájsť súradnice bodu , ktorý je symetrický k bodu vzhľadom na priamku . Navrhujem vykonať akcie sami, načrtnem však algoritmus riešenia s priebežnými výsledkami:

1) Nájdite priamku, ktorá je kolmá na priamku.

2) Nájdite priesečník čiar: .

Obidve akcie sú podrobne diskutované v tejto lekcii.

3) Bod je stredom segmentu. Poznáme súradnice stredu a jedného z koncov. Autor: vzorce pre súradnice stredu segmentu Nájsť .

Nebude zbytočné kontrolovať, či sa vzdialenosť rovná aj 2,2 jednotkám.

Ťažkosti tu môžu nastať pri výpočtoch, ale vo veži veľmi pomáha mikrokalkulačka, ktorá vám umožní počítať bežné zlomky. Radil som mnohokrát a budem odporúčať znova.

Ako nájsť vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami?

Príklad 9

Nájdite vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami

Toto je ďalší príklad nezávislého riešenia. Malá nápoveda: spôsobov riešenia je nekonečne veľa. Zhrnutie na konci hodiny, ale radšej si to skúste uhádnuť sami, myslím, že sa vám podarilo dobre rozptýliť svoju vynaliezavosť.

Uhol medzi dvoma čiarami

Akýkoľvek roh, potom zárubňa:


V geometrii sa uhol medzi dvoma priamkami berie ako MENŠÍ uhol, z čoho automaticky vyplýva, že nemôže byť tupý. Na obrázku sa uhol označený červeným oblúkom nepovažuje za uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami. A jeho “zelený” sused resp opačne orientované karmínový kútik.

Ak sú čiary kolmé, potom ktorýkoľvek zo 4 uhlov možno považovať za uhol medzi nimi.

Ako sa líšia uhly? Orientácia. Po prvé, smer „rolovania“ rohu je zásadne dôležitý. Po druhé, negatívne orientovaný uhol sa zapíše so znamienkom mínus, napríklad ak .

Prečo som to povedal? Zdá sa, že si vystačíte s obvyklou koncepciou uhla. Faktom je, že vo vzorcoch, podľa ktorých nájdeme uhly, možno ľahko získať negatívny výsledok, čo by vás nemalo prekvapiť. Uhol so znamienkom mínus nie je o nič horší a má veľmi špecifický geometrický význam. Na výkrese pre záporný uhol je nevyhnutné označiť jeho orientáciu (v smere hodinových ručičiek) šípkou.

Ako nájsť uhol medzi dvoma čiarami? Existujú dva pracovné vzorce:

Príklad 10

Nájdite uhol medzi čiarami

rozhodnutie a Metóda jedna

Zvážte dve priame čiary dané rovnicami vo všeobecnom tvare:

Ak je rovný nie kolmá, potom orientovaný uhol medzi nimi možno vypočítať pomocou vzorca:

Pozorne si všímajme menovateľa – presne taký je skalárny produkt smerové vektory priamych čiar:

Ak , potom menovateľ vzorca zmizne a vektory budú ortogonálne a čiary budú kolmé. Preto bola vznesená výhrada k nekolmosti čiar vo formulácii.

Na základe vyššie uvedeného je riešenie pohodlne formalizované v dvoch krokoch:

1) Vypočítajte skalárny súčin smerových vektorov priamych čiar:
takže čiary nie sú kolmé.

2) Uhol medzi čiarami nájdeme podľa vzorca:

Pomocou inverznej funkcie je ľahké nájsť samotný uhol. V tomto prípade použijeme nepárnosť arkus tangenty (pozri obr. Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií):

Odpoveď:

V odpovedi uvádzame presnú hodnotu, ako aj približnú hodnotu (najlepšie v stupňoch aj v radiánoch), vypočítanú pomocou kalkulačky.

No, mínus, tak mínus, je to v poriadku. Tu je geometrická ilustrácia:

Nie je prekvapujúce, že sa ukázalo, že uhol má negatívnu orientáciu, pretože v stave problému je prvé číslo priamka a „krútenie“ uhla začalo presne od nej.

Ak naozaj chcete získať kladný uhol, musíte zameniť priame čiary, to znamená vziať koeficienty z druhej rovnice a zoberte koeficienty z prvej rovnice. Stručne povedané, musíte začať s priamym .

Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si Google účet (účet) a prihláste sa: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

Uhol medzi čiarami

Ciele a ciele lekcie: Vytvoriť koncept uhla medzi: Pretínanie; paralelný; pretínajúce sa čiary. Naučte sa nájsť uhol medzi: Pretínanie; paralelný; pretínajúce sa čiary.

Pripomeňme: Základom hranola ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je lichobežník. Ktoré z nasledujúcich párov čiar pretínajú čiary?

Umiestnenie čiar v priestore a uhol medzi nimi 1. Pretínajúce sa čiary. 2. Rovnobežné čiary. 3. Pretínajúce sa čiary.

Akékoľvek dve pretínajúce sa čiary ležia v rovnakej rovine a zvierajú štyri neroztiahnuté uhly.

Ak pretínajúce sa čiary zvierajú štyri rovnaké uhly, potom je uhol medzi týmito čiarami 90°. a b

Uhol medzi dvoma rovnobežnými čiarami je 0°.

Uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami v priestore je najmenší z uhlov, ktoré zvierajú lúče týchto čiar s vrcholom v bode ich priesečníka.

Uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b je uhol medzi zostrojenými priesečníkmi a.

Uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami, ako aj medzi čiarami rovnakej roviny, nemôže byť väčší ako 90 °. Dve pretínajúce sa čiary, ktoré zvierajú uhol 90°, sa nazývajú kolmé. a b a 1 c c 1 d

Uhol medzi šikmými čiarami Nech AB a CD sú dve šikmé čiary. Zoberme si ľubovoľný bod M 1 priestoru a nakreslite ním priamky A 1 B 1 a C 1 D 1 rovnobežné s priamkami AB a CD . A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 M 1 φ Ak je uhol medzi priamkami A 1 B 1 a C 1 D 1 rovný φ, potom povieme, že uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami AB a CD je rovný φ.

Nájdite uhol medzi šikmými čiarami AB a CD Ako bod M 1 môžete vziať ľubovoľný bod na jednej zo šikmých čiar. A B C D M 1 A 1 B 1 φ

Telesná výchova pre oči

Zobrazte kolmé pretínajúce sa čiary v prostredí.

Daný obraz kocky. Nájdite uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami a a b. 90° 45° Odpoveď Odpoveď

Daný obraz kocky. Nájdite uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami a a b. 90° 60° Odpoveď Odpoveď

Daný obraz kocky. Nájdite uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b 90° 90° Odpoveď Odpoveď

Domáca úloha: §4 (str. 85-89), #268, #269.

Minút telesnej výchovy

Úloha č. 1 V pravidelnej pyramíde SABCD , ktorej všetky hrany sú rovné 1, je bod E stredom hrany SC . Nájdite uhol medzi čiarami AD a BE.

Triedna práca: Úlohy: č.263 č.265 č.267

Náhľad:

SCHVÁLIŤ

Učiteľ matematiky

L. R. Volňak

"__" ________ 2016

Predmet : "Uhol medzi čiarami"

Návody:

vyvíja sa:

Vzdelávacie:

Typ lekcie: Učenie sa nového materiálu.

metódy: verbálny (príbeh), vizuálny (prezentácia), dialogický.

1. Organizácia času.

• pozdravujem.

1. Aktualizácia znalostí.

1. Aká je vzájomná poloha dvoch čiar v priestore?
2. Koľko uhlov sa vytvorí, keď sa v priestore pretínajú dve priamky?
3. Ako určiť uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami?

Slad3

1. Hranolová základňa ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - lichobežník. Ktoré z nasledujúcich párov čiar pretínajú čiary?

Odpoveď: AB a CC 1, A 1 D 1 a CC 1.

1. Učenie sa nového materiálu.

snímka 4

Umiestnenie čiar v priestore a uhol medzi nimi.

1. Pretínajúce sa čiary.
2. Paralelné čiary.
3. Prekračovanie rovných čiar.

snímka 5

Akékoľvek dve pretínajúce sa čiary ležia v rovnakej rovine a zvierajú štyri neroztiahnuté uhly.

snímka 6

Ak pretínajúce sa čiary zvierajú štyri rovnaké uhly, potom je uhol medzi týmito čiarami 90°.

Snímka 7

Uhol medzi dvoma rovnobežnými čiarami je 0°.

Snímka 8

Uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami v priestore je najmenší z uhlov, ktoré zvierajú lúče týchto čiar s vrcholom v bode ich priesečníka.

Snímka 9 a a b a .

Snímka 10

Uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami, ako aj medzi čiarami rovnakej roviny, nemôže byť väčší ako 90 °. Dve pretínajúce sa čiary, ktoré zvierajú uhol 90°, sa nazývajú kolmé.

snímka 11

Uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami.

Nech AB a CD sú dve pretínajúce sa čiary.

Vezmite ľubovoľný bod M 1 priestor a nakreslite rovné čiary A 1 v 1 a C1D1 rovnobežne s čiarami AB a CD.

Ak je uhol medzi čiarami A 1 v 1 a C1D1 sa rovná φ, potom povieme, že uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami AB a CD sa rovná φ.

snímka 12

Nájdite uhol medzi šikmými čiarami AB a CD.

Ako bod M 1 je možné vziať ľubovoľný bod na jednej z pretínajúcich sa čiar.

snímka 13

Minút telesnej výchovy

Snímka 14

1. Ukážte kolmé pretínajúce sa čiary v prostredí.

snímka 15

2. Je daný obrázok kocky. Nájdite uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami a a b.

a) 90°; b) 45°;

snímka 16

c) 60°; d) 90°;

Snímka 17

e) 90°; f) 90°.

1. Fixácia nového materiálu

Snímka 19

Minút telesnej výchovy

Snímka 20

№1.

V pravej pyramíde SABCD , ktorého všetky hrany sú rovné 1, bod E - stred rebra SC .Nájdite uhol medzi čiarami AD a B.E.

rozhodnutie:

Požadovaný uhol = roh CBE .Trojuholník SBC je rovnostranný.

BE - os uhla = 60. Uhol CBE je 30.

Odpoveď: 30°.

№263.

odpoveď:

Uhol medzi šikmými čiarami a a b nazývaný uhol medzi zostrojenými pretínajúcimi sa čiarami a 1 a b 1 a a 1 || a, b 1 || b.

№265.

Uhol medzi priamkami aab je 90°. Je pravda, že sa priamky a a b pretínajú?

odpoveď:

Nepravda, pretože čiary sa môžu pretínať alebo pretínať.

№267.

DABC je štvorsten, bod O a F sú stredy AD a CD, segment TK je stredná čiara trojuholníka ABC.

1. Aký je uhol medzi čiarami OF a CB?
2. Je pravda, že uhol medzi čiarami OF a TK je 60°?
3. Aký je uhol medzi čiarami TF a DB?

rozhodnutie:

Dané: DABC,

O je stred AD,

F je stred CD,

TC je stredná čiara ∆ABC.

rozhodnutie:

1. Reflexia

• Čo sme sa naučili nové?
• Zvládli sme úlohy, ktoré boli stanovené na začiatku hodiny?
• Aké problémy sme sa naučili riešiť?

1. Domáca úloha.

§ 4 (s. 85-89), #268, #269.

Náhľad:

SCHVÁLIŤ

Učiteľ matematiky

L. R. Volňak

"__" ________ 2016

Predmet : "Uhol medzi čiarami"

Návody: pomocou praktických úloh zabezpečiť, aby študenti porozumeli definícii uhla medzi pretínajúcimi sa, rovnobežnými a šikmými čiarami;

vyvíja sa: rozvíjať priestorovú predstavivosť žiakov pri riešení geometrických úloh, geometrické myslenie, záujem o učivo, kognitívnu a tvorivú činnosť žiakov, matematickú reč, pamäť, pozornosť; rozvíjať samostatnosť pri rozvoji nových poznatkov.

Vzdelávacie: vychovávať žiakov k zodpovednému prístupu k vzdelávacej práci, k silným vôľovým vlastnostiam; formovať emocionálnu kultúru a kultúru komunikácie.

typ lekcie: zovšeobecňovanie a systematizácia vedomostí a zručností.

metódy: verbálny (dej), dialogický.

1. Organizácia času.

• pozdravujem.
• Komunikácia cieľov a zámerov vyučovacej hodiny.
• Motivácia učiť sa nový materiál.
• Psychologické a pedagogické nastavenie študentov pre nadchádzajúce aktivity.
• Kontrola prítomných na lekcii;

1. Kontrola domácich úloh

№268

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - pravouhlý rovnobežnosten, bod O a T - stredy okrajov SS 1 a DD 1 resp. a) Je pravda, že uhol medzi priamkami AD a TO je 90°? b) Aký je uhol medzi priamkami A 1 B 1 a pred Kristom?

rozhodnutie:

a) Pravda, keďže TO || DC =>(AD, TO) = ADC = 90° (ABCD je obdĺžnik).

b)BC || B1C1 => (A1B1, BC) = A1B1C1 = 90°.

Odpoveď: 90°, 90°.

№269

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - kocka. a) Je pravda, že uhol medzi čiarami A 1B a C1 D je 90°? b) Nájdite uhol medzi čiarami B 10 a C1 D. c) Je pravda, že uhol medzi čiarami AC a C? 1D sa rovná 45°?

rozhodnutie:

a) Pravda, pretože B 1 A || C1D => (A1B, C1D)= (B1A, A1 B) = 90° ako uhol medzi uhlopriečkami štvorca.

b) 1. B 1 A || C1D=> (B10, C1D) = AB10.

2. v Δ AB 1 C AB 1 \u003d B 1 C = AC ako uhlopriečky rovnakých štvorcov B 1 O - medián a stred AB1C=60° => AB10=30°.

c) nie, keďže C 1 D || BA => (AC, C1D) \u003d B1 AC = 60° ako rovnostranný uhol Δ AB 1 C.

Odpoveď: b) 30°.

1. Aktualizácia znalostí.

Metóda: frontálny prieskum (ústny):

1. Aké odbory študuje geometria?
2. Aký je uhol medzi rovnobežnými čiarami?
3. Aké útvary študuje planimetria a ktoré sú objemovou geometriou?
4. Aký je uhol zošikmenia?
5. Ako sa nazývajú dve pretínajúce sa čiary, ktoré zvierajú uhol 90°?

1. Upevnenie toho, čo sa naučilo.

Diktát (10 min):

Možnosť 1:

Okraj kocky je a

Nájsť: (AB 1 ,SS 1 )

rozhodnutie:

SS1‖BB1

(AB1,CC1) = AB1B

AB1B=45˚

Odpoveď: (AB1, SS1) = 45˚

1. Nech aab sú pretínajúce sa priamky a priamka b 1 || b. Je pravda, že uhol medzi priamkami a a b sa rovná uhlu medzi priamkami a a b 1 ? Ak áno, prečo?

Možnosť 2:

1. Aký je uhol medzi šikmými čiarami?

Okraj kocky je a

V tomto článku najskôr zadefinujeme uhol medzi šikmými čiarami a poskytneme grafické znázornenie. Ďalej odpovieme na otázku: "Ako nájsť uhol medzi šikmými čiarami, ak sú známe súradnice smerových vektorov týchto čiar v pravouhlom súradnicovom systéme"? Na záver si precvičíme hľadanie uhla medzi šikmými čiarami pri riešení príkladov a úloh.

Navigácia na stránke.

Uhol medzi šikmými čiarami - definícia.

Postupne sa priblížime k definícii uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami.

Najprv si pripomeňme definíciu šikmých čiar: nazývajú sa dve čiary v trojrozmernom priestore kríženie ak neležia v rovnakej rovine. Z tejto definície vyplýva, že šikmé čiary sa nepretínajú, nie sú rovnobežné a navyše sa nezhodujú, inak by obe ležali v nejakej rovine.

Uvádzame niekoľko ďalších pomocných argumentov.

Nech sú dve pretínajúce sa priamky aab dané v trojrozmernom priestore. Zostrojme priamky a 1 a b 1 tak, aby boli rovnobežné so šikmými priamkami a a b a prechádzali nejakým bodom priestoru M 1 . Dostaneme teda dve pretínajúce sa priamky a 1 a b 1 . Nech je uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a 1 a b 1 rovný uhlu . Teraz zostrojme priamky a 2 a b 2 rovnobežné so šikmými priamkami a a b, ktoré prechádzajú bodom M 2, ktorý je odlišný od bodu M 1 . Uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami a 2 a b 2 sa tiež bude rovnať uhlu. Toto tvrdenie je pravdivé, pretože priamky a 1 a b 1 sa budú zhodovať s priamkami a 2 a b 2, ak vykonáte paralelný prenos, v ktorom bod M 1 prechádza do bodu M 2. Miera uhla medzi dvoma priamkami pretínajúcimi sa v bode M, respektíve rovnobežnými s danými šikmými čiarami, teda nezávisí od výberu bodu M.

Teraz sme pripravení definovať uhol medzi šikmými čiarami.

Definícia.

Uhol medzi šikmými čiarami je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami, ktoré sú v tomto poradí rovnobežné s danými šikmými čiarami.

Z definície vyplýva, že uhol medzi šikmými čiarami tiež nebude závisieť od výberu bodu M . Preto ako bod M môžete vziať akýkoľvek bod patriaci do jednej zo šikmých čiar.

Uvádzame ilustráciu definície uhla medzi šikmými čiarami.

Nájdenie uhla medzi šikmými čiarami.

Keďže uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami je určený uhlom medzi pretínajúcimi sa čiarami, nájdenie uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami je redukované na nájdenie uhla medzi zodpovedajúcimi pretínajúcimi sa čiarami v trojrozmernom priestore.

Metódy študované na hodinách geometrie na strednej škole sú nepochybne vhodné na zistenie uhla medzi šikmými čiarami. To znamená, že po dokončení potrebných konštrukcií je možné spojiť požadovaný uhol s akýmkoľvek uhlom známym z podmienky na základe rovnosti alebo podobnosti obrázkov, v niektorých prípadoch to pomôže kosínusová veta a niekedy vedie k výsledku definícia sínusu, kosínusu a tangens uhla správny trojuholník.

Je však veľmi vhodné vyriešiť problém hľadania uhla medzi šikmými čiarami pomocou súradnicovej metódy. To je to, čo zvážime.

Nech je Oxyz zavedený v trojrozmernom priestore (avšak v mnohých problémoch musí byť zavedený samostatne).

Dajme si za úlohu: nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b, ktoré zodpovedajú niektorým rovniciam priamky v priestore v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz.

Poďme to vyriešiť.

Zoberme si ľubovoľný bod trojrozmerného priestoru M a predpokladajme, že ním prechádzajú priamky a 1 a b 1 rovnobežne s pretínajúcimi sa priamkami a a b. Potom sa požadovaný uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b rovná uhlu medzi pretínajúcimi sa priamkami a 1 a b 1 podľa definície.

Zostáva nám teda nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a 1 a b 1 . Na uplatnenie vzorca na nájdenie uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami v priestore potrebujeme poznať súradnice smerových vektorov priamok a 1 a b 1 .

Ako ich môžeme získať? A je to veľmi jednoduché. Definícia smerového vektora priamky nám umožňuje konštatovať, že množiny smerových vektorov rovnobežných priamok sa zhodujú. Preto ako smerové vektory priamok a 1 a b 1 môžeme vziať smerové vektory a priamky a a b.

takze uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami a a b sa vypočíta podľa vzorca
, kde a sú smerové vektory priamok a a b.

Vzorec na nájdenie kosínusu uhla medzi šikmými čiarami a a b má tvar .

Umožňuje vám nájsť sínus uhla medzi šikmými čiarami, ak je známy kosínus: .

Zostáva analyzovať riešenia príkladov.

Príklad.

Nájdite uhol medzi šikmými čiarami a a b , ktoré sú v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz definované rovnicami a .

rozhodnutie.

Kanonické rovnice priamky v priestore umožňujú okamžite určiť súradnice smerového vektora tejto priamky - sú dané číslami v menovateľoch zlomkov, tj. . Parametrické rovnice priamky v priestore tiež umožňujú okamžite zapísať súradnice smerového vektora - rovnajú sa koeficientom pred parametrom, tj. - smerový vektor rovný . Máme teda všetky potrebné údaje na použitie vzorca, podľa ktorého sa vypočíta uhol medzi šikmými čiarami:

odpoveď:

Uhol medzi danými šikmými čiarami je .

Príklad.

Nájdite sínus a kosínus uhla medzi šikmými čiarami, na ktorých ležia hrany AD a BC pyramídy ABCD, ak sú známe súradnice jej vrcholov:.

rozhodnutie.

Smerové vektory križujúcich sa čiar AD a BC sú vektory a . Vypočítajme ich súradnice ako rozdiel medzi zodpovedajúcimi súradnicami koncového a počiatočného bodu vektora:

Podľa vzorca môžeme vypočítať kosínus uhla medzi danými šikmými čiarami:

Teraz vypočítame sínus uhla medzi šikmými čiarami: