Preguntas sobre esferas y pelotas. Concepto geométrico de una esfera: fórmula, propiedades, superficie de nuestro planeta

Definición.

Una esfera se puede describir como una figura tridimensional que se forma girando un círculo alrededor de su diámetro 180° o un semicírculo alrededor de su diámetro 360°.

Definición.

Una pelota se puede describir como una figura tridimensional, que se forma girando un círculo alrededor de su diámetro 180 ° o un semicírculo alrededor de su diámetro 360 °.

Definición. Radio de la esfera (bola)(R) es la distancia desde el centro de la esfera (bola) O a cualquier punto de la esfera (superficie de la bola).

Definición. Diámetro de la esfera (bola)(D) es un segmento que conecta dos puntos de la esfera (superficie de la pelota) y pasa por su centro.

Fórmula. Volumen de bola:

Fórmula. Superficie de una esfera a través del radio o diámetro:

S = 4π R 2 = π re 2

Ecuación de esfera

1. Ecuación de una esfera de radio R y centro en el origen del sistema de coordenadas cartesianas:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Ecuación de una esfera de radio R y centro en un punto de coordenadas (x 0 , y 0 , z 0) en el sistema de coordenadas cartesianas:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Definición. puntos diametralmente opuestos son dos puntos en la superficie de una bola (esfera) que están conectados por un diámetro.

Propiedades básicas de una esfera y una pelota.

1. Todos los puntos de la esfera están a la misma distancia del centro.

2. Cualquier sección de una esfera por un plano es un círculo.

3. Cualquier sección de una esfera por un plano es un círculo.

4. La esfera tiene mayor volumen entre todas las figuras espaciales con la misma superficie.

5. A través de dos puntos diametralmente opuestos, puedes dibujar muchos círculos grandes para una esfera o círculos para una pelota.

6. A través de dos puntos, a excepción de los puntos diametralmente opuestos, es posible dibujar solo un círculo grande para una esfera o un círculo grande para una pelota.

7. Cualesquiera dos grandes círculos de una bola se cortan a lo largo de una línea recta que pasa por el centro de la bola, y los círculos se cortan en dos puntos diametralmente opuestos.

8. Si la distancia entre los centros de dos bolas cualquiera es menor que la suma de sus radios y mayor que el módulo de la diferencia entre sus radios, entonces tales bolas intersecarse, y se forma un círculo en el plano de intersección.

La secante, la cuerda, el plano secante de la esfera y sus propiedades.

Definición. La secante de las esferas. es una recta que corta a la esfera en dos puntos. Los puntos de intersección se llaman puntos de punción superficie o puntos de entrada y salida en la superficie.

Definición. Cuerda de una esfera (bola) es un segmento que conecta dos puntos de una esfera (la superficie de una pelota).

Definición. plano de corte es el plano que corta a la esfera.

Definición. plano diametral- este es un plano secante que pasa por el centro de una esfera o bola, la sección forma, respectivamente gran circulo y gran circulo. El gran círculo y el gran círculo tienen un centro que coincide con el centro de la esfera (bola).

Cualquier cuerda que pase por el centro de una esfera (bola) es un diámetro.

Una cuerda es un segmento de una recta secante.

La distancia d del centro de la esfera a la secante siempre es menor que el radio de la esfera:

d< R

La distancia m entre el plano de corte y el centro de la esfera es siempre menor que el radio R:

metro< R

La sección del plano de corte sobre la esfera siempre será circulo menor, y en la pelota la sección será pequeño círculo. Un círculo pequeño y un círculo pequeño tienen sus centros que no coinciden con el centro de la esfera (bola). El radio r de dicho círculo se puede encontrar mediante la fórmula:

r \u003d √ R 2 - m2,

Donde R es el radio de la esfera (bola), m es la distancia desde el centro de la bola hasta el plano de corte.

Definición. Hemisferio (hemisferio)- esta es la mitad de la esfera (bola), que se forma cuando se corta por un plano diametral.

Tangente, plano tangente a la esfera y sus propiedades

Definición. tangente a esfera es una línea recta que toca la esfera en un solo punto.

Definición. Plano tangente a esfera es un plano que toca la esfera en un solo punto.

La recta tangente (plano) siempre es perpendicular al radio de la esfera dibujada en el punto de contacto

La distancia del centro de la esfera a la recta tangente (plano) es igual al radio de la esfera.

Definición. segmento de bola- esta es la parte de la pelota que está separada de la pelota por un plano de corte. La columna vertebral del segmento llame al círculo que se formó en el sitio de la sección. altura del segmento h es la longitud de la perpendicular trazada desde el centro de la base del segmento hasta la superficie del segmento.

Fórmula. Área de la superficie exterior de un segmento de esfera con altura h en términos de radio de esfera R:

S = 2π Rh

En el Capítulo 2, continuaremos "construyendo geometría" y hablaremos sobre la estructura y las propiedades de las figuras espaciales más importantes: una bola y una esfera, cilindros y conos, prismas y pirámides. La mayoría de los objetos creados por manos humanas son edificios, carros, muebles, utensilios, etc., etc., consta de partes que tienen la forma de estas figuras.

§ 4. ESFERA Y BOLA

Después de las líneas rectas y los planos, la esfera y la bola son las más simples, pero muy importantes y ricas en varias propiedades. figuras espaciales. Se han escrito libros enteros sobre las propiedades geométricas de una pelota y su superficie: una esfera. Algunas de estas propiedades ya eran conocidas por los antiguos geómetras griegos, y algunas fueron encontradas recientemente, en últimos años. Estas propiedades (junto con las leyes de las ciencias naturales) explican por qué, por ejemplo, los cuerpos celestes y las huevas de pescado tienen la forma de una pelota, por qué los batiscafos y los balones de fútbol tienen forma de pelota, por qué los cojinetes de bolas son tan comunes en tecnología, etc Solo podemos demostrar las propiedades más simples de una pelota. La demostración de otras propiedades, aunque muy importantes, requiere a menudo el uso de métodos nada elementales, aunque las formulaciones de tales propiedades pueden ser muy sencillas: por ejemplo, entre todos los cuerpos que tienen una superficie determinada, la esfera tiene la mayor volumen.

4.1. Definiciones de esfera y bola.

Una esfera y una pelota se definen en el espacio exactamente de la misma manera que un círculo y un círculo en un plano. Una esfera es una figura formada por todos los puntos del espacio alejados de un

apuntar a la misma distancia (positiva).

Este punto se llama el centro de la esfera, y la distancia se llama su radio (Fig. 4.1).

Entonces, una esfera de centro O y radio R es una figura formada por todos los puntos X del espacio para el cual

Una pelota es una figura formada por todos los puntos en el espacio que están a una distancia no mayor que una distancia dada (positiva) de un punto dado. Este punto se llama el centro de la pelota, y esta distancia se llama su radio.

Entonces, una pelota con centro O y radio R es una figura formada por todos los puntos X del espacio para el cual

Aquellos puntos X de la pelota de centro O y radio R por los que forman una esfera. Se dice que esta esfera delimita la esfera dada, o que es su superficie.

El símbolo del globo es la globalidad del globo de la Tierra. Símbolo del futuro, se diferencia de la cruz en que ésta personifica el sufrimiento y la muerte humana. EN Antiguo Egipto llegó por primera vez a la conclusión de que la tierra es esférica. Esta suposición sirvió de base para numerosas reflexiones sobre la inmortalidad de la tierra y la posibilidad de inmortalidad de los organismos vivos que la habitan.

Este punto(O) se llama el centro de la esfera. Cualquier segmento que conecte el centro y algún punto de la esfera se denomina radio de la esfera (R-radio de la esfera). El segmento que conecta dos puntos de la esfera y pasa por su centro se llama diámetro de la esfera. Obviamente, el diámetro de la esfera es 2R.

Definición de pelota Una pelota es un cuerpo que consta de todos los puntos en el espacio que están a una distancia no mayor que una distancia dada de un punto dado (o una figura delimitada por una esfera). Un cuerpo limitado por una esfera se llama esfera. El centro, el radio y el diámetro de una esfera también se denominan centro, radio y diámetro de una esfera. Pelota

El plano que pasa por el centro de la bola se llama plano diametral El plano que pasa por el centro de la bola se llama plano diametral. La sección de la bola por el plano diametral se llama círculo máximo y la sección de la esfera se llama círculo máximo La sección de la bola por el plano diametral se llama círculo máximo y la sección de la esfera se llama círculo máximo el gran círculo.

X²+y²=R²-d² Si d>R, entonces la esfera y el plano no tienen puntos en común. R, entonces la esfera y el plano no tienen puntos en común."> R, entonces la esfera y el plano no tienen puntos en común."> R, entonces la esfera y el plano no tienen puntos en común." title="(!LANG:x²+ y²=R² -d² Si d>R, entonces la esfera y el plano no tienen puntos comunes."> title="x²+y²=R²-d² Si d>R, entonces la esfera y el plano no tienen puntos en común."> !}

Un plano tangente a una esfera por un plano tangente a una esfera Un plano que tiene un solo punto común con la esfera se llama plano tangente a la esfera, el punto tangente A del plano y la esfera, y su punto común se llama el punto tangente A del plano y la esfera.

Teorema: El radio de una esfera dibujada en el punto de contacto entre la esfera y el plano es perpendicular al plano tangente. Prueba: Considere un plano α tangente a una esfera con centro O en el punto A. Demuestre que OA es perpendicular a α. Supongamos que no lo es. Entonces el radio OA está inclinado respecto al plano α y, en consecuencia, la distancia del centro de la esfera al plano es menor que el radio de la esfera. Por lo tanto, la esfera y el plano se cortan en un círculo. Esto es contrario a lo que es tangente, es decir, una esfera y un plano tienen un solo punto en común. La contradicción resultante prueba que OA es perpendicular a α.

esfera y bola

La palabra "esfera" proviene de la palabra griega "sfire", que se traduce al ruso como "bola".

SHAR es un símbolo del futuro.

El símbolo del globo es la globalidad del globo de la Tierra. Símbolo del futuro, se diferencia de la cruz en que ésta personifica el sufrimiento y la muerte humana. En el antiguo Egipto, llegaron por primera vez a la conclusión de que la tierra es esférica. Esta suposición sirvió de base para numerosas reflexiones sobre la inmortalidad de la tierra y la posibilidad de inmortalidad de los organismos vivos que la habitan.

Un hombre que sostiene una pelota en sus manos simboliza a un sujeto que lleva las cargas del mundo. No es casualidad que algunas estaciones en Europa Occidental, por ejemplo, en Helsinki, estén decoradas con esculturas similares: aquí las cargas que caen sobre los hombros. del viajero están representados.

Así, la bola y el globo son signos de providencia, conducta, eternidad, poder y poder de los coronados.

El hemisferio de piedra de la esfera se materializa en templos religiosos - cúpulas iglesias ortodoxas En Rusia; estupas asociadas con la residencia de los bodhisattvas en la India. En Indonesia, las estupas han adquirido la forma de una campana con una aguja de piedra en la parte superior y se llaman dagobas.

En la mitología grecorromana, la pelota simbolizaba la buena suerte, el destino, estando asociada con Tihe (Fortuna) de pie sobre la pelota. El famoso cuadro de Picasso "Niña sobre una pelota" es una fortuna danzante.

Forma de bola en la naturaleza Muchas bayas tienen forma de bola.

Los planetas son esféricos.

Algunos árboles son esféricos.

Definición de una esfera Una esfera es una superficie que consta de todos los puntos en el espacio ubicados a una distancia dada de un punto dado.

Una esfera es una superficie que se obtiene al girar un semicírculo alrededor de un diámetro

Este punto (O) se llama centro de la esfera. Cualquier segmento que conecte el centro y algún punto de la esfera se denomina radio de la esfera (R-radio de la esfera). El segmento que une dos puntos de la esfera y pasa por su centro se llama diámetro de la esfera. Obviamente, el diámetro de la esfera es 2R.

Definición de pelota Una pelota es un cuerpo que consta de todos los puntos en el espacio que están a una distancia no mayor que una distancia dada de un punto dado (o una figura delimitada por una esfera). Un cuerpo limitado por una esfera se llama esfera. El centro, el radio y el diámetro de una esfera también se denominan centro, radio y diámetro de una esfera.

Segmento esférico Un segmento esférico es una parte de una bola separada de ella por algún plano.

Capa esférica Una capa esférica es una parte de una esfera encerrada entre dos planos de corte paralelos.

Sector esférico Un sector esférico es un cuerpo obtenido al girar un sector circular con un ángulo inferior a 900 alrededor de una línea recta que contiene uno de los radios que delimitan el sector circular.

El plano que pasa por el centro de la bola se llama plano diametral. La sección transversal de una bola con un plano diametral se llama círculo máximo, y la sección transversal de una esfera se llama círculo máximo. Sección de bolas

Arreglamos Resolver el problema No. 573, No. 574 (a)

Ecuación de una esfera en un sistema de coordenadas rectangulares M(x;y;z) es un punto arbitrario perteneciente a la esfera. /MC/= v(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 MC=R, entonces (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2

Tarea 1. Encuentra las coordenadas del centro y el radio de la esfera dadas por la ecuación: x?+y?+z?=49 (X-3)?+(y+2)?+z?=2 2. Escribe la ecuación para una esfera de radio R con centro Y si A(2;-4;7) R=3 A(0;0;0) R=v2 A(2;0;0) R=4 3. Resuelve el problema Nº 577(a)

Disposición mutua de la esfera y el plano Identifiquemos el radio de la esfera con la letra R y la distancia de su centro al plano con la letra d. Introduzcamos un sistema de coordenadas tal que el plano Oxy coincida con el plano?, y el centro C de la esfera se encuentre sobre el semieje positivo Oz.

En este sistema de coordenadas, el punto C (o; o; d), por lo que la esfera tiene la ecuación x2+y2+(z-d)2=R? El plano coincide con el plano coordenado Oxy, por lo que su ecuación es z=0

Así, la cuestión de la disposición mutua de la esfera y el plano se reduce al estudio de un sistema de ecuaciones. Sustituyendo z=0 en la segunda ecuación, obtenemos x?+y?=R?-d? 3 casos son posibles:

x?+y?=R?-d? Si d>R, entonces la esfera y el plano no tienen puntos en común.

x?+y?=R?-d? Si d=R, entonces la esfera y el plano nombran solo un punto común. ¿En este caso? llamado plano tangente a la esfera

x?+y?=R?-d? si

Arreglamos Solucionar el problema No. 580, No. 581

Plano tangente a la esfera Un plano que tiene un solo punto común con la esfera se llama plano tangente a la esfera, y su punto común se llama punto A tangente del plano y la esfera.

Teorema: El radio de una esfera dibujada en el punto de contacto entre la esfera y el plano es perpendicular al plano tangente. Demostración: Considere un plano ? que toca una esfera con centro O en el punto A. Demuestre que OA es perpendicular a ?. Supongamos que no lo es. Entonces el radio OA está inclinado respecto al plano?, y, en consecuencia, la distancia del centro de la esfera al plano es menor que el radio de la esfera. Por lo tanto, la esfera y el plano se cortan en un círculo. Esto es contrario a lo que es tangente, es decir, una esfera y un plano tienen un solo punto en común. La contradicción resultante prueba que OA es perpendicular?.

Teorema inverso: si el radio de una esfera es perpendicular a un plano que pasa por su extremo que se encuentra sobre la esfera, entonces este plano es tangente a la esfera.

Arreglamos Resolver problema No. 592

Área de una Esfera ¡Una esfera no se puede aplanar! Un poliedro descrito cerca de una esfera es un poliedro cuyas caras están tocadas por la esfera. Se dice que una esfera está inscrita en un poliedro.

Tarea: El área de la sección transversal de una esfera que pasa por su centro es de 9m2. Encuentra el área de la esfera. Solución: La sección que pasa por el centro de la esfera es un círculo. Ssec =?r2, 9=?R2, R=v9/? . Sesferas=4 ?r2 , Sesferas=4? · nueve/? =36m2