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MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA DE LA FEDERACIÓN DE RUSIA UNIVERSIDAD NACIONAL DE INVESTIGACIÓN NUCLEAR "MEPhI" T. I. Bukharova, V. L. Kamynin, A. B. Kostin, D. S. Tkachenko Curso de conferencias sobre ecuaciones diferenciales ordinarias como material didáctico para estudiantes de instituciones de educación superior Moscú 2011 Curso de conferencias sobre ecuaciones diferenciales ordinarias: Libro de texto. - M.: NRNU MEPhI, 2011. - 228 p. El libro de texto fue creado sobre la base de un curso de conferencias impartidas por los autores en el Instituto de Ingeniería Física de Moscú durante muchos años. Está destinado a estudiantes de la Universidad Nacional de Investigación Nuclear MEPhI de todas las facultades, así como a estudiantes universitarios con formación matemática avanzada. El manual fue elaborado en el marco del Programa de Creación y Desarrollo de NRNU MEPhI. Revisor: Doctor en Física y Matemáticas. Ciencias N. A. Kudriashov. ISBN 978-5-7262-1400-9 © Universidad Nacional de Investigación Nuclear MEPhI, 2011 Contenido Prólogo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I. Introducción a la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias Conceptos básicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El problema de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 11 II. Existencia y unicidad de una solución al problema de Cauchy para una ecuación de primer orden Teorema de unicidad para OLE de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Existencia de una solución al problema de Cauchy para OLE de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Continuación de la solución para EDO de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tercero El problema de Cauchy para un sistema normal de n-ésimo orden Conceptos básicos y algunas propiedades auxiliares de las funciones vectoriales. . . . Unicidad de la solución del problema de Cauchy para un sistema normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . El concepto de un espacio métrico. El principio de los mapeos compresivos. . . . . . Teoremas de existencia y unicidad para la solución del problema de Cauchy para sistemas normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 14 23 34 38 38 43 44 48 IV. Algunas Clases de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Resueltas en Cuadraturas Ecuación con variables separables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OÄCs lineales de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones homogéneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ecuación de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuación en diferenciales totales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 55 58 63 64 65 V. 67 Ecuaciones de primer orden no resueltas con respecto a la derivada Teorema de existencia y unicidad para solución de una EDO no resueltas con respecto a la derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución especial. Curva discriminante. sobre. . . . . . . . . . . . . . . . Método de introducción de parámetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La ecuación de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ecuación de Clairaut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI. Sistemas EDO lineales Conceptos básicos. Teorema de existencia y unicidad para la solución del problema Sistemas homogéneos de EDO lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinante de Vronsky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluciones complejas de un sistema homogéneo. Transición a dsr real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas no homogéneos de EDO lineales. El método de variación de constantes. . . . . Sistemas homogéneos de EDO lineales con coeficientes constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Una función exponencial de una matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 67 70 77 79 81 85 Cauchy 85 . . . 87 . . . 91 . . . . . . 96 97 . . . 100 . . 111 Sistemas no homogéneos de EDO lineales con coeficientes constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 VII. EDO lineales de alto orden Reducción a un sistema de EDO lineales. Teorema de existencia y unicidad para la solución del problema de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ODE lineal homogénea de alto orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de soluciones complejas de una EDO lineal homogénea de alto orden. Transición de ÔSR complejo a real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OÄD lineales no homogéneos de alto orden. El método de variación de constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OÄDs lineales homogéneos de alto orden con coeficientes constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ODE lineal de alto orden no homogénea con coeficientes constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 VII. Teoría de la sostenibilidad Conceptos básicos y definiciones relacionadas con la sostenibilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estabilidad de soluciones de un sistema lineal. . . . . . Los teoremas de estabilidad de Lyapunov. . . . . . . . . . Estabilidad en primera aproximación. . . . . . . Comportamiento de trayectorias de fase cerca del punto de reposo 162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 128 136 139 142 150 162 168 172 182 187 IX. Primeras integrales de sistemas de EDO 198 Primeras integrales de sistemas autónomos de ecuaciones diferenciales ordinarias 198 Sistemas no autónomos de EDO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Notación simétrica de los sistemas OÄC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 X. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden Ecuaciones en derivadas parciales lineales de primer orden homogéneas El problema de Cauchy para una ecuación en derivadas parciales lineal de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones cuasilineales en derivadas parciales de primer orden. . . . El problema de Cauchy para una ecuación diferencial parcial cuasilineal de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -4-210. . . . . 210 . . . . . 212 . . . . . 216 . . . . . 223 . . . . . 227 PREFACIO Al preparar el libro, los autores se fijaron el objetivo de recopilar en un solo lugar y presentar en forma accesible información sobre la mayoría de los temas relacionados con la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Por lo tanto, además del material incluido en el programa obligatorio del curso de ecuaciones diferenciales ordinarias impartido en NRNU MEPhI (y otras universidades), el manual también incluye preguntas adicionales que, por regla general, no tienen suficiente tiempo en conferencias, pero lo cual será de gran utilidad para una mejor comprensión de la materia y será de utilidad a los actuales estudiantes en sus futuras actividades profesionales. Se dan demostraciones matemáticamente rigurosas para todos los enunciados del manual propuesto. Estas pruebas, por regla general, no son originales, pero todas han sido revisadas de acuerdo con el estilo de presentación de cursos de matemáticas en MEPhI. Según la opinión generalizada entre profesores y científicos, las disciplinas matemáticas deben estudiarse con demostraciones completas y detalladas, pasando gradualmente de lo simple a lo complejo. Los autores de este manual son de la misma opinión. La información teórica proporcionada en el libro está respaldada por el análisis de un número suficiente de ejemplos que, esperamos, facilitarán al lector el estudio del material. El manual está dirigido a estudiantes universitarios con formación matemática avanzada, principalmente a estudiantes de la Universidad Nacional de Investigación Nuclear MEPhI. Al mismo tiempo, también será útil para todos aquellos que estén interesados ​​en la teoría de las ecuaciones diferenciales y utilicen esta rama de las matemáticas en su trabajo. -5- Capítulo I. Introducción a la Teoría de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1. 1. Conceptos Básicos A lo largo de este manual, por ha, bi denotamos cualquiera de los conjuntos (a, b), , (a, b], , obtenemos x0 2 Zx ln 4C + 3 u(t)v(t) dt5 Zx v(t) dt.log C 6 x0 x0 Después de potenciar la última desigualdad y aplicar (2.3), tenemos 2 x 3 Zx Z u(x) 6 C + u(t)v (t) dt 6 C exp 4 v(t) dt5 x0 x0 para todo x 2 [ 1, 1]. , y) 2 G. Así, f satisface la condición de Lipschitz con L = 1 , de hecho, incluso con L = sen 1 en y. Sin embargo, la derivada fy0 en los puntos (x, 0) 6= (0, 0) ni siquiera existe. El siguiente teorema, que es interesante en sí mismo, nos permite para probar la unicidad de una solución al problema de Cauchy: Teorema 2.1 (Sobre una estimación de la diferencia de dos soluciones) Sea G un dominio 2 en R y sea f (x, y) 2 C G y satisfaga la condición de Lipschitz en G por y con constante L. Si y1 , y2 son dos soluciones de la ecuación y 0 = f (x, y) en el segmento , entonces la siguiente desigualdad (estimación) es válida: jy2 (x) y1 (x)j 6 jy2 (x0) y1 (x0)j exp L(x x0) 6 y1 para todo x 2 . -19- y2 Prueba. Por definición 2. 2 soluciones de la ecuación (2.1), obtenemos que 8 x 2 puntos x, y1 (x) y x, y2 (x) 2 G. Para todo t 2 tenemos las igualdades correctas y10 (t) = f t , y1 (t ) y y20 (t) = f t, y2 (t) , que integramos con respecto a t en el segmento , donde x 2 . La integración es legal, ya que los lados derecho e izquierdo son funciones continuas. Obtenemos el sistema de igualdades Zx y1 (x) y1 (x0) = x0 Zx y2 (x) y2 (x0) = f t, y1 (t) dt, f t, y2 (t) dt. x0 Restando uno del otro, tenemos jy1 (x) y2 (x)j = y1 (x0) y2 (x0) + Zx h f t, y1 (t) i f t, y2 (t) dt 6 x0 Zx 6 y1 (x0) y2 (x0) + f t, y1 (t) f t, y2 (t) dt 6 x0 Zx 6 y1 (x0) y2 (x0) + L y1 (t) y2 (t) dt. x0 Denote C = y1 (x0) y2 (x0) > 0, v(t) = L > 0, u(t) = y1 (t) j 6 jy2 (x0) y1 (x0)j exp L(x x0) y2 (t) > 0. para todo x 2 . El teorema ha sido probado. Como corolario del teorema probado se obtiene el teorema de unicidad para la solución del problema de Cauchy (2. 1), (2.2). Corolario 1. Sea una función f (x, y) 2 C G y satisfaga la condición de Lipschitz en y en G, y sean las funciones y1 (x) y y2 (x) dos soluciones de la ecuación (2.1) en el mismo intervalo , con x0 2 . Si y1 (x0) = y2 (x0), entonces y1 (x) y2 (x) en . Prueba. Consideremos dos casos. -20- 1. Sea x > x0 , entonces se sigue del Teorema 2.1 que h i i.e. y1 (x) y1 (x) y2 (x) 6 0 exp L(x x0) , y2 (x) para x > x0 . 2. Sea x 6 x0 , haga el cambio t = x, entonces yi (x) = yi (t) y~i (t) para i = 1, 2. Dado que x 2 , entonces t 2 [ x0 , x1 ] y igualdad y~1 (x0) = y~2 (x0). Averigüemos qué ecuación satisface y~i (t). La siguiente cadena de igualdades es verdadera: d y~i (t) = dt d~ yi (x) = dx f x, yi (x) = f (t, y~i (t)) . Aquí hemos utilizado la regla de diferenciación de una función compleja y el hecho de que yi (x) son soluciones de la ecuación (2.1). Como la función f~(t, y) f (t, y) es continua y satisface la condición de Lipschitz con respecto a y, entonces por el Teorema 2.1 tenemos que y~1 (t) y~2 (t) en [ x0 , x1 ], es decir y1 (x) y2 (x) a . Combinando los dos casos considerados, obtenemos la afirmación del corolario. Corolario 2. (Sobre la dependencia continua de los datos iniciales) Sea una función f (x, y) 2 C G y satisfaga en G la condición de Lipschitz sobre y con L constante, y las funciones y1 (x) e y2 (x) son soluciones de Ec. (2.1) definida en . Denota l = x1 x0 y δ = y1 (x0) y2 (x0) . Entonces para 8 x 2 la desigualdad y1 (x) y2 (x) 6 δ eL l es verdadera. La demostración se sigue inmediatamente del Teorema 2. 1. La desigualdad del Corolario 2 se denomina estimación de la estabilidad de la solución con respecto a los datos iniciales. Su significado radica en el hecho de que si en x = x0 las soluciones son “cercanas”, también lo son en el segmento final. El Teorema 2.1 da una estimación, que es importante para las aplicaciones, del módulo de la diferencia de dos soluciones, y el Corolario 1 da la unicidad de la solución al problema de Cauchy (2.1), (2.2). También hay otras condiciones suficientes para la unicidad, una de las cuales presentamos ahora. Como se señaló anteriormente, la unicidad geométrica de la solución al problema de Cauchy significa que no más de una curva integral de la ecuación (2.1) puede pasar por el punto (x0, y0) del dominio G. Teorema 2.2 (Osgood sobre la unicidad). Sea una función f (x, y) 2 C G y para 8 (x, y1), (x, y2) 2 G la desigualdad f (x, y1) f (x, y2) 6 6 ϕ jy1 y2 j , donde ϕ ( u) > 0 para u 2 (0, β], ϕ(u) es continua, y Zβ du ! +1 cuando ε ! 0+. Entonces como máximo una curva integral (2.1).-21- Demostración. existen dos soluciones y1 (x) y y2 (x) de la ecuación (2.1), tales que y1 (x0) = y2 (x0) = y0 , denote z(x) = y2 (x) y1 (x). dyi Como = f (x, yi), para i = 1, 2, entonces z(x) satisface la igualdad dx dz = f (x, y2) f (x, y1). dx dz = f (x, y2) f (x, y1) jzj 6 ϕ jzj jzj, es decir entonces z dx 1 d la desigualdad jzj2 6 ϕ jzj jzj, de donde para jzj 6= 0 se sigue la siguiente doble desigualdad 2 dx: Zjz2 j Zx2 dx 6 x1 2 d jzj 6 2 jzjϕ jzj Zx2 dx, (2.5) x1 jz1 j donde la integración se lleva a cabo en cualquier intervalo en el que z(x) > 0, y zi = z(xi), i = 1, 2. Por suposición, z(x) 6 0 y, además, es continua, por lo que hay dicho segmento, selecciónelo y arréglelo. Considere los conjuntos n o X1 = x x< x1 и z(x) = 0 , n o X2 = x x >x2 y z(x) = 0 . Al menos uno de estos conjuntos no está vacío, ya que z(x0) = 0 y x0 62 . Sea, por ejemplo, X1 6= ∅, está acotado por arriba, entonces 9 α = sup X1 . Tenga en cuenta que z(α) = 0, es decir, α 2 X1 , ya que suponiendo que z(α) > 0, por continuidad, tendremos z(x) > 0 en algún intervalo α δ1 , α + δ1 , y esto contradice la definición de α = sup X1 . De la condición z(α) = 0 se sigue que α< x1 . По построению z(x) > 0 para todo x 2 (α, x2 ], y dado que z(x) ! 0+ es continua para x ! α + 0. Repitamos los argumentos al derivar (2.5), integrando sobre el segmento [α + δ, x2 ], donde x2 se elige arriba y es fijo, y δ 2 (0, x2 α) es arbitrario, obtenemos la siguiente desigualdad: Zjz2 j Zx2 dx 6 α+δ d jzj2 6 desigualdad, tendemos a δ ! 0+, entonces z(α+δ) ! z(α) = 0, de Zjz2 j d jzj2 !+1, por la condición de continuidad z(x), y luego la integral 2 jzjϕ jzj del teorema jz(α+ δ)j -22 - El lado derecho de la desigualdad Rx2 dx = x2 α δ 6 x2 α está acotado por α + δ desde arriba por un valor finito, lo que es simultáneamente imposible que el problema de Cauchy (2.1), (2.2) se entienda como sigue problema de encontrar la función y(x): 0 y = f (x, y), (x, y) 2 G, y(x0) = y0 , (x0 , y0 ) 2 G, donde f (x, y) 2 C G y (x0 , y0) 2 G, G es un dominio en R2 Lema 2. 2. Sea f (x, y) 2 C G Entonces se cumplen las siguientes afirmaciones: 1 ) cualquier re la solución ϕ(x) de la ecuación (2.1) en el intervalo ha, bi que satisface (2.2) x0 2 ha, bi es una solución en ha, bi de la ecuación integral Zx y(x) = y0 + f τ, y( τ) dτ; (2.6) x0 2) si ϕ(x) 2 C ha, bi es una solución de la ecuación integral (2.6) en ha, bi, 1 donde x0 2 ha, bi, entonces ϕ(x) 2 C ha, bi y es una solución de (2.1), (2.2). Prueba. 1. Sea ϕ(x) una solución de (2.1), (2.2) en ha, bi. Entonces, por la Observación 2.2 ϕ(x) 2 C ha, bi y 8 τ 2 ha, bi, tenemos la igualdad ϕ 0 (τ) = f τ, ϕ(τ) , integrando la cual de x0 a x, obtenemos ( para cualquier x 2 ha , bi) Rx ϕ(x) ϕ(x0) = f τ, ϕ(τ) dτ, y ϕ(x0) = y0 , es decir, ϕ(x) es la solución (2.6). x0 2. Sea y = ϕ(x) 2 C ha, bi una solución de (2.6). Como f x, ϕ(x) es continua en ha, bi por suposición, entonces Zx ϕ(x) y0 + f τ, ϕ(τ) dτ 2 C 1 ha, bi x0 como una integral con un límite superior variable de una continua función. Derivando la última igualdad con respecto a x, obtenemos ϕ 0 (x) = f x, ϕ(x) 8 x 2 ha, bi y, obviamente, ϕ(x0) = y0 , es decir ϕ(x) es la solución del problema de Cauchy (2.1), (2.2). (Como de costumbre, se entiende que una derivada al final de un segmento significa la derivada lateral correspondiente.) -23- Observación 2. 6. El lema 2. 2 se llama el lema de la equivalencia del problema de Cauchy (2.1) , (2.2) a la ecuación integral (2.6). Si demostramos que existe una solución a la ecuación (2.6), entonces obtenemos la solución del problema de Cauchy (2.1), (2.2). Este plan se implementa en el siguiente teorema. Teorema 2.3 (Teorema de existencia local). Sea el rectángulo P = (x, y) 2 R2: jx x0 j 6 α, jy y0 j 6 β completamente en el dominio G de la función f (x, y). Función f (x, y) 2 C G y satisface la condición de Lipschitz para n y ov G con constante L. Denote β M = max f (x, y) , h = min α, M . Entonces existe una solución del problema de Cauchy (2.1), (2.2) en el intervalo P. Prueba. Establezcamos la existencia de una solución de la ecuación integral (2.6) en el intervalo. Para ello, considere la siguiente secuencia de funciones: Zx y0 (x) = y0 , y1 (x) = y0 + f τ, y0 (τ) dτ, ... x0 Zx yn (x) = y0 + f τ, yn 1 (τ ) dτ, etc. x0 1. Demostremos que las 8 n 2 N funciones yn (aproximaciones sucesivas) están definidas, es decir, mostremos que para 8 x 2 la desigualdad yn (x) y0 6 β se cumple para todo n = 1, 2, . . . Usamos el método de inducción matemática (MMI): a) base de inducción: n = 1. Zx y1 (x) y0 = f τ, y0 (τ) dτ 6 M0 x x0 6 M h 6 β, x0 donde M0 = max f (x , y0) para jx x 0 j 6 α , M0 6 M ; b) supuesto y paso de inducción. Sea cierta la desigualdad para yn 1 (x), demostremos para yn (x): Zx yn (x) y0 = f τ, yn 1 (τ) dτ 6 M x x0 Entonces, si jx x0 j 6 h , entonces yn (x) y0 6 β 8 n 2 N. -24- x0 6 M h 6 β. Nuestro objetivo es probar la convergencia del 1 sucesor más cercano yk (x) k=0 , para ello conviene representarlo como: yn = y0 + n X yk 1 (x) = y0 + y1 yk (x) y0 + y2 y1 + . . . + yn yn 1 , k=1 es decir sucesiones de sumas parciales de una serie funcional. 2. Estime los términos de esta serie demostrando las siguientes desigualdades 8 n 2 N y 8 x 2 : x0 jn yn (x) yn 1 6 M0 L 6 M0 Ln n! Apliquemos el método de inducción matemática: jx n 1 1 hn . ¡norte! (2.7) a) base de inducción: n = 1. y1 (x) x y 0 6 M0 x0 6 M0 h, demostrado anteriormente; b) supuesto y paso de inducción. Sea cierta la desigualdad para n, digámoslo para n: Zx yn (x) yn 1 f τ, yn 1 (τ) = f τ, yn 2 (τ) 1, hasta dτ 6 x0 Zx i yn 6 by la condición de Lipschitz 6 L h yn 1 2 dτ 6 x0 h Zx i 6 por la hipótesis de inducción 6 L n 2 M0 L jτ x0 jn 1 dτ = (n 1)! x0 M0 Ln 1 = (n 1)! Zx jτ n 1 x0 j M0 Ln 1 jx x0 jn M0 L n 6 dτ = (n 1)! nn! 1 x0 Rx Aquí hemos utilizado el hecho de que la integral I = jτ x0 para x > x0 para x< x0 Rx I = (τ x0 Rx I = (x0 n 1 x0) τ)n 1 dτ = dτ = x0 (x (x0 x)n n Таким образом, неравенства (2.7) доказаны. -25- x0)n и n = jx x0 jn . n x0 jn 1 dτ : hn . 3. Рассмотрим тождество yn = y0 + ним функциональный ряд: y0 + 1 P n P yk (x) yk 1 (x) и связанный с k=1 yk 1 (x) . Частичные суммы это- yk (x) k=1 го ряда равны yn (x), поэтому, доказав его сходимость, получим сходимость 1 последовательности yk (x) k=0 . В силу неравенств (2.7) функциональный ряд мажорируется на отрезке k 1 P k 1 h числовым рядом M0 L . Этот числовой ряд сходится k! k=1 по признаку Даламбера, так как M0 Lk hk+1 k! ak+1 = ak (k + 1)! M0 L k 1 hk = h L ! 0, k+1 k ! 1. Тогда по признаку Вейерштрасса о равномерной сходимости функциональный 1 P ряд y0 + yk (x) yk 1 (x) сходится абсолютно и равномерно на отрезk=1 ке , следовательно и функциональная последовательность 1 yk (x) k=0 сходится равномерно на отрезке к некоторой функ- ции ϕ(x), а так как yn (x) 2 C , то и ϕ(x) 2 C как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. 4. Рассмотрим определение yn (x): Zx yn (x) = y0 + f τ, yn 1 (τ) dτ (2.8) x0 – это верное равенство при всех n 2 N и x 2 . У левой части равенства (2.8) существует предел при n ! 1, так как yn (x) ⇒ ϕ(x) на , поэтому и у правой части (2.8) тоже существует Rx предел (тот же самый). Покажем, что он равен функции y0 + f τ, ϕ(τ) dτ , x0 используя для этого следующий критерий равномерной сходимости функциональной последовательности: X yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 () sup yn (x) y(x) ! 0 при n ! 1 . x2X X Напомним, что обозначение yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 принято использовать для равномерной на множестве X сходимости функциональной последователь 1 ности yk (x) k=0 к функции ϕ(x). -26- Покажем, что y0 + Rx X f τ, yn 1 (τ) dτ ⇒ y0 + x0 здесь X = . Для этого рассмотрим f τ, yn 1 (τ) f τ, ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 Zx h i yn 1 (τ) 6 по условию Липшица 6 sup L ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 6 L h sup yn 1 (τ) ϕ(τ) ! 0 при n ! 1 τ 2X X в силу равномерной при n ! 1 сходимости yn (x) ⇒ ϕ(x). Таким образом, переходя к пределу в (2.8), получим при всех x 2 верное равенство Zx ϕ(x) = y0 + f τ, ϕ(τ) dτ, x0 в котором ϕ(x) 2 C . По доказанной выше лемме 2. 2 ϕ(x) – решение задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Замечание 2. 7. В теореме 2. 3 установлено существование решения на отрезке . По следствию 1 из теоремы 2. 1 это решение единственно в том смысле, что любое другое решение задачи Коши (2.1), (2.2), определенное на совпадает с ним на этом отрезке. Замечание 2. 8. Представим прямоугольник P в виде объединения двух (пересекающихся) прямоугольников P = P [ P + , (рис. 2. 3) где n P = (x, y) n P = (x, y) + x 2 ; x 2 ; -27- jy jy o y0 j 6 β , o y0 j 6 β . Рис. 2. 3. Объединение прямоугольников Обозначим f (x, y . M − = max − f (x, y , M + = max + P P Повторяя,с очевидными изменениями, доказательство теоремы 2. 3 отдель но для P + или P − , получим существование (и единственность) решения на отрезке n o β + + , где h = min α, M + или, соответственно, на , n o β − . Отметим, что при этом, вообще говоря, h+ 6= h− , а h h = min α, M − из теоремы 2. 3 есть минимум из h+ и h− . Замечание 2. 9. Существование решения задачи (2.1), (2.2) теоремой 2. 3 гарантируется лишь на некотором отрезке . В таком случае говорят, что теорема является локальной. Возникает вопрос: не является ли локальный характер теоремы 2. 3 следствием примененного метода ее доказательства? Может быть, используя другой метод доказательства, можно установить существование решения на всем отрезке , т.е. глобально, как это было со свойством единственности решения задачи Коши (2.1), (2.2)? Следующий пример показывает, что локальный характер теоремы 2. 3 связан с «существом» задачи, а не с методом ее доказательства. Пример 2. 1. Рассмотрим задачу Коши 0 y = −y 2 , (2.9) y(0) = 1 n o в прямоугольнике P = (x, y) jxj 6 2, jy − 1j 6 1 . Функция f (x, y) = −y 2 непрерывна в P и fy0 = −2y 2 C P , поэтому все условия тео1 β , α = и ремы 2. 3 выполнены, а M = max f (x, y) = 4. Тогда h = min P P M 4 -28- теорема 2. 3 гарантирует существование решения на отрезке 1 1 . Решим − , 4 4 эту задачу Коши, используя «разделение переменных»: − dy = dx y2 () y(x) = 1 . x+C 1 – решение задачи Коши (2.9). x+1 График решения представлен на рис. (2.4), из которого видно, что решение 1 при x < x = − покидает прямоугольник P , а при x 6 −1 даже не 2 существует. Подставляя x = 0, найдем C = 1 и y(x) = Рис. 2. 4. Локальный характер разрешимости задачи Коши В связи с этим возникает вопрос об условиях, обеспечивающих существование решения на всем отрезке . На приведенном примере мы видим, что решение покидает прямоугольник P , пересекая его «верхнее» основание, поэтому можно попробовать вместо прямоугольника P в теореме 2. 3 взять полосу: o n 2 A 6 x 6 B − 1 < y < +1 , A, B 2 R. Q = (x, y) 2 R Оказывается, что при этом решение существует на всем отрезке A, B , если f (x, y) удовлетворяет условию Липшица по переменной y в Q. А именно, имеет место следующая важная для приложений теорема. Теорема 2. 4. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y с константой L в полосе Q = (x, y) 2 R2: A 6 x 6 B, y 2 R , -29- где A, B 2 R. Òогда при любых начальных данных x0 2 , y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем . Доказательство. Áудем считать, что x0 2 (A, B). Проведем рассуждения по схеме теоремы 2. 3 отдельно для полосы o n + 2 x 2 y 2 R и Q = (x, y) 2 R n Q = (x, y) 2 R2 o x 2 y 2 R . + Если x0 = A или x0 = B, то один из этапов рассуждений (для Q или, соответственно, для Q) отсутствует. + Возьмем полосу Q и построим последовательные приближения yn+ (x), + как в теореме 2. 3. Поскольку Q не содержит ограничений на размер по y, то пункт 1) доказательства теоремы 2. 3 не проверяем. Далее, как в предыдущей теореме, от последовательности переходим к ряду с частичными суммами yn+ (x) = y0 + n X yk+ (x) yk+ 1 (x) , где x 2 . k=1 Повторяя рассуждения, доказываем оценку вида (2.7) x0 jn x0)n n 1 (B 6 M0 L 6 M0 L (2.10) n! n! при всех x 2 ; здесь M0 = max f (x, y0) при x 2 , откуда yn+ (x) yn+ 1 n 1 jx yn+ (x) как и выше в теореме 2. 3 получим, что ⇒ ϕ+ (x), n ! 1, причем ϕ+ (x) 2 C , ϕ+ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Возьмем полосу Q и построим последовательность yn (x). Действуя ана логично, получим, что 9 ϕ (x) 2 C , ϕ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Определим функцию ϕ(x) как «сшивку» по непрерывности ϕ+ и ϕ , т.е. + ϕ (x), при x 2 , ϕ(x) = ϕ (x), при x 2 . Отметим, что ϕ+ (x0) = ϕ (x0) = y0 и потому ϕ(x) 2 C . Функции ϕ (x) по построению удовлетворяют интегральному уравнению (2.6), т.е. Zx ϕ (x) = y0 + f τ, ϕ (τ) dτ, x0 -30- где x 2 для ϕ+ (x) и x 2 для ϕ (x), соответственно. Следовательно, при любом x 2 функция ϕ(x) удовлетворяет инте 1 гральному уравнению (2.6). Тогда по лемме 2. 2, ϕ(x) 2 C и является решением задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Из доказанной теоремы 2. 4 нетрудно получить следствие для интервала (A, B) (открытой полосы). Ñледствие. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна в открытой полосе Q = (x, y) 2 R2: x 2 (A, B), y 2 R , причем A и B 2 R могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что f (x, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(x) 2 C(A, B), такая, что 8 x 2 (A, B) и 8 y1 , y2 2 R выполняется неравенство f (x, y2) f (x, y1) 6 L(x) jy2 y1 j. Òогда при любых начальных данных x0 2 (A, B), y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем (A, B). Доказательство. Для любой полосы Q1 = (x, y) 2 R2: x 2 , y2R , где A1 >A, B1< B, лежащей строго внутри Q и содержащей (x0 , y0), справедлива теорема 2. 4, так как при доказательстве оценок вида (2.10), необходимых для обоснования равномерной на сходимости последовательности yn (x) , используются постоянные M0 = max f (x, y0) при x 2 и L = max L(x) x 2 . Эти постоянные не убывают при расширении (A, B). Возьмем последовательность расширяющихся отрезков , удовлетворяющих условиям B >Bk+1 > Bk para todo k 2 N; 1) un< Ak+1 < Ak , 2) x0 2 при всех k 2 N; 3) Ak ! A, Bk ! B при k ! 1. Заметим сразу, что S = (A, B) и, более того, для любого x 2 (A, B) k найдется номер x 2 . N (x) 2 N, такой, что при всех -31- k >N se cumple. Probemos esta afirmación auxiliar para el caso A, B 2 R (es decir, A y B son finitos; si A = 1 o B =+1, entonces de manera similar). Tome x A B x , arbitrario x 2 (A, B) y δ(x) = min , δ(x) > 0. Por 2 2 el número δ de la convergencia Ak ! A y Bk! B obtenemos que 9 N1 (δ) 2 N: 8 k > N1 , A< Ak < A + δ < x, 9 N2 (δ) 2 N: 8 k >N2, x< B δ < Bk < B. Тогда для N = max N1 , N2 справедливо доказываемое свойство. Построим последовательность решений задачи Коши (2.1), (2.2) Yk (x), применяя теорему 2. 4 к соответствующему отрезку . Любые два из этих решений совпадают на общей области определения по следствию 1 из теоремы 2.1. Таким образом, два последовательных решения Yk (x) и Yk+1 (x) совпадают на , но Yk+1 (x) определено на более широком отрезке . Построим решение на всем (A, B). Возьмем и построим ϕ(x) – решение задачи (2.1), (2.2) на всем (по теореме 2. 4). Затем продолжим это решение на , . . . , . . . Получим, что решение ϕ(x) определено на всем (A, B). Докажем его единственность. Предположим, что существует решение ψ(x) задачи Коши (2.1), (2.2), также определенное на всем (A, B). Докажем, что ϕ(x) ψ(x) при любом x 2 (A, B). Пусть x – произвольная точка (A, B), найдется номер N (x) 2 N, такой, что x 2 при всех k >NORTE. Aplicando el Corolario 1 de la Sección 2.1 (es decir, el teorema de unicidad), obtenemos que ϕ(t) ψ(t) para todo t 2 y, en particular, para t = x. Dado que x es un punto arbitrario en (A, B), se demuestra la unicidad de la solución y, con ella, el corolario. Observación 2. 10. En el corolario que acabamos de probar, encontramos por primera vez la noción de extender una solución a un conjunto más amplio. En el siguiente párrafo, lo estudiaremos con más detalle. Demos algunos ejemplos. p Ejemplo 2. 2. Para la ecuación y 0 = ejxj x2 + y 2 averiguar si su solución existe en el todo (A, B) = (1, +1). Considere esta ecuación en la “franja” Q = R2 , la función p jxj f (x, y) = e x2 + y 2 ∂f y = ejxj p , fy0 6 ejxj = L(x). ∂y x2 + y 2 Según el enunciado 2.1 de la Sección 2.1, la función f (x, y) satisface la condición de Lipschitz con respecto a y con la “constante” L = L(x), x es fija. Entonces todas las condiciones del corolario se cumplen y para cualquier dato inicial (x0 , y0) 2 R2 la solución del problema de Cauchy existe y, además, es única en (1, +1). Tenga en cuenta que la ecuación en sí no se puede resolver en cuadraturas, pero las soluciones aproximadas se pueden construir numéricamente. está definida y es continua en Q, -32- Ejemplo 2. 3. Para la ecuación y 0 = ex y 2 averiguar si existen sus soluciones definidas en R. Si consideramos esta ecuación nuevamente en la “franja” Q = R2 , donde la función ∂ f f (x, y)= ex y 2 (x, y1) 6 L(x) jy2 y1 j para todo y1 , y2 2 R. De hecho, f (x, y2) f (x, y1) = ex jy2 + y1 j jy2 y1 j, y la expresión jy2 + y1 j no está acotada para y1 , y2 2 R. Por lo tanto, el corolario no se aplica. Resolvemos esta ecuación por "separación de variables", obtenemos la solución general: " y(x) = 0, y(x) = 1 . ex + C Para definir, tome x0 = 0, y0 2 R. Si y0 = 0, entonces y(x ) 0 es una solución del problema de Cauchy sobre R. 1 es una solución del problema de Cauchy, para y0 2 [ 1, 0) ex está definida para todo x 2 R, mientras que para y0 2 ( 1, 1) [ (0, +1) la solución no es y0 + 1 se puede continuar hasta el punto x = ln Más precisamente, si x > 0, entonces y0 1 la solución y(x) = y0 +1 está definida para x 2 (1, x), y si x< 0 x e y0 y0 < 1 , то решение определено при x 2 (x , +1). В первом случае lim y(x) = +1, а во втором – lim y(x) = 1. Если y0 6= 0, то y(x) = x!x 0 y0 +1 y0 x!x +0 -33- Для наглядности нарисуем интегральные кривые при соответствующих значениях y0 (рис. 2. 5). Рис. 2. 5. Интегральные кривые уравнения y 0 = ex y 2 Таким образом, для задачи Коши 0 y = ex y 2 , y(0) = y0 имеем следующее: 1) если y0 2 [ 1, 0], то решение существует при всех x 2 R; y0 + 1 2) если y0 < 1, то решение существует лишь при x 2 ln ; +1 ; y0 y0 + 1 . 3) если y0 > 0, entonces la solución existe solo para x 2 1; ln y0 Este ejemplo muestra que la restricción sobre el crecimiento de la función f (x, y) en el corolario del Teorema 2.4 demostrado anteriormente es esencial para extender la solución al todo (A, B). De manera similar, se obtienen ejemplos con la función f (x, y) = f1 (x) y 1+ε para cualquier ε > 0; en el ejemplo anterior, ε = 1 se toma solo por conveniencia de presentación. 2. 3. Continuación de la solución para la definición ODE de primer orden 2. 5. Considere la ecuación y 0 = f (x, y) y sea y(x) su solución en ha, bi, y Y (x) su solución en hA , Bi, donde ha, bi está contenida en hA, Bi e Y (x) = y(x) en ha, bi. Entonces Y (x) se llama una extensión de la solución y(x) a hA, Bi, mientras que y(x) se dice que se extiende a hA, Bi. -34- En la Sección 2.2 probamos un teorema de existencia local para una solución al problema de Cauchy (2.1), (2.2). ¿Bajo qué condiciones se puede extender esta solución a un intervalo más amplio? A esta pregunta está dedicada esta sección. Su principal resultado es el siguiente. Teorema 2.5 (sobre la continuación de la solución en un dominio cerrado acotado). Sea una función f (x, y) 2 C G y satisfaga la condición de Lipschitz con respecto a y en R2 , y (x0 , y0) sea un punto interior de un dominio cerrado acotado G G. Entonces la solución de la ecuación y 0 = f (x , y) extensible hasta ∂G de la frontera de G, es decir, se puede extender a un segmento tal que los puntos a, y(a) yb, y(b) se encuentran en ∂G. ∂f (x, y) es continua en un dominio cerrado ∂y acotado G convexo en y, entonces la función f (x, y) satisface la condición de Lipschitz en G con respecto a la variable y. Ver el corolario de la Afirmación 2.1 ∂f de la Subsección 2.1. Por tanto, este teorema será verdadero si es continua en ∂y G. Observación 2. 11. Recuerda que si Demostración. Como (x0 , y0) es un punto interior de G, entonces existe un rectángulo cerrado n o 2 P = (x, y) 2 R x x0 6 α, y y0 6 β , que se encuentra enteramente en G. Entonces, por el teorema 2. 3 de n 2.2 existe h > 0 tal que existe una (y única) solución y = ϕ(x) de la ecuación y 0 = f (x, y) en el intervalo. Primero continuemos esta solución hacia la derecha hasta el límite del dominio G, dividiendo la prueba en pasos separados. 1. Considere el conjunto E R: n o E = α > 0 la solución y = ϕ(x) es extensible, existe una solución y = ϕ1 (x) de la ecuación y 0 = f (x, y) que satisface las condiciones de Cauchy ϕ1 ~b = ϕ ~b . Así, ϕ(x) y ϕ1 (x) son soluciones en el intervalo ~b h1 , ~b de la misma ecuación que coinciden en el punto x = ~b, por lo que coinciden en todo el intervalo ~b h1 , ~b y , por lo tanto, ϕ1 (x) es una extensión de la solución ϕ(x) del intervalo ~b h1 , ~b a ~b h1 , ~b + h1 . Considere la función ψ(x): ϕ(x), x 2 x0 , ψ(x) = ϕ1 (x), x 2 ~b ~b , h1 , ~b + h1 ~b h1 , x0 + α0 + h1 , que es una solución de la ecuación y 0 = f (x, y) y satisface la condición de Cauchy ψ(x0) = y0 . Entonces el número α0 + h1 2 E, lo que contradice la definición α0 = sup E. Por lo tanto, el Caso 2 es imposible. De manera similar, la solución ϕ(x) se extiende hacia la izquierda, hasta el intervalo , donde el punto es a, ϕ(a) 2 ∂G. El teorema está completamente probado. -37- Capítulo III. El problema de Cauchy para un sistema normal de orden n 3. 1. Conceptos básicos y algunas propiedades auxiliares de las funciones vectoriales En este capítulo consideraremos un sistema normal de orden n de la forma 8 > t, y , . . . , y y _ = F 1 norte 1 1 > ,< y_ 2 = f2 t, y1 , . . . , yn , (3.1) . . . > > : y_ = f t, y , . . . , y , n n 1 n donde las funciones desconocidas (deseadas) son y1 (t), . . . , yn (t), mientras que las funciones fi son conocidas, i = 1, n, el punto sobre la función denota la derivada con respecto a t. Se supone que todos los fi están definidos en el dominio G Rn+1. Es conveniente escribir el sistema (3.1) en forma vectorial: y_ = f (t, y), donde y(t) y1 (t) . . . , yn (t) , f (t, y) f1 (t, y) . . . , fn (t, y); No escribiremos flechas en la designación de vectores por brevedad. Tal notación también será denotada por (3.1). Sea el punto t0 , y10 , . . . , yn0 está en G. El problema de Cauchy para (3.1) es encontrar una solución ϕ(t) del sistema (3.1) que satisfaga la condición: ϕ1 (t0) = y10 , ϕ2 (t0) = y20 , ..., ϕn (t0) = yn0 , (3.2) o en forma vectorial ϕ(t0) = y 0 . Como se señaló en el Capítulo 1, por la solución del sistema (3.1) en el intervalo ha, bi entendemos la función vectorial ϕ(t) = ϕ1 (t), . . . , ϕn (t) satisfaciendo las siguientes condiciones: 1) 8 t 2 ha, bi el punto t, ϕ(t) se encuentra en G; 2) 8 t 2 ha, bi 9 d dt ϕ(t); 38 3) 8 t 2 ha, bi ϕ(t) satisface (3.1). Si tal solución satisface adicionalmente (3.2), donde t0 2 ha, bi, entonces se llama solución del problema de Cauchy. Las condiciones (3.2) se denominan condiciones iniciales o condiciones de Cauchy, y los números t0 , y10 , . . . , yn0 son los datos de Cauchy (datos iniciales). En el caso especial cuando la función vectorial f (t, y) (n+1) de la variable depende de y1 , . . . , yn linealmente, es decir, tiene la forma: f (t, y) = A(t) y + g(t), donde A(t) = aij (t) es una matriz n n, el sistema (3.1) se llama lineal. En lo que sigue, necesitaremos las propiedades de las funciones vectoriales, que presentamos aquí como referencia. Las reglas de suma y multiplicación por un número para vectores se conocen del curso de álgebra lineal, estas operaciones básicas se realizan en forma de coordenadas. n Si introducimos el producto escalar x en R, y = x1 y1 + . . . + xn yn , entonces obtenemos un espacio euclidiano, también denotado por Rn , con longitud s q n P del vector jxj = x, x = x2k (o la norma euclidiana). Para un escalar k=1 producto y longitud, se cumplen dos desigualdades principales: 1) 8 x, y 2 Rn 2) 8 x, y 2 Rn x+y 6 x + y x, y 6 x (desigualdad triangular); y (la desigualdad de Cauchy-Bunyakov - Del curso de análisis matemático del segundo semestre, se sabe que la convergencia de una secuencia de puntos (vectores) en el espacio euclidiano (de dimensión finita) es equivalente a la convergencia de secuencias de coordenadas de estos vectores, dicen, es equivalente a la convergencia en coordenadas, lo cual se sigue fácilmente de las desigualdades: q p max x 6 x21 + . . . + x2n = jxj 6 n max xk .16k6n 16k6n De manera similar al caso escalar, la derivada y la integral de una función vectorial están definidas, y las propiedades se prueban fácilmente pasando a coordenadas. Presentemos algunas desigualdades para funciones vectoriales, que se utilizarán en lo que sigue. 1. Para cualquier función vectorial y(t) = y1 (t), . . . , yn (t) , que es integrable (por ejemplo, continua) en , se cumple la siguiente desigualdad: Zb Zb y(t) dt 6 a y(t) dt a -39- (3.3) o en la forma de coordenadas 0 Zb Zb y1 (t) dt, @ y2 (t) dt, . . . , a 1 Zb a Zb q yn (t) dt A 6 y12 (t) + . . . yn2 (t) dt. una prueba. Nótese primero que la desigualdad no excluye el caso b< a, для этого случая в правой части присутствует знак внешнего модуля. По определению, интеграл от вектор-функции – это предел интегральn P ных сумм στ (y) = y(ξk) tk при характеристике («мелкости») разбиения k=1 λ(τ) = max tk стремящейся к нулю. По условию στ ! k=1, N Rb y(t) dt , а по a неравенству треугольника получим στ 6 n X Zb y(ξk) tk ! k=1 при λ(τ) ! 0 y(t) dt, a (здесь мы для определенности считаем a < b). По теореме о переходе к пределу в неравенстве получим доказываемое. Случай b < a сводится к изученному, Rb Ra так как = . a b Аналоги теорем Ролля и Лагранжа отсутствуют для вектор-функций, однако можно получить оценку, напоминающую теорему Лагранжа. 2. Для любой вектор-функции x(t), непрерывно дифференцируемой на , имеет место оценка ¾приращения¿: x(b) x(a) 6 max x 0 (t) b a. (3.4) Доказательство. Неравенство (3.4) сразу получается из (3.3) при y(t) = x 0 (t). При доказательстве теоремы разрешимости для линейных систем нам понадобятся оценки с n n матрицами, которые мы сейчас и рассмотрим. 3. Пусть A(t) = aij (t) n n матрица, обозначим произведение Ax через y. Как оценить y через матрицу A и x ? Оказывается, справедливо неравенство Ax 6 A -40- 2 x, (3.5) где x = p jx1 j2 + . . . + jxn j2 , A 2 = n P ! 12 a2ij , а элементы матрицы i,j=1 A и координаты вектора x могут быть комплексными. Доказательство. Для любого i = 1, n, ai – i-я строка матрицы A, тогда: 2 2 2 yi = ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn = ai , x 6 h i 2 6 по неравенству Коши-Áуняковского 6 jai j2 x = ! ! n n X X 2 2 aik xl = , k=1 суммируя эти неравенства по i = 1, n, имеем: 0 1 n X 2 2 2 aik A x = A y [correo electrónico protegido] 2 2 l=1 2 x , k,i=1 lo que implica (3.5). Definición 3. 1. Digamos que una función vectorial f (t, y) satisface la condición de Lipschitz con respecto a la variable vectorial y sobre el conjunto G de variables (t, y) si 9 L > 0 tal que para cualquier t , y , 2 t, y 2 G se cumple la desigualdad f t, y 2 f t, y 1 6 L y 2 y 1. Como en el caso de una función de dos variables (ver Afirmación 2.1), una condición suficiente para la propiedad de Lipschitz en un dominio G “convexo en y” es que las derivadas parciales estén acotadas. Vamos a dar una definición precisa. Definición 3. 2. Un dominio G de variables (t, y) se llama convexo 1 2 en y si para dos puntos cualesquiera t, y y t, y que se encuentran en G, el segmento que conecta estos dos puntos pertenece completamente a él, es decir mi. establecer n o t, y y = y 1 + τ y 2 y 1 , donde τ 2 . Enunciado 3. 1. Si el dominio G de las variables (t, y) es convexo en y y las derivadas parciales ∂fi son continuas y están acotadas por una constante l en G para ∂yj de todo i, j = 1, n, entonces la función vectorial f t, y satisface en G la condición de Lipschitz en y con la constante L = n l. 1 2 Prueba. Considere puntos arbitrarios t, y y t, y de G y 1 2 el segmento que los conecta, es decir establezca t, y , donde y = y + τ y y1 , t es fijo y τ 2 . -41- Introduzcamos una función vectorial de un argumento escalar g(τ) = f t, y(τ) , 2 1 luego g(1) g(0) = f t, y f t, y , y por otro lado – Z1 g(1) g (0) = re g(τ) dτ = dτ Z1 A(τ) d y(τ) dτ = dτ 0 0 h = debido a y = y 1 + τ y 2 y i 1 Z1 = A(τ) y 2 y 1 dτ , 0 donde A(τ) es una matriz con entradas ∂fi y ∂yj y2 y 1 es la columna correspondiente. Aquí hemos utilizado la regla de diferenciación de una función compleja, es decir, para todo i = 1, n, t es fijo, tenemos: gi0 (τ) = ∂fi ∂y1 ∂fi ∂y2 ∂fi ∂yn d fi t , y(τ) = + + ... + = dτ ∂y1 ∂τ ∂y2 ∂τ ∂yn ∂τ ∂fi ∂fi , ..., y2 y1 . = ∂y1 ∂yn Escribiendo esto en forma matricial, obtenemos: 0 2 1 g (τ) = A(τ) y y con n n matriz A(τ) = aij (τ) ∂fi ∂yj . Usando la estimación integral (3.3) y la desigualdad (3.5), después de la sustitución obtenemos: f t, y 2 f t, y 1 Z1 = g 0 (τ) dτ = 0 Z1 6 A(τ) y 2 Z1 y1 A(τ) y 2 0 Z1 dτ 6 0 A(τ) A(τ) dτ y2 y1 6 y2 y1 6 n l 0 6 max A(τ) puesto que 2 y 1 dτ 6 2 2 n P ∂fi = i,j=1 ∂yj 2 y2 y1 , 2 6 n2 l2 para 8 τ 2 . La afirmación ha sido probada. -42- 3. 2. Unicidad de la solución del problema de Cauchy para un sistema normal Teorema 3. 1 (sobre la estimación de la diferencia de dos soluciones). Sea G un dominio Rn+1, y la función vectorial f (x, y) sea continua en G y satisfaga la condición de Lipschitz con respecto a la variable vectorial y en el conjunto G con constante L. Si y 1 , y 2 son dos soluciones del sistema normal (3.1) y_ = f (x, y) en el segmento , entonces la estimación y 2 (t) y 1 (t) 6 y 2 (t0) y 1 (t0) exp L(t t0 ) es válido para todo t 2 . La demostración repite textualmente la demostración del Teorema 2.1 de la Sec. 2.1, teniendo en cuenta las notaciones obvias. 2 A partir de aquí es fácil obtener el teorema de unicidad y estabilidad de la solución con respecto a los datos iniciales. Corolario 3.1. Sea la función vectorial f (t, y) continua en el dominio G y satisfaga la condición de Lipschitz en y en G, y sean las funciones y 1 (t) y y 2 (t) dos soluciones del sistema normal (3.1 ) en el mismo segmento , y t0 2 . Si y 1 (t0) = y 2 (t0), entonces y 1 (t) y 2 (t) en . Corolario 3.2. (sobre la dependencia continua de los datos iniciales). Sea la función vectorial f (t, y) continua en el dominio G y satisfaga la condición de Lipschitz en y con constante L > 0 en G, y sean las funciones vectoriales y 1 (t) y y 2 (t) soluciones de el sistema normal (3.1) definido en . Entonces, para 8 t 2, se cumple la desigualdad y 1 (t), donde δ = y 1 (t0) y 2 (t0) y l = t1 y 2 (t) 6 δ eL l , t0 . La demostración de los corolarios repite palabra por palabra las demostraciones de los Corolarios 2.1 y 2.2, teniendo en cuenta las notaciones obvias. 2 El estudio de la resolución del problema de Cauchy (3.1), (3.2), como en el caso unidimensional, se reduce a la resolución de una ecuación integral (vectorial). Lema 3. 1. Sea f (t, y) 2 C G; Rn 1 . Entonces se cumplen las siguientes afirmaciones: 1) cualquier solución ϕ(t) de la ecuación (3.1) en el intervalo ha, bi que satisface (3.2) t0 2 ha, bi es una solución continua en ha, bi 1 A través de C G; H se acostumbra a denotar el conjunto de todas las funciones continuas en el dominio G con valores en el espacio H. Por ejemplo, f (t, y) 2 C G; Rn componentes) definido en el conjunto G. es el conjunto de todas las funciones vectoriales continuas (con n -43-ecuación integral y(t) = y 0 + Zt f τ, y(τ) dτ ; (3.6) t0 2) si la función vectorial ϕ(t) 2 C ha, bi es una solución continua de la ecuación integral (3.6) sobre ha, bi, donde t0 2 ha, bi, entonces ϕ(t) tiene una derivada continua sobre ha, bi y es una solución de (3.1), (3.2). Prueba. 1. Sean 8 τ 2 ha, bi que satisfagan la igualdad dϕ(τ) = f τ, ϕ(τ) . Entonces, integrando de t0 a t, teniendo en cuenta (3.2), obtenemos dτ Rt 0 que ϕ(t) = y + f τ, ϕ(τ) dτ, es decir, ϕ(t) satisface la ecuación (3.6). t0 2. Si una función vectorial continua ϕ(t) satisface la ecuación (3.6) en ha, bi, entonces f t, ϕ(t) es continua en ha, bi por el teorema de continuidad de la función compuesta, y por lo tanto el lado derecho de (3.6 ) (y por lo tanto el lado izquierdo) tiene una derivada continua con respecto a t en ha, bi. Para t = t0, de (3.6) ϕ(t0) = y 0 , es decir, ϕ(t) es la solución del problema de Cauchy (3.1), (3.2). Nótese que, como siempre, la derivada al final del segmento (si pertenece a él) se entiende como la derivada unilateral de la función. El lema está probado. Observación 3. 1. Usando la analogía con el caso unidimensional (ver Capítulo 2) y las afirmaciones demostradas anteriormente, podemos probar el teorema sobre la existencia y continuación de una solución al problema de Cauchy construyendo una secuencia iterativa que converge a la solución de la ecuación integral (3.6) en algún intervalo t0 h, t0 + h . Aquí presentamos otra prueba del teorema de existencia (y unicidad) para una solución basada en el principio de mapeo de contracción. Hacemos esto para familiarizar al lector con métodos más modernos de teoría, que se aplicarán en el futuro, en los cursos de ecuaciones integrales y ecuaciones de física matemática. Para llevar a cabo nuestro plan, necesitamos una serie de nuevos conceptos y afirmaciones auxiliares, que consideraremos ahora. 3. 3. El concepto de espacio métrico. El principio de las aplicaciones de contracción El concepto más importante de límite en matemáticas se basa en el concepto de "proximidad" de los puntos, es decir para poder encontrar la distancia entre ellos. En el eje numérico, la distancia es el módulo de la diferencia entre dos números, en el plano es la conocida fórmula de la distancia euclidiana, y así sucesivamente. Muchos hechos de análisis no utilizan las propiedades algebraicas de los elementos, sino que se basan únicamente en el concepto de la distancia entre ellos. El desarrollo de este enfoque, es decir, la separación del "ser" relacionado con el concepto de límite conduce al concepto de espacio métrico. -44- Definición 3. 3. Sea X un conjunto de naturaleza arbitraria, y ρ(x, y) una función real de dos variables x, y 2 X, satisfaciendo tres axiomas: 1) ρ(x, y) > 0 8 x, y 2 X, y ρ(x, y) = 0 solo para x = y; 2) ρ(x, y) = ρ(y, x) (axioma de simetría); 3) ρ(x, z) 6 ρ(x, y) + ρ(y, z) (desigualdad triangular). En este caso, el conjunto X con una función dada ρ(x, y) se llama espacio métrico (ÌS), y la función ρ(x, y) : X X 7! R que satisface 1) – 3), – métrica o distancia. Pongamos algunos ejemplos de espacios métricos. Ejemplo 3. 1. Sea X = R con distancia ρ(x, y) = x y , obtenemos MT R. n o n xi 2 R, i = 1, n es el Ejemplo 3. 2. Sea X = R = x1 , . . . , xn es el conjunto de conjuntos ordenados de n números reales s n 2 P x = x1 , . . . , xn con distancia ρ(x, y) = xk yk , obtenemos n1 k=1 n espacio euclidiano dimensional R . n Ejemplo 3. 3. Sea X = C a, b ; R es el conjunto de todas las funciones continuas en a, b con valores en Rn, es decir funciones vectoriales continuas, con distancia ρ(f, g) = max f (t) g(t) , donde f = f (t) = f1 (t), . . . , fn (t) , t2 s norte 2 PAGS gramo = gramo (t) g1 (t), . . . , gramo (t), F gramo = fk (t) gramo (t) . k=1 Para los ejemplos 3. 1 –3. Los 3 axiomas de MP se verifican directamente, esto lo dejamos como ejercicio para el lector concienzudo. Como de costumbre, si cada n natural está asociado con un elemento xn 2 X, entonces decimos que está dada una secuencia de puntos xn MP X. Definición 3. 4. Se dice que una secuencia de puntos xn MP X converge en un punto x 2 X si lim ρ xn , x = 0. n!1 Definición 3. 5. Una secuencia xn se llama fundamental si para cualquier ε > 0 existe un número natural N (ε) tal que para todo n > N y m > N la desigualdad ρ xn , xm< ε. Определение 3. 6. МП X называется полным (ПÌП), если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства. -45- Полнота пространств из примеров 3. 1 и 3. 2 доказана в курсе математиче ского анализа. Докажем полноту пространства X = C a, b ; Rn из примера 3. 3. Пусть последовательность вектор-функций fn (t) фундаментальна в X. Это означает, что 8 ε >0 9 N (ε) 2 N: 8m, n > N =) máx fm (t) fn (t)< ε. Поэтому выполнены условия критерия Коши равномерной на a, b сходи мости функциональной последовательности, т.е. fn (t) ⇒ f (t) при n ! 1. Как известно, предел f (t) в этом случае – непрерывная функция. Докажем, что f (t) – это предел fn (t) в метрике пространства C a, b ; Rn . Из равномерной сходимости получим, что для любого ε >0 existe un número N (ε) tal que para todo n > N y para todo t 2 a, b la desigualdad fn (t) f (t)< ε, а так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то и max fn (t) f (t) < ε. Это и есть сходимость в C a, b ; Rn , следовательно, полнота установлена. В заключение приведем пример МП, не являющегося полным. Пример 3. 4. Пусть X = Q – множество рациональных чисел, а расстояние ρ(x, y) = x y – модуль разностиpдвух чисел. Если взять последовательность десятичных приближений числа 2 , т.е. x1 = 1; x2 = 1, 4; x3 = 1, 41; . . ., p то, как известно, lim xn = 2 62 Q. При этом данная последовательность n!1 сходится в R, значит она фундаментальна в R, а следовательно, она фундаментальна и в Q. Итак, последовательность фундаментальна в Q, но предела, лежащего в Q, не имеет. Пространство не является полным. Определение 3. 7. Пусть X – метрическое пространство. Отображение A: X 7! X называется сжимающим отображением или сжатием, если 9 α < 1 такое, что для любых двух точек x, y 2 X выполняется неравенство: ρ Ax, Ay 6 α ρ(x, y). (3.7) Определение 3. 8. Точка x 2 X называется неподвижной точкой отображения A: X 7! X, если Ax = x . Замечание 3. 2. Всякое сжимающее отображение является непрерывным, т.е. любую сходящуюся последовательность xn ! x, n ! 1, переводит в сходящуюся последовательность Axn ! Ax, n ! 1, а предел последовательности – в предел ее образа. Действительно, если A – сжимающий оператор, то положив в (3.7) X X y = xn ! x, n ! 1, получим, что Axn ! Ax, n ! 1. Теорема 3. 2 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство этого фундаментального факта см. , . -46- Приведем обобщение теоремы 3. 2, часто встречающееся в приложениях. Теорема 3. 3 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X таково, что оператор B = Am с некоторым m 2 N является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство. При m = 1 получаем теорему 3. 2. Пусть m > 1. Considere B = Am , B: X 7! X, B - compresión. Por el Teorema 3.2, el operador B tiene un único punto fijo x . Como A y B conmutan AB = BA y como Bx = x , tenemos B Ax = A Bx = Ax , es decir y = Ax es también un punto fijo de B, y dado que tal punto es único por el Teorema 3.2, entonces y = x o Ax = x. Por tanto, x es un punto fijo del operador A. Probemos la unicidad. Supongamos que x~ 2 X y A~ x = x~, entonces m m 1 B x~ = A x~ = A x~ = . . . = x~, es decir x~ es también un punto fijo para B, por lo que x~ = x. El teorema ha sido probado. Un caso especial de un espacio métrico es un espacio lineal normado. Demos una definición precisa. Definición 3. 9. Sea X un espacio lineal (real o complejo) sobre el que se define una función numérica x, actuando de X a R y satisfaciendo los axiomas: 1) 8 x 2 X, x > 0, y x = 0 solo para x = θ; 2) 8 x 2 X y para 8 λ 2 R (o C) 3) 8 x, y 2 X es nick). x+y 6 x + y λx = jλj x ; (la desigualdad del triángulo) Entonces X se llama un espacio normado, x: X 7! R que satisface 1) – 3), se llama una norma. y función En un espacio normado, puede ingresar la distancia entre elementos mediante la fórmula ρ x, y = x y . El cumplimiento de los axiomas MP se verifica fácilmente. Si el espacio métrico resultante es completo, el espacio normado correspondiente se denomina espacio de Banax. A menudo es posible introducir una norma de diferentes maneras en el mismo espacio lineal. Como resultado, surge un concepto. Definición 3. 10. Sea X un espacio lineal, y sean y dos 1 2 normas introducidas en él. Las normas y se denominan normas equivalentes 1 2 si 9 C1 > 0 y C2 > 0: 8 x 2 X C1 x 1 6 x 2 6 C2 x 1 . Observación 3. 3. Si y son dos normas equivalentes sobre X, y 1 2 el espacio X es completo en una de ellas, entonces también lo es en la otra norma. Esto se deduce fácilmente del hecho de que la secuencia xn X, que es fundamental con respecto a, también es fundamental con respecto a, y converge a 1 2 el mismo elemento x 2 X. se usa cuando una bola cerrada de este espacio se toma como un espacio n completo o Br (a) = x 2 X ρ x, a 6 r , donde r > 0 y a 2 X son fijos. Tenga en cuenta que una bola cerrada en un PMP es en sí mismo un PMP con la misma distancia. Dejamos la demostración de este hecho al lector como ejercicio. Observación 3. 5. Anteriormente, establecimos la completitud del espacio a partir del ejemplo n medida 3. 3. Nótese que en el espacio lineal X = C 0, T , R, podemos introducir la norma kxk = max x(t) por lo que la normalización resultante será Banach. En el mismo conjunto de funciones vectoriales continuas en el espacio 0, T, podemos introducir una norma equivalente por la fórmula kxkα = max e αt x(t) para cualquier α 2 R. Para α > 0, la equivalencia se sigue de las desigualdades e αT x(t) 6 e αt x(t) 6 x(t) para todo t 2 0, T , de donde e αT kxk 6 kxkα 6 kxk. Usamos esta propiedad de las normas equivalentes para demostrar el teorema de la única solución del problema de Cauchy para sistemas lineales (normales). 3. 4. Teoremas de existencia y unicidad para la solución del problema de Cauchy para sistemas normales Considere el problema de Cauchy (3.1) – (3.2), donde los datos iniciales t0 , y 0 2 G, G Rn+1 es el dominio del función vectorial f (t, y ). En esta sección, supondremos que G tiene – alguna n la forma G = a, b o , donde el dominio es Rn y la pelota es BR (y 0) = El teorema se cumple. y 2 Rn y y0 6 R se encuentra completamente en. Teorema 3. 4. Sea f (t, y) 2 C G una función vectorial; Rn , y 9 M > 0 y L > 0 tales que se cumplan las siguientes condiciones: 1) 8 (t, y) 2 G = a, b f (t, y) 6 M ; 2) 8 (t, y 1), (t, y 2) 2 G ft t, y 2 ft t, y 1 6 L y 2 y 1 . Fije un número δ 2 (0, 1) y sea t0 2 (a, b). Entonces R 1 δ 9 h = min ; ; t0 un; b t0 > 0 M L tal que también existe una solución única del problema de Cauchy (3.1), (3.2) y(t) en el intervalo Jh = t0 h, t0 + h , y y(t) y 0 6 R para todo t 2 Jh. -48- Prueba. Por el Lema 3.1, el problema de Cauchy (3.1), (3.2) es equivalente a la ecuación integral (3.6) en el intervalo , y por lo tanto también en Jh , donde h se elige arriba. Considere el espacio de Banach X = C (Jh ; Rn), el conjunto de funciones vectoriales x(t) continuas en el intervalo Jh con la norma kxk = max x(t), e introduzca un conjunto cerrado en X: t2Jh SR y 0 n 8 t 2 Jh = y(t) 2 X y(t) n = y(t) 2 X y y(t) o 0 6R = o 0 y 6R es una bola cerrada en X. El operador A definido por la regla : Ay = y 0 + Zt f τ , y(τ) dτ, t 2 Jh , t0 toma SR y 0 en sí mismo, ya que y 0 = max Ay Zt t2Jh f τ, y(τ) dτ 6 h ​​​​M 6 R t0 por la condición 1 del teorema y la definición de h. Probemos que A es un operador de contracción en SR. Tomemos un 0 1 2 arbitrario y estimemos el valor: Zt 6 max t2Jh f τ, y 2 (τ) f τ, y 1 (τ) dτ 6 t0 6h L y2 y1 = q y2 y1 , donde q = h L 6 1 δ< 1 по условию теоремы. Отметим (см. замечание 3.4), что замкнутый шар SR y 0 в банаховом пространстве X является ПМП. Поэтому применим принцип сжимающих отображений (теорема 3. 2), по которому существует единственное решение y(t) 2 X интегрального уравнения (3.6) на отрезке Jh = t0 h, t0 + h . Теорема доказана. Замечание 3. 6. Если t0 = a или t0 = b, то утверждение теоремы сохраняется с небольшими изменениями в формуле для h и отрезка Jh . Приведем эти изменения для случая t0 = a. В этом случае число h > 0 se elige según R por la fórmula h = min M ; 1L δ ; b a , y en todas partes debemos tomar -49- Jh = t0 , t0 + h = a, a + h como el segmento Jh. Todas las demás condiciones del teorema no cambian, su prueba, teniendo en cuenta el cambio de nombre, R se conserva. Para el caso t0 = b, análogamente, h = min M ; 1L δ ; b a , y Jh = b h, b . n Observación 3. 7. En el Teorema 3. 4, la condición f (t, y) 2 C G; R , donde G = a, b D, puede debilitarse reemplazándolo con el requisito de que f (t, y) sea continua con respecto a la variable t para cada y 2 , manteniendo las condiciones 1 y 2. La prueba sigue siendo la mismo. Observación 3. 8. Basta que las condiciones 1 y 2 del Teorema 3.4 sean 0 para todo t, y 2 a, b BR y , y las constantes M y L dependen, en general, 0 de las restricciones y y R. la función vectorial f t, y , de manera similar al Teorema 2.4, es válido el teorema de existencia y unicidad para la solución del problema de Cauchy (3.1), (3.2) en todo el intervalo a, b. n Teorema 3. 5. Sea una función vectorial f x, y 2 C G, R , donde G = a, b Rn , y existe L > 0 tal que la condición 8 t, y 1 , t, y 2 2 G f t , y 2 pies, y 1 6 L y 2 y 1 . Entonces, para cualquier t0 2 e y 0 2 Rn, existe en ayb una solución única del problema de Cauchy (3.1), (3.2). Prueba. Tomemos arbitrariamente t0 2 e y 0 2 Rn y fijémoslos. Representemos el conjunto G = a, b Rn como: G = G [ G+ , donde Rn , y G+ = t0 , b Rn , suponiendo que t0 2 a, b , de lo contrario uno G = a, t0 de las etapas del la prueba estará ausente. Razonemos la tira G+. En el intervalo t0 , b, el problema de Cauchy (3.1), (3.2) es equivalente a la ecuación (3.6). Introducimos un operador para la integral n A: X 7! X, donde X = Ct0, b; R , según la fórmula Ay = y 0 + Zt f τ, y(τ) dτ. t0 Entonces la ecuación integral (3.6) se puede escribir como una ecuación de operador Ay = y. (3.8) Si demostramos que la ecuación del operador (3.8) tiene solución en el PMP X, entonces obtenemos la solución del problema de Cauchy en t0 , b o en a, t0 para G . Si esta solución es única, entonces, en virtud de la equivalencia, la solución del problema de Cauchy también será única. Presentamos dos pruebas de la única solución de la ecuación (3.8). Prueba 1. Considere funciones vectoriales arbitrarias 1 2 n y , y 2 X = C t0 , b ; R , entonces las estimaciones son válidas para cualquier -50- t 2 t0 , b Ay 2: Ay 1 Zt h f τ, y 2 (τ) = 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 Zt y 2 (τ) 6L y 1 (τ) dτ 6 L t t0 max y 2 (τ) y 1 (τ) 6 τ 2 t0 6L t t0 y2 y1 . Recuerde que la norma en X se introduce de la siguiente manera: kxk = max x(τ) . De la desigualdad obtenida tendremos ) dτ 6 L2 t0 Zt y2 y1 6 t0 6 L2 t t0 2! 2 y2 y1 . Continuando con este proceso, podemos probar por inducción que 8 k 2 N Ak y 2 Ak y 1 6 L t t0 k! k y2 y1 . Por lo tanto, finalmente, obtenemos la estimación Ak y 2 Ak y 1 = max Ak y 2 L b t0 Ak y 1 6 L b t0 k! k y2 y1 . k Dado que α(k) = ! 0 por k! 1, entonces hay k0 tal que k! que α(k0)< 1. Применим теорему 3. 3 с m = k0 , получим, что A имеет в X неподвижную точку, причем единственную. Доказательство 2. В банаховом пространстве X = C t0 , b ; Rn введем семейство эквивалентных норм, при α >0 (ver comentario 3.5) por la fórmula: x α = max e αt x(t) . -51- Demostremos que es posible elegir α de tal manera que el operador A en el espacio X con la norma para α > L sea contractivo. De hecho, α Ay 2 Ay 1 α Zt h f τ, y 2 (τ) αt = max e 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 6 max e αt Zt y 2 (τ) L y 1 (τ) dτ = t0 = L max e Zt αt e ατ y 2 (τ) eατ dτ 6 y 1 (τ) t0 6 L max e αt Zt eατ dτ max e ατ y 2 (τ) y 1 (τ) = y2 α t0 = L max e αt Como α > L, entonces q = L α 1 1 αt e α e e αt0< 1 и оператор A – сжимающий (например, с α = L). Таким образом, доказано, что существует и притом единственная вектор + функция ϕ (t) – решение Коши (3.1), (3.2) на t0 , b . задачи Rn задачу Коши сведем к предыдущей при Для полосы G = a, t0 помощи линейной замены τ = 2t0 t. В самом деле, для вектор-функция y(t) = y 2t0 τ = y~(t), задача Коши (3.1), (3.2) запишется в виде: y~(τ) = f (2t0 τ, y~(τ)) f~ (τ, y~(τ)) , y~(t0) = y 0 на отрезке τ 2 t0 , 2t0 a . Поэтому можно применить предыдущие рассуждения, взяв b = 2t0 a. Итак, существует и притом единственное решение задачи Коши y~(τ) на всем отрезке τ 2 t0 , 2t0 a и,следовательно, ϕ (t) = y~ 2t0 t – решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, t0 . Возьмем «сшивку» вектор-функций ϕ (t) и ϕ+ (t), т.е. вектор-функцию ϕ (t), при t 2 a, t0 ; ϕ(t) = ϕ+ (t), при t 2 t0 , b . d dτ Как при доказательстве теоремы 2.4, устанавливаем, что ϕ(t) – это решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, b . Единственность его следует из следствия 3.1. Теорема доказана. -52- Замечание 3.9. Утверждение 3. 1 дает достаточное условие того, что векторфункция f t, y в выпуклой по y области G удовлетворяет условию Лип∂fi шица. А именно, для этого достаточно, чтобы все частные производные ∂yj были непрерывны и ограничены некоторой константой в G. Аналогично следствию из теоремы 2.4 получаем такое утверждение для нормальных систем. Ñледствие 3.3. Пусть вектор-функция f (t, y) определена, непрерывна в открытой полосе o n n Q = (t, y) t 2 (A, B), y 2 R , причем A и B могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что вектор-функция f (t, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(t) 2 C(A, B) такая, что 8 t 2 (A, B) и 8 y 1 , y 2 2 Rn выполняется неравенство f t, y 2 f t, y 1 6 L(t) y 2 y 1 . Òогда при любых начальных данных t0 2 (A, B), y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.1), (3.2) на всем интервале (A, B). Доказательство проводится повторением соответствующих рассуждений из п. 2.2, оставляем его добросовестному читателю. В качестве других следствий из доказанной теоремы 3. 5 получим теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для линейной системы. Речь идет о задаче нахождения вектор-функции y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t)) из условий: d y(t) = A(t)y(t) + f 0 (t), t 2 a, b , (3.9) dt y(t0) = y 0 , (3.10) где A(t) = aij (t) – n n матрица, f 0 (t) – вектор-функция переменной t, t0 2 a, b , y 0 2 Rn – заданы. n 0 Теорема 3. 6. Пусть a (t) 2 C a, b , f (t) 2 C a, b ; R , ij t0 2 a, b , y 0 2 Rn заданы. Òогда существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всем отрезке a, b . Доказательство. Проверим, что для функции f t, y = A(t)y + f 0 (t) выполнены теоремы 3. 5. Во-первых, f t, y 2 C G; Rn , где условия G = a, b Rn , как сумма двух непрерывных функций. Во-вторых, (см. неравенство (3.5)): Ay 2 Ay 1 = A(t) y 2 y 1 6 A 2 y 2 y 1 6 L y 2 y 1 , -53- поскольку A n P 2 ! 21 aij (t) 2 – непрерывная на a, b функция. Тогда i,j=1 по теореме 3. 5 получим доказываемое утверждение. Теорема 3. 7. Пусть aij (t) 2 C (R), f 0 (t) 2 C (R; Rn) заданы. Òогда при любых начальных данных t0 2 R, y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всей числовой прямой. Доказательство. Проверим, что выполнены все условия следствия из теоре мы 3. 5 с A = 1, B = +1. Вектор-функция f t, y = A(t)y + f 0 (t) непрерывна в полосе Q = R Rn как функция (n + 1) переменной. Кроме того, L(t) y 2 y 1 , f t, y 2 f t, y 1 6 A(t) 2 y 2 y 1 где L(t) – непрерывная по условию теоремы на A, B = 1, +1 функция. Таким образом, все условия следствия выполнены, и теорема доказана. -54- Глава IV. Некоторые классы обыкновенных дифференциальных уравнений, решаемых в квадратурах В ряде случаев дифференциальное уравнение может быть решено в квадратурах, т.е. для его решения может быть получена явная формула. В таких случаях методика решения, как правило, следующая. 1. Предполагая, что решение существует, находят формулу, по которой решение выражается. 2. Существование решения затем доказывается непосредственной проверкой, т.е. подстановкой найденной формулы в исходное уравнение. 3. Используя дополнительные данные, (например, задавая начальные данные Коши) выделяют конкретное решение. 4. 1. Уравнение с разделяющимися переменными В данном параграфе применим уже использовавшуюся выше методику для решения уравнений с разделяющимися переменными, т.е. уравнений вида y 0 (x) = f1 (x) f2 (y), Áудем предполагать, что f1 (x) 2 C (ha, bi) , x 2 ha, bi, f2 (y) 2 C (hc, di) , y 2 hc, di. (4.1) f2 (y) 6= 0 на hc, di а следовательно, в силу непрерывности функции f2 (y), она сохраняет знак на hc, di . Итак, предположим, что в окрестности U(x0) точки x0 2 ha, bi существует решение y = ϕ(x) уравнения (4.1). Тогда имеем тождество dy = f1 (x) f2 (y), dx y = ϕ(x), 55 x 2 U(x0). Но тогда равны дифференциалы dy = f1 (x) dx f2 (y) мы учли, что f2 (y) 6= 0 . Из равенства дифференциалов вытекает равенство первообразных с точностью до постоянного слагаемого: Z Z dy = f1 (x) dx + C. (4.2) f2 (y) После введения обозначений Z F2 (y) = Z dy , f2 (y) F1 (x) = f1 (x) dx, получаем равенство F2 (y) = F1 (x) + C. (4.3) Заметим, что F20 (y) = 1/f2 (y) 6= 0, поэтому к соотношению (4.3) можно применить теорему об обратной функции, в силу которой равенство (4.3) можно разрешить относительно y и получить формулу y(x) = F2 1 F1 (x) + C , (4.4) справедливую в окрестности точки x0 . Покажем, что равенство (4.4) дает решение уравнения (4.1) в окрестности точки x0 . Действительно, используя теорему о дифференцировании обратной функции и учитывая соотношение F10 (x) = f1 (x), получим y 0 (x) = dF2 1 (z) dz z=F1 (x)+C F10 (x) = 1 F20 (y) y=y(x) F10 (x) = f2 y(x) f1 (x), откуда следует, что функция y(x) из (4.4) является решением уравнения (4.1). Рассмотрим теперь задачу Коши для уравнения (4.1) с начальным условием y(x0) = y0 . (4.5) Формулу (4.2) можно записать в виде Zy dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx + C. x0 y0 Подставляя сюда начальное условие (4.5), находим, что C = 0, т.е. решение задачи Коши определяется из соотношения Zy y0 dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx. x0 -56- (4.6) Очевидно, оно определяется однозначно. Итак, общее решение уравнения (4.1) задается формулой (4.4), а решение задачи Коши (4.4), (4.5) находится из соотношения (4.6). Замечание 4. 1. Если f2 (y) = 0 при некоторых y = yj , (j = 1, 2, . . . , s), то, очевидно, решениями уравнения (4.1) являются также функции y(x) yj , j = 1, 2, . . . , s, что доказывается непосредственной подстановкой этих функций в уравнение (4.1). Замечание 4. 2. Для уравнения (4.1) общее решение определяем из соотношения F2 (y) F1 (x) = C. (4.7) Таким образом, левая часть соотношения (4.7) постоянна на каждом решении уравнения (4.1). Соотношения типа (4.7) можно записать и при решении других ОДУ. Такие соотношения принято называть интегралами (общими интегралами) соответствующего ОДУ. Дадим точное определение. Определение 4. 1. Рассмотрим уравнение y 0 (x) = f (x, y). (4.8) Соотношение (x, y) = C, (4.9) где (x, y) – функция класса C 1 , называется общим интегралом уравнения (4.8), если это соотношение не выполняется тождественно, но выполняется на каждом решении уравнения (4.8). При каждом конкретном значении C 2 R мы получаем частный интеграл. Общее решение уравнения (4.8) получается из общего интеграла (4.9) с использованием теоремы о неявной функции. Пример 4. 1. Рассмотрим уравнение x (4.10) y 0 (x) = y и начальное условие y(2) = 4. (4.11) Применяя для решения уравнения (4.10) описанный выше метод разделения переменныõ, получаем y dy = x dx, откуда находим общий интеграл для уравнения (4.10) y 2 x2 = C. Общее решение уравнения (4.10) запишется по формуле p y= C + x2 , а решение задачи Коши (4.10), (4.11) – по формуле p y = 12 + x2 . -57- 4. 2. Линейные ОДУ первого порядка Линейным ОДУ первого порядка называется уравнение y 0 (x) + p(x)y(x) = q(x), Если q(x) 6 Если q(x) x 2 ha, bi. (4.12) 0, то уравнение называется неоднородным. 0, то уравнение называется однородным: y 0 (x) + p(x)y(x) = 0. (4.120) Теорема 4. 1. 1) Если y1 (x), y2 (x) решения однородного уравнения (4.120), α, β произвольные числа, то функция y (x) αy1 (x) + βy2 (x) также является решением уравнения (4.120). 2) Для общего решения неоднородного уравнения (4.12) имеет место формула yон = yоо + yчн; (4.13) здесь yон общее решение неоднородного уравнения (4.12), yчн частное решение неоднородного уравнения (4.12), yоо общее решение однородного уравнения (4.120). Доказательство. Первое утверждение теоремы доказывается непосредственной проверкой: имеем y 0 αy10 + βy20 = αp(x)y1 βp(x)y2 = p(x) αy1 + βy2 = p(x)y . Докажем второе утверждение. Пусть y0 – произвольное решение уравнения (4.120), тогда y00 = p(x)y0 . C другой стороны, 0 yчн = p(x)yчн + q(x). Следовательно, 0 y0 + yчн = p(x) y0 + yчн + q(x), а значит y y0 + yчн является решением уравнения (4.12). Таким образом, формула (4.13) дает решение неоднородного уравнения (4.12). Покажем, что по этой формуле могут быть получены все решения уравнения (4.12). Действительно, пусть y^(x) – решение уравнения (4.12). Положим y~(x) = y^(x) yчн. Имеем y~ 0 (x) = y^ 0 (x) 0 yчн (x) = p(x)^ y (x) + q(x) + p(x)yчн (x) = p(x) y^(x) q(x) = yчн (x) = p(x)~ y (x). Таким образом, y~(x) – решение однородного уравнения (4.120), и мы имеем y^(x) = y~(x) + yчн, что соответствует формуле (4.13). Теорема доказана. -58- Ниже будем рассматривать задачи Коши для уравнений (4.12) и (4.120) с начальным условием y(x0) = y0 , x0 2 ha, bi. (4.14) Относительно функций p(x) и q(x) из (4.12) будем предполагать, что p(x), q(x) 2 C (ha, bi). Замечание 4. 3. Положим F (x, y) = p(x)y + q(x). Тогда в силу наложенных выше условий на p(x) и q(x) имеем F (x, y), ∂F (x, y) 2 C G , ∂y G = ha, bi R1 , а следовательно, для задачи Коши (4.12), (4.14) справедливы теоремы существования и единственности решения, доказанные в главе 2. В доказанных ниже теоремах 4. 2, 4. 3 будут получены явные формулы для решений уравнений (4.120) и (4.12) и будет показано, что эти решения существуют на всем промежутке ha, bi. Рассмотрим сначала однородное уравнение (4.120). Теорема 4. 2. утверждения: Пусть p(x) 2 C (ha, bi). Òогда справедливы следующие 1) любое решение уравнения (4.120) определено на всем промежутке ha, bi; 2) общее решение однородного уравнения (4.120) задается формулой y(x) = C e где C R p(x) dx , (4.15) произвольная константа; 3) решение задачи Êоши (4.120), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e x0 p(ξ) dξ . (4.16) Доказательство. Выведем формулу (4.15) в соответствии с данной в начале главы методикой. Прежде всего заметим, что функция y 0 является решением уравнения (4.120). Пусть y(x) – решение уравнения (4.120), причем y 6 0 на ha, bi. Тогда 9 x1 2 ha, bi такая, что y(x1) = y0 6= 0. Рассмотрим уравнение (4.120) в окрестности точки x1 . Это уравнение с разделяющимися переменными, причем y(x) 6= 0 в некоторой окрестности точки x1 . Тогда, следуя результатам предыдущего параграфа, получим явную формулу для решения Z dy = p(x) dx, ln y = p(x) dx + C, y -59- откуда R y(x) = C e p(x) dx , c 6= 0, что соответствует формуле (4.15). Áолее того, решение y 0 также задается формулой (4.15) при C = 0. Непосредственной подстановкой в уравнение (4.120) убеждаемся, что функция y(x), задаваемая по формуле (4.15) при любом C, является решением уравнения (4.120), причем на всем промежутке ha, bi. Покажем, что формула (4.15) задает общее решение уравнения (4.120). Действительно, пусть y^(x) – произвольное решение уравнения (4.120). Если y^(x) 6= 0 на ha, bi, то повторяя предыдущие рассуждения, получим, что эта функция задается формулой (4.15) при некотором C: именно, если y^(x0) = y^0 , то Rx p(ξ) dξ . y^(x) = y^0 e x0 Если же 9x1 2 ha, bi такая, что y^(x1) = 0, то задача Коши для уравнения (4.120) с начальным условием y(x1) = 0 имеет два решения y^(x) и y(x) 0. В силу замечания 4. 3 решение задачи Коши единственно, поэтому y^(x) 0, а следовательно, задается формулой (4.15) при C = 0. Итак, доказано, что общее решение уравнения (4.120) определено на всем ha, bi и задается формулой (4.15). Формула (4.16), очевидно, является частным случаем формулы (4.15), поэтому задаваемая ею функция y(x) является решением уравнения (4.120). Кроме того, x R0 p(ξ) dξ y(x0) = y0 e x0 = y0 , поэтому формула (4.16) действительно задает решение задачи Коши (4.120), (4.14). Теорема 4. 2 доказана. Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (4.12). Теорема 4. 3. Пусть p(x), q(x) 2 C (ha, bi). Òогда справедливы следующие утверждения: 1) любое решение уравнения (4.12) определено на всем промежутке ha, bi; 2) общее решение неоднородного уравнения (4.12) задается формулой Z R R R p(x) dx p(x) dx q(x)e p(x) dx dx, (4.17) y(x) = Ce +e где C произвольная константа; 3) решение задачи Êоши (4.12), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e x0 Zx p(ξ) dξ + q(ξ)e x0 -60- Rx ξ p(θ) dθ dξ. (4.18) Доказательство. В соответствии с теоремой 4. 1 и формулой (4.13) yон = yоо + yчн требуется найти частное решение уравнения (4.12). Для его нахождения применим так называемый метод вариации произвольной постоянной. Суть этого метода заключается в следующем: берем формулу (4.15), заменяем в ней константу C на неизвестную функцию C(x) и ищем частное решение уравнения (4.12) в виде yчн (x) = C(x) e R p(x) dx . (4.19) Подставим yчн (x) из (4.19) в уравнение (4.12) и найдем C(x) так, чтобы это уравнение удовлетворялось. Имеем R R 0 yчн (x) = C 0 (x) e p(x) dx + C(x) e p(x) dx p(x) . Подставляя в (4.12), получим C 0 (x) e R p(x) dx + C(x) e R p(x) dx p(x) + C(x)p(x) e R p(x) dx = q(x), откуда R C 0 (x) = q(x) e p(x) dx . Интегрируя последнее соотношение и подставляя найденное C(x) в формулу (4.19), получим, что Z R R p(x) dx yчн (x) = e q(x) e p(x) dx dx. Кроме того, в силу теоремы 4. 2 R yоо = C e p(x) dx . Поэтому используя формулу (4.13) из теоремы 4. 1, получаем, что Z R R R p(x) dx p(x) dx y(x) = yоо + yчн = Ce +e q(x)e p(x) dx dx, что совпадает с формулой (4.17). Очевидно, что формула (4.17) задает решение на всем промежутке ha, bi. Наконец, решение задачи Коши (4.12), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e Rx p(ξ) dξ x0 +e p(θ) dθ Zx Rξ p(θ) dθ q(ξ)ex0 x0 dξ. (4.20) x0 Действительно, формула (4.20) является частным случаем формулы (4.17) при C = y0 , поэтому она задает решение уравнения (4.12). Кроме того, x R0 y(x0) = y0 e x0 x R0 p(ξ) dξ +e p(θ) dθ Zx0 Rξ q(ξ)e x0 x0 x0 -61- p(θ) dθ dξ = y0 , поэтому удовлетворяются начальные данные (4.14). Приведем формулу (4.20) к виду (4.18). Действительно, из (4.20) имеем Rx y(x) = y0 e Zx p(ξ) dξ + x0 Rξ q(ξ)e x p(θ) dθ Rx dξ = y0 e Zx p(ξ) dξ + x0 x0 Rx q(ξ)e p(θ) dθ dξ, ξ x0 что совпадает с формулой (4.18). Теорема 4. 3 доказана. Ñледствие(об оценке решения задачи Коши для линейной системы). x0 2 ha, bi, p(x), q(x) 2 C (ha, bi), причем p(x) 6 K, q(x) 6 M Пусть 8 x 2 ha, bi. Òогда для решения задачи Êоши (4.12), (4.14) справедлива оценка M Kjx x0 j Kjx x0 j y(x) 6 y0 e + e 1 . K (4.21) Доказательство. Пусть сначала x >x0 En virtud de (4.18), tenemos Rx Zx K dξ y(x) 6 y0 ex0 Rx K dθ M eξ + dξ = y0 eK(x x0) Zx +M x0 = y0 e K(x x0) eK(x ξ ) reξ = x0 METRO + K mi K(x ξ) ξ=x ξ=x0 = y0 mi Kjx x0 j METRO Kjx + mi K x0 j 1 . Ahora sea x< x0 . Тогда, аналогично, получаем x R0 y(x) 6 y0 e x K dξ Zx0 + Rξ M ex K dθ dξ = y0 eK(x0 x) Zx0 +M x = y0 e K(x0 eK(ξ x) dξ = x M x) eK(ξ + K x) ξ=x0 ξ=x M h K(x0 x) = y0 e + e K M Kjx Kjx x0 j e = y0 e + K i 1 = K(x0 x) x0 j Таким образом, оценка (4.21) справедлива 8 x 2 ha, bi. Пример 4. 2. Решим уравнение y = x2 . x Решаем сначала однородное уравнение: y0 y0 y = 0, x dy dx = , y x ln jyj = ln jxj + C, -62- y = C x. 1 . Решение неоднородного уравнения ищем методом вариации произвольной постоянной: y чн = C(x) x, Cx = x2 , x 0 C x+C 0 C = x, x2 C(x) = , 2 откуда x3 , 2 y чн = а общее решение исходного уравнения y =Cx+ x3 . 2 4. 3. Однородные уравнения Однородным уравнением называется уравнение вида y 0 y (x) = f , (x, y) 2 G, x (4.22) G – некоторая область в R2 . Áудем предполагать, что f (t) – непрерывная функция, x 6= 0 при (x, y) 2 G. Однородное уравнение заменой y = xz, где z(x) – новая искомая функция, сводится к уравнению с разделяющимися переменными. В силу данной замены имеем y 0 = xz 0 + z. Подставляя в уравнение (4.22), получим xz 0 + z = f (z), откуда z 0 (x) = 1 x f (z) z . (4.23) Уравнение (4.23) представляет собой частный случай уравнения с разделяющимися переменными, рассмотренного в п. 4.1. Пусть z = ϕ(x) – решение уравнения (4.23). Тогда функция y = xϕ(x) является решением исходного уравнения (4.22). Действительно, y 0 = xϕ 0 (x) + ϕ(x) = x 1 x f (ϕ(x)) ϕ(x) + ϕ(x) = xϕ(x) y(x) = f ϕ(x) = f =f . x x Пример 4. 3. Ðешим уравнение y0 = y x -63- ey/x . Положим y = zx. Тогда xz 0 + z = z откуда y(x) = 1 z e, x z0 = ez , dz dx = , e z = ln jzj + C, z e x z = ln ln Cx , c 6= 0, x ln ln Cx , c 6= 0. 4. 4. Уравнение Áернулли Уравнением Áернулли называется уравнение вида y 0 = a(x)y + b(x)y α , α 6= 0, α 6= 1 . x 2 ha, bi (4.24) При α = 0 или α = 1 получаем линейное уравнение, которое было рассмотрено в п. 4.2. Áудем предполагать, что a(x), b(x) 2 C (ha, bi). Замечание 4. 4. Если α > 0, entonces, obviamente, la función y(x) 0 es una solución a la ecuación (4.24). Para resolver la ecuación de Bernoulli (4.24) α 6= 0, α 6= 1, dividimos ambos lados de la ecuación por y α . Para α > 0, debemos tener en cuenta que, en virtud de la Observación 4.4, la función y(x) 0, es una solución de la ecuación (4.24), que se perderá en tal división. Por lo tanto, en el futuro deberá agregarse a la solución general. Después de la división, obtenemos la relación y α y 0 = a(x)y 1 α + b(x). Introduzcamos una nueva función deseada z = y 1 α , luego z 0 = (1 por lo que llegamos a una ecuación para z z 0 = (1 α)a(x)z + (1 α)y α)b(x) . α y 0, y (4.25) La ecuación (4.25) es una ecuación lineal. Tales ecuaciones se consideran en la Sec. 4.2, donde se obtiene una fórmula para la solución general, por lo que la solución z(x) de la ecuación (4.25) se escribe como z(x) = Ce R (α 1) a( x) dx + + (1 α )e R (α 1) a(x) dx 1 Z b(x)e R (α 1) a(x) dx dx. (4.26) Entonces la función y(x) = z 1 α (x), donde z(x) se define en (4.26), es una solución a la ecuación de Bernoulli (4.24). -64- Además, como se indicó anteriormente, para α > 0, la solución también es la función y(x) 0. Ejemplo 4. 4. Resolvamos la ecuación y 0 + 2y = y 2 ex . (4.27) Divida la ecuación (4.27) entre y 2 y haga el cambio z = obtenemos una ecuación lineal no homogénea 1 y. Como resultado, z 0 + 2z = ex . (4.28) Primero resolvemos la ecuación homogénea: z 0 + 2z = 0, dz = 2dx, z ln jzj = 2x + c, z = Ce2x , C 2 R1 . La solución de la ecuación no homogénea (4.28) se busca por el método de variación de una constante arbitraria: zin = C(x)e2x , C 0 e2x 2Ce2x + 2Ce2x = ex , C 0 = e x, C(x) = e x , de donde zin = ex , y la solución general de la ecuación (4.28) z(x) = Ce2x + ex . Por lo tanto, la solución de la ecuación de Bernoulli (4.24) se puede escribir como y(x) = 1 . ex + Ce2x Además, la solución de la ecuación (4.24) también es la función y(x) Perdimos esta solución al dividir esta ecuación por y 2 . 0. 4. 5. Ecuación en diferenciales completas Considere la ecuación en diferenciales M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, (x, y) 2 G, (4.29) G es algún dominio en R2 . Tal ecuación se llama ecuación diferencial completa si existe una función F (x, y) 2 C 1 (G), llamada potencial, tal que dF (x, y) = M (x, y)dx + N ( x, y )dy, (x, y) 2 G. Supongamos por simplicidad que M (x, y), N (x, y) 2 C 1 (G), y el dominio G es simplemente conexo. Bajo estas suposiciones, en el curso del análisis matemático (ver, por ejemplo, ) se prueba que el potencial F (x, y) para la ecuación (4.29) existe (es decir, (4.29) es una ecuación en diferenciales totales) si y solo si Mi (x, y) = Nx (x, y) -65- 8 (x, y) 2 G. Además, (x, Z y) F (x, y) = M (x, y)dx + N (x, y)dy, (4.30) (x0, y0) donde el punto (x0, y0) es algo fijo desde G, (x, y) es el punto actual en G, y la integral curvilínea se toma a lo largo de cualquier curva que conecte los puntos (x0, y0) y (x, y) y que se encuentre completamente en el dominio G. Si la ecuación ( 4.29) es la ecuación

Makarskaya E. V. En el libro: Días de ciencia estudiantil. Primavera - 2011. M.: Universidad Estatal de Economía, Estadística e Informática de Moscú, 2011. P. 135-139.

Los autores consideran la aplicación práctica de la teoría de ecuaciones diferenciales lineales para el estudio de sistemas económicos. El artículo analiza los modelos dinámicos de Keynes y Samuelson-Hicks con la búsqueda de los estados de equilibrio de los sistemas económicos.

Ivanov A.I., Isakov I., Demin A.V. y otros Parte 5. M.: Slovo, 2012.

El manual considera métodos cuantitativos para estudiar el consumo de oxígeno de una persona durante pruebas con actividad física dosificada, realizadas en el Centro Científico Estatal de la Federación Rusa - IBMP RAS. El manual está destinado a científicos, fisiólogos y médicos que trabajan en el campo de la medicina aeroespacial, subacuática y deportiva.

Mikheev A. V. San Petersburgo: Departamento de Impresión Operativa NRU HSE - San Petersburgo, 2012.

Esta colección contiene problemas en el curso de ecuaciones diferenciales, leídos por el autor en la Facultad de Economía de la Escuela Superior de Economía de la Universidad Nacional de Investigación - San Petersburgo. Al comienzo de cada tema, se da un breve resumen de los principales hechos teóricos y se analizan ejemplos de soluciones a problemas típicos. Para estudiantes y oyentes de programas de educación profesional superior.

Konakov V. D. ITS. WP BRP. Editorial de la Junta de Síndicos de la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú, 2012. No. 2012.

Este libro de texto se basa en un curso especial a elección del estudiante, leído por el autor en la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú. MV Lomonosov en los años académicos 2010-2012. El manual familiariza al lector con el método de parametrix y su análogo discreto, desarrollado más recientemente por el autor del manual y sus compañeros coautores. Reúne material que anteriormente solo estaba contenido en una serie de artículos de revistas. Sin esforzarse por lograr la máxima generalidad de la presentación, el autor intentó demostrar las posibilidades del método para demostrar los teoremas del límite local sobre la convergencia de las cadenas de Markov en un proceso de difusión y para obtener estimaciones bilaterales del tipo de Aronson para algunas difusiones degeneradas.

es. 20. Nueva York: Springer, 2012.

Esta publicación es una colección de artículos seleccionados de la "Tercera Conferencia Internacional sobre Dinámica de Sistemas de Información", celebrada en la Universidad de Florida, del 16 al 18 de febrero de 2011. El propósito de esta conferencia fue reunir a científicos e ingenieros de la industria, el gobierno y la academia para que puedan intercambiar nuevos descubrimientos y resultados sobre temas relacionados con la teoría y la práctica de la dinámica de los sistemas de información. Dinámica de los sistemas de información: Descubrimiento matemático es un estudio de vanguardia y está destinado a estudiantes graduados e investigadores que están interesados ​​en los últimos descubrimientos en teoría de la información y sistemas dinámicos Los científicos de otras disciplinas también pueden beneficiarse de la aplicación de nuevos desarrollos en sus áreas de investigación.

Palvelev R., Sergeev A. G. Actas del Instituto Matemático. VIRGINIA. Steklov RAS. 2012. V. 277. S. 199-214.

Se estudia el límite adiabático en las ecuaciones hiperbólicas de Landau-Ginzburg. Usando este límite, se establece una correspondencia entre las soluciones de las ecuaciones de Ginzburg-Landau y las trayectorias adiabáticas en el espacio de módulos de soluciones estáticas, llamados vórtices. Manton propuso un principio adiabático heurístico que postula que cualquier solución de las ecuaciones de Ginzburg-Landau con una energía cinética suficientemente pequeña se puede obtener como una perturbación de alguna trayectoria adiabática. Una prueba rigurosa de este hecho fue encontrada recientemente por el primer autor

Damos una fórmula explícita para un cuasi-isomorfismo entre las óperas Hycomm (la homología del espacio de módulos de las curvas estables de género 0) y BV/Δ (el cociente de homotopía de Batalin-Vilkovisky operado por el operador BV). En otras palabras, derivamos una equivalencia de Hycomm-álgebras y BV-álgebras mejoradas con una homotopía que trivializa el operador BV. Estas fórmulas se dan en términos de los gráficos de Givental y se prueban de dos maneras diferentes. Una prueba utiliza la acción de grupo de Givental y la otra prueba pasa por una cadena de fórmulas explícitas sobre resoluciones de Hycomm y BV. El segundo enfoque da, en particular, una explicación homológica de la acción de grupo de Givental sobre Hycomm-álgebras.

Bajo científico editado por: A. Mikhailov vol. 14. M.: Facultad de Sociología de la Universidad Estatal de Moscú, 2012.

Los artículos de esta colección están escritos sobre la base de informes realizados en 2011 en la Facultad de Sociología de la Universidad Estatal de Moscú. MV Lomonosov en la reunión del XIV Seminario científico anual interdisciplinario "Modelado matemático de procesos sociales" que lleva el nombre. Héroe del Laborista Socialista Académico A.A. Sámara.

La publicación está destinada a investigadores, docentes, estudiantes de universidades e instituciones científicas de la Academia de Ciencias de Rusia, que estén interesados ​​en los problemas, el desarrollo y la implementación de la metodología de modelado matemático de procesos sociales.

"CONFERENCIAS SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS PARTE 1. ELEMENTOS DE LA TEORÍA GENERAL El libro de texto describe las disposiciones que forman la base de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias: ..."

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A. E. Mamontov

CONFERENCIAS EN COMÚN

ECUACIONES DIFERENCIALES

ELEMENTOS DE LA TEORIA GENERAL

El manual de formación establece las disposiciones que componen

base de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias: el concepto de soluciones, su existencia, unicidad,

dependencia de los parámetros. También (en el § 3) se presta cierta atención a la solución "explícita" de ciertas clases de ecuaciones. El manual está destinado al estudio en profundidad del curso "Ecuaciones diferenciales" por parte de estudiantes de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Pedagógica Estatal de Novosibirsk.

UDC 517.91 LBC B161.61 Prefacio El libro de texto está destinado a estudiantes del Departamento de Matemáticas de la Universidad Pedagógica Estatal de Novosibirsk que deseen estudiar el curso obligatorio "Ecuaciones diferenciales" en un volumen ampliado. Se ofrecen a los lectores los conceptos y resultados básicos que forman la base de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias: conceptos de soluciones, teoremas sobre su existencia, unicidad, dependencia de parámetros. El material descrito se presenta en forma de un texto lógicamente inseparable en los §§ 1, 2, 4, 5. También (en el § 3, que se encuentra un poco apartado e interrumpe temporalmente el hilo principal del curso), los métodos más populares de Se considera brevemente la búsqueda de soluciones “explícitas” para algunas clases de ecuaciones. En la primera lectura, el § 3 puede omitirse sin daño significativo a la estructura lógica del curso.

Los ejercicios juegan un papel importante, que se incluyen en un gran número en el texto. Se recomienda encarecidamente al lector que los resuelva "en persecución", lo que garantiza la asimilación del material y servirá como prueba. Además, estos ejercicios a menudo llenan el tejido lógico, es decir, sin resolverlos, no todas las proposiciones serán demostradas rigurosamente.

En corchetes en medio del texto, se hacen observaciones que tienen el papel de comentarios (explicaciones extendidas o al margen). Léxicamente, estos fragmentos interrumpen el texto principal (es decir, para una lectura coherente, deben ser "ignorados"), pero aún se necesitan como explicaciones. En otras palabras, estos fragmentos deben ser percibidos como si fueran llevados al campo.

Hay "observaciones para el maestro" rubricadas por separado en el texto; pueden omitirse cuando los estudiantes las leen, pero son útiles para el maestro que usará el manual, por ejemplo, al dar conferencias; ayudan a comprender mejor la lógica de el curso e indicar la dirección de posibles mejoras (extensiones) del curso. Sin embargo, el desarrollo de estos comentarios por parte de los estudiantes no puede ser más que bienvenido.

Las "razones para el maestro" desempeñan un papel similar: proporcionan de forma extremadamente concisa la prueba de algunas de las disposiciones que se ofrecen al lector como ejercicios.

Los términos (clave) más comunes se utilizan como abreviaturas, cuya lista se proporciona al final para mayor comodidad. También hay una lista de notaciones matemáticas que aparecen en el texto, pero que no se encuentran entre las más comunes (y/o no se entienden claramente en la literatura).

El símbolo significa el final de la prueba, la formulación del enunciado, comentarios, etc. (cuando sea necesario para evitar confusiones).

Las fórmulas se numeran de forma independiente en cada párrafo. Cuando se hace referencia a una parte de la fórmula se utilizan índices, por ejemplo (2)3 significa la 3ra parte de la fórmula (2) (las partes de la fórmula se consideran fragmentos separados por un espacio tipográfico, y desde una posición lógica - un montón de "y").

Este manual no puede reemplazar por completo el estudio en profundidad del tema, que requiere ejercicios independientes y la lectura de literatura adicional, por ejemplo, cuya lista se proporciona al final del manual. Sin embargo, el autor ha tratado de presentar las disposiciones principales de la teoría en una forma bastante concisa adecuada para un curso de lectura. En este sentido, cabe señalar que al leer un curso de conferencias sobre este manual, se necesitan alrededor de 10 conferencias.

Está previsto publicar 2 partes más (volúmenes) que continúan este manual y así completar el ciclo de conferencias sobre el tema "ecuaciones diferenciales ordinarias": parte 2 (ecuaciones lineales), parte 3 (teoría adicional de ecuaciones no lineales, ecuaciones diferenciales parciales de primer orden).

§ 1. Introducción Una ecuación diferencial (ED) es una relación de la forma u1 u1 un, derivadas superiores F y, u(y),..., = 0, y1 y2 yk (1) donde y = (y1,. .., yk) Rk son variables independientes, y u = u(y) son funciones desconocidas1, u = (u1,..., un). Por lo tanto, hay n incógnitas en (1), por lo que se requieren n ecuaciones, es decir, F = (F1,..., Fn), por lo que (1) es, en términos generales, un sistema de n ecuaciones. Si solo hay una función desconocida (n = 1), entonces la ecuación (1) es escalar (una ecuación).

Entonces, se da(n) la(s) función(es) F, y se busca u. Si k = 1, entonces (1) se llama ODE y, de lo contrario, PDE. El segundo caso es el tema de un curso UMF especial establecido en la serie de tutoriales del mismo nombre. En esta serie de manuales (que consta de 3 partes-tomos), estudiaremos únicamente las EDO, a excepción del último párrafo de la última parte (tomo), en el que comenzaremos a estudiar algunos casos especiales de EDO.

2u tu Ejemplo. 2 = 0 es PDE.

y1 y Las incógnitas u pueden ser reales o complejas, lo cual no es esencial, ya que este momento se refiere sólo a la forma de escribir ecuaciones: cualquier notación compleja puede convertirse en real separando las partes real e imaginaria (pero, por supuesto, duplicando el número de ecuaciones e incógnitas), y viceversa, en algunos casos es conveniente cambiar a notación compleja.

du d2v dv 2 = uv; u3 = 2. Este es un sistema de 2 ODEs Ejemplo.

dy dy dy para 2 funciones desconocidas de la variable independiente y.

Si k = 1 (EDO), entonces se usa el signo "directo" d/dy.

u(y) du Ejemplo. exp(sin z)dz es una EDO porque tiene un Ejemplo. = u(u(y)) para n = 1 no es una ED, sino una ecuación diferencial funcional.

Esta no es una ED, sino una ecuación integro-diferencial, no estudiaremos tales ecuaciones. Sin embargo, específicamente la ecuación (2) se reduce fácilmente a la EDO:

Un ejercicio. Reducir (2) a una EDO.

Pero, en general, las ecuaciones integrales son un objeto más complejo (se estudia parcialmente en el curso del análisis funcional), aunque, como veremos a continuación, es con su ayuda que se obtienen algunos resultados para las EDO.

Las ED surgen tanto de necesidades intramatemáticas (por ejemplo, en geometría diferencial) como de aplicaciones (históricamente por primera vez, y ahora principalmente en física). La ED más simple es el “problema básico de cálculo diferencial” sobre la restauración de una función a partir de su derivada: = h(y). Como se sabe por el análisis, su solución tiene la forma u(y) = + h(s)ds. Las DE más generales requieren métodos especiales para su solución. Sin embargo, como veremos a continuación, prácticamente todos los métodos para resolver ODEs “en forma explícita” se reducen esencialmente al caso trivial indicado.

En las aplicaciones, las EDO surgen con mayor frecuencia al describir procesos que se desarrollan en el tiempo, por lo que el papel de una variable independiente generalmente lo desempeña el tiempo t.

por lo tanto, el significado de ODE en tales aplicaciones es describir el cambio en los parámetros del sistema a lo largo del tiempo. Por lo tanto, es conveniente al construir una teoría general de ODE designar la variable independiente como t (y llamarla tiempo con todas las consecuencias terminológicas resultantes). ), y la(s) función(es) desconocida(s) - hasta x = (x1,..., xn). Así, la forma general de la ODE (sistema ODE) es la siguiente:

donde F = (F1,..., Fn) - es decir, este es un sistema de n EDO para n funciones x, y si n = 1, entonces una EDO para 1 función x.

Además, x = x(t), t R y x generalmente tienen valores complejos (esto es por conveniencia, ya que entonces algunos sistemas se pueden escribir de manera más compacta).

Se dice que el sistema (3) tiene orden m con respecto a xm.

Los derivados se denominan senior, y el resto (incluidos xm = ellos mismos) se denominan junior. Si todo m =, simplemente decimos que el orden del sistema es igual.

Es cierto que el número m a menudo se llama el orden del sistema, que también es natural, como quedará claro a continuación.

La cuestión de la necesidad de estudiar las EDO y sus aplicaciones, la consideraremos suficientemente justificada por otras disciplinas (geometría diferencial, análisis matemático, mecánica teórica, etc.), y se cubre parcialmente en el curso de ejercicios prácticos de resolución de problemas (por ejemplo, de un libro de problemas). En este curso nos ocuparemos exclusivamente del estudio matemático de los sistemas de la forma (3), lo que implica responder a las siguientes preguntas:

1. qué significa "resolver" la ecuación (sistema) (3);

2. cómo hacerlo;

3. qué propiedades tienen estas soluciones, cómo investigarlas.

La pregunta 1 no es tan obvia como parece; consulte a continuación. Notamos de inmediato que cualquier sistema (3) puede reducirse a un sistema de primer orden, denotando derivadas inferiores como nuevas funciones desconocidas. La forma más fácil de explicar este procedimiento es con un ejemplo:

de 5 ecuaciones para 5 incógnitas. Es fácil comprender que (4) y (5) son equivalentes en el sentido de que la solución de uno de ellos (después del cambio de nombre correspondiente) es la solución del otro. En este caso, solo se debe estipular la cuestión de la suavidad de las soluciones; lo haremos más cuando nos encontremos con EDO de orden superior (es decir, no de primera).

Pero ahora está claro que es suficiente estudiar solo las EDO de primer orden, mientras que otras pueden ser necesarias solo por conveniencia de la notación (tal situación se presentará a veces en nuestro caso).

Y ahora nos restringimos a la EDO de primer orden:

dimx = dim F = n.

El estudio de la ecuación (sistema) (6) es inconveniente debido a que no está permitido con respecto a las derivadas dx/dt. Como se sabe del análisis (del teorema de la función implícita), bajo ciertas condiciones en F, la ecuación (6) puede resolverse con respecto a dx/dt y escribirse en la forma donde se da f: Rn+1 Rn yx: R Rn es el requerido. Se dice que (7) es una EDO resuelta con respecto a las derivadas (EDO de forma normal). Al pasar de (6) a (7), naturalmente, pueden surgir dificultades:

Ejemplo. La ecuación exp(x) = 0 no se puede escribir en la forma (7) y no tiene ninguna solución, es decir, exp no tiene ceros ni siquiera en el plano complejo.

Ejemplo. La ecuación x 2 + x2 = 1 con resolución se escribe como dos EDO normales x = ± 1 x2. Debes resolver cada uno de ellos y luego interpretar el resultado.

Comentario. Al reducir (3) a (6), pueden surgir dificultades si (3) tiene orden 0 con respecto a alguna función o parte de las funciones (es decir, esta es una ecuación diferencial funcional). Pero entonces estas funciones deben ser excluidas por el teorema de la función implícita.

Ejemplo. x = y, xy = 1 x = 1/x. Necesita encontrar x de la EDO resultante y luego y de la ecuación funcional.

Pero en cualquier caso, el problema de la transición de (6) a (7) pertenece más al campo del análisis matemático que a la ED, y no lo trataremos. Sin embargo, al resolver EDO de la forma (6), pueden surgir momentos interesantes desde el punto de vista de las EDO, por lo que este tema es apropiado para estudiar al momento de resolver problemas (como se hace, por ejemplo, en ) y se tocará levemente. en el § 3. Pero en el resto del curso trataremos sólo con sistemas y ecuaciones normales. Entonces, considere el ODE (sistema ODE) (7). Escribámoslo una vez en forma de componente por componente:

El concepto de "resolver (7)" (y en general, cualquier ED) se ha entendido durante mucho tiempo como la búsqueda de una "fórmula explícita" para la solución (es decir, en forma de funciones elementales, sus antiderivadas o funciones especiales, etc.), sin énfasis en la suavidad de la solución y el intervalo de su definición. Sin embargo, el estado actual de la teoría de las ODE y otras ramas de las matemáticas (y de las ciencias naturales en general) muestra que este enfoque es insatisfactorio, aunque solo sea porque la proporción de ODE que pueden ser susceptibles de tal "integración explícita" es extremadamente pequeña. (incluso para la ODA más simple x = f (t) se sabe que la solución en funciones elementales es rara, aunque aquí hay una "fórmula explícita").

Ejemplo. La ecuación x = t2 + x2, a pesar de su extrema sencillez, no tiene soluciones en funciones elementales (y aquí ni siquiera hay una "fórmula").

Y aunque es útil conocer aquellas clases de ODEs para las que es posible construir “explícitamente” una solución (similar a lo útil que es poder “calcular integrales” cuando es posible, aunque esto es extremadamente raro), En este sentido, los siguientes términos suenan característicos: "integrar ODE", "ODE integral" (análogos obsoletos de los conceptos modernos "resolver ODE", "solución de ODE"), que reflejan los conceptos anteriores de la solución. Cómo entender los términos modernos, ahora lo explicaremos.

y este tema se considerará en el § 3 (y tradicionalmente se le presta mucha atención al resolver problemas en clases prácticas), pero no se debe esperar ninguna universalidad de este enfoque. Como regla, por el proceso de resolver (7) nos referimos a pasos completamente diferentes.

Cabe aclarar qué función x = x(t) puede llamarse solución de (7).

En primer lugar, notamos que una formulación clara del concepto de una solución es imposible sin especificar el conjunto sobre el que se define, aunque solo sea porque una solución es una función, y cualquier función (según la definición de la escuela) es una ley. que coincide con cualquier elemento de un cierto conjunto (llamado el dominio de definición de esta función) con algún elemento de otro conjunto (valores de función). Así, hablar de una función sin especificar su alcance es absurdo por definición. Las funciones analíticas (más ampliamente, las elementales) sirven aquí como una "excepción" (engañosa) por las siguientes razones (y algunas otras), pero en el caso de DE tales libertades no están permitidas.

y generalmente sin especificar los conjuntos de definición de todas las funciones involucradas en (7). Como quedará claro a partir de lo que sigue, es conveniente vincular estrictamente el concepto de una solución con el conjunto de su definición, y considerar soluciones diferentes si sus conjuntos de definición son diferentes, incluso si las soluciones coinciden en la intersección de estos conjuntos.

La mayoría de las veces, en situaciones específicas, esto significa que si las soluciones se construyen en forma de funciones elementales, de modo que 2 soluciones tengan la "misma fórmula", entonces también es necesario aclarar si los conjuntos en los que se escriben estas fórmulas coinciden. La confusión que reinó en esta cuestión durante mucho tiempo era excusable siempre que se consideraran soluciones en forma de funciones elementales, ya que las funciones analíticas pueden extenderse únicamente a intervalos más amplios.

Ejemplo. x1(t) = et sobre (0,2) y x2(t) = et sobre (1,3) son soluciones diferentes de la ecuación x = x.

Al mismo tiempo, es natural tomar un intervalo abierto (tal vez infinito) como el conjunto de definiciones de cualquier solución, ya que este conjunto debería ser:

1. abierto, de modo que en cualquier punto tenga sentido hablar de un derivado (de dos lados);

2. conectado para que la solución no se rompa en pedazos desconectados (en este caso, es más conveniente hablar de varias soluciones), consulte el Ejemplo anterior.

Por lo tanto, la solución (7) es un par (, (a, b)), donde a b +, se define en (a, b).

Nota para el profesor. En algunos libros de texto se permite incluir los extremos del segmento en el dominio de la solución, pero esto no es conveniente porque solo complica la presentación y no da una generalización real (ver § 4).

Para facilitar la comprensión del razonamiento adicional, es útil utilizar la interpretación geométrica (7). En el espacio Rn+1 = ((t, x)) en cada punto (t, x) donde está definida f, podemos considerar el vector f (t, x). Si construimos una gráfica de la solución (7) en este espacio (se llama la curva integral del sistema (7)), entonces consta de puntos de la forma (t, x(t)). A medida que cambia t (a, b), este punto se mueve a lo largo del IC. La tangente al IC en el punto (t, x(t)) tiene la forma (1, x (t)) = (1, f (t, x(t))). Así, los CI son aquellas y sólo aquellas curvas en el espacio Rn+1 que en cada uno de sus puntos (t, x) tienen una tangente paralela al vector (1, f (t, x)). En base a esta idea, los llamados el método de la isoclina para la construcción aproximada del IC, que se utiliza cuando se muestran gráficos de soluciones para EDO específicas (ver.

por ejemplo ). Por ejemplo, para n = 1, nuestra construcción significa lo siguiente: en cada punto del IC, su pendiente hacia el eje t tiene la propiedad tg = f (t, x). Es natural suponer que, tomando cualquier punto del conjunto de definición f, podemos dibujar un IC a través de él. Esta idea se fundamentará estrictamente a continuación. Si bien carecemos de una formulación rigurosa de la suavidad de las soluciones, esto se hará a continuación.

Ahora debemos refinar el conjunto B en el que está definida f. Este conjunto es natural para tomar:

1. abierto (para que el IC se pueda construir en la vecindad de cualquier punto desde B), 2. conectado (de lo contrario, todas las piezas conectadas se pueden considerar por separado; de todos modos, el IC (como un gráfico de una función continua) no puede saltar de una pieza a otra, por lo que esto no afectará la generalidad de la búsqueda de soluciones).

Consideraremos solo soluciones clásicas de (7), es decir, tales que x y su x son continuas en (a, b). Entonces es natural requerir que f C(B). En lo que sigue, este requisito siempre será implícito por nosotros. Entonces, finalmente obtenemos la definición. Sea B Rn+1 un dominio, f C(B).

Un par (, (a, b)), a b +, definido en (a, b), se llama solución de (7) si C(a, b), para cada t (a, b) el punto (t , (t) ) B y (t) existe, y (t) = f (t, (t)) (entonces automáticamente C 1(a, b)).

Es geométricamente claro que (7) tendrá muchas soluciones (lo cual es fácil de entender gráficamente), ya que si dibujamos RI a partir de puntos de la forma (t0, x0), donde t0 es fijo, entonces obtendremos diferentes RI. Además, cambiar el intervalo para determinar la solución dará una solución diferente, según nuestra definición.

Ejemplo. x = 0. Solución: x = = const Rn. Sin embargo, si elegimos algún t0 y fijamos el valor x0 de la solución en el punto t0: x(t0) = x0, entonces el valor se determina de forma única: = x0, es decir, la solución es única hasta la elección del intervalo (a, b) t0.

La presencia de un conjunto de soluciones "sin rostro" es inconveniente para trabajar con ellas2; es más conveniente "numerarlas" de la siguiente manera: agregue condiciones adicionales a (7) de tal manera que resalte la única (en cierto sentido ) solución, y luego, clasificando estas condiciones, trabaje con cada solución por separado (geométricamente, puede haber una solución (IR), pero hay muchas piezas; nos ocuparemos de este inconveniente más adelante).

Definición. La tarea para (7) es (7) con condiciones adicionales.

De hecho, ya hemos inventado el problema más simple: este es el problema de Cauchy: (7) con condiciones de la forma (datos de Cauchy, datos iniciales):

Desde el punto de vista de las aplicaciones, este problema es natural: por ejemplo, si (7) describe el cambio en algunos parámetros x con el tiempo t, entonces (8) significa que en algún tiempo (inicial) se conoce el valor de los parámetros . Existe la necesidad de estudiar otros problemas, hablaremos de esto más adelante, pero por ahora nos centraremos en el problema de Cauchy. Naturalmente, este problema tiene sentido para (t0, x0) B. En consecuencia, una solución al problema (7), (8) es una solución (7) (en el sentido de la definición anterior) tal que t0 (a, b ), y (ocho).

Nuestra próxima tarea es probar la existencia de una solución al problema de Cauchy (7), (8), y para ciertos complementos, el ejemplo es una ecuación cuadrática, es mejor escribir x1 =..., x2 =... que x = b/2 ±...

bajo ciertas suposiciones sobre f - y su unicidad en cierto sentido.

Comentario. Necesitamos aclarar el concepto de la norma de un vector y una matriz (aunque solo necesitaremos matrices en la Parte 2). Debido a que en un espacio de dimensión finita todas las normas son equivalentes, la elección de una norma específica no importa si solo nos interesan las estimaciones y no las cantidades exactas. Por ejemplo, |x|p = (|xi|p)1/p puede usarse para vectores, p es el segmento de Peano (Picard). Considere el cono K = (|x x0| F |t t0|) y su parte truncada K1 = K (t IP ). Está claro que solo K1 C.

Teorema. (Peaño). Deje que se satisfagan los requisitos sobre f en el problema (1) especificados en la definición de la solución, es decir:

f C(B), donde B es una región en Rn+1. Entonces para todo (t0, x0) B en Int(IP) existe una solución al problema (1).

Prueba. Fijemos arbitrariamente (0, T0] y construyamos la llamada línea quebrada de Euler con un paso, a saber: es una línea quebrada en Rn+1, en la que cada eslabón tiene una proyección sobre el eje t de longitud, el primero enlace a la derecha comienza en el punto (t0, x0) y es tal que dx/dt = f (t0, x0) en él, el extremo derecho de este enlace (t1, x1) sirve como el extremo izquierdo del segundo , en la que dx/dt = f (t1, x1), etc., y de manera similar a la izquierda. La polilínea resultante define una función lineal por partes x = (t). Mientras t IP, la polilínea permanece en K1 (y más aún en C, y por tanto en B), por lo que la construcción es correcta - para esto, de hecho, se hizo construcción auxiliar antes del teorema.

De hecho, en todas partes, excepto los puntos de ruptura, existe, y luego (s) (t) = (z)dz, donde se toman valores arbitrarios de la derivada en los puntos de ruptura.

En este caso (moviéndose a lo largo de la línea discontinua por inducción) En particular, | (t)x0| F |t t0|.

Así, en las funciones de IP:

2. son equicontinuos, ya que son Lipschitz:

Aquí, el lector deberá, si es necesario, refrescar sus conocimientos sobre conceptos y resultados tales como: equicontinuidad, convergencia uniforme, el teorema de Artsela-Ascoli, etc.

Por el teorema de Arzela-Ascoli, existe una secuencia k 0 tal que k está en IP, donde C(IP). Por construcción, (t0) = x0, por lo que queda por comprobar que Probamos esto para s t.

Un ejercicio. De manera similar, considere s t.

Fijamos 0 y encontramos 0 de modo que para todo (t1, x1), (t2, x2) C sea cierto. Esto se puede hacer en vista de la continuidad uniforme de f en el conjunto compacto C. Hallar m N de modo que Fix t Int (IP) y toma cualquier s Int(IP) tal que t s t +. Entonces para todo z tenemos |k (z) k (t)| F, entonces en vista de (4) |k (z) (t)| 2F.

Tenga en cuenta que k (z) = k (z) = f (z, k (z)), donde z es la abscisa del extremo izquierdo del segmento de polilínea que contiene el punto (z, k (z)). Pero el punto (z, k (z)) cae en un cilindro con parámetros (, 2F) construido sobre el punto (t, (t)) (de hecho, incluso en un cono truncado; vea la figura, pero no t importa ahora), así que en vista de (3) obtenemos |k (z) f (t, (t))|. Para una línea discontinua, tenemos, como se mencionó anteriormente, la fórmula Para k, esto dará (2).

Comentario. Sea f C 1(B). Entonces la solución definida en (a, b) será de clase C 2(a, b). En efecto, sobre (a, b) tenemos: existe f (t, x(t)) = ft(t, x(t)) + (t, x(t))x (t) (aquí está el jacobiano matriz) es una función continua. Entonces también hay 2 C(a, b). Podemos aumentar aún más la suavidad de la solución si f es suave. Si f es analítica, entonces es posible probar la existencia y unicidad de una solución analítica (este es el llamado teorema de Cauchy), ¡aunque esto no se sigue del razonamiento anterior!

Aquí es necesario recordar qué es una función analítica. ¡No debe confundirse con una función representada por una serie de potencias (esta es solo una representación de una función analítica en, en términos generales, una parte de su dominio de definición)!

Comentario. Dado (t0, x0), se puede intentar maximizar T0 variando T y R. Sin embargo, como regla, esto no es tan importante, ya que existen métodos especiales para estudiar el intervalo máximo de existencia de una solución (ver § 4).

El teorema de Peano no dice nada sobre la unicidad de la solución. Con nuestra comprensión de la solución, no siempre es única, porque si hay una solución, entonces sus restricciones a intervalos más estrechos serán otras soluciones. Consideraremos este punto con más detalle más adelante (en el § 4), pero por ahora, por unicidad entendemos la coincidencia de dos soluciones cualesquiera en la intersección de los intervalos de su definición. Incluso en este sentido, el teorema de Peano no dice nada sobre la unicidad, que no es accidental, porque bajo sus condiciones, la unicidad no puede garantizarse.

Ejemplo. n = 1, f (x) = 2 |x|. El problema de Cauchy tiene una solución trivial: x1 0, y además x2(t) = t|t|. A partir de estas dos soluciones, se puede compilar toda una familia de soluciones de 2 parámetros:

donde + (valores infinitos significan que no hay rama correspondiente). Si consideramos todo el R como el dominio de definición de todas estas soluciones, entonces todavía hay infinitas de ellas.

Tenga en cuenta que si usamos la demostración del teorema de Peano en términos de las líneas discontinuas de Euler en este problema, solo se obtendrá la solución cero. Por otro lado, si se permite un pequeño error en cada paso del proceso de construcción de líneas de Euler partidas, incluso después de que el parámetro de error tienda a cero, todas las soluciones permanecen. Así, el teorema de Peano y las líneas quebradas de Euler son métodos naturales para construir soluciones y están estrechamente relacionados con los métodos numéricos.

El problema observado en el ejemplo se debe a que la función f no es suave en x. Resulta que si imponemos requisitos adicionales sobre la regularidad de f en x, entonces se puede garantizar la unicidad, y este paso es necesario en cierto sentido (ver más abajo).

Recordemos algunas nociones del análisis. Una función (escalar o vectorial) g se denomina función de Hölder con exponente (0, 1] en el conjunto si se denomina condición de Lipschitz para 1. Para 1, esto solo es posible para funciones constantes. Una función dada en un segmento (donde la elección de 0 no es imprescindible) se denomina módulo de continuidad, si se dice que g satisface la condición de Hölder generalizada con módulo, si en este caso se denomina módulo de continuidad de g.

Se puede demostrar que cualquier módulo de continuidad es el módulo de continuidad de alguna función continua.

El hecho inverso es importante para nosotros, a saber: cualquier función continua en un conjunto compacto tiene su propio módulo de continuidad, es decir, satisface (5) con algunos. Demostrémoslo. Recuerde que si es compacta y g es C(), entonces g es necesariamente uniformemente continua en, es decir,

= (): |x y| = |g(x)g(y)|. Resulta que esto es equivalente a la condición (5) con algunos. De hecho, si existe, basta con construir un módulo de continuidad tal que (()), y luego para |x y| = = () obtenemos Dado que (y) son arbitrarios, entonces x e y pueden ser arbitrarios.

Y viceversa, si (5) es verdadera, entonces basta encontrar tal que (()), y luego para |x y| = () obtenemos Queda por justificar las transiciones lógicas:

Para monótonas y es suficiente tomar funciones inversas, pero en el caso general es necesario usar las llamadas. funciones inversas generalizadas. Su existencia requiere una prueba separada, que no daremos, sino solo una idea (es útil acompañar la lectura con dibujos):

para cualquier F definimos F(x) = min F (y), F (x) = max F (y) - estas son funciones monótonas y tienen inversas. Es fácil comprobar que x x F (F (x)), (F)1(F (x)) x, F ((F)1(x)) x.

El mejor módulo de continuidad es lineal (condición de Lipschitz). Estas son funciones "casi diferenciables". Dar un sentido riguroso a la última afirmación requiere algún esfuerzo, y nos limitaremos a sólo dos observaciones:

1. Estrictamente hablando, no todas las funciones de Lipschitz son diferenciables, como el ejemplo g(x) = |x| a R;

2. pero diferenciabilidad implica Lipschitz, como muestra la siguiente afirmación. Cualquier función g que tenga todo M en un conjunto convexo satisface la condición de Lipschitz.

[Por el momento, por brevedad, considere las funciones escalares g.] Demostración. Para todo x, y tenemos Está claro que esta afirmación también es cierta para funciones vectoriales.

Comentario. Si f = f (t, x) (en términos generales, una función vectorial), entonces podemos introducir la noción “f es Lipschitz en x”, es decir, |f (t, x) f (t, y)| C|x y|, y también probar que si D es convexo en x para todo t, entonces para la propiedad de Lipschitz de f con respecto ax en D, es suficiente que | a través de |x y|. Para n = 1, generalmente se hace usando la fórmula de incremento finito: g(x)g(y) = g (z)(xy) (si g es una función vectorial, entonces z es diferente para cada componente). Para n 1 es conveniente utilizar el siguiente análogo de esta fórmula:

Lema. (Adamara). Sea f C(D) (en términos generales, una función vectorial), donde D (t = t) es convexa para cualquier t, y f (t, x) f (t, y) = A(t, x, y) (x y), donde A es una matriz rectangular continua.

Prueba. Para cualquier t fijo, aplicamos el cálculo de la prueba de la Afirmación para = D (t = t), g = fk. Obtenemos la representación deseada con A(t, x, y) = A es efectivamente continua.

Volvamos a la cuestión de la unicidad de la solución al problema (1).

Planteemos la pregunta de esta manera: ¿cuál debe ser el módulo de continuidad de f con respecto a x, para que la solución (1) sea única en el sentido de que coinciden 2 soluciones definidas en el mismo intervalo? La respuesta viene dada por el siguiente teorema:

Teorema. (Osgood). Sea, bajo las condiciones del teorema de Peano, el módulo de continuidad de f con respecto a x en B, es decir, la función en la desigualdad satisface la condición (podemos suponer C). Entonces el problema (1) no puede tener dos soluciones diferentes definidas en el mismo intervalo de la forma (t0 a, t0 + b).

Compare con el ejemplo anterior de no unicidad.

Lema. Si z C 1(,), entonces en total (,):

1. en los puntos donde z = 0, existe |z| y ||z| | |z|;

2. en los puntos donde z = 0, hay derivadas unilaterales |z|±, y ||z|± | = |z | (en particular, si z = 0, entonces existe |z| = 0).

Ejemplo. n = 1, z(t) = t. En el punto t = 0, la derivada de |z| no existe, pero hay derivadas unilaterales.

Prueba. (Lemas). En aquellos puntos donde z = 0, tenemos z z : existe |z| =, y ||z| | |z|. En esos puntos t, donde z(t) = 0, tenemos:

Caso 1: z (t) = 0. Entonces obtenemos la existencia de |z| (t) = 0.

Caso 2: z (t) = 0. Entonces si +0 o 0 entonces z(t +)| |z(t)| cuyo módulo es igual a |z (t)|.

Por suposición, F C 1(0,), F 0, F, F (+0) = +. Sean z1,2 dos soluciones de (1) definidas en (t0, t0 +). Denote z = z1 z2. Tenemos:

Supongamos que hay t1 (para la definición t1 t0) tal que z(t1) = 0. El conjunto A = ( t t1 | z(t) = 0 ) no está vacío (t0 A) y está acotado por arriba. Por lo tanto, tiene un límite superior t1. Por construcción, z = 0 en (, t1), y como z es continua, tenemos z() = 0.

Por el lema |z| C 1(, t1), y en este intervalo |z| |z | (|z|), por lo que la integración sobre (t, t1) (donde t (, t1)) da F (|z(t)|) F (|z(t1)|) t1 t. Para t + 0 obtenemos una contradicción.

Corolario 1. Si, bajo las condiciones del teorema de Peano, f es Lipschitz en x en B, entonces el problema (1) tiene solución única en el sentido descrito en el teorema de Osgood, porque en este caso () = C satisface (7).

Corolario 2. Si C(B) bajo las condiciones del teorema de Peano, entonces la solución (1) definida en Int(IP) es única.

Lema. Cualquier solución (1) definida en IP debe satisfacer la estimación |x | = |f (t,x)| F, y su gráfica está en K1, y más aún en C.

Prueba. Supongamos que hay t1 IP tal que (t, x(t)) C. Por definición, sea t1 t0. Entonces existe t2 (t0, t1] tal que |x(t) x0| = R. De manera similar al razonamiento en la prueba del teorema de Osgood, podemos suponer que t2 es el punto más a la izquierda, pero tenemos (t, x (t)) C, de modo que |f (t, x(t))|F, y por lo tanto (t, x(t)) K1, lo que contradice |x(t2) x0| = R. Por lo tanto, (t, x(t) ) C en todos los IP, y luego (repetición de cálculos) (t, x(t)) K1.

Prueba. (Corolario 2). C es un conjunto compacto, obtenemos que f es Lipschitz en x en C, donde las gráficas de todas las soluciones se encuentran por el Lema. Por el Corolario 1, obtenemos lo que se requiere.

Comentario. La condición (7) significa que la condición de Lipschitz para f no puede debilitarse sustancialmente. Por ejemplo, la condición de Hölder con 1 ya no es válida. Solo son adecuados los módulos de continuidad cercanos a la lineal, como el "peor":

Un ejercicio. (bastante complicado). Demuestre que si (7) satisface, entonces hay un 1 que satisface (7) tal que 1/ está en cero.

En el caso general, no es necesario exigir exactamente algo del módulo de continuidad de f en x para la unicidad; son posibles todo tipo de casos especiales, por ejemplo:

Declaración. Si, bajo las condiciones del teorema de Peano, cualquiera de las 2 soluciones (1) definidas en (9) es verdadera, es claro que x C 1(a, b), y luego la diferenciación (9) da (1)1, y (1)2 es obvio.

En contraste con (1), es natural que (9) construya una solución en un intervalo cerrado.

Picard propuso el siguiente método de aproximaciones sucesivas para resolver (1)=(9). Denotar x0(t) x0, y luego por inducción Teorema. (Cauchy-Picara). Sea, bajo las condiciones del teorema de Peano, la función f de Lipschitz en x en cualquier conjunto compacto K convexo en x en el dominio B, es decir,

Entonces, para cualquier (t0, x0) B, el problema de Cauchy (1) (también conocido como (9)) tiene una solución única en Int(IP) y xk x en IP, donde xk se definen en (10).

Comentario. Está claro que el teorema sigue siendo válido si la condición (11) se reemplaza por C(B), ya que (11) se sigue de esta condición.

Nota para el profesor. De hecho, no se necesitan todos los conjuntos compactos convexos en x, sino sólo cilindros, pero así se hace la formulación, ya que en el § 5 necesitaremos conjuntos compactos más generales, y además, es precisamente con tal formulación que el El comentario se ve más natural.

Prueba. Elegimos arbitrariamente (t0, x0) B y hacemos la misma construcción auxiliar que antes del teorema de Peano. Probemos por inducción que todas las xk son definidas y continuas en IP, y sus gráficas están en K1, y más aún en C. Esto es obvio para x0. Si esto es cierto para xk1, entonces está claro a partir de (10) que xk está definido y es continuo en IP, y esta es la pertenencia a K1.

Probamos ahora la estimación sobre IP por inducción:

(C es un conjunto compacto convexo en x en B, y L(C) está definido para él). Para k = 0, esta es la estimación probada (t, x1(t)) K1. Si (12) es cierto para k:= ​​k 1, entonces de (10) tenemos lo que se requería. Así, la serie es mayorizada en IP por una serie numérica convergente y por lo tanto (esto se llama el teorema de Weierstrass) converge uniformemente en IP a alguna función x C(IP). Pero eso es lo que significa xk x en IP. Entonces en (10) sobre IP pasamos al límite y obtenemos (9) sobre IP, y por lo tanto (1) sobre Int(IP).

La unicidad se sigue inmediatamente del Corolario 1 del teorema de Osgood, pero es útil demostrarlo de otra manera, usando precisamente la ecuación (9). Sean 2 soluciones x1,2 del problema (1) (es decir, (9)) en Int(IP). Como se mencionó anteriormente, entonces sus gráficos se encuentran necesariamente en K1, y más aún en C. Sea t I1 = (t0, t0 +), donde es un número positivo. Entonces = 1/(2L(C)). Entonces = 0. Así, x1 = x2 en I1.

Nota para el profesor. También hay una prueba de unicidad con la ayuda del lema de Gronwall, es aún más natural, ya que pasa inmediatamente a nivel global, pero hasta ahora el lema de Gronwall no es muy conveniente, ya que es difícil percibirlo adecuadamente antes de las EDO lineales.

Comentario. La última prueba de la unicidad es instructiva porque muestra una vez más bajo una luz diferente cómo la unicidad local conduce a la unicidad global (lo que no es cierto para la existencia).

Un ejercicio. Demuestre la unicidad a la vez en todos los IP, argumentando lo contrario, como en la demostración del teorema de Osgood.

Un caso especial importante (1) son las EDO lineales, es decir, aquellas en las que el valor f (t, x) es lineal en x:

En este caso, para caer dentro de las condiciones de la teoría general, se debería exigir Así, en este caso, el papel de B es una tira, y la condición de ser Lipschitz (e incluso diferenciable) con respecto a x se satisface automáticamente: para todo t (a, b), x, y Rn tenemos |f (t, x) f (t, y)| = |A(t)(x y)| |A(t)| · |(xy)|.

Si seleccionamos temporalmente un conjunto compacto (a, b), entonces sobre él obtenemos |f (t, x) f (t, y)| L|(x y)|, donde L = máx |A|.

Los teoremas de Peano y Osgood o Cauchy-Picard implican la única solución del problema (13) en algún intervalo (Peano-Picard) que contiene t0. Además, la solución en este intervalo es el límite de aproximaciones sucesivas de Picard.

Un ejercicio. Encuentra este intervalo.

Pero resulta que en este caso todos estos resultados se pueden probar globalmente a la vez, es decir, en todo (a, b):

Teorema. Sea (14) verdadera. Entonces el problema (13) tiene solución única en (a, b), y las sucesivas aproximaciones de Picard convergen a él uniformemente en cualquier conjunto compacto (a, b).

Prueba. Nuevamente, como en TK-P, construimos una solución a la ecuación integral (9) usando aproximaciones sucesivas usando la fórmula (10). Pero ahora no necesitamos verificar la condición para que la gráfica caiga en el cono y el cilindro, ya que

f está definida para todo x siempre que t (a, b). Solo necesitamos verificar que todos los xk están definidos y son continuos en (a, b), lo cual es obvio por inducción.

En lugar de (12), ahora mostramos una estimación similar de la forma donde N es un número que depende de la elección de . El primer paso de inducción para esta estimación es diferente (porque no está relacionado con K1): para k = 0 |x1(t) x0| N debido a la continuidad de x1, y los siguientes pasos son similares a (12).

Es posible no describir esto, ya que es obvio, pero podemos notar nuevamente xk x en , y x es la solución del correspondiente (10) en . Pero al hacerlo, hemos construido una solución para todo (a, b), ya que la elección del conjunto compacto es arbitraria. La unicidad se deriva de los teoremas de Osgood o Cauchy-Picard (y la discusión anterior sobre la unicidad global).

Comentario. Como se mencionó anteriormente, TC-P es formalmente superfluo debido a los teoremas de Peano y Osgood, pero es útil por 3 razones:

1. le permite conectar el problema de Cauchy para ODE con una ecuación integral;

2. ofrece un método constructivo de aproximaciones sucesivas;

3. facilita la prueba de la existencia global de ODE lineales.

[aunque esto último también puede deducirse de los argumentos del § 4.] En lo que sigue, nos referiremos a él con mayor frecuencia.

Ejemplo. x = x, x(0) = 1. Aproximaciones sucesivas Por lo tanto, x(t) = e es la solución del problema original en todo R.

La mayoría de las veces, no se obtendrá una serie, pero se mantiene una cierta constructividad. También es posible estimar el error x xk (ver ).

Comentario. A partir de los teoremas de Peano, Osgood y Cauchy-Picard, es fácil obtener los teoremas correspondientes para EDO de orden superior.

Un ejercicio. Formular los conceptos del problema de Cauchy, la solución del sistema y el problema de Cauchy, todos teoremas para EDO de orden superior, utilizando la reducción a sistemas de primer orden descrita en el § 1.

Violando un poco la lógica del curso, pero para asimilar y justificar mejor los métodos de resolución de problemas en las clases prácticas, interrumpiremos temporalmente la presentación de la teoría general y abordaremos el problema técnico de "solución explícita de EDO".

§ 3. Algunos métodos de integración Así, consideramos la ecuación escalar = f (t, x). El caso especial más simple que hemos aprendido a integrar es el llamado. URP, es decir, una ecuación en la que f (t, x) = a(t)b(x). El truco formal de integrar el ERP es "separar" las variables t y x (de ahí el nombre): = a(t)dt, y luego sacar la integral:

donde x = B (A(t)). Tal razonamiento formal contiene varios puntos que requieren justificación.

1. División por b(x). Suponemos que f es continua, entonces a C(,), b C(,), es decir, B es un rectángulo (,) (,)(en general, infinito). Los conjuntos (b(x) 0) y (b(x) 0) son abiertos y por lo tanto son conjuntos de intervalos finitos o contables. Entre estos intervalos hay puntos o segmentos donde b = 0. Si b(x0) = 0, entonces el problema de Cauchy tiene solución x x0. Quizás esta solución no sea única, entonces en su dominio de definición existen intervalos donde b(x(t)) = 0, pero luego se pueden dividir por b(x(t)). Nótese de paso que la función B es monótona en estos intervalos, y por lo tanto podemos tomar B 1. Si b(x0) = 0, entonces b(x(t)) = 0 en una vecindad de t0, y el procedimiento es legal . Así, el procedimiento descrito debería, en términos generales, aplicarse al dividir el dominio de definición de una solución en partes.

2. Integración de las partes izquierda y derecha con respecto a diferentes variables.

Método I. Vamos a buscar una solución al problema Kod(t) shi (1) x = (t). Tenemos: = a(t)b((t)), de donde tenemos estrictamente la misma fórmula.

Método II. La ecuación se llama así. una notación simétrica de la ODE original, es decir, una que no especifica qué variable es independiente y cuál es dependiente. Tal forma tiene sentido sólo en el caso que estamos considerando de una ecuación de primer orden en vista del teorema sobre la invariancia de la forma de la primera diferencial.

Aquí es apropiado tratar con más detalle el concepto de diferencial, ilustrándolo con el ejemplo del plano ((t, x)), curvas sobre él, enlaces emergentes, grados de libertad y un parámetro sobre la curva.

Por lo tanto, la ecuación (2) conecta los diferenciales t y x a lo largo del IC deseado. Entonces, integrar la ecuación (2) de la manera que se muestra al principio es perfectamente legal; significa, si lo desea, integrar sobre cualquier variable elegida como independiente.

En el Método I, mostramos esto al elegir t como la variable independiente. Ahora mostraremos esto eligiendo el parámetro s a lo largo del IR como una variable independiente (porque esto muestra más claramente la igualdad de t y x). Sea el valor s = s0 correspondiente al punto (t0, x0).

Entonces tenemos: = a(t(s))t (s)ds, que después da Aquí debemos centrarnos en la universalidad de la notación simétrica, por ejemplo: el círculo no se escribe ni como x(t), ni como t(x), sino como x(s), t(s).

Algunas otras ODE de primer orden se reducen a URP, lo que se puede ver al resolver problemas (por ejemplo, según el libro de problemas).

Otro caso importante es la EDO lineal:

Método I. Variación de la constante.

este es un caso especial de un enfoque más general, que se discutirá en la Parte 2. El punto es que encontrar una solución en una forma especial reduce el orden de la ecuación.

Primero decidamos. ecuación homogénea:

Debido a la unicidad, ya sea x 0 o en todas partes x = 0. En el último caso (sea x 0 para definición), obtenemos que (4) da todas las soluciones de (3)0 (incluyendo cero y negativos).

La fórmula (4) contiene una constante arbitraria C1.

El método de variación constante consiste en el hecho de que la solución (3) C1(t) = C0 + Se puede ver (como en los sistemas lineales algebraicos) la estructura ORNY=CHRNY+OROU (más sobre esto en la Parte 2).

Si queremos resolver el problema de Cauchy x(t0) = x0, entonces necesitamos encontrar C0 a partir de los datos de Cauchy; obtenemos fácilmente C0 = x0.

Método II. Encontremos un IM, es decir, una función v por la que se deba multiplicar (3) (escrito de tal manera que todas las incógnitas se recojan en el lado izquierdo: x a(t)x = b(t)) de modo que la derivada de alguna combinación conveniente.

Tenemos: vx vax = (vx), si v = av, es decir, (tal ecuación, (3) es equivalente a una ecuación que ya se resuelve fácilmente y da (5). Si se resuelve el problema de Cauchy, entonces en ( 6) es conveniente tomar inmediatamente una integral definida Algunas otras se reducen a EDO lineales (3), como se puede ver al resolver problemas (por ejemplo, según el libro de problemas) El caso importante de las EDO lineales (inmediatamente para cualquier n ) se considerará con más detalle en la Parte 2.

Ambas situaciones consideradas son un caso especial de las denominadas. UPD. Considere una EDO de primer orden (para n = 1) en forma simétrica:

Como ya se mencionó, (7) especifica el IC en el plano (t, x) sin especificar qué variable se considera independiente.

Si multiplicamos (7) por una función arbitraria M (t, x), obtenemos una forma equivalente de escribir la misma ecuación:

Así, la misma ODE tiene muchas entradas simétricas. Entre ellos, los llamados juegan un papel especial. registros en diferenciales totales, el nombre de la UPD no tiene éxito, porque esta propiedad no es una ecuación, sino la forma de su registro, es decir, tal que el lado izquierdo de (7) es igual a dF (t, x) con algún F.

Es claro que (7) es un FTD si y solo si A = Ft, B = Fx con algo de F. Como se sabe del análisis, esto último es necesario y suficiente, no fundamentamos puntos estrictamente técnicos, por ejemplo, el suavidad de todas las funciones. El hecho es que § juega un papel secundario: no es necesario en absoluto para otras partes del curso, y no me gustaría gastar demasiados esfuerzos en su presentación detallada.

Por lo tanto, si (9) se cumple, entonces hay una F (es única hasta una constante aditiva) tal que (7) se reescribe como dF (t, x) = 0 (a lo largo del IR), es decir

F (t, x) = constante a lo largo del IC, es decir, los IC son las líneas de nivel de la función F. Obtenemos que la integración del SPD es una tarea trivial, ya que la búsqueda de F por A y B satisface (9 ) no es difícil. Si (9) no se cumple, entonces uno debe encontrar el así llamado. IM M (t, x) tal que (8) es un FDD, para lo cual es necesario y suficiente realizar un análogo de (9), que toma la forma:

Como se desprende de la teoría PDE de primer orden (que veremos en la Parte 3), la Ecuación (10) siempre tiene una solución, por lo que existe IM. Por lo tanto, cualquier ecuación de la forma (7) se puede escribir en forma de FDD y, por lo tanto, permite una integración "explícita". Pero estas consideraciones no dan un método constructivo en el caso general, porque para resolver (10), en términos generales, se requiere encontrar una solución (7), que es lo que buscamos. Sin embargo, hay una serie de técnicas de búsqueda de IM que tradicionalmente se consideran en las clases prácticas (ver por ejemplo).

Tenga en cuenta que los métodos anteriores para resolver ERP y ODE lineales son un caso especial de la ideología IM.

En efecto, el ERP dx/dt = a(t)b(x), escrito en la forma simétrica dx = a(t)b(x)dt, se resuelve multiplicando por IM 1/b(x), porque después de esto se convierte en la FDD dx/b(x) = a(t)dt, es decir, dB(x) = dA(t). La ecuación lineal dx/dt = a(t)x + b(t), escrita en la forma simétrica dx a(t)xdt b(t)dt, se resuelve multiplicando por MI

(a excepción del gran bloque asociado a los sistemas lineales) son que, utilizando métodos especiales de reducción de orden y cambio de variable, se reducen a ODE de primer orden, que luego se reducen a FDD, y se resuelven aplicando la ecuación teorema principal del cálculo diferencial: dF = 0 F = const. La cuestión de bajar el orden se incluye tradicionalmente en el curso de ejercicios prácticos (ver por ejemplo).

Digamos algunas palabras sobre las EDO de primer orden que no se resuelven con respecto a la derivada:

Como se discutió en el § 1, se puede intentar resolver (11) con respecto a x y obtener una forma normal, pero esto no siempre es recomendable. A menudo es más conveniente resolver (11) directamente.

Considere el espacio ((t, x, p)), donde p = x se trata temporalmente como una variable independiente. Entonces (11) define una superficie (F (t, x, p) = 0) en este espacio, que se puede escribir paramétricamente:

Es útil recordar lo que esto significa, por ejemplo, con la ayuda de una esfera en R3.

Las soluciones deseadas corresponderán a curvas en esta superficie: t = s, x = x(s), p = x (s) - se pierde un grado de libertad porque hay una conexión dx = pdt en las soluciones. Escribamos esta relación en términos de parámetros en la superficie (12): gu du + gv dv = h(fudu + fv dv), es decir

Así, las soluciones deseadas corresponden a curvas sobre la superficie (12), en las que los parámetros están relacionados por la ecuación (13). Este último es una EDO en forma simétrica que se puede resolver.

Caso I. Si en alguna región (gu hfu) = 0, entonces (12) entonces t = f ((v), v), x = g((v), v) da una representación paramétrica de las curvas deseadas en el plano ( (t, x)) (es decir, estamos proyectando sobre este plano, ya que no necesitamos p).

Caso II. De manera similar, si (gv hfv) = 0.

Caso III. En algunos puntos simultáneamente gu hfu = gv hfv = 0. Aquí se requiere un análisis separado, si este conjunto corresponde a algunas soluciones (entonces se llaman singulares).

Ejemplo. Ecuación de Clairaut x = tx + x 2. Tenemos:

x = tp + p2. Parametrizamos esta superficie: t = u, p = v, x = uv + v 2. La ecuación (13) toma la forma (u + 2v)dv = 0.

Caso I. No implementado.

Caso II. u + 2v = 0, entonces dv = 0, es decir, v = C = const.

Por lo tanto, t = u, x = Cu + C 2 es la notación paramétrica de la IR.

Es fácil escribirlo explícitamente x = Ct + C 2.

Caso III. u + 2v = 0, es decir, v = u/2. Por lo tanto, t = u, x = u2/4 es la notación paramétrica del "candidato IC".

Para verificar si esto es realmente un IR, lo escribimos explícitamente x = t2/4. Resultó que esta es una solución (especial).

Un ejercicio. Demuestre que la solución especial concierne a todas las demás.

Este es un hecho general: la gráfica de cualquier solución especial es la envolvente de la familia de todas las demás soluciones. Esta es la base para otra definición de solución singular, precisamente como envolvente (ver ).

Un ejercicio. Demuestre que para una ecuación de Clairaut más general x = tx (x) con una función convexa, la solución especial tiene la forma x = (t), donde es la transformada de Legendre de , es decir, = ()1, o (t) = max (televisión (v)). Análogamente para la ecuación x = tx + (x).

Comentario. El contenido del § 3 se describe con más detalle y precisión en el libro de texto.

Nota para el profesor. Al dar un curso de conferencias, puede ser útil ampliar el § 3, dándole una forma más rigurosa.

Volvamos ahora al esquema principal del curso, continuando la exposición iniciada en los §§ 1,2.

§ 4. Solubilidad global del problema de Cauchy En el § 2 probamos la existencia local de una solución al problema de Cauchy, es decir, sólo en algún intervalo que contenga el punto t0.

Bajo algunos supuestos adicionales sobre f, también probamos la unicidad de la solución, entendiéndola como la coincidencia de dos soluciones definidas en el mismo intervalo. Si f es lineal en x, entonces se obtiene una existencia global, es decir, en todo el intervalo donde los coeficientes de la ecuación (sistema) son definidos y continuos. Sin embargo, como muestra un intento de aplicar la teoría general a un sistema lineal, el intervalo de Peano-Picard es generalmente menor que aquel en el que se puede construir una solución. Surgen preguntas naturales:

1. ¿Cómo determinar el intervalo máximo en el que se puede afirmar la existencia de una solución (1)?

2. ¿Este intervalo siempre coincide con el intervalo máximo, en el que todavía tiene sentido el lado derecho de (1)1?

3. ¿Cómo formular con precisión el concepto de unicidad de una solución sin reservas sobre el intervalo de su definición?

El hecho de que la respuesta a la pregunta 2 sea generalmente negativa (o más bien, requiere una gran precisión) se muestra en el siguiente ejemplo. x = x2, x(0) = x0. Si x0 = 0, entonces x 0 - no hay otras soluciones por el teorema de Osgood. Si x0 = 0, entonces decidimos que es útil hacer un dibujo). El intervalo de existencia de una solución no puede ser mayor que (, 1/x0) o (1/x0, +), respectivamente, para x0 0 y x0 0 (¡la segunda rama de la hipérbole no tiene nada que ver con la solución! - este es un error típico de los estudiantes). A primera vista, nada en el problema original "presagiaba tal resultado". En el § 4 encontraremos una explicación a este fenómeno.

En el ejemplo de la ecuación x = t2 + x2 se muestra un error típico de los estudiantes sobre el intervalo de existencia de la solución. Aquí, el hecho de que "la ecuación esté definida en todas partes" no implica en absoluto que la solución pueda extenderse a toda la línea. Esto es claro incluso desde un punto de vista puramente cotidiano, por ejemplo, en relación con las leyes legales y los procesos que se desarrollan bajo ellas: incluso si la ley no prescribe explícitamente la terminación de la existencia de una empresa en 2015, esto no significa en absoluto que esta empresa no quiebre este año por razones internas (aunque operando en el marco de la ley).

Para responder a las preguntas 1 a 3 (e incluso formularlas claramente), es necesaria la noción de una solución no extensible. Consideraremos (como acordamos anteriormente) las soluciones de la ecuación (1)1 como pares (, (tl (), tr ())).

Definición. La solución (, (tl (), tr ())) es la continuación de la solución (, (tl (), tr ())) si (tl (), tr ()) (tl (), tr () ), y |(tl(),tr()) =.

Definición. Una solución (, (tl (), tr ())) no es extensible si no tiene extensiones no triviales (es decir, diferentes). (ver ejemplo arriba).

Está claro que son los IS los que tienen un valor particular, y en sus términos es necesario probar la existencia y la unicidad. Surge una pregunta natural: ¿siempre es posible construir un SI basado en alguna solución local o en el problema de Cauchy? Resulta que sí. Para entender esto, vamos a introducir los conceptos:

Definición. Un conjunto de soluciones ((, (tl (), tr ()))) es consistente si 2 soluciones cualquiera de este conjunto coinciden en la intersección de los intervalos de su definición.

Definición. Un conjunto consistente de soluciones se llama maximal si no se le puede agregar una solución más para que el nuevo conjunto sea consistente y contenga nuevos puntos en la unión de los dominios de las soluciones.

Es claro que la construcción de la DCI es equivalente a la construcción del SI, a saber:

1. Si existe un IS, cualquier DCI que lo contenga sólo puede ser un conjunto de sus restricciones.

Un ejercicio. Verificar.

2. Si hay una DCI, entonces la HP (, (t, t+)) se construye de la siguiente manera:

establecemos (t) = (t), donde está cualquier elemento INN definido en este punto. Es obvio que tal función estará definida de manera única en el conjunto (t, t+) (la unicidad se deriva de la consistencia del conjunto), y en cada punto coincide con todos los elementos INN definidos en ese punto. Para cualquier t (t, t+) hay alguien definido en él, y por lo tanto en su vecindad, y dado que hay una solución (1)1 en esta vecindad, entonces también. Por lo tanto, hay una solución (1)1 en el todo (t, t+). Es improrrogable, ya que de lo contrario se podría añadir una extensión no trivial a la DCI a pesar de su maximalidad.

La construcción del problema ILS (1) en el caso general (bajo las condiciones del teorema de Peano), cuando no hay unicidad local, es posible (ver , ), pero bastante engorrosa - se basa en un paso a paso aplicación escalonada del teorema de Peano con una estimación menor de la longitud del intervalo de extensión. Por lo tanto, HP siempre existe. Justificaremos esto solo en el caso de que exista unicidad local, entonces la construcción de la DCI (y por lo tanto también la RI) es trivial. Por ejemplo, por concreción, actuaremos en el marco del TC-P.

Teorema. Deje que las condiciones TK-P se satisfagan en el dominio B Rn+1. Entonces para cualquier (t0, x0) problema B (1) tiene un IS único.

Prueba. Considere el conjunto de todas las soluciones del problema (1) (no está vacío según TK-P). Forma la DCI - consistente debido a la unicidad local y máxima en vista del hecho de que este es el conjunto de todas las soluciones del problema de Cauchy en general. Entonces NR existe. Es único debido a la singularidad local.

Si se requiere construir un IS basado en la solución local disponible (1)1 (y no el problema de Cauchy), entonces este problema, en el caso de unicidad local, se reduce al problema de Cauchy: se debe elegir cualquier punto en el IR existente y considerar el problema de Cauchy correspondiente. El IS de este problema será una continuación de la solución original debido a su unicidad. Si no hay unicidad, la continuación de la solución dada se lleva a cabo de acuerdo con el procedimiento indicado anteriormente.

Comentario. El HP no se puede extender en los extremos de su intervalo de existencia (independientemente de la condición de unicidad), por lo que también es una solución en los puntos finales. Para su justificación, es necesario aclarar qué se entiende por solución de una EDO en los extremos de un segmento:

1. Planteamiento 1. Entiéndase la solución (1)1 en el intervalo como una función que satisface la ecuación en los extremos en el sentido de una derivada unilateral. Entonces, la posibilidad de la extensión especificada de alguna solución, por ejemplo, en el extremo derecho del intervalo de su existencia (t, t+] significa que el IC tiene un punto final dentro de B, y C 1(t, t+). Pero entonces, habiendo resuelto el problema de Cauchy x(t+) = (t+) para (1) y hallando su solución, obtenemos, para el extremo derecho t+ (en el punto t+ existen ambas derivadas unilaterales y son iguales a f (t+ , (t+)), lo que significa que hay una derivada ordinaria), es decir, no era NR.

2. Enfoque 2. Si, por solución (1)1 en un segmento, entendemos una función que solo es continua en los extremos, pero tal que los extremos del IC se encuentran en B (incluso si no se requiere que la ecuación sea satisfecho en los extremos), entonces todavía obtenemos el mismo razonamiento, solo en términos de la ecuación integral correspondiente (ver detalles).

Por lo tanto, al restringirnos de inmediato a solo intervalos abiertos como conjuntos de definiciones de soluciones, no violamos la generalidad (pero solo evitamos un alboroto innecesario con derivadas unilaterales, etc.).

Como resultado, hemos respondido a la Pregunta 3, planteada al comienzo del § 4: bajo la condición de unicidad (por ejemplo, Osgood o Cauchy-Picard), la solución del problema de Cauchy es única en HP. Si se viola la condición de unicidad, entonces puede haber muchos IS del problema de Cauchy, cada uno con su propio intervalo de existencia. Cualquier solución (1) (o simplemente (1)1) puede extenderse a un IS.

Para responder las preguntas 1 y 2, es necesario considerar no la variable t por separado, sino el comportamiento del IC en el espacio Rn+1. A la pregunta de cómo se comporta el IC “cerca de los extremos”, responde Tenga en cuenta que el intervalo de existencia tiene extremos, pero el IC puede no tenerlos (el final del IC en B siempre no existe; consulte la observación anterior, pero el final puede no existir en B - ver más abajo).

Teorema. (sobre dejar el compacto).

lo formulamos bajo condiciones de unicidad local, pero esto no es necesario - ver , donde el TPK se formula como un criterio para NR.

Bajo las condiciones de TC-P, la gráfica de cualquier IS de la ecuación (1)1 deja cualquier conjunto compacto K B, es decir, K B (t, t+): (t, (t)) K en t .

Ejemplo. K = ( (t, x) segundo | ((t, x), segundo) ).

Comentario. Por lo tanto, el IC del IS cerca de t± tiende a B: ((t, (t)), B) 0 cuando t t± - el proceso de continuación de la solución no puede terminar estrictamente dentro de B.

positivamente, aquí como ejercicio es útil probar la positividad de la distancia entre conjuntos cerrados disjuntos, uno de los cuales es un conjunto compacto.

Prueba. Fijar K B. Tomar cualquier 0 (0, (K, B)). Si B = Rn+1, entonces por definición asumimos (K, B) = +. El conjunto K1 = ( (t, x) | ((t, x), K) 0 /2 ) también es compacto en B, por lo que existe F = max |f |. Elegimos los números T y R hasta K suficientemente pequeños para que cualquier cilindro de la forma Por ejemplo, baste tomar T 2 + R2 2/4. Entonces el problema de Cauchy de la forma, según TK-P, tiene solución en un intervalo no menor que (t T0, t + T0), donde T0 = min(T, R/F) para todo (t, x) k

Ahora, como el segmento deseado, puede tomar = . En efecto, debemos demostrar que si (t, (t)) K, entonces t + T0 t t + T0. Mostremos, por ejemplo, la segunda desigualdad. Una solución al problema de Cauchy (2) con x = (t) existe por la derecha al menos hasta el punto t + T0, pero es un IS del mismo problema, que por su unicidad es una extensión, por lo tanto t + T0 t+.

Por lo tanto, la trama IS siempre "llega a B", por lo que el intervalo de existencia de la IS depende de la geometría de la IC.

Por ejemplo:

Declaración. Sea B = (a, b)Rn (intervalo finito o infinito), f satisface las condiciones TC-P en B, es un IS del problema (1) con t0 (a, b). Entonces t+ = b o |(t)| + para t t+ (y de manera similar para t).

Prueba. Así que sea t+ b, luego t+ +.

Considere un conjunto compacto K = B B. Para cualquier R +, según el TPK, existe (R) t+ tal que para t ((R), t+) el punto (t, (t)) K. Pero como t t+, esto es posible solo para la cuenta |(t)| R. Pero esto significa |(t)| + para t t+.

En este caso particular, vemos que si f está definida “para todo x”, entonces el intervalo de existencia de la IS puede ser menor que el máximo posible (a, b) solo por la tendencia de la IS a al acercarse a la extremos del intervalo (t, t+) (generalmente caso - a la frontera B).

Un ejercicio. Generalice la última afirmación al caso cuando B = (a, b), donde Rn es una región arbitraria.

Comentario. Debe entenderse que |(t)| + no significa ninguna k(t).

Así, hemos respondido a la pregunta 2 (cf. el ejemplo al principio del § 4): el IR llega a B, pero su proyección en el eje t puede no llegar a los extremos de la proyección de B en el eje t. Queda la pregunta 1: ¿existen signos por los cuales, sin resolver la EDO, se pueda juzgar la posibilidad de continuar la solución hasta el "intervalo más amplio posible"? Sabemos que para las EDO lineales esta extensión siempre es posible, pero en el Ejemplo al comienzo del § 4 esto es imposible.

Consideremos primero, a modo de ilustración, un caso particular del ERP para n = 1:

la convergencia de la integral impropia h(s)ds (impropia por = + o por la singularidad de h en el punto) no depende de la elección de (,). Por lo tanto, a continuación simplemente escribiremos h(s)ds cuando estemos hablando de la convergencia o divergencia de esta integral.

esto ya podría hacerse en el teorema de Osgood y afirmaciones relacionadas.

Declaración. Sean a C(,), b C(, +), ambas funciones positivas en sus intervalos. Sea el problema de Cauchy (donde t0 (,), x0) tiene un IS x = x(t) en el intervalo (t, t+) (,). Después:

Consecuencia. Si a = 1, = +, entonces t+ = + Prueba. (Afirmaciones). Tenga en cuenta que x es monótonamente creciente.

Un ejercicio. Demostrar.

Por lo tanto, x(t+) = lím x(t) + existe. Tenemos el Caso 1. t+, x(t+) + - es imposible por TPK, ya que x es un IS.

Ambas integrales son finitas o infinitas.

Un ejercicio. Agregar prueba.

Justificación del profesor. Como resultado, obtenemos que en el caso 3: a(s)ds +, y en el caso 4 (si es que se realiza) lo mismo.

Así, para las EDO más simples para n = 1 de la forma x = f (x), la extensibilidad de las soluciones hasta está determinada por la similitud.

autónomas), vea la Parte 3.

Ejemplo. Para f (x) = x, 1 (en particular, el caso lineal = 1) y f (x) = x ln x, se puede garantizar la extensibilidad de las soluciones (positivas) a +. Para f(x) = x y f(x) = x ln x en 1, las soluciones "se descomponen en un tiempo finito".

En el caso general, la situación está determinada por muchos factores y no es tan simple, pero la importancia de la "tasa de crecimiento de f en x" permanece. Para n 1, es difícil formular criterios de extensibilidad, pero existen condiciones suficientes. Como regla general, se justifican con la ayuda de los llamados. estimaciones a priori de las soluciones.

Definición. Sea h C(,), h 0. Se dice que para soluciones de alguna EDO, el AO |x(t)| h(t) en (,) si alguna solución de esta EDO satisface esta estimación en la parte del intervalo (,) donde está definida (es decir, no se supone que las soluciones estén necesariamente definidas en todo el intervalo (,) ).

Pero resulta que la presencia de AO garantiza que las soluciones seguirán estando definidas en todos (,) (y por lo tanto satisfarán la estimación en todo el intervalo), de modo que la estimación a priori se convierte en una estimación a posteriori:

Teorema. Sea el problema de Cauchy (1) que satisfaga las condiciones TK-P, y para sus soluciones existe un AO en el intervalo (,) con alguna h C(,), y el cilindro curvilíneo (|x| h(t), t (,)) B Entonces HP (1) está definido en todo (,) (y por lo tanto satisface AO).

Prueba. Probemos que t+ (t es semejante). Digamos t+. Considere un conjunto compacto K = (|x| h(t), t ) B. Por TPK, como t t+, el punto de la gráfica (t, x(t)) sale de K, lo cual es imposible debido a AO.

Así, para probar la extensión de una solución a un cierto intervalo, es suficiente estimar formalmente la solución en todo el intervalo requerido.

Analogía: la mensurabilidad de una función según Lebesgue y la evaluación formal de la integral implican la existencia real de la integral.

Estos son algunos ejemplos de situaciones en las que funciona esta lógica. Comencemos por ilustrar la tesis anterior sobre "el crecimiento de f en x es bastante lento".

Declaración. Sea B = (,) Rn, f satisfaga las condiciones TK-P en B, |f (t, x)| a(t)b(|x|), donde a y b satisfacen las condiciones de la Proposición anterior c = 0, y = +. Entonces la IS del problema (1) existe en (,) para todo t0 (,), x0 Rn.

Lema. Si y son continuas, (t0) (t0); para t t Prueba. Tenga en cuenta que en el vecindario (t0, t0 +): si (t0) (t0), entonces esto es inmediatamente obvio, de lo contrario (si (t0) = (t0) = 0) tenemos (t0) = g(t0, 0 ) (t0), que nuevamente da lo que se requiere.

Supongamos ahora que hay t1 t0 tal que (t1). Por un razonamiento obvio, uno puede encontrar (t1) t2 (t0, t1] tal que (t2) = (t2), y en (t0, t2) Pero entonces en el punto t2 tenemos =, - una contradicción.

g es cualquiera, y de hecho solo se necesita C, y donde sea =, allí. Pero para no abrumarnos la cabeza, considerémoslo como en el Lema. Aquí hay una desigualdad estricta, pero una EDO no lineal, y también existe la llamada.

Nota para el profesor. Las desigualdades de este tipo como en el Lema se denominan desigualdades de tipo Chaplygin (NC). Es fácil ver que el Lema no necesitaba una condición de unicidad, por lo que tal “SN estricto” también es cierto en el marco del teorema de Peano. "LF no estricto" es obviamente falso sin unicidad, ya que la igualdad es un caso especial de desigualdad no estricta. Finalmente, el “NP no estricto” es verdadero en el marco de la condición de unicidad, pero solo puede probarse localmente, con la ayuda de IM.

Prueba. (Afirmaciones). Probemos que t+ = (t = análogamente). Supongamos que t+, entonces por la afirmación anterior |x(t)| + para t t+, por lo que podemos suponer que x = 0 en . Si probamos AO |x| h on ) (la bola está cerrada por conveniencia).

El problema de Cauchy x(0) = 0 tiene un único IS x = 0 en R.

Indiquemos una condición suficiente en f bajo la cual se puede garantizar la existencia de un IS en R+ para todo x0 = x(0) suficientemente pequeño. Para ello, supongamos que (4) tiene el llamado una función de Lyapunov, es decir, una función V tal que:

1. V C 1 (B (0, R));

2. signoV (x) = signo|x|;

Comprobemos el cumplimiento de las condiciones A y B:

A. Considere el problema de Cauchy donde |x1| R/2. Construyamos un cilindro B = R B(0, R) - el dominio de la función f, donde está acotada y de clase C 1, de modo que exista F = max |f |. Según TK-P, existe una solución a (5) definida en el intervalo (t1 T0, t1 + T0), donde T0 = min(T, R/(2F)). Eligiendo una T suficientemente grande, se puede lograr T0 = R/(2F). Es importante que T0 no dependa de la elección de (t1, x1), siempre que |x1| R/2.

B. Mientras la solución (5) esté definida y permanezca en la bola B(0, R), podemos hacer el siguiente argumento. Tenemos:

V (x(t)) = f (x(t)) V (x(t)) 0, es decir, V (x(t)) V (x1) METRO (r) = máx. V (y) . Está claro que m y M no decrecen; r son discontinuos en cero, m(0) = M(0) = 0, y fuera de cero son positivos. Por lo tanto, existe R 0 tal que M (R) m(R/2). Si |x1| R, entonces V (x(t)) V (x1) M (R) m(R/2), de donde |x(t)| R/2. Tenga en cuenta que R R/2.

Ahora podemos formular un teorema, que de Secs. A,B deduce la existencia global de soluciones (4):

Teorema. Si (4) tiene una función de Lyapunov en B(0, R), entonces para todo x0 B(0, R) (donde R se define arriba) el IS del problema de Cauchy x(t0) = x0 para el sistema (4) (con cualquier t0) definido a +.

Prueba. Por el ítem A, la solución se puede construir sobre , donde t1 = t0 + T0 /2. Esta solución está en B(0, R) y le aplicamos el ítem B, de modo que |x(t1)| R/2. Nuevamente aplicamos el ítem A y obtenemos una solución en , donde t2 = t1 + T0/2, es decir, ahora la solución se basa en . Aplicamos el ítem B a esta solución y obtenemos |x(t2)| R/2, etc. En un número contable de pasos, obtenemos una solución en § 5. Dependencia de las soluciones ODE en Considere el problema de Cauchy donde Rk. Si para algún t0(), x0() este problema de Cauchy tiene un IS, entonces es x(t,). Surge la pregunta: ¿cómo estudiar la dependencia de x? Esta pregunta es importante debido a varias aplicaciones (y surgirá especialmente en la Parte 3), una de las cuales (aunque quizás no la más importante) es la solución aproximada de EDO.

Ejemplo. Consideremos el problema de Cauchy, su IS existe y es único, como se sigue de TK-P, pero es imposible expresarlo en funciones elementales. ¿Cómo investigar entonces sus propiedades? Una de las formas es la siguiente: tenga en cuenta que (2) está "cerca" del problema y = y, y(0) = 1, cuya solución se encuentra fácilmente: y(t) = et. Podemos suponer que x(t) y(t) = et. Esta idea está claramente formulada de la siguiente manera: considere el problema En = 1/100 esto es (2), y en = 0 este es el problema para y. Si demostramos que x = x(t,) es continua en (en cierto sentido), entonces obtenemos que x(t,) y(t) en 0, lo que significa que x(t, 1/100) y( t ) = et.

Es cierto que no está claro qué tan cerca está x de y, pero demostrar que x es continua con respecto a es el primer paso necesario sin el cual es imposible seguir avanzando.

Del mismo modo, es útil para estudiar la dependencia de los parámetros en los datos iniciales. Como veremos más adelante, esta dependencia se puede reducir fácilmente a una dependencia del parámetro del lado derecho de la ecuación, por lo que por el momento nos limitaremos a un problema de la forma Sea f C(D), donde D es una región en Rn+k+1; f es Lipschitz en x en cualquier conjunto compacto en D convexo en x (por ejemplo, C(D) es suficiente). Arreglamos (t0, x0). Denotar M = Rk | (t0, x0,) D es el conjunto de admisibles (para el cual tiene sentido el problema (4)). Tenga en cuenta que M está abierto. Suponemos que (t0, x0) se eligen de modo que M =. De acuerdo con TK-P, para todo M hay un solo IS del problema (4) - la función x = (t,) definida en el intervalo t (t(), t+()).

Estrictamente hablando, como depende de muchas variables, debemos escribir (4) de la siguiente manera:

donde (5)1 se satisface en el conjunto G = ( (t,) | M, t (t (), t+()) ). Sin embargo, la diferencia entre los signos d / dt y / t es puramente psicológica (su uso depende del mismo concepto psicológico de "fijar"). Así, el conjunto G es el conjunto maximal natural para la definición de una función, y la cuestión de la continuidad debe investigarse precisamente sobre G.

Necesitamos un resultado auxiliar:

Lema. (Gronwall). Deje que la función C, 0, satisfaga la estimación para todo t Entonces, para todo, verdadero Nota para el maestro. Al leer una conferencia, no puede memorizar esta fórmula por adelantado, pero deje espacio e ingréselo después de la conclusión.

Pero luego mantenga esta fórmula a la vista, porque será necesaria en ToNZ.

h = A + B Ah + B, de donde obtenemos lo que se requiere.

El significado de este lema: ecuación diferencial y desigualdad, conexión entre ellas, ecuación integral y desigualdad, conexión entre todas ellas, lemas diferencial e integral de Gronwall y conexión entre ellas.

Comentario. Es posible probar este lema bajo suposiciones más generales sobre A y B, pero no necesitamos esto todavía, pero se hará en el curso UMF (por lo tanto, es fácil ver que no usamos la continuidad de A y B, etc).

Ahora estamos listos para enunciar claramente el resultado:

Teorema. (ToNS) Bajo las suposiciones hechas sobre f y en la notación presentada arriba, podemos afirmar que G es abierto, pero C(G).

Comentario. Está claro que el conjunto M generalmente no es conexo, por lo que G tampoco puede ser conexo.

Nota para el profesor. Sin embargo, si incluyéramos (t0, x0) en la cantidad de parámetros, entonces la conexión sería: esto se hace en .

Prueba. Sea (t,) G. Es necesario probar que:

Sea, por definición, t t0. Tenemos: M, de modo que (t,) está definido en (t(), t+()) t, t0, lo que significa que en algún segmento tal que t el punto (t, (t,)) pasa por el curva compacta D (paralela a los hiperplanos ( = 0)). ¡Esto significa que el conjunto de la forma Definición debe mantenerse frente a sus ojos todo el tiempo!

también hay un conjunto compacto en D para a y b suficientemente pequeños (convexos en x), de modo que la función f es Lipschitz en x:

[¡Esta evaluación debe mantenerse frente a sus ojos todo el tiempo! ] y es uniformemente continua en todas las variables, y más aún |f (t, x, 1)f (t, x, 2)| (|12|), (t, x, 1), (t, x, 2).

[¡Esta evaluación debe mantenerse frente a sus ojos todo el tiempo! ] Considere un 1 arbitrario tal que |1 | by la solución correspondiente (t, 1). El conjunto ( = 1) es compacto en D ( = 1), y para t = t0 el punto (t, (t, 1), 1) = (t0, x0, 1) = (t0, (t0,), 1) ( = 1), y según el TPK, para t t+(1) el punto (t, (t, 1), 1) sale ( = 1). Sea t2 t0 (t2 t+(1)) el primer valor al que llega el punto mencionado.

Por construcción, t2 (t0, t1). Nuestra tarea será mostrar que t2 = t1 bajo restricciones adicionales en. Sea ahora t3. Tenemos (para todos esos t3, todas las cantidades utilizadas a continuación están definidas por construcción):

(t3, 1)(t3,) = f (t, (t, 1), 1)f (t, (t,),) dt, Intentemos demostrar que este valor es menor que a en valor absoluto.

donde el integrando se evalúa de la siguiente manera:

±f (t, (t,),), en lugar de ±f (t, (t,),), ya que la diferencia |(t, 1) (t,)| simplemente no hay una estimación todavía, por lo que (t, (t, 1),) no está claro, pero para |1 | existe, y (t, (t,), 1) es conocido.

de modo que |(t3, 1)(t3,)| K|(t, 1)(t,)|+(|1|) dt.

Así, la función (t3) = |(t3, 1) (t3,)| (esta es una función continua) satisface las condiciones del lema de Gronwall con A(s) K 0, B(s) (|1 |), T = t2, = 0, por lo que con este lema obtenemos [Esta estimación debe mantenerse en mente en todo momento! ] si tomamos |1 | 1 (t1). Supondremos que 1(t1) b. Todo nuestro razonamiento es correcto para todo t3.

Por lo tanto, con tal elección de 1, cuando t3 = t2, todavía |(t2, 1) (t2,)| a, así como |1 | b. Por lo tanto, (t2, (t2, 1), 1) solo es posible debido al hecho de que t2 = t1. Pero esto significa, en particular, que (t, 1) se define en todo el intervalo , es decir, t1 t+(1), y todos los puntos de la forma (t, 1) G si t , |1 | 1 (t1).

Es decir, aunque t+ depende de, pero el segmento permanece a la izquierda de t+() suficientemente cerca de En la Figura De manera similar, en t t0, se muestra la existencia de los números t4 t0 y 2(t4). Si t t0, entonces el punto (t,) B(, 1) G, de manera similar para t t0, y si t = t0, entonces ambos casos son aplicables, de modo que (t0,) B(, 3) G, donde 3 = mín (12). Es importante que para un (t,) fijo uno puede encontrar t1(t,) tal que t1 t 0 (o t4, respectivamente), y 1(t1) = 1(t,) 0 (o 2, respectivamente), de modo que la elección de 0 = 0(t,) es clara (dado que una bola puede inscribirse en la vecindad cilíndrica resultante).

de hecho, se ha demostrado una propiedad más sutil: si un IS se define en un cierto intervalo, entonces todos los IS con parámetros suficientemente cercanos se definen en él (es decir,

todos los HP ligeramente perturbados). Sin embargo, y viceversa, esta propiedad se sigue de la apertura de G, como se verá a continuación, por lo que son formulaciones equivalentes.

Por lo tanto, hemos probado el punto 1.

Si estamos en el cilindro especificado en el espacio, entonces la estimación es verdadera para |1 | 4(, t,). Al mismo tiempo |(t3,) (t,)| para |t3 t| 5(, t,) debido a la continuidad en t. Como resultado, para (t3, 1) B((t,),) tenemos |(t3, 1) (t,)|, donde = min(4, 5). Este es el punto 2.

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"PERO. A. Yamashkin V. V. Ruzhenkov Al. A. Yamashkin GEOGRAFÍA DE LA REPÚBLICA DE MORDOVIA Libro de texto CASA DE EDICIONES DE SARANSK DE LA UNIVERSIDAD DE MORDOVIA 2004 UDC 91 (075) (470.345) LBC D9(2P351–6Mo) Ya549 Revisores: Departamento de Geografía Física de la Universidad Pedagógica Estatal de Voronezh; Doctor en Geografía Profesor A. M. Nosonov; profesor del complejo escolar No. 39 de Saransk A. V. Leontiev Publicado por decisión del consejo educativo y metodológico de la facultad de formación preuniversitaria y secundaria ... "

Este curso de conferencias se ha impartido durante más de 10 años para estudiantes de matemáticas teóricas y aplicadas en la Universidad Estatal del Lejano Oriente. Corresponde al estándar de II generación para estas especialidades. Recomendado para estudiantes y licenciados de especialidades matemáticas.

Teorema de Cauchy sobre la existencia y unicidad de una solución al problema de Cauchy para una ecuación de primer orden.
En esta sección, al imponer ciertas restricciones en el lado derecho de la ecuación diferencial de primer orden, probaremos la existencia y unicidad de una solución determinada por los datos iniciales (x0,y0). La primera prueba de la existencia de una solución a las ecuaciones diferenciales se debe a Cauchy; la siguiente prueba la da Picard; se produce utilizando el método de aproximaciones sucesivas.

TABLA DE CONTENIDO
1. Ecuaciones de primer orden
1.0. Introducción
1.1. Ecuaciones de variables separables
1.2. Ecuaciones homogéneas
1.3. Ecuaciones homogéneas generalizadas
1.4. Ecuaciones lineales de primer orden y sus reducciones
1.5. Ecuación de Bernoulli
1.6. Ecuación de Riccati
1.7. Ecuación en diferenciales totales
1.8. factor integrante Los casos más simples de encontrar el factor de integración.
1.9. Ecuaciones no resueltas con respecto a la derivada
1.10. Teorema de Cauchy sobre la existencia y unicidad de una solución al problema de Cauchy para una ecuación de primer orden
1.11. puntos singulares
1.12. Soluciones especiales
2. Ecuaciones de órdenes superiores
2.1. Conceptos básicos y definiciones
2.2. Tipos de ecuaciones de orden n, resolubles en cuadraturas
2.3. Integrales intermedias. Ecuaciones que permiten reducciones en orden
3. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n
3.1. Conceptos básicos
3.2. Ecuaciones diferenciales homogéneas lineales de n-ésimo orden
3.3. Reduciendo el orden de una ecuación lineal homogénea
3.4. Ecuaciones lineales no homogéneas
3.5. Reduciendo el orden en una ecuación lineal no homogénea
4. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes
4.1. Ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes
4.2. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes
4.3. Ecuaciones lineales de segundo orden con soluciones oscilantes
4.4. Integración vía serie de potencias
5. Sistemas lineales
5.1. Sistemas heterogéneos y homogéneos. Algunas propiedades de las soluciones de los sistemas lineales
5.2. Condiciones necesarias y suficientes para la independencia lineal de k soluciones de un sistema homogéneo lineal
5.3. Existencia de una matriz fundamental. Construcción de una solución general de un sistema homogéneo lineal
5.4. Construcción de todo el conjunto de matrices fundamentales de un sistema homogéneo lineal
5.5. Sistemas heterogéneos. Construcción de una solución general por el método de variación de constantes arbitrarias
5.6. Sistemas homogéneos lineales con coeficientes constantes
5.7. Algunos datos de la teoría de funciones de matrices
5.8. Construcción de la matriz fundamental de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes en el caso general
5.9. Teorema de existencia y teoremas sobre propiedades funcionales de soluciones de sistemas normales de ecuaciones diferenciales de primer orden
6. Elementos de la teoría de la estabilidad
6.1
6.2. Los tipos más simples de puntos de descanso.
7. Ecuaciones en derivadas parciales de 1er orden
7.1. Ecuación diferencial parcial homogénea lineal de primer orden
7.2. Ecuación diferencial parcial lineal no homogénea de primer orden
7.3. Sistema de dos ecuaciones diferenciales parciales con 1 función desconocida
7.4. Ecuación de Pfaff
8. Variantes de tareas de control.
8.1. Prueba No. 1
8.2. Examen No. 2
8.3. Examen No. 3
8.4. Trabajo de prueba No. 4
8.5. Examen No. 5
8.6. Prueba No. 6
8.7. Trabajo de prueba No. 7
8.8. Trabajo de control número 8.

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