Tərif. Yan kənar- bu, bir bucağın piramidanın yuxarı hissəsində yerləşdiyi və əks tərəfinin əsas tərəfi (poliqon) ilə üst-üstə düşdüyü üçbucaqdır.
Tərif. Yan qabırğalar- bunlar yan üzlərin ümumi tərəfləridir. Piramidanın çoxbucaqlının bucaqları qədər kənarları var.
Tərif. Piramida hündürlüyü- bu, piramidanın yuxarısından bazasına endirilmiş perpendikulyardır.
Tərif. Apotem- bu, piramidanın yuxarısından bazanın yan tərəfinə endirilmiş piramidanın yan üzünə perpendikulyardır.
Tərif. Diaqonal bölmə- bu, piramidanın yuxarı hissəsindən və təməlin diaqonalından keçən bir təyyarə ilə bir hissəsidir.
Tərif. Düzgün piramidaəsasının nizamlı çoxbucaqlı olduğu və hündürlüyün əsasın mərkəzinə endiyi piramidadır.
Piramidanın həcmi və səthi
Düstur. Piramidanın həcmi baza sahəsi və hündürlüyü ilə:
Piramidanın xüsusiyyətləri
Bütün yan kənarlar bərabərdirsə, o zaman piramidanın əsası ətrafında bir dairə çəkilə bilər və təməlin mərkəzi dairənin mərkəzi ilə üst-üstə düşür. Həmçinin, yuxarıdan düşmüş bir perpendikulyar bazanın (dairə) mərkəzindən keçir.
Bütün yan kənarlar bərabərdirsə, onlar eyni açılarda bazanın müstəvisinə meyllidirlər.
Yan kənarlar, təməlin müstəvisi ilə bərabər bucaqlar meydana gətirdikdə və ya piramidanın əsasının ətrafında bir dairə təsvir edilə bildikdə bərabərdir.
Yan üzlər eyni bucaq altında təməl müstəvisinə meyllidirsə, o zaman piramidanın əsasına bir dairə yazıla bilər və piramidanın yuxarı hissəsi onun mərkəzində proyeksiya olunur.
Yan üzlər eyni bucaq altında baza müstəvisinə meyllidirsə, yan üzlərin apotemləri bərabərdir.
Adi piramidanın xassələri
1. Piramidanın yuxarı hissəsi təməlin bütün künclərindən bərabər məsafədə yerləşir.
2. Bütün yan kənarlar bərabərdir.
3. Bütün yan qabırğalar bazaya bərabər açılarda meyllidir.
4. Bütün yan üzlərin apotemləri bərabərdir.
5. Bütün yan üzlərin sahələri bərabərdir.
6. Bütün üzlər eyni dihedral (düz) bucaqlara malikdir.
7. Piramidanın ətrafında kürə təsvir edilə bilər. Haşiyələnmiş kürənin mərkəzi kənarların ortasından keçən perpendikulyarların kəsişmə nöqtəsi olacaqdır.
8. Piramidaya kürə yerləşdirə bilərsiniz. Yazılı kürənin mərkəzi kənar və əsas arasındakı bucaqdan çıxan bisektorların kəsişmə nöqtəsi olacaqdır.
9. Yazılı sferanın mərkəzi dairəvi kürənin mərkəzi ilə üst-üstə düşürsə, təpəsindəki müstəvi bucaqlarının cəmi π-ə bərabərdir və ya əksinə, bir bucaq π/n-ə bərabərdir, burada n ədəddir. piramidanın təməlindəki bucaqlar.
Piramida ilə kürə arasındakı əlaqə
Piramidanın ətrafında bir kürə təsvir edilə bilər, o zaman piramidanın təməlində bir dairə təsvir edilə bilən bir çoxüzlüdür (zəruri və kifayət qədər şərt). Kürənin mərkəzi piramidanın yan kənarlarının orta nöqtələrindən perpendikulyar keçən təyyarələrin kəsişmə nöqtəsi olacaqdır.
İstənilən üçbucaqlı və ya nizamlı piramidanın ətrafında sferanı təsvir etmək həmişə mümkündür.
Piramidanın daxili dihedral bucaqlarının bisektor müstəviləri bir nöqtədə kəsişirsə (zəruri və kifayət qədər şərt) bir kürə piramidaya daxil edilə bilər. Bu nöqtə sferanın mərkəzi olacaq.
Piramidanın konus ilə birləşməsi
Konusun zirvələri üst-üstə düşərsə və konus əsası piramidanın alt hissəsinə yazılmışsa, piramidaya yazıldığı deyilir.
Piramidanın apotemləri bir-birinə bərabər olarsa, konus piramidaya yazıla bilər.
Konusun təpələri üst-üstə düşürsə və konusun əsası piramidanın əsası ətrafında dairəvi olarsa, bir konus piramidanın ətrafına çəkilir.
Piramidanın bütün yan kənarları bir-birinə bərabər olarsa, bir konus bir piramida ətrafında təsvir edilə bilər.
Piramida və silindr arasındakı əlaqə
Piramidanın yuxarı hissəsi silindrin bir əsasına, piramidanın əsası isə silindrin başqa bir əsasına yazılmışdırsa, piramida silindrə yazılmış adlanır.
Piramidanın əsasının ətrafında bir dairə təsvir edilə bilərsə, silindr bir piramidanın ətrafında təsvir edilə bilər.
Tetraedrin dörd üzü, dörd təpəsi və altı kənarı var, burada hər iki kənarın ümumi təpələri yoxdur, lakin toxunmur.
Hər bir təpə üç üzdən və meydana gələn kənarlardan ibarətdir üçbucaqlı bucaq.
Tetraedrin təpəsini əks üzün mərkəzi ilə birləşdirən seqment deyilir tetraedrin medianı(GM).
Bimedian toxunmayan əks kənarların orta nöqtələrini birləşdirən seqment adlanır (KL).
Tetraedrin bütün bimedianları və medianları bir nöqtədə (S) kəsişir. Bu zaman bimedianlar yarıya bölünür, medianlar isə yuxarıdan başlayaraq 3:1 nisbətində bölünür.
Tərif. Kəskin bucaqlı piramida- apotem əsas tərəfinin uzunluğunun yarısından çox olduğu piramida.
Tərif. Kütləvi piramida- apotem əsas tərəfinin uzunluğunun yarısından az olduğu piramida.
Tərif. Adi tetraedr- dörd üzün hamısının bərabərtərəfli üçbucaq olduğu tetraedr. Beş müntəzəm çoxbucaqlılardan biridir. Müntəzəm tetraedrdə bütün dihedral bucaqlar (üzlər arasında) və üçbucaqlı bucaqlar (təpəsində) bərabərdir.
Tərif. Düzbucaqlı tetraedr zirvədə üç kənar arasında düz bucaq olan (kənarları perpendikulyar olan) tetraedr adlanır. Üç üz formalaşır düzbucaqlı üçbucaqlı bucaq və üzləri düzbucaqlı üçbucaqlar, əsası isə ixtiyari üçbucaqdır. İstənilən sifətin apotemi apotem düşdüyü bazanın tərəfinin yarısına bərabərdir.
Tərif. İzohedral tetraedr yan üzləri bir-birinə bərabər olan tetraedr, əsası isə düzgün üçbucaq adlanır. Belə bir tetraedrin isosceles üçbucaqları olan üzləri var.
Tərif. Ortosentrik tetraedr yuxarıdan qarşı tərəfə endirilən bütün hündürlüklərin (perpendikulyarların) bir nöqtədə kəsişdiyi tetraedr adlanır.
Tərif. Ulduz piramidası bazası ulduz olan çoxüzlü adlanır.
piramidaçoxşaxəli fiqurdur, onun əsası çoxbucaqlıdır, qalan üzlər isə ümumi təpəsi olan üçbucaqlarla təmsil olunur.
Baza kvadratdırsa, o zaman piramida deyilir dördbucaqlı, əgər üçbucaq - onda üçbucaqlı. Piramidanın hündürlüyü onun yuxarı hissəsindən bazaya perpendikulyar şəkildə çəkilir. Sahəni hesablamaq üçün də istifadə olunur apotem– yuxarıdan endirilmiş yan üzün hündürlüyü.
Piramidanın yan səthinin sahəsinin düsturu onun yan üzlərinin bir-birinə bərabər olan sahələrinin cəmidir. Ancaq bu hesablama üsulu çox nadir hallarda istifadə olunur. Əsasən, piramidanın sahəsi təməlin perimetri və apotem vasitəsilə hesablanır:
Piramidanın yan səthinin sahəsini hesablamaq üçün bir nümunə nəzərdən keçirək.
Əsası ABCDE və zirvəsi F olan piramida verilsin.AB=BC=CD=DE=EA=3 sm.Apotem a = 5 sm.Piramidanın yan səthinin sahəsini tapın.
Gəlin perimetri tapaq. Bazanın bütün kənarları bərabər olduğundan, beşbucağın perimetri bərabər olacaq:
İndi piramidanın yan sahəsini tapa bilərsiniz: 
Daimi üçbucaqlı piramidanın sahəsi
Müntəzəm üçbucaqlı piramida nizamlı üçbucağın yerləşdiyi əsasdan və sahəsi bərabər olan üç yan üzdən ibarətdir.
Müntəzəm üçbucaqlı piramidanın yanal səthinin düsturu müxtəlif yollarla hesablana bilər. Perimetr və apotemdən istifadə edərək adi hesablama düsturunu tətbiq edə bilərsiniz və ya bir üzün sahəsini tapıb üçə vura bilərsiniz. Piramidanın üzü üçbucaq olduğundan, üçbucağın sahəsi üçün düstur tətbiq edirik. Bunun üçün bir apotem və bazanın uzunluğu tələb olunacaq. Müntəzəm üçbucaqlı piramidanın yanal səthinin sahəsini hesablamaq nümunəsini nəzərdən keçirək.
Apotem a = 4 sm və əsas üzü b = 2 sm olan piramida verilmişdir.Piramidanın yan səthinin sahəsini tapın.
Əvvəlcə yan üzlərdən birinin sahəsini tapın. Bu halda belə olacaq:
Dəyərləri düsturla əvəz edin: 
Adi bir piramidada bütün tərəflər eyni olduğundan, piramidanın yan səthinin sahəsi üç üzün sahələrinin cəminə bərabər olacaqdır. Müvafiq olaraq: 
Kəsilmiş piramidanın sahəsi
Kəsilmiş Piramida, bir piramidadan və onun kəsişməsinin əsasına paralel olan çoxüzlüdür.
Kəsilmiş piramidanın yanal səthinin düsturu çox sadədir. Sahə əsasların və apotemlərin perimetrlərinin cəminin yarısının hasilinə bərabərdir: 
Kəsilmiş piramidanın yanal səthinin sahəsini hesablamaq nümunəsini nəzərdən keçirək.
Müntəzəm dördbucaqlı piramida verilmişdir. Əsasının uzunluqları b = 5 sm, c = 3 sm Apotem a = 4 sm. Fiqurun yan səthinin sahəsini tapın.
Əvvəlcə əsasların perimetrini tapaq. Daha böyük əsasda bu bərabər olacaq: 
Daha kiçik bir bazada: 
Sahəni hesablayaq:
Üçbucaqlı piramidaəsası düzgün üçbucaq olan çoxüzlüdür.
Belə bir piramidada bazanın kənarları və tərəflərin kənarları bir-birinə bərabərdir. Müvafiq olaraq, yan üzlərin sahəsi üç eyni üçbucağın sahələrinin cəmindən tapılır. Düsturdan istifadə edərək müntəzəm piramidanın yanal səthinin sahəsini tapa bilərsiniz. Və hesablamanı bir neçə dəfə daha sürətli edə bilərsiniz. Bunu etmək üçün üçbucaqlı piramidanın yan səthinin sahəsi üçün düstur tətbiq etməlisiniz:
burada p - bütün tərəfləri b-yə bərabər olan əsasın perimetri, a yuxarıdan bu bazaya endirilmiş apotemdir. Üçbucaqlı bir piramidanın sahəsinin hesablanması nümunəsini nəzərdən keçirək.
Məsələ: Daimi piramida verilsin. Üçbucağın bünövrəsindəki tərəfi b = 4 sm. Piramidanın apotemi a = 7 sm-dir. Piramidanın yan səthinin sahəsini tapın.
Problemin şərtlərinə görə, bütün lazımi elementlərin uzunluqlarını bildiyimiz üçün perimetri tapacağıq. Xatırlayırıq ki, müntəzəm üçbucaqda bütün tərəflər bərabərdir və buna görə də perimetr düsturla hesablanır:
Verilənləri əvəz edək və dəyəri tapaq:
İndi perimetri bilməklə yanal səth sahəsini hesablaya bilərik: 
Tam dəyəri hesablamaq üçün üçbucaqlı piramidanın sahəsi üçün düstur tətbiq etmək üçün polihedronun əsasının sahəsini tapmaq lazımdır. Bunu etmək üçün formuladan istifadə edin: 
Üçbucaqlı bir piramidanın əsasının sahəsi üçün düstur fərqli ola bilər. Müəyyən bir rəqəm üçün parametrlərin istənilən hesablanmasından istifadə etmək mümkündür, lakin çox vaxt bu tələb olunmur. Üçbucaqlı bir piramidanın təməlinin sahəsini hesablamaq nümunəsini nəzərdən keçirək.
Məsələ: Müntəzəm piramidada üçbucağın bünövrədəki tərəfi a = 6 sm-dir.Əsas sahəsini hesablayın.
Hesablamaq üçün bizə yalnız piramidanın təməlində yerləşən müntəzəm üçbucağın tərəfinin uzunluğu lazımdır. Verilənləri düsturla əvəz edək: 
Tez-tez bir polihedronun ümumi sahəsini tapmaq lazımdır. Bunu etmək üçün yan səthin və bazanın sahəsini əlavə etməlisiniz. 
Üçbucaqlı bir piramidanın sahəsinin hesablanması nümunəsini nəzərdən keçirək.
Məsələ: Düzgün üçbucaqlı piramida verilsin. Əsas tərəfi b = 4 sm, apotem a = 6 sm. Piramidanın ümumi sahəsini tapın.
Əvvəlcə artıq məlum olan düsturdan istifadə edərək yanal səthin sahəsini tapaq. Perimetri hesablayaq:
Verilənləri düsturla əvəz edin: 
İndi bazanın sahəsini tapaq: 
Baza və yan səthin sahəsini bilməklə, piramidanın ümumi sahəsini tapırıq: 
Müntəzəm bir piramidanın sahəsini hesablayarkən, əsasın müntəzəm üçbucaq olduğunu və bu polihedronun bir çox elementinin bir-birinə bərabər olduğunu unutmamalısınız.
Piramidanın səth sahəsi. Bu yazıda adi piramidalarla bağlı problemlərə baxacağıq. Nəzərinizə çatdırım ki, nizamlı piramida əsası düzgün çoxbucaqlı olan piramidadır, piramidanın üstü bu çoxbucağın mərkəzinə proyeksiya edilir.
Belə bir piramidanın yan üzü ikitərəfli üçbucaqdır.Normal piramidanın təpəsindən çəkilmiş bu üçbucağın hündürlüyü apothem, SF - apothem adlanır:
Aşağıda təqdim olunan problem növündə bütün piramidanın səth sahəsini və ya onun yan səthinin sahəsini tapmaq lazımdır. Bloq artıq adi piramidalarla bağlı bir neçə problemi müzakirə etdi, burada sual elementləri (hündürlük, əsas kənar, yan kənar) tapmaqla bağlı idi.
Vahid Dövlət İmtahan tapşırıqları adətən müntəzəm üçbucaqlı, dördbucaqlı və altıbucaqlı piramidaları yoxlayır. Adi beşbucaqlı və yeddibucaqlı piramidalarla bağlı heç bir problem görmədim.
Bütün səthin sahəsi üçün düstur sadədir - piramidanın əsasının və yan səthinin sahəsinin cəmini tapmaq lazımdır:
Tapşırıqları nəzərdən keçirək:
Düzgün dördbucaqlı piramidanın əsasının tərəfləri 72, yan kənarları 164-dür. Bu piramidanın səth sahəsini tapın.
Piramidanın səth sahəsi yan səthin və əsasın sahələrinin cəminə bərabərdir:
*Yan səthi bərabər sahəyə malik dörd üçbucaqdan ibarətdir. Piramidanın əsası kvadratdır.
Piramidanın tərəfinin sahəsini hesablaya bilərik:
Beləliklə, piramidanın səth sahəsi:
Cavab: 28224
Düzgün altıbucaqlı piramidanın əsasının tərəfləri 22-yə, yan kənarları 61-ə bərabərdir. Bu piramidanın yan səthinin sahəsini tapın.
Düzgün altıbucaqlı piramidanın əsası müntəzəm altıbucaqlıdır.
Bu piramidanın yan səth sahəsi tərəfləri 61,61 və 22 olan bərabər üçbucaqların altı sahəsindən ibarətdir:
Heron düsturundan istifadə edərək üçbucağın sahəsini tapaq:
Beləliklə, yanal səth sahəsi:
Cavab: 3240
*Yuxarıda təqdim olunan məsələlərdə yan üzün sahəsini başqa üçbucaq düsturundan istifadə etməklə tapmaq olar, lakin bunun üçün apotemi hesablamaq lazımdır.
27155. Əsas tərəfləri 6, hündürlüyü 4 olan müntəzəm dördbucaqlı piramidanın səthinin sahəsini tapın.
Piramidanın səth sahəsini tapmaq üçün təməlin sahəsini və yan səthinin sahəsini bilməliyik:
Bazanın sahəsi 36-dır, çünki tərəfi 6 olan bir kvadratdır.
Yan səth bərabər üçbucaqlar olan dörd üzdən ibarətdir. Belə bir üçbucağın sahəsini tapmaq üçün onun əsasını və hündürlüyünü (apotem) bilmək lazımdır:
*Üçbucağın sahəsi təməlin və bu bazaya çəkilən hündürlüyün məhsulunun yarısına bərabərdir.
Baza məlumdur, altıya bərabərdir. Hündürlüyü tapaq. Düzgün üçbucağı nəzərdən keçirin (sarı ilə vurğulanmış):
Bir ayaq 4-ə bərabərdir, çünki bu, piramidanın hündürlüyü, digəri isə 3-ə bərabərdir, çünki təməlin kənarının yarısına bərabərdir. Pifaqor teoremindən istifadə edərək hipotenuzanı tapa bilərik:
Bu o deməkdir ki, piramidanın yan səthinin sahəsi:
Beləliklə, bütün piramidanın səth sahəsi:
Cavab: 96
27069. Düzgün dördbucaqlı piramidanın bünövrəsinin tərəfləri 10-a, yan kənarları 13-ə bərabərdir. Bu piramidanın səth sahəsini tapın.
27070. Düzgün altıbucaqlı piramidanın əsasının tərəfləri 10-a, yan kənarları 13-ə bərabərdir. Bu piramidanın yan səthinin sahəsini tapın.
Adi bir piramidanın yanal səthinin sahəsi üçün də düsturlar var. Adi bir piramidada əsas yan səthin ortoqonal proyeksiyasıdır, buna görə də:
P- baza perimetri, l- piramidanın apothemi
*Bu düstur üçbucağın sahəsinin düsturuna əsaslanır.
Bu düsturların necə əldə edildiyi haqqında daha çox öyrənmək istəyirsinizsə, bunu qaçırmayın, məqalələrin dərcini izləyin.Hamısı budur. Sənə uğurlar!
Hörmətlə, Aleksandr Krutitskix.
P.S: Sosial şəbəkələrdə sayt haqqında məlumat versəniz minnətdar olaram.
