Qonşu və şaquli açılar. Perpendikulyar xətlər. Qonşu bucaqlar hansılardır? Qonşu bucaqlar həmişə bərabərdir

1. Qonşu bucaqlar.

Hər hansı bucağın tərəfini onun təpəsindən kənara uzatsaq, iki bucaq alarıq (şək. 72): ∠ABC və ∠CBD, burada bir BC tərəfi ümumi, digər ikisi AB və BD düz xətt təşkil edir.

Bir tərəfinin ortaq, digər ikisinin isə düz xətt təşkil etdiyi iki bucaq bitişik bucaq adlanır.

Qonşu bucaqları da bu yolla əldə etmək olar: əgər xəttin hansısa nöqtəsindən şüa çəksək (verilmiş xətt üzərində deyil), bitişik bucaqlar alacağıq.

Məsələn, ∠ADF və ∠FDB bitişik bucaqlardır (şək. 73).

Qonşu bucaqlar müxtəlif mövqelərə malik ola bilər (şək. 74).

Qonşu bucaqlar düz bucağa qədər toplanır, belə ki iki bitişik bucağın cəmi 180°-dir

Beləliklə, düz bucaq qonşu bucağına bərabər olan bucaq kimi müəyyən edilə bilər.

Qonşu bucaqlardan birinin ölçüsünü bilməklə, ona bitişik olan digər bucağın ölçüsünü tapa bilərik.

Məsələn, bitişik bucaqlardan biri 54°-dirsə, ikinci bucaq bərabər olacaq:

180° - 54° = l26°.

2. Şaquli bucaqlar.

Bucağın tərəflərini onun təpəsindən kənara uzatsaq, şaquli bucaqlar alırıq. Şəkil 75-də EOF və AOC bucaqları şaquli; AOE və COF bucaqları da şaqulidir.

Bir bucağın tərəfləri digər bucağın tərəflərinin davamıdırsa, iki bucaq şaquli adlanır.

∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° olsun(şək. 76). Ona bitişik ∠2 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, yəni 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°-ə bərabər olacaq.

Eyni şəkildə, siz ∠3 və ∠4-ün nəyə bərabər olduğunu hesablaya bilərsiniz.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (Şəkil 77).

∠1 = ∠3 və ∠2 = ∠4 olduğunu görürük.

Daha bir neçə eyni problemi həll edə bilərsiniz və hər dəfə eyni nəticəni əldə edəcəksiniz: şaquli bucaqlar bir-birinə bərabərdir.

Bununla belə, şaquli bucaqların həmişə bir-birinə bərabər olduğundan əmin olmaq üçün fərdi ədədi nümunələri nəzərdən keçirmək kifayət deyil, çünki müəyyən nümunələrdən çıxarılan nəticələr bəzən səhv ola bilər.

Şaquli bucaqların xassələrinin doğruluğunu isbatla yoxlamaq lazımdır.

Sübut aşağıdakı kimi həyata keçirilə bilər (Şəkil 78):

∠a+∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(bitişik bucaqların cəmi 180° olduğundan).

∠a+∠c = ∠b+∠c

(çünki bu bərabərliyin sol tərəfi 180°-yə, sağ tərəfi də 180°-yə bərabərdir).

Bu bərabərlik eyni bucağı ehtiva edir ilə.

Bərabər miqdarlardan bərabər məbləğləri çıxarsaq, bərabər məbləğlər qalacaq. Nəticə belə olacaq: ∠a = ∠b, yəni şaquli bucaqlar bir-birinə bərabərdir.

3. Ümumi təpəsi olan bucaqların cəmi.

79-cu cizgidə ∠1, ∠2, ∠3 və ∠4 xəttin bir tərəfində yerləşir və bu xəttdə ümumi təpəyə malikdir. Ümumilikdə, bu bucaqlar düz bucaq təşkil edir, yəni.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Şəkil 80-də ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 və ∠5 ümumi təpəyə malikdir. Bu bucaqların toplanması tam bucağa bərabərdir, yəni ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Eyni düz xətt üzərində yerləşən və eyni təpəyə malik olan iki bucaq bitişik adlanır.

Əks halda, əgər bir düz xətt üzrə iki bucağın cəmi 180 dərəcəyə bərabərdirsə və onların bir ümumi tərəfi varsa, bunlar qonşu bucaqlardır.

1 bitişik bucaq + 1 bitişik bucaq = 180 dərəcə.

Qonşu bucaqlar bir tərəfin ümumi olduğu, digər iki tərəfin isə ümumiyyətlə düz xətt təşkil etdiyi iki bucaqdır.

İki bitişik bucağın cəmi həmişə 180 dərəcədir. Məsələn, bir bucaq 60 dərəcədirsə, ikincisi mütləq 120 dərəcəyə (180-60) bərabər olacaqdır.

AOC və BOC bucaqları bitişik bucaqlardır, çünki qonşu bucaqların xüsusiyyətləri üçün bütün şərtlər yerinə yetirilir:

1.OS - iki küncün ümumi tərəfi

2.AO - künc AOS tərəfi, OB - künc BOS tərəfi. Bu tərəflər birlikdə AOB düz xəttini əmələ gətirir.

3. İki bucaq var və onların cəmi 180 dərəcədir.

Məktəb həndəsə kursunu xatırlayaraq, bitişik açılar haqqında aşağıdakıları deyə bilərik:

bitişik bucaqların bir ümumi tərəfi var, digər iki tərəfi isə eyni düz xəttə aiddir, yəni eyni düz xətt üzərindədir. Əgər rəqəmə görə, SOB və BOA bucaqları bitişik bucaqlardır, onların cəmi həmişə 180-ə bərabərdir, çünki düz bucağı bölürlər, düz bucaq isə həmişə 180-ə bərabərdir.



Bitişik bucaqlar həndəsədə asan bir anlayışdır. Bitişik açılar, bir bucaq və bir bucaq, 180 dərəcəyə qədər əlavə edin.

İki bitişik bucaq bir açılmış bucaq olacaq.

Daha bir neçə mülk var. Qonşu bucaqlarla problemləri həll etmək və teoremləri sübut etmək asandır.

Qonşu bucaqlar düz xəttin ixtiyari nöqtəsindən şüa çəkməklə əmələ gəlir. Sonra bu ixtiyari nöqtə bucağın təpəsi olur, şüa qonşu bucaqların ümumi tərəfi olur və şüanın çəkildiyi düz xətt bitişik bucaqların qalan iki tərəfi olur. Bitişik bucaqlar perpendikulyar halda eyni ola bilər və ya meylli şüa vəziyyətində fərqli ola bilər. Bitişik bucaqların cəminin 180 dərəcəyə və ya sadəcə bir düz xəttə bərabər olduğunu başa düşmək asandır. Başqa bir şəkildə, bu bucağı sadə bir nümunə ilə izah etmək olar - əvvəlcə düz bir istiqamətdə bir istiqamətdə getdiniz, sonra fikrinizi dəyişdiniz, geri qayıtmaq qərarına gəldiniz və 180 dərəcə dönərək, əks istiqamətdə eyni düz xətt boyunca yola çıxdınız. istiqamət.



Beləliklə, qonşu bucaq nədir? Tərif:

Ümumi təpəsi və bir ümumi tərəfi olan iki bucaq bitişik adlanır və bu bucaqların digər iki tərəfi eyni düz xətt üzərində yerləşir.



Və bitişik bucaqlar, şaquli bucaqlar, üstəlik, bitişik və şaquli bucaqların xüsusi halı olan perpendikulyar xətlər haqqında həssas şəkildə göstərən qısa video dərsi

Qonşu bucaqlar bir tərəfinin ümumi, digərinin isə bir xətt olduğu bucaqlardır.

Qonşu bucaqlar bir-birindən asılı olan bucaqlardır. Yəni ümumi tərəf bir az fırlanırsa, bir bucaq bir neçə dərəcə azalacaq və avtomatik olaraq ikinci bucaq eyni sayda dərəcə artacaq. Qonşu bucaqların bu xassəsi həndəsədə müxtəlif məsələləri həll etməyə və müxtəlif teoremlərin sübutlarını həyata keçirməyə imkan verir.

Qonşu bucaqların ümumi cəmi həmişə 180 dərəcədir.



Həndəsə kursundan, (6-cı sinifdə xatırladığım qədər) iki bucaq bitişik adlanır, bir tərəfi ortaq, digər tərəfləri isə əlavə şüalardır, bitişik bucaqların cəmi 180. İkisinin hər biri bitişik bucaqlar digərini genişləndirilmiş bucaqla tamamlayır. Qonşu bucaqların nümunəsi:



Qonşu bucaqlar, tərəflərindən biri ortaq, qalan tərəfləri isə eyni düz xətt üzərində yerləşən (üst-üstə düşməyən) ümumi təpəsi olan iki bucaqdır. Qonşu bucaqların cəmi yüz səksən dərəcədir. Ümumiyyətlə, bütün bunları Google-da və ya həndəsə dərsliyində tapmaq çox asandır.

Ortaq təpəsi və bir tərəfi varsa, digər iki tərəfi isə düz xətt təşkil edərsə, iki bucaq bitişik adlanır. Qonşu bucaqların cəmi 180 dərəcədir.



Şəkildə AOB və BOC bucaqları bitişikdir.



Qonşu bucaqlar ümumi təpəsi, bir ümumi tərəfi, digər tərəfləri isə bir-birinin davamı olan və uzadılmış bucaq əmələ gətirənlərdir. Qonşu bucaqların diqqətəlayiq xüsusiyyəti, bu bucaqların cəminin həmişə 180 dərəcəyə bərabər olmasıdır.

Həndəsədə ümumi təpəsi və bir ümumi tərəfi olan bucaqlar bitişik adlanır

Qonşu bucaqların cəmidir 180 dərəcə

Qeyd etmək lazımdır ki, bitişik açılar bərabər sinuslara malikdir

Qonşu bucaqlar haqqında daha çox öyrənmək üçün burada oxuyun

Hər bir bucağın ölçüsündən asılı olaraq öz adı var:

Bucaq növü	Dərəcə ilə ölçü	Misal
ədviyyatlı	90°-dən azdır
Düz	90°-yə bərabərdir. Rəsmdə düz bucaq adətən bucağın bir tərəfindən digərinə çəkilmiş simvolla işarələnir.
Küt	90°-dən çox, lakin 180°-dən az
Genişləndirilmiş	180°-yə bərabərdir Düz bucaq iki düz bucağın cəminə bərabərdir, düz bucaq isə düz bucağın yarısıdır.
qabarıq	180°-dən çox, lakin 360°-dən az
Tam	360°-yə bərabərdir

İki bucaq deyilir bitişik, əgər onların bir tərəfi ortaqdırsa və digər iki tərəfi düz xətt təşkil edirsə:

Bucaqlar MOP Və PON bitişik, tirdən bəri OP- ümumi tərəf və digər iki tərəf - OM Və ON düz xətt təşkil edin.

Qonşu bucaqların ümumi tərəfi deyilir düzə maili, digər iki tərəfin yatdığı, yalnız bitişik bucaqların bir-birinə bərabər olmadığı halda. Qonşu bucaqlar bərabərdirsə, onların ümumi tərəfi olacaqdır perpendikulyar.

Qonşu bucaqların cəmi 180°-dir.

İki bucaq deyilir şaquli, əgər bir bucağın tərəfləri digər bucağın tərəflərini düz xətlərə tamamlayırsa:

1 və 3 bucaqları, həmçinin 2 və 4 bucaqları şaqulidir.

Şaquli açılar bərabərdir.

Şaquli bucaqların bərabər olduğunu sübut edək:

∠1 və ∠2 cəmi düz bucaqdır. Və ∠3 və ∠2 cəmi düz bucaqdır. Beləliklə, bu iki məbləğ bərabərdir:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

Bu bərabərlikdə solda və sağda eyni termin var - ∠2. Sol və sağdakı bu termin buraxılsa bərabərlik pozulmayacaq. Sonra alırıq.

Bitişik bucağı necə tapmaq olar?

Riyaziyyat məktəblərdə, kolleclərdə, institutlarda və universitetlərdə məcburi olaraq öyrənilən ən qədim dəqiq elmdir. Ancaq əsas biliklər həmişə məktəbdə qoyulur. Bəzən uşağa kifayət qədər mürəkkəb tapşırıqlar verilir, lakin valideynlər kömək edə bilmirlər, çünki onlar sadəcə olaraq riyaziyyatdan bəzi şeyləri unudurlar. Məsələn, əsas bucağın ölçüsünə əsasən bitişik bucağı necə tapmaq olar və s. Problem sadədir, lakin hansı açıların bitişik adlandırıldığını və onları necə tapmaq lazım olduğunu bilməməsi səbəbindən həllində çətinliklər yarada bilər.

Qonşu bucaqların tərifinə və xassələrinə, eləcə də problemdəki məlumatlardan onların hesablanmasına daha yaxından nəzər salaq.

Qonşu bucaqların tərifi və xassələri

Bir nöqtədən çıxan iki şüa “müstəvi bucaq” adlanan fiqur əmələ gətirir. Bu halda bu nöqtə bucağın təpəsi adlanır, şüalar isə onun tərəfləridir. Şüalardan birini başlanğıc nöqtəsindən kənarda düz bir xəttdə davam etdirsəniz, bitişik adlanan başqa bir bucaq yaranır. Bu vəziyyətdə hər bir bucağın iki bitişik bucağı var, çünki bucağın tərəfləri ekvivalentdir. Yəni həmişə 180 dərəcə bitişik bucaq var.

Qonşu bucaqların əsas xüsusiyyətlərinə daxildir

• Bitişik açılar ümumi təpəyə və bir tərəfə malikdir;
• Qonşu bucaqların cəmi həmişə 180 dərəcəyə və ya hesablama radyanla aparılarsa Pi sayına bərabərdir;
• Qonşu bucaqların sinusları həmişə bərabərdir;
• Qonşu bucaqların kosinusları və tangensləri bərabərdir, lakin əks işarələrə malikdir.

Qonşu açıları necə tapmaq olar

Qonşu bucaqların böyüklüyünü tapmaq üçün adətən üç variantda problem verilir

• Əsas bucağın qiyməti verilir;
• Əsas və bitişik bucağın nisbəti verilir;
• Şaquli bucağın qiyməti verilir.

Problemin hər bir versiyasının öz həlli var. Gəlin onlara baxaq.

Əsas bucağın qiyməti verilir

Əgər problem əsas bucağın qiymətini müəyyən edirsə, ona bitişik bucağı tapmaq çox sadədir. Bunu etmək üçün əsas bucağın dəyərini 180 dərəcədən çıxarmaq kifayətdir və bitişik bucağın qiymətini alacaqsınız. Bu həll bitişik bucağın mülkiyyətinə əsaslanır - bitişik bucaqların cəmi həmişə 180 dərəcəyə bərabərdir.

Əgər əsas bucağın qiyməti radyanla verilirsə və problem radyanla bitişik bucağı tapmağı tələb edirsə, onda Pi sayından əsas bucağın qiymətini çıxmaq lazımdır, çünki tam açılmış bucağın qiyməti 180 dərəcədir. Pi sayına bərabərdir.

Əsas və bitişik bucağın nisbəti verilir

Problem əsas bucağın dərəcələri və radianları əvəzinə əsas və bitişik bucaqların nisbətini verə bilər. Bu vəziyyətdə həll nisbət tənliyinə bənzəyəcək:

1. Əsas bucağın nisbətini “Y” dəyişəni kimi qeyd edirik.
2. Qonşu bucaqla əlaqəli kəsr “X” dəyişəni kimi qeyd olunur.
3. Hər bir nisbətə düşən dərəcələrin sayı, məsələn, “a” ilə işarələnəcəkdir.
4. Ümumi düstur belə görünəcək - a*X+a*Y=180 və ya a*(X+Y)=180.
5. a=180/(X+Y) düsturundan istifadə etməklə “a” tənliyinin ümumi amilini tapırıq.
6. Sonra ümumi “a” amilinin nəticə dəyərini müəyyən edilməli olan bucağın hissəsinə vururuq.

Bu yolla bitişik bucağın qiymətini dərəcə ilə tapa bilərik. Bununla belə, radyanlarda bir dəyər tapmaq lazımdırsa, o zaman sadəcə dərəcələri radianlara çevirməlisiniz. Bunu etmək üçün bucağı dərəcələrlə Pi ilə vurun və hər şeyi 180 dərəcəyə bölün. Nəticə dəyər radyanlarda olacaq.

Şaquli bucağın qiyməti verilir

Məsələ əsas bucağın qiymətini vermirsə, lakin şaquli bucağın qiyməti verilirsə, əsas bucağın qiymətinin verildiyi birinci abzasda olduğu kimi eyni düsturla bitişik bucaq hesablana bilər.

Şaquli bucaq əsas ilə eyni nöqtədən yaranan, lakin tam əks istiqamətə yönəldilmiş bucaqdır. Bunun nəticəsində güzgü görüntüsü yaranır. Bu o deməkdir ki, şaquli bucaq böyüklüyünə görə əsasa bərabərdir. Öz növbəsində, şaquli bucağın bitişik bucağı əsas bucağın bitişik bucağına bərabərdir. Bunun sayəsində əsas bucağın bitişik bucağı hesablana bilər. Bunu etmək üçün, sadəcə olaraq şaquli dəyəri 180 dərəcədən çıxarın və əsas bucağın bitişik bucağının qiymətini dərəcələrlə əldə edin.

Dəyər radyanla verilirsə, o zaman şaquli bucağın dəyərini Pi sayından çıxarmaq lazımdır, çünki 180 dərəcə tam açılmış bucağın dəyəri Pi sayına bərabərdir.

Faydalı məqalələrimizi də oxuya bilərsiniz və.

Həndəsə kursunu öyrənmək prosesində "bucaq", "şaquli bucaqlar", "bitişik bucaqlar" anlayışları tez-tez ortaya çıxır. Şərtlərin hər birini başa düşmək problemi anlamağa və düzgün həll etməyə kömək edəcəkdir. Qonşu bucaqlar nədir və onları necə təyin etmək olar?

Bitişik açılar - anlayışın tərifi

"Qonşu bucaqlar" termini ümumi şüanın yaratdığı iki bucağı və eyni düz xətt üzərində yerləşən iki əlavə yarımxətti xarakterizə edir. Hər üç şüa eyni nöqtədən çıxır. Ümumi yarımxətt eyni zamanda həm bir, həm də digər bucağın tərəfidir.

Bitişik açılar - əsas xüsusiyyətlər

1. Qonşu bucaqların tərtibinə əsaslanaraq, belə bucaqların cəminin həmişə dərəcə ölçüsü 180° olan tərs bucaq əmələ gətirdiyini görmək asandır:

• Əgər μ və η bitişik bucaqlardırsa, μ + η = 180°-dir.
• Qonşu bucaqlardan birinin (məsələn, μ) böyüklüyünü bilməklə, η = 180° – μ ifadəsindən istifadə edərək ikinci bucağın (η) dərəcə ölçüsünü asanlıqla hesablaya bilərsiniz.

2. Bucaqların bu xassəsi belə bir nəticə çıxarmağa imkan verir: düz bucağa bitişik olan bucaq da düzgün olacaqdır.

3. Triqonometrik funksiyaları (sin, cos, tg, ctg) nəzərə alsaq, qonşu μ və η bucaqları üçün reduksiya düsturlarına əsaslanaraq, aşağıdakılar doğrudur:

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Bitişik açılar - nümunələr

Misal 1

M, P, Q – ΔMPQ təpələri olan üçbucaq verilmişdir. ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM bucaqlarına bitişik bucaqları tapın.

• Üçbucağın hər tərəfini düz bir xəttlə uzataq.
• Qonşu bucaqların bir-birini tərs bucağa qədər tamamladığını bilərək, bunu öyrənirik:

∠QMP bucağına bitişik ∠LMP,

∠MPQ bucağına bitişik ∠SPQ,

∠PQM bucağına bitişik ∠HQP-dir.

Misal 2

Bir bitişik bucağın qiyməti 35°-dir. İkinci qonşu bucağın dərəcə ölçüsü nədir?

• İki bitişik bucaq 180°-ə qədər toplanır.
• Əgər ∠μ = 35°, ona bitişik ∠η = 180° – 35° = 145°.

Misal 3

Onlardan birinin dərəcə ölçüsünün digər bucağın dərəcə ölçüsündən üç dəfə böyük olduğu məlumdursa, qonşu bucaqların dəyərlərini təyin edin.

• Bir (kiçik) bucağın böyüklüyünü – ∠μ = λ ilə işarə edək.
• Onda məsələnin şərtlərinə görə ikinci bucağın qiyməti ∠η = 3λ-ə bərabər olacaqdır.
• Qonşu bucaqların əsas xassəsinə əsasən, μ + η = 180° əmələ gəlir

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Bu o deməkdir ki, birinci bucaq ∠μ = λ = 45°, ikinci bucaq isə ∠η = 3λ = 135°-dir.

Terminologiyadan istifadə etmək bacarığı, həmçinin bitişik bucaqların əsas xassələri haqqında biliklər bir çox həndəsi problemləri həll etməyə kömək edəcəkdir.