В этой статье мы поговорим про смешанные числа . Сначала дадим определение смешанных чисел и приведем примеры. Дальше остановимся на связи между смешанными числами и неправильными дробями. После этого покажем, как перевести смешанное число в неправильную дробь. Наконец, изучим обратный процесс, который называется выделением целой части из неправильной дроби.
Навигация по странице.
Смешанные числа, определение, примеры
Математики договорились, что сумму n+a/b , где n - натуральное число , a/b – правильная обыкновенная дробь , можно записывать без знака сложения в виде . Например, сумму 28+5/7 можно кратко записать как . Такую запись назвали смешанной, а число, которое соответствует данной смешанной записи, назвали смешанным числом.
Так мы подошли к определению смешанного числа.
Определение.
Смешанное число – это число, равное сумме натурального числа n и правильной обыкновенной дроби a/b , и записанное в виде . При этом число n называют целой частью числа , а число a/b называют дробной частью числа .
По определению смешанное число равно сумме свой целой и дробной части, то есть, справедливо равенство , которое можно записать и так: .
Приведем примеры смешанных чисел
. Число - это смешанное число, натуральное число 5
– целая часть числа , а - дробная часть числа . Другими примерами смешанных чисел являются 
.
Иногда можно встретить числа в смешанной записи, но имеющие дробной частью неправильную дробь, например, или . Эти числа понимают как сумму их целой и дробной части, например, 
и 
. Но такие числа не подходят под определение смешанного числа, так как дробной частью смешанных чисел должна быть правильная дробь.
Число - это тоже не смешанное число, так как 0 не натуральное число.
Связь между смешанными числами и неправильными дробями
Проследить связь между смешанными числами и неправильными дробями лучше всего на примерах.
Пусть на подносе лежит торт и еще 3/4 такого же торта. То есть, по смыслу сложения на подносе находится 1+3/4 торта. Записав последнюю сумму в виде смешанного числа, констатируем, что на подносе находится торта. Теперь целый торт разрежем на 4 равные доли. В результате на подносе окажется 7/4 торта. Понятно, что «количество» торта при этом не изменилось, поэтому .
Из рассмотренного примера явно видна такая связь: любое смешанное число можно представить в виде неправильной дроби .
А теперь пусть на подносе находятся 7/4 торта. Сложив из четырех долей целый торт, на подносе окажется 1+3/4 , то есть, торта. Отсюда видно, что .
Из этого примера понятно, что неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа . (В частном случае, когда числитель неправильной дроби делится нацело на знаменатель, неправильную дробь можно представить в виде натурального числа, например, , так как 8:4=2 ).
Перевод смешанного числа в неправильную дробь
Для выполнения различных действий со смешанными числами оказывается полезным навык представления смешанных чисел в виде неправильных дробей. В предыдущем пункте мы выяснили, что любое смешанное число можно перевести в неправильную дробь. Пришло время разобраться, как осуществляется такой перевод.
Запишем алгоритм, показывающий как перевести смешанное число в неправильную дробь :
Рассмотрим пример перевода смешанного числа в неправильную дробь.
Пример.
Представьте смешанное число в виде неправильной дроби.
Решение.
Выполним все необходимые шаги алгоритма.
Смешанное число равно сумме его целой и дробной части: .
Записав число 5 как 5/1 , последняя сумма примет вид .
Чтобы закончить перевод исходного смешанного числа в неправильную дробь, осталось выполнить сложение дробей с разными знаменателями : 
.
Краткая запись всего решения такова: 
.
Ответ:
Итак, чтобы осуществить перевод смешанного числа в неправильную дробь, нужно выполнить следующую цепочку действий: . В итоге получена 
, которую мы и будем использовать в дальнейшем.
Пример.
Запишите смешанное число в виде неправильной дроби.
Решение.
Воспользуемся формулой для перевода смешанного числа в неправильную дробь. В этом примере n=15
, a=2
, b=5
. Таким образом, 
.
Ответ:
Выделение целой части из неправильной дроби
В ответе не принято записывать неправильную дробь. Неправильную дробь предварительно заменяют либо равным ей натуральным числом (когда числитель делится нацело на знаменатель), либо проводят так называемое выделение целой части из неправильной дроби (когда числитель не делится нацело на знаменатель).
Определение.
Выделение целой части из неправильной дроби – это замена дроби равным ей смешанным числом.
Осталось узнать, как можно выделить целую часть из неправильной дроби.
Это очень просто: неправильная дробь a/b равна смешанному числу вида , где q - неполное частное, а r – остаток от деления a на b . То есть, целая часть равна неполному частному от деления a на b , а остаток равен числителю дробной части.
Докажем это утверждение.
Для этого достаточно показать, что . Переведем смешанное в неправильную дробь так, как мы это делали в предыдущем пункте: . Так как q – неполное частное, а r – остаток от деления a на b , то справедливо равенство a=b·q+r (при необходимости смотрите
При слове "дроби" у многих бегут мурашки. Потому что вспоминается школа и задания, которые решались на математике. Это являлось обязанностью, которую необходимо было выполнить. А что если относиться к заданиям, содержащим правильные и неправильные дроби, как к головоломке? Ведь многие взрослые решают цифровые и японские кроссворды. Разобрались в правилах, и все. Так же и здесь. Стоит только вникнуть в теорию - и все встанет на свои места. А примеры превратятся в способ потренировать мозг.
Какие виды дробей существуют?
Для начала о том, что это такое. Дробь — число, которое имеет некоторую часть от единицы. Ее можно записать в двух видах. Первый носит название обыкновенной. То есть такая, у которой есть горизонтальная или наклонная черта. Она приравнивается к знаку деления.
В такой записи число, стоящее над черточкой, называется числителем, а под ней — знаменателем.
Среди обыкновенных выделяют правильные и неправильные дроби. У первых числитель по модулю всегда меньше знаменателя. Неправильные потому так и называются, что у них все наоборот. Значение правильной дроби всегда меньше единицы. В то время как неправильная всегда больше этого числа.
Есть еще смешанные числа, то есть такие у которых имеются целая и дробная части.
Второй вид записи — десятичная дробь. О ней отдельный разговор.
Чем отличаются неправильные дроби от смешанных чисел?
По своей сути, ничем. Это просто разная запись одного и того же числа. Неправильные дроби после несложных действий легко становятся смешанными числами. И наоборот.
Все зависит от конкретной ситуации. Иногда в заданиях удобнее использовать неправильную дробь. А порой необходимо перевести ее в смешанное число и тогда пример решится очень легко. Поэтому, что использовать: неправильные дроби, смешанные числа, - зависит от наблюдательности решающего задачу.
Смешанное число еще сравнивают с суммой целой части и дробной. Причем вторая всегда меньше единицы.
Как представить смешанное число в виде неправильной дроби?
Если требуется выполнить какое-либо действие с несколькими числами, которые записаны в разных видах, то нужно сделать их одинаковыми. Один из методов — представить числа в виде неправильных дробей.
Для этой цели потребуется выполнить действия по такому алгоритму:
- умножить знаменатель на целую часть;
- прибавить к результату значение числителя;
- записать ответ над чертой;
- знаменатель оставить тем же.
Вот примеры того, как записать неправильные дроби из смешанных чисел:
- 17 ¼ = (17 х 4 + 1) : 4 = 69/4;
- 39 ½ = (39 х 2 + 1) : 2 = 79/2.
Как записать неправильную дробь в виде смешанного числа?
Следующий прием противоположен рассмотренному выше. То есть когда все смешанные числа заменяются на неправильные дроби. Алгоритм действий будет таким:
- разделить числитель на знаменатель до получения остатка;
- записать частное на месте целой части смешанного;
- остаток следует разместить над чертой;
- делитель будет знаменателем.
Примеры такого преобразования:
76/14; 76:14 = 5 с остатком 6; ответом будет 5 целых и 6/14; дробную часть в этом примере нужно сократить на 2, получится 3/7; итоговый ответ — 5 целых 3/7.
108/54; после деления получается частное 2 без остатка; это значит, что не все неправильные дроби удается представить в виде смешанного числа; ответом будет целое — 2.
Как целое число превратить в неправильную дробь?
Бывают ситуации, когда необходимо и такое действие. Чтобы получить неправильные дроби с заранее известным знаменателем, потребуется выполнить такой алгоритм:
- умножить целое число на нужный знаменатель;
- записать это значение над чертой;
- разместить под ней знаменатель.
Самый простой вариант, когда знаменатель равен единице. Тогда ничего умножать не нужно. Достаточно просто написать целое число, которое дано в примере, а под чертой расположить единицу.
Пример : 5 сделать неправильной дробью со знаменателем 3. После умножения 5 на 3 получается 15. Это число будет знаменателем. Ответ задания дробь: 15/3.
Два подхода к решению заданий с разными числами
В примере требуется вычислить сумму и разность, а также произведение и частное двух чисел: 2 целых 3/5 и 14/11.
В первом подходе смешанное число будет представлено в виде неправильной дроби.
После выполнения действий, описанных выше, получится такое значение: 13/5.
Для того чтобы узнать сумму, нужно привести дроби к одинаковому знаменателю. 13/5 после умножения на 11 станет 143/55. А 14/11 после умножения на 5 примет вид: 70/55. Для вычисления суммы нужно только сложить числители: 143 и 70, а потом записать ответ с одним знаменателем. 213/55 — эта неправильная дробь ответ задачи.
При нахождении разности эти же числа вычитаются: 143 - 70 = 73. Ответом будет дробь: 73/55.
При умножении 13/5 и 14/11 не нужно приводить к общему знаменателю. Достаточно перемножить попарно числители и знаменатели. Получится ответ: 182/55.
Так же и при делении. Для правильного решения нужно заменить деление на умножение и перевернуть делитель: 13/5: 14/11 = 13/5 х 11/14 = 143/70.
Во втором подходе неправильная дробь обращается в смешанное число.
После выполнения действий алгоритма 14/11 обратится в смешанное число с целой частью 1 и дробной 3/11.
Во время вычисления суммы нужно сложить целые и дробные части по отдельности. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Итоговый ответ получается 3 целых 48/55. В первом подходе была дробь 213/55. Проверить правильность можно, переведя его в смешанное число. После деления 213 на 55 получается частное 3 и остаток 48. Нетрудно заметить, что ответ правильный.
При вычитании знак «+» заменяется на «-». 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Для проверки ответ из предыдущего подхода нужно перевести в смешанное число: 73 делится на 55 и получается частное 1 и остаток 18.
Для нахождения произведения и частного пользоваться смешанными числами неудобно. Здесь всегда рекомендуется переходить к неправильным дробям.
Десятичные числа, такие как 0,2; 1,05; 3,017 и т.п. как слышатся, так и пишутся. Ноль целых две десятых, получаем дробь . Одна целая пять сотых, получаем дробь . Три целых семнадцать тысячных, получаем дробь . Цифры до запятой в десятичном числе - это целая часть дроби. Цифра после запятой - числитель будущей дроби. Если после запятой однозначное число - в знаменателе будет 10, если двухзначное - 100, трехзначное - 1000 и т.д. Некоторые полученные дроби можно сократить . В наших примерах 
Преобразование дроби в десятичное число
Это обратное предыдущему преобразованию. Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, или
Если дробь, например . В этом случае необходимо воспользоваться основным свойством дроби и преобразовать знаменатель до 10 или 100, или 1000 ... В нашем примере, если домножить числитель и знаменатель на 4, получим дробь , которую возможно записать в виде десятичного числа 0,12.
Некоторые дроби проще разделить, чем преобразовать знаменатель. Например,
Некоторые дроби невозможно преобразовать в десятичные числа!
Например,
Преобразование смешанной дроби в неправильную
Смешанную дробь, например , легко преобразовать в неправильную. Для этого необходимо целую часть умножить на знаменатель (низ) и сложить с числителем (верх), знаменатель (низ) оставить без изменения. То есть
При преобразовании смешанной дроби в неправильную, можно вспомнить, что Можно использовать сложение дробей
Преобразование неправильной дроби в смешанную (выделение целой части)
Неправильную дробь можно перевести в смешанную, выделив целую часть. Рассмотрим пример, . Определяем, сколько целых раз "3" вмещается в "23". Или 23 делим на 3 на калькуляторе, целое число до запятой - искомое. Это "7". Далее определяем числитель уже будущей дроби: полученную "7" умножаем на знаменатель "3" и из числителя "23" вычитаем полученное.
Как бы находим то лишнее, что остается от числителя "23", если изъять максимальное количество "3". Знаменатель оставляем без изменения. Все сделано, записываем результат
Инструкция
Найдите числитель результирующей дроби, который должен остаться после выделения из нее целой части. Для этого умножьте вычисленную целую часть (20) на знаменатель (23) и отнимите результат (20*23=460) от числителя исходной дроби (475). Эту операцию тоже можно проделать в уме, столбиком или с помощью калькулятора (475-460=15).
Соберите вычисленные данные в одну запись в форме смешанной дроби - сначала напишите целую часть (20), затем , потом поставьте правильную с числителем (15) и (23). Для использованного в качестве образца примера преобразование неправильной дроби в правильную (точнее - в смешанную) можно записать так: 475/23=20 15/23.
Часто приходится делить на части что-либо, и те части, на которые поделено целое, являются дробями. В математике существует несколько видов дробей: десятичные (0,1; 2,5 и так далее) и обыкновенные (1/3; 5/9; 67/89 и так далее). Именно обыкновенные дроби бывают правильными и неправильными.
Инструкция
Обыкновенная дробь называется правильной, если число, стоящее в ее числителе, меньше числа, стоящего в знаменателе. Сокращение дробей производится для работы с наименее большими числами.
Перевести неправильную дробь в правильную можно путем деления числителя такой дроби на знаменатель - таким образом мы получим правильную дробь. По другому неправильную дробь можно записать в виде простого десятичного числа.
неправильная дробь - дробь, у которой числитель больше знаменателя. правильная - та дробь, у которой, соответственно, числитель меньше знаменателя. неправильную дробь превратить в правильную никак нельзя, но зато ее можно представить в виде смешанного числа, состоящего из двух частей (одна часть будет целым числом, а другая - как раз правильной дробью).
например 5/2=2+1/2 (только пишут дробь обычно сразу после целого числа без знака плюс)
здесь нужно числитель неправильной дроби разделить на знаменатель. записываем целую часть от деления (в нашем случае 2). затем остаток от деления (то есть 1) записываем как числитель дроби, которую мы записываем рядом с двойкой.
Из школьного курса математики мы знаем. что неправильная дробь представляет собой дробь у которой числитель больше, чем ее знаменатель. Чтобы перевести ее в правильную дробь, нужно числитель такой дроби разделить на ее знаменатель. Все очень просто, таким образом она станет правильной, либо десятичной дробью.
Неправильная дробь например: 9/5 выделим у нее целую часть это будет: 1 4/5 теперь она немного похоже на правильную только с целой частью это единица.
Можно и превратить ее в десятичную дробь в нашем случае будет 1.8
Чтобы решить поставленную задачу, сначала нужно четко уяснить для себя, что такое правильная дробь, а что такое неправильная.
Начнем с того, что утверждение
верно далеко не для всех чисел на числовой оси.
числитель равен (-10), знаменатель равен (-4)
аналогичное утверждение
верно также не всегда
числитель равен 2, знаменатель равен (-3)
Неправильную дробь можно записать с помощью суммы целого числа и правильной дроби (смешанной дроби) и для этого нужно:
разделить числитель на знаменатель, полученное целое число записать в целой части, остаток в числителе, знаменатель оставить без изменений
в числителе (-15), в знаменателе 2, минус вынесем за пределы дроби - (15/2), 15 разделим на 2, целое число 7 ставим в целую часть дроби, остаток от деления 1 запишем в числителе, а знаменатель 2 оставим без изменений.
Для того чтобы преобразовать неправильную дробь в правильную для начала необходимо сказать:
У неправильной дроби числитель (верхнее число в дроби) больше знаменателя ил равна ему;
У правильной дроби все наоборот.
Процесс преобразования разберем на примере дроби 260/7:
1) Сначала делим 260 на 7, получаем число 37,14..
2) Число 37 будет стоять впереди дроби как целое число
3) Теперь 37 * 7 = 259
4) От числителя отнимаем получившееся число 260 - 259 = 1 - это число и будет в числители нашей правильной дроби.
5) При записи новой дроби знаменатель остается неизменной. В данном случае это 7. Правильная дробь будет выглядит следующим образом:
Проверка преобразованной дроби:
Целое число умножаем на знаменатель и прибавляем числитель 37 * 7 + 1 = 260.
Правильной дробью называется такая дробь, у которой знаменатель больше числителя. Это говорит о том, что эта дробь показывает какую-то часть целого. Например дробь 1/2 говорит о том что у нас есть половина например арбуза, а дробь 7/9 - что у нас осталось семь кусочков арбуза разрезанного на 9 частей. Две части кто-то съел.
Если же дробь неправильная, то есть числитель больше знаменателя, то совершенно непонятно, какая у нас часть целого, но разрезанного арбуза и сколько еще целых арбузов в наличии. Поэтому приходится перевести неправильную дробь в правильную. при этом мы получим какое-то целое число и остаток - именно правильную дробь.
Для перевода делим числитель на знаменатель в столбик. Пример: 7/4. Семь на четыре дает единицу и остаток 3/4. Вот мы и перевели дробь в правильную - ответ 1 и 3/4.
Неправильной дробью называют такую дробь, у которой числитель больше знаменателя . Значит правильная дробь та, у которой числитель меньше знаменателя. Чтобы превратить неправильную дробь в правильную можно представить в виде десятичного числа. Например 17/8 можно записать так: 2,125. Или записать так: 2 1/8.
Правильной дробью принято считать такую, у которой знаменатель выше числителя. Для того чтобы неправильную дробь перевести в правильную, надо разделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель, результатом будет число с остатком.
Например 4 целых и три одиннадцатых, мы 4 умножаем на 11 и +3 , потом мы делим на 11 , получается 44 +3 и делим на 11 , и получим дробь 47/11 . Неправильная дробь это когда есть целое число например 5,10 , то есть пять целых и 10/100 , пять мы умножаем 100 и +10 , получается 10/500 . Так же если например 6,6 , тут проще, 6 умножаем на 6 и +6 получается 12/6 , сокращаем на два, получается шесть третьих, шесть третьих мы сокращаем на три получается две первых, два делим на один получается два. То есть 6,6 =2.
