Predavanje: Pozicijski i nepozicijski brojevni sustavi. Izvješće: Pozicijski brojevni sustav. Binarni, oktalni, decimalni, heksadecimalni Pozicijski i nepozicijski brojevni sustavi ukratko

Predmet: Sustavi brojeva. Pozicijski i nepozicijski brojevni sustavi.

Cilj: upoznati s poviješću nastanka i razvoja brojevnih sustava, ukazati na glavne nedostatke i prednosti nepozicijskih brojevnih sustava.

Softver za predavanje: PC, brošure, posteri.

Tijekom nastave

jaOrganiziranje vremena.

II. Postavljanje ciljeva lekcije.

1. “Sve je broj.” Što su mislili stari pitagorejci?

2. Koliko razvojnih sustava postoji? Koji je bio prvi i zašto?

3. Rimski broj CXXVII. Koju količinu izražava?

4. Brojevni sustavi temeljeni na položajnom principu nastali su neovisno jedan o drugome u staroj Mezopotamiji (Babilon), kod plemena Maya i, konačno, u Indiji. Sve to sugerira da pojava položajnog principa nije bila slučajnost. Koji su bili preduvjeti za njen nastanak? Što je dovelo ljude do ovog izvanrednog otkrića?

5. Je li 3FA4 broj?

6. Tko je i kada brojao peticama i deseticama?

III. Prezentacija novog materijala.

1. Brojevni sustavi.

Slogan "Sve je broj"

Tako su govorili Pitagorejci ističući iznimno važnu ulogu brojeva u praktičnoj djelatnosti. Suvremeni čovjek svakodnevno pamti brojeve automobila i telefona, izračunava troškove kupnje u trgovini, održava obiteljski proračun itd., itd. Brojevi, brojevi... posvuda su s nama.

Ljudi su oduvijek brojali i zapisivali brojeve, čak i prije pet tisuća godina. Ali oni su ih zapisali potpuno drugačije, po drugim pravilima. Ali u svakom slučaju, broj je bio prikazan pomoću bilo kojeg ili nekoliko simbola koji su se nazivali brojevima.

Brojke- ovo su simboli uključeni u pisanje broja i sastavljanje neke abecede.

Što je onda broj?

U početku je broj bio vezan uz one stavke koje su se brojale. Ali s pojavom pisma, broj se odvojio od predmeta brojanja i pojavio se koncept prirodnog broja. Frakcijski brojevi pojavili su se zbog činjenice da je osoba trebala nešto izmjeriti, a mjerna jedinica (standard) nije uvijek odgovarala cijelom broju puta izmjerenoj vrijednosti. Nadalje, koncept broja razvio se u matematici i danas se smatra temeljnim konceptom ne samo matematike, već i informatike.

Broj- ovo je određena količina.

Brojevi se sastoje od znamenki prema posebnim pravilima. Na različitim stupnjevima razvoja čovječanstva, kod različitih naroda, ta su pravila bila različita, a danas ih nazivamo brojevnim sustavima.

Notacija je način zapisivanja brojeva pomoću znamenki.

Svi poznati sustavi brojeva dijele se na položajne i nepozicijske. Nepozicijski sustavi brojeva nastali su ranije od pozicijskih. Potonji su pak rezultat dugog povijesnog razvoja nepozicijskih brojevnih sustava.

2. Nepozicijski brojevni sustavi.

Nepozicijski je brojevni sustav u kojem kvantitativni ekvivalent (“težina”) znamenke ne ovisi o njezinu mjestu u brojevnom zapisu.

1) Sustav jedinica brojeva.

U davna vremena, kada su ljudi počeli brojati, pojavila se potreba za zapisivanjem brojeva. Broj predmeta, na primjer, vrećica, prikazivan je crtanjem crtica ili serifa na bilo kojoj tvrdoj površini: kamenu, glini, drvu (izum papira bio je još vrlo daleko). Svaka torba u takvom zapisu odgovarala je jednom retku. Arheolozi su pronašli takve "zapise" tijekom iskapanja kulturnih slojeva koji datiraju iz razdoblja paleolitika (10-11 tisuća godina prije Krista).

Znanstvenici su ovu metodu zapisivanja brojeva nazvali jedinični ili unarni brojevni sustav. Neprijatnosti takvog brojevnog sustava su očite: što je veći broj koji trebate napisati, to je više štapića. Kada zapisujete veliki broj, lako je pogriješiti - dodati dodatni broj štapića ili, obrnuto, dodati nedovoljno štapića.

Stoga su se kasnije te značke počele kombinirati u skupine od 3,5 i 10 štapića. Tako su nastali prikladniji sustavi brojeva. Odjeci brojevnog sustava jedinica nalaze se i danas. Primjerice, djeca nesvjesna pokazuju svoju dob na prstima, a štapići za brojanje korišteni su za učenje učenika 1. razreda kako brojati.

2) staroegipatski decimalni nepozicijski brojevni sustav.

Drevoegipatski decimalni nepozicijski sustav nastao je u drugoj polovici trećeg tisućljeća pr. e. Papir je zamijenjen glinenom pločicom i zato brojke imaju takav obris.

U ovom brojevnom sustavu ključni brojevi 1, 10, 100, 1000 itd. korišteni su kao brojevi i ispisani su posebnim hijeroglifima.

Iz kombinacije takvih "znamenki" napisani su brojevi, a svaka "znamenka" ponavljala se ne više od devet puta.

Zašto? ( Budući da se deset uzastopnih istih znamenki može zamijeniti jednim brojem, ali znamenkom višim.) Svi ostali brojevi sastavljeni su iz ovih ključnih brojeva uobičajenim zbrajanjem. Prvo su napisali broj najvišeg reda, a zatim niži.

Broj 2346 je “izvučen” ovako:

Dva lotosova cvijeta (dvije tisuće);

Tri smotana palmina lista (tri stotine);

Četiri luka (četiri desetice);

Dva pola (dvije jedinice).

Egipćani su obavljali množenje i dijeljenje uzastopnim udvostručavanjem brojeva - posebna uloga bila je dodijeljena dvojci.

Egipćani su 19×31 izračunali na ovaj način: sukcesivno su udvostručili broj 31. Rezultati udvostručenja bili su zapisani u desnom stupcu, a odgovarajuća potencija dvojke u lijevom stupcu.

https://pandia.ru/text/78/014/images/image002_94.gif" width="14 height=14" height="14">Sloveni su, kao i Grci, znali pisati brojeve veće od 1000. Da bi se to postiglo, abecednom sustavu dodane su nove oznake, tako da su, na primjer, brojevi 1000, 2000, 3000... ispisani istim "znamenkama" kao 1,2, 3..., samo posebnim znakom. postavljen je ispred "znamenke" u donjem lijevom kutu.

Broj 10000 označavao se istim slovom kao i 1, samo bez naslova, bio je zaokružen. Ovaj broj je nazvan "tama". Odatle dolazi izraz “mrak narodu”.

Dakle, za označavanje "tema" (množina riječi tama), prvih 9 "znamenki" je zaokruženo.

10 tema, odnosno, bila je cjelina najviše kategorije. Zvali su ga "legija". 10 legija činilo je leorda. Najveća od veličina koje imaju vlastitu oznaku zvala se "špil"; vjerovalo se da "ljudski um ne može shvatiti više od toga".

Ovakav način pisanja brojeva, kao u abecednom sustavu, može se smatrati začecima položajnog sustava, jer su se u njemu istim simbolima označavale jedinice različitih znamenki, kojima su samo dodavani posebni znakovi za određivanje vrijednosti znamenka.

Sustavi abecednih brojeva bili su od male koristi za rad S veliki brojevi. Tijekom razvoja ljudskog društva ti su sustavi ustupili mjesto položajnim sustavima.

3. Prijelaz s nepozicijskih brojevnih sustava na pozicijske.

Koji su nedostaci nepozicijskih brojevnih sustava? (Pisanje velikih brojeva uključuje veliki broj znamenki. Nezgodno je izvoditi aritmetičke operacije. Nemoguće je prikazati negativne i razlomke.)

Zbog navedenih nedostataka nepozicijski brojevni sustavi postupno su ustupili mjesto pozicijskim brojevnim sustavima.

Indijski multiplikativni sustav

Sustavi brojeva koji se temelje na položajnom principu nastali su neovisno jedan o drugome u staroj Mezopotamiji (Babilon), kod plemena Maya i, konačno, u Indiji. Sve to sugerira da pojava položajnog principa nije bila slučajnost.

Koji su bili preduvjeti za njen nastanak? Što je dovelo ljude do ovog izvanrednog otkrića?

Kako bismo odgovorili na ova pitanja, ponovno se okrećemo priči o drevnoj Kini, Indiji i nekim drugim zemljama koje su imale sustave snimanja izgrađene na multiplikativnom principu.

Neka su npr. desetice označene simbolom X, a stotice Y. Tada će zapis broja 323 shematski izgledati ovako: 3Y 2X 3. U takvim sustavima isti se simboli koriste za zapisivanje istog broja jedinica, desetica, stotina ili tisućica, ali iza Za svaki simbol ispisuje se naziv pripadajuće kategorije. Koristeći uvedeni zapis, broj 100 može se napisati kao 1Y.

Sljedeći korak prema pozicionom principu bilo je izostavljanje naziva kategorija pri pisanju, kao što kažemo "tri dvadeset", a ne "tri rublje dvadeset kopejki". No pri pisanju brojeva pomoću takvog sustava često je bio potreban simbol koji označava znamenku koja nedostaje.

Suvremeni decimalni brojevni sustav nastao je oko 5. stoljeća nove ere. e. u Indiji. Pojava ovog sustava postala je moguća nakon najvećeg otkrića - broja "0" za označavanje vrijednosti koja nedostaje.

Kako se pojavila nula?

Svatko tko se upoznao s babilonskim brojevnim sustavom sjeća se da su Babilonci već koristili poseban simbol za označavanje nulte znamenke. Oko 2. st. pr. e. Grčki znanstvenici upoznali su se s astronomskim opažanjima Babilonaca. Zajedno sa svojim računskim tablicama prihvatili su i babilonski brojevni sustav, ali brojeve od 1 do 59 nisu pisali klinovima, već svojim abecednim numeriranjem. Ali najzanimljivije je to što su grčki astronomi za označavanje nulte znamenke počeli koristiti simbol "O" (prvo slovo grčke riječi Ouden - ništa). Ovaj je znak, očito, bio prototip naše nule.

Indijci su se s grčkom astronomijom upoznali između 2. i 6. stoljeća. n. e., to je vidljivo iz činjenice da su usvojili opća teorijska načela ove znanosti i mnoge grčke izraze. U to je vrijeme Indija koristila multiplikativni sustav brojeva. Prema povjesničarima, otprilike u to vrijeme Indijanci su se upoznali i s babilonskim sustavom brojeva i s grčkom nulom. Indijci su kombinirali svoj decimalni multiplikativni sustav s načelima numeriranja grčkih astronoma. Ovo je bio posljednji korak u stvaranju našeg decimalnog brojevnog sustava.

Suvremeni decimalni sustav brojeva, koji je pozicijski, koristi 10 arapskih brojeva. Zašto naše brojeve zovemo arapski? Arapi su prvi upoznali decimalni brojevni sustav koji je nastao u Indiji. Cijenili su ga i počeli koristiti za obračune u trgovačkim transakcijama. Arapi su donijeli ovaj sustav brojeva u Europu. Od početka 12. stoljeća ovaj se decimalni brojevni sustav raširio diljem Europe pod nazivom arapski. Budući da je jednostavniji i praktičniji od ostalih sustava, brzo je zamijenio sve ostale načine pisanja brojeva. Od tada se brojevi koji se koriste za pisanje brojeva u decimalnom sustavu nazivaju arapskim.

4. Pozicijski brojevni sustavi.

Pozicijski je brojevni sustav u kojem kvantitativni ekvivalent (“težina”) znamenke ovisi o njezinu mjestu u brojevnom zapisu.

Primjer.

Razmotrite broj 222.

U pisanju ovog broja, znamenka 2 se koristi tri puta, ali je doprinos svake znamenke vrijednosti broja drugačiji. Prva 2 označavaju broj stotina, drugi - broj desetica, treći - broj jedinica. Ako usporedimo “težinu” svake znamenke u ovom broju, ispada da su prve 2 “više” od druge za 10 puta i “više” od treće za 100 puta. Ovaj princip je odsutan u nepozicijskim brojevnim sustavima.

Glavne prednosti bilo kojeg pozicijskog brojevnog sustava:

1. jednostavnost izvođenja aritmetičkih operacija;

2. ograničen broj znakova potrebnih za pisanje broja.

Pozicijski sustav pisanja brojeva prikladan je i ekonomičan ne samo za pisanje brojeva znakovima na papiru i za izvođenje aritmetičkih operacija na njima. Također je pogodan za mehanički prikaz brojeva. Sjetimo se, na primjer, abakusa. Svaka znamenka broja (jedinice, desetice, stotine, tisuće itd.) na abakusu odgovara svojoj žici. Pločice na ovoj žici mogu zauzeti deset različitih pozicija (jedanaesta pozicija - kada je svih deset pločica na lijevoj strani - dopuštena je samo u sredini izračuna, a na kraju je zabranjena: svih deset pločica mora se baciti na desna, a na sljedećoj najvišoj žici je kost bačena s desna na lijevo).

Pražnjenje je položaj znamenke u broju.

temelj (osnova) položajni brojevni sustav je broj znamenki ili drugih znakova koji se koriste za zapis brojeva u određenom brojevnom sustavu.

Postoji mnogo položajnih sustava, budući da se svaki broj ne manji od 2 može uzeti kao osnova brojevnog sustava.

Zapisat ćemo podatke o nekim brojevnim sustavima u tablicu.

Sjećate se kako su informacije kodirane u računalu? (Korištenjem binarnog kodiranja, tj. sve informacije predstavljene su kao niz 0 i 1.)

VI. Učvršćivanje naučenog.

Riješiti probleme:

№1. Koji se brojevi pišu rimskim brojevima: MMIV, LXV, CMLXIIV?

№2. Zapiši broj 555:

A) u staroegipatskom brojevnom sustavu;

B) u rimskom brojevnom sustavu;

B) u staroslavenskom brojevnom sustavu.

№3. Brojeve od 15 do 25 napiši staroslavenskim brojevnim sustavom.

V. Sažetak lekcije.

Što je brojevni sustav?

Koji su različiti sustavi brojeva?

Domaća zadaća.

§2.6, pitanja str.92, zapišite svoj datum rođenja koristeći nepozicijske brojevne sustave koji su vam poznati, osmislite svoj nepozicijski brojevni sustav, navodeći koji se znakovi koriste kao brojevi i pravila prema kojima se brojevi formirana od ovih brojeva. Zapiši brojeve 352, 2004, 25.

U nepozicijski brojevni sustavi količina koja označava znamenku ne ovisi o njezinu položaju u broju. Osim toga, sustav može nametnuti ograničenja rasporeda brojeva, Na primjer tako da su brojevi poredani u silaznom redoslijedu.

Postoje sljedeći nepozicijski sustavi brojeva:

Sustav jedinica brojeva,

Peterostruki brojevni sustav (brojenje po petama),

staroegipatski brojevni sustav,

Babilonski brojevni sustav,

Abecedni brojevni sustavi,

Židovski brojevni sustav

grčki brojevni sustav,

Rimski brojevni sustav,

Mayanski brojevni sustav

Inka quipu,

Razmotrimo neke od gore navedenih brojevnih sustava.

Brojevni sustav jedinica.

Od prvih pokušaja da nauče brojati, ljudi su imali potrebu za zapisivanjem brojeva. U početku je bilo lako - zarez ili crtica na bilo kojoj površini bila je odgovorna za jedan objekt. Tako je nastao prvi brojevni sustav - singl.

Broj u jedinica brojevnog sustava je niz crtica (štapića) čiji je broj jednak vrijednosti zadanog broja. Tako će žetva od 100 datulja biti jednaka broju koji se sastoji od 100 crtica.

Kasnije su se ti znakovi počeli grupirati u skupine od tri ili pet kako bi se pojednostavila percepcija velikih brojeva. Zatim su se skupine znakova jednakih volumena počele zamjenjivati ​​novim znakom - tako su nastali prototipovi modernih brojeva.

Ovaj sustav ima značajne nedostatke - što je veći broj, duži je niz štapića. Osim toga, postoji velika vjerojatnost da ćete napisati broj propuštenim ili slučajnim dodavanjem štapića.

U početku su se u brojanju koristili prsti, pa su se prvi znakovi pojavili za skupine od 5 i 10 komada (jedinica). Sve je to omogućilo stvaranje praktičnijih sustava za snimanje brojeva.

Staroegipatski decimalni brojevni sustav.

Stari Egipat koristio je vlastite simbole (brojeve) za predstavljanje brojeva 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107 . Ovo su neki od njih:

Zašto ga zovemo decimalnim? Kao što je gore navedeno - ljudi su počeli grupirati simbole. U Egiptu su odlučili grupirati po 10, ostavljajući broj "1" nepromijenjen. Ovdje se zove broj 10 decimalna baza, a svi simboli predstavljaju broj 10 do određenog stupnja.

Brojevi u staroegipatski brojevni sustav zapisani su u obliku kombinacija takvih simbola, a svi su ponovljeni najviše 9 puta. Rezultat je bio zbroj elemenata broja. Ovakav način dobivanja vrijednosti karakterističan je za svaki nepozicijski brojevni sustav. Na primjer, pogledajte unos za broj 345:

Babilonski seksagezimalni brojevni sustav.

U Babilonski brojevni sustav korištena su samo 2 simbola: "ravni" klin za jedinice i "ležeći" klin za desetice. Da biste odredili vrijednost broja, trebate sliku broja podijeliti na znamenke s desna na lijevo. Novi iscjedak počinje pojavom ravnog klina nakon ležećeg. Na primjer, pogledajmo broj 32:

Broj 60 i sve njegove snage također su označeni ravnim klinom, poput "1". Stoga je nazvan babilonski brojevni sustav seksagezimalni brojevni sustav.

Babilonci su sve brojeve od 1 do 59 zapisivali u nepozicijskom decimalnom sustavu, a vrijednosti veće od 59 u pozicijskom sustavu. osnova 60. Na primjer, broj 92:

Zapis broja nije bio specifičan, jer nije bilo znamenke koja bi označavala nulu. Predstavljanje brojeva 92 moglo značiti ne samo 92=60+32 , ali i npr. 3632=3600+32 . Da bi odredili apsolutnu vrijednost broja, uveli su novi simbol za označavanje šesnaestog mjesta koje nedostaje, što odgovara pojavi broja 0 u decimalnom zapisu:

Dakle, broj 3632 je napisan ovako:

Babilonski seksagezimalni sustav- prvi brojevni sustav koji se dijelom temelji na položajnom principu. Ovaj sustav brojeva koristi se i danas. Na primjer, za određivanje vremena, sat se sastoji od 60 minuta, a minuta se sastoji od 60 sekundi.

Rimski brojevni sustav.

Rimski brojevni sustav malo sličan egipatskom. Ovdje za označavanje brojeva 1, 5, 10, 50, 100, 500 I 1000 koristiti velika latinična slova I, V, X, L, C, D I M odnosno. Broj u rimski brojevni sustav je skup uzastopnih brojeva.

Načini određivanja vrijednosti broja:

• Vrijednost broja odgovara zbroju vrijednosti njegovih znamenki. Na primjer, broj 32 u sustavu rimskih brojeva piše se ovako XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
• Kada se lijevo od većeg broja nalazi manji, vrijednost je razlika između većeg i manjeg broja. Osim toga, lijeva znamenka može biti manja od desne za najviše 1 red veličine: tj. prije L(50) I C(100) od “mlađeg” može biti samo X(10), prije D (500) I M (1000)- samo C(100), prije V(5)- samo ja (1); Broj 444 u rimskom sustavu brojeva izgleda ovako:

CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.

• Vrijednost je jednaka zbroju vrijednosti grupa i brojeva koji ne ulaze u točke 1. i 2.

Wikispaces je osnovan 2005. godine i od tada ga koriste edukatori, tvrtke i pojedinci diljem svijeta.

Nažalost, došlo je vrijeme kada smo morali donijeti tešku poslovnu odluku o ukidanju usluge Wikispaces.

Prvi put smo najavili zatvaranje stranice u siječnju 2018. putem bannera na cijeloj web stranici koji se pojavio svim prijavljenim korisnicima i trebalo ga je kliknuti za odbacivanje

Tijekom razdoblja zatvaranja niz bannera prikazan je korisnicima, uključujući banner s odbrojavanjem u posljednjem mjesecu. Osim toga, početna stranica Wikispaces.com postala je blog s detaljima o razlozima zatvaranja. Administratori web mjesta privatne robne marke kontaktirani su zasebno u vezi sa zatvaranjem

Zašto je Wikispaces zatvoren?

Prije otprilike 18 mjeseci dovršili smo tehnički pregled infrastrukture i softvera koji smo koristili za pružanje usluga korisnicima Wikispacesa. Kao dio pregleda, postalo je očito da je potrebno ulaganje za usklađivanje infrastrukture i koda s modernim standardima bilo vrlo značajno. Istražili smo sve moguće opcije za nastavak rada Wikispacesa, ali morali smo zaključiti da više nije održivo nastaviti s radom usluge dugoročno. Stoga smo, nažalost, morali zatvoriti stranicu - ali smo dirnuti porukama korisnika iz cijelog svijeta koji su s njom počeli stvarati wikije i sada ih pokreću na novim platformama.

Željeli bismo iskoristiti ovu priliku da vam zahvalimo na vašoj podršci tijekom godina.

Sustav brojeva je skup tehnika i pravila za predstavljanje brojeva pomoću digitalnih znakova.

Nepozicijski je brojevni sustav u kojem vrijednost bilo koje znamenke ne ovisi o poziciji (poziciji) u nizu znamenki koje predstavljaju ovaj broj.

Na primjer, u broju XXX, napisanom u rimskom brojčanom sustavu, svaka znamenka označava 10 jedinica.

Zadatak 1. Napiši rimskim brojevima brojeve: a) 193; b) 564; c) 2708.

Rješenje: a) 193 - je sto (C) + devedeset, tj. sto bez deset (XC) + tri (III). Stoga će 193 biti napisano kao CXCIII.

b) 564 je pet stotina (D) + pedeset (L) + deset (X) + četiri (IV), tj. broj 564 bit će napisan kao DLHIV.

c) 2708 je dvije tisuće (MM) + plus petsto (D) + sto (C) + sto (C) + pet (V) + tri (III). Stoga se broj 2708 piše na sljedeći način: MMDCCVIII.

Pozicijski je brojevni sustav u kojem vrijednost bilo koje znamenke ovisi o njezinom položaju (poziciji) u nizu znamenki koje predstavljaju taj broj.

Na primjer, broj 3 u broju 723, napisan u decimalnom brojevnom sustavu, označava tri jedinice, a u broju 325 - tri stotine. Pozicijski SS uključuju seksagezimalni babilonski i decimalni brojevni sustav.

Pod, ispod baza brojevnog sustava odnosi se na određeni stalni omjer jedinica susjednih znamenki za dani brojevni sustav.

Osnova brojevnog sustava može biti svaki prirodni broj veći od 1.

Brojevni sustav s bazom jednakom 1 zove se unarni.

Za zapis brojeva u pozicijskom brojevnom sustavu koriste se znamenke čiji broj odgovara osnovici sustava.

Dekadski brojevni sustav, zapisivanje brojeva u njemu

U praksi je uspostavljen decimalni brojevni sustav. Kao što znate, u decimalnom SS-u za pisanje brojeva koristi se 10 znakova (cifara): 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Od njih se formiraju konačni nizovi, koji su kratki zapisi brojeva. Na primjer, niz 3745 je skraćenica za broj.

Definicija 4. Decimalni zapis prirodnog broja x njegov prikaz se zove:

gdje koeficijenti a n, a n-1, ..., a 1, a 0 poprimaju vrijednosti 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i

Uobičajeno je pisati zbroj u kratkom obliku kao niz brojeva s crtom na vrhu kako bi se razlikovao od umnoška brojeva:

Budući da pojam broja i njegov zapis nisu identični, postojanje i jedinstvenost decimalnog zapisa prirodnog zapisa mora se dokazati.

Teorem 1. Bilo koji prirodni broj x može se predstaviti kao:

gdje koeficijenti a n, a n-1, …, a 1, a 0 poprimaju vrijednosti 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

a takav zapis je jedini.

Decimalni zapis broja olakšava odlučivanje koji je manji.

Teorem 2. Neka x I na – prirodni brojevi, zapisani u decimalnom brojevnom sustavu:

Zatim broj x manji broj na , ako je ispunjen jedan od uvjeta:

A) n ;