Definicija. Bočni rub- ovo je trokut u kojem jedan kut leži na vrhu piramide, a suprotna strana se podudara sa stranom baze (poligon).
Definicija. Bočna rebra- ovo su uobičajene strane bočnih strana. Piramida ima onoliko bridova koliko kutova ima mnogokut.
Definicija. Visina piramide- ovo je okomica spuštena od vrha do baze piramide.
Definicija. Apotema- ovo je okomica na bočnu stranu piramide, spuštena s vrha piramide na stranu baze.
Definicija. Dijagonalni presjek- ovo je presjek piramide ravninom koja prolazi kroz vrh piramide i dijagonalu baze.
Definicija. Ispravna piramida je piramida kojoj je baza pravilan mnogokut, a visina se spušta do središta baze.
Volumen i površina piramide
Formula. Volumen piramide kroz osnovnu površinu i visinu:
Svojstva piramide
Ako su svi bočni rubovi jednaki, tada se oko baze piramide može nacrtati krug, a središte baze se poklapa sa središtem kruga. Također, okomica spuštena s vrha prolazi središtem baze (kružnice).
Ako su svi bočni rubovi jednaki, tada su nagnuti prema ravnini baze pod istim kutovima.
Bočni bridovi su jednaki kada tvore jednake kutove s ravninom baze ili ako se oko baze piramide može opisati kružnica.
Ako su bočne plohe nagnute prema ravnini baze pod istim kutom, tada se u bazu piramide može upisati krug, a vrh piramide projicira se u njeno središte.
Ako su bočne plohe nagnute prema ravnini baze pod istim kutom, onda su apoteme bočnih ploha jednake.
Svojstva pravilne piramide
1. Vrh piramide je jednako udaljen od svih kutova baze.
2. Svi bočni rubovi su jednaki.
3. Sva bočna rebra su nagnuta pod jednakim kutom u odnosu na bazu.
4. Apoteme svih bočnih lica su jednake.
5. Površine svih bočnih ploha su jednake.
6. Sve plohe imaju iste diedralne (ravne) kutove.
7. Oko piramide se može opisati kugla. Središte opisane sfere bit će sjecište okomica koje prolaze kroz sredinu bridova.
8. Kuglu možete uklopiti u piramidu. Središte upisane sfere bit će točka presjeka simetrala koje izlaze iz kuta između brida i baze.
9. Ako se središte upisane sfere poklapa sa središtem opisane sfere, tada je zbroj ravninskih kutova pri vrhu jednak π ili obrnuto, jedan kut je jednak π/n, gdje je n broj kutova na dnu piramide.
Veza piramide i kugle
Oko piramide se može opisati sfera kada se u osnovi piramide nalazi poliedar oko kojeg se može opisati kružnica (nužan i dovoljan uvjet). Središte sfere bit će sjecište ravnina koje prolaze okomito kroz središta bočnih bridova piramide.
Uvijek je moguće opisati sferu oko bilo koje trokutaste ili pravilne piramide.
U piramidu se može upisati kugla ako se simetrale unutarnjih diedarskih kutova piramide sijeku u jednoj točki (nužan i dovoljan uvjet). Ova točka će biti središte sfere.
Veza piramide sa stošcem
Kaže se da je stožac upisan u piramidu ako se njihovi vrhovi poklapaju, a baza stošca je upisana u bazu piramide.
Stožac se može upisati u piramidu ako su apoteme piramide međusobno jednake.
Kaže se da je stožac opisan oko piramide ako se njihovi vrhovi poklapaju, a baza stošca je opisana oko baze piramide.
Stožac se može opisati oko piramide ako su svi bočni bridovi piramide međusobno jednaki.
Odnos piramide i valjka
Piramida se naziva upisana u valjak ako vrh piramide leži na jednoj osnovici valjka, a baza piramide je upisana u drugu bazu cilindra.
Oko piramide se može opisati cilindar ako se oko baze piramide može opisati kružnica.
Tetraedar ima četiri lica i četiri vrha i šest bridova, pri čemu bilo koja dva brida nemaju zajedničke vrhove, ali se ne dodiruju.
Svaki vrh se sastoji od tri lica i bridova koji se tvore trokutasti kut.
Segment koji povezuje vrh tetraedra sa središtem suprotne strane naziva se medijan tetraedra(GM).
Bimedijan naziva segment koji spaja središta suprotnih rubova koji se ne dodiruju (KL).
Svi bimedijani i medijani tetraedra sijeku se u jednoj točki (S). U ovom slučaju bimedijane se dijele na pola, a medijane se dijele u omjeru 3:1 počevši od vrha.
Definicija. Oštrokutna piramida- piramida u kojoj je apotem duži od polovice stranice baze.
Definicija. Tupa piramida- piramida u kojoj je apotem manji od polovice duljine stranice baze.
Definicija. Pravilni tetraedar- tetraedar u kojem su sva četiri lica jednakostranični trokuti. To je jedan od pet pravilnih poligona. U pravilnom tetraedru svi diedarski kutovi (između ploha) i trokutni kutovi (u vrhu) su jednaki.
Definicija. Pravokutni tetraedar naziva se tetraedar u kojem između tri brida na vrhu (brdovi su okomiti) ima pravi kut. Formiraju se tri lica rectangular trokutasti kut a plohe su pravokutni trokuti, a baza je proizvoljan trokut. Apotem bilo kojeg lica jednak je polovici stranice baze na koju apotem pada.
Definicija. Izoedarski tetraedar naziva se tetraedar čije su bočne strane međusobno jednake, a baza je pravilan trokut. Takav tetraedar ima lica koja su jednakokračni trokuti.
Definicija. Ortocentrični tetraedar zove se tetraedar u kojem se sve visine (okomice) koje su s vrha spuštene na suprotnu plohu sijeku u jednoj točki.
Definicija. Zvjezdana piramida zove se poliedar čija je baza zvijezda.
Piramida je višestrani lik, čija je baza mnogokut, a preostala lica predstavljena su trokutima sa zajedničkim vrhom.
Ako je baza kvadrat, tada se zove piramida četverokutan, ako je trokut – onda trokutasti. Visina piramide povučena je od njenog vrha okomito na bazu. Također se koristi za izračunavanje površine apotema– visina bočne strane, spuštena od njenog vrha.
Formula za površinu bočne površine piramide je zbroj površina njezinih bočnih strana, koje su međusobno jednake. Međutim, ova metoda izračuna se koristi vrlo rijetko. U osnovi, površina piramide izračunava se kroz obod baze i apoteme:
Razmotrimo primjer izračuna površine bočne površine piramide.
Neka je dana piramida s bazom ABCDE i vrhom F. AB=BC=CD=DE=EA=3 cm.Apotem a = 5 cm.Nađite površinu bočne plohe piramide.
Nađimo opseg. Budući da su svi rubovi baze jednaki, opseg peterokuta bit će jednak:
Sada možete pronaći bočno područje piramide: 
Površina pravilne trokutaste piramide
Pravilna trokutasta piramida sastoji se od baze u kojoj leži pravilan trokut i tri bočne strane koje su jednake površine.
Formula za bočnu površinu pravilne trokutaste piramide može se izračunati na različite načine. Možete primijeniti uobičajenu formulu za izračun pomoću perimetra i apoteme ili možete pronaći područje jednog lica i pomnožiti ga s tri. Budući da je lice piramide trokut, primjenjujemo formulu za površinu trokuta. To će zahtijevati apotemu i duljinu baze. Razmotrimo primjer izračuna bočne površine pravilne trokutaste piramide.
Dana je piramida s apotemom a = 4 cm i osnovnom plohom b = 2 cm. Odredite površinu bočne plohe piramide.
Prvo pronađite područje jedne od bočnih strana. U ovom slučaju to će biti:
Zamijenite vrijednosti u formulu: 
Budući da su u pravilnoj piramidi sve strane iste, površina bočne površine piramide bit će jednaka zbroju površina tri lica. Odnosno: 
Površina krnje piramide
Krnji Piramida je poliedar kojeg čine piramida i njezin presjek paralelan s bazom.
Formula za bočnu površinu krnje piramide vrlo je jednostavna. Površina je jednaka umnošku polovine zbroja opsega baza i apoteme: 
Razmotrimo primjer izračuna bočne površine krnje piramide.
Zadana je pravilna četverokutna piramida. Duljine baze su b = 5 cm, c = 3 cm. Apotem a = 4 cm. Odredite površinu bočne površine figure.
Prvo, pronađimo opseg baza. Na većoj osnovi bit će jednako: 
U manjoj bazi: 
Izračunajmo površinu:
Trokutasta piramida je poliedar čija je baza pravilan trokut.
U takvoj su piramidi rubovi baze i rubovi stranica međusobno jednaki. Prema tome, površina bočnih stranica nalazi se iz zbroja površina tri identična trokuta. Pomoću formule možete pronaći površinu bočne površine pravilne piramide. I možete napraviti izračun nekoliko puta brže. Da biste to učinili, morate primijeniti formulu za područje bočne površine trokutaste piramide:
gdje je p opseg baze, čije su sve strane jednake b, a je apotem spušten od vrha do ove baze. Razmotrimo primjer izračuna površine trokutaste piramide.
Problem: Neka je dana pravilna piramida. Stranica trokuta na bazi je b = 4 cm. Apotem piramide je a = 7 cm. Pronađite površinu bočne površine piramide.
Budući da prema uvjetima zadatka znamo duljine svih potrebnih elemenata, pronaći ćemo opseg. Sjećamo se da su u pravilnom trokutu sve strane jednake, pa se stoga opseg izračunava formulom:
Zamijenimo podatke i pronađimo vrijednost:
Sada, znajući opseg, možemo izračunati bočnu površinu: 
Da biste primijenili formulu za područje trokutaste piramide za izračun pune vrijednosti, morate pronaći područje baze poliedra. Da biste to učinili, upotrijebite formulu: 
Formula za područje baze trokutaste piramide može biti drugačija. Moguće je koristiti bilo koji izračun parametara za određenu figuru, ali najčešće to nije potrebno. Razmotrimo primjer izračuna površine baze trokutaste piramide.
Zadatak: U pravilnoj piramidi stranica trokuta na bazi je a = 6 cm. Izračunajte površinu baze.
Za izračun potrebna nam je samo duljina stranice pravilnog trokuta koji se nalazi u podnožju piramide. Zamijenimo podatke u formulu: 
Vrlo često morate pronaći ukupnu površinu poliedra. Da biste to učinili, morat ćete zbrojiti površinu bočne površine i baze. 
Razmotrimo primjer izračuna površine trokutaste piramide.
Problem: Neka je dana pravilna trokutasta piramida. Stranica baze je b = 4 cm, apotem je a = 6 cm. Nađite ukupnu površinu piramide.
Prvo, pronađimo površinu bočne površine pomoću već poznate formule. Izračunajmo opseg:
Zamijenite podatke u formulu: 
Sada pronađimo područje baze: 
Znajući površinu baze i bočne površine, nalazimo ukupnu površinu piramide: 
Prilikom izračunavanja površine pravilne piramide ne smijete zaboraviti da je baza pravilan trokut i da su mnogi elementi ovog poliedra međusobno jednaki.
Površina piramide. U ovom ćemo članku razmotriti probleme s pravilnim piramidama. Dopustite mi da vas podsjetim da je pravilna piramida piramida čija je baza pravilan mnogokut, vrh piramide je projiciran u središte tog mnogokuta.
Bočna strana takve piramide je jednakokračni trokut.Visina ovog trokuta izvučena iz vrha pravilne piramide naziva se apotem, SF - apotem:
U dolje prikazanoj vrsti problema morate pronaći površinu cijele piramide ili površinu njezine bočne površine. Blog je već raspravljao o nekoliko problema s pravilnim piramidama, gdje je pitanje bilo o pronalaženju elemenata (visina, osnovni rub, bočni rub).
Zadaci Jedinstvenog državnog ispita obično ispituju pravilne trokutaste, četverokutne i šesterokutne piramide. Nisam vidio nikakvih problema s pravilnim peterokutnim i sedmerokutnim piramidama.
Formula za površinu cijele površine je jednostavna - trebate pronaći zbroj površine baze piramide i površine njezine bočne površine:
Razmotrimo zadatke:
Stranice baze pravilne četverokutne piramide su 72, bočni bridovi su 164. Nađite površinu ove piramide.
Površina piramide jednaka je zbroju površina bočne površine i baze:
*Bočnu plohu čine četiri trokuta jednake površine. Osnova piramide je kvadrat.
Možemo izračunati površinu strane piramide koristeći:
Dakle, površina piramide je:
Odgovor: 28224
Stranice baze pravilne šesterokutne piramide jednake su 22, bočni rubovi su jednaki 61. Nađite bočnu površinu ove piramide.
Osnova pravilne šesterokutne piramide je pravilni šesterokut.
Bočna površina ove piramide sastoji se od šest područja jednakih trokuta sa stranicama 61,61 i 22:
Nađimo površinu trokuta pomoću Heronove formule:
Dakle, bočna površina je:
Odgovor: 3240
*U gore navedenim problemima, područje bočne strane može se pronaći pomoću druge formule trokuta, ali za to morate izračunati apotemu.
27155. Odredite površinu pravilne četverokutne piramide čije su osnovne stranice 6, a visina 4.
Da bismo pronašli površinu piramide, moramo znati površinu baze i površinu bočne površine:
Površina baze je 36 jer je to kvadrat sa stranicom 6.
Bočna površina sastoji se od četiri lica, koja su jednaki trokuti. Da biste pronašli područje takvog trokuta, morate znati njegovu bazu i visinu (apotem):
*Površina trokuta jednaka je polovici umnoška baze i visine povučene na tu bazu.
Baza je poznata, jednaka je šest. Nađimo visinu. Razmotrimo pravokutni trokut (označen žutom bojom):
Jedan krak je jednak 4, jer je to visina piramide, drugi je jednak 3, jer je jednak polovici ruba baze. Hipotenuzu možemo pronaći pomoću Pitagorine teoreme:
To znači da je površina bočne površine piramide:
Dakle, površina cijele piramide je:
Odgovor: 96
27069. Stranice baze pravilne četverokutne piramide jednake su 10, bočni bridovi su jednaki 13. Nađite površinu ove piramide.
27070. Stranice baze pravilne šesterokutne piramide jednake su 10, bočni bridovi su jednaki 13. Nađite bočnu površinu ove piramide.
Postoje i formule za bočnu površinu pravilne piramide. U pravilnoj piramidi baza je ortogonalna projekcija bočne plohe, dakle:
P- osnovni opseg, l- apotem piramide
*Ova formula se temelji na formuli za površinu trokuta.
Ako želite saznati više o tome kako se te formule izvode, ne propustite, pratite objavljivanje članaka.To je sve. Sretno ti!
S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.
P.S: Bio bih vam zahvalan ako biste mi rekli nešto o stranici na društvenim mrežama.
