Susjedni i okomiti kutovi. Okomite linije. Što su susjedni kutovi? Susjedni kutovi su uvijek jednaki

1. Susjedni kutovi.

Produžimo li stranicu bilo kojeg kuta preko njegova vrha, dobit ćemo dva kuta (sl. 72): ∠ABC i ∠CBD, kojima je jedna stranica BC zajednička, a druge dvije, AB i BD, tvore ravnu crtu.

Dva kuta kojima je jedna stranica zajednička, a druge dvije tvore ravnu crtu nazivaju se susjednim kutovima.

Susjedni kutovi se mogu dobiti i na ovaj način: povučemo li zraku iz neke točke na pravcu (koja ne leži na danom pravcu), dobit ćemo susjedne kutove.

Na primjer, ∠ADF i ∠FDB su susjedni kutovi (slika 73).

Susjedni kutovi mogu imati najrazličitije položaje (slika 74).

Susjedni kutovi zbrajaju ravni kut, pa zbroj dvaju susjednih kutova je 180°

Stoga se pravi kut može definirati kao kut jednak svom susjednom kutu.

Znajući veličinu jednog od susjednih kutova, možemo pronaći veličinu drugog kuta koji je uz njega.

Na primjer, ako je jedan od susjednih kutova 54°, tada će drugi kut biti jednak:

180° - 54° = l26°.

2. Vertikalni kutovi.

Produžimo li stranice kuta izvan njegova vrha, dobit ćemo okomite kutove. Na slici 75. kutovi EOF i AOC su okomiti; kutovi AOE i COF su također okomiti.

Dva se kuta nazivaju okomitima ako su stranice jednog kuta nastavci stranica drugog kuta.

Neka je ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(Sl. 76). ∠2 uz njega bit će jednak 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, tj. 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

Na isti način možete izračunati čemu su jednaki ∠3 i ∠4.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (Slika 77).

Vidimo da je ∠1 = ∠3 i ∠2 = ∠4.

Možete riješiti još nekoliko istih zadataka i svaki put ćete dobiti isti rezultat: okomiti kutovi su međusobno jednaki.

Međutim, da bismo bili sigurni da su okomiti kutovi uvijek međusobno jednaki, nije dovoljno razmatrati pojedinačne numeričke primjere, budući da zaključci izvedeni iz pojedinih primjera ponekad mogu biti pogrešni.

Valjanost svojstava okomitih kutova potrebno je provjeriti dokazom.

Dokaz se može provesti na sljedeći način (slika 78):

∠a+∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(budući da je zbroj susjednih kutova 180°).

∠a+∠c = ∠b+∠c

(budući da je lijeva strana ove jednakosti jednaka 180°, a njena desna strana također jednaka 180°).

Ova jednakost uključuje isti kut S.

Ako od jednakih količina oduzmemo jednake količine, ostat će jednaki iznosi. Rezultat će biti: ∠a = ∠b, tj. vertikalni kutovi su međusobno jednaki.

3. Zbroj kutova koji imaju zajednički vrh.

Na crtežu 79, ∠1, ∠2, ∠3 i ∠4 nalaze se s jedne strane pravca i imaju zajednički vrh na tom pravcu. U zbroju, ovi kutovi čine ravni kut, tj.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Na slici 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 i ∠5 imaju zajednički vrh. Ovi se kutovi zbrajaju u puni kut, tj. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Dva kuta koji se nalaze na istoj pravoj crti i imaju isti vrh nazivaju se susjednim.

Inače, ako je zbroj dvaju kutova na jednoj ravnici jednak 180 stupnjeva i imaju jednu zajedničku stranicu, tada su to susjedni kutovi.

1 susjedni kut + 1 susjedni kut = 180 stupnjeva.

Susjedni kutovi su dva kuta u kojima je jedna stranica zajednička, a druge dvije stranice općenito tvore ravnu crtu.

Zbroj dvaju susjednih kutova uvijek je 180 stupnjeva. Na primjer, ako je jedan kut 60 stupnjeva, onda će drugi nužno biti jednak 120 stupnjeva (180-60).

Kutovi AOC i BOC su susjedni kutovi jer su ispunjeni svi uvjeti za karakteristike susjednih kutova:

1.OS - zajednička strana dva ugla

2.AO - stranica kuta AOS, OB - stranica kuta BOS. Zajedno te stranice čine ravnu liniju AOB.

3. Dva su kuta i njihov je zbroj 180 stupnjeva.

Sjećajući se školskog tečaja geometrije, o susjednim kutovima možemo reći sljedeće:

susjedni kutovi imaju jednu zajedničku stranicu, a druge dvije stranice pripadaju istoj ravnici, odnosno nalaze se na istoj ravnici. Ako je prema slici, onda su kutovi SOB i BOA susjedni kutovi, čiji je zbroj uvijek jednak 180, jer dijele ravni kut, a ravni kut je uvijek jednak 180.



Susjedni kutovi su jednostavan koncept u geometriji. Susjedni kutovi, kut plus kut, zbroje do 180 stupnjeva.

Dva susjedna kuta bit će jedan rasklopljeni kut.

Postoji još nekoliko nekretnina. Sa susjednim kutovima probleme je lako riješiti, a teoreme dokazati.

Susjedni kutovi nastaju povlačenjem zrake iz proizvoljne točke na pravoj liniji. Tada se ta proizvoljna točka pokazuje kao vrh kuta, zraka se pokazuje kao zajednička stranica susjednih kutova, a ravna crta iz koje je zraka povučena ispada da su dvije preostale strane susjednih kutova. Susjedni kutovi mogu biti isti kod okomice, a različiti kod kose grede. Lako je razumjeti da je zbroj susjednih kutova jednak 180 stupnjeva ili jednostavno ravna linija. Na drugi način, ovaj kut se može objasniti jednostavnim primjerom - prvo ste hodali u jednom smjeru ravnom linijom, a zatim se predomislili, odlučili vratiti i, okrenuvši se za 180 stupnjeva, krenuli istom ravnom linijom u suprotnom smjeru. smjer.



Dakle, što je susjedni kut? Definicija:

Dva kuta sa zajedničkim vrhom i jednom zajedničkom stranicom nazivaju se susjednim, a druge dvije stranice tih kutova leže na istoj ravnici.



I kratka video lekcija koja razumno pokazuje o susjednim kutovima, okomitim kutovima, plus o okomitim crtama, koje su poseban slučaj susjednih i okomitih kutova

Susjedni kutovi su kutovi kojima je jedna stranica zajednička, a druga jednopravac.

Susjedni kutovi su kutovi koji ovise jedan o drugome. To jest, ako se zajednička stranica malo zakrene, tada će se jedan kut smanjiti za nekoliko stupnjeva, a drugi će se automatski povećati za isti broj stupnjeva. Ovo svojstvo susjednih kutova omogućuje rješavanje raznih problema u geometriji i provođenje dokaza raznih teorema.

Ukupan zbroj susjednih kutova uvijek je 180 stupnjeva.



Iz kolegija geometrije, (koliko se sjećam u 6. razredu), dva kuta se nazivaju susjedna, u kojima je jedna stranica zajednička, a druge strane su dodatne zrake, zbroj susjednih kutova je 180. Svaki od dva susjedni kutovi nadopunjuju drugi u prošireni kut. Primjer susjednih kutova:



Susjedni kutovi su dva kuta sa zajedničkim vrhom, čija je jedna stranica zajednička, a ostale stranice leže na istoj ravnici (ne podudaraju se). Zbroj susjednih kutova je sto osamdeset stupnjeva. Općenito, sve je to vrlo lako pronaći u Googleu ili udžbeniku geometrije.

Dva se kuta nazivaju susjednima ako imaju zajednički vrh i jednu stranicu, a druge dvije stranice tvore ravnu crtu. Zbroj susjednih kutova je 180 stupnjeva.



Na slici su kutovi AOB i BOC susjedni.



Susjedni kutovi su oni koji imaju zajednički vrh, jednu zajedničku stranicu, a ostale stranice su nastavci jedna na drugu i tvore ispruženi kut. Izvanredno svojstvo susjednih kutova je da je zbroj tih kutova uvijek jednak 180 stupnjeva.

Kutovi sa zajedničkim vrhom i jednom zajedničkom stranicom u geometriji se nazivaju susjednim

Zbroj susjednih kutova je 180 stupnjeva

Treba napomenuti da susjedni kutovi imaju jednake sinuse

Da biste saznali više o susjednim kutovima, pročitajte ovdje

Svaki kut, ovisno o veličini, ima svoje ime:

Vrsta kuta	Veličina u stupnjevima	Primjer
Začinjeno	Manje od 90°
Ravno	Jednako 90°. Na crtežu se pravi kut obično označava simbolom nacrtanim od jedne strane kuta do druge.
Tup	Više od 90°, ali manje od 180°
Prošireno	Jednako 180° Ravni kut jednak je zbroju dva prava kuta, a pravi kut je polovica ravnog kuta.
Konveksan	Više od 180°, ali manje od 360°
puna	Jednako 360°

Dva se kuta nazivaju susjedni, ako im je jedna stranica zajednička, a druge dvije strane tvore ravnu liniju:

Kutovi OTRTI I PON susjedni, budući da greda OP- zajednička strana, a druge dvije strane - OM I NAčine ravnu liniju.

Zajednička stranica susjednih kutova naziva se koso u ravno, na kojoj leže druge dvije stranice, samo u slučaju kada susjedni kutovi nisu međusobno jednaki. Ako su susjedni kutovi jednaki, tada će im biti zajednička stranica okomito.

Zbroj susjednih kutova je 180°.

Dva se kuta nazivaju vertikalna, ako se stranice jednog kuta nadopunjuju sa stranicama drugog kuta u ravne linije:

Kutovi 1 i 3, kao i kutovi 2 i 4 su okomiti.

Vertikalni kutovi su jednaki.

Dokažimo da su okomiti kutovi jednaki:

Zbroj ∠1 i ∠2 je ravni kut. A zbroj ∠3 i ∠2 je ravni kut. Dakle, ova dva iznosa su jednaka:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

U ovoj jednakosti lijevo i desno nalazi se identičan član - ∠2. Jednakost se neće narušiti ako se izostavi ovaj pojam s lijeve i desne strane. Onda shvaćamo.

Kako pronaći susjedni kut?

Matematika je najstarija egzaktna znanost, koja se obvezno izučava u školama, fakultetima, institutima i sveučilištima. Međutim, osnovno znanje se uvijek stječe u školi. Ponekad se djetetu daju dosta složeni zadaci, ali roditelji ne mogu pomoći, jer jednostavno zaboravi neke stvari iz matematike. Na primjer, kako pronaći susjedni kut na temelju veličine glavnog kuta itd. Zadatak je jednostavan, ali može uzrokovati poteškoće u rješavanju zbog neznanja koji se kutovi nazivaju susjednim i kako ih pronaći.

Pogledajmo pobliže definiciju i svojstva susjednih kutova, kao i kako ih izračunati iz podataka u zadatku.

Definicija i svojstva susjednih kutova

Dvije zrake koje izlaze iz jedne točke tvore lik koji se naziva "ravni kut". U ovom slučaju, ova točka se naziva vrhom kuta, a zrake su njegove strane. Ako nastavite jednu od zraka izvan početne točke u ravnoj liniji, tada se formira drugi kut, koji se naziva susjednim. Svaki kut u ovom slučaju ima dva susjedna kuta, jer su stranice kuta ekvivalentne. To jest, uvijek postoji susjedni kut od 180 stupnjeva.

Glavna svojstva susjednih kutova uključuju

• Susjedni kutovi imaju zajednički vrh i jednu stranicu;
• Zbroj susjednih kutova uvijek je jednak 180 stupnjeva ili broju Pi ako se izračun provodi u radijanima;
• Sinusi susjednih kutova uvijek su jednaki;
• Kosinusi i tangenti susjednih kutova jednaki su, ali imaju suprotne predznake.

Kako pronaći susjedne kutove

Obično se daju tri varijante problema za pronalaženje veličine susjednih kutova

• Dana je vrijednost glavnog kuta;
• Zadan je omjer glavnog i susjednog kuta;
• Zadana je vrijednost okomitog kuta.

Svaka verzija problema ima svoje rješenje. Pogledajmo ih.

Zadana je vrijednost glavnog kuta

Ako problem specificira vrijednost glavnog kuta, tada je pronalaženje susjednog kuta vrlo jednostavno. Da biste to učinili, samo oduzmite vrijednost glavnog kuta od 180 stupnjeva i dobit ćete vrijednost susjednog kuta. Ovo se rješenje temelji na svojstvu susjednog kuta - zbroj susjednih kutova uvijek je jednak 180 stupnjeva.

Ako je vrijednost glavnog kuta dana u radijanima, a zadatak zahtijeva pronalaženje susjednog kuta u radijanima, tada je potrebno od broja Pi oduzeti vrijednost glavnog kuta, budući da je vrijednost punog rasklopljenog kuta od 180 stupnjeva. jednak je broju Pi.

Zadan je omjer glavnog i susjednog kuta

Problem može dati omjer glavnog i susjednih kutova umjesto stupnjeva i radijana glavnog kuta. U ovom slučaju, rješenje će izgledati kao jednadžba proporcija:

1. Proporciju glavnog kuta označavamo kao varijablu "Y".
2. Razlomak koji se odnosi na susjedni kut označen je kao varijabla "X".
3. Broj stupnjeva koji pada na svaki omjer bit će označen, na primjer, s "a".
4. Opća formula će izgledati ovako - a*X+a*Y=180 ili a*(X+Y)=180.
5. Zajednički faktor jednadžbe “a” nalazimo pomoću formule a=180/(X+Y).
6. Zatim pomnožimo dobivenu vrijednost zajedničkog faktora "a" s udjelom kuta koji treba odrediti.

Na taj način možemo pronaći vrijednost susjednog kuta u stupnjevima. Međutim, ako trebate pronaći vrijednost u radijanima, tada jednostavno trebate pretvoriti stupnjeve u radijane. Da biste to učinili, pomnožite kut u stupnjevima s Pi i sve podijelite sa 180 stupnjeva. Dobivena vrijednost bit će u radijanima.

Zadana je vrijednost okomitog kuta

Ako zadatak ne daje vrijednost glavnog kuta, ali je dana vrijednost okomitog kuta, tada se susjedni kut može izračunati pomoću iste formule kao u prvom odlomku, gdje je dana vrijednost glavnog kuta.

Okomiti kut je kut koji polazi iz iste točke kao i glavni, ali je usmjeren u točno suprotnom smjeru. To rezultira zrcalnom slikom. To znači da je okomiti kut jednak veličini glavnom. S druge strane, susjedni kut okomitog kuta jednak je susjednom kutu glavnog kuta. Zahvaljujući tome, može se izračunati susjedni kut glavnog kuta. Da biste to učinili, jednostavno oduzmite okomitu vrijednost od 180 stupnjeva i dobijete vrijednost susjednog kuta glavnog kuta u stupnjevima.

Ako je vrijednost dana u radijanima, tada je potrebno od broja Pi oduzeti vrijednost okomitog kuta, budući da je vrijednost punog rasklopljenog kuta od 180 stupnjeva jednaka broju Pi.

Također možete pročitati naše korisne članke i.

U procesu proučavanja tečaja geometrije često se pojavljuju pojmovi "kut", "okomiti kutovi", "susjedni kutovi". Razumijevanje svakog od pojmova pomoći će vam da shvatite problem i da ga ispravno riješite. Što su susjedni kutovi i kako ih odrediti?

Susjedni kutovi - definicija pojma

Izraz "susjedni kutovi" karakterizira dva kuta koja tvore zajednička zraka i dvije dodatne poluprave koje leže na istoj ravnoj liniji. Sve tri zrake izlaze iz iste točke. Zajednički polupravac je istovremeno stranica i jednog i drugog kuta.

Susjedni kutovi – osnovna svojstva

1. Na temelju formulacije susjednih kutova lako je uočiti da zbroj takvih kutova uvijek tvori obrnuti kut čija je stupnjevna mjera 180°:

• Ako su μ i η susjedni kutovi, tada je μ + η = 180°.
• Znajući veličinu jednog od susjednih kutova (na primjer, μ), možete jednostavno izračunati mjeru stupnjeva drugog kuta (η) pomoću izraza η = 180° – μ.

2. Ovo svojstvo kutova omogućuje nam da izvučemo sljedeći zaključak: kut koji je susjedan pravom kutu također će biti prav.

3. S obzirom na trigonometrijske funkcije (sin, cos, tg, ctg), na temelju redukcijskih formula za susjedne kutove μ i η, vrijedi sljedeće:

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Susjedni kutovi - primjeri

Primjer 1

Zadan je trokut s vrhovima M, P, Q – ΔMPQ. Odredite kutove susjedne kutovima ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Produžimo svaku stranicu trokuta ravnom crtom.
• Znajući da se susjedni kutovi međusobno nadopunjuju do obrnutog kuta, saznajemo da:

susjedan kutu ∠QMP je ∠LMP,

uz kut ∠MPQ je ∠SPQ,

susjedan kutu ∠PQM je ∠HQP.

Primjer 2

Vrijednost jednog susjednog kuta je 35°. Kolika je stupnjevna mjera drugog susjednog kuta?

• Zbroj dva susjedna kuta iznosi 180°.
• Ako je ∠μ = 35°, tada je uz njega ∠η = 180° – 35° = 145°.

Primjer 3

Odredite vrijednosti susjednih kutova ako je poznato da je stupanjska mjera jednog od njih tri puta veća od stupnjevne mjere drugog kuta.

• Označimo veličinu jednog (manjeg) kuta s – ∠μ = λ.
• Tada će prema uvjetima zadatka vrijednost drugog kuta biti jednaka ∠η = 3λ.
• Na temelju osnovnog svojstva susjednih kutova, μ + η = 180° slijedi

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

To znači da je prvi kut ∠μ = λ = 45°, a drugi kut ∠η = 3λ = 135°.

Sposobnost korištenja terminologije, kao i poznavanje osnovnih svojstava susjednih kutova, pomoći će vam u rješavanju mnogih geometrijskih problema.