Ángulos adyacentes y verticales. Lineas perpendiculares. ¿Qué son los ángulos adyacentes? Los ángulos adyacentes son siempre iguales.

1. Ángulos adyacentes.

Si extendemos el lado de cualquier ángulo más allá de su vértice, obtenemos dos ángulos (Fig. 72): ∠ABC y ∠CBD, en los que un lado BC es común y los otros dos, AB y BD, forman una línea recta.

Dos ángulos en los que un lado es común y los otros dos forman una línea recta se llaman ángulos adyacentes.

Los ángulos adyacentes también se pueden obtener de esta forma: si trazamos un rayo desde algún punto de una recta (que no se encuentre en una recta determinada), obtendremos ángulos adyacentes.

Por ejemplo, ∠ADF y ∠FDB son ángulos adyacentes (Fig. 73).

Los ángulos adyacentes pueden tener una amplia variedad de posiciones (Fig. 74).

Los ángulos adyacentes suman un ángulo llano, por lo que la suma de dos ángulos adyacentes es 180°

Por tanto, un ángulo recto se puede definir como un ángulo igual a su ángulo adyacente.

Conociendo el tamaño de uno de los ángulos adyacentes, podemos encontrar el tamaño del otro ángulo adyacente a él.

Por ejemplo, si uno de los ángulos adyacentes mide 54°, entonces el segundo ángulo será igual a:

180° - 54° = 126°.

2. Ángulos verticales.

Si extendemos los lados del ángulo más allá de su vértice, obtenemos ángulos verticales. En la Figura 75, los ángulos EOF y AOC son verticales; Los ángulos AOE y COF también son verticales.

Dos ángulos se llaman verticales si los lados de un ángulo son continuación de los lados del otro ángulo.

Sea ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(Fig. 76). ∠2 adyacente a él será igual a 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, es decir, 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

De la misma forma, puedes calcular a qué son iguales ∠3 y ∠4.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (Fig. 77).

Vemos que ∠1 = ∠3 y ∠2 = ∠4.

Puedes resolver varios problemas más iguales y cada vez obtendrás el mismo resultado: los ángulos verticales son iguales entre sí.

Sin embargo, para asegurarse de que los ángulos verticales sean siempre iguales entre sí, no basta con considerar ejemplos numéricos individuales, ya que las conclusiones extraídas de ejemplos particulares a veces pueden ser erróneas.

Es necesario verificar la validez de las propiedades de los ángulos verticales mediante pruebas.

La prueba se puede realizar de la siguiente manera (Fig.78):

∠un+∠C= 180°;

∠b+∠C= 180°;

(ya que la suma de los ángulos adyacentes es 180°).

∠un+∠C = ∠b+∠C

(ya que el lado izquierdo de esta igualdad es igual a 180°, y su lado derecho también es igual a 180°).

Esta igualdad incluye el mismo ángulo. Con.

Si restamos cantidades iguales de cantidades iguales, quedarán cantidades iguales. El resultado será: ∠a = ∠b, es decir, los ángulos verticales son iguales entre sí.

3. La suma de ángulos que tienen un vértice común.

En la Figura 79, ∠1, ∠2, ∠3 y ∠4 están ubicados a un lado de una línea y tienen un vértice común en esta línea. En resumen, estos ángulos forman un ángulo llano, es decir

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

En la Figura 80, ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 y ∠5 tienen un vértice común. Estos ángulos suman un ángulo completo, es decir, ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Dos ángulos situados en la misma recta y que tienen el mismo vértice se llaman adyacentes.

De lo contrario, si la suma de dos ángulos en una línea recta es igual a 180 grados y tienen un lado en común, entonces son ángulos adyacentes.

1 ángulo adyacente + 1 ángulo adyacente = 180 grados.

Los ángulos adyacentes son dos ángulos en los que un lado es común y los otros dos lados generalmente forman una línea recta.

La suma de dos ángulos adyacentes siempre es 180 grados. Por ejemplo, si un ángulo mide 60 grados, entonces el segundo necesariamente será igual a 120 grados (180-60).

Los ángulos AOC y BOC son ángulos adyacentes porque se cumplen todas las condiciones para las características de los ángulos adyacentes:

1.OS: lado común de dos esquinas

2.AO - lado de la esquina AOS, OB - lado de la esquina BOS. Juntos, estos lados forman una línea recta AOB.

3. Hay dos ángulos y su suma es 180 grados.

Recordando el curso de geometría de la escuela, podemos decir lo siguiente sobre los ángulos adyacentes:

Los ángulos adyacentes tienen un lado en común, y los otros dos lados pertenecen a la misma recta, es decir, están sobre la misma recta. Si, según la figura, entonces los ángulos SOB y BOA son ángulos adyacentes, cuya suma siempre es igual a 180, ya que dividen un ángulo recto, y un ángulo recto siempre es igual a 180.



Los ángulos adyacentes son un concepto sencillo en geometría. Los ángulos adyacentes, un ángulo más un ángulo, suman 180 grados.

Dos ángulos adyacentes serán un ángulo desplegado.

Hay varias propiedades más. Con ángulos adyacentes, los problemas son fáciles de resolver y los teoremas de demostrar.

Los ángulos adyacentes se forman dibujando un rayo desde un punto arbitrario en una línea recta. Entonces este punto arbitrario resulta ser el vértice del ángulo, el rayo resulta ser el lado común de los ángulos adyacentes y la línea recta desde la cual se traza el rayo resultan ser los dos lados restantes de los ángulos adyacentes. Los ángulos adyacentes pueden ser iguales en el caso de una viga perpendicular, o diferentes en el caso de una viga inclinada. Es fácil entender que la suma de los ángulos adyacentes es igual a 180 grados o simplemente una línea recta. De otra manera, este ángulo se puede explicar con un ejemplo simple: primero caminó en una dirección en línea recta, luego cambió de opinión, decidió regresar y, girando 180 grados, se dirigió a lo largo de la misma línea recta en el lado opuesto. dirección.



Entonces, ¿qué es un ángulo adyacente? Definición:

Dos ángulos con un vértice común y un lado común se llaman adyacentes, y los otros dos lados de estos ángulos se encuentran en la misma línea recta.



Y una breve lección en video que muestra con sensatez los ángulos adyacentes, los ángulos verticales y las rectas perpendiculares, que son un caso especial de ángulos adyacentes y verticales.

Los ángulos adyacentes son ángulos en los que un lado es común y el otro es una recta.

Los ángulos adyacentes son ángulos que dependen unos de otros. Es decir, si el lado común se gira ligeramente, entonces un ángulo disminuirá varios grados y automáticamente el segundo ángulo aumentará la misma cantidad de grados. Esta propiedad de los ángulos adyacentes permite resolver varios problemas de Geometría y realizar demostraciones de varios teoremas.

La suma total de los ángulos adyacentes es siempre 180 grados.



Del curso de geometría, (que yo recuerde en sexto grado), se llaman adyacentes dos ángulos, en los cuales un lado es común y los otros lados son rayos adicionales, la suma de los ángulos adyacentes es 180. Cada uno de los dos ángulos adyacentes complementan al otro a un ángulo expandido. Ejemplo de ángulos adyacentes:



Los ángulos adyacentes son dos ángulos que tienen un vértice común, uno de cuyos lados es común y los lados restantes se encuentran en la misma línea recta (no coincidentes). La suma de los ángulos adyacentes es ciento ochenta grados. En general, todo esto es muy fácil de encontrar en Google o en un libro de texto de geometría.

Dos ángulos se llaman adyacentes si tienen un vértice común y un lado, y los otros dos lados forman una línea recta. La suma de los ángulos adyacentes es 180 grados.



En la figura, los ángulos AOB y BOC son adyacentes.



Los ángulos adyacentes son aquellos que tienen un vértice común, un lado común y los demás lados son continuación unos de otros y forman un ángulo extendido. Una propiedad notable de los ángulos adyacentes es que la suma de estos ángulos siempre es igual a 180 grados.

Los ángulos con un vértice común y un lado común en geometría se llaman adyacentes.

La suma de los ángulos adyacentes es 180 grados

Cabe señalar que los ángulos adyacentes tienen senos iguales.

Para obtener más información sobre los ángulos adyacentes, lea aquí.

Cada ángulo, dependiendo de su tamaño, tiene su propio nombre:

Tipo de ángulo	Tamaño en grados	Ejemplo
Picante	Menos de 90°
Derecho	Igual a 90°. En un dibujo, un ángulo recto generalmente se indica mediante un símbolo dibujado de un lado al otro del ángulo.
Desafilado	Más de 90° pero menos de 180°
Expandido	Igual a 180° Un ángulo recto es igual a la suma de dos ángulos rectos y un ángulo recto es la mitad de un ángulo recto.
Convexo	Más de 180° pero menos de 360°
Lleno	Igual a 360°

Los dos ángulos se llaman adyacente, si tienen un lado en común, y los otros dos lados forman una línea recta:

Anglos FREGAR Y PON adyacente, ya que la viga OP- el lado común, y los otros dos lados - om Y EN formar una línea recta.

El lado común de los ángulos adyacentes se llama oblicuo a recto, en el que se encuentran los otros dos lados, sólo en el caso de que los ángulos adyacentes no sean iguales entre sí. Si los ángulos adyacentes son iguales, entonces su lado común será perpendicular.

La suma de los ángulos adyacentes es 180°.

Los dos ángulos se llaman vertical, si los lados de un ángulo complementan los lados del otro ángulo en rectas:

Los ángulos 1 y 3, así como los ángulos 2 y 4, son verticales.

Los ángulos verticales son iguales.

Demostremos que los ángulos verticales son iguales:

La suma de ∠1 y ∠2 es un ángulo llano. Y la suma de ∠3 y ∠2 es un ángulo llano. Entonces estas dos cantidades son iguales:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

En esta igualdad, hay un término idéntico a la izquierda y a la derecha: ∠2. No se violará la igualdad si se omite este término de izquierda y derecha. Entonces lo entendemos.

¿Cómo encontrar un ángulo adyacente?

Las matemáticas son la ciencia exacta más antigua, que se estudia obligatoriamente en escuelas, colegios, institutos y universidades. Sin embargo, los conocimientos básicos siempre se imparten en la escuela. A veces, al niño se le asignan tareas bastante complejas, pero los padres no pueden ayudarlo porque simplemente olvidaron algunas cosas de las matemáticas. Por ejemplo, cómo encontrar un ángulo adyacente según el tamaño del ángulo principal, etc. El problema es simple, pero puede causar dificultades para resolverlo debido al desconocimiento de qué ángulos se llaman adyacentes y cómo encontrarlos.

Echemos un vistazo más de cerca a la definición y las propiedades de los ángulos adyacentes, así como a cómo calcularlos a partir de los datos del problema.

Definición y propiedades de los ángulos adyacentes.

Dos rayos que emanan de un punto forman una figura llamada "ángulo plano". En este caso, este punto se llama vértice del ángulo y los rayos son sus lados. Si uno de los rayos continúa más allá del punto inicial en línea recta, se forma otro ángulo, que se llama adyacente. Cada ángulo en este caso tiene dos ángulos adyacentes, ya que los lados del ángulo son equivalentes. Es decir, siempre existe un ángulo adyacente de 180 grados.

Las principales propiedades de los ángulos adyacentes incluyen

• Los ángulos adyacentes tienen un vértice común y un lado;
• La suma de los ángulos adyacentes siempre es igual a 180 grados o al número Pi si el cálculo se realiza en radianes;
• Los senos de los ángulos adyacentes son siempre iguales;
• Los cosenos y tangentes de ángulos adyacentes son iguales pero tienen signos opuestos.

Cómo encontrar ángulos adyacentes

Generalmente se dan tres variaciones de problemas para encontrar la magnitud de los ángulos adyacentes.

• Se da el valor del ángulo principal;
• Se da la relación entre el ángulo principal y el adyacente;
• Se da el valor del ángulo vertical.

Cada versión del problema tiene su propia solución. Mirémoslos.

El valor del ángulo principal está dado.

Si el problema especifica el valor del ángulo principal, entonces encontrar el ángulo adyacente es muy sencillo. Para hacer esto, simplemente resta el valor del ángulo principal de 180 grados y obtendrás el valor del ángulo adyacente. Esta solución se basa en la propiedad de un ángulo adyacente: la suma de los ángulos adyacentes siempre es igual a 180 grados.

Si el valor del ángulo principal se da en radianes y el problema requiere encontrar el ángulo adyacente en radianes, entonces es necesario restar el valor del ángulo principal del número Pi, ya que el valor del ángulo desplegado completo es de 180 grados. es igual al número pi.

Se da la relación entre el ángulo principal y el adyacente.

El problema puede dar la proporción de los ángulos principal y adyacente en lugar de los grados y radianes del ángulo principal. En este caso, la solución se verá como una ecuación proporcional:

1. Denotamos la proporción del ángulo principal como la variable "Y".
2. La fracción relacionada con el ángulo adyacente se denota como la variable "X".
3. El número de grados que recaen en cada proporción se denotará, por ejemplo, con “a”.
4. La fórmula general se verá así: a*X+a*Y=180 o a*(X+Y)=180.
5. Encontramos el factor común de la ecuación “a” usando la fórmula a=180/(X+Y).
6. Luego multiplicamos el valor resultante del factor común “a” por la fracción del ángulo que se desea determinar.

De esta forma podemos encontrar el valor del ángulo adyacente en grados. Sin embargo, si necesita encontrar un valor en radianes, simplemente necesita convertir los grados a radianes. Para ello, multiplica el ángulo en grados por Pi y divide todo por 180 grados. El valor resultante estará en radianes.

El valor del ángulo vertical está dado.

Si el problema no da el valor del ángulo principal, pero sí el valor del ángulo vertical, entonces el ángulo adyacente se puede calcular usando la misma fórmula que en el primer párrafo, donde se da el valor del ángulo principal.

Un ángulo vertical es un ángulo que se origina en el mismo punto que el principal, pero se dirige exactamente en la dirección opuesta. Esto da como resultado una imagen especular. Esto significa que el ángulo vertical es igual en magnitud al principal. A su vez, el ángulo adyacente del ángulo vertical es igual al ángulo adyacente del ángulo principal. Gracias a esto se puede calcular el ángulo adyacente al ángulo principal. Para hacer esto, simplemente reste el valor vertical de 180 grados y obtenga el valor del ángulo adyacente al ángulo principal en grados.

Si el valor se da en radianes, entonces es necesario restar el valor del ángulo vertical del número Pi, ya que el valor del ángulo completo desplegado de 180 grados es igual al número Pi.

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En el proceso de estudiar un curso de geometría, los conceptos de "ángulo", "ángulos verticales" y "ángulos adyacentes" surgen con bastante frecuencia. Comprender cada uno de los términos te ayudará a comprender el problema y resolverlo correctamente. ¿Qué son los ángulos adyacentes y cómo determinarlos?

Ángulos adyacentes: definición del concepto.

El término "ángulos adyacentes" caracteriza dos ángulos formados por un rayo común y dos medias líneas adicionales que se encuentran en la misma línea recta. Los tres rayos salen del mismo punto. Una media línea común es simultáneamente un lado de uno y otro ángulo.

Ángulos adyacentes: propiedades básicas

1. Basándonos en la formulación de los ángulos adyacentes, es fácil notar que la suma de dichos ángulos siempre forma un ángulo inverso, cuya medida en grados es 180°:

• Si μ y η son ángulos adyacentes, entonces μ + η = 180°.
• Conociendo la magnitud de uno de los ángulos adyacentes (por ejemplo, μ), puedes calcular fácilmente la medida en grados del segundo ángulo (η) usando la expresión η = 180° – μ.

2. Esta propiedad de los ángulos nos permite sacar la siguiente conclusión: un ángulo adyacente a un ángulo recto también lo será.

3. Considerando las funciones trigonométricas (sin, cos, tg, ctg), con base en las fórmulas de reducción para ángulos adyacentes μ y η, se cumple lo siguiente:

• senη = sen(180° – μ) = senμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Ángulos adyacentes - ejemplos

Ejemplo 1

Dado un triángulo con vértices M, P, Q – ΔMPQ. Encuentra los ángulos adyacentes a los ángulos ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Extendamos cada lado del triángulo con una línea recta.
• Sabiendo que los ángulos adyacentes se complementan hasta un ángulo inverso, encontramos que:

adyacente al ángulo ∠QMP es ∠LMP,

adyacente al ángulo ∠MPQ es ∠SPQ,

adyacente al ángulo ∠PQM es ∠HQP.

Ejemplo 2

El valor de un ángulo adyacente es 35°. ¿Cuál es la medida en grados del segundo ángulo adyacente?

• Dos ángulos adyacentes suman 180°.
• Si ∠μ = 35°, entonces adyacente a él ∠η = 180° – 35° = 145°.

Ejemplo 3

Determina los valores de los ángulos adyacentes si se sabe que la medida en grados de uno de ellos es tres veces mayor que la medida en grados del otro ángulo.

• Denotemos la magnitud de un ángulo (más pequeño) por – ∠μ = λ.
• Entonces, según las condiciones del problema, el valor del segundo ángulo será igual a ∠η = 3λ.
• Basado en la propiedad básica de los ángulos adyacentes, μ + η = 180° sigue

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Esto significa que el primer ángulo es ∠μ = λ = 45° y el segundo ángulo es ∠η = 3λ = 135°.

La capacidad de utilizar terminología, así como el conocimiento de las propiedades básicas de los ángulos adyacentes, le ayudarán a resolver muchos problemas geométricos.