Cómo encontrar derivadas de funciones complejas. Derivada de una función compleja. Significado geométrico y físico de la derivada

Si seguimos la definición, entonces la derivada de una función en un punto es el límite de la razón de incremento de la función Δ y al incremento del argumento Δ X:

Todo parece estar claro. Pero trata de calcular con esta fórmula, digamos, la derivada de la función F(X) = X 2 + (2X+ 3) · mi X pecado X. Si hace todo por definición, luego de un par de páginas de cálculos simplemente se quedará dormido. Por lo tanto, hay formas más simples y efectivas.

Para empezar, notemos que las llamadas funciones elementales se pueden distinguir de toda la variedad de funciones. Estas son expresiones relativamente simples, cuyas derivadas se han calculado e ingresado en la tabla durante mucho tiempo. Tales funciones son bastante fáciles de recordar, junto con sus derivadas.

Derivadas de funciones elementales

Las funciones elementales son todo lo que se enumera a continuación. Las derivadas de estas funciones deben saberse de memoria. Además, no es difícil memorizarlos, por eso son elementales.

Entonces, las derivadas de funciones elementales:

Nombre	Función	Derivado
Constante	F(X) = C, C ∈ R	0 (sí, sí, cero!)
Grado con exponente racional	F(X) = X norte	norte · X norte − 1
Seno	F(X) = pecado X	porque X
Coseno	F(X) = porque X	− pecado X(menos seno)
Tangente	F(X) = tg X	1/cos 2 X
Cotangente	F(X) = control X	− 1/sen2 X
logaritmo natural	F(X) = registro X	1/X
logaritmo arbitrario	F(X) = registro un X	1/(X en un)
Funcion exponencial	F(X) = mi X	mi X(nada ha cambiado)

Si una función elemental se multiplica por una constante arbitraria, la derivada de la nueva función también se calcula fácilmente:

(C · F)’ = C · F ’.

En general, las constantes se pueden sacar del signo de la derivada. Por ejemplo:

(2X 3)' = 2 ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Obviamente, las funciones elementales se pueden sumar, multiplicar, dividir y mucho más. Así aparecerán nuevas funciones, ya no muy elementales, pero sí diferenciables según ciertas reglas. Estas reglas se discuten a continuación.

Derivada de suma y diferencia

Deja que las funciones F(X) y gramo(X), cuyos derivados nos son conocidos. Por ejemplo, puede tomar las funciones elementales discutidas anteriormente. Luego puedes encontrar la derivada de la suma y la diferencia de estas funciones:

(F + gramo)’ = F ’ + gramo ’
(F − gramo)’ = F ’ − gramo ’

Entonces, la derivada de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de las derivadas. Puede haber más términos. Por ejemplo, ( F + gramo + h)’ = F ’ + gramo ’ + h ’.

Estrictamente hablando, no existe el concepto de "resta" en álgebra. Hay un concepto de "elemento negativo". Por lo tanto, la diferencia F − gramo se puede reescribir como una suma F+ (−1) gramo, y luego solo queda una fórmula: la derivada de la suma.

F(X) = X 2 + senx; gramo(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Función F(X) es la suma de dos funciones elementales, entonces:

F ’(X) = (X 2+ pecado X)’ = (X 2)' + (pecado X)’ = 2X+ cosx;

Argumentamos de manera similar para la función gramo(X). Solo que ya hay tres términos (desde el punto de vista del álgebra):

gramo ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Responder:
F ’(X) = 2X+ cosx;
gramo ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivado de un producto

Las matemáticas son una ciencia lógica, por lo que mucha gente cree que si la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas, entonces la derivada del producto Huelga"\u003e igual al producto de derivados. ¡Pero higos para ti! La derivada del producto se calcula utilizando una fórmula completamente diferente. A saber:

(F · gramo) ’ = F ’ · gramo + F · gramo ’

La fórmula es simple, pero a menudo olvidada. Y no solo escolares, sino también estudiantes. El resultado son problemas resueltos incorrectamente.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones: F(X) = X 3 cosx; gramo(X) = (X 2 + 7X− 7) · mi X .

Función F(X) es un producto de dos funciones elementales, por lo que todo es simple:

F ’(X) = (X 3 porque X)’ = (X 3) porque X + X 3 (porque X)’ = 3X 2 porque X + X 3 (−sin X) = X 2 (3cos X − X pecado X)

Función gramo(X) el primer multiplicador es un poco más complicado, pero el esquema general no cambia a partir de esto. Obviamente, el primer multiplicador de la función gramo(X) es un polinomio, y su derivada es la derivada de la suma. Tenemos:

gramo ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · mi X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · mi X + (X 2 + 7X− 7) ( mi X)’ = (2X+ 7) · mi X + (X 2 + 7X− 7) · mi X = mi X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · mi X = X(X+ 9) · mi X .

Responder:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X pecado X);
gramo ’(X) = X(X+ 9) · mi X .

Tenga en cuenta que en el último paso, la derivada se factoriza. Formalmente, esto no es necesario, pero la mayoría de las derivadas no se calculan por sí solas, sino para explorar la función. Esto significa que, además, la derivada se igualará a cero, se descubrirán sus signos, etc. Para tal caso, es mejor tener una expresión descompuesta en factores.

Si hay dos funciones F(X) y gramo(X), y gramo(X) ≠ 0 en el conjunto que nos interesa, podemos definir una nueva función h(X) = F(X)/gramo(X). Para tal función, también puedes encontrar la derivada:

No es débil, ¿verdad? ¿De dónde vino el menos? Por qué gramo 2? ¡Pero así! Esta es una de las fórmulas más complejas: no puedes descifrarla sin una botella. Por lo tanto, es mejor estudiarlo con ejemplos específicos.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones:

Hay funciones elementales en el numerador y denominador de cada fracción, por lo que solo necesitamos la fórmula de la derivada del cociente:

Por tradición, factorizamos el numerador en factores; esto simplificará enormemente la respuesta:

Una función compleja no es necesariamente una fórmula de medio kilómetro de largo. Por ejemplo, basta con tomar la función F(X) = pecado X y reemplaza la variable X, digamos, en X 2+ln X. Resulta F(X) = pecado ( X 2+ln X) es una función compleja. Ella también tiene un derivado, pero no funcionará para encontrarlo de acuerdo con las reglas discutidas anteriormente.

¿Cómo ser? En tales casos, la sustitución de una variable y la fórmula para la derivada de una función compleja ayudan:

F ’(X) = F ’(t) · t', Si X es reemplazado por t(X).

Como regla general, la situación con la comprensión de esta fórmula es aún más triste que con la derivada del cociente. Por eso, también es mejor explicarlo con ejemplos concretos, con una descripción detallada de cada paso.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones: F(X) = mi 2X + 3 ; gramo(X) = pecado ( X 2+ln X)

Tenga en cuenta que si en la función F(X) en lugar de la expresión 2 X+ 3 será fácil X, entonces obtenemos una función elemental F(X) = mi X. Por lo tanto, hacemos una sustitución: sea 2 X + 3 = t, F(X) = F(t) = mi t. Estamos buscando la derivada de una función compleja por la fórmula:

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (mi t)’ · t ’ = mi t · t ’

Y ahora, ¡atención! Realizando una sustitución inversa: t = 2X+ 3. Obtenemos:

F ’(X) = mi t · t ’ = mi 2X+ 3 (2 X + 3)’ = mi 2X+ 3 2 = 2 mi 2X + 3

Ahora veamos la función gramo(X). Obviamente necesita ser reemplazado. X 2+ln X = t. Tenemos:

gramo ’(X) = gramo ’(t) · t' = (pecado t)’ · t' = porque t · t ’

Reemplazo inverso: t = X 2+ln X. Entonces:

gramo ’(X) = porque( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = porque ( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).

¡Eso es todo! Como se puede ver en la última expresión, todo el problema se ha reducido a calcular la derivada de la suma.

Responder:
F ’(X) = 2 mi 2X + 3 ;
gramo ’(X) = (2X + 1/X) porque ( X 2+ln X).

Muy a menudo en mis lecciones, en lugar del término "derivado", uso la palabra "carrera". Por ejemplo, el trazo de la suma es igual a la suma de los trazos. ¿Está más claro? Bueno, eso es bueno.

Por lo tanto, el cálculo de la derivada se reduce a deshacerse de estos mismos trazos de acuerdo con las reglas discutidas anteriormente. Como último ejemplo, volvamos a la potencia derivada con exponente racional:

(X norte)’ = norte · X norte − 1

Pocos saben que en el papel norte bien puede ser un número fraccionario. Por ejemplo, la raíz es X 0.5 . Pero, ¿y si hay algo complicado debajo de la raíz? Nuevamente, resultará una función compleja: les gusta dar tales construcciones en pruebas y exámenes.

Tarea. Encuentra la derivada de una función:

Primero, reescribamos la raíz como una potencia con un exponente racional:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Ahora hacemos una sustitución: sea X 2 + 8X − 7 = t. Encontramos la derivada por la fórmula:

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−0,5 t ’.

Realizamos una sustitución inversa: t = X 2 + 8X− 7. Tenemos:

F ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X− 7) −0,5 ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Finalmente, de vuelta a las raíces:

En el que analizamos los derivados más simples, y también nos familiarizamos con las reglas de diferenciación y algunas técnicas para encontrar derivados. Por lo tanto, si no eres muy bueno con las derivadas de funciones o algunos puntos de este artículo no están del todo claros, entonces primero lee la lección anterior. Sintonice un estado de ánimo serio: el material no es fácil, pero intentaré presentarlo de manera simple y clara.

En la práctica, tienes que lidiar con la derivada de una función compleja muy a menudo, incluso diría que casi siempre, cuando te dan tareas para encontrar derivadas.

Miramos en la tabla la regla (No. 5) para diferenciar una función compleja:

Entendemos. En primer lugar, echemos un vistazo a la notación. Aquí tenemos dos funciones - y , y la función, en sentido figurado, está anidada en la función . Una función de este tipo (cuando una función está anidada dentro de otra) se denomina función compleja.

llamaré a la función función externa, y la función – función interna (o anidada).

! Estas definiciones no son teóricas y no deben aparecer en el diseño final de las asignaciones. Utilizo las expresiones informales "función externa", función "interna" solo para facilitarle la comprensión del material.

Para aclarar la situación, considere:

Ejemplo 1

Encontrar la derivada de una función

Debajo del seno, no solo tenemos la letra "x", sino la expresión completa, por lo que encontrar la derivada inmediatamente de la tabla no funcionará. También notamos que es imposible aplicar las primeras cuatro reglas aquí, parece haber una diferencia, pero el hecho es que es imposible "desgarrar" el seno:

En este ejemplo, ya de mis explicaciones, es intuitivamente claro que la función es una función compleja y el polinomio es una función interna (incrustación) y una función externa.

Primer paso, que debe realizarse cuando encontrar la derivada de una función compleja es entender qué función es interna y cuál es externa.

En el caso de ejemplos simples, parece claro que un polinomio está anidado debajo del seno. Pero, ¿y si no es obvio? ¿Cómo determinar exactamente qué función es externa y cuál es interna? Para ello, propongo utilizar la siguiente técnica, que puede llevarse a cabo mentalmente o sobre un borrador.

Imaginemos que necesitamos calcular el valor de la expresión con una calculadora (en lugar de una, puede ser cualquier número).

¿Qué calculamos primero? Ante todo deberá realizar la siguiente acción: , por lo que el polinomio será una función interna:

En segundo lugar necesitará encontrar, por lo que el seno - será una función externa:

Después de que nosotros COMPRENDER con funciones internas y externas, es hora de aplicar la regla de diferenciación de funciones compuestas .

Empezamos a decidir. de la lección ¿Cómo encontrar la derivada? recordamos que el diseño de la solución de cualquier derivada siempre comienza así - encerramos la expresión entre paréntesis y ponemos un trazo en la parte superior derecha:

Primero encontramos la derivada de la función externa (seno), miramos la tabla de derivadas de funciones elementales y observamos que . Todas las fórmulas tabulares son aplicables incluso si "x" se reemplaza por una expresión compleja, en este caso:

Tenga en cuenta que la función interna no ha cambiado, no lo tocamos.

Bueno, es bastante obvio que

El resultado de aplicar la fórmula limpio se ve así:

El factor constante generalmente se coloca al comienzo de la expresión:

Si hay algún malentendido, anote la decisión en un papel y lea las explicaciones nuevamente.

Ejemplo 2

Encontrar la derivada de una función

Ejemplo 3

Encontrar la derivada de una función

Como siempre, escribimos:

Averiguamos dónde tenemos una función externa y dónde una interna. Para ello, intentamos (mentalmente o en un borrador) calcular el valor de la expresión para . ¿Qué hay que hacer primero? En primer lugar, debe calcular a qué es igual la base:, lo que significa que el polinomio es la función interna:

Y, solo entonces se realiza la exponenciación, por lo tanto, la función potencia es una función externa:

Según la fórmula , primero necesitas encontrar la derivada de la función externa, en este caso, el grado. Estamos buscando la fórmula deseada en la tabla:. Repetimos de nuevo: cualquier fórmula tabular es válida no solo para "x", sino también para una expresión compleja. Así, el resultado de aplicar la regla de diferenciación de una función compleja Siguiente:

Vuelvo a recalcar que cuando tomamos la derivada de la función exterior, la función interior no cambia:

Ahora queda encontrar una derivada muy simple de la función interna y “peinar” un poco el resultado:

Ejemplo 4

Encontrar la derivada de una función

Este es un ejemplo de auto-resolución (respuesta al final de la lección).

Para consolidar la comprensión de la derivada de una función compleja, daré un ejemplo sin comentarios, trate de resolverlo por su cuenta, razón, ¿dónde está la función externa y dónde está la función interna, por qué las tareas se resuelven de esa manera?

Ejemplo 5

a) Hallar la derivada de una función

b) Hallar la derivada de la función

Ejemplo 6

Encontrar la derivada de una función

Aquí tenemos una raíz, y para poder diferenciar la raíz, se debe representar como un grado. Por lo tanto, primero llevamos la función a la forma adecuada para la diferenciación:

Al analizar la función, llegamos a la conclusión de que la suma de tres términos es una función interna y la exponenciación es una función externa. Aplicamos la regla de diferenciación de una función compleja :

El grado se representa nuevamente como un radical (raíz), y para la derivada de la función interna, aplicamos una regla simple para derivar la suma:

Listo. También puedes llevar la expresión a un denominador común entre paréntesis y escribir todo como una fracción. Es hermoso, por supuesto, pero cuando se obtienen derivadas largas engorrosas, es mejor no hacer esto (es fácil confundirse, cometer un error innecesario y será un inconveniente para el maestro verificar).

Ejemplo 7

Encontrar la derivada de una función

Este es un ejemplo de auto-resolución (respuesta al final de la lección).

Es interesante notar que a veces, en lugar de la regla para derivar una función compleja, se puede usar la regla para derivar un cociente , pero tal solución parecerá una perversión inusual. Aquí está un ejemplo típico:

Ejemplo 8

Encontrar la derivada de una función

Aquí puedes usar la regla de derivación del cociente , pero es mucho más rentable encontrar la derivada mediante la regla de diferenciación de una función compleja:

Preparamos la función para la derivación: quitamos el signo menos de la derivada y elevamos el coseno al numerador:

El coseno es una función interna, la exponenciación es una función externa.
Usemos nuestra regla :

Encontramos la derivada de la función interna, restablecemos el coseno hacia abajo:

Listo. En el ejemplo considerado, es importante no confundirse en los signos. Por cierto, intenta resolverlo con la regla , las respuestas deben coincidir.

Ejemplo 9

Encontrar la derivada de una función

Este es un ejemplo de auto-resolución (respuesta al final de la lección).

Hasta ahora, hemos considerado casos en los que solo teníamos un anidamiento en una función compleja. En tareas prácticas, a menudo puede encontrar derivados, donde, como muñecos anidados, uno dentro del otro, se anidan 3 o incluso 4-5 funciones a la vez.

Ejemplo 10

Encontrar la derivada de una función

Entendemos los archivos adjuntos de esta función. Tratamos de evaluar la expresión usando el valor experimental. ¿Cómo contaríamos con una calculadora?

Primero necesitas encontrar, lo que significa que el arcoseno es el anidamiento más profundo:

Este arcoseno de la unidad debe elevarse al cuadrado:

Y finalmente, elevamos el siete a la potencia:

Es decir, en este ejemplo tenemos tres funciones diferentes y dos anidamientos, mientras que la función más interna es el arcoseno y la función más externa es la función exponencial.

empezamos a decidir

En concordancia con reglas primero necesitas tomar la derivada de la función exterior. Miramos la tabla de derivadas y encontramos la derivada de la función exponencial: La única diferencia es que en lugar de "x" tenemos una expresión compleja, que no niega la validez de esta fórmula. Entonces, el resultado de aplicar la regla de diferenciación de una función compleja Siguiente.

Desde que llegaste aquí, probablemente ya lograste ver esta fórmula en el libro de texto.

y poner una cara como esta:

¡Amigo, no te preocupes! De hecho, todo es fácil de deshonrar. Definitivamente entenderás todo. Solo una solicitud: lea el artículo despacio tratar de entender cada paso. Escribí de la manera más simple y clara posible, pero aún necesita profundizar en la idea. Y asegúrese de resolver las tareas del artículo.

¿Qué es una función compleja?

Imagina que te mudas a otro departamento y por lo tanto estás empacando cosas en cajas grandes. Que sea necesario recoger algunos artículos pequeños, por ejemplo, papelería escolar. Si simplemente los arrojas en una caja enorme, se perderán entre otras cosas. Para evitar esto, primero los pone, por ejemplo, en una bolsa, que luego coloca en una caja grande, después de lo cual la sella. Este proceso "más difícil" se muestra en el siguiente diagrama:

Parecería, ¿de dónde vienen las matemáticas? ¡Y además, una función compleja se forma EXACTAMENTE DE LA MISMA manera! Solo "empacamos" no cuadernos y bolígrafos, sino \ (x \), mientras que sirven diferentes "paquetes" y "cajas".

Por ejemplo, tomemos x y "empaquetamos" en una función:

Como resultado, obtenemos, por supuesto, \(\cos⁡x\). Esta es nuestra "bolsa de cosas". Y ahora lo ponemos en una "caja": lo empaquetamos, por ejemplo, en una función cúbica.

¿Qué pasará al final? Sí, así es, habrá un "paquete con cosas en una caja", es decir, "coseno de x al cubo".

La construcción resultante es una función compleja. Se diferencia del simple en que Se aplican VARIOS “impactos” (paquetes) a una X seguida y resulta, por así decirlo, "una función de una función" - "un paquete en un paquete".

En el curso escolar hay muy pocos tipos de estos mismos “paquetes”, solo cuatro:

Ahora "empaquetamos" x primero en una función exponencial con base 7 y luego en una función trigonométrica. Obtenemos:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Y ahora "empaquetamos" x dos veces en funciones trigonométricas, primero en y luego en:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Sencillo, ¿verdad?

Ahora escribe las funciones tú mismo, donde x:
- primero se “empaqueta” en un coseno y luego en una función exponencial con base \(3\);
- primero a la quinta potencia, y luego a la tangente;
- primero al logaritmo base \(4\) , luego a la potencia \(-2\).

Vea las respuestas a esta pregunta al final del artículo.

Pero, ¿podemos "empacar" x no dos, sino tres veces? ¡No hay problema! Y cuatro, y cinco, y veinticinco veces. Aquí, por ejemplo, hay una función en la que x se "empaqueta" \(4\) veces:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Pero tales fórmulas no se encontrarán en la práctica escolar (los estudiantes son más afortunados, pueden ser más difíciles☺).

"Desempaquetar" una función compleja

Mira la función anterior de nuevo. ¿Puedes descifrar la secuencia de "empaque"? En qué se metió X primero, qué después, y así hasta el final. Es decir, ¿qué función está anidada en cuál? Toma una hoja de papel y escribe lo que piensas. Puedes hacer esto con una cadena de flechas, como escribimos arriba, o de cualquier otra forma.

Ahora la respuesta correcta es: primero se “empaquetaba” x en la \(4\) potencia, luego se empaquetaba el resultado en el seno, este, a su vez, se colocaba en la base del logaritmo \(2\), y en Al final, toda la construcción fue empujada a los cincos de poder.

Es decir, es necesario desenrollar la secuencia EN ORDEN INVERSO. Y aquí hay una pista de cómo hacerlo más fácil: solo mira la X, tienes que bailar desde ella. Veamos algunos ejemplos.

Por ejemplo, aquí hay una función: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Miramos a X: ¿qué le sucede primero? Tomado de él. ¿Y luego? Se toma la tangente del resultado. Y la secuencia será la misma:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Otro ejemplo: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analizamos: primero x se elevó al cubo y luego se tomó el coseno del resultado. Entonces la secuencia será: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Preste atención, la función parece ser similar a la primera (con imágenes). Pero esta es una función completamente diferente: aquí en el cubo x (es decir, \(\cos⁡((x x x)))\), y allí en el cubo el coseno \(x\) (es decir, \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Esta diferencia surge de diferentes secuencias de "empaquetado".

El último ejemplo (con información importante): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Está claro que aquí primero realizamos operaciones aritméticas con x, luego se tomó el seno del resultado: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Y este es un punto importante: a pesar de que las operaciones aritméticas no son funciones en sí mismas, aquí también actúan como una forma de “empaquetar”. Profundicemos un poco más en esta sutileza.

Como dije anteriormente, en funciones simples, x se "empaqueta" una vez, y en funciones complejas, dos o más. Además, cualquier combinación de funciones simples (es decir, su suma, diferencia, multiplicación o división) también es una función simple. Por ejemplo, \(x^7\) es una función simple, al igual que \(ctg x\). Por lo tanto, todas sus combinaciones son funciones simples:

\(x^7+ ctg x\) - simple,
\(x^7 ctg x\) es simple,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) es simple, y así sucesivamente.

Sin embargo, si se aplica una función más a tal combinación, ya será una función compleja, ya que habrá dos "paquetes". Ver diagrama:

Bien, sigamos con eso ahora. Escriba la secuencia de funciones de "envoltura":
\(y=cos(⁡(sen⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Las respuestas están nuevamente al final del artículo.

Funciones internas y externas

¿Por qué necesitamos entender el anidamiento de funciones? ¿Qué nos da esto? El punto es que sin dicho análisis no podremos encontrar de manera confiable las derivadas de las funciones discutidas anteriormente.

Y para avanzar necesitaremos dos conceptos más: funciones internas y externas. Esto es algo muy simple, además, de hecho, ya los hemos analizado anteriormente: si recordamos nuestra analogía al principio, entonces la función interna es el "paquete" y la externa es la "caja". Aquellas. lo que X está "envuelto" primero es una función interna, y lo que está "envuelto" en lo interno ya es externo. Bueno, es comprensible por qué: está afuera, significa externo.

Aquí, en este ejemplo: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), la función \(\log_2⁡x\) es interna, y
- externo.

Y en esta: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) es interna, y
- externo.

Realice la última práctica de análisis de funciones complejas y, finalmente, pasemos al punto por el cual se inició todo: encontraremos derivadas de funciones complejas:

Rellena los huecos de la tabla:

Derivada de una función compuesta

Bravo por nosotros, todavía llegamos al "jefe" de este tema, de hecho, la derivada de una función compleja, y específicamente, a esa terrible fórmula del comienzo del artículo.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Esta fórmula se lee así:

La derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de la función externa con respecto a la función interna constante y la derivada de la función interna.

E inmediatamente mire el esquema de análisis "por palabras" para entender con qué relacionarse:

Espero que los términos "derivado" y "producto" no causen dificultades. "Función compleja": ya la hemos desmantelado. La trampa está en la "derivada de la función externa con respecto a la constante interna". ¿Lo que es?

Respuesta: esta es la derivada habitual de la función externa, en la que solo cambia la función externa, mientras que la interna permanece igual. ¿Todavía no está claro? Bien, vamos a tomar un ejemplo.

Digamos que tenemos una función \(y=\sin⁡(x^3)\). Está claro que la función interna aquí es \(x^3\), y la externa
. Busquemos ahora la derivada del exterior con respecto a la constante interior.

si un gramo(X) y F(tu) son funciones diferenciables de sus argumentos, respectivamente, en los puntos X y tu= gramo(X), entonces la función compleja también es diferenciable en el punto X y se encuentra por la formula

Un error típico en la resolución de problemas de derivadas es la transferencia automática de las reglas para derivar funciones simples a funciones complejas. Aprenderemos a evitar este error.

Ejemplo 2 Encontrar la derivada de una función

Solución incorrecta: calcula el logaritmo natural de cada término entre paréntesis y encuentra la suma de las derivadas:

Solución correcta: nuevamente determinamos dónde está la "manzana" y dónde está la "carne picada". Aquí, el logaritmo natural de la expresión entre paréntesis es la "manzana", es decir, la función sobre el argumento intermedio tu, y la expresión entre paréntesis es "carne picada", es decir, un argumento intermedio tu por variable independiente X.

Entonces (usando la fórmula 14 de la tabla de derivadas)

En muchos problemas reales, la expresión con el logaritmo es algo más complicada, por eso hay una lección

Ejemplo 3 Encontrar la derivada de una función

Solución incorrecta:

Solución correcta. Una vez más, determinamos dónde está la "manzana" y dónde la "carne picada". Aquí, el coseno de la expresión entre paréntesis (fórmula 7 en la tabla de derivadas) es "manzana", se prepara en el modo 1, que lo afecta solo, y la expresión entre paréntesis (la derivada del grado - número 3 en la tabla de derivados) es "carne picada", se cocina en el modo 2, afectándolo únicamente. Y como siempre, conectamos dos derivadas con un signo de producto. Resultado:

La derivada de una función logarítmica compleja es una tarea frecuente en las pruebas, por lo que te recomendamos visitar la lección "Derivada de una función logarítmica".

Los primeros ejemplos fueron para funciones complejas, en las que el argumento intermedio sobre la variable independiente era una función simple. Pero en tareas prácticas, a menudo se requiere encontrar la derivada de una función compleja, donde el argumento intermedio es en sí mismo una función compleja o contiene dicha función. ¿Qué hacer en tales casos? Encuentre derivadas de tales funciones usando tablas y reglas de diferenciación. Cuando se encuentra la derivada del argumento intermedio, simplemente se sustituye en el lugar correcto de la fórmula. A continuación se muestran dos ejemplos de cómo se hace esto.

Además, es útil saber lo siguiente. Si una función compleja se puede representar como una cadena de tres funciones

entonces su derivada debe hallarse como el producto de las derivadas de cada una de estas funciones:

Muchas de sus tareas escolares pueden requerir que abra tutoriales en ventanas nuevas. Acciones con potencias y raíces. y Acciones con fracciones .

Ejemplo 4 Encontrar la derivada de una función

Aplicamos la regla de diferenciación de una función compleja, sin olvidar que en el producto de derivadas resultante, el argumento intermedio con respecto a la variable independiente X no cambia:

Preparamos el segundo factor del producto y aplicamos la regla para diferenciar la suma:

El segundo término es la raíz, por lo que

Así, se obtuvo que el argumento intermedio, que es la suma, contiene como uno de los términos una función compleja: la exponenciación es una función compleja, y lo elevado a una potencia es un argumento intermedio por una variable independiente X.

Por tanto, aplicamos de nuevo la regla de diferenciación de una función compleja:

Transformamos el grado del primer factor en raíz, y derivando el segundo factor, no olvidamos que la derivada de la constante es igual a cero:

Ahora podemos encontrar la derivada del argumento intermedio necesario para calcular la derivada de la función compleja requerida en la condición del problema y:

Ejemplo 5 Encontrar la derivada de una función

Primero, usamos la regla de diferenciar la suma:

Obtener la suma de derivadas de dos funciones complejas. Encuentra el primero:

Aquí, elevar el seno a una potencia es una función compleja, y el seno mismo es un argumento intermedio en la variable independiente X. Por lo tanto, usamos la regla de diferenciación de una función compleja, en el camino quitando el multiplicador entre paréntesis :

Ahora encontramos el segundo término de los que forman la derivada de la función y:

Aquí, elevar el coseno a una potencia es una función compleja F, y el propio coseno es un argumento intermedio con respecto a la variable independiente X. Nuevamente, usamos la regla de diferenciación de una función compleja:

El resultado es la derivada requerida:

Tabla de derivadas de algunas funciones complejas

Para funciones complejas, con base en la regla de diferenciación de una función compleja, la fórmula para la derivada de una función simple toma una forma diferente.

1. Derivada de una función potencia compleja, donde tu X
2. Derivada de la raíz de la expresión
3. Derivada de la función exponencial
4. Caso especial de la función exponencial
5. Derivada de una función logarítmica con base positiva arbitraria un
6. Derivada de una función logarítmica compleja, donde tu es una función diferenciable del argumento X
7. Derivada del seno
8. Derivada del coseno
9. Derivada tangente
10. Derivada de cotangente
11. Derivada del arcoseno
12. Derivada del arco coseno
13. Derivada del arco tangente
14. Derivada de la tangente inversa

En esta lección, aprenderemos cómo encontrar derivada de una función compleja. La lección es una continuación lógica de la lección. ¿Cómo encontrar la derivada?, en el que analizamos las derivadas más simples y también nos familiarizamos con las reglas de diferenciación y algunos métodos técnicos para encontrar derivadas. Por lo tanto, si no eres muy bueno con las derivadas de funciones o algunos puntos de este artículo no están del todo claros, entonces primero lee la lección anterior. Sintonice un estado de ánimo serio: el material no es fácil, pero intentaré presentarlo de manera simple y clara.

En la práctica, tienes que lidiar con la derivada de una función compleja muy a menudo, incluso diría que casi siempre, cuando te dan tareas para encontrar derivadas.

Miramos en la tabla la regla (No. 5) para diferenciar una función compleja:

llamaré a la función función externa, y la función – función interna (o anidada).

Para aclarar la situación, considere:

Ejemplo 1

Encontrar la derivada de una función

En este ejemplo, ya de mis explicaciones, es intuitivamente claro que la función es una función compleja y el polinomio es una función interna (incrustación) y una función externa.

Primer paso, que debe realizarse cuando encontrar la derivada de una función compleja es entender qué función es interna y cuál es externa.

Imaginemos que necesitamos calcular el valor de la expresión con una calculadora (en lugar de una, puede ser cualquier número).

¿Qué calculamos primero? Ante todo deberá realizar la siguiente acción: , por lo que el polinomio será una función interna:

En segundo lugar necesitará encontrar, por lo que el seno - será una función externa:

Después de que nosotros COMPRENDER Con funciones internas y externas, es hora de aplicar la regla de diferenciación de funciones compuestas.

Tenga en cuenta que la función interna no ha cambiado, no lo tocamos.

Bueno, es bastante obvio que

El resultado final de aplicar la fórmula se ve así:

El factor constante generalmente se coloca al comienzo de la expresión:

Si hay algún malentendido, anote la decisión en un papel y lea las explicaciones nuevamente.

Ejemplo 2

Encontrar la derivada de una función

Ejemplo 3

Encontrar la derivada de una función

Como siempre, escribimos:

Averiguamos dónde tenemos una función externa y dónde una interna. Para ello, intentamos (mentalmente o en un borrador) calcular el valor de la expresión para . ¿Qué hay que hacer primero? En primer lugar, debe calcular a qué es igual la base:, lo que significa que el polinomio es la función interna:

Y, solo entonces se realiza la exponenciación, por lo tanto, la función potencia es una función externa:

De acuerdo con la fórmula, primero debes encontrar la derivada de la función externa, en este caso, el grado. Estamos buscando la fórmula deseada en la tabla:. Repetimos de nuevo: cualquier fórmula tabular es válida no solo para "x", sino también para una expresión compleja. Así, el resultado de aplicar la regla de derivación de una función compleja es el siguiente:

Ejemplo 4

Encontrar la derivada de una función

Este es un ejemplo de auto-resolución (respuesta al final de la lección).

Ejemplo 5

a) Hallar la derivada de una función

b) Hallar la derivada de la función

Ejemplo 6

Encontrar la derivada de una función

Aquí tenemos una raíz, y para poder diferenciar la raíz, se debe representar como un grado. Por lo tanto, primero llevamos la función a la forma adecuada para la diferenciación:

El grado se representa nuevamente como un radical (raíz), y para la derivada de la función interna, aplicamos una regla simple para derivar la suma:

Ejemplo 7

Encontrar la derivada de una función

Este es un ejemplo de auto-resolución (respuesta al final de la lección).

Es interesante notar que a veces, en lugar de la regla para derivar una función compleja, se puede usar la regla para derivar un cociente , pero tal solución parecería una perversión divertida. Aquí está un ejemplo típico:

Ejemplo 8

Encontrar la derivada de una función

Aquí puedes usar la regla de derivación del cociente , pero es mucho más rentable encontrar la derivada mediante la regla de diferenciación de una función compleja:

Preparamos la función para la derivación: quitamos el signo menos de la derivada y elevamos el coseno al numerador:

El coseno es una función interna, la exponenciación es una función externa.
Usemos nuestra regla:

Encontramos la derivada de la función interna, restablecemos el coseno hacia abajo:

Listo. En el ejemplo considerado, es importante no confundirse en los signos. Por cierto, intenta resolverlo con la regla , las respuestas deben coincidir.

Ejemplo 9

Encontrar la derivada de una función

Este es un ejemplo de auto-resolución (respuesta al final de la lección).

Ejemplo 10

Encontrar la derivada de una función

Entendemos los archivos adjuntos de esta función. Tratamos de evaluar la expresión usando el valor experimental. ¿Cómo contaríamos con una calculadora?

Primero necesitas encontrar, lo que significa que el arcoseno es el anidamiento más profundo:

Este arcoseno de la unidad debe elevarse al cuadrado:

Y finalmente, elevamos el siete a la potencia:

Es decir, en este ejemplo tenemos tres funciones diferentes y dos anidamientos, mientras que la función más interna es el arcoseno y la función más externa es la función exponencial.

empezamos a decidir

De acuerdo con la regla, primero debe tomar la derivada de la función externa. Miramos la tabla de derivadas y encontramos la derivada de la función exponencial: La única diferencia es que en lugar de "x" tenemos una expresión compleja, que no niega la validez de esta fórmula. Entonces, el resultado de aplicar la regla de diferenciación de una función compleja es el siguiente:

¡Debajo del tablero, tenemos una función complicada nuevamente! Pero ya es más fácil. Es fácil ver que la función interna es el arcoseno y la función externa es el grado. De acuerdo con la regla de diferenciación de una función compleja, primero debe tomar la derivada del grado.