Considere un ejemplo simple:
15:5=3
En este ejemplo, dividimos el número natural 15 completamente 3, sin resto.
A veces, un número natural no se puede dividir por completo. Por ejemplo, considere el problema:
Había 16 juguetes en el armario. Había cinco niños en el grupo. Cada niño tomó la misma cantidad de juguetes. ¿Cuántos juguetes tiene cada niño?
Decisión:
Divide el número 16 entre 5 por una columna y obtienes:
Sabemos que 16 por 5 no es divisible. El número menor más cercano que es divisible por 5 es 15 con un resto de 1. Podemos escribir el número 15 como 5⋅3. Como resultado (16 - dividendo, 5 - divisor, 3 - cociente parcial, 1 - resto). Tiene fórmula división con resto que se puede hacer verificación de la solución.
un=
b⋅
C+
d
un - divisible
b - divisor,
C - cociente incompleto,
d - recordatorio.
Respuesta: Cada niño tomará 3 juguetes y quedará un juguete.
Resto de la división
El resto siempre debe ser menor que el divisor.
Si el resto es cero al dividir, entonces el dividendo es divisible. completamente o ningún resto por divisor.
Si al dividir el resto es mayor que el divisor, significa que el número encontrado no es el mayor. Hay un número mayor que dividirá el dividendo y el resto será menor que el divisor.
Preguntas sobre el tema "División con resto":
¿Puede el resto ser mayor que el divisor?
Respuesta: no.
¿Puede el resto ser igual al divisor?
Respuesta: no.
¿Cómo encontrar el dividendo por el cociente incompleto, el divisor y el resto?
Respuesta: sustituimos los valores del cociente incompleto, divisor y resto en la fórmula y encontramos el dividendo. Fórmula:
a=b⋅c+d
Ejemplo 1:
Realiza la división con resto y comprueba: a) 258:7 b) 1873:8
Decisión:
a) Divida en una columna: 
258 - divisible,
7 - divisor,
36 - cociente incompleto,
6 - resto. Resto menor que divisor 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
b) Divida en una columna: 
1873 - divisible,
8 - divisor,
234 - cociente incompleto,
1 es el resto. Resto menor que divisor 1<8.
Sustituye en la fórmula y comprueba si hemos resuelto correctamente el ejemplo:
8⋅234+1=1872+1=1873
Ejemplo #2:
¿Qué residuos se obtienen al dividir números naturales: a) 3 b) 8?
Responder:
a) El resto es menor que el divisor, por lo tanto menor que 3. En nuestro caso, el resto puede ser 0, 1 o 2.
b) El resto es menor que el divisor, por lo tanto, menor que 8. En nuestro caso, el resto puede ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 o 7.
Ejemplo #3:
¿Cuál es el mayor resto que se puede obtener al dividir números naturales: a) 9 b) 15?
Responder:
a) El resto es menor que el divisor, por lo tanto, menor que 9. Pero necesitamos indicar el resto mayor. Es decir, el número más cercano al divisor. Este número es 8.
b) El resto es menor que el divisor, por lo tanto, menor que 15. Pero necesitamos indicar el resto mayor. Es decir, el número más cercano al divisor. Este número es 14.
Ejemplo #4:
Encuentre el dividendo: a) a: 6 \u003d 3 (rem. 4) b) c: 24 \u003d 4 (rem. 11)
Decisión:
a) Resuelve usando la fórmula:
a=b⋅c+d
(a es el dividendo, b es el divisor, c es el cociente parcial, d es el resto).
a:6=3(resto.4)
(a es el dividendo, 6 es el divisor, 3 es el cociente incompleto, 4 es el resto). Sustituye los números en la fórmula:
a=6⋅3+4=22
Respuesta: a=22
b) Resuelve usando la fórmula:
a=b⋅c+d
(a es el dividendo, b es el divisor, c es el cociente parcial, d es el resto).
s:24=4(resto.11)
(c es el dividendo, 24 es el divisor, 4 es el cociente incompleto, 11 es el resto). Sustituye los números en la fórmula:
c=24⋅4+11=107
Respuesta: s=107
Tarea:
Alambre 4m. se debe cortar en trozos de 13 cm. ¿Cuántas de estas piezas habrá?
Decisión:
Primero necesitas convertir metros a centímetros.
4m.=400cm.
Puedes dividir por una columna o en tu mente obtenemos:
400:13=30(resto 10)
Vamos a revisar:
13⋅30+10=390+10=400
Respuesta: Saldrán 30 piezas y quedarán 10 cm de alambre.
Signos de divisibilidad de los números.- estas son reglas que permiten, sin dividir, saber con relativa rapidez si este número es divisible por uno dado sin resto.
Algunos de signos de divisibilidad bastante simple, algunos más difíciles. En esta página encontrarás tanto signos de divisibilidad de números primos, como, por ejemplo, 2, 3, 5, 7, 11, como signos de divisibilidad de números compuestos, como 6 o 12.
Espero que esta información le sea útil.
¡Feliz aprendizaje!
Signo de divisibilidad por 2
Este es uno de los signos más simples de divisibilidad. Suena así: si el registro de un número natural termina con un dígito par, entonces es par (dividido sin resto por 2), y si el registro de un número termina con un dígito impar, entonces este número es impar.
En otras palabras, si el último dígito de un número es 2
, 4
, 6
, 8
o 0
- el número es divisible por 2, si no, entonces no es divisible
Por ejemplo, números: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
son divisibles por 2 porque son pares.
Números A: 23 5
, 137
, 2303
no son divisibles por 2 porque son impares.
Signo de divisibilidad por 3
Este signo de divisibilidad tiene reglas completamente diferentes: si la suma de los dígitos de un número es divisible por 3, entonces el número también es divisible por 3; Si la suma de las cifras de un número no es divisible por 3, entonces el número no es divisible por 3.
Entonces, para saber si un número es divisible por 3, solo necesitas sumar los números que lo componen.
Se ve así: 3987 y 141 se dividen por 3, porque en el primer caso 3+9+8+7= 27
(27:3=9 - divisible sin resto por 3), y en el segundo 1+4+1= 6
(6:3=2 - también divisible por 3 sin resto).
Pero los números: 235 y 566 no son divisibles por 3, porque 2+3+5= 10
y 5+6+6= 17
(y sabemos que ni 10 ni 17 se pueden dividir por 3 sin resto).
Divisibilidad por 4 signos
Esta prueba de divisibilidad será más complicada. Si los últimos 2 dígitos del número forman un número que es divisible por 4 o es 00, entonces el número es divisible por 4, de lo contrario, este número no es divisible por 4 sin resto.
Por ejemplo: 1 00
y 3 64
son divisibles por 4, porque en el primer caso el número termina en 00
, y en el segundo 64
, que a su vez es divisible por 4 sin resto (64:4=16)
números 3 57
y 8 86
no son divisibles por 4 porque tampoco 57
ninguno 86
no son divisibles por 4, y por lo tanto no corresponden a este criterio de divisibilidad.
Signo de divisibilidad por 5
Y nuevamente, tenemos un signo bastante simple de divisibilidad: si el registro de un número natural termina con el dígito 0 o 5, entonces este número es divisible sin resto por 5. Si el registro del número termina con un dígito diferente, entonces el número sin resto no es divisible por 5.
Esto significa que cualquier número que termine en dígitos 0
y 5
, por ejemplo 1235 5
y 43 0
, caen bajo la regla y son divisibles por 5.
Y, por ejemplo, 1549 3
y 56 4
no terminan en 5 o 0, lo que significa que no pueden ser divisibles por 5 sin resto.
Signo de divisibilidad por 6
Tenemos ante nosotros un número compuesto 6, que es el producto de los números 2 y 3. Por lo tanto, el signo de divisibilidad por 6 también es compuesto: para que un número sea divisible por 6, debe corresponder a dos signos de divisibilidad al mismo tiempo: el signo de la divisibilidad por 2 y el signo de la divisibilidad por 3. Al mismo tiempo, nótese que un número compuesto como el 4 tiene un signo individual de divisibilidad, porque es producto del número 2 por sí mismo . Pero volvamos a la prueba de divisibilidad por 6.
Los números 138 y 474 son pares y corresponden a los signos de divisibilidad por 3 (1+3+8=12, 12:3=4 y 4+7+4=15, 15:3=5), por lo que son divisible por 6. Pero 123 y 447, aunque son divisibles por 3 (1+2+3=6, 6:3=2 y 4+4+7=15, 15:3=5), pero son impares, y por lo tanto no corresponden al criterio de divisibilidad por 2, y por lo tanto no corresponden al criterio de divisibilidad por 6.
Signo de divisibilidad por 7
Este criterio de divisibilidad es más complejo: un número es divisible por 7 si el resultado de restar la última cifra duplicada al número de decenas de ese número es divisible por 7 o igual a 0.
Suena bastante confuso, pero en la práctica es simple. Compruébelo usted mismo: número 95
9 es divisible por 7 porque 95
-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 es divisible por 7 sin resto). Además, si hay dificultades con el número obtenido durante las transformaciones (debido a su tamaño, es difícil saber si es divisible por 7 o no, entonces este procedimiento se puede repetir tantas veces como se crea conveniente).
Por ejemplo, 45
5 y 4580
1 tiene signos de divisibilidad por 7. En el primer caso, todo es bastante simple: 45
-2*5=45-10=35, 35:7=5. En el segundo caso, haremos esto: 4580
-2*1=4580-2=4578. Es difícil para nosotros entender si 457
8 por 7, así que repitamos el proceso: 457
-2*8=457-16=441. Y nuevamente usaremos el signo de la divisibilidad, ya que todavía tenemos un número de tres dígitos frente a nosotros. 44
1. Entonces, 44
-2*1=44-2=42, 42:7=6, es decir 42 es divisible por 7 sin resto, lo que significa que 45801 también es divisible por 7.
Y aqui estan los numeros 11
1 y 34
5 no es divisible por 7 porque 11
-2*1=11-2=9 (9 no es divisible por 7) y 34
-2*5=34-10=24 (24 no es divisible por 7).
Signo de divisibilidad por 8
El signo de divisibilidad por 8 suena así: si los últimos 3 dígitos forman un número que es divisible por 8, o es 000, entonces el número dado es divisible por 8.
números 1 000
o 1 088
son divisibles por 8: el primero termina en 000
, el segundo 88
:8=11 (divisible por 8 sin resto).
Y aquí están los números 1 100
o 4 757
no son divisibles por 8 porque los números 100
y 757
no son divisibles por 8 sin resto.
Signo de divisibilidad por 9
Este signo de divisibilidad es similar al signo de divisibilidad por 3: si la suma de los dígitos de un número es divisible por 9, entonces el número también es divisible por 9; Si la suma de las cifras de un número no es divisible por 9, entonces el número no es divisible por 9.
Por ejemplo: 3987 y 144 son divisibles por 9 porque en el primer caso 3+9+8+7= 27
(27:9=3 - divisible sin resto por 9), y en el segundo 1+4+4= 9
(9:9=1 - también divisible sin resto por 9).
Pero los números: 235 y 141 no son divisibles por 9, porque 2+3+5= 10
y 1+4+1= 6
(y sabemos que ni 10 ni 6 se pueden dividir por 9 sin resto).
Signos de divisibilidad por 10, 100, 1000 y otras unidades de bits
Combiné estos criterios de divisibilidad porque se pueden describir de la misma manera: un número es divisible por una unidad de bit si el número de ceros al final del número es mayor o igual que el número de ceros en una unidad de bit determinada.
En otras palabras, por ejemplo, tenemos números como este: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. todos los cuales son divisibles por 1 0
; 46400
y 867 000
también son divisibles por 1 00
; y solo uno de ellos - 867 000
divisible por 1 000
.
Cualquier número que termine en ceros menos que una unidad de bit no es divisible por esa unidad de bit, como 600 30
y 7 93
no compartir 1 00
.
Signo de divisibilidad por 11
Para saber si un número es divisible por 11, necesitas obtener la diferencia entre las sumas de los dígitos pares e impares de ese número. Si esta diferencia es igual a 0 o divisible por 11 sin resto, entonces el número mismo es divisible por 11 sin resto.
Para hacerlo más claro, propongo considerar ejemplos: 2
35
4 es divisible por 11 porque ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 también es divisible por 11 porque ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
Y aquí está 1 1
1 o 4
35
4 no es divisible por 11, ya que en el primer caso obtenemos (1 + 1) - 1
=1, y en el segundo ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.
Signo de divisibilidad por 12
El número 12 es compuesto. Su signo de divisibilidad es la correspondencia a los signos de divisibilidad por 3 y por 4 al mismo tiempo.
Por ejemplo, 300 y 636 corresponden tanto a los signos de divisibilidad por 4 (los 2 últimos dígitos son ceros o divisibles por 4) como a los signos de divisibilidad por 3 (la suma de los dígitos y el primer y segundo número son divisibles por 3 ), y por lo tanto, son divisibles por 12 sin resto.
Pero 200 o 630 no son divisibles por 12, porque en el primer caso el número corresponde solo al signo de divisibilidad por 4, y en el segundo, solo al signo de divisibilidad por 3. Pero no ambos signos al mismo tiempo.
Signo de divisibilidad por 13
Un signo de divisibilidad por 13 es que si el número de decenas de un número, sumado a las unidades de este número multiplicadas por 4, es múltiplo de 13 o igual a 0, entonces el número mismo es divisible por 13.
Toma por ejemplo 70
2. Entonces 70
+4*2=78, 78:13=6 (78 es divisible por 13), entonces 70
2 es divisible por 13 sin resto. Otro ejemplo es el número 114
4. 114
+4*4=130, 130:13=10. El número 130 es divisible por 13 sin resto, lo que significa que el número dado corresponde al signo de divisibilidad por 13.
Si tomamos los números 12
5 o 21
2, entonces obtenemos 12
+4*5=32 y 21
+4*2=29 respectivamente, y ni 32 ni 29 son divisibles por 13 sin resto, lo que significa que los números dados no son divisibles por 13 sin resto.
Divisibilidad de números
Como se puede ver en lo anterior, se puede suponer que cualquiera de los números naturales puede coincidir con su propio signo individual de divisibilidad o un signo "compuesto" si el número es un múltiplo de varios números diferentes. Pero como muestra la práctica, básicamente cuanto mayor es el número, más compleja es su característica. Quizá el tiempo dedicado a comprobar el criterio de divisibilidad sea igual o superior al de la propia división. Es por eso que usualmente usamos el más simple de los criterios de divisibilidad.
El artículo analiza el concepto de división de números enteros con resto. Demostraremos el teorema de la divisibilidad de números enteros con resto y veremos las conexiones entre divisibles y divisores, cocientes incompletos y restos. Considere las reglas cuando se realiza la división de números enteros con residuos, después de haber examinado en detalle con ejemplos. Al final de la solución, realizaremos una verificación.
Comprensión general de la división de números enteros con residuos
La división de enteros con resto se considera como una división generalizada con resto de números naturales. Esto se hace porque los números naturales son un constituyente de los enteros.
La división con resto de un número arbitrario dice que el entero a es divisible por el número b, que es diferente de cero. Si b = 0, entonces no se realiza ninguna división con resto.
Además de la división de números naturales con resto, se realiza la división de los números enteros ayb, siendo b distinto de cero, por c y d. En este caso, a y b se llaman dividendo y divisor, y d es el resto de la división, c es un número entero o cociente parcial.
Si suponemos que el resto es un número entero no negativo, entonces su valor no es mayor que el módulo del número b. Escribámoslo de esta manera: 0 ≤ d ≤ b . Esta cadena de desigualdades se usa cuando se comparan 3 o más números.
Si c es un cociente incompleto, entonces d es el resto de dividir un número entero a por b, puede corregir brevemente: a: b \u003d c (permanecer d).
El resto al dividir los números a por b es posible cero, entonces dicen que a se divide por b completamente, es decir sin resto. La división sin resto se considera un caso especial de división.
Si dividimos cero por algún número, obtenemos cero como resultado. El resto de la división también será cero. Esto se puede ver en la teoría de la división de cero por un número entero.
Ahora considere el significado de la división de números enteros con un resto.
Se sabe que los enteros positivos son naturales, entonces al dividir con resto, el significado será el mismo que al dividir números naturales con resto.
Dividir un entero negativo a por un entero positivo b tiene sentido. Veamos un ejemplo. Imagine una situación en la que tenemos una deuda de artículos por la cantidad a que debe ser reembolsada por b personas. Para hacer esto, todos deben contribuir por igual. Para determinar el monto de la deuda de cada uno, es necesario prestar atención al valor de la c privada. El resto d indica que se conoce el número de partidas después de saldar deudas.
Tomemos un ejemplo con manzanas. Si 2 personas necesitan 7 manzanas. Si calculamos que todos deben devolver 4 manzanas, después del cálculo completo les quedará 1 manzana. Escribamos esto como una igualdad: (− 7) : 2 = − 4 (о с t. 1) .
Dividir cualquier número a por un entero no tiene sentido, pero es posible como opción.
Teorema de divisibilidad de enteros con resto
Encontramos que a es el dividendo, luego b es el divisor, c es el cociente parcial y d es el resto. Están interconectados. Mostraremos esta relación usando la igualdad a = b · c + d . La relación entre ellos se caracteriza por el teorema de divisibilidad con resto.
Teorema
Cualquier número entero se puede representar sólo en términos de un número entero y un número b distinto de cero de esta manera: a = b · q + r , donde q y r son algunos números enteros. Aquí tenemos 0 ≤ r ≤ b .
Probemos la posibilidad de la existencia de a = b · q + r .
Prueba
Si hay dos números a y b, y a es divisible por b sin resto, entonces de la definición de que hay un número q, se sigue que la igualdad a = b · q será verdadera. Entonces la igualdad puede considerarse verdadera: a = b q + r para r = 0.
Entonces hay que tomar q tal que dado por la desigualdad b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .
Tenemos que el valor de la expresión a − b · q es mayor que cero y no mayor que el valor del número b, de donde se sigue que r = a − b · q . Obtenemos que el número a se puede representar como a = b · q + r.
Ahora necesitamos considerar la posibilidad de representar a = b · q + r para valores negativos de b.
El módulo del número resulta ser positivo, entonces obtenemos a = b q 1 + r, donde el valor q 1 es un número entero, r es un número entero que cumple la condición 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .
Prueba de unicidad
Suponga que a = b q + r , q y r son números enteros con la condición 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 y r1 son algunos numeros donde q 1 ≠ q, 0 ≤ r1< b .
Cuando la desigualdad se resta de los lados izquierdo y derecho, obtenemos 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 , que es equivalente a r - r 1 = b · q 1 - q . Como se usa el módulo, obtenemos la igualdad r - r 1 = b · q 1 - q.
La condición dada dice que 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q y q 1- entero, y q ≠ q 1, entonces q 1 - q ≥ 1 . Por lo tanto tenemos que b · q 1 - q ≥ b . Las desigualdades resultantes r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.
De esto se sigue que el número a no puede representarse de ninguna otra manera, excepto por tal notación a = b · q + r.
Relación entre dividendo, divisor, cociente parcial y resto
Usando la igualdad a \u003d b c + d, puede encontrar el dividendo desconocido a cuando se conoce el divisor b con un cociente c incompleto y el resto d.
Ejemplo 1
Determine el dividendo si al dividir obtenemos - 21, un cociente incompleto 5 y un resto 12.
Decisión
Es necesario calcular el dividendo a con un divisor conocido b = − 21, un cociente incompleto c = 5 y un resto d = 12. Necesitamos referirnos a la igualdad a = b c + d, de aquí obtenemos a = (− 21) 5 + 12. Sujeto al orden de las operaciones, multiplicamos - 21 por 5, después de lo cual obtenemos (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93.
Responder: - 93 .
La relación entre el divisor y el cociente parcial y el resto se puede expresar mediante las igualdades: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b y d = a − b · c . Con su ayuda, podemos calcular el divisor, el cociente parcial y el resto. Esto se reduce a encontrar constantemente el resto de dividir un número entero a por b con un dividendo, divisor y cociente parcial conocidos. Se aplica la fórmula d = a − b · c. Consideremos la solución en detalle.
Ejemplo 2
Encuentra el resto de dividir un entero -19 por un entero 3 con un cociente incompleto conocido igual a -7.
Decisión
Para calcular el resto de una división, aplicamos una fórmula de la forma d = a − b c . Por condición, todos los datos a = − 19 , b = 3 , c = − 7 están disponibles. De aquí obtenemos d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (diferencia - 19 - (- 21)... Este ejemplo se calcula mediante la regla de resta número entero negativo.
Responder: 2 .
Todos los enteros positivos son naturales. De ello se deduce que la división se realiza de acuerdo con todas las reglas de la división con resto de números naturales. La velocidad de división con resto de números naturales es importante, ya que no solo se basa en la división de los positivos, sino también en las reglas para dividir números enteros arbitrarios.
El método de división más conveniente es una columna, ya que es más fácil y rápido obtener un incompleto o solo un cociente con un resto. Consideremos la solución con más detalle.
Ejemplo 3
Divide 14671 por 54 .
Decisión
Esta división debe hacerse en una columna:
Es decir, el cociente incompleto es igual a 271 y el resto es 37.
Responder: 14671: 54 = 271. (resto 37)
La regla de la división con resto de un entero positivo por un entero negativo, ejemplos
Para realizar una división con resto de un número positivo por un entero negativo, es necesario formular una regla.
Definición 1
El cociente incompleto de dividir un entero positivo a por un entero negativo b da un número que es opuesto al cociente incompleto de dividir los módulos de números a por b. Entonces el resto es el resto cuando a se divide por b.
Por lo tanto tenemos que el cociente incompleto de dividir un entero positivo por un entero negativo se considera un entero no positivo.
Obtenemos el algoritmo:
- dividimos el módulo del dividendo por el módulo del divisor, entonces obtenemos un cociente incompleto y
- recordatorio;
- escribe el número opuesto.
Considere el ejemplo del algoritmo para dividir un entero positivo por un entero negativo.
Ejemplo 4
Realiza la división con un resto de 17 por -5.
Decisión
Apliquemos el algoritmo de división con el resto de un entero positivo por un entero negativo. Hay que dividir 17 por - 5 módulo. De aquí obtenemos que el cociente incompleto es 3 y el resto es 2.
Obtenemos el número deseado al dividir 17 por - 5 \u003d - 3 con un resto igual a 2.
Responder: 17: (− 5) = − 3 (2 restantes).
Ejemplo 5
Divide 45 entre - 15 .
Decisión
Es necesario dividir los números módulo. Dividimos el número 45 por 15, obtenemos el cociente 3 sin resto. Entonces el número 45 es divisible por 15 sin resto. En la respuesta obtenemos - 3, ya que la división se realizó en módulo.
45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3
Responder: 45: (− 15) = − 3 .
La formulación de la regla de división con resto es la siguiente.
Definición 2
Para obtener un cociente incompleto c al dividir un número entero negativo a por un b positivo, debe aplicar el opuesto de este número y restarle 1, luego el resto d se calculará mediante la fórmula: d = a − b · C.
Según la regla, podemos concluir que al dividir, obtenemos un número entero no negativo. Para la precisión de la solución, se utiliza el algoritmo para dividir a por b con un resto:
- encontrar los módulos del dividendo y divisor;
- dividir módulo;
- escribir el opuesto del número dado y restar 1;
- usa la fórmula para el resto d = a − b c .
Considere un ejemplo de una solución donde se aplica este algoritmo.
Ejemplo 6
Encuentra el cociente incompleto y el resto de la división - 17 por 5.
Decisión
Dividimos los números dados módulo. Obtenemos que al dividir, el cociente es 3 y el resto es 2. Como obtuvimos 3 , el opuesto es 3 . Hay que restar 1 .
− 3 − 1 = − 4 .
El valor deseado es igual a -4.
Para calcular el resto, necesitas a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , luego d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .
Esto significa que el cociente incompleto de la división es el número - 4 con un resto igual a 3.
Responder:(− 17) : 5 = − 4 (3 restantes).
Ejemplo 7
Divide el entero negativo - 1404 por el positivo 26 .
Decisión
Hay que dividir por columna y por módulo.
Obtuvimos la división de módulos de números sin resto. Esto significa que la división se realiza sin resto, y el cociente deseado = - 54.
Responder: (− 1 404) : 26 = − 54 .
Regla de división con resto de enteros negativos, ejemplos
Es necesario formular una regla de división con resto de números enteros negativos.
Definición 3
Para obtener un cociente incompleto de dividir un entero negativo a por un entero negativo b, es necesario realizar cálculos de módulo, después de lo cual sumamos 1, luego podemos calcular usando la fórmula d = a − b · c.
De esto se deduce que el cociente incompleto de la división de enteros negativos será un número positivo.
Formulamos esta regla en forma de algoritmo:
- encontrar los módulos del dividendo y divisor;
- dividir el módulo del dividendo por el módulo del divisor para obtener un cociente incompleto con
- recordatorio;
- sumando 1 al cociente incompleto;
- cálculo del resto, basado en la fórmula d = a − b c .
Consideremos este algoritmo con un ejemplo.
Ejemplo 8
Encuentra el cociente incompleto y el resto al dividir -17 entre -5.
Decisión
Para la corrección de la solución, aplicamos el algoritmo de división con resto. Primero, divide los números módulo. De aquí obtenemos que el cociente incompleto \u003d 3, y el resto es 2. De acuerdo con la regla, es necesario sumar el cociente incompleto y 1. Obtenemos que 3 + 1 = 4 . De aquí obtenemos que el cociente incompleto de dividir los números dados es 4.
Para calcular el resto, aplicaremos la fórmula. Por condición, tenemos que a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, luego, usando la fórmula, obtenemos d \u003d a - b c \u003d - 17 - (-5) 4 \u003d - 17 - (- 20) = - 17 + 20 = 3 . La respuesta deseada, es decir, el resto, es 3 y el cociente incompleto es 4.
Responder:(− 17) : (− 5) = 4 (3 restantes).
Comprobación del resultado de dividir números enteros con resto
Después de realizar la división de números con resto, es necesario realizar una verificación. Esta comprobación consta de 2 etapas. Primero, se verifica la no negatividad del resto d, la condición 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
Veamos ejemplos.
Ejemplo 9
División producida - 521 por - 12. El cociente es 44, el resto es 7. Ejecute una verificación.
Decisión
Como el resto es un número positivo, su valor es menor que el módulo del divisor. El divisor es -12, por lo que su módulo es 12. Puede pasar al siguiente punto de control.
Por condición tenemos que a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7 . A partir de aquí calculamos b c + d , donde b c + d = − 12 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 . Se sigue que la igualdad es verdadera. Cheque pasado.
Ejemplo 10
Comprueba la división (− 17) : 5 = − 3 (restante − 2). ¿Es verdadera la igualdad?
Decisión
El significado de la primera etapa es que es necesario verificar la división de números enteros con un resto. Esto demuestra que la acción se realizó incorrectamente, ya que se da el resto, igual a - 2. El resto no es un número negativo.
Tenemos que la segunda condición se cumple, pero es insuficiente para este caso.
Responder: no.
Ejemplo 11
El número -19 dividido por -3. El cociente parcial es 7 y el resto es 1. Compruebe si este cálculo es correcto.
Decisión
Dado un resto de 1. El es positivo. El valor es menor que el módulo divisor, lo que significa que se realiza la primera etapa. Pasemos a la segunda etapa.
Calculemos el valor de la expresión b · c + d . Por condición, tenemos que b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, por lo tanto, reemplazando los valores numéricos, obtenemos b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20 De ello se deduce que la igualdad a = b · c + d no se cumple, ya que se da la condición a = - 19 .
Esto implica que la división se hizo con un error.
Responder: no.
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En este artículo analizaremos división de enteros con resto. Comencemos con el principio general de dividir números enteros con un resto, formulemos y demostremos un teorema sobre la divisibilidad de números enteros con un resto, y tracemos las conexiones entre el dividendo, el divisor, el cociente parcial y el resto. A continuación, anunciaremos las reglas por las cuales se realiza la división de números enteros con resto, y consideraremos la aplicación de estas reglas al resolver ejemplos. Después de eso, aprenderemos cómo verificar el resultado de dividir números enteros con un resto.
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Idea general de división de enteros con resto
La división de números enteros con resto la consideraremos como una generalización división con resto de números naturales. Esto es porque enteros son una parte integral enteros.
Comencemos con los términos y la notación que se usan en la descripción.
Por analogía con la división de números naturales con resto, suponemos que el resultado de la división con resto de dos enteros a y b (b no es igual a cero) es dos enteros c y d. Los números a y b se llaman divisible y divisor respectivamente, el número d es recordatorio de dividir a por b, y el entero c se llama privado incompleto(o simplemente privado si el resto es cero).
Supongamos que hay un resto entero no negativo, y su valor no excede b , es decir, (nos encontramos con cadenas de desigualdades similares cuando hablamos de comparar tres o más enteros).
Si el número c es un cociente parcial, y el número d es el resto de dividir un entero a por un entero b, entonces escribiremos brevemente este hecho como una igualdad de la forma a:b=c (residuo d) .
Tenga en cuenta que cuando un entero a se divide por un entero b, el resto puede ser cero. En este caso, decimos que a es divisible por b sin rastro(o completamente). Por lo tanto, división de enteros sin resto es un caso especial de división de enteros con resto.
También vale la pena decir que al dividir cero por algún número entero, siempre se trata de una división sin resto, ya que en este caso el cociente será igual a cero (ver la sección de teoría división de cero por un número entero), y el resto también será cero.
Hemos decidido la terminología y la notación, ahora averigüemos el significado de dividir números enteros con un resto.
Dividir un entero negativo a por un entero positivo b también puede tener sentido. Para esto, considere entero negativo como deuda. Imaginemos una situación así. La deuda que conforma las partidas debe ser reembolsada por b personas, realizando la misma aportación. El valor absoluto del cociente incompleto c en este caso determinará el monto de la deuda de cada una de estas personas, y el resto d mostrará cuántos artículos quedarán después de pagar la deuda. Tomemos un ejemplo. Digamos que 2 personas deben 7 manzanas. Si asumimos que cada uno debe 4 manzanas, luego de pagar la deuda les quedará 1 manzana. Esta situación corresponde a la igualdad (−7):2=−4 (1 restante) .
División con resto de un entero arbitrario a por un entero negativo, no le daremos ningún significado, pero le dejaremos el derecho a existir.
Teorema de divisibilidad de enteros con resto
Cuando hablamos de dividir números naturales con resto, encontramos que el dividendo a, el divisor b, el cociente parcial c y el resto d están relacionados por la igualdad a=b c+d. Los enteros a , b , c y d comparten la misma relación. Esta conexión es confirmada por la siguiente teorema de divisibilidad con resto.
Teorema.
Cualquier número entero a se puede representar de forma única a través de un número entero y un número b distinto de cero en la forma a=b q+r , donde q y r son algunos números enteros, y .
Prueba.
Probemos primero la posibilidad de representar a=b·q+r .
Si los enteros ayb son tales que a es divisible por b, entonces por definición existe un entero q tal que a=b q . En este caso, la igualdad a=b q+r se cumple para r=0.
Ahora supondremos que b es un entero positivo. Elegimos un número entero q de tal forma que el producto b·q no supere el número a , y el producto b·(q+1) ya sea mayor que a . Es decir, tomamos q tal que las desigualdades b q Queda por probar la posibilidad de representar a=b q+r para b negativa. Dado que el módulo del número b en este caso es un número positivo, entonces hay una representación para , donde q 1 es un número entero y r es un número entero que satisface las condiciones . Luego, suponiendo q=−q 1 , obtenemos la representación requerida a=b q+r para b negativa. Pasamos a la prueba de unicidad. Supongamos que además de la representación a=b q+r, q y r son números enteros y , existe otra representación a=b q 1 +r 1 , donde q 1 y r 1 son algunos números enteros, y q 1 ≠ q y . Luego de restar de la parte izquierda y derecha de la primera igualdad, respectivamente, la parte izquierda y derecha de la segunda igualdad, obtenemos 0=b (q−q 1)+r−r 1 , que es equivalente a la igualdad r− r 1 = segundo (q 1 - q) . Entonces la igualdad de la forma De las condiciones y podemos concluir que . Dado que q y q 1 son números enteros y q≠q 1 , entonces , de donde concluimos que La igualdad a=b c+d permite encontrar un dividendo desconocido a si se conocen el divisor b, el cociente parcial c y el resto d. Considere un ejemplo. Ejemplo. ¿A qué es igual el dividendo si su división por el entero −21 da como resultado un cociente incompleto de 5 y un resto de 12? Decisión. Necesitamos calcular el dividendo a cuando conocemos el divisor b=−21, el cociente parcial c=5 y el resto d=12. Volviendo a la igualdad a=b c+d , obtenemos a=(−21) 5+12 . Observando , primero realizamos la multiplicación de los enteros −21 y 5 por regla de multiplicación para números enteros con signos diferentes, después de lo cual ejecutamos suma de enteros con diferente signo: (−21) 5+12=−105+12=−93 . Responder: −93
.
Las relaciones entre dividendo, divisor, cociente parcial y resto también se expresan mediante igualdades de la forma b=(a−d):c , c=(a−d):b y d=a−b·c . Estas igualdades nos permiten calcular el divisor, el cociente parcial y el resto, respectivamente. A menudo necesitamos encontrar el resto de dividir un entero a por un entero b cuando se conocen el dividendo, el divisor y el cociente parcial, usando la fórmula d=a−b·c . Para evitar más preguntas, analizaremos un ejemplo de cálculo del resto. Ejemplo. Encuentra el resto de dividir el entero −19 por el entero 3 si se sabe que el cociente parcial es −7. Decisión. Para calcular el resto de la división, usamos una fórmula de la forma d=a−b·c . De la condición tenemos todos los datos necesarios a=−19 , b=3 , c=−7 . Obtenemos d=a−b c=−19−3 (−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (la diferencia −19−(−21) que calculamos a partir de la regla para restar un entero negativo).
Responder: Como ya hemos señalado más de una vez, los enteros positivos son números naturales. Por lo tanto, la división con resto de números enteros positivos se realiza de acuerdo con todas las reglas para la división con resto de números naturales. Es muy importante poder realizar fácilmente división con resto de números naturales, ya que es la base de la división no solo de números enteros positivos, sino también la base de todas las reglas de división con un resto de números enteros arbitrarios. Desde nuestro punto de vista, lo más conveniente es realizar división de columnas, este método te permite obtener tanto el cociente incompleto (o solo el cociente) como el resto. Considere un ejemplo de división con un resto de números enteros positivos. Ejemplo. Realiza una división con un resto de 14671 por 54 . Decisión. Realicemos la división de estos enteros positivos por una columna: El cociente incompleto resultó ser 271 y el resto es 37. Responder: 14 671:54=271 (resto 37) . Formulemos una regla que le permita realizar una división con un resto de un entero positivo por un entero negativo. El cociente parcial de dividir un entero positivo a por un entero negativo b es lo opuesto al cociente parcial de dividir a por el módulo de b, y el resto de dividir a entre b es el resto de dividir entre . De esta regla se deduce que el cociente incompleto de dividir un entero positivo por un entero negativo es entero no positivo. Rehagamos la regla expresada en un algoritmo para dividir con un resto de un entero positivo por un entero negativo: Demos un ejemplo del uso del algoritmo para dividir un entero positivo por un entero negativo. Ejemplo. Divida con un resto de un entero positivo 17 por un entero negativo −5. Decisión. Usemos el algoritmo de división con el resto de un entero positivo por un entero negativo. Divisor Número, numero opuesto 3 es −3 . Por lo tanto, el cociente parcial requerido para dividir 17 entre −5 es −3 y el resto es 2. Responder: 17 :(−5)=−3 (resto 2). Ejemplo. Dividir 45 por -15 . Decisión. Los módulos del dividendo y del divisor son 45 y 15, respectivamente. El número 45 es divisible por 15 sin resto, mientras que el cociente es 3. Por tanto, el entero positivo 45 es divisible por el entero negativo −15 sin resto, mientras que el cociente es igual al número opuesto a 3, es decir, −3. De hecho, por regla para dividir enteros con diferente signo tenemos . Responder: 45:(−15)=−3
.
Formulemos la regla de la división con resto de un entero negativo por un entero positivo. Para obtener un cociente incompleto c de dividir un entero negativo a por un entero positivo b, debe tomar el número opuesto al cociente incompleto de dividir los módulos de los números originales y restarle uno, después de lo cual se calcula el resto d usando la fórmula d=a−b c . De esta regla de división con resto se sigue que el cociente incompleto de dividir un entero negativo por un entero positivo es un entero negativo. De la regla expresada se sigue el algoritmo de división con el resto de un entero negativo a por un entero positivo b: Analicemos la solución del ejemplo, en el que usamos el algoritmo de división escrita con resto. Ejemplo. Encuentra el cociente parcial y el resto del entero negativo −17 dividido por el entero positivo 5 . Decisión. El módulo del dividendo −17 es 17 y el módulo del divisor 5 es 5. Divisor 17 por 5 , obtenemos un cociente incompleto de 3 y un resto de 2 . El opuesto de 3 es −3 . Resta uno de −3: −3−1=−4 . Entonces, el cociente incompleto deseado es −4. Queda por calcular el resto. En nuestro ejemplo a=−17 , b=5 , c=−4 , luego d=a−b c=−17−5 (−4)= −17−(−20)=−17+20=3 . Por lo tanto, el cociente parcial del entero negativo −17 dividido por el entero positivo 5 es −4 y el resto es 3. Responder: (−17):5=−4 (resto 3) . Ejemplo. Divide el entero negativo −1 404 por el entero positivo 26 . Decisión. El módulo del dividendo es 1404, el módulo del divisor es 26. Divide 1404 por 26 en una columna: Como el módulo del dividendo se dividió por el módulo del divisor sin resto, los enteros originales se dividen sin resto y el cociente buscado es igual al número opuesto a 54, es decir, −54. Responder: (−1 404):26=−54
.
Formulemos la regla de la división con el resto de los enteros negativos. Para obtener un cociente incompleto c de dividir un entero negativo a por un entero negativo b, debe calcular el cociente incompleto de dividir los módulos de los números originales y agregarle uno, después de eso, calcule el resto d usando la fórmula d =a−b c . De esta regla se sigue que el cociente incompleto de la división de enteros negativos es un entero positivo. Reescribamos la regla expresada en forma de algoritmo para dividir enteros negativos: Considere la aplicación del algoritmo para dividir enteros negativos al resolver un ejemplo. Ejemplo. Encuentra el cociente parcial y el resto del entero negativo −17 dividido por el entero negativo −5. Decisión. Usamos el algoritmo de división apropiado con un resto. El módulo del dividendo es 17 , el módulo del divisor es 5 . División 17 veces 5 da el cociente incompleto 3 y el resto 2. Sumamos uno al cociente incompleto 3: 3+1=4. Por lo tanto, el cociente incompleto deseado de dividir −17 entre −5 es 4. Queda por calcular el resto. En este ejemplo a=−17 , b=−5 , c=4 , luego d=a−b c=−17−(−5) 4= −17−(−20)=−17+20=3 . Entonces, el cociente parcial del entero negativo −17 dividido por el entero negativo −5 es 4 , y el resto es 3 . Responder: (−17):(−5)=4 (resto 3) . Después de realizar la división de enteros con resto, es útil verificar el resultado. La verificación se lleva a cabo en dos etapas. En la primera etapa, se verifica si el resto d es un número no negativo y también se verifica la condición. Si se cumplen todas las condiciones de la primera etapa de verificación, puede continuar con la segunda etapa de verificación; de lo contrario, se puede argumentar que se cometió un error en algún lugar al dividir con un resto. En la segunda etapa, se comprueba la validez de la igualdad a=b·c+d. Si esta igualdad es verdadera, entonces la división con resto se realizó correctamente, de lo contrario, se cometió un error en alguna parte. Consideremos las soluciones de ejemplos en los que se verifica el resultado de la división de números enteros con un resto. Ejemplo. Al dividir el número -521 entre -12, el cociente parcial fue 44 y el resto fue 7, comprueba el resultado. Decisión. −2 para b=−3 , c=7 , d=1 . Tenemos b c+d=−3 7+1=−21+1=−20. Por lo tanto, la igualdad a=b c+d es incorrecta (en nuestro ejemplo a=−19 ). Por lo tanto, la división con resto se realizó incorrectamente.
, y debido a las propiedades del módulo del número - y la igualdad 
.
. A partir de las desigualdades obtenidas y se sigue que una igualdad de la forma imposible bajo nuestra suposición. Por lo tanto, no hay otra representación del número a, excepto a=b·q+r.Relaciones entre dividendo, divisor, cociente parcial y resto
División con resto de enteros positivos, ejemplos
La regla de la división con resto de un entero positivo por un entero negativo, ejemplos
División con resto de un entero negativo por un entero positivo, ejemplos
Regla de división con resto de enteros negativos, ejemplos
Comprobación del resultado de dividir números enteros con resto
