El teorema de Vieta. Ejemplos de uso. François Viet. Fórmulas de Vieta para ecuaciones cuadráticas y ecuaciones de potencias superiores Definición y fórmula del teorema de Vieta

En matemáticas existen trucos especiales con los que se resuelven muchas ecuaciones cuadráticas muy rápidamente y sin discriminantes. Además, con el entrenamiento adecuado, muchos comienzan a resolver ecuaciones cuadráticas verbalmente, literalmente "de un vistazo".

Desafortunadamente, en el curso moderno de matemáticas escolares, tales tecnologías casi no se estudian. ¡Y usted necesita saber! Y hoy consideraremos una de estas técnicas: el teorema de Vieta. Primero, introduzcamos una nueva definición.

Una ecuación cuadrática de la forma x 2 + bx + c = 0 se llama reducida. Tenga en cuenta que el coeficiente en x 2 es igual a 1. No hay otras restricciones sobre los coeficientes.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 es la ecuación cuadrática reducida;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - también reducido;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - pero esto no es nada reducido, ya que el coeficiente en x 2 es 2.

Por supuesto, cualquier ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0 puede reducirse; basta con dividir todos los coeficientes por el número a. Siempre podemos hacer esto, ya que de la definición de una ecuación cuadrática se sigue que a ≠ 0.

Es cierto que estas transformaciones no siempre serán útiles para encontrar raíces. Un poco más abajo, nos aseguraremos de que esto se haga solo cuando todos los coeficientes en la ecuación cuadrada final sean números enteros. Por ahora, veamos algunos ejemplos simples:

Tarea. Convertir ecuación cuadrática a reducida:

1. 3x2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x2 + 7x − 11 = 0.

Dividamos cada ecuación por el coeficiente de la variable x 2 . Obtenemos:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 = 0 - dividió todo por 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - dividido por −4;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - dividido por 1.5, todos los coeficientes se convirtieron en números enteros;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3.5x - 5.5 \u003d 0 - dividido por 2. En este caso, surgieron coeficientes fraccionarios.

Como puedes ver, las ecuaciones cuadráticas dadas pueden tener coeficientes enteros incluso si la ecuación original contenía fracciones.

Ahora formulamos el teorema principal, por el cual, de hecho, se introdujo el concepto de ecuación cuadrática reducida:

El teorema de Vieta. Considere la ecuación cuadrática reducida de la forma x 2 + bx + c \u003d 0. Suponga que esta ecuación tiene raíces reales x 1 y x 2. En este caso, las siguientes afirmaciones son verdaderas:

1. x1 + x2 = −b. En otras palabras, la suma de las raíces de la ecuación cuadrática dada es igual al coeficiente de la variable x, tomada con signo opuesto;
2. x 1 x 2 = do. El producto de las raíces de una ecuación cuadrática es igual al coeficiente libre.

Ejemplos. Para simplificar, consideraremos solo las ecuaciones cuadráticas dadas que no requieren transformaciones adicionales:

1. x2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; raíces: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
2. x2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x1 + x2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; raíces: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
3. x2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x 1 x 2 = 4; raíces: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

El teorema de Vieta nos da información adicional sobre las raíces de una ecuación cuadrática. A primera vista, esto puede parecer complicado, pero incluso con un entrenamiento mínimo, aprenderá a "ver" las raíces y, literalmente, a adivinarlas en cuestión de segundos.

Tarea. Resuelve la ecuación cuadrática:

1. x2 - 9x + 14 = 0;
2. x2 - 12x + 27 = 0;
3. 3x2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x2 + 77x − 210 = 0.

Intentemos escribir los coeficientes según el teorema de Vieta y "adivinar" las raíces:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 es la ecuación cuadrática reducida.
   Por el teorema de Vieta, tenemos: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. Es fácil ver que las raíces son los números 2 y 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - también reducido.
   Por el teorema de Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. De ahí las raíces: 3 y 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - esta ecuación no se reduce. Pero arreglaremos esto ahora dividiendo ambos lados de la ecuación por el coeficiente a \u003d 3. Obtenemos: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
   Resolvemos según el teorema de Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ raíces: −10 y −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - nuevamente el coeficiente en x 2 no es igual a 1, es decir ecuación no dada. Dividimos todo por el número a = −7. Obtenemos: x 2 - 11x + 30 = 0.
   Por el teorema de Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; a partir de estas ecuaciones es fácil adivinar las raíces: 5 y 6.

Del razonamiento anterior, se puede ver cómo el teorema de Vieta simplifica la solución de ecuaciones cuadráticas. Sin cálculos complicados, sin raíces aritméticas y fracciones. E incluso el discriminante (ver la lección " Resolviendo ecuaciones cuadráticas") No necesitamos.

Por supuesto, en todas nuestras reflexiones partimos de dos supuestos importantes, que, por lo general, no siempre se cumplen en los problemas reales:

1. La ecuación cuadrática se reduce, es decir, el coeficiente en x 2 es 1;
2. La ecuación tiene dos raíces diferentes. Desde el punto de vista del álgebra, en este caso el discriminante D > 0 - de hecho, inicialmente asumimos que esta desigualdad es cierta.

Sin embargo, en problemas matemáticos típicos se cumplen estas condiciones. Si, como resultado de los cálculos, se obtiene una ecuación cuadrática "mala" (el coeficiente en x 2 es diferente de 1), esto es fácil de arreglar: eche un vistazo a los ejemplos al comienzo de la lección. Generalmente guardo silencio sobre las raíces: ¿qué tipo de tarea es esta en la que no hay respuesta? Por supuesto que habrá raíces.

Así, el esquema general para la resolución de ecuaciones cuadráticas según el teorema de Vieta es el siguiente:

1. Reducir la ecuación cuadrática a la dada, si esto no se ha hecho ya en la condición del problema;
2. Si los coeficientes en la ecuación cuadrática anterior resultaron ser fraccionarios, resolvemos a través del discriminante. Incluso puede volver a la ecuación original para trabajar con números más "convenientes";
3. En el caso de coeficientes enteros, resolvemos la ecuación usando el teorema de Vieta;
4. Si en unos segundos no fue posible adivinar las raíces, anotamos en el teorema de Vieta y resolvemos a través del discriminante.

Tarea. Resuelve la ecuación: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Entonces, tenemos una ecuación que no se reduce, porque coeficiente a \u003d 5. Divida todo por 5, obtenemos: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Todos los coeficientes de la ecuación cuadrática son enteros; intentemos resolverlos usando el teorema de Vieta. Tenemos: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. En este caso, las raíces son fáciles de adivinar: son 2 y 5. No necesita contar hasta el discriminante.

Tarea. Resuelve la ecuación: -5x 2 + 8x - 2.4 = 0.

Buscamos: -5x 2 + 8x - 2.4 = 0 - esta ecuación no se reduce, dividimos ambos lados por el coeficiente a = -5. Obtenemos: x 2 - 1.6x + 0.48 = 0 - una ecuación con coeficientes fraccionarios.

Es mejor volver a la ecuación original y contar hasta el discriminante: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x 2 \u003d 0.4.

Tarea. Resuelve la ecuación: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Para empezar, dividimos todo por el coeficiente a \u003d 2. Obtenemos la ecuación x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

Esta es la ecuación reducida, según el teorema de Vieta tenemos: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. Es difícil adivinar las raíces de la ecuación cuadrática en este caso; personalmente, me "congelé" seriamente cuando resolví este problema.

Tendremos que buscar raíces a través del discriminante: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Si no recuerdas la raíz del discriminante, anotaré que 1225: 25 = 49. Por lo tanto, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .

Ahora que se conoce la raíz del discriminante, resolver la ecuación no es difícil. Obtenemos: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Hay una serie de relaciones en las ecuaciones cuadráticas. Las principales son las relaciones entre raíces y coeficientes. Además, una serie de relaciones funcionan en ecuaciones cuadráticas, que están dadas por el teorema de Vieta.

En este tema, presentamos el teorema de Vieta en sí mismo y su prueba para una ecuación cuadrática, un teorema inverso al teorema de Vieta, y analizamos varios ejemplos de resolución de problemas. Prestaremos especial atención en el material a la consideración de las fórmulas de Vieta, que definen la conexión entre las raíces reales de la ecuación algebraica de grado norte y sus coeficientes.

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Enunciado y demostración del teorema de Vieta

La fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática a x 2 + b x + c = 0 de la forma x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a, donde re = segundo 2 − 4 un do, establece la relación x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c un. Esto es confirmado por el teorema de Vieta.

Teorema 1

En una ecuación cuadrática a x 2 + b x + c = 0, donde x1 y x2- raíces, la suma de las raíces será igual a la razón de los coeficientes b y un, que se tomó con signo contrario, y el producto de las raíces será igual a la razón de los coeficientes C y un, es decir. x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c un.

Prueba 1

Le ofrecemos el siguiente esquema para realizar la prueba: tomamos la fórmula de las raíces, componemos la suma y el producto de las raíces de la ecuación cuadrática y luego transformamos las expresiones resultantes para asegurarnos de que sean iguales -b un y c un respectivamente.

Componga la suma de las raíces x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a. Llevemos las fracciones a un denominador común - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Abramos los paréntesis en el numerador de la fracción resultante y demos términos similares: - b + D + - b - D 2 a = - b + D - b - D 2 a = - 2 b 2 a . Reduzca la fracción en: 2 - b a \u003d - b a.

Así hemos probado la primera relación del teorema de Vieta, que se refiere a la suma de las raíces de una ecuación cuadrática.

Ahora pasemos a la segunda relación.

Para hacer esto, necesitamos componer el producto de las raíces de la ecuación cuadrática: x 1 x 2 \u003d - b + D 2 a - b - D 2 a.

Recuerda la regla para multiplicar fracciones y escribe el último producto de la siguiente manera: - b + D · - b - D 4 · a 2 .

Realizaremos la multiplicación del paréntesis por el paréntesis en el numerador de la fracción, o utilizaremos la fórmula de la diferencia de cuadrados para transformar más rápido este producto: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - segundo 2 - re 2 4 · un 2 .

Usemos la definición de raíz cuadrada para realizar la siguiente transición: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Fórmula re = segundo 2 − 4 un do corresponde al discriminante de la ecuación cuadrática, por lo tanto, en una fracción en lugar de D puede ser sustituido segundo 2 − 4 un c:

b 2 - D 4 a 2 \u003d b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Abramos los paréntesis, demos términos semejantes y obtengamos: 4 · a · c 4 · a 2 . Si lo acortamos a 4 un, entonces queda c a. Así hemos probado la segunda relación del teorema de Vieta para el producto de raíces.

El registro de la demostración del teorema de Vieta puede tener una forma muy concisa, si omitimos las explicaciones:

x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a \u003d - b + D + - b - D 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a, x 1 x 2 = - segundo + re 2 un - segundo - re 2 un = - segundo + re - segundo - re 4 un 2 = - segundo 2 - re 2 4 un 2 = segundo 2 - re 4 un 2 = = re = segundo 2 - 4 una C = segundo 2 - segundo 2 - 4 una C 4 una 2 = 4 una C 4 una 2 = C una .

Cuando el discriminante de una ecuación cuadrática es cero, la ecuación tendrá una sola raíz. Para poder aplicar el teorema de Vieta a tal ecuación, podemos suponer que la ecuación con un discriminante igual a cero tiene dos raíces idénticas. De hecho, en D=0 la raíz de la ecuación cuadrática es: - b 2 a, luego x 1 + x 2 \u003d - b 2 a + - b 2 a \u003d - b + (- b) 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a y x 1 x 2 \u003d - b 2 a - b 2 a \u003d - b - b 4 a 2 \u003d b 2 4 a 2, y dado que D \u003d 0, es decir, b 2 - 4 a c = 0, de donde b 2 = 4 a c, luego b 2 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Muy a menudo en la práctica, el teorema de Vieta se aplica en relación con la ecuación cuadrática reducida de la forma x 2 + p x + q = 0, donde el coeficiente principal a es igual a 1 . En este sentido, el teorema de Vieta está formulado precisamente para ecuaciones de este tipo. Esto no limita la generalidad debido al hecho de que cualquier ecuación cuadrática puede ser reemplazada por una ecuación equivalente. Para ello, es necesario dividir ambas partes por el número a, que es distinto de cero.

Demos una formulación más del teorema de Vieta.

Teorema 2

La suma de las raíces en la ecuación cuadrática dada x 2 + p x + q = 0 será igual al coeficiente en x, que se toma con signo contrario, el producto de las raíces será igual al término libre, es decir x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q.

Teorema inverso al teorema de Vieta

Si observa detenidamente la segunda formulación del teorema de Vieta, puede ver que para las raíces x1 y x2 ecuación cuadrática reducida x 2 + p x + q = 0 las relaciones x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q serán válidas. De estas relaciones x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, se deduce que x1 y x2 son las raíces de la ecuación cuadrática x 2 + p x + q = 0. Así llegamos a un enunciado que es el inverso del teorema de Vieta.

Proponemos ahora formalizar este enunciado como un teorema y llevar a cabo su demostración.

Teorema 3

si los números x1 y x2 son tales que x 1 + x 2 = - pags y x 1 x 2 = q, entonces x1 y x2 son las raíces de la ecuación cuadrática reducida x 2 + p x + q = 0.

Prueba 2

Cambio de coeficientes pag y q a su expresión a través x1 y x2 le permite transformar la ecuación x 2 + p x + q = 0 en un equivalente .

Si sustituimos el número en la ecuación resultante x1 en vez de X, entonces obtenemos la igualdad X 1 2 − (X 1 + X 2) X 1 + X 1 X 2 = 0. Esta igualdad para cualquier x1 y x2 se convierte en una verdadera igualdad numérica 0 = 0 , como x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 - x 1 2 - x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Esto significa que x1- raíz de la ecuación X 2 − (X 1 + X 2) X + X 1 X 2 = 0, y qué x1 es también la raíz de la ecuación equivalente x 2 + p x + q = 0.

Sustitución de ecuaciones X 2 − (X 1 + X 2) X + X 1 X 2 = 0 números x2 en lugar de x te permite obtener la igualdad X 2 2 − (X 1 + X 2) X 2 + X 1 X 2 = 0. Esta igualdad puede considerarse verdadera, ya que x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 - x 1 x 2 - x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Resulta que x2 es la raíz de la ecuación X 2 − (X 1 + X 2) X + X 1 X 2 = 0, y por lo tanto las ecuaciones x 2 + p x + q = 0.

Se demuestra el teorema inverso al teorema de Vieta.

Ejemplos de uso del teorema de Vieta

Pasemos ahora al análisis de los ejemplos más típicos sobre el tema. Comencemos con el análisis de problemas que requieren la aplicación del teorema, el inverso del teorema de Vieta. Se puede utilizar para comprobar los números obtenidos en el curso de los cálculos, si son las raíces de una ecuación cuadrática dada. Para hacer esto, debe calcular su suma y diferencia, y luego verificar la validez de las proporciones x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = a c.

El cumplimiento de ambas relaciones indica que los números obtenidos en el curso de los cálculos son las raíces de la ecuación. Si vemos que al menos una de las condiciones no se cumple, entonces estos números no pueden ser las raíces de la ecuación cuadrática dada en la condición del problema.

Ejemplo 1

¿Cuál de los pares de números 1) x 1 = - 5, x 2 = 3, o 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, o 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 es un par de raíces de la ecuación cuadrática 4x2 − 16x + 9 = 0?

Decisión

Encuentra los coeficientes de la ecuación cuadrática 4 X 2 - 16 X + 9 = 0 . Esto es a = 4 , b = − 16 , c = 9 . De acuerdo con el teorema de Vieta, la suma de las raíces de la ecuación cuadrática debe ser igual a -b un, es decir, 16 4 = 4 , y el producto de las raíces debe ser igual a c un, es decir, 9 4 .

Verifiquemos los números obtenidos calculando la suma y el producto de números de tres pares dados y comparándolos con los valores obtenidos.

En el primer caso x 1 + x 2 = - 5 + 3 = - 2. Este valor es diferente de 4, por lo que no es necesario que siga comprobando. Según el teorema, el inverso del teorema de Vieta, podemos concluir inmediatamente que el primer par de números no son las raíces de esta ecuación cuadrática.

En el segundo caso x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Vemos que se cumple la primera condición. Pero la segunda condición no es: x 1 x 2 \u003d 1 - 3 3 + 3 \u003d 3 + 3 - 3 3 - 3 \u003d - 2 3. El valor que obtuvimos es diferente de 9 4 . Esto significa que el segundo par de números no son las raíces de la ecuación cuadrática.

Pasemos al tercer par. Aquí x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 y x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4 . Ambas condiciones se cumplen, lo que significa que x1 y x2 son las raíces de la ecuación cuadrática dada.

Responder: x 1 \u003d 2 + 7 2, x 2 \u003d 2 - 7 2

También podemos usar el inverso del teorema de Vieta para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática. La forma más fácil es seleccionar raíces enteras de las ecuaciones cuadráticas dadas con coeficientes enteros. También se pueden considerar otras opciones. Pero esto puede complicar significativamente los cálculos.

Para seleccionar las raíces, usamos el hecho de que si la suma de dos números es igual al segundo coeficiente de la ecuación cuadrática, tomada con un signo menos, y el producto de estos números es igual al término libre, entonces estos números son las raíces de esta ecuación cuadrática.

Ejemplo 2

Como ejemplo, usamos la ecuación cuadrática X 2 − 5 X + 6 = 0. Números x1 y x2 pueden ser las raíces de esta ecuación si se satisfacen las dos igualdades x1 + x2 = 5 y x 1 x 2 = 6. Elijamos esos números. Estos son los números 2 y 3 porque 2 + 3 = 5 y 2 3 = 6. Resulta que 2 y 3 son las raíces de esta ecuación cuadrática.

El inverso del teorema de Vieta se puede usar para encontrar la segunda raíz cuando la primera es conocida u obvia. Para esto podemos usar las razones x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a .

Ejemplo 3

Considere la ecuación cuadrática 512 x 2 - 509 x - 3 = 0. Necesitamos encontrar las raíces de esta ecuación.

Decisión

La primera raíz de la ecuación es 1 porque la suma de los coeficientes de esta ecuación cuadrática es cero. Resulta que x1 = 1.

Ahora encontremos la segunda raíz. Para hacer esto, puedes usar la relación x 1 x 2 = c un. Resulta que 1 x 2 = − 3 512, donde x 2 \u003d - 3 512.

Responder: las raíces de la ecuación cuadrática especificada en la condición del problema 1 y - 3 512 .

Es posible seleccionar raíces usando el teorema inverso al teorema de Vieta solo en casos simples. En otros casos, es mejor buscar usando la fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática a través del discriminante.

Gracias al teorema inverso de Vieta, también podemos formar ecuaciones cuadráticas dadas las raíces x1 y x2. Para hacer esto, necesitamos calcular la suma de las raíces, lo que da el coeficiente en X con el signo opuesto de la ecuación cuadrática reducida, y el producto de las raíces, que da el término libre.

Ejemplo 4

Escribe una ecuación cuadrática cuyas raíces sean números. − 11 y 23 .

Decisión

aceptemos eso x1 = − 11 y x2 = 23. La suma y el producto de estos números será igual a: x1 + x2 = 12 y x 1 x 2 = − 253. Esto significa que el segundo coeficiente es 12, el término libre − 253.

Hacemos una ecuación: x 2 - 12 x - 253 = 0.

Responder: X 2 - 12 X - 253 = 0 .

Podemos usar el teorema de Vieta para resolver problemas relacionados con los signos de las raíces de ecuaciones cuadráticas. La conexión entre el teorema de Vieta está relacionada con los signos de las raíces de la ecuación cuadrática reducida x 2 + p x + q = 0 de la siguiente manera:

• si la ecuación cuadrática tiene raíces reales y si el término libre q es un número positivo, entonces estas raíces tendrán el mismo signo "+" o "-";
• si la ecuación cuadrática tiene raíces y si el término libre q es un número negativo, entonces una raíz será "+" y la segunda "-".

Ambas afirmaciones son consecuencia de la fórmula x 1 x 2 = q y reglas de multiplicación para números positivos y negativos, así como números con diferentes signos.

Ejemplo 5

son las raices de una ecuacion cuadratica x 2 - 64 x - 21 = 0¿positivo?

Decisión

Por el teorema de Vieta, las raíces de esta ecuación no pueden ser ambas positivas, ya que deben satisfacer la igualdad x 1 x 2 = − 21. Esto no es posible con positivo x1 y x2.

Responder: No

Ejemplo 6

¿A qué valores del parámetro r ecuación cuadrática x 2 + (r + 2) x + r - 1 = 0 tendrá dos raíces reales con diferente signo.

Decisión

Vamos a empezar por encontrar los valores de lo que r, para la cual la ecuación tiene dos raíces. Encontremos el discriminante y veamos por qué r tomará valores positivos. re = (r + 2) 2 - 4 1 (r - 1) = r 2 + 4 r + 4 - 4 r + 4 = r 2 + 8. Valor de expresión r2 + 8 positivo para cualquier real r, por lo tanto, el discriminante será mayor que cero para cualquier real r. Esto significa que la ecuación cuadrática original tendrá dos raíces para cualquier valor real del parámetro r.

Ahora veamos cuándo las raíces tendrán signos diferentes. Esto es posible si su producto es negativo. Según el teorema de Vieta, el producto de las raíces de la ecuación cuadrática reducida es igual al término libre. Entonces la solución correcta son esos valores. r, para el cual el término libre r − 1 es negativo. Resolvemos la desigualdad lineal r − 1< 0 , получаем r < 1 .

Responder: en r< 1 .

fórmulas vieta

Hay una serie de fórmulas que son aplicables para realizar operaciones con raíces y coeficientes no solo cuadrados, sino también cúbicos y otros tipos de ecuaciones. Se llaman fórmulas de Vieta.

Para una ecuación algebraica de grado norte de la forma a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 se considera que la ecuación tiene norte raíces reales x 1 , x 2 , ... , x norte, que puede incluir lo siguiente:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 +. . . + X norte - 1 X norte = una 2 una 0 , X 1 X 2 X 3 + X 1 X 2 X 4 + . . . + X norte - 2 X norte - 1 X norte = - un 3 un 0 , . . . x 1 x 2 x 3 . . . x norte = (- 1) norte un norte un 0

Definición 1

Consigue las fórmulas de Vieta ayúdanos:

• teorema de descomposición de un polinomio en factores lineales;
• definición de polinomios iguales a través de la igualdad de todos sus coeficientes correspondientes.

Entonces, el polinomio a 0 x n + a 1 x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n y su desarrollo en factores lineales de la forma a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) son iguales.

Si abrimos los paréntesis en el último producto e igualamos los coeficientes correspondientes, obtenemos las fórmulas de Vieta. Tomando n \u003d 2, podemos obtener la fórmula de Vieta para la ecuación cuadrática: x 1 + x 2 \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 \u003d a 2 a 0.

Definición 2

Fórmula de Vieta para una ecuación cúbica:
x 1 + x 2 + x 3 = - un 1 un 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = un 2 un 0, x 1 x 2 x 3 = - un 3 un 0

El lado izquierdo de las fórmulas de Vieta contiene los llamados polinomios simétricos elementales.

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"Teorema de Vieta para ecuaciones de tercer y cuarto grado"

Matemáticas

Completado por: estudiante de grado 11b

Shanov Ilya Alekseevich

Supervisor:

profesor de matematicas,

Candidato de Física y Matemáticas Ciencias

Bykov Serguéi Valentinovich

Briansk 2012

Introducción …………………………………………………………………… 3

Metas y objetivos ……………………………………………………………… 4

Breves antecedentes históricos …………………………………………… 4

Ecuación cuadrática …………………………………………………. 5

Ecuación cúbica ……………………………………………………. 6

Ecuación de cuarto grado …………………………………………… 7

Parte práctica ……………………………………………………. nueve

Referencias ………………………………………………………… 12

Apéndice ……………………………………………………………… 13

Introducción

El Teorema Fundamental del Álgebra establece que un campo es algebraicamente cerrado, en otras palabras, que una ecuación de grado n con coeficientes complejos (generalmente) sobre un campo tiene exactamente n raíces complejas. Las ecuaciones de tercer grado se resuelven mediante la fórmula de Cordano. Ecuaciones de cuarto grado por el método de Ferrari. Además de que en la teoría del álgebra se prueba que si es la raíz de la ecuación, entonces es también la raíz de esta ecuación. Para una ecuación cúbica, son posibles los siguientes casos:

las tres raíces son reales;

dos raíces complejas, una real.

Esto implica que cualquier ecuación cúbica tiene al menos una raíz real.

Para una ecuación de cuarto grado:

Las cuatro raíces son diferentes.

Dos raíces son reales, dos son complejas.

Las cuatro raíces son complejas.

Este trabajo está dedicado a un estudio exhaustivo del teorema de Vieta: su formulación, demostración, así como la resolución de problemas utilizando este teorema.

El trabajo realizado está dirigido a ayudar a un estudiante de grado 11 que está a punto de aprobar el examen, así como a jóvenes matemáticos que no son indiferentes a los métodos más simples y efectivos de resolución en diversas áreas de las matemáticas.

En el apéndice de este trabajo, se proporciona una colección de problemas para la solución independiente y la consolidación del nuevo material que estoy estudiando.

Este tema no puede ser ignorado, ya que es importante para las matemáticas, tanto para la ciencia en general, como para los estudiantes e interesados ​​en resolver este tipo de problemas.

Metas y objetivos del trabajo.:

Obtenga un análogo del teorema de Vieta para una ecuación de tercer grado.

Demuestre un análogo del teorema de Vieta para una ecuación de tercer grado.

Obtenga un análogo del teorema de Vieta para una ecuación de cuarto grado.

Demostrar un análogo del teorema de Vieta para una ecuación de cuarto grado.

Considere la aplicación de estas preguntas a la solución de problemas prácticos.

• Verifique la practicidad de la aplicación de este teorema.

Profundizar en los conocimientos matemáticos en el campo de la resolución de ecuaciones.

Desarrollar un interés por las matemáticas.

Breve trasfondo histórico

Justamente digno de ser cantado en verso

Sobre las propiedades de las raíces TEOREMA DE VIETA...

Francois Viet (1540-1603), matemático francés. De profesión abogado. En 1591, introdujo designaciones de letras no solo para cantidades desconocidas, sino también para los coeficientes de las ecuaciones; gracias a esto, fue posible por primera vez expresar las propiedades de las ecuaciones y sus raíces mediante fórmulas generales. Posee el establecimiento de un método uniforme para resolver ecuaciones de 2°, 3° y 4° grado. Entre los descubrimientos, el propio Viet apreció especialmente el establecimiento de una relación entre las raíces y los coeficientes de las ecuaciones. Para la solución aproximada de ecuaciones con coeficientes numéricos, Viet propuso un método similar al método posterior de Newton. En trigonometría, François Viet dio una solución completa al problema de determinar todos los elementos de un triángulo plano o esférico a partir de tres datos, encontró importantes expansiones de cos nx y el pecado nx en potencias de cos X y el pecado X. Consideró obras infinitas por primera vez. Los escritos de Vieta están escritos en un lenguaje difícil y, por lo tanto, recibieron en un momento menos distribución de la que merecían. .

Ecuación cuadrática

Para empezar, recordemos las fórmulas de Vieta para la ecuación de segundo grado, que aprendimos en el currículo escolar.

T
teorema de Vietapara ecuación cuadrática (grado 8)

mi
si y son las raíces de la ecuación cuadrática entonces

es decir, la suma de las raíces de la ecuación cuadrática dada es igual al segundo coeficiente, tomado con signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre.

Además, recuerda el teorema inversa al teorema de Vieta:

si los números - pag y q son tales que

entonces y son las raíces de la ecuación

El teorema de Vieta es notable porque, sin conocer las raíces de un trinomio cuadrado, podemos calcular fácilmente su suma y producto, es decir, las expresiones simétricas más simples.

El teorema de Vieta te permite adivinar las raíces enteras de un trinomio cuadrado.

ecuación cúbica

Ahora pasemos directamente a la formulación y solución de la ecuación cúbica usando el teorema de Vieta.

Fraseología

Para
una ecuación úbica es una ecuación de tercer orden, de la forma

donde un ≠ 0.

si un un = 1, entonces la ecuación se llama ecuación cúbica reducida:

Entonces, tenemos que probar que para la ecuación

se cumple el siguiente teorema:

PAG
Dejar las raíces de esta ecuación, entonces

Prueba

Imagina un polinomio

Hagamos las transformaciones:

Entonces conseguimos eso

Doslos polinomios son iguales si y solo si sus coeficientes son iguales en las potencias correspondientes.

Esto significa que

QED

Ahora considere el teorema, inversa al teorema de Vieta para una ecuación de tercer grado.

F
fraseología

mi
si los números son tales que

Ecuación de cuarto grado

Ahora pasemos a establecer y resolver una ecuación de cuarto grado usando el teorema de Vieta para una ecuación de cuarto grado.

Fraseología

En
ecuación de cuarto grado - una ecuación de la forma

GRAMO
Delaware un ≠ 0.

mi
Si un = 1, entonces la ecuación se llama reducida

Y
entonces, demostremos que para la ecuación

con
el siguiente teorema es verdadero: sean las raíces de la ecuación dada, entonces

Prueba

Imagina un polinomio

Hagamos las transformaciones:

Entonces conseguimos eso

Lo sabemos dos polinomios son iguales si y solo si sus coeficientes son iguales en las potencias correspondientes.

Esto significa que

QED

Considere el teorema inversa al teorema de Vieta para una ecuación de cuarto grado.

Fraseología

Si los números son tales que

entonces estos numeros son las raices de la ecuacion

parte práctica

Ahora considere resolver problemas usando los teoremas de Vieta para ecuaciones de tercer y cuarto grado.

Tarea 1

Respuesta: 4, -4.

Tarea 2

Respuesta: 16, 24.

Para resolver estas ecuaciones, puedes usar las fórmulas de Cardano y el método de Ferrari, respectivamente, pero usando el teorema de Vieta, sabemos la suma y el producto de las raíces de estas ecuaciones.

Tarea #3

Escribe una ecuación de tercer grado, si se sabe que la suma de las raíces es 6, el producto por pares de las raíces es 3 y el producto es -4.

Hagamos una ecuación, obtenemos

Tarea #4

Escribe una ecuación de tercer grado, si se sabe que la suma de las raíces es igual a 8 , por el par producto de las raíces es igual a 4 , el producto triplicado es igual a 12 , y el producto 20 .

Solución: usando la fórmula de Vieta, obtenemos

Hagamos una ecuación, obtenemos

Con la ayuda del teorema de Vieta, podemos componer fácilmente ecuaciones por sus raíces. Esta es la forma más racional de resolver estos problemas.

Tarea #5

donde a, b, c son las fórmulas de Heron.

Abramos los paréntesis y transformemos la expresión, obtenemos

W
Tenga en cuenta que la expresión radical es expresión cúbica. Usamos el teorema de Vieta para la ecuación cúbica correspondiente, entonces tenemos que

W

naya, lo que obtenemos:

A partir de la solución de este problema se puede ver que el teorema de Vieta es aplicable a problemas de diferentes áreas de las matemáticas.

Conclusión

En este trabajo se investigó un método para resolver ecuaciones de tercer y cuarto grado utilizando el teorema de Vieta. Las fórmulas derivadas en el trabajo son fáciles de usar. En el curso del estudio, se hizo evidente que en algunos casos este método es más efectivo que la fórmula de Cordano y el método de Ferrari para ecuaciones de tercera y cuarta potencia, respectivamente.

El teorema de Vieta se ha aplicado en la práctica. Se resolvieron una serie de tareas que ayudaron a consolidar mejor el nuevo material.

Este estudio fue muy interesante e informativo para mí. Al profundizar mis conocimientos en matemáticas, descubrí muchas cosas interesantes y me alegró hacer esta investigación.

Pero mi investigación en el campo de la resolución de ecuaciones no ha terminado. En el futuro, planeo estudiar la solución de la ecuación de grado n usando el teorema de Vieta.

Quiero expresar mi profundo agradecimiento a mi supervisor, candidato de ciencias físicas y matemáticas, y la posibilidad de un estudio tan inusual y una atención constante al trabajo.

Bibliografía

Vinogradov I. M. Enciclopedia matemática. M, 1977.

V. B. Lidsky, L. V. Ovsyannikov, A. N. Tulaikov, M. I. Shabunin. Problemas de matemáticas elementales, Fizmatlit, 1980.

teorema de Vieta

Sean y denoten las raíces de la ecuación cuadrática reducida
(1) .
Entonces la suma de las raíces es igual al coeficiente en tomado con el signo opuesto. El producto de las raíces es igual al término libre:
;
.

Una nota sobre raíces múltiples

Si el discriminante de la ecuación (1) es cero, entonces esta ecuación tiene una raíz. Pero, para evitar formulaciones engorrosas, generalmente se acepta que en este caso, la ecuación (1) tiene dos raíces múltiples o iguales:
.

Prueba uno

Encontremos las raíces de la ecuación (1). Para hacer esto, aplique la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática:
;
;
.

Encontrar la suma de las raíces:
.

Para encontrar el producto, aplicamos la fórmula:
.
Entonces

.

El teorema ha sido probado.

prueba dos

Si los números y son las raíces de la ecuación cuadrática (1), entonces
.
Abrimos los paréntesis.

.
Así, la ecuación (1) tomará la forma:
.
Comparando con (1) encontramos:
;
.

El teorema ha sido probado.

Teorema de Vieta inversa

Que haya números arbitrarios. Entonces y son las raíces de la ecuación cuadrática
,
donde
(2) ;
(3) .

Prueba del teorema inverso de Vieta

Considere la ecuación cuadrática
(1) .
Necesitamos demostrar que si y , entonces y son las raíces de la ecuación (1).

Sustituye (2) y (3) en (1):
.
Agrupamos los términos del lado izquierdo de la ecuación:
;
;
(4) .

Sustituir en (4) :
;
.

Sustituir en (4) :
;
.
La ecuación se cumple. Es decir, el número es la raíz de la ecuación (1).

El teorema ha sido probado.

Teorema de Vieta para la ecuación cuadrática completa

Ahora considere la ecuación cuadrática completa
(5) ,
donde , y son algunos números. Y .

Dividimos la ecuación (5) por:
.
Es decir, hemos obtenido la ecuación anterior
,
donde ; .

Entonces el teorema de Vieta para la ecuación cuadrática completa tiene la siguiente forma.

Sean y denoten las raíces de la ecuación cuadrática completa
.
Entonces la suma y el producto de las raíces están determinados por las fórmulas:
;
.

Teorema de Vieta para una ecuación cúbica

De manera similar, podemos establecer conexiones entre las raíces de una ecuación cúbica. Considere la ecuación cúbica
(6) ,
donde , , , son algunos números. Y .
Dividamos esta ecuación por:
(7) ,
donde , , .
Sean , , las raíces de la ecuación (7) (y la ecuación (6)). Entonces

.

Comparando con la ecuación (7) encontramos:
;
;
.

Teorema de Vieta para una ecuación de grado n

De la misma manera, puedes encontrar conexiones entre las raíces , , ... , , para la ecuación de grado n
.

El teorema de Vieta para una ecuación de grado n tiene la siguiente forma:
;
;
;

.

Para obtener estas fórmulas, escribimos la ecuación de la siguiente forma:
.
Luego igualamos los coeficientes en , , , ... , y comparamos el término libre.

Referencias:
EN. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemáticas para Ingenieros y Estudiantes de Instituciones de Educación Superior, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, MK Potapov et al., Álgebra: un libro de texto para el octavo grado de instituciones educativas, Moscú, Educación, 2006.