La historia de la Facultad de Comercio y Economía de Kaliningrado es una página en la historia de la región, que se ha escrito desde 1946. Desde entonces, más de 25.000 especialistas se han graduado de la facultad.
Desde 2004, el colegio se ha convertido en una plataforma experimental para el Instituto de Moscú para el Desarrollo de la Educación Profesional Secundaria sobre el tema "Difusión de la experiencia europea en la creación y organización de Centros de Educación de Adultos y Centros de Educación Abierta en la región". Durante diez años ha sido miembro de la Asociación Rusa de Marketing, tiene el estatus de un colegio de orientación social. Este último fue asignado al colegio por la administración regional para el apoyo constante de estudiantes, docentes, jubilados, militares y sus familias, docentes en activo y empleados en situación de vulnerabilidad social.
La formación de los estudiantes de la Facultad de Comercio y Economía de Kaliningrado se lleva a cabo en cinco facultades: tecnología y servicios, gestión de marketing, derecho, economía y contabilidad, formas no tradicionales de educación. El campo educativo del colegio incluye dieciséis especialidades. Estos incluyen tecnología de cocina, comercio de alimentos, comercio comercial, gestión, marketing, contabilidad legal, banca, gestión hotelera, finanzas, turismo y más.
El colegio cuenta con un Centro de Orientación Profesional y Formación de Aspirantes. En la facultad de formas no tradicionales de educación, no solo puede mejorar sus habilidades, sino también adquirir una nueva especialidad en el trabajo. El actual Centro de Educación Abierta está enfocado a brindar asistencia en la formación profesional en más de una veintena de especialidades. Aquí puede mejorar sus habilidades, someterse a un nuevo entrenamiento. Los métodos son muy diversos: juegos de negocios, capacitaciones, seminarios, ejercicios, reuniones abiertas, conferencias, trabajo por proyectos... Todo esto permite a los estudiantes asimilar al máximo el material propuesto.
La cooperación con la Universidad Estatal de Kaliningrado, la Universidad Técnica Estatal de Kaliningrado y la Academia Estatal del Báltico permiten que la universidad forme especialistas cuyos conocimientos se conviertan en capital y el principal recurso para el desarrollo económico de la región. A lo largo de los años de esta interacción, más de doscientos graduados han recibido educación superior en una facultad especial con un período de estudio reducido. Todos ellos son demandados por el complejo económico de la región, muchos han ingresado a la élite del cuerpo empresarial de la región.
La Facultad de Comercio y Economía de Kaliningrado ha establecido comunicación y coopera activamente con Dinamarca, Suecia, Alemania, Polonia y Finlandia. El equipo participa en proyectos educativos internacionales. Su temática es diversa, incluye temas tan importantes como "Asistencia a las autoridades de Kaliningrado en el desarrollo de pequeñas y medianas empresas", "Asistencia a oficiales y miembros desempleados de sus familias en la obtención de especialidades civiles para su posterior empleo", " Formación de profesores en andragogía y desarrollo de programas de formación empresarial". actividades en Kaliningrado” y similares.
En 1999, en el marco de un proyecto internacional, gracias a los esfuerzos de Lidia Ivanovna Motolyanets, Directora Adjunta de Asuntos Académicos, se creó una empresa de imitación: un modelo empresarial que refleja las actividades de una organización comercial real, una forma especializada efectiva de formación avanzada para el personal de todos los niveles que trabajan en el campo de la pequeña empresa.
La misión del colectivo - garantizar una educación que satisfaga las necesidades de la sociedad y contribuya a la formación de una persona integral - se está implementando plenamente. Kaliningrad College of Trade and Economics significa profesionalismo, responsabilidad y prestigio.
KTEK
PCC de Economía y Contabilidad
15 copias, 2006
Introducción. 4
El concepto de derivada. 5
Derivados privados. once
Puntos de inflexión. dieciséis
Ejercicios de solución. 17
Prueba. 20
Respuestas a ejercicios.. 21
Literatura. 23
Introducción
f(x X, luego llamado Producto Marginal; Si g(x) g(x) g'(x) llamado costo marginal.
Por ejemplo, Deja que la función tu=u(t) tu mientras trabajo t. ∆t=t 1 - t 0:
z cf. =
z cf. en ∆t→ 0: .
costos de producción k X, entonces podemos escribir K=K(x) ∆x K(x+∆x). ∆x ∆K=K(x+∆x)- K(x).
Límite 
llamado
El concepto de derivada
La derivada de la función en el punto x 0 se llama límite de la razón del incremento de la función al incremento del argumento, siempre que el incremento del argumento tienda a cero.
Notación de función derivada:
Ese. un priorato:
Algoritmo para encontrar la derivada:
Deja que la función y=f(x) continuo en el segmento , X
1. Encuentra el incremento del argumento:
X es el nuevo valor del argumento
x0- valor inicial
2. Encuentra el incremento de la función:
f(x) es el nuevo valor de la función
f(x0)- valor inicial de la función
3. Encuentre la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento:
4. Encuentra el límite de la razón que se encuentra en
Encuentra la derivada de la función con base en la definición de la derivada.
Decisión:
vamos a dar X incremento Δx, entonces el nuevo valor de la función será:
Encontremos el incremento de la función como la diferencia entre los valores nuevos e iniciales de la función:
Encuentre la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento:
.
Encontremos el límite de esta relación siempre que:
Por lo tanto, por la definición de la derivada: 
.
Encontrar la derivada de una función se llama diferenciación.
Función y=f(x) llamado diferenciable en el intervalo (a;b) si tiene una derivada en cada punto del intervalo.
Teorema Si la función es derivable en un punto dado x0, entonces es continua en ese punto.
La afirmación inversa no es verdadera, porque hay funciones que son continuas en algún punto pero no son diferenciables en ese punto. Por ejemplo, la función en el punto x 0 =0.
Hallar derivadas de funciones
1) 
.
2) 
.
Realicemos las transformaciones idénticas de la función:
Derivados de órdenes superiores
Derivada de segundo orden se llama la derivada de la primera derivada. denotado
derivada de orden n se llama la derivada de la derivada de (n-1)-ésimo orden.
por ejemplo, 
Derivadas parciales
derivado privado una función de varias variables con respecto a una de estas variables se llama derivada tomada con respecto a esta variable, siempre que todas las demás variables permanezcan constantes.
por ejemplo, para la función 
las derivadas parciales de primer orden serán iguales:
Máximo y mínimo de una función.
El valor del argumento en el que la función tiene el mayor valor se llama punto máximo.
El valor del argumento en el que la función tiene el valor más pequeño se llama punto mínimo.
El punto máximo de la función es el punto límite de la transición de la función de creciente a decreciente, el punto mínimo de la función es el punto límite de la transición de decreciente a creciente.
Función y=f(x) tiene (lugar) máximo en el punto si para todos X
Función y=f(x) tiene (lugar) mínimo en el punto si para todos X, suficientemente cerca de , la desigualdad
Los valores máximo y mínimo de una función tienen un nombre común extremos, y los puntos en los que se alcanzan se llaman puntos extremos.
Teorema (una condición necesaria para la existencia de un extremum) Sea la función definida en el intervalo y tenga el mayor (menor) valor en el punto . Entonces, si existe una derivada de esta función en un punto, entonces es igual a cero, es decir .
Prueba:
Sea en el punto x 0 la función tiene el mayor valor, entonces para cualquiera se cumple la siguiente desigualdad: .
Para cualquier punto 
Si x > x 0 , entonces , es decir 
si x< x 0 , то , т.е. 
Porque existe , lo cual es posible solo si son iguales a cero, por lo tanto, .
Consecuencia:
Si en el punto la función derivable toma el mayor (menor) valor, entonces en el punto la tangente a la gráfica de esta función es paralela al eje Ox.
Los puntos en los que la primera derivada es igual a cero o no existe se llaman crítico - estos son posibles puntos extremos.
Tenga en cuenta que dado que la igualdad de la primera derivada a cero es solo una condición necesaria para un extremo, es necesario investigar adicionalmente la cuestión de la presencia de un extremo en cada punto de un posible extremo.
Teorema(condición suficiente para la existencia de un extremum)
Deja que la función y = f(x) es continua y diferenciable en alguna vecindad del punto x0. Si al pasar por un punto x0 de izquierda a derecha, la primera derivada cambia de signo de más a menos (de menos a más), luego en el punto x0 función y = f(x) tiene un máximo (mínimo). Si la primera derivada no cambia de signo, entonces esta función no tiene un extremo en el punto x0
Algoritmo para estudiar una función para un extremo:
1.Encuentra la primera derivada de la función.
2. Igualar la primera derivada a cero.
3. Resuelve la ecuación. Las raíces encontradas de la ecuación son puntos críticos.
4. Coloque los puntos críticos encontrados en el eje numérico. Obtenemos una serie de intervalos.
5. Determinar el signo de la primera derivada en cada uno de los intervalos e indicar los extremos de la función.
6.Para construir un gráfico:
Ø determinar los valores de la función en los puntos extremos
Ø encontrar los puntos de intersección con los ejes de coordenadas
Ø encontrar puntos adicionales
La lata tiene la forma de un cilindro redondo de radio r y altura h. Suponiendo que se usa una cantidad claramente fija de estaño para hacer una lata, determine en qué proporción entre r y h banco tendrá el mayor volumen.
La cantidad de estaño utilizada será igual al área de la superficie total de la lata, es decir . (uno)
De esta igualdad encontramos:
Entonces el volumen se puede calcular con la fórmula: 
. El problema se reducirá a encontrar el máximo de la función V(r). Encuentre la primera derivada de esta función: 
. Igualar la primera derivada a cero:
. Encontramos: . (2)
Este punto es el punto máximo, porque la primera derivada es positiva en y negativa en .
Ahora establezcamos en qué relación entre el radio y la altura el banco tendrá el mayor volumen. Para hacer esto, dividimos la igualdad (1) por r2 y usa la relación (2) para S. Obtenemos: . Así, el mayor volumen tendrá una jarra cuya altura sea igual al diámetro.
A veces es bastante difícil estudiar el signo de la primera derivada a la izquierda y a la derecha del posible punto extremo, entonces puedes usar segunda condición extrema suficiente:
Teorema Deja que la función y = f(x) tiene en el punto x0 posible extremo, la segunda derivada final. Entonces la función y = f(x) tiene en el punto x0 máximo si , y el minimo si .
Observación Este teorema no resuelve el problema del extremo de una función en un punto si la segunda derivada de la función en el punto dado es igual a cero o no existe.
Puntos de inflexión
Los puntos de la curva en los que la convexidad se separa de la concavidad se denominan puntos de inflexión.
Teorema (condición de punto de inflexión requerida): Sea que la gráfica de la función tenga una inflexión en un punto y la función tenga una segunda derivada continua en el punto x 0, entonces
Teorema (condición suficiente para el punto de inflexión): Deje que la función tenga una segunda derivada en alguna vecindad del punto x 0 , que tiene diferentes signos a la izquierda y a la derecha de x0. entonces la gráfica de la función tiene una inflexión en el punto .
El algoritmo para encontrar puntos de inflexión:
1. Encuentra la segunda derivada de la función.
2. Igualar la segunda derivada a cero y resolver la ecuación: . Pon las raíces resultantes en una recta numérica. Obtenemos una serie de intervalos.
3. Encuentra el signo de la segunda derivada en cada uno de los intervalos. Si los signos de la segunda derivada en dos intervalos adyacentes son diferentes, entonces tenemos un punto de inflexión en un valor dado de la raíz, si los signos son iguales, entonces no hay puntos de inflexión.
4. Encuentra las ordenadas de los puntos de inflexión.
Examine la curva en busca de convexidad y concavidad. Encuentre puntos de inflexión.
1) encontrar la segunda derivada:
2) Resuelve la desigualdad 2x<0 x<0 при x кривая выпуклая
3) Resolver la desigualdad 2x>0 x>0 para x la curva es cóncava
4) Encuentra los puntos de inflexión, para los cuales igualamos la segunda derivada a cero: 2x=0 x=0. Porque en el punto x=0 la segunda derivada tiene signos diferentes a la izquierda y a la derecha, entonces x=0 es la abscisa del punto de inflexión. Encuentre la ordenada del punto de inflexión:
(0;0) punto de inflexión.
Ejercicios para resolver
No. 1 Encuentre las derivadas de estas funciones, calcule el valor de las derivadas para un valor de argumento dado:
| 1. | 5.  | 9. | |||
| 2. | 6. | 10.  |
|||
3.  | 7. | 11.  |
|||
4.  | 8.  | 12.  |
|||
13.  | 14.  | ||||
| 15. | 16. | ||||
#2 Encuentra derivadas de funciones complejas:
1.  | 2.  |
| 3. | 4. |
5.  | 6.  |
| 7. | 8. |
| 9. | 10. |
| 11. | 12. |
| 13. | 14.  |
15.  | 16. |
| 17. | 18. |
No. 3 Resuelve problemas:
1. Encuentra la pendiente de la tangente trazada a la parábola en el punto x=3.
2. A la parábola y \u003d 3x 2 -x en el punto x \u003d 1, se dibujan una tangente y una normal. Escribe sus ecuaciones.
3. Encuentra las coordenadas del punto en el que la tangente a la parábola y=x 2 +3x-10 forma un ángulo de 135 0 con el eje OX.
4. Componga la ecuación de la tangente al gráfico de la función y \u003d 4x-x 2 en el punto de intersección con el eje OX.
5. ¿A qué valores de x es la tangente al gráfico de la función y \u003d x 3 -x paralela a la línea recta y \u003d x?
6. El punto se mueve en línea recta según la ley S=2t 3 -3t 2 +4. encuentre la aceleración y la velocidad del punto al final del tercer segundo. ¿En qué momento la aceleración será cero?
7. ¿Cuándo la velocidad de un punto que se mueve según la ley S=t 2 -4t+5 es igual a cero?
#4 Explora funciones usando la derivada:
1. Investigue la función y \u003d x 2 para monotonicidad
2. Encuentra los intervalos de aumento y disminución de la función 
.
3. Encuentra los intervalos de aumento y disminución de la función .
4. Explora la función de máximo y mínimo 
.
5. Explora la función para un extremo 
.
6. Investigue la función y \u003d x 3 para un extremo
7. Explora la función de un extremo 
.
8. Divide el número 24 en dos términos para que su producto sea el mayor.
9. De una hoja de papel, es necesario cortar un rectángulo con un área de 100 cm 2 para que el perímetro de este rectángulo sea el más pequeño. ¿Cuáles deben ser los lados de este rectángulo?
10. Investiga la función y=2x 3 -9x 2 +12x-15 para un extremo y construye su gráfica.
11. Examine la curva de concavidad y convexidad.
12. Encuentra los intervalos de convexidad y concavidad de la curva 
.
13. Encuentra los puntos de inflexión de las funciones: a) ; b) .
14. Explora la función y construye su gráfica.
15. Explora la función y construye su gráfica.
16 Explorar función 
y trazarlo.
17. Encuentra el valor más grande y más pequeño de la función y \u003d x 2 -4x + 3 en el segmento
Preguntas de prueba y ejemplos.
1. Defina una derivada.
2. ¿Cómo se llama el incremento del argumento? incremento de función?
3. ¿Cuál es el significado geométrico de la derivada?
4. ¿A qué se llama diferenciación?
5. Enumera las principales propiedades de la derivada.
6. ¿Qué función se llama compleja? ¿espalda?
7. Da el concepto de derivada de segundo orden.
8. ¿Formular una regla para diferenciar una función compleja?
9. El cuerpo se mueve en línea recta según la ley S=S(t). ¿Qué se puede decir del movimiento si:
5. La función es creciente en algún intervalo. ¿Se sigue de esto que su derivada es positiva en este intervalo?
6. ¿Cómo se llaman los extremos de la función?
7. ¿El mayor valor de la función en cierto intervalo coincide necesariamente con el valor de la función en el punto máximo?
8. La función se define en . ¿Puede el punto x=a ser el punto extremo de esta función?
10. La derivada de la función en el punto x 0 es cero. ¿Se sigue de aquí que x 0 es el punto extremo de esta función?
Prueba
1. Encuentra las derivadas de estas funciones:
un)  | mi) |
| b) | gramo)  |
con)  | h)  |
| mi) | y) |
2. Escribir las ecuaciones de las tangentes a la parábola y=x 2 -2x-15: a) en el punto de abscisa x=0; b) en el punto de intersección de la parábola con el eje de abscisas.
3. Determinar los intervalos de aumento y disminución de la función
4. Explora la función y grafica
5. Encuentre en el tiempo t=0 la velocidad y la aceleración de un punto que se mueve de acuerdo con la ley s =2e 3 t
respuestas a los ejercicios
5. 
7. 
9. 
11. 
12. 
13. 
14. 
2. 
3. 
4. 
(el resultado se obtiene usando la fórmula de la derivada del cociente). Puedes resolver este ejemplo de otra manera:
5. 
8. El producto será el mayor si cada término es igual a 12.
9. El perímetro del rectángulo será el más pequeño si los lados del rectángulo miden 10 cm cada uno, es decir recortar un cuadrado.
17. En el segmento, la función toma el mayor valor, igual a 3 cuando x=0 y el valor más pequeño igual a –1 en x=2.
Literatura
| 1. | Vlasov V. G. Resumen de conferencias sobre matemáticas superiores, Moscú, Iris, 96 | |
| 2. | Tarasov N. P. Curso de matemáticas superiores para escuelas técnicas, M., 87 | |
| 3. | II Valutse, G.D. Diligul Matemáticas para escuelas técnicas, M., Ciencias, 90g | |
| 4. | I.P.Matskevich, G.P.Svirid Matemáticas Superiores, Minsk, Matemáticas Superiores. escuela, 93 | |
| 5. | V.S.Schipachev Fundamentos de Matemáticas Superiores, M.Vyssh.shkola89 | |
| 6. | V.S.Schipachev Matemáticas Superiores, M.Vyssh.shkola 85g | |
| 7. | V.P. Minorsky Colección de problemas de matemáticas superiores, M. Nauka 67g | |
| 8. | O.N.Afanasyeva Colección de problemas de matemáticas para escuelas técnicas, M.Nauka 87g | |
| 9. | V.T.Lisichkin, I.L.Soloveichik Matemáticas, M.Vyssh.shkola 91g | |
| 10. | N.V. Bogomolov Lecciones prácticas de matemáticas, M. Escuela superior 90 | |
| 11. | HE Krynsky Matemáticas para Economistas, M. Estadística 70g | |
| 12. | L.G.Korsakova Matemáticas superiores para gerentes, Kaliningrado, KSU, 97. |
COLEGIO DE COMERCIO Y ECONOMÍA DE KALININGRADO
para el estudio del tema
"derivada de una función"
para estudiantes de la especialidad 080110 "Economía y Contabilidad", 080106 "Finanzas",
080108 "Banca", 230103 "Sistemas automatizados de tratamiento y gestión de la información"
Compilado por Fedorova E.A.
KALININGRADO
Revisores: Gorskaya Natalya Vladimirovna, profesora de la Facultad de Economía y Comercio de Kaliningrado
En este manual se consideran los conceptos básicos del cálculo diferencial: el concepto de derivada, propiedades de las derivadas, aplicación en geometría analítica y mecánica, se dan fórmulas básicas de diferenciación, se dan ejemplos para ilustrar el material teórico. El manual se complementa con ejercicios para el trabajo independiente, se dan respuestas a ellos, preguntas y tareas de muestra para el control intermedio del conocimiento. Diseñado para estudiantes que estudian la disciplina "Matemáticas" en instituciones educativas secundarias especializadas, que estudian a tiempo completo, a tiempo parcial, educación nocturna, estudiantes externos o con asistencia gratuita.
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PCC de Economía y Contabilidad
15 copias, 2006
Introducción. 4
Requisitos de conocimientos y habilidades.. 5
El concepto de derivada. 5
El significado geométrico de la derivada. 7
El significado mecánico de la derivada. 7
Reglas básicas de diferenciación. ocho
Fórmulas para diferenciar funciones básicas. nueve
Derivada de la función inversa. nueve
Diferenciación de funciones complejas. diez
Derivados de órdenes superiores. once
Derivados privados. once
Investigación de funciones con la ayuda de derivadas. once
Función creciente y decreciente. once
Máximo y mínimo de una función. trece
Convexidad y concavidad de una curva. quince
Puntos de inflexión. dieciséis
Esquema general para el estudio de funciones y graficación. 17
Ejercicios de solución. 17
Preguntas de prueba y ejemplos.. 20
Prueba. 20
Respuestas a ejercicios.. 21
Literatura. 23
Introducción
El análisis matemático brinda una serie de conceptos fundamentales sobre los que opera un economista: esta es una función, límite, derivada, integral, ecuación diferencial. En la investigación económica, a menudo se utiliza una terminología específica para referirse a los derivados. Por ejemplo, si f(x) es una función de producción que expresa la dependencia de la producción de cualquier producto del costo del factor X, luego llamado Producto Marginal; Si g(x) es una función de costo, es decir función g(x) expresa la dependencia de los costos totales en el volumen de producción x, entonces g'(x) llamado costo marginal.
Análisis marginal en economía- un conjunto de métodos para estudiar los costos cambiantes o los resultados cuando cambia el volumen de producción, consumo, etc. a partir del análisis de sus valores límite.
Por ejemplo, encontrar productividad. Deja que la función tu=u(t), expresando la cantidad de productos producidos tu mientras trabajo t. Calculemos la cantidad de bienes producidos durante el tiempo ∆t=t 1 - t 0:
u=u(t 1)-u(t 0)=u(t 0 +∆t)-u(t 0).
Productividad laboral media es la relación entre la cantidad de producción producida y el tiempo invertido, es decir z cf. =
Productividad del trabajador en el momento t 0 se llama el límite al que z cf. en ∆t→ 0: . El cálculo de la productividad del trabajo, por tanto, se reduce al cálculo de la derivada:
costos de producción k productos homogéneos es una función de la cantidad de productos X, entonces podemos escribir K=K(x). Supongamos que la cantidad de producción aumenta en ∆x. La cantidad de producción x+∆x corresponde a los costos de producción K(x+∆x). Por lo tanto, el incremento en la cantidad de producción ∆x corresponde al incremento en los costos de producción ∆K=K(x+∆x)- K(x).
El incremento medio de los costes de producción es ∆K/∆x. Este es el incremento en los costos de producción por unidad de incremento en la cantidad de producción.
Límite llamado coste marginal de producción.
