Derivada de una función compleja para dummies. Ejemplos de aplicación de la fórmula de la derivada de una función compleja. Derivada de una función compleja

Es muy fácil de recordar.

Bueno, no iremos muy lejos, consideraremos inmediatamente la función inversa. ¿Cuál es el inverso de la función exponencial? Logaritmo:

En nuestro caso, la base es un número:

Tal logaritmo (es decir, un logaritmo con una base) se llama "natural", y usamos una notación especial para él: escribimos en su lugar.

¿A qué es igual? Por supuesto, .

La derivada del logaritmo natural también es muy sencilla:

Ejemplos:

Encuentra la derivada de la función.
¿Cuál es la derivada de la función?

Respuestas: El exponente y el logaritmo natural son funciones que son singularmente simples en términos de la derivada. Las funciones exponenciales y logarítmicas con cualquier otra base tendrán una derivada diferente, que analizaremos más adelante, después de pasar por las reglas de derivación.

Reglas de diferenciación

¿Qué reglas? ¡¿Otro término nuevo, otra vez?!...

Diferenciación es el proceso de encontrar la derivada.

Solo y todo. ¿Cuál es otra palabra para este proceso? No proizvodnovanie... El diferencial de las matemáticas se llama el incremento mismo de la función en. Este término proviene del latín differentia - diferencia. Aquí.

Al derivar todas estas reglas, usaremos dos funciones, por ejemplo, y. También necesitaremos fórmulas para sus incrementos:

Hay 5 reglas en total.

La constante se quita del signo de la derivada.

Si - algún número constante (constante), entonces.

Obviamente, esta regla también funciona para la diferencia: .

Demostrémoslo. Vamos, o más fácil.

Ejemplos.

Encuentra derivadas de funciones:

en el punto;
en el punto;
en el punto;
en el punto.

Soluciones:

(la derivada es la misma en todos los puntos, ya que es una función lineal, ¿recuerdas?);

Derivado de un producto

Todo es similar aquí: introducimos una nueva función y encontramos su incremento:

Derivado:

Ejemplos:

Hallar derivadas de funciones y;
Hallar la derivada de una función en un punto.

Soluciones:

Derivada de la función exponencial

Ahora tu conocimiento es suficiente para aprender a encontrar la derivada de cualquier función exponencial, y no solo el exponente (¿ya olvidaste cuál es?).

Entonces, ¿dónde está un número?

Ya conocemos la derivada de la función, así que intentemos llevar nuestra función a una nueva base:

Para hacer esto, usamos una regla simple: . Entonces:

Bueno, funcionó. Ahora trata de encontrar la derivada y no olvides que esta función es compleja.

¿Sucedió?

Aquí, compruébalo tú mismo:

La fórmula resultó ser muy similar a la derivada del exponente: como estaba, queda, solo apareció un factor, que es solo un número, pero no una variable.

Ejemplos:
Encuentra derivadas de funciones:

Respuestas:

Este es solo un número que no se puede calcular sin una calculadora, es decir, no se puede escribir de una forma más simple. Por lo tanto, en la respuesta se deja de esta forma.

Tenga en cuenta que aquí está el cociente de dos funciones, por lo que aplicamos la regla de derivación apropiada:

En este ejemplo, el producto de dos funciones:

Derivada de una función logarítmica

Aquí es similar: ya sabes la derivada del logaritmo natural:

Por lo tanto, para encontrar una arbitraria del logaritmo con una base diferente, por ejemplo, :

Necesitamos llevar este logaritmo a la base. ¿Cómo se cambia la base de un logaritmo? Espero que recuerdes esta fórmula:

Solo que ahora en lugar de escribiremos:

El denominador resultó ser solo una constante (un número constante, sin variable). La derivada es muy simple:

Las derivadas de las funciones exponencial y logarítmica casi nunca se encuentran en el examen, pero no estará de más conocerlas.

Derivada de una función compleja.

¿Qué es una "función compleja"? No, esto no es un logaritmo ni un arco tangente. Estas funciones pueden ser difíciles de entender (aunque si el logaritmo te parece difícil, lee el tema "Logaritmos" y todo saldrá bien), pero en términos matemáticos, la palabra "complejo" no significa "difícil".

Imagina un pequeño transportador: dos personas están sentadas y haciendo algunas acciones con algunos objetos. Por ejemplo, el primero envuelve una barra de chocolate en un envoltorio y el segundo la ata con una cinta. Resulta un objeto tan compuesto: una barra de chocolate envuelta y atada con una cinta. Para comer una barra de chocolate, debe hacer los pasos opuestos en orden inverso.

Vamos a crear una canalización matemática similar: primero encontraremos el coseno de un número y luego elevaremos al cuadrado el número resultante. Entonces, nos dan un número (chocolate), encuentro su coseno (envoltura), y luego elevas al cuadrado lo que obtuve (lo atas con una cinta). ¿Qué sucedió? Función. Este es un ejemplo de función compleja: cuando, para encontrar su valor, hacemos la primera acción directamente con la variable, y luego otra segunda acción con lo que sucedió como resultado de la primera.

En otras palabras, Una función compleja es una función cuyo argumento es otra función: .

Para nuestro ejemplo, .

Bien podemos hacer los mismos pasos en orden inverso: primero elevas al cuadrado, y luego busco el coseno del número resultante:. Es fácil adivinar que el resultado casi siempre será diferente. Una característica importante de las funciones complejas: cuando cambia el orden de las acciones, cambia la función.

Segundo ejemplo: (igual). .

La última acción que hagamos se llamará función "externa", y la acción realizada primero - respectivamente función "interna"(Estos son nombres informales, los uso solo para explicar el material en un lenguaje sencillo).

Intente determinar por sí mismo qué función es externa y cuál es interna:

Respuestas: La separación de funciones internas y externas es muy similar a cambiar variables: por ejemplo, en la función

¿Qué acción tomaremos primero? Primero calculamos el seno, y solo luego lo elevamos a un cubo. Entonces es una función interna, no externa.
Y la función original es su composición: .
Interno: ; externo: .
Examen: .
Interno: ; externo: .
Examen: .
Interno: ; externo: .
Examen: .
Interno: ; externo: .
Examen: .

cambiamos variables y obtenemos una función.

Bueno, ahora extraeremos nuestro chocolate: busque el derivado. El procedimiento siempre es inverso: primero buscamos la derivada de la función exterior, luego multiplicamos el resultado por la derivada de la función interior. Para el ejemplo original, se ve así:

Otro ejemplo:

Entonces, finalmente formulemos la regla oficial:

Algoritmo para encontrar la derivada de una función compleja:

Parece ser simple, ¿verdad?

Comprobemos con ejemplos:

Soluciones:

1) Interno: ;

Externo: ;

2) Interno: ;

(¡Simplemente no intentes reducir por ahora! No se saca nada de debajo del coseno, ¿recuerdas?)

3) Interna: ;

Externo: ;

Inmediatamente queda claro que aquí hay una función compleja de tres niveles: después de todo, esta ya es una función compleja en sí misma, y aún extraemos la raíz de ella, es decir, realizamos la tercera acción (poner chocolate en un envoltorio y con una cinta en un maletín). Pero no hay razón para tener miedo: de todos modos, "desempaquetaremos" esta función en el mismo orden que de costumbre: desde el final.

Es decir, primero diferenciamos la raíz, luego el coseno y solo luego la expresión entre paréntesis. Y luego lo multiplicamos todo.

En tales casos, es conveniente numerar las acciones. Es decir, imaginemos lo que sabemos. ¿En qué orden realizaremos acciones para calcular el valor de esta expresión? Veamos un ejemplo:

Cuanto más tarde se realice la acción, más "externa" será la función correspondiente. La secuencia de acciones - como antes:

Aquí la anidación es generalmente de 4 niveles. Determinemos el curso de acción.

1. Expresión radical. .

2. Raíz. .

3. Seno. .

4. Cuadrado. .

5. Juntando todo:

DERIVADO. BREVEMENTE SOBRE LOS PRINCIPALES

Derivada de función- la relación del incremento de la función al incremento del argumento con un incremento infinitesimal del argumento:

Derivadas básicas:

Reglas de diferenciación:

La constante se saca del signo de la derivada:

Derivada de la suma:

Producto derivado:

Derivada del cociente:

Derivada de una función compleja:

Algoritmo para encontrar la derivada de una función compleja:

Definimos la función "interna", encontramos su derivada.
Definimos la función "externa", encontramos su derivada.
Multiplicamos los resultados del primer y segundo punto.

Desde que llegaste aquí, probablemente ya lograste ver esta fórmula en el libro de texto.

y poner una cara como esta:

¡Amigo, no te preocupes! De hecho, todo es fácil de deshonrar. Definitivamente entenderás todo. Solo una solicitud: lea el artículo despacio tratar de entender cada paso. Escribí de la manera más simple y clara posible, pero aún necesita profundizar en la idea. Y asegúrese de resolver las tareas del artículo.

¿Qué es una función compleja?

Imagina que te mudas a otro departamento y por lo tanto estás empacando cosas en cajas grandes. Que sea necesario recoger algunos artículos pequeños, por ejemplo, papelería escolar. Si simplemente los arrojas en una caja enorme, se perderán entre otras cosas. Para evitar esto, primero los pone, por ejemplo, en una bolsa, que luego coloca en una caja grande, después de lo cual la sella. Este proceso "más difícil" se muestra en el siguiente diagrama:

Parecería, ¿de dónde vienen las matemáticas? ¡Y además, una función compleja se forma EXACTAMENTE DE LA MISMA manera! Solo "empacamos" no cuadernos y bolígrafos, sino \ (x \), mientras que sirven diferentes "paquetes" y "cajas".

Por ejemplo, tomemos x y "empaquetamos" en una función:

Como resultado, obtenemos, por supuesto, \(\cos⁡x\). Esta es nuestra "bolsa de cosas". Y ahora lo ponemos en una "caja": lo empaquetamos, por ejemplo, en una función cúbica.

¿Qué pasará al final? Sí, así es, habrá un "paquete con cosas en una caja", es decir, "coseno de x al cubo".

La construcción resultante es una función compleja. Se diferencia del simple en que Se aplican VARIOS “impactos” (paquetes) a una X seguida y resulta, por así decirlo, "una función de una función" - "un paquete en un paquete".

En el curso escolar hay muy pocos tipos de estos mismos “paquetes”, solo cuatro:

Ahora "empaquetamos" x primero en una función exponencial con base 7 y luego en una función trigonométrica. Obtenemos:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Y ahora "empaquetamos" x dos veces en funciones trigonométricas, primero en y luego en:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Sencillo, ¿verdad?

Ahora escribe las funciones tú mismo, donde x:
- primero se “empaqueta” en un coseno y luego en una función exponencial con base \(3\);
- primero a la quinta potencia, y luego a la tangente;
- primero al logaritmo base \(4\) , luego a la potencia \(-2\).

Vea las respuestas a esta pregunta al final del artículo.

Pero, ¿podemos "empacar" x no dos, sino tres veces? ¡No hay problema! Y cuatro, y cinco, y veinticinco veces. Aquí, por ejemplo, hay una función en la que x se "empaqueta" \(4\) veces:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Pero tales fórmulas no se encontrarán en la práctica escolar (los estudiantes son más afortunados, pueden ser más difíciles☺).

"Desempaquetar" una función compleja

Mira la función anterior de nuevo. ¿Puedes descifrar la secuencia de "empaque"? En qué se metió X primero, qué después, y así hasta el final. Es decir, ¿qué función está anidada en cuál? Toma una hoja de papel y escribe lo que piensas. Puedes hacer esto con una cadena de flechas, como escribimos arriba, o de cualquier otra forma.

Ahora la respuesta correcta es: primero se “empaquetaba” x en la \(4\) potencia, luego se empaquetaba el resultado en el seno, este, a su vez, se colocaba en la base del logaritmo \(2\), y en Al final, toda la construcción fue empujada a los cincos de poder.

Es decir, es necesario desenrollar la secuencia EN ORDEN INVERSO. Y aquí hay una pista de cómo hacerlo más fácil: solo mira la X, tienes que bailar desde ella. Veamos algunos ejemplos.

Por ejemplo, aquí hay una función: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Miramos a X: ¿qué le sucede primero? Tomado de él. ¿Y luego? Se toma la tangente del resultado. Y la secuencia será la misma:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Otro ejemplo: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analizamos: primero x se elevó al cubo y luego se tomó el coseno del resultado. Entonces la secuencia será: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Preste atención, la función parece ser similar a la primera (con imágenes). Pero esta es una función completamente diferente: aquí en el cubo x (es decir, \(\cos⁡((x x x)))\), y allí en el cubo el coseno \(x\) (es decir, \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Esta diferencia surge de diferentes secuencias de "empaquetado".

El último ejemplo (con información importante): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Está claro que aquí primero realizamos operaciones aritméticas con x, luego se tomó el seno del resultado: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Y este es un punto importante: a pesar de que las operaciones aritméticas no son funciones en sí mismas, aquí también actúan como una forma de “empaquetar”. Profundicemos un poco más en esta sutileza.

Como dije anteriormente, en funciones simples, x se "empaqueta" una vez, y en funciones complejas, dos o más. Además, cualquier combinación de funciones simples (es decir, su suma, diferencia, multiplicación o división) también es una función simple. Por ejemplo, \(x^7\) es una función simple, al igual que \(ctg x\). Por lo tanto, todas sus combinaciones son funciones simples:

\(x^7+ ctg x\) - simple,
\(x^7 ctg x\) es simple,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) es simple, y así sucesivamente.

Sin embargo, si se aplica una función más a tal combinación, ya será una función compleja, ya que habrá dos "paquetes". Ver diagrama:

Bien, sigamos con eso ahora. Escriba la secuencia de funciones de "envoltura":
\(y=cos(⁡(sen⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Las respuestas están nuevamente al final del artículo.

Funciones internas y externas

¿Por qué necesitamos entender el anidamiento de funciones? ¿Qué nos da esto? El punto es que sin dicho análisis no podremos encontrar de manera confiable las derivadas de las funciones discutidas anteriormente.

Y para seguir adelante, necesitaremos dos conceptos más: funciones internas y externas. Esto es algo muy simple, además, de hecho, ya los hemos analizado anteriormente: si recordamos nuestra analogía al principio, entonces la función interna es el "paquete" y la externa es la "caja". Aquellas. aquello en lo que X está "envuelto" primero es una función interna, y aquello en lo que está "envuelto" lo interno ya es externo. Bueno, es comprensible por qué: está afuera, significa externo.

Aquí en este ejemplo: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), la función \(\log_2⁡x\) es interna, y
- externo.

Y en esta: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) es interna, y
- externo.

Realice la última práctica de análisis de funciones complejas y, finalmente, pasemos al punto por el cual se inició todo: encontraremos derivadas de funciones complejas:

Rellena los huecos de la tabla:

Derivada de una función compleja

Bravo por nosotros, todavía llegamos al "jefe" de este tema, de hecho, la derivada de una función compleja, y específicamente, a esa terrible fórmula del comienzo del artículo.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Esta fórmula se lee así:

La derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de la función externa con respecto a la función interna constante y la derivada de la función interna.

E inmediatamente mire el esquema de análisis "por palabras" para entender con qué relacionarse:

Espero que los términos "derivado" y "producto" no causen dificultades. "Función compleja": ya la hemos desmantelado. La trampa está en la "derivada de la función externa con respecto a la constante interna". ¿Lo que es?

Respuesta: esta es la derivada habitual de la función externa, en la que solo cambia la función externa, mientras que la interna permanece igual. ¿Todavía no está claro? Bien, vamos a tomar un ejemplo.

Digamos que tenemos una función \(y=\sin⁡(x^3)\). Está claro que la función interna aquí es \(x^3\), y la externa
. Busquemos ahora la derivada del exterior con respecto a la constante interior.

Se dan ejemplos de cómo calcular derivadas usando la fórmula para la derivada de una función compleja.

Contenido

Ver también: Prueba de la fórmula de la derivada de una función compleja

fórmulas básicas

Aquí damos ejemplos de cálculo de derivadas de las siguientes funciones:
; ; ; ; .

Si una función se puede representar como una función compleja de la siguiente forma:
,
entonces su derivada está determinada por la fórmula:
.
En los ejemplos a continuación, escribiremos esta fórmula de la siguiente forma:
.
donde .
Aquí, los subíndices o , ubicados bajo el signo de la derivada, denotan la variable con respecto a la cual se realiza la diferenciación.

Por lo general, en las tablas de derivadas, se dan las derivadas de funciones de la variable x. Sin embargo, x es un parámetro formal. La variable x puede ser reemplazada por cualquier otra variable. Por tanto, al diferenciar una función de una variable, simplemente cambiamos, en la tabla de derivadas, la variable x por la variable u.

Ejemplos simples

Ejemplo 1

Encuentra la derivada de una función compleja
.

Escribimos la función dada en una forma equivalente:
.
En la tabla de derivadas encontramos:
;
.

De acuerdo con la fórmula para la derivada de una función compleja, tenemos:
.
Aquí .

Ejemplo 2

Encontrar derivada
.

Sacamos la constante 5 más allá del signo de la derivada y de la tabla de derivadas encontramos:
.

.
Aquí .

Ejemplo 3

Encuentra la derivada
.

Sacamos la constante -1 para el signo de la derivada y de la tabla de derivadas encontramos:
;
De la tabla de derivadas encontramos:
.

Aplicamos la fórmula para la derivada de una función compleja:
.
Aquí .

Ejemplos más complejos

En ejemplos más complejos, aplicamos la regla de diferenciación de funciones compuestas varias veces. Al hacerlo, calculamos la derivada desde el final. Es decir, descomponemos la función en sus partes componentes y encontramos las derivadas de las partes más simples usando tabla de derivadas. también aplicamos reglas de diferenciación de suma, productos y fracciones . Luego hacemos sustituciones y aplicamos la fórmula para la derivada de una función compleja.

Ejemplo 4

Encuentra la derivada
.

Seleccionamos la parte más simple de la fórmula y encontramos su derivada. .

.
Aquí hemos usado la notación
.

Encontramos la derivada de la siguiente parte de la función original, aplicando los resultados obtenidos. Aplicamos la regla de diferenciación de la suma:
.

Una vez más, aplicamos la regla de diferenciación de una función compleja.

.
Aquí .

Ejemplo 5

Encontrar la derivada de una función
.

Seleccionamos la parte más simple de la fórmula y encontramos su derivada de la tabla de derivadas. .

Aplicamos la regla de diferenciación de una función compleja.
.
Aquí
.

Diferenciamos la siguiente parte, aplicando los resultados obtenidos.
.
Aquí
.

Vamos a diferenciar la siguiente parte.

.
Aquí
.

Ahora encontramos la derivada de la función deseada.

.
Aquí
.

Ver también:

Es absolutamente imposible resolver problemas físicos o ejemplos matemáticos sin conocimientos sobre la derivada y los métodos para calcularla. La derivada es uno de los conceptos más importantes del análisis matemático. Decidimos dedicar el artículo de hoy a este tema fundamental. ¿Qué es una derivada, cuál es su significado físico y geométrico, cómo calcular la derivada de una función? Todas estas preguntas se pueden combinar en una: ¿cómo entender la derivada?

Significado geométrico y físico de la derivada

Sea una función f(x) , dado en algún intervalo (a,b) . Los puntos x y x0 pertenecen a este intervalo. Cuando x cambia, la función misma cambia. Cambio de argumento - diferencia de sus valores x-x0 . Esta diferencia se escribe como delta x y se llama incremento de argumento. El cambio o incremento de una función es la diferencia entre los valores de la función en dos puntos. Definición de derivada:

La derivada de una función en un punto es el límite de la razón del incremento de la función en un punto dado al incremento del argumento cuando este último tiende a cero.

De lo contrario, se puede escribir así:

¿Cuál es el punto de encontrar tal límite? Pero cual:

la derivada de una función en un punto es igual a la tangente del ángulo entre el eje OX y la tangente a la gráfica de la función en un punto dado.

El significado físico de la derivada: la derivada temporal de la trayectoria es igual a la velocidad del movimiento rectilíneo.

De hecho, desde la época escolar, todo el mundo sabe que la velocidad es un camino privado. x=f(t) y tiempo t . Velocidad media durante un cierto período de tiempo:

Para saber la velocidad de movimiento a la vez t0 necesitas calcular el límite:

Regla uno: sacar la constante

La constante se puede sacar del signo de la derivada. Además, hay que hacerlo. Al resolver ejemplos en matemáticas, tome como regla: si puedes simplificar la expresión, asegúrate de simplificar .

Ejemplo. Calculemos la derivada:

Regla dos: derivada de la suma de funciones

La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de estas funciones. Lo mismo es cierto para la derivada de la diferencia de funciones.

No daremos una demostración de este teorema, sino que consideraremos un ejemplo práctico.

Encuentra la derivada de una función:

Regla tres: la derivada del producto de funciones

La derivada del producto de dos funciones diferenciables se calcula mediante la fórmula:

Ejemplo: encontrar la derivada de una función:

Decisión:

Aquí es importante decir sobre el cálculo de derivadas de funciones complejas. La derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de esta función con respecto al argumento intermedio por la derivada del argumento intermedio con respecto a la variable independiente.

En el ejemplo anterior, encontramos la expresión:

En este caso, el argumento intermedio es 8x elevado a la quinta potencia. Para calcular la derivada de tal expresión, primero consideramos la derivada de la función externa con respecto al argumento intermedio y luego multiplicamos por la derivada del propio argumento intermedio con respecto a la variable independiente.

Regla Cuatro: La derivada del cociente de dos funciones

Fórmula para determinar la derivada de un cociente de dos funciones:

Intentamos hablar de derivados para tontos desde cero. Este tema no es tan simple como parece, así que tenga cuidado: a menudo hay errores en los ejemplos, así que tenga cuidado al calcular derivadas.

Ante cualquier duda sobre este y otros temas, puedes ponerte en contacto con el servicio de atención al estudiante. En poco tiempo, lo ayudaremos a resolver las tareas de control y manejo más difíciles, incluso si nunca antes se ha ocupado del cálculo de derivadas.

Si seguimos la definición, entonces la derivada de una función en un punto es el límite de la razón de incremento de la función Δ y al incremento del argumento Δ X:

Todo parece estar claro. Pero trata de calcular con esta fórmula, digamos, la derivada de la función F(X) = X 2 + (2X+ 3) · mi X pecado X. Si hace todo por definición, luego de un par de páginas de cálculos simplemente se quedará dormido. Por lo tanto, hay formas más simples y efectivas.

Para empezar, notemos que las llamadas funciones elementales se pueden distinguir de toda la variedad de funciones. Estas son expresiones relativamente simples, cuyas derivadas se han calculado e ingresado en la tabla durante mucho tiempo. Estas funciones son bastante fáciles de recordar, junto con sus derivadas.

Derivadas de funciones elementales

Las funciones elementales son todo lo que se enumera a continuación. Las derivadas de estas funciones deben saberse de memoria. Además, no es difícil memorizarlos, por eso son elementales.

Entonces, las derivadas de funciones elementales:

Nombre	Función	Derivado
Constante	F(X) = C, C ∈ R	0 (sí, sí, cero!)
Grado con exponente racional	F(X) = X norte	norte · X norte − 1
Seno	F(X) = pecado X	porque X
Coseno	F(X) = porque X	− pecado X(menos seno)
Tangente	F(X) = tg X	1/cos 2 X
Cotangente	F(X) = control X	− 1/sen2 X
logaritmo natural	F(X) = registro X	1/X
logaritmo arbitrario	F(X) = registro un X	1/(X en un)
Funcion exponencial	F(X) = mi X	mi X(nada ha cambiado)

Si una función elemental se multiplica por una constante arbitraria, la derivada de la nueva función también se calcula fácilmente:

(C · F)’ = C · F ’.

En general, las constantes se pueden sacar del signo de la derivada. Por ejemplo:

(2X 3)' = 2 ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Obviamente, las funciones elementales se pueden sumar, multiplicar, dividir y mucho más. Así aparecerán nuevas funciones, ya no muy elementales, pero sí diferenciables según ciertas reglas. Estas reglas se discuten a continuación.

Derivada de suma y diferencia

Deja que las funciones F(X) y gramo(X), cuyos derivados nos son conocidos. Por ejemplo, puede tomar las funciones elementales discutidas anteriormente. Luego puedes encontrar la derivada de la suma y la diferencia de estas funciones:

(F + gramo)’ = F ’ + gramo ’
(F − gramo)’ = F ’ − gramo ’

Entonces, la derivada de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de las derivadas. Puede haber más términos. Por ejemplo, ( F + gramo + h)’ = F ’ + gramo ’ + h ’.

Estrictamente hablando, no existe el concepto de "resta" en álgebra. Hay un concepto de "elemento negativo". Por lo tanto, la diferencia F − gramo se puede reescribir como una suma F+ (−1) gramo, y luego solo queda una fórmula: la derivada de la suma.

F(X) = X 2 + senx; gramo(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Función F(X) es la suma de dos funciones elementales, entonces:

F ’(X) = (X 2+ pecado X)’ = (X 2)' + (pecado X)’ = 2X+ cosx;

Argumentamos de manera similar para la función gramo(X). Solo que ya hay tres términos (desde el punto de vista del álgebra):

gramo ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Responder:
F ’(X) = 2X+ cosx;
gramo ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivado de un producto

Las matemáticas son una ciencia lógica, por lo que mucha gente cree que si la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas, entonces la derivada del producto Huelga"\u003e igual al producto de derivados. ¡Pero higos para ti! La derivada del producto se calcula utilizando una fórmula completamente diferente. A saber:

(F · gramo) ’ = F ’ · gramo + F · gramo ’

La fórmula es simple, pero a menudo olvidada. Y no solo escolares, sino también estudiantes. El resultado son problemas resueltos incorrectamente.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones: F(X) = X 3 cosx; gramo(X) = (X 2 + 7X− 7) · mi X .

Función F(X) es un producto de dos funciones elementales, por lo que todo es simple:

F ’(X) = (X 3 porque X)’ = (X 3) porque X + X 3 (porque X)’ = 3X 2 porque X + X 3 (−sin X) = X 2 (3cos X − X pecado X)

Función gramo(X) el primer multiplicador es un poco más complicado, pero el esquema general no cambia a partir de esto. Obviamente, el primer multiplicador de la función gramo(X) es un polinomio, y su derivada es la derivada de la suma. Tenemos:

gramo ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · mi X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · mi X + (X 2 + 7X− 7) ( mi X)’ = (2X+ 7) · mi X + (X 2 + 7X− 7) · mi X = mi X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · mi X = X(X+ 9) · mi X .

Responder:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X pecado X);
gramo ’(X) = X(X+ 9) · mi X .

Tenga en cuenta que en el último paso, la derivada se factoriza. Formalmente, esto no es necesario, pero la mayoría de las derivadas no se calculan por sí solas, sino para explorar la función. Esto significa que, además, la derivada se igualará a cero, se descubrirán sus signos, etc. Para tal caso, es mejor tener una expresión descompuesta en factores.

Si hay dos funciones F(X) y gramo(X), y gramo(X) ≠ 0 en el conjunto que nos interesa, podemos definir una nueva función h(X) = F(X)/gramo(X). Para tal función, también puedes encontrar la derivada:

No es débil, ¿verdad? ¿De dónde vino el menos? Por qué gramo 2? ¡Pero así! Esta es una de las fórmulas más complejas: no puedes descifrarla sin una botella. Por lo tanto, es mejor estudiarlo con ejemplos específicos.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones:

Hay funciones elementales en el numerador y denominador de cada fracción, por lo que solo necesitamos la fórmula de la derivada del cociente:

Por tradición, factorizamos el numerador en factores; esto simplificará enormemente la respuesta:

Una función compleja no es necesariamente una fórmula de medio kilómetro de largo. Por ejemplo, basta con tomar la función F(X) = pecado X y reemplaza la variable X, digamos, en X 2+ln X. Resulta F(X) = pecado ( X 2+ln X) es una función compleja. Ella también tiene un derivado, pero no funcionará para encontrarlo de acuerdo con las reglas discutidas anteriormente.

¿Cómo ser? En tales casos, la sustitución de una variable y la fórmula para la derivada de una función compleja ayudan:

F ’(X) = F ’(t) · t', Si X es reemplazado por t(X).

Como regla general, la situación con la comprensión de esta fórmula es aún más triste que con la derivada del cociente. Por eso, también es mejor explicarlo con ejemplos concretos, con una descripción detallada de cada paso.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones: F(X) = mi 2X + 3 ; gramo(X) = pecado ( X 2+ln X)

Tenga en cuenta que si en la función F(X) en lugar de la expresión 2 X+ 3 será fácil X, entonces obtenemos una función elemental F(X) = mi X. Por lo tanto, hacemos una sustitución: sea 2 X + 3 = t, F(X) = F(t) = mi t. Estamos buscando la derivada de una función compleja por la fórmula:

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (mi t)’ · t ’ = mi t · t ’

Y ahora, ¡atención! Realizando una sustitución inversa: t = 2X+ 3. Obtenemos:

F ’(X) = mi t · t ’ = mi 2X+ 3 (2 X + 3)’ = mi 2X+ 3 2 = 2 mi 2X + 3

Ahora veamos la función gramo(X). Obviamente necesita ser reemplazado. X 2+ln X = t. Tenemos:

gramo ’(X) = gramo ’(t) · t' = (pecado t)’ · t' = porque t · t ’

Reemplazo inverso: t = X 2+ln X. Entonces:

gramo ’(X) = porque ( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = porque ( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).

¡Eso es todo! Como se puede ver en la última expresión, todo el problema se ha reducido a calcular la derivada de la suma.

Responder:
F ’(X) = 2 mi 2X + 3 ;
gramo ’(X) = (2X + 1/X) porque( X 2+ln X).

Muy a menudo en mis lecciones, en lugar del término "derivado", uso la palabra "carrera". Por ejemplo, el trazo de la suma es igual a la suma de los trazos. ¿Está más claro? Bueno, eso es bueno.

Por lo tanto, el cálculo de la derivada se reduce a deshacerse de estos mismos trazos de acuerdo con las reglas discutidas anteriormente. Como último ejemplo, volvamos a la potencia derivada con exponente racional:

(X norte)’ = norte · X norte − 1

Pocos saben que en el papel norte bien puede ser un número fraccionario. Por ejemplo, la raíz es X 0.5 . Pero, ¿y si hay algo complicado debajo de la raíz? Nuevamente, resultará una función compleja: les gusta dar tales construcciones en pruebas y exámenes.