Si të mbani mend formulat për reduktimin e funksioneve trigonometrike? Është e lehtë nëse përdor një shoqatë.Kjo shoqatë nuk është shpikur nga unë. Siç u përmend tashmë, një shoqëri e mirë duhet të "kapë", domethënë të ngjall emocione të gjalla. Nuk mund t'i quaj pozitive emocionet e shkaktuara nga kjo shoqëri. Por jep një rezultat - ju lejon të mbani mend formulat e reduktimit, që do të thotë se ka të drejtë të ekzistojë. Në fund të fundit, nëse nuk ju pëlqen, nuk keni pse ta përdorni, apo jo?
Formulat e reduktimit kanë formën: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Mos harroni se +α jep lëvizje në drejtim të akrepave të orës, - α jep lëvizje në drejtim të akrepave të orës.
Për të punuar me formulat e reduktimit, ju nevojiten dy pika:
1) vendos shenjen qe ka funksioni fillestar (ne tekste shkruajne: i zvogelueshem. Por per te mos u ngaterruar eshte me mire ta quajme fillestar), nese α e konsiderojme kendin e tremujorit te pare, d.m.th. , i vogel.
2) Diametri horizontal - π±α, 2π±α, 3π±α... - në përgjithësi, kur nuk ka thyesë, emri i funksionit nuk ndryshon. Π/2±α vertikale, 3π/2±α, 5π/2±α... - kur ka një thyesë, emri i funksionit ndryshon: sinus - në kosinus, kosinus - në sinus, tangjente - në kotangjent dhe cotangent - në tangent. 
Tani, në fakt, shoqata:
diametri vertikal (ka një fraksion) -
duke qëndruar i dehur. Çfarë do të ndodhë me të herët?
apo eshte shume vone? Ashtu është, do të bjerë.
Emri i funksionit do të ndryshojë.
Nëse diametri është horizontal, i dehuri tashmë është shtrirë. Ai ndoshta është duke fjetur. Asgjë nuk do t'i ndodhë; ai tashmë ka marrë një pozicion horizontal. Prandaj, emri i funksionit nuk ndryshon.
Domethënë sin(π/2±α), sin(3π/2±α), sin(5π/2±α) etj. jep ±cosα,
dhe sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … - ±sinα.
Ne tashmë e dimë se si.
Si punon? Le të shohim shembuj.
1) cos(π/2+α)=?
Bëhemi π/2. Meqenëse +α do të thotë që ne shkojmë përpara, në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Ne e gjejmë veten në tremujorin e dytë, ku kosinusi ka një shenjë "-". Emri i funksionit ndryshon ("një person i dehur është në këmbë", që do të thotë se ai do të bjerë). Kështu që,
cos(π/2+α)=-sin α.
Le të arrijmë në 2π. Meqenëse -α - shkojmë prapa, domethënë në drejtim të akrepave të orës. Gjendemi në tremujorin e IV-të, ku tangjentja ka shenjën “-”. Emri i funksionit nuk ndryshon (diametri është horizontal, "i dehuri tashmë është shtrirë"). Kështu, tan(2π-α)=- tanα.
3) ctg²(3π/2-α)=?
Shembujt në të cilët një funksion është ngritur në një fuqi të barabartë janë edhe më të thjeshtë për t'u zgjidhur. Shkalla e barabartë "-" e heq atë, domethënë, thjesht duhet të zbuloni nëse emri i funksionit ndryshon apo mbetet. Diametri është vertikal (ka një fraksion, "që qëndron i dehur", do të bjerë), emri i funksionit ndryshon. Marrim: ctg²(3π/2-α)= tan²α.
Dhe një problem tjetër B11 për të njëjtën temë - nga Provimi real i Unifikuar i Shtetit në matematikë.
Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:
Në këtë video tutorial të shkurtër do të mësojmë se si të aplikojmë formulat e reduktimit për zgjidhjen e problemave reale B11 nga Provimi i Bashkuar i Shtetit në matematikë. Siç mund ta shihni, ne kemi dy shprehje trigonometrike, secila përmban sinus dhe kosinus, si dhe disa argumente numerike mjaft brutale.
Para se të zgjidhim këto probleme, le të kujtojmë se cilat janë formulat e reduktimit. Pra, nëse kemi shprehje si:
Atëherë mund të heqim qafe termin e parë (të formës k · π/2) sipas rregullave të veçanta. Le të vizatojmë një rreth trigonometrik dhe të shënojmë pikat kryesore në të: 0, π/2; π; 3π/2 dhe 2π. Pastaj shikojmë termin e parë nën shenjën e funksionit trigonometrik. Ne kemi:
- Nëse termi që na intereson shtrihet në boshtin vertikal të rrethit trigonometrik (për shembull: 3π/2; π/2, etj.), atëherë funksioni origjinal zëvendësohet nga një bashkëfunksion: sinusi zëvendësohet me kosinus, dhe kosinusi, përkundrazi, me sinus.
- Nëse termi ynë qëndron në boshtin horizontal, atëherë funksioni origjinal nuk ndryshon. Thjesht heqim termin e parë në shprehje dhe kaq.
Kështu, marrim një funksion trigonometrik që nuk përmban terma të formës k · π/2. Megjithatë, puna me formulat e reduktimit nuk përfundon me kaq. Fakti është se funksioni ynë i ri, i marrë pas "heqjes" së termit të parë, mund të ketë një shenjë plus ose minus përpara tij. Si ta identifikoni këtë shenjë? Tani do ta zbulojmë.
Le të imagjinojmë që këndi α që mbetet brenda funksionit trigonometrik pas shndërrimeve ka një masë shkallë shumë të vogël. Por çfarë do të thotë "masë e vogël"? Le të themi α ∈ (0; 30°) - kjo është mjaft e mjaftueshme. Le të marrim një shembull të funksionit:
Pastaj, duke ndjekur supozimet tona se α ∈ (0; 30°), arrijmë në përfundimin se këndi 3π/2 − α shtrihet në tremujorin e tretë të koordinatave, d.m.th. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Le të kujtojmë shenjën e funksionit origjinal, d.m.th. y = sin x në këtë interval. Natyrisht, sinusi në tremujorin e tretë të koordinatave është negativ, pasi sipas përkufizimit, sinusi është ordinata e fundit të rrezes lëvizëse (shkurt, sinusi është koordinata y). Epo, koordinata y në gjysmëplanin e poshtëm merr gjithmonë vlera negative. Kjo do të thotë se në tremujorin e tretë y është gjithashtu negativ.
Bazuar në këto reflektime, ne mund të shkruajmë shprehjen përfundimtare:
Problemi B11 - Opsioni 1
Të njëjtat teknika janë mjaft të përshtatshme për zgjidhjen e problemit B11 nga Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë. I vetmi ndryshim është se në shumë probleme reale B11, në vend të një mase radian (d.m.th. numrat π, π/2, 2π, etj.) përdoret një masë shkallë (d.m.th. 90°, 180°, 270° etj.). Le të shohim detyrën e parë:
Le të shohim së pari numëruesin. cos 41° është një vlerë jo tabelare, kështu që nuk mund të bëjmë asgjë me të. Le ta lëmë kështu për momentin.
Tani le të shohim emëruesin:
mëkat 131° = mëkat (90° + 41°) = cos 41°
Natyrisht, kjo është një formulë reduktimi, kështu që sinusi zëvendësohet nga një kosinus. Përveç kësaj, këndi 41° shtrihet në segmentin (0°; 90°), d.m.th. në kuadrantin e parë të koordinatave - saktësisht siç kërkohet për të aplikuar formulat e reduktimit. Por atëherë 90° + 41° është tremujori i dytë i koordinatave. Funksioni origjinal y = sin x është pozitiv atje, kështu që vendosim një shenjë plus përpara kosinusit në hapin e fundit (me fjalë të tjera, nuk vendosëm asgjë).
Mbetet të merremi me elementin e fundit:
cos 240° = cos (180° + 60°) = -cos 60° = -0,5
Këtu shohim se 180° është boshti horizontal. Rrjedhimisht, vetë funksioni nuk do të ndryshojë: kishte një kosinus - dhe kosinusi gjithashtu do të mbetet. Por lind përsëri pyetja: a do të shfaqet plus apo minus para shprehjes që rezulton cos 60°? Vini re se 180° është tremujori i tretë i koordinatave. Kosinusi atje është negativ, prandaj, kosinusi përfundimisht do të ketë një shenjë minus përpara tij. Në total, marrim ndërtimin -cos 60° = -0,5 - kjo është një vlerë tabelare, kështu që gjithçka është e lehtë për t'u llogaritur.
Tani ne i zëvendësojmë numrat që rezultojnë në formulën origjinale dhe marrim:
Siç mund ta shihni, numri cos 41° në numëruesin dhe emëruesin e thyesës zvogëlohet lehtësisht, dhe shprehja e zakonshme mbetet, e cila është e barabartë me -10. Në këtë rast, minusi mund të hiqet dhe të vendoset përpara shenjës së fraksionit, ose të "mbahet" pranë faktorit të dytë deri në hapin e fundit të llogaritjeve. Në çdo rast, përgjigja do të jetë -10. Kjo është ajo, problemi B11 është zgjidhur!
Problemi B14 - opsioni 2
Le të kalojmë në detyrën e dytë. Ne kemi përsëri një thyesë para nesh:
Epo, 27° qëndron në tremujorin e parë të koordinatave, kështu që nuk do të ndryshojmë asgjë këtu. Por mëkati 117° duhet të shkruhet (për momentin pa asnjë katror):
mëkat 117° = mëkat (90° + 27°) = cos 27°
Natyrisht, përsëri para nesh formula e reduktimit: 90° është boshti vertikal, prandaj sinusi do të ndryshojë në kosinus. Përveç kësaj, këndi α = 117° = 90° + 27° qëndron në kuadrantin e dytë të koordinatave. Funksioni origjinal y = sin x është pozitiv atje, prandaj, pas të gjitha shndërrimeve, ka ende një shenjë plus përpara kosinusit. Me fjalë të tjera, asgjë nuk shtohet atje - e lëmë kështu: cos 27°.
Ne kthehemi në shprehjen origjinale që duhet të llogaritet:
Siç e shohim, pas shndërrimeve, identiteti kryesor trigonometrik lindi në emërues: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Gjithsej −4: 1 = −4 - kështu gjetëm përgjigjen e problemit të dytë B11.
Siç mund ta shihni, me ndihmën e formulave të reduktimit, probleme të tilla nga Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë zgjidhen fjalë për fjalë në disa rreshta. Asnjë sinus i shumës dhe kosinus i diferencës. Gjithçka që duhet të kujtojmë është vetëm rrethi trigonometrik.
Ky artikull i kushtohet një studimi të hollësishëm të formulave të reduktimit trigonometrik. Jepet një listë e plotë e formulave të reduktimit, tregohen shembuj të përdorimit të tyre dhe jepet prova e korrektësisë së formulave. Artikulli ofron gjithashtu një rregull kujtimor që ju lejon të nxirrni formulat e reduktimit pa memorizuar secilën formulë.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Formulat e reduktimit. Listë
Formulat e reduktimit ju lejojnë të zvogëloni funksionet bazë trigonometrike të këndeve me madhësi arbitrare në funksionet e këndeve që shtrihen në intervalin nga 0 në 90 gradë (nga 0 në π2 radian). Puna me kënde nga 0 në 90 gradë është shumë më e përshtatshme sesa të punosh me vlera arbitrare të mëdha, prandaj formulat e reduktimit përdoren gjerësisht në zgjidhjen e problemeve të trigonometrisë.
Para se të shkruajmë vetë formulat, le të sqarojmë disa pika të rëndësishme për t'u kuptuar.
- Argumentet e funksioneve trigonometrike në formulat e reduktimit janë kënde të formës ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z. Këtu z është çdo numër i plotë dhe α është një kënd rrotullimi arbitrar.
- Nuk është e nevojshme të mësoni të gjitha formulat e reduktimit, numri i të cilave është mjaft mbresëlënës. Ekziston një rregull mnemonik që e bën të lehtë nxjerrjen e formulës së dëshiruar. Për rregullin mnemonik do të flasim më vonë.
Tani le të kalojmë drejtpërdrejt në formulat e reduktimit.
Formulat e reduktimit ju lejojnë të kaloni nga puna me kënde arbitrare dhe arbitrare të mëdha në punën me kënde që variojnë nga 0 në 90 gradë. Le t'i shkruajmë të gjitha formulat në formë tabele.
Formulat e reduktimit
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = mëkat α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
Në këtë rast, formulat shkruhen në radianë. Megjithatë, ju gjithashtu mund t'i shkruani ato duke përdorur gradë. Mjafton vetëm konvertimi i radianeve në gradë, duke zëvendësuar π me 180 gradë.
Shembuj të përdorimit të formulave të reduktimit
Ne do të tregojmë se si të përdorim formulat e reduktimit dhe si përdoren këto formula për zgjidhjen e shembujve praktikë.
Këndi nën shenjën e funksionit trigonometrik mund të përfaqësohet jo në një, por në shumë mënyra. Për shembull, argumenti i një funksioni trigonometrik mund të përfaqësohet në formën ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z. Le ta demonstrojmë këtë.
Le të marrim këndin α = 16 π 3. Ky kënd mund të shkruhet kështu:
α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π
Në varësi të paraqitjes së këndit, përdoret formula e duhur e reduktimit.
Le të marrim të njëjtin kënd α = 16 π 3 dhe të llogarisim tangjenten e tij
Shembulli 1: Përdorimi i formulave të reduktimit
α = 16 π 3 , t g α = ?
Le të paraqesim këndin α = 16 π 3 si α = π + π 3 + 2 π 2
Ky paraqitje e këndit do të korrespondojë me formulën e reduktimit
t g (π + α + 2 π z) = t g α
t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3
Duke përdorur tabelën, ne tregojmë vlerën e tangjentes
Tani përdorim një paraqitje tjetër të këndit α = 16 π 3.
Shembulli 2: Përdorimi i formulave të reduktimit
α = 16 π 3 , t g α = ? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3
Së fundi, për paraqitjen e tretë të këndit shkruajmë
Shembulli 3. Përdorimi i formulave të reduktimit
α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3
Tani le të japim një shembull të përdorimit të formulave më komplekse të reduktimit
Shembulli 4: Përdorimi i formulave të reduktimit
Le të imagjinojmë mëkatin 197° përmes sinusit dhe kosinusit të një këndi akut.
Për të qenë në gjendje të aplikoni formulat e reduktimit, duhet të përfaqësoni këndin α = 197 ° në një nga format
± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Sipas kushteve të problemit, këndi duhet të jetë i mprehtë. Prandaj, ne kemi dy mënyra për ta përfaqësuar atë:
197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°
marrim
mëkat 197° = mëkat (180° + 17°) mëkat 197° = mëkat (270° - 73°)
Tani le të shohim formulat e reduktimit për sinuset dhe të zgjedhim ato të përshtatshmet
mëkat (π + α + 2 πz) = - sinα mëkat (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = mëkat (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - mëkat 17 ° mëkat 197 ° = mëkat (270 ° - 73 ° + 360 ° z) = - cos 73 °
Rregulli mnemonik
Ka shumë formula reduktimi dhe, për fat të mirë, nuk ka nevojë t'i mësoni përmendësh. Ka rregullsi nga të cilat formulat e reduktimit mund të nxirren për kënde dhe funksione të ndryshme trigonometrike. Këto modele quhen rregulla mnemonike. Mnemonika është arti i memorizimit. Rregulli mnemonik përbëhet nga tre pjesë, ose përmban tre faza.
Rregulli mnemonik
1. Argumenti i funksionit origjinal paraqitet në një nga format e mëposhtme:
± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz
Këndi α duhet të jetë ndërmjet 0 dhe 90 gradë.
2. Përcaktohet shenja e funksionit trigonometrik origjinal. Funksioni i shkruar në anën e djathtë të formulës do të ketë të njëjtën shenjë.
3. Për këndet ± α + 2 πz dhe π ± α + 2 πz, emri i funksionit origjinal mbetet i pandryshuar, dhe për këndet π 2 ± α + 2 πz dhe 3 π 2 ± α + 2 πz, përkatësisht, ai ndryshon në "bashkëfunksionim". Sinus - kosinus. Tangent - kotangjente.
Për të përdorur udhëzuesin mnemonik për formulat e reduktimit, duhet të jeni në gjendje të përcaktoni shenjat e funksioneve trigonometrike bazuar në të katërtat e rrethit të njësisë. Le të shohim shembuj të përdorimit të rregullit mnemonik.
Shembulli 1: Përdorimi i një rregulli mnemonik
Le të shkruajmë formulat e reduktimit për cos π 2 - α + 2 πz dhe t g π - α + 2 πz. α është regjistri i tremujorit të parë.
1. Meqenëse sipas kushtit α është regjistri i tremujorit të parë, ne kapërcejmë pikën e parë të rregullit.
2. Përcaktoni shenjat e funksioneve cos π 2 - α + 2 πz dhe t g π - α + 2 πz. Këndi π 2 - α + 2 πz është gjithashtu këndi i tremujorit të parë, dhe këndi π - α + 2 πz është në tremujorin e dytë. Në tremujorin e parë, funksioni kosinus është pozitiv, dhe tangjentja në tremujorin e dytë ka një shenjë minus. Le të shkruajmë se si do të duken formulat e kërkuara në këtë fazë.
cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -
3. Sipas pikës së tretë, për këndin π 2 - α + 2 π emri i funksionit ndryshon në Konfuci, kurse për këndin π - α + 2 πz mbetet i njëjtë. Le të shkruajmë:
cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α
Tani le të shohim formulat e dhëna më sipër dhe të sigurohemi që rregulli i kujtesës funksionon.
Le të shohim një shembull me një kënd specifik α = 777°. Le të reduktojmë alfa sinus në funksionin trigonometrik të një këndi akut.
Shembulli 2: Përdorimi i një rregulli mnemonik
1. Imagjinoni këndin α = 777 ° në formën e kërkuar
777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2
2. Këndi origjinal është këndi i tremujorit të parë. Kjo do të thotë se sinusi i këndit ka një shenjë pozitive. Si rezultat kemi:
3. mëkat 777° = mëkat (57° + 360° 2) = mëkat 57° mëkat 777° = mëkat (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°
Tani le të shohim një shembull që tregon se sa e rëndësishme është të përcaktohet saktë shenja e funksionit trigonometrik dhe të paraqitet saktë këndi kur përdoret rregulli mnemonik. Le ta përsërisim përsëri.
E rëndësishme!
Këndi α duhet të jetë i mprehtë!
Le të llogarisim tangjenten e këndit 5 π 3. Nga tabela e vlerave të funksioneve kryesore trigonometrike, mund të merrni menjëherë vlerën t g 5 π 3 = - 3, por ne do të zbatojmë rregullin mnemonik.
Shembulli 3: Përdorimi i një rregulli mnemonik
Le të imagjinojmë këndin α = 5 π 3 në formën e kërkuar dhe të përdorim rregullin
t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3
Nëse këndin alfa e paraqesim në formën 5 π 3 = π + 2 π 3, atëherë rezultati i zbatimit të rregullit mnemonik do të jetë i pasaktë.
t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3
Rezultati i pasaktë është për faktin se këndi 2 π 3 nuk është akut.
Vërtetimi i formulave të reduktimit bazohet në vetitë e periodicitetit dhe simetrisë së funksioneve trigonometrike, si dhe në vetinë e zhvendosjes sipas këndeve π 2 dhe 3 π 2. Vërtetimi i vlefshmërisë së të gjitha formulave të reduktimit mund të kryhet pa marrë parasysh termin 2 πz, pasi tregon një ndryshim në kënd me një numër të plotë rrotullimesh të plota dhe pasqyron saktësisht vetinë e periodicitetit.
16 formulat e para rrjedhin drejtpërdrejt nga vetitë e funksioneve bazë trigonometrike: sinus, kosinus, tangjent dhe kotangjent.
Këtu është një provë e formulave të reduktimit për sinuset dhe kosinuset
sin π 2 + α = cos α dhe cos π 2 + α = - sin α
Le të shohim një rreth njësi, pika fillestare e të cilit, pas një rrotullimi përmes një këndi α, shkon në pikën A 1 x, y, dhe pas një rrotullimi përmes një këndi π 2 + α - në një pikë A 2. Nga të dyja pikat vizatojmë pingul me boshtin e abshisave.
Dy trekëndësha kënddrejtë O A 1 H 1 dhe O A 2 H 2 janë të barabartë në hipotenuzë dhe kënde ngjitur. Nga vendndodhja e pikave në rreth dhe barazia e trekëndëshave, mund të konkludojmë se pika A 2 ka koordinata A 2 - y, x. Duke përdorur përkufizimet e sinusit dhe kosinusit, ne shkruajmë:
sin α = y, cos α = x, sin π 2 + α = x, cos π 2 + α = y
sin π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - sin α
Duke marrë parasysh identitetet bazë të trigonometrisë dhe atë që sapo është vërtetuar, mund të shkruajmë
t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - mëkat α cos α = - t g α
Për të vërtetuar formulat e reduktimit me argument π 2 - α, duhet të paraqitet në formën π 2 + (- α). Për shembull:
cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - mëkat (- α) = mëkat α
Vërtetimi përdor vetitë e funksioneve trigonometrike me argumente të shenjave të kundërta.
Të gjitha formulat e tjera të reduktimit mund të vërtetohen bazuar në ato të shkruara më sipër.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Formulat e reduktimit janë marrëdhënie që ju lejojnë të kaloni nga sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja me këndet `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` për të njëjtat funksione të këndit `\alfa`, i cili ndodhet në çerekun e parë të rrethit të njësisë. Kështu, formulat e reduktimit "na çojnë" në punë me kënde në rangun nga 0 në 90 gradë, gjë që është shumë e përshtatshme.
Të gjitha së bashku ka 32 formula reduktimi. Ata padyshim që do të vijnë në ndihmë gjatë Provimit të Unifikuar të Shtetit, provimeve dhe testeve. Por le t'ju paralajmërojmë menjëherë se nuk ka nevojë t'i mësoni përmendësh! Duhet të shpenzoni pak kohë dhe të kuptoni algoritmin për zbatimin e tyre, atëherë nuk do të jetë e vështirë për ju të nxirrni barazinë e nevojshme në kohën e duhur.
Së pari, le të shkruajmë të gjitha formulat e reduktimit:
Për këndin (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) ose (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Për këndin (`\pi \pm \alpha`) ose (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alfa)=-tg \ \alfa;` ` tg(\pi + \alfa)=tg \ \alfa`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Për këndin (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) ose (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \\alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alfa)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alfa)=tg \ \alfa;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alfa)=-tg \ \alfa`
Për këndin (`2\pi \pm \alpha`) ose (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alfa)=-tg \ \alfa;` ` tg(2\pi + \alfa)=tg \ \alfa`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alfa`
Shpesh mund të gjeni formula reduktimi në formën e një tabele ku këndet shkruhen në radianë:
Për ta përdorur atë, duhet të zgjedhim rreshtin me funksionin që na nevojitet dhe kolonën me argumentin e dëshiruar. Për shembull, për të zbuluar duke përdorur një tabelë se me çfarë do të jetë e barabartë `sin(\pi + \alpha)`, mjafton të gjesh përgjigjen në kryqëzimin e rreshtit `sin \beta` dhe kolonës ` \pi + \alfa`. Ne marrim `sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
Dhe tabela e dytë, e ngjashme, ku këndet shkruhen në gradë:
Rregulla mnemonike për formulat e reduktimit ose si t'i mbani mend ato
Siç e kemi përmendur tashmë, nuk ka nevojë të mësoni përmendësh të gjitha marrëdhëniet e mësipërme. Nëse i shikoni me kujdes, me siguri keni vënë re disa modele. Ato na lejojnë të formulojmë një rregull mnemonik (mnemonik - mbaj mend), me ndihmën e të cilit mund të marrim lehtësisht çdo formulë reduktimi.
Le të vërejmë menjëherë se për të zbatuar këtë rregull, duhet të jeni të mirë në identifikimin (ose kujtimin) e shenjave të funksioneve trigonometrike në lagje të ndryshme të rrethit të njësisë. 
Vetë vaksina përmban 3 faza:
- Argumenti i funksionit duhet të përfaqësohet si `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, dhe `\alfa` është domosdoshmërisht një kënd i mprehtë (nga 0 në 90 gradë).
- Për argumentet `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` funksioni trigonometrik i shprehjes së transformuar ndryshon në një bashkëfunksion, pra në të kundërtën (sinus në kosinus, tangjente me kotangjent dhe anasjelltas). Për argumentet `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` funksioni nuk ndryshon.
- Përcaktohet shenja e funksionit origjinal. Funksioni që rezulton në anën e djathtë do të ketë të njëjtën shenjë.
Për të parë se si mund të zbatohet ky rregull në praktikë, le të transformojmë disa shprehje:
1. `cos(\pi + \alfa)`.
Funksioni nuk është i kundërt. Këndi `\pi + \alfa` është në tremujorin e tretë, kosinusi në këtë tremujor ka një shenjë "-", kështu që funksioni i transformuar do të ketë gjithashtu një shenjë "-".
Përgjigje: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alfa)`.
Sipas rregullit mnemonik, funksioni do të ndryshohet. Këndi `\frac (3\pi)2 - \alfa` është në tremujorin e tretë, sinusi këtu ka një shenjë "-", kështu që rezultati do të ketë gjithashtu një shenjë "-".
Përgjigje: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alfa)`.
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi )2-\alfa))`. Le të përfaqësojmë `3\pi` si `2\pi+\pi`. `2\pi` është periudha e funksionit.
E rëndësishme: Funksionet "cos \alpha" dhe "sin \alpha" kanë një periudhë prej "2\pi" ose "360^\circ", vlerat e tyre nuk do të ndryshojnë nëse argumenti rritet ose zvogëlohet nga këto vlera.
Bazuar në këtë, shprehja jonë mund të shkruhet si më poshtë: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Duke zbatuar rregullin mnemonik dy herë, marrim: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alfa)= - cos (\frac(\pi)2-\alfa)= - sin \alfa`.
Përgjigje: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.
Rregulli i kalit
Pika e dytë e rregullit mnemonik të përshkruar më sipër quhet gjithashtu rregulli i kalit të formulave të reduktimit. Pyes veten pse kuajt?
Pra, kemi funksione me argumente `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, pikat `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` janë kyçe, ato ndodhen në boshtet e koordinatave. `\pi` dhe `2\pi` janë në boshtin horizontal x, dhe `\frac (\pi)2` dhe `\frac (3\pi)2` janë në ordinatën vertikale.
Ne i bëjmë vetes pyetjen: "A shndërrohet një funksion në një bashkëfunksion?" Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, duhet të lëvizni kokën përgjatë boshtit në të cilin ndodhet pika kyçe.
Kjo do të thotë, për argumentet me pika kyçe të vendosura në boshtin horizontal, ne përgjigjemi "jo" duke tundur kokën në anët. Dhe për qoshet me pika kyçe të vendosura në boshtin vertikal, ne përgjigjemi "po" duke tundur kokën nga lart poshtë, si një kalë :)
Ne ju rekomandojmë të shikoni një video tutorial në të cilin autori shpjegon në detaje se si të mbani mend formulat e reduktimit pa i memorizuar ato.
Shembuj praktikë të përdorimit të formulave të reduktimit
Përdorimi i formulave të reduktimit fillon në klasat 9 dhe 10. Shumë probleme me përdorimin e tyre iu nënshtruan Provimit të Unifikuar të Shtetit. Këtu janë disa nga problemet ku do t'ju duhet të aplikoni këto formula:
- problema për zgjidhjen e një trekëndëshi kënddrejtë;
- transformimi i shprehjeve trigonometrike numerike dhe alfabetike, llogaritja e vlerave të tyre;
- detyra stereometrike.
Shembulli 1. Llogaritni duke përdorur formulat e reduktimit a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.
Zgjidhje: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;
c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;
d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.
Shembulli 2. Pasi të keni shprehur kosinusin përmes sinusit duke përdorur formulat e reduktimit, krahasoni numrat: 1) `sin \frac (9\pi)8` dhe `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` dhe `cos \frac (3\pi)10`.
Zgjidhje: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.
2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`
`sin \frac (\pi)8 `sin \frac (\pi)8 Le të vërtetojmë fillimisht dy formula për sinusin dhe kosinusin e argumentit `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` dhe `cos (\frac (\ pi)2 + \alfa)=-sin \ \alpha`. Pjesa tjetër rrjedh prej tyre. Le të marrim një rreth njësi dhe të shënojmë A me koordinatat (1,0). Lëreni pasi të ktheheni në Duke ardhur nga përkufizimi i tangjentës dhe kotangjentës, marrim ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` dhe ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alfa))(sin(\frac (\pi)2 + \alfa))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, që vërteton formulat e reduktimit për tangjenten dhe kotangjenten e këndit `\frac (\pi)2 + \alfa`. Për të vërtetuar formulat me argumentin `\frac (\pi)2 - \alpha`, mjafton ta paraqesim atë si `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` dhe të ndiqni të njëjtën rrugë si më sipër. Për shembull, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alfa)`. Këndet `\pi + \alpha` dhe `\pi - \alpha` mund të përfaqësohen si `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` dhe `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alfa)` përkatësisht. Dhe `\frac (3\pi)2 + \alpha` dhe `\frac (3\pi)2 - \alpha` si `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` dhe `\pi +(\frac (\pi)2-\alfa)`. Ato i përkasin seksionit të trigonometrisë së matematikës. Thelbi i tyre është reduktimi i funksioneve trigonometrike të këndeve në një formë "të thjeshtë". Mund të shkruhet shumë për rëndësinë e njohjes së tyre. Ka tashmë 32 nga këto formula! Mos u shqetësoni, nuk keni nevojë t'i mësoni ato, si shumë formula të tjera në një kurs matematike. Nuk ka nevojë të mbushni kokën me informacione të panevojshme, duhet të mbani mend "çelësat" ose ligjet, dhe kujtimi ose nxjerrja e formulës së kërkuar nuk do të jetë problem. Nga rruga, kur shkruaj në artikuj "... ju duhet të mësoni!!!" - kjo do të thotë që vërtet duhet të mësohet. Nëse nuk jeni të njohur me formulat e reduktimit, atëherë thjeshtësia e derivimit të tyre do t'ju befasojë këndshëm - ekziston një "ligj" me ndihmën e të cilit kjo mund të bëhet lehtësisht. Dhe mund të shkruani ndonjë nga 32 formulat në 5 sekonda. Do të listoj vetëm disa nga problematikat që do të shfaqen në Provimin e Bashkuar të Shtetit në matematikë, ku pa njohjen e këtyre formulave ka një probabilitet të lartë për të dështuar në zgjidhjen e tyre. Për shembull: – problema për zgjidhjen e një trekëndëshi kënddrejtë, ku bëhet fjalë për këndin e jashtëm, dhe problema për këndet e brendshme, disa nga këto formula janë gjithashtu të nevojshme. - detyra për llogaritjen e vlerave të shprehjeve trigonometrike; konvertimi i shprehjeve numerike trigonometrike; konvertimin e shprehjeve trigonometrike fjalë për fjalë. – problema mbi tangjenten dhe kuptimin gjeometrik të tangjentes, kërkohet një formulë reduktimi për tangjenten, si dhe probleme të tjera. – problemet stereometrike, gjatë zgjidhjes shpesh është e nevojshme të përcaktohet sinusi ose kosinusi i një këndi që shtrihet në intervalin nga 90 në 180 gradë. Dhe këto janë vetëm ato pika që kanë të bëjnë me Provimin e Bashkuar të Shtetit. Dhe në vetë kursin e algjebrës ka shumë probleme, zgjidhja e të cilave thjesht nuk mund të bëhet pa njohuri për formulat e reduktimit. Pra, në çfarë çon kjo dhe si e bëjnë më të lehtë formulat e specifikuara zgjidhjen e problemeve? Për shembull, ju duhet të përcaktoni sinusin, kosinusin, tangjentën ose kotangjentën e çdo këndi nga 0 në 450 gradë: këndi alfa varion nga 0 në 90 gradë * * *
Pra, është e nevojshme të kuptohet "ligji" që funksionon këtu: 1. Përcaktoni shenjën e funksionit në kuadrantin përkatës. Më lejoni t'ju kujtoj: 2. Mbani mend sa vijon: funksioni ndryshon në bashkëfunksionim
funksioni nuk ndryshon në bashkëfunksionim
Çfarë do të thotë koncepti - një funksion ndryshon në një bashkëfunksion?
Përgjigje: sinusi ndryshon në kosinus ose anasjelltas, tangjent në kotangjent ose anasjelltas.
Kjo eshte e gjitha! Tani, sipas ligjit të paraqitur, ne do të shkruajmë vetë disa formula reduktimi: Ky kënd qëndron në tremujorin e tretë, kosinusi në tremujorin e tretë është negativ. Ne nuk e ndryshojmë funksionin në një bashkëfunksion, pasi kemi 180 gradë, që do të thotë: Këndi qëndron në tremujorin e parë, sinusi në tremujorin e parë është pozitiv. Ne nuk e ndryshojmë funksionin në një bashkëfunksion, pasi kemi 360 gradë, që do të thotë: Këtu është një tjetër konfirmim shtesë që sinuset e këndeve ngjitur janë të barabartë: Këndi qëndron në tremujorin e dytë, sinusi në tremujorin e dytë është pozitiv. Ne nuk e ndryshojmë funksionin në një bashkëfunksion, pasi kemi 180 gradë, që do të thotë: Punoni me mend ose me shkrim çdo formulë dhe do të bindeni se nuk ka asgjë të komplikuar. ***
Në artikullin mbi zgjidhjen, u vu re fakti i mëposhtëm - sinusi i një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është i barabartë me kosinusin e një këndi tjetër akut në të.
këndi `\alpha` do të shkojë në pikën `A_1(x, y)`, dhe pasi të kthehet me kënd `\frac (\pi)2 + \alpha` në pikën `A_2(-y, x)`. Duke i hedhur pingulet nga këto pika në drejtëzën OX, shohim se trekëndëshat `OA_1H_1` dhe `OA_2H_2` janë të barabartë, pasi hipotenuset e tyre dhe këndet ngjitur janë të barabartë. Pastaj, bazuar në përkufizimet e sinusit dhe kosinusit, mund të shkruajmë `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alfa)=-y`. Ku mund të shkruajmë se `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` dhe `cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, që vërteton reduktimin formulat për këndet e sinusit dhe kosinusit `\frac (\pi)2 + \alfa`.
